求向量组的秩与极大无关组(修改整理)-向量组的极大无关组与秩
1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组
习题4.31.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1)[]12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0Tα=-，[]31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1Tα=-．(2)[]11,1,1,1T α=, []21,1,1,1Tα=--， []31,1,1,1Tα=--,[]41,1,1,1Tα=---．(3)[]11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14Tα=,[]41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6Tα=．分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组.解 (1) []123423141133113301123241000010210000αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组.(2) []123411111111111101011111001111110001αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组.(3) []1234510312103121301101101217250001042140600000ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组.2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1)[]11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13Tα=-，[]31,3,0,3,3T α=----,[]41,9,6,3,6Tα=-.(2)[]11,3,2,1T β=--, []22,1,5,3T β=-，[]34,3,7,1Tβ=-, []41,11,8,3Tβ=---,[]52,12,30,6Tβ=-．解 (1) []123413111311173901122806000039330000413360000αααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以该向量组的秩为2, 小于向量的个数4, 所以线性相关.(2)[]123451241212412313111201548257830001111313600000βββββ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以该向量组的秩为3, 小于向量的个数5, 所以线性相关.3.设[]11,2,1T α=-, []22,4,T αλ=, []31,,1Tαλ=.(1) λ取何值时1α,2α,3α线性相关? λ取何值时1α,2α,3α线性无关? 为什么? (2)λ取何值时3α能经1α,2α线性表示? 且写出表达式.解 (1)[]1231211212402211002αααλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当2λ≠且2λ≠-时, 矩阵的秩为3与向量个数相同, 所以此时该向量组线性无关.当2λ=或2λ=-时, 矩阵的秩为2小于向量个数, 所以此时向量组线性相关. (1) 当2λ=时, 秩([]12αα)=秩([]123ααα)=2, 此时3α能经1α,2α线性表示.表达式的系数为方程组[]123X ααα=的解, 而此时该方程组的解为120,1.2x x =⎧⎪⎨=⎪⎩所以表达式为3α=212α. 当2λ=-时, 秩([]12αα)=1, 秩([]123ααα)=2, 两者不相等, 所以不能线性表示.当2λ≠且2λ≠-时, 秩([]12αα)=2, 秩([]123ααα)=3, 两者不相等,所以不能线性表示.4.下述结论不正确的是( )，且说明理由．(A) 秩为4的４×５矩阵的行向量组必线性无关. (B) 可逆矩阵的行向量组和列向量组均线性无关. (C) 秩为r(r<n)的m ×n 矩阵的列向量组必线性相关. (D) 凡行向量组线性无关的矩阵必为可逆矩阵.解 (A) 正确. 如果行向量组线性相关则行向量组的秩必小于行向量的个数4, 即矩阵的行秩小于4, 而矩阵的行秩等于矩阵的秩, 因此矩阵的秩小于4, 这与矩阵的秩为4矛盾! 所以行向量组必线性无关.(B) 正确. 可逆矩阵必为满秩矩阵, 即n n ⨯的可逆矩阵的秩为n , 而矩阵的秩等于行秩和列秩, 所以矩阵的行秩=列秩=n , 因此行向量组的秩和所含向量个数相同, 据此可知该行向量组必线性无关; 同理列向量组也必线性无关.(C) 正确. 列向量组含有n 个向量, 又由于列向量组的秩(即列秩)等于矩阵的秩r , 而r<n , 即列向量组的秩小于向量组所含向量的个数, 据此列向量组必线性相关.(D) 设111001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 易知该矩阵的行向量组线性无关, 但是它不是方阵, 所以不是可逆矩阵. 所以该选项不正确.综上所述应选D.。
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
极大无关组与向量组的秩
提示: 极大无关组不唯一，但是所含向量的个数都相等
线性代数
16
例3 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个极大 无关组， 并把不属于极大无关组 的列向量用极大 无关组线性表示 .
0 1 0
即得
a 3 a1 a 2 , a5 4a1 3a 2 3a4
线性代数
20
练习：义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
知R(a1 , a2 , a4 ) 3，故a1 , a2 , a4线性无关
要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变 成行最简形矩阵.
