2020年上海市中考数学一模试卷及解析

2020年上海市中考一模试卷
数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24分）
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()
A. 5
13B. 5
12
C. 12
13
D. 12
5
2.下列函数中，是二次函数的是()
A. y=2x−1
B. y=2
x2
C. y=x2+1
D. y=(x−1)2−x2
3.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()
A. (−2,1)
B. (2,1)
C. (−2,−1)
D. (2,−1)
4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得
DE//BC的是()
A. AD
BD =AE
CE
B. AD
AB
=DE
BC
C. AB
BD =AC
CE
D. AD
AB
=AE
AC
5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到
离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()
A. 3√10米
B. 2√10米
C. √10米
D. 9米
6.下列说法正确的是()
A. a⃗+(−a⃗ )=0
B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗
C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗
D. 如果a⃗=−1
2
b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗
二、填空题（本大题共12小题，共48分）
7.已知x=3y，那么x+y
x+2y
=______．
8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度
等于______cm．
9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．
10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．
11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．
12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．
13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下
降”)
14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC
的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么
EF
EB
=______．
15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线
段CE的长度等于______．
16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边
DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面
积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么
CF=______cm．
17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象
时，列出了如下的表格：
x…01234…
y=ax2+bx+c…−3010−3…
那么当x=5时，该二次函数的值为．
18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，
将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线
经过点A时，线段的长为______．
三、计算题（本大题共1小题，共10分）
19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点
A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和
57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求
避雷针BC的长度(参考数据：，
，，sin57°≈0.84，
tan57°≈1.54)
四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：
tan45°−cos60°
2sin30∘
+cot 260°
21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联
结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE
⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−3
2a
⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．
22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，
AC =6，AE =4，AB =8．
(1)如果BC =7，求线段DE 的长；
(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．
23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与
AC相交于点F．
(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；
(2)如果AE//BC，求证：BD
DC =DF
FE
．
24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别
为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；
(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．
25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、
B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．
(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；
(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，
直接写出AD的长．
答案和解析1.【答案】A
【解析】解：如图：
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，
sinA=BC
AB =5
13
．
故选：A．
本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．
此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．
2.【答案】C
【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∴y=x2+1是二次函数，
故选：C．
根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．
本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，
∴顶点坐标为(2,1)，
故选：B．
利用配方法化成顶点式求解即可．
本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B
【解析】解：∵AD
BD =AE
CE
，
∴DE//BC，
∵AB
BD =AC
EC
，
∴DE//BC，
∵AD
AB =AE
AC
，
∴DE//BC，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理判断即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A
【解析】解：∵BC：AC=1：3，
∴3：AC=1：3，
∴AC=9，
∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，
∴物体从A到B所经过的路程为3√10，
故选：A．
由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾
股定理求出AB的长即可．
本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．
B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．
C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．
D、如果a⃗=−1
2
b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，
故选：D．
根据平面向量的性质一一判断即可．
本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】4
5
【解析】解：∵x=3y，
∴x+y
x+2y =3y+y
3y+2y
=4
5
．
故答案为：4
5
．
直接利用已知代入原式求出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．
8.【答案】√5−1
【解析】解：根据黄金分割定义，得
PA2=AB⋅PB，
PA2=2(2−PA)
解得PA=√5−1．
故答案为√5−1．
根据黄金分割的定义：
把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．
本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
9.【答案】2：3
【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，
∴它们的对应中线之比是2：3，
故答案为：2：3．
根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
10.【答案】3
【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，
∴k−3=0，
解得k=3，
故答案为：3．
将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．
此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4
【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，
∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，
故答案为：y=−3x2−4．
根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．
12.【答案】x=2
【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1+5
2
=2．
故答案为：x=2．
根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．
本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升
【解析】解：∵−2<0，
∴二次函数的开口向下，
则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，
故答案为上升．
由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
14.【答案】1
3
【解析】解：∵点G是△ABC的重心，
∴GE：AG=1：2，
∴GE：AE=1：3，
∵GF//AB，
△EGF∽△EAB，
∴EF
EB =GE
AE
=1
3
，
故答案为1
3
．
由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．
