实验十二矩阵的秩和向量组的最大线性无关组

求向量组a= 例5求向量组 (1 -1 2 4),b = (0 3 1 2),c=(3 0 7 14),d=( 1 -1 2 0) e=(2 1 5 0) 的最大线性无关组 的最大线性无关组. A= (1 -1 2 4;0 3 1 2;3 0 7 14;1 -1 2 0;2 1 5 0]; B=transpose(A); reff(B) ans = 1.0000 0 3.0000 0 -0.5000 0 1.0000 1.0000 0 1.0000 0 0 0 1.0000 2.5000 0 0 0 0 0 则可以从列中看出a 则可以从列中看出 ,b d为最大线性无关组 为最大线性无关组 注意:若要判断两个矩阵是否等价, 注意:若要判断两个矩阵是否等价,只需要把两个矩阵 利用初等行变换命令reff都化为最简标准型,若最后 都化为最简标准型, 利用初等行变换命令 都化为最简标准型 的标准型相同则等价,否则不等价(P114例9). 的标准型相同则等价,否则不等价 例 .
clear A=[1 1 -2 -1; 3 -2 -2 2; 0 5 7 3 ;2 -3 -5 -1]; D=det(A); X=null(A)
注意:若系数矩阵的秩小于未知数个数, 注意:若系数矩阵的秩小于未知数个数,则基础解系存在且 有无穷多解:若系数矩阵的秩等于未知数个数, 有无穷多解:若系数矩阵的秩等于未知数个数,则基础解 系不存在只有零解. 系不存在只有零解.
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12. 5 非齐次线性方程组的特解
非齐次线性方程组中若系数矩阵 非齐次线性方程组中若系数矩阵r(A)和增 系数矩阵 和增 广矩阵r(A,b)的秩相等,方程组有解,并 的秩相等, 广矩阵 的秩相等 方程组有解, 且若r(A)= r(A,b)<n则非齐次线性方程组 且若 则 无穷多解. 无穷多解.r(A)= r(A,b)=n则非齐次线性 = 则 方程组有唯一的解; 方程组有唯一的解;齐次线性方程组中若 系数矩阵r(A)和增广矩阵 和增广矩阵r(A,b)的秩不相 系数矩阵 和增广矩阵 的秩不相 等,方程组有无解 为未知数的个数) (n为未知数的个数) 为未知数的个数
12.4求齐次线性方程组 2 求齐次线性方程组 求齐次线性方程组AX=0的基础解系 的基础解系
求齐次线性方程组AX=0的基础解系命令为 null(A) 的基础解系命令为: 求齐次线性方程组 的基础解系命令为
例6,求解线性方程组 求解线性方程组
x1 + x2 2 x3 x4 = 0 3 x 2 x 2 x + 2 x = 0 1 2 3 4 5 x1 + 7 x2 + 3x3 = 0 2 x1 3 x2 5 x3 x4 = 0
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输出结果 D= 0 X= 0.4714 -0.2357 0.4714 -0.7071 注意;此时X为基础解 注意;此时 为基础解 系,并且基础解系中只 有一个解向量 而且X不但为基础解系 而且 不但为基础解系 并且为标准正交基( ,并且为标准正交基( 即正交化,标准化) 即正交化,标准化)
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程序二 clear A=[1 1 -2 -1; 3 -2 -1 2; 0 5 7 3 ;2 -3 -5 -1]; D=det(A); A=sym(A); X=null(A) 输出结果 X= 1 -1/2 1 -3/2 注意;此时X为基础解系 为基础解系, 注意;此时 为基础解系,但不为 标准正交基
本节掌握的知识点 12.1矩阵秩的求法 12.2把矩阵化为初等行矩阵 12.3向量组的秩和最大线性无关组 12.4求齐次线性方程组AX=0的基础解系 12.5求非齐次线性方程组AX=b的一个特解
作业: 作业:P145页1 ,2,7 P155页2,4 页 27 页 ,
