第3讲(学生3份)方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题
不等式与不等式方程练习题(含答案)
不等式与不等式方程练习题(含答案)本文档包含了一系列关于不等式和不等式方程的练题和答案，旨在帮助读者巩固对这些概念的理解和应用。
不等式练题1. 求解不等式：$2x + 5 > 10$。
答案：$x > 2.5$2. 将不等式$3x - 4 < 7$化为标准不等式形式。
答案：$3x < 11$3. 求解不等式组：$\begin{cases} x - 2 > 5 \\ 2x + 3 < 10\end{cases}$。
答案：$x > 7$，$x < 3.5$4. 求解绝对值不等式：$|2x - 3| \leq 7$。
答案：$-2 \leq x \leq 5$5. 求解复合不等式：$-3 < 2x + 1 < 5$。
答案：$-2 < x < 2$不等式方程练题1. 求解不等式方程：$5x - 7 = 3x + 5$。
答案：$x = 6$2. 求解二次不等式方程：$x^2 + 5x - 6 < 0$。
答案：$-6 < x < 1$3. 求解分式不等式方程：$\frac{2x + 1}{x - 3} \geq 2$。
答案：$x \geq 4$4. 求解绝对值不等式方程：$|2x - 5| = 10$。
答案：$x = -2.5$，$x = 7.5$5. 求解复合不等式方程组：$\begin{cases} 3x - 2 \geq 4 \\ 2x + 5 \leq 9 \end{cases}$。
答案：$x \geq 2$，$x \leq 2$以上是一些关于不等式和不等式方程的练习题和答案。
阅读者可以利用这些题目来巩固学习并提高解题能力。
如有任何疑问，请随时提出。
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题(含参考答案)
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案 （有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ﹣y ＞0D ．x +y ＞02．如果1x -大于0，那么x 的取值范围是（ ） A ．1x >B ．1x <C ．0x <D ．0x >3．一元一次不等式x +1＜2的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ．D ．4．不等式﹣3x≤9的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．用配方法解方程22990x x --=，配方后得（ ） A ．2(1)99x -=B ．2(1)100x +=C ．2(1)98x -=D ．2(1)100x -=6．若关于x 的分式方程43233m xx x +=+--有增根，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．一项工程，A 独做10天完成，B 独做15天完成，若A 先做5天，再A 、B 合做，完成全部工程的23，共需（ ） A ．8天B ．7天C ．6天D ．5天8．若关于x 的方程534x kx -=+有整数解，那么满足条件的所有整数k 的和为（ ） A ．20B ．6C ．4D ．29．不等式组372378x x -≥⎧⎨-<⎩的所有整数解共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．下列运用等式性质进行的变形中，正确的是（ ） A ．如果a b =，那么23a b +=+ B ．如果a b =，那么23a b -=- C ．如果2a a =，那么1a =D ．如果a bc c=，那么a b = 11．下列是一元一次方程的是（ ） A ．231x y +=B ．20x -=C ．3x +D ．11x= 12．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行x 公里，根据题意列出的方程正确的是( ) A ．30252=+x x B ．30252=+x x C ．30252=-x x D ．30252=-x x13．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同. 设2，3月份利润的月增长率为x ，那么x 满足的方程为( ) A ．B ．C ．D ．14．如图所示两个天平都平衡，则3个球体的质量等于（ ）个正方体的质量，括号内应填A ．2B ．3C ．4D ．515．若﹣3＜a ≤3，则关于x 的方程x ＋a ＝2解的取值范围为（ ） A ．﹣1≤x ＜5B ．﹣1＜x ≤1C ．﹣1≤x ＜1D ．﹣1＜x ≤516．下列变形中，正确的是（ ） A ．若a b =，则11a b +=-B ．若32a b =，则a b =C ．若2a b -=，则2a b =-D ．若44b a -=-，则a b =17．在2019年女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王、女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则根据以上信息所列方程正确的是（ ）A ．3x+2x ＝32B ．3（11﹣x ）+3（11﹣x ）+2x ＝32C ．3（11﹣x ）+2x ＝32D ．3x+2（11﹣x ）＝3218．三元一次方程组10318x y z x y x y z ++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩的解是（ ）A ．532x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩B ．352x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩C ．542x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩D ．431x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩19．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有15个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（ ） A ．3瓶B ．4瓶C ．5瓶D ．6瓶20．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息：如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）A ．1316小时B ．1312小时C ．1416小时D ．1412小时二、填空题21．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为____克． 22．如果方程23252x x -+=-的解与方程72x b -=的解相同，则b =________. 23．由4x ﹣3y +6=0，可以得到用y 表示x 的式子为x =__．24．已知不等式组212(1)43x x x+>⎧⎨-+>⎩，请写出一个该不等式组的整数解___________．25．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m ＝0有实数根，则m 的取值范围是_____．26．若关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，则k 的取值范围是______．27．当a ＝_____时，分式32a a +-的值为－4． 28．三角形的三边长分别为7，1+2x ，13，则x 的取值范围是___ 29．25y x +=用含x 的式子表示y 为________________________．30．若关于x ，y 的二元一次方程组2630x my x y -=⎧⎨-=⎩的解是正整数，则整数m =_______．31．某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏35元，而按标价的8折出售将赚55元，则成本价为______元．32．已知A ∠与的B ∠两边分别平行，且A ∠比B ∠的3倍少20°，则A ∠的大小是__________．33．已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩， （1）代数式224x y +的值是_____． （2）代数式112x y+的值是______．34．已知关于x ，y 的方程组225,234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩的解满足1x <，2y <，则m 的取值范围为______．35．已知关于x ，y 的不等式组100x x a ->⎧⎨-⎩有以下说法：①若它的解集是1＜x ≤4，则a ＝4；①当a ＝1时，它无解；①若它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5；①若它有解，则a ≥2．其中所有正确说法的序号是_____．36．若关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k 的取值范围为__．37．不等式组的解集为23113x x -<⎧⎨-≤⎩的解集为______．38．如果关于x 的方程x2+2ax ﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a 与b 互为倒数，那么a +b=_____．39．某车间 56 名工人，每人每天能生产螺栓 16 个或螺母 24 个，设有 x 名工人生产螺栓， 有 y 名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按 1：2 配套，所列方程组是________. 40．若分式方程2211x m x x x x x+-=++有增根，则m 的值是______.三、解答题 41．解下列方程： （1）3x +7＝32﹣2x ； （2）121224x x +--=+． 42．解方程：242111x x x++=---． 43．解方程组：（1）32528x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）234347x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩．44．某商场进货员预测某商品能畅销市场，就用8万元购进该商品，上市后果然供不应求．商场又用17.6万购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的2倍，但进货的单价贵了4元，商场销售该商品时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商场共盈利多少元？ 45．当k 为何值时，方程x 2﹣6x+k ﹣1＝0， （1）两根相等； （2）有一根为0． 46．解方程组或不等式组：（1）20346x y x y +=⎧⎨+=⎩；（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩ 47．已知一个四位自然数N ，它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和对称数”，将这个四位自然数N 的千位数字和百位数字互换，十位数字和个位数字互换，得到N '，规定()101N N F N '+=． 例如：4536N =，①4536+=+，①4536是“和对称数”，()45365463453699101F +==．2346N =，①2346+≠+，①2346不是“和对称数”．(1)请判断2451、3972是不是“和对称数”，并说明理由．若是，请求出对应的()F N 的值．(2)已知A ，B 均为“和对称数”，其中100010746A a b =++，1002026B m n =++（其38a ≤≤，05b ≤≤，29m ≤≤，512n ≤≤，且均为整数），令()()32k F A F B =+，当k能被77整除时，求出所有符合条件的A 的值． 48．解决以下问题:(1)221x y ±++，的算术平方根是5，求2318x y -+的立方根； (2)的值互为相反数,求a b c 、、的值. 49．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A 品牌足球共花费2880元，B 品牌足球共花费2400元，且购买A 品牌足球数量是B 品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A 品牌比B 品牌便宜12元． (1)求去年A ，B 两种足球的售价；(2)今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A ，B 两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A 品牌比去年提高了5%，B 品牌比去年降低了10%，如果今年购买A ，B 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B 品牌足球?50．某生态柑橘园现有柑橘31吨，租用9辆A 和B 两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A 型货车的总费用500元，B 型货车的总费用480元，每辆B型货车的运费是每辆A型货车的运费的1.2倍．（1）每辆A型货车和B型货车的运费各多少元？（2）若每辆车满载时，租用1辆A型车和7辆B型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和B型车货各运多少吨？参考答案：1．D【分析】利用不等式的性质由已知条件可得到x+y＞0，从而得到正确选项．【详解】①3x＞﹣3y，①3x+3y＞0，①x+y＞0．故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质：应用不等式的性质应注意的问题，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．Ax->，即可求得x的取值范围．【分析】1x-大于0即10【详解】根据题意得：x->10x>解得：1故选A．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，把判断一个式子的值的取值范围的问题掌握不等式的问题，这是解本题的关键．3．B【分析】求出不等式的解集，表示出数轴上即可．【详解】解：不等式x+1＜2，解得：x＜1，如图所示：故选B．【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．A【详解】试题分析：本题考查了在数轴上表示不等式的解集：利用数轴表示不等式的解集体现了数形结合的思想．也考查了解一元一次不等式．先解不等式得到x≥﹣3，在数轴上表示为﹣3的右侧部分且含﹣3，这样易得到正确选项. 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 5．D【分析】把常数项-99移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方． 【详解】把方程x 2-2x -99=0的常数项移到等号的右边，得到x 2-2x =99 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2-2x +1=100 配方得（x -1）2=100． 故选D ．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6．D【分析】根据分式方程有增根可求出3x =，方程去分母后将3x =代入求解即可. 【详解】解：①分式方程43233m xx x +=+--有增根， ①3x =，去分母，得()4323m x x +=+-， 将3x =代入，得49m +=， 解得5m =． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 7．C【分析】此题是工程问题，它的等量关系是A 独做的加上A 、B 合做的是总工程的23，此题可以分段考虑，A 独做了5天，合作了（x -5）天，利用等量关系列方程即可解得． 【详解】设共需x 天． 根据题意得：5112(5)()1010153x +-+= 解得：x =6． 故选C ．8．A【分析】先解方程可得75x k=-，再根据关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数，可得51k -=±或57k -=±，从而可得答案． 【详解】解：①534x kx -=+， ①57x kx -=，即()57k x -=， 当50k -≠时， ①75x k=-， ①关于x 的方程534x kx -=+有整数解，k 为整数， ①51k -=±或57k -=±，解得：4k =或6k =或2k =-或12k =， ①()4621220++-+=，①满足条件的所有整数k 的和为20. 故选A ．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 9．B【分析】解不等式组，得到关于x 的解集，再找出符合x 取值范围的整数解即可． 【详解】解：解不等式3x −7≥2得：x ≥3， 解不等式3x −7＜8得：x ＜5， 即不等式组的解集为：3≤x ＜5，符合3≤x ＜5的x 的整数解为：3，4共2个， 故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法． 10．D【分析】根据等式的基本性质进行分析判断即可．【详解】解：A 选项中，“如果a b =，那么23a b +=+”是不成立的，故不能选A ； B 选项中，“如果a b =，那么23a b -=-”是不成立的，故不能选B ；C选项中，“如果2a a=，那么1a=”不一定成立，因为a的值可能为0，故不能选C；D选项中，“如果a bc c=，那么a b=”成立，故选D.故选：D.【点睛】本题考查等式的基本性质，熟记“等式的基本性质：（1）等式的两边都加上或者减去同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式”是解答本题的关键．11．B【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可求解．【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误；B、是一元一次方程，故本选项正确；C、不是等式，即不是一元一次方程，故本选项错误；D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．12．C【详解】解：设甲每小时骑行x公里，根据题意得：30252=-x x.故选C．13．D【详解】试题分析：一月份获利10万元，二月份获利10(1+x)万元，三月份获利10万元，然后根据一季度的总获利得出方程.考点：一元二次方程的应用14．D【分析】根据等式的性质求解即可．【详解】解：由图可知，2个球体的质量=5个圆柱的质量，2个正方体的质量=3个圆柱的质量，①6个球体的质量=15个圆柱的质量，10个正方体的质量=15个圆柱的质量，①6个球体的质量=10个正方体的质量，①3个球体的质量=5个正方体的质量，故选D ．【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 15．A【分析】先求出方程的解，再根据﹣3＜a ≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x ＋a ＝2，得：x ＝2-a ，①﹣3＜a ≤3，①﹣1≤2-a ＜5，即：﹣1≤x ＜5，故选A ．【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a 的代数式表示x ，是解题的关键．16．D【分析】根据等式的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：由题意可得，若a b =，则111a b b +=+>-，故A 选项错误不符合题意；若32a b =，则23a b =，故B 选项错误不符合题意； 若2a b -=，则2a b =+，故C 选项错误不符合题意；若44b a -=-，则a b =，故D 选项正确符合题意；故选D ．【点睛】本题考查等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数等式性质不变，等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数等式性质不变．17．C【分析】设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x ）场，根据总积分＝3×小比分获胜的场次数+2×大比分获胜场次数，即可得出关于x 的一元一次方程．【详解】解：设中国队以大比分3：2取胜的场次有x 场，则中国队以小比分3：1或3：0取胜的场次有（11﹣x）场，依题意，得：2x+3（11﹣x）＝32．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键. 18．A【分析】由①代入①、①消去x，解二元一次方程组得出y、z的数值，再进一步求得x的数值解决问题．【详解】10318x y zx yx y z++=⎧⎪+=⎨⎪=+⎩①②③，把①代入①得：y+z=5①，把①代入①得：4y+3z=18①，①×4–①得：z=2，把z=2代入①得：y=3，把y=3，z=2代入①得：x=5，则方程组的解为532xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选A．【点睛】此题考查三元一次方程组的解法，注意逐步消元是解决问题的关键．19．C【详解】试题分析：因为15÷4=3余3空瓶，所以可换3瓶喝完，还剩3+3=6空瓶，拿出4空瓶换一瓶，还剩3个空瓶子，找人借一个瓶子凑齐四个喝完还剩一个再把这个瓶子还给那个人，故最多可以喝五瓶矿泉水．故选C．考点：命题．20．C【分析】设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时；根据信息二提供的信息列出方程并解答；根据信息三得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间．【详解】解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则5x x -解得x ＝20．经检验x ＝20是原方程的根，且符合题意．①x =20是所列方程的解．①x -5=15．①甲的工作效率是120，乙的工作效率是115， 则丙的工作效率是110． ①一轮的工作量为：1111320151060++=． ①4轮后剩余的工作量为：52216015-=． ①还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：211115201560--=． ①丙还需要工作16小时． 故一共需要的时间是：3×4+2+16＝14 16小时． 故选：C ． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 21．2【分析】根据题意直接列一元一次不等式，并求解即可．【详解】解：设蛋白质的含量至少应为x 克，依题意得：0.4%500x ≥， 解得x ≥2，则蛋白质的含量至少应为2克．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 22．7 【分析】先解方程23252x x -+=-，得97x =，因为这个解也是方程72x b -=的解，根据方程的解的定义，把x 代入方程72x b -=中求出b 的值． 【详解】解：由23252x x -+=-，得2420(515),x x -=-+7所以可得97277b =⨯-= 故答案为：7．【点睛】本题考查了解一元一次方程和方程的解的定义，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．23．364y - 【详解】方程4x −3y +6=0，解得：x =364y -， 故答案为364y -． 24．0##1【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，即可得到答案．【详解】()212143x x x +>⎧⎪⎨-+>⎪⎩①② 解不等式①得：1x >-；解不等式①得：2x <；所以不等式组的解集为：12x -<<；则其整数解为0与1．故答案为：0（或1）．【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，正确并熟练地解一元一次不等式是解题的关键．25．m≤14【分析】一元二次方程有实数根，则①≥0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：由题意知，①＝1﹣4m≥0， ①m≤14， 故答案为m≤14． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，①≥0． 26．1k ≠【分析】根据一元二次方程的定义列式计算即可得解．【详解】①关于x 的方程()21410k x x ---=是一元二次方程，①10k -≠，①1k ≠，故答案为：1k ≠．【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．27．1【分析】根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：由题意得：342a a +=--， 去分母得，()342a a +=-- ,解得，1a =，经检验1a =是分式方程的解，故答案为：1【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．28．3＜x ＜6【详解】试题分析：根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得13-7＜ 1+2x ＜20，解得3＜x ＜6 .考点：三角形三边之间的关系点评：该题考查了三角形三边之间的关系，已知三角形的两边长，可以求第三边的范围，即两边之差＜第三边长＜两边之和.29．y=-2x+5【分析】把x 看做已知数求出y 即可．【详解】解：方程y+2x=5，解得：y=-2x+5．故答案为：y=-2x+5．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．30．0，3，4，5【分析】先解方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值．【详解】解：2630x myx y-=⎧⎨-=⎩①②由①得：x＝3y ①，把①代入①得：6y−my＝6，①y＝66-m，①x＝186-m，①方程组2630x myx y-=⎧⎨-=⎩的解是正整数，①6−m＞0，①m＜6，并且66-m和186-m是正整数，m是整数，①m的值为：0，3，4，5．故答案是：0，3，4，5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．31．185【分析】设每件服装标价为x元，再根据无论亏本或盈利，其成本价相同，列出方程，求出x的解，最后根据成本价=服装标价×折扣，即可得出答案．【详解】解：设每件服装标价为x元，根据题意得：0.5x+35=0.8x-55，解得：x=300．则每件服装标价为300元，成本价是：300×50%+35=185（元），故答案为：185．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．32．10°或130°【分析】根据A ∠与B ∠两边分别平行，由A ∠比B ∠的3倍少20°列方程求解即可得到答案．【详解】①A ∠比B ∠的3倍少20°，①A ∠=3B ∠- 20°，①A ∠与B ∠两边分别平行，①①A 与①B 相等或互补，①当A ∠=B ∠时，得到①A =3①A - 20°，①①A =10°；①当①A +①B =180°时，得到①A =3(180°-①A )-20°，①①A =130°，故答案为：10°或130°．【点睛】此题考查平行线的性质，解一元一次方程，能正确理解两边分别平行的两个角的关系是解题的关键．33． 17 54± 【分析】（1）令224n x y m xy +==，，将原方程组可化为关于m 、n 的二元一次方程组，进行求解即可；（2）先根据完全平方公式求出25x y +=±，再将112x y+通分进行计算即可． 【详解】（1）令224n x y m xy +==，，原方程组可化为3247236m n m n -=⎧⎨+=⎩， 解得172m n =⎧⎨=⎩， 即221724x y xy +==，，故答案为：17；（2）222(2)4178254x y x y xy +=+=+=+，25x y ∴+=±1125224x y x y xy +±∴+==，故答案为：54±． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，完全平方公式的变形，异分母分式相加等，熟练掌握知识点并运用整体代入法是解题的关键．34．823m -<< 【分析】先解出方程组的解，再根据解的情况列出关于m 的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：225234x y m x y m +=-⎧⎨-=-⎩①② ①+①得：x =-1-m ，将x =-1-m 代入①中，得：y =342m -， ①该方程组的解满足1x <，2y <， ①113422m m --<⎧⎪⎨-<⎪⎩， 解得：823m -<<． 故答案为：823m -<<． 【点睛】本题考查解二元一次方程组的应用、解一元一次不等式组，熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法，正确解出x 、y 值是解答的关键．35．①①①【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可．【详解】解：解不等式x ﹣1＞0得，x ＞1；解不等式x ﹣a ≤0得，x ≤a ，故不等式组的解集为：1＜x ≤a ．①①它的解集是1＜x ≤4，①a ＝4，故本小题正确；①①a ＝1，x ＞1，①不等式组无解，故本小题正确；①①它的整数解只有2，3，4，则4≤a ＜5，①4≤a ＜5，故本小题正确；①①它有解，①a ＞1，故本小题错误．故答案为：①①①．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键. 36．13k <<【分析】先求出方程组的解，根据题意得出关于k 的不等式组，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：解方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩得：13x k y k=-⎧⎨=-⎩， 关于x ，y 的二元一次方程组221x y x y k +=⎧⎨+=+⎩的解为正数， ∴1030k k ->⎧⎨->⎩， 解得：13k <<，故答案为：13k <<．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于k 的不等式组是解此题的关键．37．22x -≤<【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】解：23113x x -<⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x ＜2，解不等式①得，x ≥-2所以，不等式组的解集为：22x -≤<故答案为：22x -≤<．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）．38．±2．【分析】根据根的判别式求出△=0，求出a 2+b 2=2，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：①关于x 的方程x 2+2ax-b 2+2=0有两个相等的实数根，①①=（2a ）2-4×1×（-b 2+2）=0，即a 2+b 2=2，①常数a 与b 互为倒数，①ab=1，①（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=2+2×1=4，①a+b=±2，故答案为±2．【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a 2+b 2=2和ab=1是解此题的关键．39．5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【分析】此题中的等量关系有：①生产螺栓人数+生产螺母人数=56人；①每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，那么螺栓要想与螺母的数量配套，则螺栓数量的2倍=螺母数量．【详解】解：根据生产螺栓人数+生产螺母人数=56人，得方程x+y=56；根据螺栓数量的2倍=螺母数量，得方程2×16x=24y ．列方程组为：5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩故答案为5621624x y x y +=⎧⎨⨯=⎩【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，难点在于理解第二个等量关系：若要保证配套，则生产的螺母的数量是生产的螺栓数量的2倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2倍=螺母数量．40．1-或2【分析】根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，先把分式方程去分母化为整式方程，再通过使最简公分母不为0确定增根的可能值，将其代入整式方程即可算出m 的值.【详解】解：①2211x m x x x x x+-=++， ①()2221x m x -=+，①221m x x =--. ①2211x m x x x x x+-=++有增根， ①0x =或=1x -.当0x =时，2211m x x =--=-；当=1x -时，2212m x x =--=.①m 的值为1-或2.故答案为：1-或2【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；①化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 41．（1）x ＝5；（2）x ＝4．【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可;（2）去分母，然后移项，合并同类项，系数化成1即可.【详解】解：（1）移项合并得：5x ＝25，解得：x ＝5；（2）去分母得：2x +2﹣4＝8+2﹣x ，移项合并得：3x ＝12，解得：x ＝4．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键.42．13x = 【分析】观察可得最简公分母是（x +1）（x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：242111x x x ++=--- 整理，得：421(1)(1)1x x x x +-=-+-- 方程两边都乘以（x +1）（x ﹣1），得4﹣（x +1）（x +2）=﹣（x 2﹣1），整理，得，3x =1， 解得1x=3． 经检验，1x=3是原方程的根．①原方程的解是1x=3．【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程，结果要检验.43．（1）32x y =⎧⎨=-⎩；（2）34x y =⎧⎨=⎩． 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可．（2）去分母后，加减法消元解方程.【详解】解：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2得，4x﹣2y＝16①，①+①得，7x＝21，解得x＝3，把x＝3代入①得，2×3﹣y＝8，解得y＝﹣2，所以，方程组的解是32xy=⎧⎨=-⎩；（2）方程组可化为4324347x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②，①×4得，16x+12y＝96①，①×3得，9x﹣12y＝﹣21①，①+①得，25x＝75，解得x＝3，把x＝3代入①得，3×3﹣4y＝﹣7，解得y＝4，所以，方程组的解是34xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．44．在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【分析】盈利=总售价-总进价，应求出某商品的数量．总价明显，一定是根据单价来列等量关系．本题的关键描述语是：“单价贵了4元”；等量关系为：第一次的单价=第二次的单价-4．【详解】设商场第一次购进某商品x件，则第二次购进某商品2x件，根据题意得：8000017600042x x-＝．160000=176000-8x解这个方程得：x=2000．经检验：x=2000是原方程的根．商场利润：（2000+4000-150）×58+58×0.8×150-80000-176000=90260（元）．答：在这两笔生意中，商场共盈利90260元．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．45．（1）k＝10；（2）k＝1．【分析】（1）方程由两个相等的根，则△＝0；（2）有一个根是0，则两根之积为0．【详解】解：（1）△＝36﹣4（k-1）＝40-4k，①两根相等，①①＝0，即k＝10；（2）①有一根为0，①0∆≥，即10k≤，由根与系数的关系可得，k﹣1＝0，①k＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握是解题的关键．一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．46．（1）63xy=⎧⎨=-⎩；（2）13x-≤<【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】（1）解：20 346 x yx y+=⎧⎨+=⎩①②方程①可化为2x y=-①把①代入①，得解得y=-3把y=-3代入①，得x=()236-⨯-=所以原方程组的解为：63x y =⎧⎨=-⎩（2）53231204x x x +≥⎧⎪⎨--<⎪⎩①② 解不等式①得1x ≥-解不等式①得3x <所以不等式组的解集为13x -≤<将其在数轴上表示如下：【点睛】本题两个小题分别考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，根据相关题目要求按步骤求解是解题的关键47．(1)3972不是“和对称数”，2451是“和对称数”，理由见解析，()F N 值为66(2)A 的值为3746，4756，6776，5766，7786，8796【分析】（1）根据“和对称数”的定义，即可求解；（2）根据题意分别表示出()(),F A F B ，再由()()32k F A F B =+，k 能被77整除，并结合a ，m 的取值范围进行分类讨论，即可求解．【详解】（1）解：3972不是“和对称数”，①3924+≠，①3972不是“和对称数”．2451是“和对称数”，①2451+=+，。