线性代数
19
A
初等行变换
~
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
验证a1 , a 2 , a 3 , 是R 3的一个基，并把 b1 , b2用这个基 线性表示.
线性代数
27
解 要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证 A ~ E.
设
即 x11 (b1 , b2 ) (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B AX .
k1 k n 0时, 才有 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
8
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .
第三章 第二讲 向量组的秩
反之，若 k1 1 + k2 2 + + kn n 0 ，即 k1 k1 k k2 2 2， ， n B 0 1， 1 kn kn 又由 A P B 知
1 1 ..... 0 1 0 0 0 0
A的列秩 r ( A) 3,
1, 2, 4 为向量组的一个极大线性无关组。
12
例3 求列向量组 α1, α2 , α3 , α4 , α5 的一个极大无关组, 并把其余
向量用该极大无关组线性表示出来。
解：先将矩阵A化作行阶梯型
1 0 A 2 1 1 2 0 1
0 1 0 0 3 1 1 1 1 0 0 0
4 1 1 3 2 1 3
5 0 1 1 2 1 3
即
4 1 3 2 3 , 5 0 1 2 3
15
练习：求下列向量组的一个极大无关组和秩，并用该极大线性无 关组表示其他向量 T T T 1 (1, 1, 0, 0), 2 (1, 2, 1, 1), 3 (0, 1, 1, 1),
(2) α3 α1 α2 , α 4 α1 α 2 , α1 , α2 , α3及α1 , α2 , α4都线性相关
α1, α2 分量不对应成比例，故 α1, α2线性无关，
α1 , α2为极大无关组
α1 , α 4与 其实，
α2 , α4 也都是极大无关组
（1）非零向量组一定有极大无关组； 由上例可知， （2）一个向量组的极大无关组一般是不唯一的； （3）极大无关组包含的向量的个数一样.
7
综上知，行初等变换不改变矩阵列向量组的线性相关性. 类似可得，列初等变换不改变矩阵行向量组的线性相关性.
4[1].3向量组的秩和极大线性无关组
![4[1].3向量组的秩和极大线性无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/6e3036264b35eefdc8d333e1.png)
引子: 线性相关组中含有线性无关的部分向量组. 一、等价向量组
定义（等价）： 定义（等价）：
如果向量组 α 1 , α 2 ,..., α t中的每个向量都可以由 向量组
β 1 , β 2 ,..., β s 线性表出，则称向量组 {α 1 , α 2 ,..., α t }可以由向量组 { β 1 , β 2 ,..., β s }线性表出。
0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
～
1 0 0 0
5 1 1 0 9 = ( β1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 ) 0 0 1 −2 0 0 0 0 0 2 0
2 1 0 1 0 1 = 2 + 1 ; 0 0 0 0 0 0
14
三、 思考题
1、求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组： 求下列向量组的秩，并求其最大线性无关组：
α1 = (1,0, 3,1),α 2 = ( −1, 3,0, −1),α 3 = (2,1,7, 2), α 4 = (4, 2,14,0).
2、一个向量组的秩是否确定？其极大无关组是 一个向量组的秩是否确定？ 否唯一？ 否唯一？
13
推论9(结论要记住) 推论9(结论要记住) 9(结论要记住 设 C m × n = A m × s B s × n ，则 R ( C ) ≤ R ( A ), R ( C ) ≤ R ( B ). 证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,L, c n ), A = (a1 ,L, a s ).
1 0 A= 1 0 0 2 2 1 1 1 2 5 0 2 1 3 1 1 3 3
第3.3节 向量组的秩
例2 证明
(1) n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是Rn的极大无关组； (2) Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的极大无关组. 证 (1) 1 , 2 , , n 显然线性无关；又 ( a1 , a2 , , an ) R n , 有
( a1 , a2 , , an ) a1 1 a2 2 an n ,
因此，1 , 2 , 4 是向量组A的极大无关组，且
3 1 2 0 4 1 2 .