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输出结果 ans = 3 ans = 3 说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为3 说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等都为3,所以方程组有 解继续编程求解 format rat % format是格式化命令,表示以有理格式输出 是格式化命令, 是格式化命令 rref([A,b]) 输出结果 1 0 0 2/3 1 0 1 0 -1/3 1 0 0 1 2/3 -1 0 0 0 0 0
,证明A可逆,并用初等行变换 证明 可逆, 可逆
12.3 向量组的秩和最大线性无关组 3
求向量组a 例4 ,求向量组 = (1 2 -1 1),b = (0 -4 5 -2),c=(2 0 3 0) 的秩.并判断是否线性相关? 的秩.并判断是否线性相关? A= [1 2 -1 1; 0 -4 5 -2;2 0 3 0]; rref(A) ans = 1.0000 0 1.5000 0 0 1.0000 -1.2500 0.5000 0 0 0 0 所以得到秩为2 非零的行数) 所以得到秩为2(非零的行数) 线性相关 注意:向量组的秩小于向量组中向量的个数所以线 注意: 性相关; 性相关;若向量组的秩等于向量组中向量的个数 则线性无关. 则线性无关.
实验十二学习目标
矩阵秩的求法 把矩阵化为初等行矩阵 向量组的秩和最大线性无关组 求齐次线性方程组AX=0的基础解系 求非齐次线性方程组AX=b的一个特解
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12.1 矩阵的秩
矩阵的秩的命令: 矩阵的秩的命令 rank(A)
3 2 1 3 2 已知M= 2 1 3 1 3 求M矩阵的秩 矩阵的秩. 例1 已知 矩阵的秩 7 0 5 1 8
2 x1 + 0 x2 + 0 x3 + x4 = 1 3 0x + x + 0x 1 x = 1 1 2 3 4 3 说明原非齐次线性方程组化为 2 0 x1 + 0 x2 + x3 + x4 = 1 3 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = 0 说明 4 为自由未知量, 为自由未知量,
所以令 x4 = 0 这样解锝原非齐次线性方程组的一个特解为
x
x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 0
注意: 以上的版本中, 注意:在Matlab7.0以上的版本中,可以用 以上的版本中 linsolve(A,b)求非齐次线性方程组的一个特解 求非齐次线性方程组的一个特解
小结, 小结,作业
x1 + x2 2 x3 x4 = 4 例7求解线性方程组 3x1 2 x2 2 x3 + 2 x4 = 2 5 x1 + 7 x2 + 3 x3 = 2 2 x1 3 x2 5 x3 x4 = 4
clear A=[1 1 -2 -1;3 -2 -1 2;0 5 7 3;2 -3 -5 -1]; D=det(A) b=transpose([4,2,-2,4]); rank(A); ; rank(A,b)
12.2 矩阵的初等行变换 2
矩阵的初等行变换命令为: 矩阵的初等行变换命令为 rref(A)
1 2 3 例3已知A= 2 2 1 已知 3 4 3
的逆. 求A的逆. 的逆 A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3]; E=eye(3); AE=[A,E] M=rref(AE) invA=M(:,[4, 5, 6])
M=[3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -8]; rank(M) ans= 2
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已知矩阵M= 3 2 1 3 的秩为2,求 的秩为2 例2已知矩阵 = 2 1 3 1 常数t的值 的值. 常数 的值. 7 0 t 1 syms t M=[3 2 -1 -3;2 -1 3 1;7 0 t -1]; det(M(1:3,1:3));% 提出矩阵 中的前三行前三列 ; 提出矩阵M中的前三行前三列 输出结果 -7*t+35,令-7*t+35=0所以 所以t=5 , 所以 注意:因为远矩阵的秩为2所以所有高于2 注意:因为远矩阵的秩为2所以所有高于2阶的子 式全为0 所以这里取的三阶子式为0 式全为0,所以这里取的三阶子式为0可解出.