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题-含答案
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案（有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了甲、乙两类玩具，其中甲类玩具的进价比乙类玩具的进价每个多5元，经调查：用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同．设甲类玩具的进价为x元/个，根据题意可列方程为（）A．10007505=-x xB．10007505=-x xC．10007505=+x xD．1000750+5=x x2．不等式组215840xx-≤⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．下列各式，是一元一次不等式的有()①4>1①232x-<4①12x<①4327x y-<-①16x+=A．4个B．3个C．2个D．1个4．小亮解方程组2212x yx y+=⎧⎨-=⎩▲，的解为5xy=⎧⎨=⎩☆，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和①，则这两个数分别为（）A．4和- 6B．- 6和4C．- 2和8D．8和– 2 5．方程2x2+6x+5=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法判断6．若关于x的一元二次方程220x x a+-=有两个相等的实数根，则a的取值为（）A．1a=B．1a=-C．4a=D．4a=-7．3020xx+>⎧⎨-≥⎩不等式组的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．8．甲、乙两人生产某种机器零件，甲每小时比乙多生产5个，甲生产120个所用的时间与乙生产90个所用的时间相等．设甲每小时生产x 个零件，根据题意，列出的方程是（ ） A ．120905x x =+ B ．120905x x=- C ．120905x x=+ D ．120905x x =- 9．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约2亿元，第三天票房收入约达到4亿元，设票房收入每天平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（ ） A ．22(1)4x += B ．()2124x +=C ．22(1)4x -=D ．()22212(1)4x x ++++=10．方程2320x x +-=的根的情况是 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定有没有实数根11．根据等式的性质，若等式m n =可以变形得到m a n b +=-，则a 、b 应满足的条件是（ ） A ．互为相反数B ．互为倒数C ．相等D ．0a =，0b ≠12．若223894614M x xy y x y =+++-﹣（x ，y 是实数），则M 的值一定是( )A ．0B ．负数C ．正数D ．整数13．一元二次方程x 2﹣ax ﹣2=0，根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实根 B ．有两个相等的实数根 C ．无法判断D ．无实数根14．下列等式变形正确的是（ ） A ．如果0.58x -=，那么4x =- B ．如果x y =，那么22x y -=- C ．如果mx my =，那么x y =D ．如果x y =，那么x y =15．若关于x 的一元二次方程2(3)410k x x -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．7k <B ．7k <，且3k ≠C ．7k ≤，且3k ≠D ．7k >16．已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b （a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b ，则s 的取值范围是（ ）A ．﹣5≤s≤﹣B ．﹣6＜s≤﹣C ．﹣6≤s≤﹣D ．﹣7＜s≤﹣17．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，3）M 1B ①x 轴于点B ．点C 是线段OB 上的点，连接AC ，点P 在线段AC 上且AP ＝PC ，函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时上k 的取值范围是（ ）A ．0＜k ≤3B ．3≤k ≤6C ．0≤k ≤6D ．6≤k ≤1218．已知两个多项式222A x x =++，222B x x =-+，以下结论中正确的个数有（ ）①若12A B +=，则2x =±；①若2A B ax bx ++-的值与x 的值无关，则2a b +=-； ①若|8||4|12A B A B --+-+=，则12x -≤≤；①若关于y 的方程2(1)2m y A B x -=+-的解为整数，则符合条件的非负整数m 有3个． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．下列解方程的过程中正确的是（ ） A ．将2﹣371745x x -+=去分母，得2﹣5（5x ﹣7）=﹣4（x+17）B ．由0.150.710.30.02x x--=，得10157032x x --=100 C ．40﹣5（3x ﹣7）=2（8x+2）去括号，得40﹣15x ﹣7=16x+4D ．﹣25 x=5，得x=﹣252二、填空题20．“x 的4倍与2的和是非负数”用不等式表示为__________________． 21．二元一次方程310x y +=的正整数解共有_________个． 22．已知2x|m|﹣2+3=9是关于x 的一元二次方程，则m=_____．23．已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x +m =0有实数根，则m 的取值范围是_______． 24．观察下列一组方程：①20x x -=；①2320x x -+=；①2560x x -+=；①27120x x -+=；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”，若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，则k 的值为____________．25．对于实数a 、b ，定义运算“①”如下：a ①b ＝a 2﹣ab ，例如：5①3＝52﹣5×3＝10．若（x +2）①（x ﹣3）＝25，则x 的值为 ___．26．已知不等式组232(1)1x x x x -<-⎧⎨->-⎩，x 是非负整数，则x 的值是________．27．已知关于x 的一元二次方程250x x m ++=的一个根是2，则m =___________． 28．已知方程2x ﹣a ＝8的解是x ＝2，则a ＝_____．29．高斯符号[]x 首次出现是在数学家高斯（C ．F. Gauss ）的数学著作《算术研究》一书中，对于任意有理数x ，通常用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.92=．给出如下结论：①[]33-=-；①[]2.92-=-；①[]0.90=；①[][]3.1 3.97+=．以上结论中，你认为正确的是_________（填序号）． 30．分式方程1233xx x-=---解得______． 31．已知关于x 的方程2x a +＝23x a++1的解与方程4x ﹣5＝3（x ﹣1）的解相同，则a 的值_____．32．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b 的比值为__．33．一套运动装标价200元，按标价的八折销售，则这套运动装的实际售价为________元．34．某商品标价28元，按九折出售，仍可获利20%，则该商品的进价为________元. 35．汛期来临之前，某地要对辖区内的4600米河堤进行加固．施工单位在加固800米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍，结果共用10天便完成了全部任务．请求出施工单位原来每天加固河堤多少米？设原来每天加固河堤x 米，根据题意可得方程_________________．36．某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为_____元．37．有一个两位数，其个位数字比十位数字大 2，且这个两位数大于 20 且小于 30，那么这个两位数是_____．38．已知方程组24x y ax y +⎧⎨+⎩＝＝和278x y x by --⎧⎨+⎩＝＝有相同的解，则ab ＝_____．39．已知关于x 的方程242x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为______．三、解答题 40．解方程：14211x x x++=-- 41．解下列一元二次方程： （1）22(1)18x -=； （2）22330x x ； （3）2230x x --=； （4）22340x x +-=． 42．解不等式：2123x x -≤-，把解集在数轴上表示出来． 43．（1）解方程组2=57320x y x y -⎧⎨-=⎩；（2）解不等式组21241x xx x >-⎧⎨+<-⎩．44．解方程组：45．某学校准备为“中国传统文化知识竞赛”购买奖品，已知在某商场购买3个甲种奖品和2个乙种奖品需要65元，购买4个甲种奖品和3个乙种奖品需要90元． (1)求甲、乙两种奖品的单价各是多少元；(2)该校计划购买甲、乙两种奖品共60个，且购买奖品的总费用不超过600元．恰逢该商场搞促销，所有商品一律八折销售，求该校在该商场最多能购买多少个甲种奖品． 46．某学习网站针对疫情停课不停学推出了套餐优惠服务：已知购买2个学习账号和1个错题伴印设备需要2700元，购买3个学习账号和2个错题伴印设备需要4800元．（1）求1个学习账号和1个错题伴印设备的单价各是多少元？（2）若某学习小组准备购买账号和错题伴印设备共45个，且要求伴印设备不低于账号数量的23，请问如何购买才能使得总费用最低，最低费用为多少？ 47．计算题（1）解不等式组31122(3)5x x x x -⎧+⎪⎨⎪--≥⎩（2）分式化简：2321(2)22a a a a a -++-÷++ 48．已知，关于的方程组3{25x y a x y a-=++= 的解满足．（1）求的取值范围．（2）化简．49．山地自行车越来越受中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车今年每辆销售价比去年降低400元，则今年销售5辆车与去年销售4辆车的销售金额相同．（1）求该车行今年和去年A型车每辆销售价各多少元？（2）该车行今年计划进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．若今年A型车进货价每辆1100元，B型车进货价每辆1600元、销售价每辆2200元．设进A型车a辆，这批车卖完后获得利润W元？应如何进货才能使这批车获得利润最多？参考答案：1．A【分析】设甲类玩具的进价为x元/个，根据用1000元购进甲类玩具的数量与用750元购进乙类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．【详解】解：设甲类玩具的进价为x元/个，则乙类玩具的进价为（x−5）元/个，由题意得，10007505=-x x，故选A．【点睛】本题考查的是列分式方程解应用题，找到等量关系是解决问题的关键．2．B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．【详解】解：215840xx-≤⎧⎨-<⎩①②，解不等式2x−1≤5，得：x≤3，解不等式8−4x＜0，得：x＞2，故不等式组的解集为：2＜x≤3，故选：B．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．3．D【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式；①是一元一次不等式；①未知数在分母上，不是一元一次不等式；①含有两个未知数，不是一元一次不等式；①是一元一次方程，不是一元一次不等式．故选D．【点睛】本题主要是对一元一次不等式定义的考查.4．D【分析】根据方程的解的定义，把x=5代入2x−y=12，求得y的值，进而求出▲的值，即可得到答案．【详解】解：①方程组2212x yx y+=⎧⎨-=⎩▲的解为5xy=⎧⎨=⎩☆，①把x=5代入2x−y=12，得：2×5−y=12，解得：y=-2，把x=5，y=-2代入2x+y=▲，得：2×5+(−2)=▲，即：▲=8，①这两个数分别为：8和﹣2．故选D．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解满足各个方程，是解题的关键．5．C【详解】解：①在方程2x2+6x+5=0中，①=62﹣4×2×5=﹣4＜0，①方程2x2+6x+5=0没有实数根，故选C．6．B【分析】根据方程有两个相等的实数根，可推出根的判别式240b ac-=，代入相应的系数即可解得a的取值．【详解】220x x a+-=有两个相等的实数根∴()22410a-⨯⨯-=解得：1a=-故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能根据方程有两个相等的实数根推出根的判别式等于零是解题的关键．7．C【分析】解出不等式组，根据解集即可选出正确的数轴．【详解】30 20 xx+>⎧⎨-≥⎩①②解：由①得：x >-3， 由①得：x ≤2故原不等式组得解集为：-3<x ≤2 故选：C【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组以及用数轴表示解集，熟练地掌握不等式的性质，正确地解出不等式组，能够正确地在数轴上表示不等式组的解集是解题的关键．注意：“≥、≤”在数轴上表示为实心圆点，“>、<”在数轴上表示为空心圆圈． 8．D【分析】设甲每小时生产x 个零件，根据题意列出分式方程式即可． 【详解】解：设甲每小时生产x 个零件，根据甲生产120个所用的时间与乙生产90个所用的时间相等， 可列方程120905x x =-， 故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确列出方程式是本题关键． 9．A【分析】第一天为2亿元，根据增长率为x 得出第二天为2（1+x ）亿元，第三天为2（1+x ）2亿元，根据“第三天票房收入约达到4亿元”，即可得出关于x 的一元二次方程． 【详解】设平均每天票房的增长率为x ， 根据题意得：22(1)4x +=． 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．A【分析】利用一元二次方程根的判别式进行判断． 【详解】解：方程2320x x +-=中，a=1，b=3，c=-2 ①22=4341(2)170b ac -=-⨯⨯-=> ①方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握2=40b ac ->方程有两个不相等的实数根，2=4=0b ac -方程有两个相等的实数根，2=4<0b ac -方程无实数根是解题关键． 11．A【分析】根据等式的基本性质得到a b =-，再根据相反数的定义解决此题．【详解】①m n =，①0-=m n ，且m a n b +=-，①a b =-，即0a b +=，①a 与b 互为相反数，故选：A【点睛】本题主要考查等式的基本性质、相反数，熟练掌握等式的基本性质、相反数的定义是解决本题的关键．12．C【分析】先将整式M 进行变形为（x ﹣2）2+（y +3）2+2（x ﹣2y ）2+1，然后根据二次方的非负性，即可得出答案．【详解】解：M ＝3x 2﹣8xy +9y 2﹣4x +6y +14＝（x 2﹣4x +4）+（y 2+6y +9）+2（x 2﹣4xy +4y 2）+1＝（x ﹣2）2+（y +3）2+2（x ﹣2y ）2+1①()220x -≥，()230y +≥，()220x y -≥，①（x ﹣2）2+（y +3）2+2（x ﹣2y ）2+1＞0，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，将整式M 变为（x ﹣2）2+（y +3）2+2（x ﹣2y ）2+1，是解题的关键．13．A【详解】：①=（-a ）2-4×1×（-2）=a 2+8＞0，①方程有两个不相等的实数根．故选A ．14．B【分析】分别利用等式的基本性质判断得出即可．【详解】解：A、如果-0.5x=8，那么x=-16，错误；B、如果x=y，那么x-2=y-2，正确；C、如果mx=my，当m=0时，x不一定等于y，错误；D、如果|x|=|y|，那么x=y或x=-y，错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握性质1、等式两边加减同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题关键．15．B【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0，然后解不等式组即可．【详解】解：根据题意得k-3≠0且Δ=42-4（k-3）×1＞0，解得k＜7且k≠3．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．B【详解】试题分析：由直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限可得a＜0，b≤0，又因直线y=ax+b（a≠0）经过点（2，﹣3），可得2a+b=—3，所以，b=—2a—3，因此 s=a+2b=a+2（—2a—3）=—3a—6，由a＜0可得s＞—6， s=a+2b=+2b=，由b≤0可得s≤—，所以s的取值范围是﹣6＜s≤﹣．故答案选B．考点：一次函数图象与系数的关系．17．B【分析】设C(c，0)（0≤c≤4），过P作PD①x轴于点D，由①PCD①①ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【详解】解：①点A的坐标为(4，3)，AB①x轴于点B，①OB=4，AB=3，设C(c，0)（0≤c≤4），过P作PD①x轴于点D，则BC=4-c，PD AB，OC=c，①①PCD①①ACB，①PD CD CPAB CB CA==①AP PC=，①1 342 PD CDc==-①PD=32，122CD c=-①OD=OC+CD=2+12c，①P(2+12c，32)，把P(2+12c，32)代入函数kyx=（x>0）中，得k=3+34c，①0≤c≤4，①3≤k≤6，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，解题关键是求出k关于c的解析式．18．C【分析】代入多项式列方程求解即可判断①；先代入多项式化简，再利用结果与x的值无关得到a、b的值，即可判断①；代入多项式列绝对值方程求解即可判断①；代入多项式，得到41ym=-，根据题意得到符合条件的非负整数m值，即可判断①．【详解】解：222A x x=++，222B x x=-+，①12A B+=，()22222212x x x x∴+++-+=，240x ∴-=，2x ∴=±，①正确；①()()()22222222224A B ax bx x x x x ax bx a x bx ++-=+++-++-=+-+，2A B ax bx ++-的值与x 的值无关，()224a x bx ∴+-+的值与x 的值无关，20a ∴+=，0b -=，2a ∴=-，0b =，2a b ∴+=-，①正确； ① ()2282222848A B x x x x x --=++--+-=-，()2242222444A B x x x x x -+=++--++=+，当1x <-时，()8444128x x x -+-=-，当12x -≤≤时，844412x x -++=，当2x >时，484484x x x -++=-，若|8||4|12A B A B --+-+=，即484412x x -++=，∴当12x -≤≤时，满足条件，①正确；①2(1)2m y A B x -=+-，()14m y ∴-=，41y m ∴=-， ∴若关于y 的方程2(1)2m y A B x -=+-的解为整数，则符合条件的非负整数m 有0、2、3、5，共4个，①错误，故结论中正确的是①①①，故选C ．【点睛】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，非负整数的概念，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题关键，注意0是非负整数．19．D【详解】试题解析：A. 方程两边同乘以20得，40-5（3x -7）=4（x +17）,所以本选项错误;B. 从左边看，方程应用的是分式的性质；从右边看，方程应用的是等式的性质2；故所得方程与原方程不是同解方程, 所以本选项错误;C. 去括号时漏乘常数项，且去括号未变号；所以本选项错误;D.计算正确.故选D.20．4x+2≥0【详解】由题意得，4x+2≥0.故答案为4x+2≥0.21．3【分析】由于二元一次方程x+3y=10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数y=1代入，算出对应的x的值，再把y=2代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果．【详解】解：①x+3y=10，①x=10-3y，①x、y都是正整数，①y=1时，x=7；y=2时，x=4；y=3时，x=1．①二元一次方程x+3y=10的正整数解共有3对．故答案为：3．【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．22．±4【分析】根据一元二次方程的定义解答即可.【详解】①2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，①|m|﹣2=2，解得m=±4.故答案为±4.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解决问题的关键.23．43m ≤ 【分析】一元二次方程有实数根，则2=40b ac ∆-≥，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解：①关于x 的一元二次方程3x 2+4x +m =0有实数根，22=44430b ac m ∆-=-⨯≥ ①43m ≤， 故答案为：43m ≤． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，2=40b ac ∆-≥．24．15-【分析】设方程的两根分别是1x 和11x +，根据一元二次方程根与系数关系可得()11156x x +=，可得方程的两根，继而根据一元二次方程根与系数关系即可得出k 的值；【详解】设方程的两根分别是1x 和11x +，根据一元二次方程根与系数关系可得：()11156x x +=，解得：17x =，118x +=，①11115x x k ++==-，①15k =-，故答案为：15-【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练解一元二次方程的方法以及一元二次方程根与系数关系．25．3【分析】根据新定义运算列出方程，故可求解．【详解】①a ①b ＝a 2﹣ab ，（x +2）①（x ﹣3）＝25，①（x +2）2-（x +2）（x ﹣3）=25，x 2+4x +4-（x 2-x -6）=25x 2+4x +4- x 2+x +6=255x =15x=3故答案为：3．【点睛】此题主要考查新定义运算与解方程，解题的关键是熟知整式的乘法运算与方程的求解．26．2【分析】求出不等式组的解集，确定出非负整数解即可．【详解】解：不等式组整理得：521xx⎧<⎪⎨⎪>⎩，解得：512x<<，由x为非负整数，得到2x=，则x的值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．27．14-【分析】先将x=2代入250x x m++=，然后求解关于m的方程即可．【详解】把2x=代入250x x m++=，得：22100m++=，①14m=-．故答案为：-14．【点睛】本题主要考查了方程的解以及解一元一次方程的解，理解方程的解成为解答本题的关键．28．-4【分析】把x=2代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：把x＝2代入方程得：4﹣a＝8，解得：a＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【分析】通过阅读知道[x]有两层意义，一是其值小于x ，二是其值为整数，根据这两点可以得到解答．【详解】解：由题意得：[-3]3≤-，且为整数，所以[-3]= -3，①正确；[-2.9] 2.9≤-，且为整数，所以[-2.9]= -3，①错误；[0.9]0.9≤ ，且为整数，所以[0.9]= 0，①正确；[3.1] 3.1≤ ，且为整数，所以[3.1]= 3；[3.9] 3.9≤ ，且为整数，所以[3.9]= 3，所以[3.1]+[3.9]=6，①错误．故答案为：①①．【点睛】本题考查阅读理解应用能力，在对材料内容进行归纳提取的基础上应用其方法解答是解题关键．30．5x =【分析】根据分式方程的求解步骤进行求解即可；【详解】解：方程两边同时乘以()3x -，得：()123x x =--，去括号、移项得：5x -=-，系数化为1得：5x =，经检验，当5x =时，30x -≠，故5x =是原方程的根，故答案为：5x =．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 31．8【分析】先求出第二个方程的解，把x ＝2代入第一个方程，求出方程的解即可．【详解】解方程4x ﹣5＝3（x ﹣1）得：x ＝2，把x ＝2代入方程2x a +＝23x a ++1中，可得：22a +＝43a ++1， 解得：a ＝8．故答案为8【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a 的方程是解此题的关键．【详解】解：①小正方形与大正方形的面积之比为1：13，①设大正方形的面积是13，①c2=13，①a2+b2=c2=13，①直角三角形的面积是1314-=3，又①直角三角形的面积是12ab=3，①ab=6，①（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，①a+b=5．则a、b是方程x2﹣5x+6=0的两个根，故b=3，a=2，①23ab=．故答案是：2：3．考点：勾股定理证明的应用33．160【详解】一套运动装标价200元，按标价的八折（即原价的80%）销售，则这套运动装的实际售价为200×80%=160元，故答案为：160．34．21【分析】根据题意得到方程28×0.9=（1+20%）x,求解即可.【详解】解：设该商品的进价为x元,依题意得,28×0.9=（1+20%）x解得：x=21故答案是21.【点睛】本题考查了一次方程的实际应用,属于简单题,找到等量关系,建立一元一次方程是解题关键.35．8004600800102x x-+=【详解】本题的等量关系是：加固800米用的时间+加固（4600-800）米用的时间=10. 所以可列方程为：8004600800102x x-+= 36．4050【分析】根据题意可知第一次降价为5000（1-10%）=4500,第二次降价为4500（1-10%）=4050.【详解】解：依题意得：5000（1-10%）2=4050.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉降价率的计算方法是解题关键.37．24【分析】设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为x +2，然后用含x 的代数式表示出这个两位数，根据这个两位数大于20且小于30即可列出关于x 的不等式组，解不等式组求出x 的范围后结合x 为正整数即可确定x 的值，进一步即可求得答案．【详解】解：设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为x +2，那么这个两位数为10x +x +2，根据题意得：20＜10x +x +2＜30，解得：18281111x <<． ①x 为正整数，①x =2，①10x +x +2=24，则这个两位数是24．故答案为：24．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，属于常考题型，正确理解题意、列出不等式组是解题关键．38．-1 【分析】根据方程组24x y ax y +⎧⎨+⎩＝＝和278x y x by --⎧⎨+⎩＝＝有相同的解，所以把2x y +＝和27x y --＝组成方程组求出 x 、y 的值，再把 x 、y 的值代入其他两个方程 4ax y +＝和8x by +＝即可求出a 、 b 的值，即可得答案．【详解】解：①方程组24x y ax y +⎧⎨+⎩＝＝和278x y x by --⎧⎨+⎩＝＝有相同的解，①方程组227x y x y +⎧⎨--⎩＝①＝②的解也是它们的解， ①× 2+①，得：2x +x = 4-7，解得：x =-1，把x = -1代入①，得：-1+y =2，解得：y =3，把x =-1， y =3代入4ax y +＝得：-a +3= 4解得：a = -1，把x =-1， y =3代入8x by +＝得：-1+3b =8，解得：b =3，①ab =（-1）3=-1，故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，做题的关键是熟练的解二元一次方程组．39．8m >-且4m ≠-【分析】先解分式方程用含有m 的代数式表示x ，再根据x ＞0，且x -2≠0，求出答案即可． 【详解】242x m x +=- 82m x +=因为方程的解是正数，且x -2≠0， 所以802m +＞，且8202m +-≠，解得m ＞-8，且m ≠-4．故答案为：m ＞-8，且m ≠-4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，注意：解分式方程时要保证分母不能是0． 40．x =-1【分析】去分母解整式方程，再代入最简公分母检验即可．【详解】解：去分母，得x +1-4=2（x -1）去括号，得x -3=2x -2解得x =-1，检验：当x =-1时x -10≠，①原分式方程的解为x =-1．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．41．