例7 设向量组 (I) 1 (1, 1, 0, 0)T， 2 (1, 0, 1, 1) T , (II) 1 (2, 1, 3, 3)T， 2 (0, 1, 1, 1) T . 证明向量组(I)与向量组(II)等价. 证 方法1 考虑向量组 (III)
例1 考察下列向量组的极大无关组.
(1) 1 (0, 0, 0);
不存在
(2) 1 (0, 0, 0)， 2 (1, 0, 0)， 3 (0,1, 0); (3) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (0, 0,1); (4) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (1,1, 0).
不难归纳
2 , 3
1,2,3
1,2； 1,3；2,3
(1)只含零向量的向量组不存在极大无关组； (2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组； (3)线性无关向量组的极大无关组是其本身； (4)线性相关组的极大无关组所含向量个数少于 原向量组所含向量个数； (5)向量组的极大无关组可能不唯一.
故而r1 r2 .
(2)略.
例4
已知向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 的秩为r ，且
向量组的极大无关组与秩的定义
复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组 定义1：设 向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。 则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个 数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的 个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
向量组的秩
6
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
回顾： 回顾：我们前面对于矩阵的秩的讨论 将矩阵化为阶梯形矩阵， 将矩阵化为阶梯形矩阵，求出非零行的行数 问题：矩阵的秩与其行( 问题：矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关 系？？ 矩阵A的行向量组的秩称为行秩 行秩， 定义 矩阵A的行向量组的秩称为行秩， 矩阵A的列向量组的秩称为列秩。 矩阵A的列向量组的秩称为列秩。 列秩 矩阵A的秩＝行秩＝列秩= 定理 矩阵A的秩＝行秩＝列秩=向量组的秩
r ( A) ≤ r ( B )
例 证
证明 r ( AB ) ≤ min{ r ( A), r ( B )}
记C m ×n = Am× s Bs×n
b11 M [β 1 ,...β n ] = [α1 ,...α s ] bs 1
... b1n M bsn
根据向量的对应关系， 的列向量均可由 的列向量均可由A 根据向量的对应关系，C的列向量均可由 的列向量线性表示。 的列向量线性表示。 因此， 因此，r(C)≤r(A) 同样，可证 同样，可证r(C)≤r(B)
k1 k1α 1 + k 2α 2 + .. + k sα s = (α 1 ,...,α s ) M ks
k1 = ( β 1 ,... β t ). At × s M = 0 k s
19
x1 M =0 有非零解. 所以只需要证明 At × s 有非零解 xs
k1α 1 + k2α 2 + .. + k sα s = 0
线性表示， 因为 α 1 , α 2 ,L, α s 由 β 1 , β 2 ,L, β t 线性表示， 则
向量组的极大无关组与秩的求法
4
2 3 5 0 0 0 0
4时，r( A) 3 4, 1,2 ,3,4线性相关。
r(1,2 ,3 ) 3,1,2,3是一个极大无关组。
但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0),2 (1,1,0),3 (1,1,0).
A
12
1 1
3
1
0 1 1
0 0
0 0
BT sn
AT ms
=CT
,
r(C) r(CT ) r(BT AT ) r(BT ) r(B).
r( Ams Bsn ) minr(A), r(B)
设有n两个维向量组1,2,,s与 1, 2 ,, s , 若
1,2 ,,s线性无关且
1
2
a11
a21
a12
a22
a1s 1
,
1 1
B
2
,C
2
.
am1
am2
ams
s
m
1
a11 a12 a1s 1
2
C
AB
a21
a22
a2s
2
m
a m1
am2
ams
s
r(C) r(1,2,,m ) r(1, 2,, s ) r(B).