15.【答案】7
2
【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，
∴AD
DF =BC
CE
，
即6
3=7
CE
，
解得：CE=7
2
，
故答案为：7
2
根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：∵AB//DE，
∴△ABC∽△GEC，
∴S△GEC
S△ABC =(EC
BC
)2=4
9
，
∴
EC
6
=
2
3
∴EC=4cm，
∵EF=BC=6cm，
∴CF=EF−EC=6−4=2cm．
故答案是：2
易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．
本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8
【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，
设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，
从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，
解得：a=−1，
即y=−(x−2)2+1，
当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，
故答案为：−8．
从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．
18.【答案】2√5或6
5
√5
【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，
∵∠C=90°，AC=2，BC=4，
∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC，DE=1
2AC=1，BD=1
2
BC=2，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
∵将△BDE绕着点B旋转，
，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，
∴Rt△ABC≌，
，且，
∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，
∴四边形是矩形，
；
如图2，当点A在线段的延长线上时，
，
，
，
∵将△BDE绕着点B旋转，
，
∵BE′
AB =1
2
=BD′
BC
，
∽，
，
，
，
故答案为：2√5或6√5
5
．
分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BD
AD
，
∴1.48=BD
80
，
∵AD =80米，
∴BD =118.4(米)，
在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CD
AD ， ∴1.54=CD
AD ，
∴CD =123.2(米)，
∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．
【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：原式=
1−
1
22×12
+(√3
3)2
=12+13
=5
6．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，
∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3
AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23
b ⃗ ，
∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2
3b ，
∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =1
2AB ，
∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2a ⃗ ．
(2)(−3
2
a ⃗ +
b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−3
2
a ⃗ +
b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =1
2
a ⃗ −b
⃗ ，
取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．
【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．
(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22.【答案】解：(1)∵AE
AB =4
8
=1
2
，AD
AC
=3
6
=1
2
，
∴AE
AB =AD
AC
，且∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD
AC =DE
BC
=1
2
，
∴DE=1
2BC=1
2
×7=7
2
；
(2)∵AE=4，AC=6，
∴EC=2=1
3
AC，
∴S△ACD=3S△DEC=3a，
∵AD=3，AB=8，
∴BD=5=5
3
AD，
∴S△BDC=5
3
S△ADC=5a．
【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；
(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
又∵∠ADE=∠B，
∴△ABC∽△FDA，
∴AB
DF =BC
AD
，
∴AB⋅AD=DF⋅BC；
(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠CDF=∠BAD，
∵AE//BC，
∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，
∴∠BAD=∠E，
又∵∠ADE=∠B，
∴△ABD∽△EDA，
∴BD
AD =AD
AE
，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠C，
∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，
则FM=FM，
∵△ADF的面积△AEF的面积=DF
EF
=
1
2
AD×FM
1
2
AE×FN
=AD
AE
，
∴BD DC =DF
FE ．
【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出AB
DF =BC
AD ，即可得出结论；
(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BD
AD =AD
AE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出
△ADF 的面积△AEF 的面积
=
DF EF
=
AD AE
，即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线
的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0
， 解得，b =2，c =3，
∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；
(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，
∴OC =OB =3，
∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，
如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =
√2
2
AB =2√2，
∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =
AH CH
=
2√2
√2
=2，
即∠ACB 的正切值为2；
(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，
设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PM
AM =2， ∴
−a 2+2a+3
a+1=2，
解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；
②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，
设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，
解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2
y =−x 2+2x +3，
解得，{x =−1y =0或{x =5
y =−12
，
∴P 2(5,−12)；
综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．
【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；
(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．
本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．
25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，
∴∠CDE =∠A =90°，
∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =
AC AB ，
∴
AD 3
=3
4
， ∴AD =9
4
．
(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．
在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，
∴EH =3
5y ，BH =4
5y ，DH =AB −AD −BH =4−x −4
5y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴AC
DH =AD EH ，
∴
3
4−x−4
5
y
=x
35
y
， ∴y =20x−5x 29+4x
(0<x <4)．
(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N
∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=1
2CB′=5
2
，
∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(5
2)2=√11
2
， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =
3√11
5
，CK =185
，
∴BK =AB −AK =4−
3√11
5
， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDK
S
△CDB
=DK
DB =
1
2⋅CK⋅DM 1
2
⋅BC⋅DN =CK
CB =
185
5
=18
25，
∴BD =25
43BK =
10043
−15
43√11，
∴AD =AB −BD =4−(100
43−15√11
43
)=7243+
15√1143
．
②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =25
43
BK =10043
+
15√1143
，
∴AD =AB −BD =72
43−
15√11
43
．
【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得AD
AC =AC
AB
，由此构
建方程即可解决问题．
(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出AC
DH =AD
EH
，由此构建关系式即
可解决问题．
(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．
本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。