（1）14x =，22x =-；（2）方程没有实数解；（3）13x =，21x =-；（4）134x -+=，2x = 【分析】（1）先变形为2(1)9x -=，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用判别式的意义判断方程没有实数解；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用求根公式法解方程．【详解】解：（1）22(1)18x -=可化为：2(1)9x -=，①13x -=±，①14x =，22x =-；（2）①2(3)423150，所以方程没有实数解；（3）2230x x --=可化为：(3)(1)0x x -+=，①30x -=或10x +=，①13x =，21x =-；（4）①2342(4)41， ①24341222b b ac x a①1x =2x = 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键．42．x≤2【分析】先将不等式左右两边同时扩大6倍，去掉分母；然后在按照解一元一次不等式的步骤进行求解【详解】左右两边同时扩大6倍得：3x≤6－2(x －2)去括号得：3x≤6－2x+4移项得：5x≤10解得：x≤2数轴上表示如下：【点睛】本题考查了解不等式,需要注意,不等式两边同乘除负数时，不等号要变号43．（1）55xy=⎧⎨=⎩；（2）x＞1．【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）先求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.【详解】解：（1）25 7320x yx y-=⎧⎨-=⎩①②，由①得：y＝2x﹣5①，把①代入①得：7x﹣3（2x﹣5）＝20，解得：x＝5，把x＝5代入①得：y＝5，方程组的解为55xy=⎧⎨=⎩；（2）21241x xx x>-⎧⎨+<-⎩①②，解不等式①，得：x13 >，解不等式①，得：x＞1，不等式组的解集为：x＞1．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.44．【详解】试题分析：用加减法解方程组，①×2+①求出x=2，代入①可求出y=3,．试题解析：解方程组：解：①×2得：③①+③得：把代入①得： 原方程组的解为考点：解二元一次方程组．45．(1)甲种奖品的单价为15元，乙种奖品的单价为10元(2)学校在商场最多能购买30个甲种奖品【分析】（1）设甲种奖品的单价为x 元，乙种奖品的单价为y 元，根据“购买3个甲种奖品和2个乙种奖品共需65元；购买4个甲种奖品和3个乙种奖品共需90元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设学校在商场可购买m 个甲种奖品，则可购买（60−m ）个乙种奖品，根据总价＝单价×数量，结合此次购买奖品的费用不超过600元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．(1)解：（1）设甲种奖品的单价为x 元，乙种奖品的单价为y 元，依题意得：32654390x y x y ⎧⎨⎩＋＝＋＝，解得：1510x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种奖品的单价为15元，乙种奖品的单价为10元；(2)解：设学校在商场可购买m 个甲种奖品，则可购买（60−m ）个乙种奖品，依题意得：15×0.8m ＋10×0.8（60−m ）≤600，解得：m ≤30，答：学校在商场最多能购买30个甲种奖品．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．46．（1）1个学习账号和1个错题半印设备的单价各是600元和1500元；（2）购买学习账号27个，伴印设备18个总费用最低，最低费用为43200元【分析】（1）本题有两个相等关系：购买2个学习账号的费用+1个错题伴印设备的费用=2700元，购买3个学习账号的费用+2个错题伴印设备的费用=4800元，据此设未知数列方程组解答即可；（2）设购买学习账号m 个，总费用为W 元，先根据题意列出W 与m 的一次函数关系式，然后由伴印设备不低于账号数量的23可得关于m 的不等式，解不等式即可求出m 的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设1个学习账号和1个错题伴印设备的单价各是x 元和y 元，依据题意得： 22700324800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：6001500x y =⎧⎨=⎩， 答：1个学习账号和1个错题伴印设备的单价各是600元和1500元．（2）设购买学习账号m 个，则购买伴印设备()45m -个，总费用为W 元，依据题意得：()60015004590067500W m m m =+-=-+， 由2453m m -≥，解得：27m ≤， 9000-<，∴W 随m 的增大而减小，①当m 取最大值27时，函数值W 最小，最小值为675002430043200-=，答：购买学习账号27个，伴印设备18个总费用最低，最低费用为43200元．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．47．（1）2≤x ＜3；（2）11a a +-. 【分析】（1）分别解得各不等式的解集，再求出两个不等式的公共解集即可.（2）根据分式的混合运算法则进行化简即可.【详解】（1）31122(3)5x x x x -⎧+>⎪⎨⎪--≥⎩由3112x x -+> 得：x ＜3 由2(3)5x x --≥ 得：x≥2①不等式组的解集为：2≤x ＜3（2）原式=23(2)(2)2·22(1)a a a a a a -++⎡⎤+⎢⎥++-⎣⎦ =22122(1)a a a a -++- =a+1a-1【点睛】本题考查解不等式，分式的混合运算，熟练掌握不等式的解法及分式的运算法则是解题关键.48．（1）a ＞2 （2）2【详解】试题分析：（1）解不等式得出用a 表示的x 与y ，然后根据x ＞y ＞0得到不等式组，求得不等式组的解集可求得a 的范围；（2）根据绝对值的意义直接由（1）的结论可求得结果．试题解析：解：（1）3{25x y a x y a -=++=①②由①+①得3x=6a+3解得x=2a+1，把x=2a+1代入①可得y=a-2由x ＞y ＞0可得2a+1＞a-2＞0解不等式可得a ＞-3且a ＞2所以a 的取值范围为a ＞2（2）由a ＞2可知=a-（a-2）=a-a+2=2．考点：二元一次方程组，不等式组，绝对值49．该车行今年A 型车每辆销售价1600元，去年每辆销售价2000元；（2）当进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．【详解】试题分析：（1）设今年A 型车每辆售价x 元，则去年售价每辆为y 元，根据题意建立方程组求出其解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60-a ）辆，获利W 元，由条件表示出W 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出W 的最大值．。
初二数学一次函数函数基础常考题与提高练习和与压轴难题(含解析)概要1
初二数学一次函数函数基础常考题与提高练习和与压轴难题(含解析)一．选择题（共15小题）1．下列各图能表示y是x的函数是（）A． B．C．D．2．在下列各图象中，y不是x函数的是（）A．B．C．D．3．下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（）A． B．C．D．4．下列四个关系式：（1）y=x；（2）y=x2；（3）y=x3；（4）|y|=x，其中y不是x 的函数的是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）5．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（）A．y=0.05x B．y=5x C．y=100x D．y=0.05x+1006．下列式子中y是x的函数的有几个？（）①y=l，②y=x2，③y2=x，④y=|x|，⑤y=，⑥y=2x．A．2 B．3 C．4 D．57．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A．水的温度B．太阳光强弱C．太阳照射时间D．热水器的容积8．如果每盒钢笔有10支，售价25元，那么购买钢笔的总钱数y（元）与支数x 之间的关系式为（）A．y=10x B．y=25x C．y=x D．y=x9．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=x+12 B．y=﹣2x+24 C．y=2x﹣24 D．y=x﹣1210．若等腰三角形的周长为60cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（）A．y=60﹣2x（0＜x＜60）B．y=60﹣2x（0＜x＜30）C．y=（60﹣x）（0＜x＜60）D．y=（60﹣x）（0＜x＜30）11．笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量．上述判断正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如表列出了一项实验的统计数据：y5080100150…x30455580…它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，能表示变量y 与x之间的关系式为（）A．y=2x﹣10 B．y=x2 C．y=x+25 D．y=x+513．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x （kg）间有下面的关系：x012345y1010.51111.51212.5下列说法不正确的是（）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0cmC．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cmD．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm14．当前，雾霾严重，治理雾霾方法之一是将已生产的PM2.5吸纳降解，研究表明：雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，在这个问题中，自变量是（）A．雾霾程度B．PM2.5C．雾霾D．城市中心区立体绿化面积15．下列说法正确的是（）A．若y＜2x，则y是x的函数B．正方形面积是周长的函数C．变量x，y满足y2=2x，y是x的函数D．温度是变量二．填空题（共9小题）16．汽车开始行使时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，则油箱内剩余油量y（升）与行使时间t（小时）的关系式为．17．已知方程x﹣3y=12，用含x的代数式表示y是．18．为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水．则一定正确的论断是．19．某地市话的收费标准为：（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.3元；（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算．在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为．20．如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（千米）随时间x（分）变化的图象．下面几个结论：①比赛开始24分钟时，两人第一次相遇．②这次比赛全程是10千米．③比赛开始38分钟时，两人第二次相遇．正确的结论为．21．小明画了一个边长为2cm的正方形，如果将正方形的边长增加xcm，那么面积的增加值y（cm2）与边长的增加值x（cm）之间的关系式为．22．如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店看一会儿书，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间（单位：小时），y表示小明离家的距离（单位：千米），则小明从学校回家的平均速度为千米∕小时．23．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A 停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是．24．如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=2．点Q与点P同时从点A出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿A→D→C→B的方向运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动，当P，Q两点相遇时，它们同时停止运动．设Q点运动的时间为x（秒），在整个运动过程中，当△APQ为直角三角形时，则相应的x 的值或取值范围是．三．解答题（共16小题）25．中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准时间/分12345…0.360.72 1.08 1.44 1.8…电话费/元（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？26．如图1，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D 路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：（1）求a、b、c的值；（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．27．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？28．如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t 之间的关系．根据图象回答下列问题：（1）甲和乙哪一个出发更早？早出发多长时间？（2）甲和乙哪一个更早到达B城，早多长时间？（3）乙出发大约用多长时间就追上甲？（4）描述一下甲的运动情况．（5）请你根据图象上的数据，分别求出乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度．29．为响应教育局组织的三热爱教育活动，某学校要给每位学生印制一份宣传资料，甲印刷厂提出：每份收0.1元印刷费，另收100元制版费；乙印刷厂提出：每份收0.2元印刷费，不收制版费．（1）分别写出两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式；（2）当印制多少份资料时，两个印刷厂费用一样多？（3）如果该校有800人，那么应选哪家印刷厂划算？30．陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学所用的路程与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）陈杰家到学校的距离是多少米？书店到学校的距离是多少米？（2）陈杰在书店停留了多少分钟？本次上学途中，陈杰一共行驶了多少米？（3）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米？（4）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？31．端午节小明来到奥体中心观看中超联赛第14轮重庆力帆主场迎战广州富力的比赛．进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票，同时，他爸爸从家里吃饭骑自行车以小明3倍的速度给小明送票，两人在途中相遇，相遇后爸爸立即骑自行车吧小明送回奥体中心．如图，线段AB、OB分别表示父子俩送票、取票过程中，离奥体中心的距离S（米）与所用时间t（分钟）之间关系的图象，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：（1）从图中可知，小明家离奥体中心米，爸爸在出发后分钟与小明相遇．（2）求出父亲与小明相遇时离奥体中心的距离？（3）小明能否在比赛开始之前赶回奥体中心？请计算说明．32．如图，△ABC底边BC上的高是6厘米，当三角形的定点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．1．在这个变化过程中，自变量是，因变量是．2．如果三角形的底边长为x（厘米），三角形的面积y（厘米2）可以表示为．3．当底边长从12厘米变到3厘米时，三角形的面积从厘米2到厘米2；当点C运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？33．一游泳池长90米，甲乙两人分别从两对边同时向所对的另一边游去，到达对边后，再返回，这样往复数次．图中的实线和虚线分别表示甲、乙与游泳池固定一边的距离随游泳时间变化的情况，请根据图形回答：（1）甲、乙两人分别游了几个来回？（2）甲、乙两人在整个游泳过程中，谁曾休息过？休息过几次？（3）甲游了多长时间？游泳的速度是多少？（4）在整个游泳过程中，甲、乙两人相遇了几次？34．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变化示意图．（1）从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？（2）汽车在点A的速度是多少？在点C呢？（3）司机在第28分钟开始匀速先行驶了4分钟，之后立即以减速行驶2分钟停止，请你在本图中补上从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．35．圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的体积V（cm3）随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积为V与高h之间的关系式？（3）当h由5cm变化到10cm时，V是怎样变化的？（4）当h=7cm时，v的值等于多少？36．如图，梯形ABCD上底的长是4，下底的长是x，高是6．（1）求梯形ABCD的面积y与下底长x之间的关系式；（2）用表格表示当x从10变到16时（每次增加1），y的相应值；（3）x每增加1时，y如何变化？说明你的理由．37．物体自由下落的高度h（米）和下落时间t（秒）的关系是：在地球上大约是h=4.9t2，在月球上大约是h=0.8t2，当h=20米时，（1）物体在地球上和在月球上自由下落的时间各是多少？（2）物体在哪里下落得快？38．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30）提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强；（4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？39．下表是达州某电器厂2014年上半年每个月的产量：x/月123456y/台100001000012000130001400018000（1）根据表格中的数据，你能否根据x的变化，得到y的变化趋势？（2）根据表格你知道哪几个月的月产量保持不变？哪几个月的月产量在匀速增长？哪个月的产量最高？（3）试求2014年前半年的平均月产量是多少？40．一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图1，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速爬完下列三条线路：（1）线段OA、（2）半圆弧AB、（3）线段BO后，回到出发点．蚂蚁离出发点的距离S（蚂蚁所在位置与O点之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，问：（1）请直接写出：花坛的半径是米，a=．（2）当t≤2时，求s与t之间的关系式；（3）若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2分钟，并知蚂蚁在吃食物的前后，始终保持爬行且爬行速度不变，请你求出：①蚂蚁停下来吃食物的地方，离出发点的距离．②蚂蚁返回O的时间．（注：圆周率π的值取3）初二数学一次函数函数基础常考题与提高练习和与压轴难题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2015春•唐山期末）下列各图能表示y是x的函数是（）A． B．C．D．【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y 不是x的函数，故A选项错误；B、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故B选项错误；C、对于x的每一个取值，y有时有两个确定的值与之对应，所以y不是x的函数，故C选项错误；D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，所以y是x的函数，故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．2．（2015春•荔城区期末）在下列各图象中，y不是x函数的是（）A．B．C．D．【分析】答题时知道函数的意义，然后作答．【解答】解：函数的一个变量不能对应两个函数值，故选C．【点评】本题主要考查函数的概念，基本知识要掌握，不是很难．3．（2016春•天津期末）下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（）A． B．C．D．【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件．故选C．【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．4．（2015春•宜春期末）下列四个关系式：（1）y=x；（2）y=x2；（3）y=x3；（4）|y|=x，其中y不是x的函数的是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定不是函数的个数．【解答】解：根据对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，（1）y=x，（2）y=x2，（3）y=x3满足函数的定义，y是x的函数，（4）|y|=x，当x取值时，y不是有唯一的值对应，y不是x的函数，故选：D．【点评】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x 叫自变量．5．（2015春•高密市期末）据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（）A．y=0.05x B．y=5x C．y=100x D．y=0.05x+100【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则x分钟可滴100×0.05x毫升，据此即可求解．【解答】解：y=100×0.05x，即y=5x．故选：B．【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键．6．（2014秋•阳谷县期末）下列式子中y是x的函数的有几个？（）①y=l，②y=x2，③y2=x，④y=|x|，⑤y=，⑥y=2x．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用函数的定义进而分析得出即可．【解答】解：①y=l，y不是x的函数；②y=x2，y是x的函数；③y2=x，y不是x的函数；④y=|x|，y是x的函数；⑤y=，y是x的函数；⑥y=2x，y是x的函数．故选：C．【点评】此题主要考查了函数的概念，正确把握函数的定义是解题关键．7．（2015春•烟台期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A．水的温度B．太阳光强弱C．太阳照射时间D．热水器的容积【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量．故选：A【点评】本题主要考查的是对函数的定义，关键是根据函数的定义对自变量和因变量的认识和理解．8．（2015春•重庆校级期末）如果每盒钢笔有10支，售价25元，那么购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式为（）A．y=10x B．y=25x C．y=x D．y=x【分析】首先根据单价=总价÷数量，用每盒钢笔的售价除以每盒钢笔的数量，求出每支钢笔的价格是多少；然后根据购买钢笔的总钱数=每支钢笔的价格×购买钢笔的支数，求出购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式即可．【解答】解：25÷10=所以购买钢笔的总钱数y（元）与支数x之间的关系式为：y=x．故选：D．【点评】此题主要考查了函数关系式的求法，以及单价、数量、总价的关系，要熟练掌握；解答此题的关键是根据单价=总价÷数量，求出每支钢笔的价格是多少．9．（2016春•乐亭县期末）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=x+12 B．y=﹣2x+24 C．y=2x﹣24 D．y=x﹣12【分析】根据题意可得2y+x=24，继而可得出y与x之间的函数关系式．【解答】解：由题意得：2y+x=24，故可得：y=﹣x+12（0＜x＜24）．故选：A．【点评】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式．10．（2014秋•章丘市校级期末）若等腰三角形的周长为60cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（）A．y=60﹣2x（0＜x＜60）B．y=60﹣2x（0＜x＜30）C．y=（60﹣x）（0＜x＜60）D．y=（60﹣x）（0＜x＜30）【分析】根据底边长+两腰长=周长，建立等量关系，变形即可，再根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围．【解答】解：依题意得x+2y=60，即y=（60﹣x）（0＜x＜30）．故选D．【点评】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出y与x的函数关系式是解题关键．11．（2013春•涟水县校级期末）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：①a是常量时，y是变量；②a是变量时，y是常量；③a是变量时，y也是变量；④a，y可以都是常量或都是变量．上述判断正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据题意列出函数解析式，再根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得答案．【解答】解：由题意得：y=3a，此问题中a、y都是变量，3是常量，或a，y都是常量，则③④，故选：B．【点评】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握变量和常量的定义．12．（2015春•泰山区期末）如表列出了一项实验的统计数据：y5080100150…x30455580…它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y与弹跳高度x的关系，能表示变量y 与x之间的关系式为（）A．y=2x﹣10 B．y=x2 C．y=x+25 D．y=x+5【分析】观察各选项可知y与x是一次函数关系，设函数关系式为y=kx+b，然后选择两组数据代入，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．【解答】解：根据题意，设函数关系式为y=kx+b，则解得：，则y=2x﹣10．故选：A．【点评】本题考查了函数关系式的求解，根据各选项判断出y与x是一次函数关系是解题的关键，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式也很重要．13．（2014春•雅安期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的重量x（kg）间有下面的关系：x012345y1010.51111.51212.5下列说法不正确的是（）A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0cmC．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cmD．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm；当不挂重物时，弹簧的长度为10cm，然后逐个分析四个选项，得出正确答案．【解答】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确；B、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故B选项错误；C、物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故C选项正确；D、由C知，y=10+0.5x，则当x=7时，y=13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故D选项正确；故选：B．【点评】本题考查了函数的概念，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，得出答案．14．（2014春•招远市期末）当前，雾霾严重，治理雾霾方法之一是将已生产的PM2.5吸纳降解，研究表明：雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，在这个问题中，自变量是（）A．雾霾程度B．PM2.5C．雾霾D．城市中心区立体绿化面积【分析】根据函数的关系，可得答案．【解答】解；雾霾的程度随城市中心区立体绿化面积的增大而减小，雾霾的程度是城市中心区立体绿化面积的函数，城市中心区立体绿化面积是自变量，故选：D．【点评】本题考查了常量与变量，函数与自变量的关系是解题关键．15．（2015秋•高密市期末）下列说法正确的是（）A．若y＜2x，则y是x的函数B．正方形面积是周长的函数C．变量x，y满足y2=2x，y是x的函数D．温度是变量【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断各选项．【解答】解：A、若y＜2x，则y是x的函数，不符合函数的定义，故本选项错误；B、设正方形的周长为L，面积为S，用L表示S的函数关系式为：S=L2，故本选项正确；C、变量x，y满足y2=2x，y是x的函数，不符合函数的定义，故本选项错误；D、在不同的情况下，温度不一定是变量，故本选项错误；故选B．【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．二．填空题（共9小题）16．（2016春•石城县期末）汽车开始行使时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，则油箱内剩余油量y（升）与行使时间t（小时）的关系式为y=﹣7t+55．【分析】剩油量=原有油量﹣工作时间内耗油量，把相关数值代入即可．【解答】解：∵每小时耗油7升，∵工作t小时内耗油量为7t，∵油箱中有油55升，∴剩余油量y=﹣7t+55，故答案为：y=﹣7t+55【点评】考查列一次函数关系式；得到剩油量的关系式是解决本题的关键．17．（2011春•攀枝花期末）已知方程x﹣3y=12，用含x的代数式表示y是y=x ﹣4．【分析】要用含x的代数式表示y，就要将二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数．先移项，再将系数化为1即可．【解答】解：移项得：﹣3y=12﹣x，系数化为1得：y=x﹣4．故答案为：y=x﹣4．【点评】考查了函数的表示方法，解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数当做已知数来处理．18．（2015秋•巴南区校级期末）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同）一个进水管和一个出水管的进出水速度如图1所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图2所示，并给出以下三个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水．则一定正确的论断是③．【分析】根据图象1可知进水速度小于出水速度，结合图2中特殊点的实际意义即可作出判断．【解答】解：①0点到1点既进水，也出水；②1点到4点同时打开两个管进水，和一只管出水；③4点到6点只进水，不出水．正确的只有③．故答案为：③．【点评】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．19．（2016春•酒泉期末）某地市话的收费标准为：（1）通话时间在3分钟以内（包括3分钟）话费0.3元；（2）通话时间超过3分钟时，超过部分的话费按每分钟0.11元计算．在一次通话中，如果通话时间超过3分钟，那么话费y（元）与通话时间x（分）之间的关系式为y=0.11x﹣0.03．【分析】话费=三分钟以内的基本话费0.3+超过3分钟的时间×0.11，把相关数值代入即可求解．【解答】解：超过3分钟的话费为0.11×（x﹣3），通话时间超过3分钟，。
九年级上册 专题03 二次函数与方程、不等式(知识点串讲)(教师版含解析)