Ams Bsn=C, r(C) r(AB) r(A).
r1 r3
1 1
1 1 1
0 0
0 0
r2r 1
1 1
1 0 1
0
0
0
0 1 0 0 0 0
r3r2
1 0
0 1
0 0
r1 r3
1 0
0 1
0
3-3 向量组的秩和极大线性无关组
显然 Rn的最大无关组很多 任何n个线性无关的n维向量 都是Rn的极大无关组
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3.性质
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组 规定它的秩为0 （2）一个线性无关向量组的极大线性无关组是向量组本身. （3）向量组的极大无关组一般不是唯一的。 例如 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组 而a1 a2 a3线性相关 所以a1 a3和a2 a3都是向量组a1 a2 a3的极大无关组
k11 k (b1, b2, , bl ) (a1, a2, , am ) 21 km1 k12 k22 km 2 k1l k2l km l
B =AK
注
bj k1ja1k2ja1 kmjam
的极大无关组提供了方法。 Henan Agricultural University
四、向量组极大线性无关组的求法
矩阵A经行初等变换化为B，则A的列向量组与 B对应的列向量组有相同的线性组合关系.
1.把向量组按列排成矩阵A; 2.用初等行变换把A化为简化的行阶梯形矩阵C; 3.求出C的列向量组的一个极大线性无关组; 4.与其相应的A中的列就是A的列向量组的一个极大线性无关组.
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例2 求矩阵A的列向量组的 一个极大无关组 并把不属于 极大无关组的列向量用极大 无关组线性表示 其中
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
可见B中1，2，4列有单位矩 阵，对应B的一个最高阶(三 阶)非零子式，即B中1，2，4 列为B的一个极大线性无关组。 相应地，A的1、2、4列 为A的一个极大无关组
几何与代数-极大无关组_向量组秩与矩阵秩
§4.2.2 向量组的极大线性无关组与秩
一. 定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组 i1 , i2 , …, ir
满足以下列条件:
(1) i1 , i2 , …, ir 线性无关;
(2) 1, 2, …, s中任一向量都可由
i1 , i2 , …, ir 线性表示,
则称 i1 , i2 , …, ir 为1, 2, …, s的一个
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
我们在谈论一个向量组的线性相关性或 其极大无关组或其秩时，没有强调这个 向量组是行向量组还是列向量组. 为什么？
1, 2, …, s作为列向量组线性相关
1T, 2T, …, sT 作为行向量组线性相关 事实上， k11 + k22 + …+ kss= .
定义4.5 向量组1, 2, …, s中极大无关组
中向量的个数称为这个向量组的秩，记为
秩{1, 2, …, s} 或r{1, 2, …, s}.
注：1. r{1, 2, …, s} ≤ s, 向量i的维数； 2. 向量组1, 2, …, s线性无关 <=> r{1, 2, …, s} = s .
第四章 n维向量
A的列向量组
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
§4.2.3 向量组的秩与矩阵的秩
A= …
=
…
A的行向量组
问3：A的列向量组 与AT的行向量组有 何关系？
A的列向量组
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
初等
引理4.1 如果A 行变换 B,则 A 与B的行向量组 等价, 从而，A与B的行向量组的秩 相等.
3[1].4向量组的极大无关组
![3[1].4向量组的极大无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/97dfa6f5fc0a79563c1ec5da50e2524de518d03b.png)
1 0 1 0 4
例如：
0
1
1
0
3
B
0 0 0 1 3
0
0
00
0
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
例1 ：对矩阵
A
0
1
1
0
0
1
0 2 2 0 0 1
0
1
1 2 2 2
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1
1
i
i
A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组 可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
0
0
0
1
1
1
r3r2 0 0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
例2：求上三角矩阵的秩
a11 a12 a13 a14 a15
0
a22
a23
a24
a25
A 0
0 0
0 a33 a34 a35 aii 0 i 1, 2, 3
0
0
0
0
0 0 0 0
解：看行秩 1 a11,a12 ,a13 ,a14 ,a15 2 0,a22 ,a23 ,a24 ,a25
第3节 向量组的秩
1 2 3 4 5
1 0 B 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 0 2 1 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 2 , C 1 0
而不妨设 1 ,, r ( r s ) (Ⅱ) 是它的一个极大无关组,
首先,(Ⅱ)是(Ⅰ)的部分组,当然可以被(Ⅰ)线性表出.
