动量和能量基础模型

动量和能量基础模型一、碰撞模型1. 完全弹性碰撞（碰撞过程无机械能损失，也称为“弹性碰撞”）[模型一] 如图所示，水平地面光滑. A 小球以速度0v 去碰撞静止的B 小球，碰撞为弹性碰撞. 求碰撞后A 、B 两小球的速度.分析：A 、B 碰撞过程动量守恒，机械能无损失，则有：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22200212121B B A A A B B A A A v m v m v m v m v m v m 其中：A v 、B v 分别为碰撞后A 、B 各自的速度 该方程组有固定解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=002v m m m v v m m m m v B A A B BA B A A讨论：(1)当B A m m >时，A 小球碰后速度方向不变，如图所示：(2)当B A m m <时，A 小球碰后被反向弹回，如图所示：(3)当B A m m =时，A 小球碰后，B 小球速度变为A 小球原来的速度0v ，A 、B 实现“速度交换”，如图所示：(4)当B A m m 31=时，碰后A 、B 两小球速度大小相等，方向相反. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=002121v v v v B A . 如图所示：[模型二]如图所示，水平地面光滑. A 、B 两小球以相同大小的速度0v 对碰，碰撞为弹性碰撞. m m A 3=、m m B =. 求碰撞后A 、B 两小球的速度.分析：A 、B 碰撞过程动量守恒，机械能无损失，则有：⎪⎩⎪⎨⎧+=++=-2220200021212121B B A A B A B B A A B A v m v m v m v m v m v m v m v m 其中：A v 、B v 分别为碰撞后A 、B 两小球的速度. 式中动量守恒方程默认以A 的方向（即总动量的方向）为正方向.该方程组化简得：⎩⎨⎧+=+=)2......(34)1.......(3222200B A B A v v v v v v 将(1)式平方，然后加减消元，得：02=+B A A v v v ，即：0)(=+B A A v v v该方程有两组解：⎩⎨⎧-==B AA v v v 0 其中B A v v -=不符合动量守恒，舍去.将0=A v 代入(1)式中，得02v v B =2. 完全非弹性碰撞（碰撞过程械能损失最多，也称为“粘连碰撞”）该种碰撞的特点表现为碰撞后以相同的速度一起向总动量的方向运动. 如图所示： (1) 两小球发生完全非弹性碰撞(2) 两木块发生完全非弹性碰撞(3) 子弹打木块碰撞过程动量守恒，有：共v m m v m B A A )(0+= 得：0v m m m v BA A+=共碰撞过程中机械能的损失：220)(2121共v m m v m E B A A +-=∆ (能量是守恒的，实际上，碰撞过程中系统损失的机械能转化为内能)二、弹簧模型如图所示，水平地面光滑，木块B 的一端连接一根轻弹簧处于静止状态，木块A 以初速度0v 去碰撞B ，A 、B 的质量分别为A m 、B m .问题1：弹簧第一次压缩最短时，A 、B 的速度.分析：从A 刚接触弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程A 、B 及弹簧组成的系统水平方向上动量守恒. 弹簧压缩最短时，A 、B 达到共同速度. 有：共v m m v m B A A )(0+= 0v m m m v BA A+=共问题2：弹簧的最大弹性势能(即弹簧压缩最短时存储的弹性势能).分析：从A 刚接触弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程A 、B 及弹簧组成的系统能量守恒，压缩前后，系统动能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量. 有：220)(2121共v m m v m E B A A p +-=问题3：弹簧第一次恢复原长时，A 、B 的速度.分析：从A 刚接触弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程中A 、B 及弹簧组成的系统动量守恒，能量守恒. 有：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22200212121B B A A A BB A A A v m v m v m v m v m v m 式中动量守恒方程默认总动量的方向为正方向.其中，A v 、B v 分别为弹簧第一次恢复原长时A 、B 两小球的速度.该方程组有固定解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=002v m m m v v m m m m v B A A B BA B A A讨论：(1)当B A m m >时，弹簧第一次恢复原长时A 的速度方向不变；(2)当B A m m <时，弹簧第一次恢复原长时A 被反向弹回；(3) 当m m =时，弹簧第一次恢复原长时A 的速度为0，B 的速度为v ，A 、B 完成“速度交换”.问题4：若A 接触弹簧后就与弹簧挂接在一起，则弹簧第一次拉伸最长时的弹性势能为多少?分析：弹簧第压缩最短或弹簧拉伸最长时，A 、B 都达到共同速度. 整个过程系统水平方向动量守恒，有：共v m m v m B A A )(0+= 0v m m m v BA A+=共弹簧拉伸最长时存储的弹性势能与压缩最短时存储的弹性势能相同：220)(2121共v m m v m E B A A p +-=三、产热模型[模型一] 单向滑动产热如图所示，水平地面光滑. 质量为m 的滑块A 以水平初速度0v 滑上质量为M 的木板B . 木块与木板之间的动摩擦因数为μ. 设木板足够长.问题1：A 、B 最终的共同速度.分析：A 、B 组成的系统水平方向动量守恒，有：共v M m mv )(0+= 0v Mm mv +=共问题2：从开始到A 、B 相对静止，系统产的热.