专题03 二次函数与方程、不等式知识网络重难突破知识点一二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.【典例1】(2019•镇海区一模)若二次函数y＝ax2﹣2ax+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，0)，则方程ax2﹣2ax+c ＝0的解为()A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1【点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式训练】1．(2018秋•江汉区期中)如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围是()x…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1【点拨】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【解析】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．2．(2019•德城区一模)关于x的方程(x﹣3)(x﹣5)＝m(m＞0)有两个实数根α，β(α＜β)，则下列选项正确的是()A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜βC．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5【点拨】根据平移可知：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．【解析】解：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，画出函数图象，如图所示．∵抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)与x轴的交点坐标为(3，0)、(5，0)，抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m与x轴的交点坐标为(α，0)、(β，0)，∴α＜3＜5＜β．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．3．(2019秋•镇海区校级期中)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为﹣3，1．【点拨】根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．【解析】解：因为抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，所以关于x的方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为﹣3、1．【点睛】本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．知识点二二次函数与x轴交点情况对于二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.【典例2】下列二次函数的图象与x轴没有交点的是()A．y＝﹣3x2﹣4x B．y＝x2﹣3x﹣4 C．y＝x2﹣6x+9 D．y＝2x2+4x+5【点拨】分别计算四个选项中的判别式的值，然后根据判别式的意义确定抛物线与x轴的交点个数，从而可对各选项进行判断．【解析】解：A、△＝(﹣4)2﹣4×(﹣3)×0＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、△＝(﹣3)2﹣4×(﹣4)＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以B选项错误；C、△＝(﹣6)2﹣4×9＝0，此抛物线与x轴有1个交点，所以C选项错误；D、△＝42﹣4×2×5＜0，此抛物线与x轴没有交点，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数(△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点)．【变式训练】1．(2019秋•新昌县校级月考)二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴的交点有()A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，即可求解．【解析】解：△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，故二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴有两个交点，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查根的判别式，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点代表的意义．2．(2018秋•西湖区期末)一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点()A．(﹣3，0) B．(3，0) C．(﹣3，27) D．(3，27)【点拨】先把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得3b﹣c＝9，利用整体代入的方法计算出自变量为﹣3对应的函数值为27，从而可判断抛物线经过点(﹣3，27)．【解析】解：把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得9﹣3b+c＝0，则3b﹣c＝9，当x＝﹣3时，y＝2x2﹣bx﹣c＝18+3b﹣c＝18+9＝27，所以二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点(﹣3，27)．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．3．(2018秋•瑞安市期末)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝﹣1，若点A的坐标为(1，0)，则点B的坐标是()A．(﹣2，0) B．(0，﹣2) C．(0，﹣3) D．(﹣3，0)【点拨】利用点B与点A关于直线x＝﹣1对称确定B点坐标．【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为(1，0)，∴点B的坐标是(﹣3，0)．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．知识点三二次函数与不等式(组)1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.【典例4】(2019秋•新昌县校级月考)已知函数y1＝x2与函数y2＝x+3的图象大致如图所示，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是()A．＜x＜2 B．x＞2或x＜C．x＜﹣2或x＞D．﹣2＜x＜【点拨】联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，y1＜y2，此时直线在抛物线上方，即可求解．【解析】解：联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，∵y1＜y2，即直线在抛物线上方时，确定x的取值范围，此时，﹣2＜x，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组)，要求学生通过函数图象交点，比较函数值的大小，从而确定不等式的解值，而不是采取直接解不等式的方法求解．【变式训练】1．(2018秋•苍南县期中)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，则不等式ax2+bx+c＞2的解集为0＜x＜4．【点拨】直接利用二次函数图象利用A，B点坐标得出不等式ax2+bx+c＞2的解集．【解析】解：如图所示：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，∴不等式ax2+bx+c＞2的解集为：0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．2．(2018秋•下城区期末)已知函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过A(4，﹣4)．若y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．【点拨】先A点坐标代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，再求出m，则可判断二次函数图象的开口向上，易得函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，然后根据函数图象，写出直线不在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：把A(4，﹣4)代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，解得m＝﹣，∵﹣(m+1)＞0，∴二次函数图象的开口向上，∵函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，∴y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．故答案为x≤0或x≥4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．(2019秋•秀洲区期中)如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+3都经过点A、点B，且A(1，0)，(1)求m的值及点B的坐标；(2)求不等式x2+bx+3≥x+m的解集．(直接写出答案)【点拨】(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，同理解得：b＝﹣4，联立方程组即可求解；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【解析】解：(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，故直线的表达式为：y＝x﹣1…①；将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝1+b+3，解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…②，联立①②并解得：x＝1或4，故点B(4，3)；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．巩固训练1．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝ax2+bx+c如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则()A．k＞0 B．k＞﹣3 C．k＜﹣3 D．k＝0【点拨】结合函数图象，利用当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，从而可对各选项进行判断．【解析】解：抛物线y＝ax2+bx+c的顶点的纵坐标为﹣3，直线y＝﹣3与抛物线y＝ax2+bx+c＝0只有一个交点，当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，所以当k＞﹣3时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2．(2019春•安吉县期中)如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是()A．﹣5＜t≤4 B．3＜t≤4 C．﹣5＜t＜3 D．t＞﹣5【点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为(2，4)，再计算出当x＝1或3时，y＝3，结合函数图象，利用抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围．【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为(2，4)，当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点，∴3＜t≤4．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3．(2019•慈溪市模拟)已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，则b 的值为()A．4 B．2 C．6 D．9【点拨】根据抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．【解析】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，∴b＝a2+ma+n，b＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，∴a2+ma+n＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，化简，得a＝，∴b＝a2+ma+n＝()2+m×+m2＝4，故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．4．(2019•杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y ＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1【点拨】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解析】解：∵y＝(x+a)(x+b)，a≠b，∴函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，∵函数y＝(ax+1)(bx+1)＝abx2+(a+b)x+1，∴当ab≠0时，△＝(a+b)2﹣4ab＝(a﹣b)2＞0，函数y＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝(ax+1)(bx+1)＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．5．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，则不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3．【点拨】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解析】解：∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+(b﹣1)x+c＜0．∴不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3，故答案为1＜x＜3．【点睛】主要考查二次函数与不等式(组)，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．6．(2019•拱墅区校级模拟)已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2＝kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2，4)，B(8，2)(如图所示)则能使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．【点拨】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．【解析】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2．故答案为：﹣2＜x＜8．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．7．(2019•柯城区校级一模)如图，已知直线y1＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．过A，B两点的抛物线y2＝ax2+bx+c交x轴于点C(﹣1，0)．(1)求A，B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)求出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．【点拨】(1)利用一次函数的解析式确定A、B的坐标；(2)利用待定系数法求抛物线解析式；(3)写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围．【解析】解：(1)当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则B(0，2)；当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，则A(4，0)；(2)设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，把B(0，2)代入得a(0+1)(0﹣4)＝2，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣(x+1)(x﹣4)，即y＝﹣x2+x+2；(3)当y1＞y2时，x的取值范围为x＜0或x＞4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题和二次函数的性质．8．(2019春•西湖区校级月考)若二次函数y＝kx2+(3k+2)x+2k+2．(1)若抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求k的值；(2)求证：抛物线与x轴有交点．(3)经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点．(4)若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内请比较y1，y的大小．【点拨】(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，即可求解；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，即可求解；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，即可求解；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【解析】解：(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，解得：k＝﹣2；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，故：抛物线与x轴有交点；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，则定点为：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．。
数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)
数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)一．选择题（共9小题）1．已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x 的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜102．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a3．函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠34．关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个5．一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．6．下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线7．已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m8．如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或109．若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣二．填空题（共9小题）10．直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=．11．已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第象限．12．已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a 与b的大小关系是a b．（填“＞”“＜”或“=”）13．已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x的增大而减小，则m的值是．14．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为．15．已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是．16．如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C 为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是．17．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是．18．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD 沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=．三．解答题（共22小题）19．已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．20．如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、B（0，4），直线l经过点B，并且与直线AB垂直．点P在直线l上，且△ABP是等腰直角三角形．（1）求直线AB的解析式；（2）求点P的坐标；（3）点Q（a，b）在第二象限，且S=S△PAB．△QAB①用含a的代数式表示b；②若QA=QB，求点Q的坐标．22．某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时6吨，下图是从早晨上班开始库存量y（吨）与时间x（小时）的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有乙、丙车工作，BC段只有甲、乙工作．（1）甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？（2）甲车和丙车每小时各运输多少吨？（3）由于仓库接到临时通知，要求三车在8小时后同时开始工作，但丙车在运送10吨货物后出现故障而退出，问：8小时后，甲、乙两车又工作了几小时，使仓库的库存量为6吨．23．如图，直线l1的解析表达式为：y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求△ADC的面积；（2）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，则点P的坐标为；（3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（﹣5，1），B（﹣2，4），C（5，4），点D在第一象限．（1）写出D点的坐标；（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积．25．已知点A、B分别在x轴，y轴上，OA=OB，点C为AB的中点，AB=12（1）如图1，求点C的坐标；（2）如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF=45°，求证：EF2=OE2+AF2；（3）在条件（2）中，若点E的坐标为（3，0），求CF的长．26．如图1，点A的坐标是（﹣2，0），直线y=﹣x+4和x轴、y轴的交点分别为B、C点．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；并求当t等于多少时，S的值等于？②在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．27．如图，一次函数y=﹣x+6的图象分别与y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，当点P到达点A时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）点P在运动的过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P点坐标；（2）在（1）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当PQ+BQ的值最小时，求Q 点坐标；（3）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、D（﹣2，0），作直线AD 并以线段AD为一边向上作正方形ABCD．（1）填空：点B的坐标为，点C的坐标为．（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直至正方形的顶点C落在y轴上时停止运动．在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．29．有一根直尺，短边的长为2cm，长边的长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图②．设平移的长度为x cm，且满足0≤x≤10，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积（即图中阴影部分）为Scm2．（1）当x=0时，S=；当x=4时，S=；当x=10时，S=．（2）是否存在一个位置，使阴影部分的面积为11cm2？若存在，求出此时x的值．30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．△ABC的边BC在x轴上，A、C两点的坐标分别为A（0，m）、C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+=0，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求A、C两点的坐标；（2）连接PA，用含t的代数式表示△POA的面积；（3）当P在线段BO上运动时，是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标并求t的值；若不存在，请说明理由．31．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，将△AOC沿直线AC折叠，点O落在直线AD上的点E处，直线AD的解析式为，则（1）AO=；AD=；OC=；（2）动点P以每秒1个单位的速度从点B出发，沿着x轴正方向匀速运动，点Q是射线CE上的点，且∠PAQ=∠BAC，设P运动时间为t秒，求△POQ的面积S 与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE上是否存在一点Q，使以点Q、A、D、P为顶点的四边形是平等四边形？若存在，求出t值及Q点坐标；若不存在，说明理由．32．已知在平面直角坐标系中，A（a、o）、B（o、b）满足+|a﹣3|=0，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．（1）求a、b的值．（2）当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．（3）若∠OPD=45°，求点D的坐标．33．如图，▱ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求AB的长；（2）求CD的所在直线的函数关系式；（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P=，求此时点P的坐标．作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE34．在平面直角坐标系xoy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q 为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．（1）已知点A（﹣，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．35．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；②求四边形KLMN的面积的最大值．36．在平面直角坐标系中，已知A，B两点分别在x轴，y轴上，OA=OB=4，C在线段OA上，AC=3，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，直线AE交y轴于D．（1）求点D坐标．（2）动点P从点A出发，沿射线AO方向以每秒1个单位长度运动，设点P的运动时间为t秒，△POB的面积为y，求y与t之间的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．（3）在（2）问的条件下，当t=1，PB=5时，在y轴上是否存在一点Q，使△PBQ 为以PB为腰的等腰三角形？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，四边形OABC中，CB∥OA，∠OCB=90°，CB=1，OA=OC，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，直线过A点，且与y轴交于D点．（1）求出A、点B的坐标；（2）求证：AD=BO且AD⊥BO；（3）若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，一次函数y=﹣x+的图象与坐标轴分别交于点A和B两点，将△AOB沿直线CD折起，使点A与点B重合，直线CD交AB于点D．（1）求点C的坐标；（2）在射线DC上求一点P，使得PC=AC，求出点P的坐标；（3）在坐标平面内，是否存在点Q（除点C外），使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ACD全等？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理．39．已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B的横坐标恰好是方程x2﹣4=0的解，点C的纵坐标恰好是方程x2﹣4x+4=0的解，点P从C点出发沿y轴正方向以1个单位/秒的速度向上运动，连PA、PB，D为AC的中点．1）求直线BC的解析式；2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？3）如图2，若PA=AB，在第一象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠PQA=60°，问：当Q在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ的度数和是否会发生改变？若不变，请说明理由并求其值．40．方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（km），y与t 的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5h与乙相遇，…请你帮助方成同学解决以下问题：（1）分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式；（2）当20＜y＜30时，求t的取值范围；（3）分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象．数学初二一次函数提高练习与常考题和培优难题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016春•农安县月考）已知等腰三角形的周长为20cm，底边长为y（cm），腰长为x（cm），y与x的函数关系式为y=20﹣2x，那么自变量x的取值范围是（）A．x＞0 B．0＜x＜10 C．0＜x＜5 D．5＜x＜10【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得则0＜20﹣2x＜2x，由20﹣2x＞0，解得x＜10，由20﹣2x＜2x，解得x＞5，则5＜x＜10．故选D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的解法，正确列出不等式组是解题的关键．2．（2012秋•镇赉县校级月考）如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．【解答】解：∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则|k|越大，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】此题主要考查了正比例函数图象的性质，y=kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x 的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大．3．（2016春•重庆校级月考）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，解得：x≤2且x≠3，自变量的取值范围x≤2，故选A．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．（2016春•南京校级月考）关于函数y=﹣x﹣2的图象，有如下说法：①图象过点（0，﹣2）②图象与x轴的交点是（﹣2，0）③由图象可知y随x的增大而增大④图象不经过第一象限⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，其中正确说法有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．【解答】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）点，正确；②当y=0时，y=﹣x﹣2中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误；④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；⑤因为y=﹣x﹣2与y=﹣x的k值（斜率）相同，故两图象平行，正确．