其次,(Ⅰ)中 1 ,, r 可由(Ⅱ)线性表出,
而1 ,, r , k 线性相关,
定理
其余的向量 k (r 1 k n), 由于 1 ,,r 线性无关,
即1 , 2 , 3 线性无关,
而1 , 2 , 3 , 4 必线性相关,
故 1 , 2 , 3 是一个极大无关组.
2 , 3 , 4 也是一个极大无关组.
6
一些结论: 1.仅含零向量的向量组不存在极大无关组; 2.任意含非零向量的向量组一定存在极大无关组, 且极大无关组不一定唯一;
1 , 2 线性无关, 且 3 1 2 , 1 , 2为一极大无关组 .
1 , 3 线性无关, 且 2 3 1 , 1 , 3 为一最大无关组 .
类似
2 , 3 线性无关, 且 1 3 2 , 2 , 3为一极大无关组 .
2
定义 若一个向量组的部分组 1 , 2 ,..., r 满足:
(1) 线性无关;
..., r 线性表示, 则称 1 , 2 , ..., r 为向量组的一个极(最) 大线性无关组.
简称极大无关组.
(2) 向量组中任何一个其他的向量都可以由 1 , 2 ,
注:“极大”是指线性无关的部分组包含向量的个数最多.
大学线性代数：向量组的秩
10
例：设 α1 = ( 2,1, 2, 2, −4), α 2 = (1,1, −1, 0, 2), α 3 = (0,1, 2,1, −1),
α 4 = ( −1, −1, −1, −1,1), α 5 = (1, 2,1,1,1).
求秩和一个极大线性无关组。
解：转置后排列为矩阵得 ⎛ 2 1 0 ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎜ 2 −1 2 ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 ⎝ ⎛1 ⎜ r3 ↔ r5 ⎜0 r2 ↔ r4 ⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 2 1 0 r1 ↔ r2 → ⎜ 2 −1 2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ r − 2 r ⎜ 0 3 2 r4 + r1 →⎜0 2 1 −1 3 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 −2 1 −3 ⎟ ⎜0 ⎜0 −2 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 ⎞ ⎛1 1 r5 + 2 r4 ⎟ 4 − r3 ⎜ −1 1 ⎟ r r3 − r2 ⎜ 0 −1 r2 − 2 r1 → ⎜ 0 −2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 2 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 −1 3 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 −1 2 ⎞ ⎟ − 2 1 −3 ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ −1 0 0 ⎟ 1 −1 3 ⎟ ⎠ 1 −1 2 ⎞ ⎟ −1 0 0 ⎟ 3 −1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎠
4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩
1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。 类似有： 定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行
A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应 位置的向量即为所求 极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩 定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行 秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记 为列秩A)。 例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。 【由等价的传递性】 推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的 个数唯一。 【上节定理5？】 【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩 （1）秩的概念 定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组 所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2， 列秩A)＝2
向量组的极大无关组与向量组的秩
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3
k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
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同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证 设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经 过 初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5
3.4向量组的秩
2、结论：（P104） 若对矩阵A仅施以初等行变换得矩阵B，则B的列向量组 与A的列向量组有相同的线性关系，即行的初等变换保 A~ B 持了列向量间的线性无关性和线性相关性。 r A r B 即得出求极大无关组的方法：
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变 换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量 组的极大无关组。 自学例1、例4 例2：设矩阵
单位坐标向量
α1 α 2 ,
α 5 4 α 1 3α 2 3α 4
3.4
例3：求向量组 α 1 1, 2 , 1,1 , α 2 2 , 0 , t , 0 ,
T T
α 3 0 , 4 , 5 , 2 , α 4 3 , 2 , t 4 , 1
注：向量组的极大无关组可能不止一个，向量的个数是否相同的？
例：二维向量组 α 1
0 ,1 , α 2 1, 0 , α 3 1,1 , α 4 0 , 2
T T T
T
(1)任何三个二维向量的向量组必定线性相关； 即 (2) 线性α 1 , α 2 无关， α 1 , α 2 是该向量组的一个极大线性无关组；
3.4 向量组的秩
一、极大线性无关向量组
1、定义：设向量组 A : α 1 , α 2 , , α s ，若在向量组A中能选 出r个向量 α j 1 , α j 2 , , α jr ，满足： (1)向量组 A0 : α j 1 , α j 2 , , α jr 线性无关； (2)向量组A中任意r+1个向量(若有的话)都线性相关。 则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组 (简称为极大无关组)
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
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求向量组的秩与最大无关组
一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组
1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵
【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)
①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．
【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．
解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为
阶梯形矩阵后可求.