分析：A 、B 组成的系统能量守恒，系统动能的减少量等于摩擦生的热，有：220)(2121共v M m mv Q f +-=s mg Q f ∆⋅=μ 其中：s ∆为相对滑动位移(或称“产热位移”) 即： 220)(2121共v M m mv s mg +-=∆⋅μ (产热原理)如图所示：问题3：要使A 不从B 上滑落，A 初速度0v 满足的条件(或摩擦因数μ满足的条件；或木板长度L 满足的条件)分析：临界状态为A 、B 达到共同速度时，A 恰好滑到B 的最末端，如图所示：则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+-=⋅+=2200)(2121)(共共v M m mv L mg v M m mv μ◆特别说明：产热原理220)(2121共v M m mv s mg +-=∆⋅μ是根据能量守恒思想得到的能量守恒方程，即A 、B 组成的系统损失的机械能转化为系统摩擦生的热. 有很多同学将该原理当成动能定理，这种观点是错误的. 以下几点说明产热原理并不是动能定理：(1)动能定理中如果要表示摩擦力做的功，形式应该是s mg ⋅μ，其中s 应为研究对象的绝对位移(即相对于地面的位移)，而产热原理中的s mg ∆⋅μ表示摩擦生热，并不能表示某研究对象做的功. (2)动能定理中表示动能的变化量为末动能减初动能，而产热原理中220)(2121共v M m mv +-表示系统初动能减系统末动能.(3)动能定理列方程中初、末动能对应的研究对象必须为同一研究对象，而产热原理中2021mv 表示m 的动能，而2)(21共v M m +表示m 和M 一起的动能. 有此三点，说明产热原理方程并不是动能定理方程.事实上，对于220)(2121共v M m mv s mg +-=∆⋅μ，我们可以通过应用动能定理得到，其过程如下：如图所示：从A 滑上B 到A 、B 相对静止的过程，根据动能定理：对A ，有：2022121mv mv s mg A -=⋅-共μ……① 对B ，有：0212-=⋅共Mv s mg B μ……②联立①②③，得：220)(2121共v M m mv s mg +-=∆⋅μ希望以上的阐述能帮助同学们更好的理解产热原理.[模型二] 双向滑动产热如图所示，水平地面光滑. 质量为A m 的滑块A 以向右的初速度速度A v 滑上木板B ，同时木板 B 以速度B v 向左运动. A 、B 之间的摩擦因数为μ.问题：①A 、B 最终的共同速度；②从开始到A 、B 相对静止，系统产的热. 分析：A 、B 组成的系统水平方向动量守恒能量守恒，系统能量守恒. (1) 若B B A A v m v m >，系统总动量向右，有： 共v m m v m v m B A B B A A )(+=- 系统产热：222)(21)2121(共v m m v m v m s g m Q B A B B A A A f +-+=∆⋅=μ (2) 若B B A A v m v m <，系统总动量向左，有：共v m m v m v m B A A A B B )(+=- 系统产热：222)(21)2121(共v m m v m v m s g m Q B A B B A A A f +-+=∆⋅=μ (3) 若B B A A v m v m =，系统总动量为零，系统产热：222121B B A A A f v m v m s g m Q +=∆⋅=μ(系统的机械能全部转化为摩擦热)三、动量和能量综合举例v去撞静止的B木块，碰撞后两木块粘在一起. 一同向前[例1]如图所示，水平地面光滑. A木块以初速度A运动去压缩弹簧.问：(1) 弹簧能存储的最大弹性势能；(2) 弹簧第一次恢复原长时，C木块的速度.[例2]如图所示，水平地面光滑，B、C木块间的轻弹簧处于原长(弹簧与C连接，与B接触但不连接)v去碰撞B，碰后和B粘连一起压缩弹簧，弹簧第一次恢B、C、D刚开始都处于静止状态，A以初速度A复原长时C刚好与D发生碰撞，C、D碰后也粘在一起.问：(1) 弹簧第一次压缩最短时的弹性势能；(2) 弹簧第二次压缩最短时的弹性势能.[例3]如图所示，水平地面光滑，木块A 刚开始静止于B 木板的最左端. 质量为m 的子弹以初速度0v 射入木块A 并留在木块中，A 恰好未能从木板上滑落. 已知：s m v /3000=，kg m 01.0=，kg m A 99.2=，kg m B 3=，A 、B 间的摩擦因数5.0=μ.问：(1) 子弹射入木块A 后木块的速度； (2) 子弹入射过程中损失的机械能；(3) 木板的长度；(4) 从子弹入射到A 、B 相对静止的整个过程中系统损失的机械能(或系统产的热).[例4]如图所示，水平地面光滑，A 、B 两木块刚开始贴在一起处于静止状态. 质量为m 的子弹以初速度0v 入射A 木块，从A 木块穿出最终停留在B 木块中，B 木块最终的速度为B v . 已知：kg m 01.0=，s m v /3000=，kg m A 1=，kg m B 99.0=，s m v B /2=问：(1)A 木块最终的速度；(2)子弹刚从A 木块射出时的速度；(3)从子弹入射到子弹相对于B 木块静止的整个过程中系统损失的机械能.[同类问题比较]思考：题目可能如何提问?[例5]如图所示，水平地面光滑，B 木板左侧一部分上表面粗糙，剩下的部分上表面光滑，右端固定一轻质弹簧，弹簧处于原长. A 木块(可看成质点)刚开始静止于B 木板的最左端. 现有一子弹(可看成质点)入射A 木块，入射后留在木块中. 已知：子弹的入射速度为0v ，子弹质量为m ，木块质量为A m ，木板质量为B m ， 木板粗糙部分的动摩擦因数为 .问：(1)若木块A 最终未能接触弹簧，求从子弹入射到A 、B 相对静止的整个过程系统损失的机械能； (2)若木块A 恰好可以接触到弹簧，求B 木板上表面粗糙部分的长度；(3)若B 木板上表面粗糙部分的长度为0L 时，木块A 最终能够接触并压缩弹簧，求弹簧压缩最短时的弹性势能；(4)若B 木板上表面粗糙部分的长度为L ，木块压缩弹簧并被弹回时恰好未能从木板B 上滑落，求子弹的入射速度.。