故选B．【点评】本题考查了一次函数的性质和图象上点的坐标特征，要注意：在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．5．（2016春•重庆校级月考）一辆慢车以50千米/小时的速度从甲地驶往乙地，一辆快车以75千米/小时的速度从乙地驶往甲地，甲、乙两地之间的距离为500千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（）A．B．C．D．【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．6．（2015春•浠水县校级月考）下列语句不正确的是（）A．所有的正比例函数肯定是一次函数B．一次函数的一般形式是y=kx+bC．正比例函数和一次函数的图象都是直线D．正比例函数的图象是一条过原点的直线【分析】分别利用一次函数和反比例函数的定义以及其性质分析得出即可．【解答】解：A、所有的正比例函数肯定是一次函数，正确，不合题意；B、一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0），故此选项错误，符合题意；C、正比例函数和一次函数的图象都是直线，正确，不合题意；D、正比例函数的图象是一条过原点的直线，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了一次函数和反比例函数的定义，正确把握其性质是解题关键．7．（2016春•无锡校级月考）已知x关于的一次函数y=mx+n的图象如上图，则|n﹣m|﹣可化简（）A．n B．n﹣2m C．m D．2n﹣m【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定m、n的符号，然后由绝对值、二次根式的化简运算法则解得即可．【解答】解：根据图示知，关于x的一次函数y=mx+n的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0；∴|n﹣m|﹣=n﹣m﹣（﹣m）+（n﹣m）=2n﹣m．故选D．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，绝对值的意义．一次函数y=kx+b（k≠0，b≠0）的图象，当k＜0，b＞0时，经过第一、二、四象限．8．（2015秋•盐城校级月考）如果一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，﹣1≤y≤7，则kb的值为（）A．10 B．21 C．﹣10或2 D．﹣2或10【分析】由一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【解答】解：由一次函数的性质知，当k＞0时，y随x的增大而增大，所以得，解得．即kb=10；当k＜0时，y随x的增大而减小，所以得，解得．即kb=﹣2．所以kb的值为﹣2或10．故选D．【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．9．（2015秋•西安校级月考）若函数y=（2m+1）x2+（1﹣2m）x+1（m为常数）是一次函数，则m的值为（）A．m B．m=C．m D．m=﹣【分析】根据一次函数的定义列出算式计算即可．【解答】解：由题意得，2m+1=0，解得，m=﹣，故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．二．填空题（共9小题）10．（2014春•邹平县校级月考）直线y=kx向下平移2个单位长度后恰好经过点（﹣4，10），则k=﹣3．【分析】根据一次函数与正比例函数的关系可得直线y=kx向下平移2个单位后得y=kx﹣2，然后把（﹣4，10）代入y=kx﹣2即可求出k的值．【解答】解：直线y=kx向下平移2个单位后所得解析式为y=kx﹣2，∵经过点（﹣4，10），∴10=﹣4k﹣2，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．11．（2016春•南京校级月考）已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．【分析】根据直线y=kx+b经过第一、二、四象限可以确定k、b的符号，则易求﹣b的符号，由﹣b，k的符号来求直线y=﹣bx+k所经过的象限．【解答】解：∵直线y=kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴﹣b＜0，∴直线y=﹣bx+k经过第二、三、四象限．故答案是：二、三、四．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．12．（2016春•大丰市校级月考）已知点A（﹣4，a）、B（﹣2，b）都在直线y=x+k（k为常数）上，则a与b的大小关系是a＜b．（填“＞”“＜”或“=”）【分析】先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据﹣4＜﹣2即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=x+k（k为常数）中，k=＞0，∴y随x的增大而增大，∵﹣4＜﹣2，∴a＜b．故答案为：＜．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．（2015春•建瓯市校级月考）已知正比例函数y=（1﹣m）x|m﹣2|，且y随x 的增大而减小，则m的值是3．【分析】先根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组，求出k取值范围，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出k的值．【解答】解：∵此函数是正比例函数，∴，解得m=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是正比例函数的定义及性质，根据正比例函数的定义列出关于k的不等式组是解答此题的关键．14．（2016春•天津校级月考）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．【分析】过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，先根据垂线段最短得出当点B与点D重合时线段AB最短，再根据直线OB的解析式为y=x得出△AOD是等腰直角三角形，故OE=OA=，由此可得出结论．【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，过点D作OE⊥x轴于点E，∵垂线段最短，∴当点B与点D重合时线段AB最短．∵直线OB的解析式为y=x，∴△AOD是等腰直角三角形，∴OE=OA=1，∴D（﹣，﹣）．故答案为：（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．（2015春•宜兴市校级月考）已知一次函数y=（﹣3a+1）x+a的图象上两点A （x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＞y2，且图象不经过第四象限，则a的取值范围是0≤a＜．【分析】根据y随x的增大而增大可得x的系数大于0，图象不经过第四象限，那么经过一三或一二三象限，那么此函数的常数项应为非负数．【解答】解：∵x1＞x2时，y1＞y2，∴﹣3a+1＞0，解得a＜，∵图象不经过第四象限，∴经过一三或一二三象限，∴a≥0，∴0≤a＜．故答案为：0≤a＜．【点评】考查了一次函数图象上的点的坐标的特点；得到函数图象可能经过的象限是解决本题的关键．16．（2015秋•靖江市校级月考）如图1，在等腰Rt△ABC中，D为斜边AC边上一点，以CD为直角边，点C为直角顶点，向外构造等腰Rt△CDE．动点P从点A出发，以1个单位/s的速度，沿着折线A﹣D﹣E运动．在运动过程中，△BCP 的面积S与运动时间t（s）的函数图象如图2所示，则BC的长是2．【分析】由函数的图象可知点P从点A运动到点D用了2秒，从而得到AD=2，当点P在DE上时，三角形的面积不变，故此DE=4，从而可求得DC=2，于是得到AC=2+2，从而可求得BC的长为2+．【解答】解：由函数图象可知：AD=1×2=2，DE=1×（6﹣2）=4．∵△DEC是等腰直角三角形，∴DC===2．∴AC=2+2．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC===．故答案为：．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由函数图象判断出AD、DE的长度是解题的关键．17．（2016春•盐城校级月考）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为a的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在同一条直线上，则点A2015的坐标是（a，a）．【分析】根据题意得出直线BB1的解析式为：y=x，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（a，0），AO∥A1B1，∠B1OC=60°，∴OC=a，CB1=OB1sin60°=a，∴B1的坐标为：（a，a），∴点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，∵B1（a，a），∴A1（a，a），∴A2（2a，a），…A n（a，）．∴A2015（a，a）．故答案为．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及数字变化类，得出A 点横纵坐标变化规律是解题关键．18．（2016春•泰兴市校级月考）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点坐标C（﹣1，0）、B（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位．当点A落在MN上时，则m=3．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2），∴点A的坐标为（﹣1，4），当y=4时，﹣x+5=4，解得x=2，∴点A向右移动2+1=3时，点A在MN上，∴m的值为3，故答案为3．【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单．三．解答题（共22小题）19．（2016春•武城县校级月考）已知：函数y=（m+1）x+2m﹣6（1）若函数图象过（﹣1，2），求此函数的解析式．（2）若函数图象与直线y=2x+5平行，求其函数的解析式．（3）求满足（2）条件的直线与直线y=﹣3x+1的交点．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6求出m的值即可得到一次函数解析式；（2）根据两直线平行的问题得到m+1=2，解出m=1，从而可确定一次函数解析式．（3）两直线的解析式联立方程，解方程即可求得．【解答】解：（1）把（﹣1，2）代入y=（m+1）x+2m﹣6得﹣（m+1）+2m﹣6=2，解得m=9，所以一次函数解析式为y=10x+12；（2）因为函数y=（m+1）x+2m﹣6的图象与直线y=2x+5平行，所以m+1=2，解得m=1，所以一次函数解析式为y=2x﹣4．（3）解得，∴两直线的交点为（1，﹣2）．【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．20．（2015秋•兴化市校级月考）如图，直线l1的函数关系式为，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A（4，0），B（﹣1，5），直线l1与l2相交于点C，（1）求直线l2的解析式；（2）求△ADC的面积；（3）在直线l2上存在一点F（不与C重合），使得△ADF和△ADC的面积相等，请求出F点的坐标；（4）在x轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最短？若存在请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；（3）△ADF和△ADC的面积相等，则F的纵坐标与C的总坐标一定互为相反数，代入l2的解析式即可求解；（4）求得C关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．【解答】解：（1）设l2的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y=﹣x+4；（2）在中令y=0，解得：x=﹣2，则D的坐标是（﹣2，0）．。
中考数学《方程与不等式》专题训练50题(含参考答案)
中考数学《方程与不等式》专题训练50题含参考答案一、单选题1．不等式组1036x x -<⎧⎨<⎩的解集是（ ）A ．无解B ．1x >C ．2x <D ．12x <<【答案】D【分析】分别解出两个不等式，取公共解集即可.【详解】解：1036x x -<⎧⎨<⎩①② 解①得：1x > ， 解①得：2x < ，故此不等式组的解集为：12x << 故选D.【点睛】此题考查的是解不等式组，掌握解不等式的一般步骤、不等式的基本性质和不等式组公共解集的取法是解决此题的关键.2．如果3m =3n ，那么下列等式不一定成立的是（ ） A ． m -3=n -3 B ．3m +3=3n +2 C ．5+m =5+n D ．3m -=3n -3．若()()221x ax x +--的展开式中不含x 的一次项，则a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】B【分析】先将多项式展开，然后令x 的系数为0，求出a 的值即可．【详解】解：()()221x ax x +--32222x x ax ax x =-+--+()()32122x a x a x =+-+-++，①()()221x ax x +--展开后不含x 的一次项，①20a +=， ①2a =-； 故选：B ．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 4．方程23x +＝11x -的解为( ) A ．x ＝3 B ．x ＝4C ．x ＝5D ．x ＝﹣5【答案】C【详解】方程两边同乘（x-1）(x+3)，得 x+3-2(x-1)=0， 解得：x=5，检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0， 所以x=5是原方程的解， 故选C.5．下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．（x －1）2＝x 2＋3x ＋2 C ．x 2＝x ＋1D ．2x 2－1x＋1=0【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析即可，一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程． 【详解】A. ax 2＋bx ＋c ＝0（0a ≠），故该选项不正确，不符合题意；6．若2x-1=15与kx-1=15的解相同，则k的值为（）A．8B．6C．-2D．2【答案】D【分析】先解2x-1=15求出x的值，再把求得的x的值代入kx-1=15，然后解关于k的方程即可求出k的值.【详解】①2x-1=15，①2x=16,①x=8.把x=8代入kx-1=15得8k-1=15,①k=2.故选D.【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；①去括号；①移项；①合并同类项；①未知数的系数化为1.7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．10080807644⨯-=B．2x-+=(100)7644x x【分析】利用平移的方法，平移后的剩余部分仍是矩形，且长与宽均减小x 米，从而由面积可列出方程．【详解】矩形场地上的两条路分别向上和向右平移后如图所示，则平移后剩余部分的长为(100-x )米，宽为(80-x )米，题意得：(100-x )(80-x )=7644 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是运用平移的思想，问题得以简化并得到解决．8．下列各组数中，是方程x+y=7的解的是（ ） A ．23x y =-⎧⎨=⎩B ．31x y =-⎧⎨=⎩C ．43x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=⎩【答案】C【分析】将四个答案逐一代入，能使方程成立的即为方程的解． 【详解】解：A 、2317-+=≠，故此选项不符合题意； B 、3127-+=-≠，故此选项不符合题意； C 、437+=，故此选项符合题意； D 、2357+=≠，故此选项不符合题意； 故选C ．【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解掌握方程的解的定义是解答关键． 9．若表格中每对，的值都是同一个二元一次方程的解，则这个方程为（ ）A ．53+=x yB ．5x y +=C ．20x y -=D ．35x y +=【分析】设方程为y=kx+b ，把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出方程．【详解】解：设方程为y=kx+b ，把（0，5）与（1，2）代入得：52b k b =⎧⎨+=⎩ 解得：53b k =⎧⎨=-⎩，①这个方程为y=-3x+5，即3x+y=5， 故选：D ．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．10．若0xy ≤x ，y 满足的条件是（ ）． A ．0x ≥，0y ≥ B ．0x ≥，0y ≤ C ．0x ≤，0y ≥ D ．0x ≤，0y ≤【答案】C【分析】根据二次根式有意义的条件得出20x y ≥，结合题意即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，20x y ≥， ①20x ≥， ①0y ≥， ①0xy ≤， ①0x ≤， 故选C ．【点睛】题目主要考查二次根式有意义的条件及不等式的性质，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．11．若a b <，则下列各式正确的是（ ） A ．22a b > B ．22a b ->-C ．34a b -<-D ．22a b> 【答案】B【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A 、①a ＜b ，①2a ＜2b ，故该选项不符合题意； B 、①a ＜b ，①-2a ＞-2b ，故该选项符合题意；12．下列说法：①a为任意有理数，a2+1总是正数；①方程x+2＝1x是一元一次方程；①若ab＞0，a+b＜0，则a＜0，b＜0；①代数式2,,23t a bb+都是整式；①若a2＝（﹣2）2，则a＝﹣2．其中错误的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个13．观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（）A．33x=-B．22301x+=+C．()32x xx+=+D．221x xx-+=-【答案】C【分析】根据解分式方程的步骤逐一解答即可选出正确选项.去分母化为整式方程，解14．用配方法解一元二次方程x 2+6x ﹣3＝0，原方程可变形为（ ） A ．（x +3）2＝9 B ．（x +3）2＝12 C ．（x +3）2＝15 D ．（x +3）2＝39【答案】B【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】解：①x 2+6x ＝3， ①x 2+6x +9＝3+9，即（x +3）2＝12， 故选：B ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题需要注意解题步骤的准确应用，选择配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为1，一次项系数是2的倍数15．已知关于x 、y 的二元一次方程()()23230m x m y m -+-+-=，当m 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ） A ．31x y =⎧⎨=-⎩B ．13x y =⎧⎨=-⎩C ．13x y =-⎧⎨=⎩D ．31x y =-⎧⎨=⎩【答案】D【分析】把原方程整理得：m （x +y +2）-（2x +3y +3）=0，根据“当m 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m 无关，得到关于x 和y 的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：原方程可整理得： m （x +y +2）-（2x +3y +3）=0，根据题意得：202330x y x y ++=⎧⎨++=⎩ 解得31x y =-⎧⎨=⎩．故选D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键． 16．利用求根公式求21562x x +=的根时，a ，b ，c 的值分别是（ ） A ．5，12，6 B ．5，6，12C ．5，﹣6，12D ．5，﹣6，﹣1217．如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜：规定：负一场积0分．观察后可知，柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是（ ）A ．18场 B ．19场C ．20场D ．21场【答案】B胜场次数x 场，根据胜场积分与平场积分的和=总积分列出方程，解方程即可． 【详解】解：设球队胜一场积m 分，平一场积n 分， 由题意得：2166920767m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得：31m n =⎧⎨=⎩，球队胜一场积3分，平一场积1分，设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x 场，则平（34-x -8）=（26-x ）场， 根据题意得：3x +（26-x ）=64， 解得：x =19，①柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是19， 故选：B ．【点睛】考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与平场的和．18．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶600km ．它们各自单独行驶并返回的最远距离是300km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．380km B ．400kmC ．450kmD ．500km【答案】B【分析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回 A 地时燃料用完，根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：如图，设行驶途中停下来的地点为C 地，AB xkm =，AC ykm =，根据题意，得226002600x y x y x +=⨯⎧⎨-+=⎩，解得400200x y =⎧⎨=⎩，①AB 的最大长度是400km ．【点睛】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键．19．关于x 的方程220ax +=是一元二次方程，则a 满足（ ） A ．a ＞0 B ．a =1C ．a ≥0D ．a ≠0【答案】A【详解】根据一元二次方程的定义，得000a a a ≠⎧⇒>⎨≥⎩ .故选A. 20．代数式22244619x xy y x -+++的最小值是（ ） A ．10 B ．9 C ．19 D ．11【答案】A【分析】把代数式22244619x xy y x -+++根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解即可．【详解】解：2222244619(3)(2)10x xy y x x x y -+++=++-+ ①22(3)0,(2)0x x y +≥-≥①代数式22244619x xy y x -+++的最小值是10． 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值，解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式．二、填空题21．含有____________的_________叫方程. 【答案】 未知数; 等式.【分析】方程是指含有未知数的等式.所以方程必须具备两个条件：（1）含有未知数（2）等式.【详解】解：根据方程的定义可知：含有未知数的等式是方程. 故答案为未知数；等式.【点睛】本题主要考查了方程的定义，熟记方程的定义是解题的关键.22．某童装店按每套88元的价格购进1000套童装，应缴纳的税费为销售额的10%，如果要获得不低于20000元的纯利润，则每套童装至少售价_____元．【分析】设每套童装的售价为x 元，根据利润＝销售收入﹣税费﹣进货成本结合利润不低于20000元，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】解：设每套童装的售价为x 元，依题意，得：1000x ﹣10%×1000x ﹣88×1000≥20000，解得：x ≥120．故答案为：120．【点睛】此题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到不等关系列式求解．23．如果方程1)k k x -（＋3＝0是关于x 的一元一次方程，那么k 的值是______． 【答案】-1【分析】根据一元一次方程的定义知|k |=1且未知数是系数k -1≠0，据此可以求得k 的值．【详解】解：①方程（k -1）x |k |+3=0是关于x 的一元一次方程，①|k |=1，且k -1≠0，解得，k =-1；故答案是：-1．【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和绝对值方程．一元一次方程的未知数的指数为1，且未知数的系数不为零．24．我县某一天的最高气温是11①，最低气温是零下4①，则当天我县气温t （①）应满足的不等式是 __________．【答案】﹣4≤t ≤11【分析】根据题意写出不等式即可．【详解】解：因为最低气温是零下4①，所以﹣4≤t ，最高气温是11①，t ≤11，则今天气温t （①）的范围是﹣4≤t ≤11．故答案是：﹣4≤t ≤11．【点睛】本题考查的是不等式的定义，不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式．25．已如m 是方程2350x x --=的一个根，则代数式262m m -的值为______．【答案】10-【分析】方程的根就是方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m 代入原方程即可求m 2-3m 的值，然后对原式进行变形代入计算．【详解】解：把x=m 代入方程2350x x --=可得：235m m -=①22622(3)2510=m m m m ---=-⨯=-；故答案为：-10．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m 2-3m 当成一个整体．利用了整体的思想．26．如果x －2y =1，那么用含x 的代数式表示y ，则y =______．27．对任意四个有理数 a ，b ，c ，d 定义新运算：,a b ad bc c d =-那么当43 77x x=-时，x =________．28．某种药品的说明书上注明：口服，每天30～60mg ，分2～3次服用．这种药品一次服用的剂量范围是_____mg～_____mg．【答案】1030【详解】试题分析：根据等量关系：一次服用剂量=每日用量÷每日服用次数，即可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式组求解即可．解：设这种药品一次服用的剂量为xmg当每日用量30mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小；当每日用量60mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大；根据依题意列出不等式组，解得所以这种药品一次服用的剂量范围是10mg～30mg．考点：一元一次不等式组的应用点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等关系，列出不等式求解．29．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为13xa<-，则a的取值范围是_____．30．如果不等式组112x mx m-≤⎧⎨+≥⎩无解，则不等式2x+2＜mx+m的解集是______．【答案】1x>-【详解】分析：首先根据不等式无解得出m的取值范围，然后根据不等式的解法得出不等式的解．详解：解不等式组可得：121x m x m ≤+⎧⎨≥-⎩，①不等式无解， ①2m －1＞m+1，解得：m ＞2，①2x －mx ＜m －2， 即(2－m)x ＜m －2， ①m ＞2， ①2－m ＜0， ①x ＞－1． 点睛：本题主要考查的是解不等式及不等式组的方法，属于中等难度的题型．理解不等式的解法是解题的关键．系数含参时，我们首先要判断系数的正负性，然后进行求解．如果在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，则不等符号需要改变． 31．已知关于x 的方程()344a x x a +-=-的解为2x =-，则=a ______．【答案】4【分析】将x=-2代入方程，然后解方程求得a 的值．【详解】解：①()344a x x a +-=-的解为2x =-，①()23424a a -+-=--，解得：4a =故答案为：4．【点睛】本题考查方程的解和解一元一次方程，掌握方程的解的概念及解一元一次方程的步骤，正确计算是解题关键．32．不等式2x-1>5的解集为______．【答案】x>3【详解】考点：解一元一次不等式．分析：先移项，再合并同类项，系数化为1即可．解：移项得，2x>5+1，合并同类项得，2x>6，系数化为1得，x>3．故答案为x>3．点评：本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 33．若关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1＝0有实数根，则a 的最大整数值为_____．【答案】4．【分析】由关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1＝0有实数根，则a ≠0，且①≥0，即①＝42﹣4a ＝16﹣4a ≥0，解不等式得到a 的取值范围，最后确定a 的最大整数值．【详解】解：①关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x +1＝0有实数根，①a ≠0，且①≥0，即①＝42﹣4a ＝16﹣4a ≥0，解得a ≤4，①a 的取值范围为a ≤4且a ≠0，所以a 的最大整数值为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式①＝b 2−4ac ．当①＞0，方程有两个不相等的实数根；当①＝0，方程有两个相等的实数根；当①＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和不等式的特殊解． 34．已知代数式4x -与3(2)x 的值相等，则x 的值为______．【答案】1x =【分析】根据题意列方程，然后进行解答即可得出x 的值．【详解】解：由题意，得4-x=3(2-x)解得x=1故答案为1x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程．关键在于根据题意列出方程．35．某水果店销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得300元．若该店第二天销售香蕉t 千克，则第三天销售香蕉____千克．（用含t 的代数式表示．）36．若x 1，x 2是方程x 2+x -1=0的两根，则（x 12+x 1-2）（x 22+x 2-2）的值为_______．【答案】1【分析】根据一元二次方程的定义得到2111x x +=，2221x x +=，代入计算即可．【详解】解：①x 1，x 2是方程x 2+x -1=0的两根，①21110x x +-=，22210x x +-=，①2111x x +=，2221x x +=，①()()22112222x x x x +-+-=()()1212--=1故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解体的关键是掌握方程的解能使方程等式两边成立．37．若实数m 、n 满足|m ﹣3|+0，且m 、n 恰好是Rt △ABC 的两条边长，则第三条边长为_______．5##5【分析】先由非负数的性质求出m ＝3，n ＝4，由于题中直角三角形的斜边不能确定，38．若方程(a-3)x |a|-1+2x-8=0是关于x 的一元二次方程，则a 的值是_____.【答案】-3【分析】根据一元二次方程的定义列方程求出a 的值即可.39．一种药品现在售价56.10元，比原来降低了15％，原售价为____元．【答案】66．【详解】试题分析：设这种药品的原售价为x 元，则比原来降低了15%后的售价为（1-15%）x 元，根据题意得（1-15%）x=56．1，解得x=66．故答案为66．考点：列一元一次方程解应用题．40．如果关于x 的方程22220x ax b +-+=有两个相等的实数根，且常数a 与b 互为负倒数，那么a b +=__________. 【答案】0【分析】根据根的判别式求出0⊿＝，得到222a b +=，再根据完全平方公式求出即可.【详解】关于x 的方程22220x ax b +-+=有两个相等的实数根，()()2224120a b ∴-⨯⨯-+=⊿＝，化简得：222a b +=常数a 与b 互为负倒数，即1ab =-()222222(1)0a b a b ab ∴+=++=+⨯-= 0a b ∴+=故答案为0【点睛】本题考查了根的判别式，得到等式222a b +=和1ab =-是解题的关键.三、解答题41．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的12，设南瓜种植面积的增长率为x ． (1)则今年南瓜的种植面积为________亩；今年南瓜亩产量为_______k g （用含x 的代数式表示）(2)今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．