因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．
2、求向量组的最大线性无关组的方法
方法1 逐个选录法
给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn
①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1
②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；
③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组
【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T
ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1
取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。
所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法
【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立.
向量组：α1=(1,2,3)T
, α2=(-1,2,0)T
, α3=(1,6,6)T
由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换
①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ；
③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．
【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T
, α2=(3,-1,2,0)T
, α3=(1,3,4,-2)T
, α4=(4,-3,1,1)T
的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
解 以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：
()⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123423141-13-3113305-510,,,324105-51010210-11-2A αααα---⎛⎫ ⎪
⎪→ ⎪ ⎪
⎝⎭
1133011200000000 知r (A )=2, 故向量组的最大无关组含2个向量
而两个非零行的非零首元分别在第1, 2列, 故α1,α2为向量组的一个最大无关组
事实上，()⎛⎫
⎪
⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭1211010000αα-， 知r (α1,α2)=2, 故α1,α2 线性无关 为把α3,α4用α1,α2线性表示, 把A 变成行最简形矩阵 1
2
-10
1-1200000
000⎛⎫ ⎪
⎪
→= ⎪
⎪
⎝⎭A B
记矩阵B=(β1, β2, β3, β4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量α1,α2,α3,α4与向量β1, β2, β3, β4之间有相同的线性关系。
()312412210101
212,2000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ββββββ而
因此α3=2α1-α2, α4=-α1+2α2
【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：
()11,2,0,3α=-()22,5,3,6α=--()30,1,3,0,α=()42,1,4,7α=--()55,8,1,2.α=-
解：以给定向量为列向量作成矩阵A ，用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵B
再利用初等行变换，将B再化成行最简形矩阵C.
用最大线性无关组表示其它向量的方法为：
①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；
②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；
③把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C；
④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量．初等矩阵A, B, C 初等变换行作为
求秩无关 B 中见线性无关 C 做陪
【例5】求向量组，，，的秩和一个最大无关组.
解：
(1) 当且时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；
(2) 当时，，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；
(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是一个最大无关组.若，则，此时向量组的秩为3，且是一个最大无关组.
（2）行向量列变换
同理, 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）, 通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。
【例6】求向量组，，，，的一个最大无关组.
解：以给定向量为行向量作成矩阵A，用初等列变换将A化为行最简形:
（行向量列变换）
由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个最大无关组.
方法3 线性相关法（了解）
若非零向量组A：α1, α2,…, αn线性无关，则A的最大无关组就是α1, α2,…, αn
若非零向量组A线性相关，则A中必有最大无关组
二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：
1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩
2、等价向量组有相同的秩
3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组
【例7】设向量组的秩为.又设
，，
求向量组的秩.
解法1：由于，
且，
所以，
故向量组与等价，从而的秩为.
解法2：将看做列向量，则有
，其中
可求得 0，即可逆，从而可由线性表示，
由已知可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩.
【例7】设向量组(Ⅰ)：和向量组(Ⅱ)：的秩分别为和，而向量组(Ⅲ)：
的秩为.证明：.
证：若和中至少有一个为零，显然有，结论成立.
若和都不为零，不妨设向量组(Ⅰ)的最大无关组为，向量组(Ⅱ)的最大无关组为，由于向量组可以由它的最大无关组线性表示，所以向量组(Ⅲ)可以由，
线性表示，
故：的秩。