10.3带电粒子在复合场中的运动

带电粒子在复合场中的运动

一、带电粒子在混合场中的运动

1．速度选择器

正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。带电粒子必须以唯一

确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选

择器。否则将发生偏转。这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平

衡得出：qvB=Eq ，B

E v =。在本图中，速度方向必须向右。 （1）这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。

（2）若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。

【例1】 某带电粒子从图中速度选择器左端由中点O 以速度v 0

向右射去，从右端中心a 下方的b 点以速度v 1射出；若增大磁感应强

度B ，该粒子将打到a 点上方的c 点，且有ac =ab ，则该粒子带___

电；第二次射出时的速度为_____。

解：B 增大后向上偏，说明洛伦兹力向上，所以为带正电。由于洛伦兹力总不做功，所以两次都是只有电场力做功，第一次为正功，第二次为负功，但功的绝对值相同。21202222020212,21212121v v v mv mv mv mv -=∴-=- 【例2】 如图所示，一个带电粒子两次以同样的垂直于场线的初速度v 0分别穿越匀强电场区和匀强磁场区， 场区的宽度均为L 偏转角度均为α，求E ∶B

解：分别利用带电粒子的偏角公式。在电场中偏转：

20

tan mv EqL =α，在磁场中偏转：0sin mv LBq =α，由以上两式可得αcos 0v B E =。可以证明：当偏转角相同时，侧移必然不同（电场中侧移较大）；当侧移相同时，偏转角必然不同（磁场中偏转角较大）。 a b

c ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ － － － v

2．回旋加速器

回旋加速器是高考考查的的重点内容之一，但很多同学往往对这类问题似是而非，认识不深，甚至束手无策、，因此在学习过程中，尤其是高三复习过程中应引起重视。

（1）有关物理学史知识和回旋加速器的基本结构和原理

1932年美国物理学家应用了带电粒子在磁场中运动的特点发明了回旋加速器，其原理如图所示。A 0处带正电的粒子源发出带正电的粒子以速度v 0垂直进入匀强磁场，在磁场中匀速转动半个周期，到达A 1时，在A 1 A 1/处造成向上的电场，粒子被加速，速率由v 0增加到v 1，然后粒子以v 1在磁场中匀速转动半个周期，到达A 2/时，在A 2/ A 2处造成向下的电场，粒子又一次被加速，速率由v 1增加到v 2，如此继续下去，每当粒子经过A A /的交界面时都是它被加速，从而速度不断地增加。带电粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期为qB

T ｍπ2=，为达到不断加速的目的，只要在 A A /上加上周期也为T 的交变电压就可以了。即T

电=qB

T ｍπ2=

实际应用中，回旋加速是用两个D 形金属盒做外壳，两个D 形金属盒分别充当交流电源的两极，同时金属盒对带电粒子可起到静电屏蔽作用，金属盒可以屏蔽外界电场，盒内电场很弱，这样才能保证粒子在盒内只受磁场力作用而做匀速圆周运动。

（2）带电粒子在D 形金属盒内运动的轨道半径是不等距分布的

设粒子的质量为m ，电荷量为q ，两D 形金属盒间的加速电压为U ，匀强磁场的磁感应强度为B ，粒子第一次进入D 形金属盒Ⅱ，被电场加速1次，以后每次进入D 形金属盒Ⅱ都要被电场加速2次。粒子第n 次进入D 形金属盒Ⅱ时，已经被加速（2n -1）次。

由动能定理得（2n －1）qU =２

１Mv n 2。 ……① 第n 次进入D 形金属盒Ⅱ后，由牛顿第二定律得qv n B =m n n r v 2 …… ②

由①②两式得ｒn =qB qU n m

)12(2- ……③

同理可得第n +1次进入D 形金属盒Ⅱ时的轨道半径r n+1=qB qU n m

)12(2+ ……④

所以带电粒子在D 形金属盒内任意两个相邻的圆形轨道半径之比为12121+-=+n n r r n n ，可见带电粒子在D 形金属盒内运动时，轨道是不等距分布的，越靠近D 形金属盒的边缘，相邻两轨道的间距越小。

（3）带电粒子在回旋加速器内运动，决定其最终能量的因素

由于D 形金属盒的大小一定，所以不管粒子的大小及带电量如何，粒子最终从加速器

内设出时应具有相同的旋转半径。由牛顿第二定律得qv n B =m n

n r v 2……① 和动量大小存在定量关系 m v n =kn mE 2…… ②

由①②两式得E k n =m

r B q n 2222……③ 可见，粒子获得的能量与回旋加速器的直径有关，直径越大，粒子获得的能量就越大。

【例3】一个回旋加速器，当外加电场的频率一定时，可以把质子的速率加速到v ，质子所能获得的能量为E ，则：

①这一回旋加速器能把α粒子加速到多大的速度？

②这一回旋加速器能把α粒子加速到多大的能量？

③这一回旋加速器加速α粒子的磁感应强度跟加速质子的磁感应强度之比为？

解：①由qv n B =m n

n r v 2得 v n =m qBr n 由周期公式T 电=qB m T π2= 得知，在外加电场的频率一定时，qB

m 为定值，结合④式得αv =v 。

②由③式E k n =m

r B q n 2222及qB m 为定值得，在题设条件下，粒子最终获得动能与粒子质量成正比。所以α粒子获得的能量为4E 。

③由周期公式T 电=qB m T π2= 得α

ααq m q m B B H H H ==2∶1。 （4）决定带电粒子在回旋加速器内运动时间长短的因素

带电粒子在回旋加速器内运动时间长短，与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关，同时还与带电粒在磁场中转动的圈数有关。设带电粒子在磁场中转动的圈数为n ，加速电压为

U 。因每加速一次粒子获得能量为qU ，每圈有两次加速。结合E k n =m

r B q n 2222知，2nqU =m

r B q n 2222，因此n =m U r qB n 422 。所以带电粒子在回旋加速器内运动时间t =nT =m U r qB n 422.qB m π2=U

Br n 22

π。 3．带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的运动

（1）带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动。必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力。

【例4】 一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内

做匀速圆周运动。则该带电微粒必然带_____，旋转方向为_____。若已知圆

半径为r ，电场强度为E 磁感应强度为B ，则线速度为_____。

解：因为必须有电场力与重力平衡，所以必为负电；由左手定则得逆时针转动；再由E

Brg v Bq mv r mg Eq ===得和 （2）与力学紧密结合的综合题，要认真分析受力情况和运动情况（包括速度和加速度）。必要时加以讨论。

【例5】质量为m 带电量为q 的小球套在竖直放置的绝缘杆上，球与杆间的动

摩擦因数为μ。匀强电场和匀强磁场的方向如图所示，电场强度为E ，磁感应强度为B 。小球由静止释放后沿杆下滑。设杆足够长，电场和磁场也足够大， 求运动过程中小球的最大加速度和最大速度。解：不妨假设设小球带正电（带负电时电场力和洛伦兹力都将反向，结论相同）。刚释放时小球受重力、电场力、弹力、摩擦

力作用，向下加速；开始运动后又受到洛伦兹力作用，弹力、mg v a f v m qvB Eq N

f

mg