42．已知点P（2m﹣4，m+4），解答下列问题：(1)若点P在y轴上，则点P的坐标为______；(2)若点P的纵坐标比横坐标大7，求出点P坐标；(3)若点P在过A（2，3）点且与x轴平行的直线上，则AP的长为多少？【答案】(1)（0，6）(2)P点的坐标为（﹣2，5）(3)AP=8【分析】（1）让横坐标为0求得m的值，代入点P的坐标即可求解；（2）利用纵坐标-横坐标=7得m的值，代入点P的坐标即可求解；（3）利用纵坐标为3求得m的值，代入点P的坐标即可求解．（1）解：令2m-4=0，解得m=2，所以P点的坐标为（0，6），故答案为：（0，6）；（2）解：令m+4-（2m-4）=7，解得m=1，所以P点的坐标为（-2，5）；（3）解：①点P在过A（2，3）点且与x轴平行的直线上，①m+4=3，解得m=-1．①P点的坐标为（-6，3），①AP=2+6=8．【点睛】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．43．甲乙两个施工队在六安(六盘水——安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，若设甲队每天铺设x 米，乙队每天铺设y米.(1)依题意列出二元一次方程组;(2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？【答案】(1)100 56x yx y-=⎧⎨=⎩(2)甲施工队每天各铺设600米，乙施工队每天各铺设500米.【分析】（1）利用每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，得x-y=100；利用甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，得5x=6y，从而可得答案（2）解方程组即可得到答案．（1）解：设甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米，则10056x y x y -=⎧⎨=⎩ （2）10056x y x y -=⎧⎨=⎩解得：600500x y =⎧⎨=⎩答：甲施工队每天各铺设600米，乙施工队每天各铺设500米.44．解不等式：并把不等式的解集在数轴上表示出来：4-()314x +≥()528x ++2 【答案】x ≤0，数轴表示见解析【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：去分母，得：32-6（x +1）≥5（x +2）+16，去括号，得：32-6x -6≥5x +10+16，移项，得：-6x -5x ≥10+16-32+6，合并，得：-11x ≥0，系数化为1，得：x ≤0，将不等式的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 45．（1）用配方法解方程：21090x x -+=.（2）某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,求平均每次降价的百分率．【答案】（1）121,9x x ==；（2）平均每次降价的百分率为：20%．【详解】试题分析：(1)先配方,再进行开方,化简即可；（2）利用数量关系：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格,设出未知数,列方程解答即可．试题解析：（1）21090x x -+=210252590x x -+-+=()2516x -=54x -=±121,9x x ==；(2) 设这种商品平均每次降价的百分率为x,根据题意列方程得,125（1﹣x ）2=80,解得x 1=0.2=20%,x 2=﹣1.8（不合题意,舍去）；故平均每次降价的百分率为：20%．考点：1. 配方法解方程,2. 一元二次方程的应用．46．解下列方程或不等式组：（1）解方程：122134x x -+=- （2）解不等式组()2563212x x x ⎧+≥⎨->+⎩47．在某校园超市中买1支英雄牌钢笔和3本硬皮笔记本需要18元钱；买同样的钢笔2支和笔记本5本需要31元.（1）求每支英雄牌钢笔和每本硬皮笔记本的价格；（2）九年一班准备用班费购买48件上述价格的钢笔和笔记本．作为毕业联欢会的奖品，已知班费不少于200元，求最少可以买多少本笔记本？【答案】（1）每支英雄牌钢笔3元，每本硬皮笔记本5元；（2）至少可以购买28本笔记本【分析】（1）用二元一次方程解决问题的关键是找到两个合适的等量关系.本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱＋3本笔记本的价钱＝18,2支钢笔的价钱＋5本笔记本的价钱＝31，根据这两个等量关系可以列出方程组；（2）本问可以列一元一次不等式解决.用钢笔数＝48－笔记本数代入下列不等式关系：购买钢笔钱数＋购买笔记本钱数≤200，可以列出一元一次不等式，求解即可.【详解】解：（1）设每支英雄牌钢笔x 元，每本硬皮笔记本y 元由题意得3182531x y x y +=⎧⎨+=⎩解得35x y =⎧⎨=⎩答：每支英雄牌钢笔3元，每本硬皮笔记本5元（2）设可以购买a 本笔记本由题意得()3485200a a -+≥解得28a ≥答：至少可以购买28本笔记本【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题中的等量关系或不等关系：1支钢笔的价钱＋3本笔记本的价钱＝18,2支钢笔的价钱＋5本笔记本的价钱＝31，购买钢笔钱数＋购买笔记本钱数≤200.48．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款3000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元．请你根据上述信息，就这两个公司的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的题，并写出解题过程．【答案】问：甲、乙两公司各有多少名员工？；见解析；甲公司有30名员工，乙公司有25名员工【分析】问：甲、乙两公司各有多少名员工？设乙公司有x 名员工，则甲公司有1.2x 名员工，根据人均捐款钱数=捐款总钱数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：问：甲、乙两公司各有多少名员工？设乙公司有x 名员工，则甲公司有1.2x 名员工，49．列方程（组）或不等式（组）解应用题：（1）甲工人接到240个零件的任务，工作1小时后，因要提前完成任务，调来乙和甲合作，合做了5小时完成.已知甲每小时比乙少做4个，那么甲、乙每小时各做多少个？（2）某工厂准备购进A 、B 两种机器共20台用于生产零件，经调查2台A 型机器和1台B 型机器价格为18万元，1台A 型机器和2台B 型机器价格为21万元.①求一台A 型机器和一台B 型机器价格分别是多少万元？①已知1台A 型机器每月可加工零件400个，1台B 型机器每月可加工零件800个，经预算购买两种机器的价格不超过140万元，每月两种机器加工零件总数不低于12400个，那么有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？【答案】（1）甲每小时加工个20零件，乙每小时加工24个零件；（2）①A ，B 两种型号机器的单价分别为5万元和8万元；①有三种购买方案：方案一：购买A 型机器7台，B 型机器13台，方案二：购买A 型机器8台，B 型机器12台，方案三：购买A 型机器9台，B 型机器11台，方案三更省钱．【分析】（1）设甲每小时加工x 个零件，乙每小时加工y 个零件，利用乙每小时比甲多做4个，以及利用甲工作了1小时后，调来乙工人与甲合作了5小时完成，240个零件的任务得出等式方程求出即可；（2）①设A ，B 两种型号机器的单价分别为x 万元和y 万元，根据题意得方程组218221x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，解答即可； ①设购买A 型机器m 台，则购买B 型机器（20-m ）台，根据购买总价和生产数量列出不等式组求解即可．【详解】（1）设甲每小时加工x 个零件，乙每小时加工y 个零件，根据题意得：465240x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，50．解方程组：(1)2(1)61x yx y+-=⎧⎨=-⎩(2)3(1)51135x yy x-=+⎧⎪-⎨=+⎪⎩【答案】(1)56 xy=⎧⎨=⎩(2)57x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）用代入法求解即可；（2）用加减法求解即可．【详解】（1）解：()2161x y x y ⎧+-=⎨=-⎩①② ， 将①代入①得：6y =，把6y =代入①得5x =，①原方程组的解为56x y =⎧⎨=⎩； （2）解：整理得：383520x y x y -=⎧⎨-=-⎩①②， ①-①，得428y =，解得：7y =，把7y =代入①，得378x -=，解得：5x =，①方程组的解是57x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法或加减法解二元一次方程组是解题的关键．。
中考数学《方程与不等式》专题训练50题含答案
中考数学《方程与不等式》专题知识训练50题含答案 （有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．关于x ，y 的方程组24x my x y +=⎧⎨+=⎩的解是1x y =⎧⎨=⎩■，其中y 的值被■盖住了，但不影响求出m 的值，则m 的值是（ ） A ．12B ．12-C ．13D ．13-2．已知关于x 的方程290x a +-=的解是x ＝－2，则a 的值是（ ） A ．5 B ．－5C ．12D ．13【答案】D【分析】把方程的解2x =-代入方程290x a +-=可得到关于a 的方程，解关于a 的方程即可．【详解】解：∵2x =-是方程290x a +-=的解， ∵2(2)90a ⨯-+-=． 解得：13a =． 故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，正确得到新的方程是解题关键． 3．已知关于x 的方程(2x -m )(mx ＋1)＝(3x ＋1)(mx -1)有一个根是0，则它的另一个根和m 的值分别是( ) A ．3和1 B ．2和3C ．3和4D ．4和1【答案】A【分析】先根据方程有一根为0，代入方程求出m 的值，然后把m 的值代入方程解一元二次方程即可．【详解】解：关于x 的方程(2x -m )(mx ＋1)＝(3x ＋1)(mx -1)有一个根是0， ∵-m =-1， ∵m =1，把m =1代入方程得()()()()211311x x x x -+=+-， 整理得：230x x -=， 因式分解得()30x x -=， 解得x x 1203，，∵另一个为3x =，m =1， 故选A ．【点睛】本题考查方程的解，与解一元二次方程，掌握解方程的解概念，与一元二次方程的解法是关键．4．已知关于x 的一元二次方程：220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m > B ．1m < C ．m>2 D ．2m <【答案】B【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵方程220x x m -+=有两个不相等的实数根， ∵()2240m ∆=-->， 解得：1m <， 故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当方程有两个不相等的实数根时，0∆>”是解题的关键．5．甲乙两工程队共同参与一项筑路工程，规定x 天内完成任务.甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务，依题意列方程为（ ） A ．111104014x x x +=--+B ．111104014x x x +=++- C ．111104014x x x -=++- D ．111104014x x x +=-+-6．若（a ﹣b ）•（a ﹣b ）3•（a ﹣b ）m ＝（a ﹣b ）11，则m 的值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】先根据同底数幂的乘法法则把左侧化简，然后列出关于m 的方程求解即可． 【详解】∵(a ﹣b )•(a ﹣b )3•(a ﹣b )m ＝(a ﹣b )11， ∵(a ﹣b )m +4＝(a ﹣b )11， ∵ m +4＝11， 解得：m ＝7， 故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，以及一元一次方程的解法，根据题意列出一元一次方程是解答本题的关键．7．若m 是关于x 的方程2420x nx m ++=的根()0m ≠，则4m n +的值为（ ） A ．-1 B ．1C ．-2D ．2【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义代入即可求解，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．【详解】m 是关于x 的方程2420x nx m ++=的根()0m ≠， ∴2420m mn m ++=，0m ≠，420m n ∴++=，即42m n +=-， 故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，将方程的解代入求解是解题的关键． 8．方程3214x y +=在自然数范围内的解共有_____个 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据二元一次方程3x+2y=14，可知在自然数范围内的解有哪几组，从而可以解答本题．【详解】解：二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解是：24x y =⎧⎨=⎩，41x y =⎧⎨=⎩，7x y =⎧⎨=⎩， 即二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解的个数是3个． 故选C ．【点睛】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是明确什么是自然数，可以根据题意找到二元一次方程3x+2y=14在自然数范围内的解有哪几组．9．从正方形的铁片上，截去2cm 宽的一个长方形，余下的面积是248cm ，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A ．281cm B ．264cmC ．254cmD ．252cm【答案】B【分析】可设正方形的边长是x cm ，根据余下的面积是248cm ，余下的图形是一个矩形,矩形的长是正方形的边长，宽是x -2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解. 【详解】解：设正方形的边长是x cm ， 根据题意得()248x x -=， 解得16x =-（舍去），28x =， ∵原正方形铁片的面积是8×8=64cm². 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键，解题过程中要注意根据实际意义进行值的取舍．10．已知x ＝3t ＋1，y ＝2t －1，用含x 的式子表示y ，其结果是( ) A ．13x y -= B ．12y x += C ．253x y -=D ．213x y --=11．方程247236x x ---=-去分母得（ ） A ．22(24)(7)x x --=-- B ．122(24)7x x --=-- C ．12(24)(7)x x --=-- D ．122(24)(7)x x --=--122247,x x 从而可得答案．122247,x x【点睛】本题考查的是解一元一次方程的步骤，去分母，掌握12．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．3x 2+2x﹣1=0B ．5x 2﹣6y ﹣3=0C ．ax 2﹣x +2=0D ．3x 2﹣2x ﹣1=0【答案】D【详解】解：A 、是分式方程，故A 错误； B 、是二元二次方程，故B 错误； C 、a =0时，是一元一次方程，故C 错误； D 、是一元二次方程，故D 正确； 故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的识别，熟知一元二次方程的定义是解题的关键. 13．一元二次方程()371x x x +=-化为一般形式为（ ） A ．2470x x --= B ．2270x x --=C ．2470x x -+=D ．2270x x -+=【答案】A【分析】根据一元二次方程的一般形式判断即可． 【详解】解：∵()371x x x +=-， ∵237x x x +-=， ∵2370x x x ---=， ∵2470x x --=，一元二次方程()371x x x +=-化为一般形式为：2470x x --=，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．14．不等式364x x -+≤-的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先移项、合并同类项、未知数系数化1解不等式，再在数轴上表示解集即可．【详解】解：364x x -+≤-346x x -+≤-22-≤-x1x ≥，在数轴上表示为：，故选：A ．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤：∵去分母；∵去括号；∵移项；∵合并同类项；∵化系数为1．15．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x ，下面所列方程正确的是（ ） A ．()2500014050x += B ．()2405015000x += C ．()2500014050x -= D ．()2405015000x -=【答案】C【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x ，根据题意得：()25000-x =40501 故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.16．将二次三项式267x x ++进行配方，正确的结果应为（ ） A ．2(3)2x ++ B ．2(3)2x -+ C ．2(3)2x +- D ．2(3)2x --【答案】C【分析】x 2+6x+7中x 2+6x+9即是（x+3）2，因而x 2+6x+7=（x+3）2-2 【详解】解：∵x 2+6x+7=x 2+6x+9-9+7， x 2+6x+7=（x+3）2-2． 故选C ．【点睛】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1． 17．已知2x =是关于x 的方程()112a x a x +=+的解，则a 的值是（ ）A．15B．25C．35D．4518．若一元二次方程式241211470x x+-=的两根为a、b，且a b>，则3a b+之值为何？（）A．22B．28C．34D．4019．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k≠0B．k≥﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0【答案】C【分析】根据二元一次方程的根的判别式列出不等式进行求解即可.【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，∵0k 0∆⎧⎨≠⎩，即4400k k +⎧⎨≠⎩，解得：k ≥﹣1且k ≠0． 故答案为C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于：∵当∵=0时，方程有两个相等的实数根；∵当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；∵当∵＜0时，方程没有实数根. 20．若关于x 的方程244x ax x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2 C ．0 D ．4二、填空题21．不等式﹣3x ＞6的解是_______． 【答案】x ＜﹣2【分析】系数化为1并根据不等式的性质：∵不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；∵不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；∵不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行解答即可．【详解】解：系数化为1得：x ＜﹣2， 故答案是：x ＜﹣2．【点睛】本题主要考查不等式的性质，根据不等式的性质转换不等式的符号是解题的关键．22．方程2150b ax x -+=是关于x 的一元一次方程，则2a b +=____________． 【答案】2【详解】根据一元一次方程的定义可知x 的次数为1， 则ax 2=0且b-1=1，即a=0且b=2, 则2a+b=2×0+2=2. 故答案为2.23．某种商品原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是______． 【答案】10%【分析】设降价百分率为x ，根据售价从原来每件40元经两次降价后降至每件32.4元，可列方程求解．【详解】解：设降价百分率为x ， 列方程：40（1﹣x ）2＝32.4．解得x 1＝0.1，x 2＝1.9（不合题意舍去）． 故答案为：10%．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，根据题意列出方程是解题的关键．24．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为2600m 的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m ，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括篱笆）．则这个茶园的AB 的长为_________．【答案】20m【分析】设茶园垂直于墙的一边长AB 为m x 时，则另一边BC 的长度为691)m (2x +-，根据茶园的面积为2600m ，列出方程并解答即可．【详解】解：设茶园垂直于墙的一边长AB 为m x 时，则另一边BC 的长度为691)m (2x +-，根据题意，得：()6912600x x +-=，整理，得：2353000x x -+=，解得115x =，220x =，当15x =时，70240>35x -=，不符合题意舍去；当=20x 时，70230x -=，符合题意，故这个茶园的AB 为20m ．故答案为：20m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 25．甲、乙二人分别从相距20km 的A ，B 两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是x km/h ，乙的速度是y km/h ，根据题意所列的方程组是______，1.5x y +=______．【答案】 ()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩11 【分析】设甲的速度是x km/h ，乙的速度是y km/h ，根据路程=速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，两式相加即可得解．【详解】解：设甲的速度是x km/h ，乙的速度是y km/h ，依题意，得：()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩， 两式相加得：1.511x y +=，故答案为：()20.52201120x y x y ⎧++=⎨++=⎩，11． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．26．关于x 的方程（m +5）x 2﹣2mx ﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m 的取值范围是___． 【答案】m ≠﹣5【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，其中二次项系数不为0，可得m 的取值范围．【详解】解：因为（m +5）x 2﹣2mx ﹣4＝0是关于x 的一元二次方程，所以m +5≠0，解得：m ≠﹣5，故答案为：m ≠﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．27．对于x ，y 定义一种新运算“* ”，xy ax by =+，其中a ，b 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3515*=，4728*=，则11*的值为______． 【答案】11- 【分析】根据3515*=，4728*=列出二元一次方程组35154728a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，求得a 、b ，再根据新运算的定义求解即可．【详解】解：根据题中的新定义化简得：35154728a b a b +=⎧⎨+=⎩①②， ∵4⨯-∵3⨯得：24b -=-，解得：24b =，把24b =代入∵得：35a =-，则1111a b *=+=-．故答案为：11-．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的求解，理解题意列出二元一次方程组和加减法解二元一次方程组是解决此题的关键．28．若213111x M N x x x -=+-+-则M =_______ ，N =_______ ．∵31M N N M +=-⎧⎨-=⎩， 解得：21M N =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：-2，-1．【点睛】本题考查分式的混合运算，解二元一次方程组．掌握分式的混合运算法则是解题关键．29．若2m ＋1 的值同时大于 3m －2和 m+2的值，且m 为整数，则 3m －5 =____． 【答案】1【分析】先根据题意列出不等式组求出m ，再求出代数式的值．【详解】依题意得2132212m m m m +-⎧⎨++⎩＞＞ 解得31m m ⎧⎨⎩＜＞ ∵m 为整数，∵m=2∵3m -5=6-5=1故答案为：1．【点睛】此题主要考查不等式组的应用，解题的关键是根据题意求出m 的值．30．不等式组11327x x x -≥+⎧⎨-<⎩的解集是______． 【答案】20x -<≤【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可．【详解】解：11327x x x -≥+⎧⎨-<⎩①② 解不等式∵得，0x ≤，解不等式∵得，2x >-，则原不等式组的解集为：20x -<≤．故答案为：20x -<≤．【点睛】本题考查了解不等式组，要掌握解不等式组的步骤和方法是解题的关键． 31．如图，一块长为m a 宽为m b 的长方形土地的周长为16m ，面积为215m ．现将该长方形土地的长、宽都增加2m ，则扩建后的长方形土地的面积是____________．【答案】35m 2【分析】根据题意列出关于a ，b 的方程，用含有a 的式子表示b ，可得关于a 的一元二次方程，求出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】根据题意，得2()1615a b ab +=⎧⎨=⎩①②， 由∵得8b a =-∵，将∵代入∵，得(8)15a a -=，即28150a a -+=， 解得5a =或3a =（舍），将5a =代入∵，得3b =.长和宽都增加2m ，得7m ，5m ，所以扩建后的长方形土地的面积是7×5=35（cm 2）．故答案为：35 cm 2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键． 32．熊大、熊二发现光头强在距离它们300米处伐木，熊二便匀速跑过去阻止，2分钟后熊大以熊二1.2倍速度跑过去，结果它们同时到达，如果设熊二的速度为x 米/分钟，那么可列方程为_________________．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．33．已知A ∠是ABC 的一个内角，并且方程24sin 102A x x -+=1，则A ∠=______．【答案】90︒##90度 sin 12A x +=)1sin 102A +=， 34．已知355x y a b +-和7332y x a b -是同类项，则x +y 的值是______． 【详解】-35．已知2x =是不等式ax-3a+2≥0的解，且1x =不是这个不等式的解，那么a 的取值范围是__________．【答案】12a <≤【分析】根据x=2是不等式ax-3a+2≥0的解，且x=1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．【详解】解：∵x=2是不等式ax-3a+2≥0的解，∵2-a≥0，解得：a≤2，∵x=1不是这个不等式的解，∵1-a＜0，解得：a>1，∵1＜a≤2，故答案为：1≤a≤2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．36．规定11a ba b⊕=+，若232(1)(1)1xx xx++⊕-=-，则x的值是_____．37．阅读下面计算113⨯+135⨯+157⨯+…+1911⨯的过程，然后填空．解：∵113⨯=12（11-13），135⨯=12（13-15），…，1911⨯=12（19-111），∴113⨯+135⨯+157⨯+…+1911⨯=12（11-13）+12（13-15）+12（15-17）+…+12（19-111）=12（11-13+13-15+15-17+…+19-111）=12（11-111）=5 11．以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：（1）124⨯+146⨯=______；（2）当113⨯+135⨯+157⨯+ (x)613时，最后一项x=______．38．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程方程为________．39．已知点C、D是线段AB上两点（不与端点A、B重合），点A、B、C、D四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长度为__________________ .【答案】8或9【分析】根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根据所有线段的和为29可得关于AB、CD的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD利用二元一次方程的解的概念进行求解即可.【详解】如图，图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29，∵AC+CD+DB=AB，AD=AC+CD，BC=CD+DB，∵3AB+CD=29，又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ，∵AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，即AB的长度为8或9，故答案为：8或9.【点睛】本题考查了线段的和差，二元一次方程的正整数解等知识，正确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.三、解答题40．解不等式组()101432x x ->⎧⎪⎨+<⎪⎩．41．某商场某型号的计算机2018年销售量为2880台，2020年受疫情影响，年销售量下降为2000台，求销售量的年平均下降率．（结果保留整数）42．解不等式组：102132x x x -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，并把解集在数轴上表示出来．【答案】21x -<≤，见解析【分析】先分别解两个不等式 ，在数轴上标出解集，然后写出解集即可．【详解】解：解不等式∵得，1x ≤，解不等式∵得，2x >-，在数轴上分别表示这两个不等式的解集如图∵不等式组的解集为：21x -<≤．【点睛】本题考查不等式组的解集，准确掌握解集的求法是解题的关键． 43．已知：23231A x xy y =++-，2B x xy =-．(1)计算：3A B -；(2)若()()25A B A B +-+的值与y 的取值无关，求x 的值．44．x 的一元二次方程()2420x m x m +++=．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若1x 、2x 是方程的两个实根，且212124x x x x m m ++=-，求m 的值．）证明：(m ∆=+方程总有两个不相等的实数根；）解：根据题意得12x x +=12x x ++(4m ∴-+解得=1m 即m 的值为【点睛】本题考查了根与系数的关系：若45．（1）解方程：11322x x x-+=-- （2）解不等式组：1,2263 2.x x x x ⎧+≥⎪⎨⎪++⎩＞ 【答案】（1）无解；（2）24x -<【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解：（1）去分母得：13(2)1x x +-=-，解得：2x =，检验：把2x =代入得：20x -=，2x ∴=是增根，分式方程无解；12632x x +>+①2x -，4x <，不等式组的解集为24x <．【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握各自的解法．46．用配方法解方程：212302x x --= 2210=-【分析】根据配方法解一元二次方程即可47．解方程：35136x x -=-． 48．新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金840元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金1380元．(1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？(2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于5520元且不少于5280元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案；(3)若甲型口罩的售价为每箱450元，乙型口罩的售价为每箱420元．为了促销，无论采取哪种进货方案，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金a 元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，直接写出a 的值． 【答案】(1)甲、乙型号口罩每箱的进价分别为300元，240元(2)有五种进货方案，分别是：方案一：购进甲型口罩8箱，则购进乙型口罩12箱；方案二：购进甲型口罩9箱，则购进乙型口罩11箱；方案三：购进甲型口罩10箱，则购进乙型口罩10箱；方案四：购进甲型口罩11箱，则购进乙型口罩9箱方案五：购进甲型口罩12箱，则购进乙型口罩8箱(3)a =30【分析】（1）设甲型号口罩每箱进价为m 元，乙型号口罩每箱进价为n 元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案；（2）设购进甲型口罩x 箱，则购进乙型口罩（20-x )箱，由题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论；（3）由题意得出w =(a -30)x + 3600- 20a ，根据“（2）中所有方案获利相同”知w 与a 的取值无关，据此解答可得．(1)设甲、乙型号口罩每箱的进价分别为m 元，n 元，由题意得：2840321380m n m n +=⎧⎨+=⎩解得：300240m n =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙型号口罩每箱的进价分别为300元，240元(2)设购进甲型口罩x 箱，则购进乙型口罩（20-x )箱，由题意得：300240(20)5520300240(20)5280x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩解得：812x ≤≤x 非负整数∴x =8或9或10或11或12∵有五种进货方案，分别是：方案一：购进甲型口罩8箱，则购进乙型口罩12箱方案二：购进甲型口罩9箱，则购进乙型口罩11箱方案三：购进甲型口罩10箱，则购进乙型口罩10箱方案四：购进甲型口罩11箱，则购进乙型口罩9箱方案五：购进甲型口罩12箱，则购进乙型口罩8箱(3)设获得的总利润为ww =(450- 300)x +(420-240-a )(20-x )=150x +(180-a )(20-x )= 150x + 20(180-a ) -(180-a )x=(150-180+a )x + 3600-20a=(a -30)x + 3600- 20a要使（2）中所有方案获利相同∵a -30=0即a =30∵当a =30时，（2）中所有方案获利相同即w =3600-20×30=3600-600= 3000(元)【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，整式的加减无关类型，根据题意列出方程组，不等式组，代数式是解题的关键．49．解二元一次方程(1)3728x y x y -=⎧⎨+=⎩； (2)()()3212158y x x y ⎧-=+⎪⎨-=-⎪⎩．。
(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编及答案
（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组难题汇编及答案一、选择题1 .若关于x 的不等式组［上2, f 10无解，且关于y 的分式方程=2 -二匕有非正 口 6匕.u y +3 y + 3整数解，则符合条件的所有整数k 的值之和为（）A. - 7B. - 12C. - 20D. - 34【答案】B 【解析】 【分析】先根据不等式组无解解出 k 的取值范围，再解分式方程得 y 」^_,根据方程有解和非正fc + 2整数解进行综合考虑 k 的取值，最后把这几个数相加即可. 【详解】• .10+2k>2+k,解得 k> — 8.解分式方程 丝二=2 一 两边同时乘y+3 y+3ky- 6=2 (y+3) - 4y,〃“口12 解得y= ------ .k + 2因为分式方程有斛，. • -------- a 3 ,即k+2w- 4,斛得kw- 6 .fc + 2又•.•分式方程的解是非正整数解，，k+2=- 1, -2, -3, -6, -12.解得 k= — 3, — 4, — 5, —8, — 14. 又「 k> — 8, 「♦k= - 3, —4, —5. 贝［f- 3-4-5= - 12. 故选：B. 【点睛】本题主要考查解不等式组、解分式方程的方法，解决此题的关键是理解不等式组无解的意 义，以及分式方程有解的情况.【答案】D 【解析】•••不等式组x-k<2x - 2k >10 无解,y+3),得2,若旧工在实数范围内有意义，则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是（【分析】x+2>0,再解不等式即可.根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得【详解】••・二次根式、,x 2在实数范围内有意义，・•・被开方数x+2为非负数，..・x+2 四，解得：x>2.故答案选D. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.3.若某人要完成2.1千米的路程，并要在18分钟内到达，已知他每分钟走90米，若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x分钟，则列出的不等式为()A. 210x 90(18 x) 2100B. 90x 210(18 x) 2100C. 210x 90(18 x) 2.1 D, 210x 90(18 x) 2.1【答案】A【解析】设至少要跑x分钟，根据“1吩钟走的路程》210怵”可得不等式：210x+90(18二) 》2100 故选A.3x 6 04.不等式组的所有整数解的和为()4 2x 0A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】D【解析】【分析】求出不等式组的解集，再把所有整数解相加即可. 【详解】3x 6 04 2x 03x 6 0解得x 24 2x 0解得2 x・•.不等式组的解集为2x2・•.不等式组的所有整数解为2, 1,0,1・•.不等式组的所有整数解之和为2 10 1 2故答案为： D ．【点睛】本题考查了解不等式组的问题，掌握解不等式组的方法是解题的关键．5． 若 m n ,则下列不等式中成立的是 （ ）A ． m+a<n+bB ． ma>nbC ． ma 2>na 2D ． a-m<a-n【答案】 D【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】A. 不等式两边加的数不同，错误；B. 不等式两边乘的数不同，错误；C. 当 a=0 时，错误；D.不等式两边都乘-1,不等号的方向改变，者防口a,不等号的方向不变，正确；故选 D.点睛：不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘 （或除以）同一个负数，不等号的方向改变.xm06 .关于x 的不等式组恰有五个整数解，那么 m 的取值范围为（）2x 3 3 x 2A ． 2 m 1B ． 2 m 1C ． m 1D ． m 2【答案】 A【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出 m 的取值范围．【详解】解不等式 ① ，得： x m ，解不等式 ② ，得：x 3，・ •.不等式组的解集为：m x 3, ・ . •不等式组恰有五个整数解， ・••整数解分别为:3、2、1、0、1；m 的取值范围为 2 m 1 ；故选： A ．解：xm02x 3 3 x 2本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求 出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围.x 1人7,不等式组的解集在数轴上可以表不为（）x 3A.--- B -^B. I ， 1AC.」Hl?-10；0 1【解析】【分析】 分别解不等式组中的每一个不等式，再求解集的公共部分. 【详解】 由-xW I 得x 川， 则不等式组的解集为-KX 3. 故选：B. 【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集.解题关键是求不等式组的解集，判断数轴的表示方 法，注意数轴的空心、实心的区别.8.如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为米，列出不等式组，求出 x 的取值范围即可.解：设与墙垂直的一边的长为 x 米，根据题意得:40 3x 25，40 3x 30 …10 解得：一wx^53故选：D.D.30米，要使靠墙的边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度 x 的取值范围为（ t*A. 0 米 x 5米B.C. 0米 x —米3D.竺米x3设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于 25U此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列 出不等式组，注意本题要用数形结合思想.2a 5y 1即可.【详解】解：「不等式（a-2）. a 2 0, 2a 5 , ---- 4 , a 2.一 3 解得a 一 ,2.•-2a=3,・•.不等式2a-5y >1整理为3 5y 1 , 一 12 斛得：y 一 .5故选：B. 【点睛】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以） 同一个负数，不等号的方向改变.10.某种商品的进价为 800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%,则至多可打（）A. 6折B. 7折C. 8折D. 9折【答案】B 【解析】 【详解】9.如果不等式（a2)x 2a 5的解集是 x 4 ,则不等式2a5y 1的解集是（）A. yB.C.2D. y 一5根据不等式的性质得出c 2a 0,——4, 解得a2a=3,再解不等式x> 2a-5的解集是xv 4,设可打x 折，则有1200X--800 >800 X 5%10解得x>7.即最多打7 折．故选B．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．11.已知x=2是不等式x 5 ax 3a 2 0的解，且x=l不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是( )A. a>1B. a<2C. 1<a<2D. 1< a<2【答案】 C【解析】. x=2 是不等式(x-5)(ax-3a+2) ? 0 的解，，(2- 5)(2a- 3a+2)? 0,解得：a? 2,,. x=1不是这个不等式的解，，(1-5)(a-3a+2)>0,解得：a>1,••.1<a?2,故选C.12 ．关于x 的不等式4x 12 的正整数解有( )A．0 个B．1 个C．3 个D．4 个【答案】 C【解析】【分析】先解不等式求出解集，根据解集即可确定答案.【详解】解不等式4x 12 得x 3，，该不等式的正整数解有：1、2、3,故选：C.【点睛】此题考查不等式的正整数解，正确解不等式是解题的关键.x5313 ．不等式组的整数解的个数是( )x 6 4x 3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】 C【解析】先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，最后确定整数解的个数即可．x 5 3① x 6 4x 3②‘由①得：x>-2, 由②得：x<3,所以不等式组的解集为：-2<x<3, 整数解为-1, 0, 1, 2,共4个， 故选C. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及解集的 确定方法是解题的关键.解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大 小小无解了.2的解集在数轴上表示为2先解不等式组，然后根据不等式组的解集判断即可. 【详解】2x 2① x 2②由①，得x> 1, 由②，得x*Z・,.不等式组的解集为 1vxwz 故选C. 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握解不等式组是解题的关键.x a, 0 ,15.若关于x 的不等式组的整数解只有3个，则a 的取值范围是（）5 2x 1A. 6Qv7B. 5<a<6C. 4<a<5D. 5<a<6【答案】B 【解析】2x 14.不等式组x()根据解不等式可得，2vxQ,然后根据题意只有3个整数解，可得a的范围.【详解】解不等式x- aWQ得：x<a,解不等式5-2xv1,得：x>2,则不等式组的解集为2vxQ.•••不等式组的整数解只有3个，・•.5Qv6.故选：B．【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据题意得出 a 的取值范围是解题的关键.16．如果a b , c 0 ，那么下列不等式成立的是（）A． a c b B．a c b cC．ac 1 bc 1 D．a c 1 b c 1【答案】 D【解析】【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：c 0 ,c 1 1 ,. a b,..a c 1 b c 1 ,故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．17,已知实数a（a 0）, b, c满足a b c 0, 2a b 0,则下列判断正确的是（）．2A． c a，b24ac B．c a ，b24acC．c a，b24ac D．c a，b24ac【答案】 A【解析】【分析】由2ab 0,可得b 2a,代入a b c 0可得答案，再由b 2a得至Ub2 4a2,禾U 用已证明的基本不等式 c a ，利用不等式的基本性质可得答案．解：Q 2a b 0,b 2a, b 2 4a 2,Q a b c< 0,a 2a c< 0,c< a,Q a> 0, 4a>0,2一4a >4ac,「2、b >4ac.故选A.【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键.6x + 218 .不等式x- 2> ------- 的解集是（ ）4A. xv - 5B. x>-5C. x> 5D. xv 5 【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得. 【详解】去分母得：4x- 8>6x+2,移项、合并同类项，得：-2x> 10,系数化为1 ,得：x< - 5.故选A.【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其 需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变. 3x 1, 519 .如图，不等式组 2x 1 5根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上 表示出两个解集找公共部分即可 .的解集在数轴上表示为（A.C.【详解】3x 1 5 ①由题意可知：不等式组,…，不等式①的解集为x 2,不等式②的解集为2x 1 5 ②2x3,在数轴上表示应为x 3 ,不等式组的解集为故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.x a 220.如果关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）x 3a 2A. a<2B. a>2C. a>2D. a<2【答案】D【解析】【分析】由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可.【详解】一…… x> a 2……,•,不等式组无解，，a+2>a- 2,解得：a<2x< 3a 2故选D.【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键.。
华师大版数学七年级下册第3讲 不等式的复习
第3讲 一元一次不等式(组)的复习要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2503x >是一个一元一次不等式．相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：a x <（或a x >）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．【典型例题】1.关于x 的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1，则a 的值是_________．举一反三：【变式1】如果关于x 的不等式(a+1)x ＜a+1的解集是x ＞l ，则a 的取值范围是________．【变式2】已知关于x 的方程2233x m x x ---=的解是非负数，m 是正整数，求m 的值．【巩固练习】1.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（ ）A 、6折B 、7折C 、8折D 、9折2. 已知的解集中的最大整数为3，则的取值范围是 ．3.不等式3x －a≤0只有2个正整数解，则a 的取值范围是______________。
(最新整理)初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析)
初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题(含解析)
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C．没有实数根 D．无法确定 6．已知方程 ﹣a= ,且关于 x 的不等式组
只有 4 个整数解，那么 b 的取值
范围是（ ） A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4 7．观察下列方程：
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初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题（含解析）
一．选择题（共 16 小题） 1．若关于 x 的方程 x﹣3k=5（x﹣k）+1 的解为负数,则 k 的值为（ ）
A．k＞ B．k＜ C．k= D．k＞ 且 k≠2
二．填空题(共 14 小题）
17．对于实数 x,规定（xn）′=nxn﹣1，若（x2）′=﹣2，则 x= ．
18．销售某件商品可获利 30 元，若打 9 折每件商品所获利润比原来减少了 10 元,则
初中数学方程与不等式提高练习和常考题与压轴难题含解析
初中数学方程与不等式提升练习和常考题与压轴难题(含分析 )一．选择题（共16 小题）1．若对于 x 的方程x﹣3k=5（x﹣k）+1 的解为负数，则k 的值为（）A．k＞B．k＜C．k= D． k＞且k≠22．以下各式，属于二元一次方程的个数有（）① xy+2x﹣y=7；② 4x+1=x﹣y；③+y=5；④ x=y；⑤ x2﹣y2=2⑥ 6x﹣2y⑦x+y+z=1⑧y（y﹣1）=2y2﹣y2+x．A．1B．2C．3D．43．对于 x 的一元二次方程有实数根，则实数 a 知足（）A．B．C．a≤且a≠3D．4．设α，β是方程 x2+9x+1=0 的两根，则（α2+2009α +1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0B．1C．2000D．4 000 0005．若 a，b，c 为三角形三边，则对于 x 的二次方程2 2的根的状况是（）x +（ a﹣ b）x+c =0A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．没法确立6．已知方程﹣a=，且对于x的不等式组只有4个整数解，那么 b 的取值范围是（）A．﹣ 1＜ b≤3B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜47．察看以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）此中是对于 x 的分式方程的有（）A．（1）B．（2）C．（2）（3）D．（2）（4）8．当 1≤x≤2 时， ax+2＞0，则 a 的取值范围是（）A．a＞﹣ 1 B．a＞﹣ 2 C．a＞0D．a＞﹣ 1 且 a≠ 09．若对于 x 的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是（）A．3≤m＜4 B．3＜m＜4 C．3＜m≤4 D．3≤m≤410．为指引居民节俭用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费 =第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实行阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730 元，则该同学家这一年的用水量为（）某市居民用水阶梯水价表阶梯3水价（元3 户年用水量 v（m）/m ）第一阶梯0 ≤v≤180 5第二阶梯180 ＜v≤260 7第三阶梯v ＞260 9333 3A．250m B．270m C．290m D．310m11．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自己身高的，儿子露出水面的高度是他自己身高的，父子二人的身高之和为 3.2 米．若设爸爸的身高为x 米，儿子的身高为 y 米，则可列方程组为（）A．B．C．D．12．方程 3x+y=9 在正整数范围内的解的个数是（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．有无数个13．把一元二次方程x2﹣ 4x+1=0，配成（ x+p）2=q 的形式，则 p、q 的值是（）A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3 C． p=2，q=5D． p=2，q=314．若对于 x 的一元二次方程 x2﹣ 2x﹣k+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y=kx﹣k 的大概图象是（）A．B．C．D．15．在求 3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将3x 当作了 8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情况，所列关系式建立的是（）A．=﹣5B．= +5 C．=8x﹣ 5 D．=8x+516．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3二．填空题（共14 小题）17．对于实数 x，规定（ x n）′ =nx n﹣1，若（ x2）′ =﹣ 2，则 x=．18．销售某件商品可赢利30 元，若打 9 折每件商品所获收益比本来减少了10 元，则该商品的进价是元．19．若对于 x、y 的二元一次方程组的解是，那么对于x、y的二元一次方程组的解是 x=，y=．2 2 220．已知实数 m，n 知足 m﹣n =1，则代数式 m+2n +4m﹣1的最小值等于．21．已知整数 k＜5，若△ ABC的边长均知足对于x 的方程 x2﹣3x+8=0，则△ ABC的周长是．22．若两个不等实数2 2 2 2的值是．m、n 知足条件： m﹣2m﹣1=0，n ﹣2n﹣1=0，则 m+n23．某种电脑病毒流传特别快，假如一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144 台电脑被感染．每轮感染中均匀一台电脑会感染台电脑．24．若 m是实数，则对于x 的方程 x2﹣ mx+ +m+ =0 的根的状况是．25．若对于 x 的方程=+1 无解，则 a 的值是．26．数学家们在研究15、12、 10 这三个数的倒数时发现：﹣=﹣．所以就将具有这样性质的三个数称之为调解数，如 6、3、2 也是一组调解数．现有一组调解数： x、5、3（x＞5），则 x 的值是．27．若不等式组有解，则a的取值范围是．28．如图 A、B、C、D 四人在公园玩跷跷板，依据图中的状况，这四人体重从小到大摆列的次序为．29．在一次数学知识比赛中，比赛题共30 题．规定：答对一道题得 4 分，不答或答错一道题倒扣 2 分，得分不低于60 分者得奖．得奖者起码应答对道题．30．若对于 x 的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是．三．解答题（共10 小题）31．甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为．乙因大意，错误地将方程中系数 C 写错了，获取的解为；若乙没有再发生其余错误，试确定 a，b，c 的值．32．解方程组．33．参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30 场，共有多少个队参加比赛34．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S 千米的军训地参加训练．甲班有一半行程以 V1千米 / 小时的速度行走，另一半行程以V2千米 / 小时的速度行走；乙班有一半时间以 V1千米 / 小时的速度行走，另一半时间以V2千米 / 小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t 1小时、 t 2小时．（1）试用含 S、 V1、V2的代数式表示 t 1和 t 2；（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先抵达军训基地并说明原因．35．对 x， y 定义一种新运算T，规定： T（x，y）=（此中a，b均为非零常数），这里等式右侧是往常的四则运算，比如：T（ 0，1）==b，已知 T（1，1）=2.5 ，T （ 4，﹣ 2）=4．（ 1）求 a，b 的值；（ 2）若对于 m的不等式组恰巧有2个整数解，务实数P 的取值范围．36．已知 x=3 是对于 x 的不等式的解，求a的取值范围．37．假如对于 x 的不等（ 2m﹣n）x+m﹣5n＞ 0 的解集为 x＜，试求对于x的不等式mx＞n 的解集．38．某养鸡厂计划购置甲、乙两种鸡苗共2000 只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只二元，乙种小鸡苗每只三元．（ 1）若购置不超出4700 元，应最少购置甲种小鸡苗多少只（ 2）有关资料表示，甲、乙两种小鸡苗的成活率分虽是94%和 99%，若要使这两种小鸡苗成活率不低于96%且购置小鸡苗的总花费最低，应购置甲、乙两种小鸡各多少只最少花费是多少元39．为了相应“足球进校园”的呼吁，某体育用品商铺计划购进一批足球，第一次用6000元购进 A 品牌足球 m个，第二次又用 6000 元购进 B 品牌足球，购进的 B 品牌足球的数目比购进的 A 品牌足球多 30 个，而且每个 A 品牌足球的进价是每个 B 品牌足球的进价的．（1）求 m的值；（2）若这两次购进的 A，B 两种品牌的足球分别依照 a 元/ 个， a 元/ 个两种价钱销售，所有销售完成后，可获取的收益不低于 4800 元，求出 a 的最小值．40．为知足市场需求，重生活商场在端午节前夜购进价钱为 3 元 / 个的某品牌粽子，依据市场展望，该品牌粽子每个售价 4 元时，每日能销售500 个，而且售价每上升0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了保护花费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不可以超出进价的200%，请你利用所学知识帮助商场给该品牌粽子订价，使商场每日的销售收益为800 元．初中数学方程与不等式提升练习和常考题与压轴难题(含分析)参照答案与试题分析一．选择题（共16 小题）1．（2015 春?蓬溪县校级月考）若对于 x 的方程 x﹣3k=5（x﹣k）+1 的解为负数，则k 的值为（）A．k＞B．k＜C．k= D． k＞且k≠2【剖析】本题第一要解这个对于x 的方程，依据解是负数，能够获取一个对于k 的不等式，就能够求出 k 的范围．【解答】解：x﹣3k=5（x﹣k）+1，依据题意得，解得 k＜；应选 B．【评论】本题是一个方程与不等式的综合题目．解对于x 的不等式是本题的一个难点．2．（2014 春?文登市校级期中）以下各式，属于二元一次方程的个数有（）① xy+2x﹣y=7；② 4x+1=x﹣y；③+y=5；④ x=y；⑤ x2﹣y2=2⑥ 6x﹣2yA．1B．2⑦x+y+z=1C．3 D．4⑧y（y﹣1）=2y2﹣ y2+x．【剖析】依据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面鉴别．【解答】解：① xy+2x﹣y=7，不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；② 4x+1=x﹣y，是二元一次方程；③+y=5，不是二元一次方程，因为不是整式方程；④ x=y 是二元一次方程；⑤ x2﹣y2=2 不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；⑥ 6x﹣2y，不是二元一次方程，因为不是等式；⑦ x+y+z=1，不是二元一次方程，因为含有 3 个未知数；⑧y（ y﹣ 1）=2y2﹣y2+x，是二元一次方程，因为变形后为﹣ y=x．应选 C．【评论】二元一次方程一定切合以下三个条件：（ 1）方程中只含有 2 个未知数；（ 2）含未知数项的最高次数为一次；（ 3）方程是整式方程．注意⑧整理后是二元一次方程．3．（2013?海拉尔区校级三模）对于x 的一元二次方程有实数根，则实数 a 知足（）A．B．C．a≤且a≠3D．【剖析】议论：当 a﹣3=0，原方程变形为一元一次方程，有一个实数根；当a﹣3≠ 0，△ = （﹣）2﹣4×（ a﹣3）× 1≥ 0，而后综合这两种状况即可．【解答】解：当 a﹣3=0，方程变形为﹣x+1=0，此方程为一元一次方程，有一个实数根；当 a﹣3≠0，△ =（﹣）2﹣4×（a﹣3）× 1≥0，解得a≤且a≠3．所以 a 的取值范围为 a≤且a≠ 3．应选 C．【评论】本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的鉴别式△ =b2﹣4ac：当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考察了一元二次方程的定义．4．（2009?桂平市二模）设α，β是方程 x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α +1）（β2+2009β +1）的值是（）A．0B．1C．2000D．4 000 000【剖析】欲求（α2+2009α +1）（β2 +2009β +1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α +1）（β2+2009β +1）=（α2 +9α +1+2000α）（β2+9β +1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．【解答】解：∵α，β 是方程 x2+9x+1=0的两个实数根，∴α +β=﹣ 9，α ?β=1．（α2+2009α +1）（β2+2009β +1）=（α2+9α +1+2000α）（β2+9β +1+2000β）又∵α，β 是方程 x2+9x+1=0的两个实数根，∴α2+9α +1=0，β2+9β +1=0．∴（α2 +9α +1+2000α）（β2+9β +1+2000β）=2000α?2000β=2000×2000αβ，而α?β=1，∴（α2 +9α +1+2000α）（β2+9β +1+2000β） =4 000 000 ．应选 D．【评论】将根与系数的关系与代数式变形相联合解题是一种常常使用的解题方法．5．（1999?烟台）若 a，b，c 为三角形三边，则对于x 的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0 的根的状况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．没法确立【剖析】先求出△ =b2﹣ 4ac，再联合 a，b，c 为三角形的三边，即可判断根的状况．【解答】解：∵x2+（a﹣b）x+c2 =0，∴△ =b2﹣4ac==（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（ a﹣b+c）∵a， b， c 为三角形三边，∴ b+c＞a，a+c＞b∴a﹣ b﹣ c＜0，a﹣b+c＞ 0∴（ a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜ 0，即二次方程x2+（a﹣ b） x+c2=0 无实数根．应选 C．【评论】本题考察了一元二次方程根的鉴别式的应用及三角形三边的关系．6．（2014?德阳）已知方程﹣a=，且对于x的不等式组只有4个整数解，那么 b 的取值范围是（）A．﹣ 1＜ b≤3B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4【剖析】分式方程去分母转变为整式方程，求出整式方程的解获取 a 的值，经查验确立出分式方程的解，依据已知不等式组只有 4 个正整数解，即可确立出 b 的范围．【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣ 1，即（ a﹣4）（a+1）=0，解得： a=4 或 a=﹣ 1，经查验 a=4 是增根，故分式方程的解为a=﹣ 1，已知不等式组解得：﹣ 1＜x≤b，∵不等式组只有 4 个整数解，∴3≤ b＜ 4．应选： D【评论】本题考察了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的重点．7．察看以下方程：（1）；（2）；（3）；（4）此中是对于 x 的分式方程的有（）A．（1）B．（2）C．（2）（3）D．（2）（4）【剖析】依据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．【解答】解：（ 1）（4）中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；而（ 2）（ 3）的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．应选 C．【评论】判断一个方程能否为分式方程，主假如依照分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：只是是字母不可以，一定是表示未知数的字母）．8．（2015?黄石）当 1≤ x≤ 2 时， ax+2＞0，则 a 的取值范围是（）A．a＞﹣ 1 B．a＞﹣ 2 C．a＞0D．a＞﹣ 1 且 a≠ 0【剖析】当 x=1 时， a+2＞0；当 x=2，2a+2＞0，解两个不等式，获取 a 的范围，最后综合获取 a 的取值范围．【解答】解：当 x=1 时， a+2＞0解得： a＞﹣ 2；当 x=2，2a+2＞0，解得： a＞﹣ 1，∴ a 的取值范围为： a＞﹣ 1．【评论】本题考察了不等式的性质，解决本题的重点是熟记不等式的性质．9．（2012?鼓楼区一模）若对于x 的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是（）A．3≤m＜4 B．3＜m＜4 C．3＜m≤4 D．3≤m≤4【剖析】第一确立不等式组的解集，先利用含m的式子表示，依据整数解的个数就能够确定有哪些整数解，依据解的状况能够获取对于m的不等式，从而求出m的范围．【解答】解：解得不等式组的解集为：2≤ x＜m，因为不等式组只有 2 个整数解，所以这两个整数解为： 2，3，所以实数 m的取值范围是 3＜m≤4．应选： C．【评论】本题考察了一元一次不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确立m的范围，是解决本题的重点．10．（2016?山西模拟）为指引居民节俭用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量 +第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实行阶梯水价制度后的第一年缴纳水费 1730 元，则该同学家这一年的用水量为（）某市居民用水阶梯水价表阶梯3水价（元3 户年用水量 v（m）/m ）第一阶梯0 ≤v≤180 5第二阶梯180 ＜v≤260 7第三阶梯v ＞260 93 3 3 3A．250m B．270m C．290m D．310m【剖析】利用表格中数据得出水费不超出1460 元时包含第三阶梯水价花费，从而得出等量系求出即可．【解答】解：设该同学这一年的用水量为x，依据表格知， 180×5+80×7=1460＜ 1730，则该同学家的用水量包含第三阶梯水价花费．依题意得： 180×5+80×7+（ x﹣ 260）× 9=1730，解得 x=290．应选： C．【评论】本题考察了一元一次方程的应用．依据表格中数据得出正确是等量关系是解题关键．11．（ 2017?河北一模）父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自己身高的，儿子露出水面的高度是他自己身高的，父子二人的身高之和为 3.2 米．若设爸爸的身高为 x 米，儿子的身高为 y 米，则可列方程组为（）A．B．C．D．【剖析】依据题意可得两个等量关系：①爸爸的身高+儿子的身高 =3.2 米；②父亲在水中的身高（ 1﹣）x=儿子在水中的身高（1﹣）y，依据等量关系可列出方程组．【解答】解：设爸爸的身高为x 米，儿子的身高为y 米，由题意得：，应选： D．【评论】本题主要考察了由实质问题抽象出二元一次方程组，重点是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决本题的重点是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的．12．（ 2016 春?沈丘县期末）方程3x+y=9 在正整数范围内的解的个数是（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．有无数个【剖析】由题意求方程的解且要使x，y 都是正整数，将方程移项将x 和 y 相互表示出来，在由题意要求 x＞0，y＞0 依据以上两个条件可夹出适合的x值从而代入方程获取相应的y 值．【解答】解：由题意求方程3x+y=9 的解且要使 x，y 都是正整数，∴y=9﹣3x＞0，∴x≤ 2，又∵ x≥0 且 x 为正整数，∴ x 值只好是 x=1，2，代入方程得相应的y 值为 y=6，3．∴方程 3x+y=9 的解是：，；应选： B．【评论】本题是求不定方程的整数解，主要考察方程的移项，归并同类项，系数化为 1 等技术，先将方程做适合变形，确立此中一个未知数的取值范围，而后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．13．（2017?安徽模拟）把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成（ x+p）2=q 的形式，则 p、q 的值是（）A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3 C． p=2，q=5D． p=2，q=3【剖析】移项后，两边配前一次项系数一半的平方即可得．【解答】解：∵ x2﹣ 4x=﹣1，∴x2﹣4x+4=﹣1+4，即（ x﹣2）2=3，则 p=﹣ 2， q=3，应选： B．【评论】本题主要考察解一元二次方程的能力，娴熟掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，联合方程的特色选择适合、简易的方法是解题的重点．14．（ 2016?通辽）若对于x 的一元二次方程x2﹣ 2x﹣k+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y=kx﹣k 的大概图象是（）A．B．C．D．【剖析】第一依据一元二次方程有两个不相等的实数根确立k 的取值范围，而后依据一次函数的性质确立其图象的地点．【解答】解：∵对于 x 的一元二次方程x2﹣2x﹣ k+1=0 有两个不相等的实数根，∴（﹣ 2）2﹣4（﹣ k+1）＞ 0，即 k＞0，∴﹣ k＜0，∴一次函数 y=kx﹣k 的图象位于一、三、四象限，应选 B．【评论】本题考察了根的鉴别式及一次函数的图象的问题，解题的重点是依据一元二次方程的根的鉴别式确立k 的取值范围，难度不大．15．（ 2016?河北）在求 3x 的倒数的值时，嘉淇同学误将3x 当作了 8x，她求得的值比正确答案小 5．依上述情况，所列关系式建立的是（）A．=﹣5B．= +5 C．=8x﹣ 5 D．=8x+5【剖析】依据题意知： 8x 的倒数 +5=3x 的倒数，据此列出方程即可．【解答】解：依据题意，可列方程：= +5，应选： B．【评论】本题考察了由实质问题抽象出分式方程，重点是读懂题意，找到3x 的倒数与 8x 的倒数间的等量关系，列出方程．16．（2017?米东区校级一模）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【剖析】先将每一个不等式解出，而后依据不等式的解集是x＞ 3 求出 m的范围【解答】解：① x+8＜ 4x﹣1﹣3x＜﹣9 x＞3②x＞ m∵不等式组的解集为x＞3∴m≤ 3应选（ C）【评论】本题考察不等式组的解法，解题的重点是娴熟一元一次不等式的解法，以及正确理解不等式组的解集，本题属于中等题型．二．填空题（共14 小题）17．（2008?丰台区一模）对于实数 x，规定（x n）′=nx n﹣1，若（ x2）′=﹣ 2，则 x=﹣1．【剖析】依据规定，得：当n=2 时，则（ x2）′ =2x，解方程即可．【解答】解：依据题意得： 2x=﹣2，x=﹣1．故答案为：﹣ 1．【评论】本题的重点是正确理解规定的运算，能够把方程的左侧按要求进行变换．18．（2005?乌鲁木齐）销售某件商品可赢利30 元，若打 9 折每件商品所获收益比本来减少了 10 元，则该商品的进价是70元．【剖析】本题的等量关系为：原售价的9 折=新售价，而原售价 =30+进价，新售价 =30+进价﹣10．【解答】解：设该商品的进价是x 元，则（ 30+x）× 0.9=30+x ﹣10解得 x=70，则该商品的进价是70 元．【评论】本题第一读懂题目的意思，依据题目给出的条件，找出适合的等量关系，列出方程，再求解．19．（ 1998?广东）若对于x、y 的二元一次方程组的解是，那么对于x、y 的二元一次方程组的解是x=4，y=3．【剖析】本题先代入解求出得，再将其代入二元一次方程组获取，解出即可．【解答】解：∵二元一次方程组的解是，∴有，解得；将代入二元一次方程组，得，解得．【评论】本题主要考察二元一次方程组的解法，重点是娴熟掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法．注意：在运用加减消元法消元时，两边同时乘以或除以一个不为0 的整数或整式，必定注意不可以漏项．2 2 220．（2014?南通）已知实数 m，n 知足 m﹣n =1，则代数式 m+2n +4m﹣1的最小值等于 4 ．【剖析】已知等式变形后辈入原式，利用完整平方公式变形，依据完整平方式恒大于等于0，即可确立出最小值．【解答】解：∵ m﹣n2=1，即 n2 =m﹣1≥0，m≥1，2 2 2∴原式 =m+2m﹣2+4m﹣1=m+6m+9﹣12=（m+3）﹣12，2 2 2则代数式 m+2n +4m﹣1 的最小值等于（ 1+3）﹣12=4．故答案为： 4．【评论】本题考察了配方法的应用，以及非负数的性质，娴熟掌握完整平方公式是解本题的重点．21．（ 2013?绵阳）已知整数 k＜5，若△ ABC的边长均知足对于x 的方程 x2﹣3x+8=0，则△ ABC的周长是 6 或 12 或 10．【剖析】依据题意得 k≥0 且（ 3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得 x1=2，x2=4，因为△ ABC的边长均知足对于x 的方程 x2﹣6x+8=0，所以△ ABC的边长能够为 2、 2、 2 或 4、4、4 或 4、 4、 2，而后分别计算三角形周长．【解答】解：依据题意得 k≥0 且（ 3 ）2﹣4×8≥0，解得 k≥，∵整数 k＜ 5，∴k=4，∴方程变形为 x2﹣ 6x+8=0，解得 x1=2， x2 =4，∵△ ABC的边长均知足对于x 的方程 x2﹣ 6x+8=0，∴△ ABC的边长为 2、 2、 2 或 4、4、4 或 4、4、 2．∴△ ABC的周长为 6 或 12 或 10．故答案为： 6 或 12 或 10．．【评论】本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的鉴别式△ =b2﹣4ac：当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考察了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．22．（2013?黔东南州）若两个不等实数2 2 2 2 m、n 知足条件： m﹣ 2m﹣1=0，n ﹣ 2n﹣1=0，则 m+n的值是6．【剖析】依据题意知， m、n 是对于 x 的方程 x2﹣2x﹣1=0 的两个根，所以利用根与系数的2 2关系来求 m+n 的值．【解答】解：由题意知， m、n 是对于 x 的方程 x2﹣2x﹣ 1=0 的两个根，则 m+n=2，mn=﹣ 1．2 2 2﹣ 2mn=2×2﹣2×（﹣ 1）=6．所以， m+n =（ m+n）故答案是： 6．【评论】本题主要考察了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相联合解题是一种常常使用的解题方法．23．（ 2010?武城县模拟）某种电脑病毒流传特别快，假如一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有 144 台电脑被感染．每轮感染中均匀一台电脑会感染11台电脑．【剖析】本题可设每轮感染中均匀一台电脑会感染x 台电脑，则第一轮共感染x+1 台，第二轮共感染 x（x+1）+x+1=（x+1）（x+1）台，依据题意列方程解答即可．【解答】解：设每轮感染中均匀一台电脑会感染x 台电脑，依据题意列方程得（x+1）2=144解得 x1=11，x2=﹣13（不切合题意，舍去），即每轮感染中均匀一台电脑会感染11 台电脑．【评论】找到重点描绘语，找到等量关系正确的列出方程是解决问题的重点．判断所求的解能否切合题意，舍去不合题意的解．24．（2003?内蒙古）若 m是实数，则对于 x 的方程 x2﹣mx+ +m+ =0的根的状况是无解．【剖析】计算一元二次方程的根的鉴别式△的值的符号后，再依据根的鉴别式与根的关系求解．2﹣mx+ 2 2【解答】解：∵对于 x 的方程 x +m+ =0 可化为 2x ﹣ 2mx+m+2m+3=0，222 2∴△ =（﹣ 2m）﹣4×2×（ m+2m+3）=﹣4m﹣16m﹣24=﹣ 4（ m+2）﹣ 8＜ 0 ∴方程没有实数根．【评论】总结：一元二次方程根的状况与鉴别式△的关系：（1）△＞ 0?方程有两个不相等的实数根；（2）△ =0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜ 0?方程没有实数根25．（ 2013?绥化）若对于 x 的方程=+1 无解，则 a 的值是 2 或 1．【剖析】把方程去分母获取一个整式方程，把方程的增根x=2 代入即可求得 a 的值．【解答】解： x﹣2=0，解得： x=2．方程去分母，得： ax=4+x﹣2，即（ a﹣ 1） x=2当 a﹣1≠0 时，把 x=2 代入方程得： 2a=4+2﹣2，解得： a=2．当 a﹣1=0，即 a=1 时，原方程无解．故答案是： 2 或 1．【评论】第一依据题意写出 a 的新方程，而后解出 a 的值．26．（2012?大丰市一模）数学家们在研究 15、12、10 这三个数的倒数时发现：﹣= ﹣．所以就将拥有这样性质的三个数称之为调解数，如6、3、 2 也是一组调解数．现有一组调解数： x、5、3（x＞5），则 x 的值是15．【剖析】依据题意，利用已知规律求未知数，从x＞5 判断， x 相当于已知规律中的15．【解答】解：∵ x＞5∴x 相当于已知调解数 15，代入得，﹣=﹣，解得， x=15．经查验得出： x=15 是原方程的解．故答案为： 15．【评论】本题主要考察了分式方程的应用，解决本题的重点是经过察看剖析，未知调解数利用已知调解数来解得．．27．（ 2013?宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是a＞﹣ 1．【剖析】先解出不等式组的解集，依据已知不等式组有解，即可求出 a 的取值范围．【解答】解：∵由①得 x≥﹣ a，由②得 x＜ 1，故其解集为﹣ a≤x＜1，∴﹣ a＜1，即 a＞﹣ 1，∴ a 的取值范围是 a＞﹣ 1．故答案为： a＞﹣ 1．【评论】考察了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要依照以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．能够先将另一未知数看作已知数办理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，从而求得另一个未知数的取值范围．28．（ 2013 春?太原月考）如图A、B、C、D 四人在公园玩跷跷板，依据图中的状况，这四人体重从小到大摆列的次序为B＜A＜D＜C．【剖析】先由第一幅图可得A＜D，第二幅图可得B+D＜ A+C，第三幅图可得 B+C=A+D，再根据等式与不等式的性质即可求解．【解答】解：由题意可得A＜D，B+D＜A+C， B+C=A+D．∵B+C=A+D，∴ C=A+D﹣B，代入 B+D＜ A+C中，得 B+D＜A+A+D﹣B，∴B＜A，B﹣A＜0，∵A＜D，∴B＜A＜D．∵B+C=A+D，∴D﹣ C=B﹣A＜ 0，∴D＜C，∴B＜A＜D＜C．故答案为 B＜A＜ D＜ C．【评论】本题考察了不等式与等式性质的应用．解题的重点是采纳代入法解不等式，并能使用一致的不等号进行连结，本题对式子的变形能力要求比较高，有必定难度．29．（2008?漳州）在一次数学知识比赛中，比赛题共30 题．规定：答对一道题得 4 分，不答或答错一道题倒扣 2 分，得分不低于60 分者得奖．得奖者起码应答对20道题．【剖析】答对题所得的分减去不答或答错题所扣的分数应＞等于60 分，列出不等式进行求解即可．【解答】解：设得奖者起码应答对x 道题，则答错或不答的题为30﹣x 道，依题意得：4x﹣2（30﹣x）≥ 60解得： x≥20即得奖者起码应答对20 道题．【评论】解决问题的重点是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．30．（ 1997?山东）若对于 x 的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是k≤﹣ 2．【剖析】先化简不等式组，而后利用同小取小的原则可判断﹣k≥ 2，即可求出k≤﹣ 2，注意不要遗漏相等时的关系．【解答】解：化简对于 x 的不等式为因为不等式组的解集为x＜ 2，所以﹣ k≥2，即 k≤﹣ 2．故填 k≤﹣ 2．【评论】主要考察了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，相同也是利用口诀求解，可是要注意当两数相等时，解集也是x＜2，不要遗漏相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．三．解答题（共10 小题）31．（ 2012?安徽模拟）甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为．乙因粗心，错误地将方程中系数C写错了，获取的解为；若乙没有再发生其余错误，试确立a，b，c 的值．【剖析】所谓“方程组”的解，指的是该数值知足方程组中的每一方程的值，依据题意可得，解方程组可得原方程组中a、 b、c 的值．【解答】解：把代入到原方程组中，得可求得 c=2，乙仅因抄错了 c 而求得，但它还是方程 ax+by=1 的解，所以把代入到 ax+by=1 中得 2a﹣ b=1，．把 2a﹣ b=1 与﹣ a+b=1 构成一个二元一次方程组，解得，所以 a=2， b=3， c=2．【评论】本题主要考察了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法．32．（ 2013?中山市校级模拟）解方程组．【剖析】利用代入消元法将y=x+1 代入第②个方程求出即可．【解答】解：，将①代入②得：x2﹣（ x+1）2=﹣5，解得： x=2，则 y=2+1=3，故方程组的解为：．【评论】本题主要考察了二元二次方程组的解法，利用代入消元的法得出是解题重点．33．（2009?中山市模拟）参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛30场，共有多少个队参加比赛【剖析】设共有 x 个队参加比赛，依据参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 30 场，可列方程求解．【解答】解：设共有 x 个队参加比赛．（ 1 分）由题意得， x（ x﹣ 1） =30．（ 3 分）解得， x1=6，x2=﹣ 5．（ 4 分）经查验， x1 =6 切合题意， x2 =﹣ 5 不切合题意舍去．∴ x1 =6．（ 5 分）答：共有 6 个队参加比赛．（6分）【评论】本题考察理解题意的能力，设有x 个对，每个对都要参加（x﹣1）场，依据总场数可列方程求解．34．（ 2004?茂名）甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S 千米的军训地参加训练．甲班有一半行程以V1千米 / 小时的速度行走，另一半行程以V2千米 / 小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米 / 小时的速度行走，另一半时间以 V2千米 / 小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t 1小时、 t 2小时．。
第3讲 方程和不等式复习
暑期数学思维训练初三数学 第三讲 方程和不等式复习典型例题：1．刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用l 0元．设刘刚买的两种贺卡分别为x 张、y 张，则下面的方程组正确的是A.⎩⎨⎧=+=+8210y x y x B ．⎩⎨⎧=+=+1028y x y x c ．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+8102y x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧=+=+102821y x y x 2．解方程组：{128x y x y -=+= 3．解方程213311=+---+x x x x 4．解一元二次方程0122=--x x ，结果正确的是A 、3,421=-=x xB 、3,421-==x xC 、3,421-=-=x xD 、3,421==x x5 x 3.233.24 3.25 3.26 c bx ax ++2－0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A 、3＜x ＜3.23B 、3.23＜x ＜3.24C 、3.24＜x ＜3.25D 、3.25 ＜x ＜3.266．请聪明的你根据图中的对话内容，求出l 本笔记本和1只钢笔各需要多少钱7．解不等式组：()315216x x x x +>-⎧⎨+-<⎩，并把解集在数轴上表示出来.8．为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划．如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2 530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不超过2 200度．若本阿姨．我买l 本笔记本和4支钢笔，共需多少我买1本笔记本和1支钢笔刚好刚好18x -5-4-3-2-15432O 1学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内?巩固练习：A1.方程x(x+3)=x+3的解是 ( )A. x=1B. x 1=0, x 2=-3C. x 1=1, x 2=3D. x 1=1, x 2=-32. 方程x 2-3x+2=0的解是 _______3. 某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表． 普通(元/间／天) 豪华(元/间／天) 三人间150 300 双人间 140 400．．了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？4．不等式组231x x >-⎧⎨-⎩≤8-2x 的最小整数解是（ ） A ．－1 B.0 C.2 D.35.如果关于x 的方程22124x m x x +=--的解也是不等式组1222(3)8x x x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围。
(2021年整理)中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方程与不等式综合复习【考纲要求】1．会从定义上判断方程（组)的类型，并能根据定义的双重性解方程（组）和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程（组)的方法,明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”;3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组）的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程（组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5。
解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组）解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1。
方程含有未知数的等式叫做方程。
2。
方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质(1）等式的两边都加上(或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以)同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程0≠=ax叫做一元一次方程的标准形式,a是未知数x的系数，b是常数项。
+bxa为未知数，）（05。
一元一次方程解法的一般步骤整理方程 -- 去分母—- 去括号—- 移项-- 合并同类项——系数化为1-—（检验方程的解).6。
列一元一次方程解应用题(1）读题分析法：多用于“和,差，倍,分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字,例如：“大，小,多，少，是，共，合，为,完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式,并且根据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。
方程与不等式的试卷及突破题
目录
01.
02.
03.
04.
题目类型：选择题、填空题、解答题等 题目难度：基础题、中等题、难题等 题目数量：每个题型题量分配情况 试卷内容：涉及的知识点及覆盖面
基础题：考察学生对基本概念和公式的掌握程度 中档题：考察学生对知识点的理解和应用能力 难题：考察学生的综合运用能力和创新思维能力 易错题：学生容易出错的题目，需要特别注意和掌握
题目：解方程 组{x+y= 1, x - y = 2 }
题目：解方程 x^2 - 4x + 3 = 0 题目：解不等式 2x - 1 < 0 题目：解不等式组 { x - 2 > 0, x - 3 < 0 } 题目：解方程组 { x + y = 1, xy = -1 }
题目：解方程 x^2 - 4x + 3 = 0
观察题目特点， 选择合适的解题 方法
运用代数公式和 性质，化简式子
运用数形结合思 想，将问题转化 为几何问题
掌握常见题型和 解题技巧，提高 解题效率
题目：解方程 x^2 - 4x + 3
=0
题目：解不等 式 2x - 1 < 0
题目：解不等 式组 { x - 2 > 0, x - 3 < 0 }
观察题目特征，寻找突破口
结合不等式性质，进行推理和证明
添加标题
添加标题
运用代数方法，进行化简和转化
添加标题
添加标题
掌握常见题型，总结解题规律
忽略方程与不 等式的性质
未能正确理解 题意
混淆方程与不 等式的解法
计算错误或推 理错误
题目：解方程 x^2 - 4x + 3 = 0 题目：解不等式组 {2x - 1 > 0, x - 2 > 0} 题目：求函数 y = x^2 - 2x 的最值 题目：解方程组 {x + y = 1, xy = 2}
初中数学定点问题知识点及常考难题及培优提高练习压轴题
初中数学定点问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析 )定点题型定点问题，初中一般是直线或抛物线恒过定点的问题，这类问题一般解法是根据直线或抛物线的动因，先选择适当的参数，用参数表示出直线或抛物线方程，然后按参数整理，并令参数的系数为0 得方程组，解方程方程组求出定点坐标.解题思路：这类问题通常有两种处理方法：①第一种方法：是从特殊入手，通过考查极端位置，探索出“定值〞是多少，再证明这个点〔值〕与变量无关；②第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点〔定值〕。
具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个适宜变量的函数，化简消去变量即得定值。
一、直线过定点问题：解法 1：取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x， y 的两个方程，从中解出x， y 即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可。
例 1：求直线〔 m+1〕 x+〔 m-1〕 y-2=0 所通过的定点 P 的坐标。
解：令 m=-1，可得 y=-1 ；令 m=1，可得 x=1。
将〔 1， -1 〕点代入原方程得：〔 m+1〕· 1+〔 m-1〕〔 -1 〕 -2 ＝ 0 成立，所以该定点 P 为〔 1， -1 〕。
解法 2：由“ y-y 0=k〔 x-x 0〕〞求定点把含有参数的直线方程改写成y-y 0=k〔x-x 0〕的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点〔x ， y 〕。
0 0例 2：〔 k+1〕 x- 〔 k-1 〕y-2k=0 为直线 l 的方程，求证不管k 取任何实数值时，直线l 必过定点，并求出这个定点的坐标。
证明：由直线 l 的方程得〔 k+1〕 x=〔 k-1 〕 y+2k，∴〔 k+1〕x- 〔 k+1〕 =〔 k-1 〕 y+〔 k-1 〕，不管k 取任何实数值时，直线l 必过定点 M〔1， -1 〕。
解法 3：方程思想假设方程的解有无穷多个，那么方程的系数均为 0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
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第3讲方程与不等式常考题与压轴难题一．选择题（共16小题）
1．若关于x的方程x﹣3k=5（x﹣k）+1的解为负数，则k的值为（）
A．k＞B．k＜C．k= D．k＞且k≠2
2．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）
①xy+2x﹣y=7；②4x+1=x﹣y；③+y=5；④x=y；⑤x2﹣y2=2
⑥6x﹣2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y﹣1）=2y2﹣y2+x．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知方程﹣a=，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范
围是（）
A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4
4．观察下列方程：
（1）；（2）；（3）；（4）
其中是关于x的分式方程的有（）
A．（1） B．（2） C．（2）（3） D．（2）（4）
5．当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（）
A．a＞﹣1 B．a＞﹣2 C．a＞0 D．a＞﹣1且a≠0
6．若关于x的不等式整数解共有2个，则m的取值范围是（）
A．3≤m＜4 B．3＜m＜4 C．3＜m≤4 D．3≤m≤4
7．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民作用水阶梯水价制度．每年水费的计算方法为：年交水费=第一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1730元，则该同学家这一年的用水量为（）
阶梯户年用水量v（m3）水价（元/m3）第一阶梯 0≤v≤180 5
第二阶梯 180＜v≤260 7
第三阶梯 v＞260 9 3333
8．父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（）
A．B．
C．D．
9．方程3x+y=9在正整数范围内的解的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．有无数个
10．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是（）
A．=﹣5 B．=+5 C．=8x﹣5 D．=8x+5
11．若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
二．填空题（共14小题）
1．若关于x的不等式的解集为x＜2，则k的取值范围是．
2．销售某件商品可获利30元，若打9折每件商品所获利润比原来减少了10元，则该商品的进价是元．
3．若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是x= ，y= ．
4．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．
5．若关于x的方程=+1无解，则a的值是．
6．数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：﹣=﹣．因此就将具
有这样性质的三个数称之为调和数，如6、3、2也是一组调和数．现有一组调和数：x、5、3（x＞5），则x的值是．
7.若不等式组有解，则a的取值范围是．
8．如图A、B、C、D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为B＜A＜D＜C ．
9．在一次数学知识竞赛中，竞赛题共30题．规定：答对一道题得4分，不答或答错一道题倒扣2分，得分不低于60分者得奖．得奖者至少应答对道题．
三．解答题（共10小题）
1．甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确地解得方程组的解为．乙因大意，错误地将方程中系数C写错了，得到的解为；若乙没有再发生其他错误，试确定a，b，c的值．
2.解方程组．
3．甲、乙两班同学同时从学校沿一路线走向离学校S千米的军训地参加训练．甲班有一半路程以V1千米/小时的速度行走，另一半路程以V2千米/小时的速度行走；乙班有一半时间以V1千米/小时的速度行走，另一半时间以V2千米/小时的速度行走．设甲、乙两班同学走到军训基地的时间分别为t1小时、t2小时．
（1）试用含S、V1、V2的代数式表示t1和t2；
（2）请你判断甲、乙两班哪一个的同学先到达军训基地并说明理由．
4．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b，已知T（1，1）=2.5，T（4，
﹣2）=4．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数P的取值范围．5．已知x=3是关于x的不等式的解，求a的取值范围．
6．如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n 的解集．
7．某养鸡厂计划购买甲、乙两种鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只二元，乙种小鸡苗每只三元．
（1）若购买不超过4700元，应最少购买甲种小鸡苗多少只？
（2）相关资料表示，甲、乙两种小鸡苗的成活率分虽是94%和99%，若要使这两种小鸡苗成活率不低于96%且购买小鸡苗的总费用最低，应购买甲、乙两种小鸡各多少只？最少费用是多少元？
8．为了相应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球，第一次用6000元购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比
购进的A品牌足球多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球的进价的．（1）求m的值；
（2）若这两次购进的A，B两种品牌的足球分别按照a元/个，a元/个两种价格销售，全部销售完毕后，可获得的利润不低于4800元，求出a的最小值．。