5.第四章 弹塑性断裂力学

2a
6
又因Ｃ点为塑性区端点，应力无奇异性
K Ic 0 c
2 s R c a a (sec 1) 2 s
cos
a
a sec
2 s
2a
将 sec
2 s 按级数展开，有 1 2 5 4 sec 1 ( ) ( ) ...... 2 s 2 2 s 24 2 s
便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之
间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。 主要包括COD理论和J积分理论.
3
§4.1小范围屈服条件下的COD 一.COD
COD(Crack Opening Displacement) 裂纹张开位移。 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开——裂纹张开位移：表达材料抵抗延性断裂能力
2a K I2 GI E E s s s
欧文小范围屈服时的结果 D－B模型的适用条件
4 K I2 4 GI E s s
平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹 引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于 0.6 s 塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）
s

经验设计曲线
15
Wells e e 2 １ ( ) es es e e １ es es
Burdekin e e 0.5 ( )2 es es e e 0.5 0.25 es es
JWES 2805 e 0.5( ) es
我国CVAD（压力容器缺陷评定规范）设计曲线规定：
Wells e e 2 １ ( ) es es e 1 e １ ( 1) es 2 es
16
§4.4 COD准则的工程应用
实验测定结果：平板穿透裂纹 实际工程构件：压力容器、管道等,必须加以修正 1.鼓胀效应修正 压力容器表面穿透裂纹，由于内压作用，使裂纹向外
鼓胀,而在裂纹端部产生附加的弯矩。附加弯矩产生附加 应力，使有效作用应力增加，按平板公式进行计算时， 应在工作应力中引入膨胀效应系数Ｍ.
当 较小时 s
sec
1 2 1 ( ) 2 s 2 2 s
7
R
a 2 ( ) 2 2 s
又无限大板的穿透裂纹问题： a KI
Ｒ
KI 2 K ( ) 0.39( I ) 2 8 s s
小范围屈服时平面应力的塑性区尺寸，欧文塑性区修
正的结果（考虑应力松弛）


当无裂纹时,D1D2的相对位移为零
U 0 lim 0 F F 0
KIF 与F 正比 limK IF 0
F 0
2 K IF ' lim K IP da E F 0 0 F

—Paris位移公式
11
的计算
K IP K I K I s
其中K I c , K I s
c
—COD准则
裂纹失稳扩展的临界值
COD准则需解决的3个问题：
的计算公式; c 的测定; COD准则的工程应用
4
二.小范围屈服条件下的COD
平面应力下
K r 3 v I [( 2k 1)sin sin ] 4G 2 2 2
k
3 1
当＝
r ry 处时
C
u1 u u u 12 2 ) dx2 ( 21 1 22 2 ) dx1 ] 1,2) (i x1 x1 x1 x1
根据格林公式

C
( Pdx1 Qdx2 ) (
A
Q P )dx1dx2 x1 x2

ui 11 21 u1 12 22 u2 2u1 C Ti x1 dS A [( x1 x2 ) x1 ( x1 x2 ) x1 11 x12 2 u2 2u1 2 u2 12 21 22 )]dx1dx2 2 x1 x1x2 x1x2
14
§4.3 全面屈服条件下的COD
高应力集中区及残余应力集中区，使裂纹处于塑性区的 包围中全面屈服. 对于全面屈服问题，载荷的微小变化都会引起应变和COD 的很大变形。在大应变情况下不宜用应力作为断裂分析的.
用含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，得到无量纲的COD 2e a 与标称应变 e 的关系曲线。 e s
) 按级数展开 2 s

8 s a 1 2 1 4 ( ( ) ( ) ......) E 2 2 s 12 2 s
13
远小于 s
8 s a 1 2 2 a ( ) E 2 2 s E s
K I2 K I a , GI ' E
21
设一均质板，板上有一穿透裂纹、裂纹表面无力作 用，但外力使裂纹周围产生二维的应力、应变场。围绕
裂纹尖端取回路 。始于裂纹下表面、终于裂纹上表 面。按逆时针方向转动
路程边界上的位移矢量 u J (Wdy T dS) x 应变能密度 作用于路程边界上的力

ui J (Wdx2 Ti dS) 1,2) (i x1
a* 2 a
18
3.材料加工硬化的修正
考虑材料加工硬化，当 s 200 ~ 400MPa 时，低 1 碳钢取 f ( s b ) 代替 s 。其中 f 为流变应力。
b 为材料的抗拉强度。
2
综合考虑上述3部分内容

D－B模型的计算公式
8 f a* E ln sec[
24
针对平面问题，不计体力，平衡微分方程为

{ 11
A
11 21 12 22 0 0 12 21 x1 x2 x1 x2
ui 2u1 2 u2 2u1 2u2 C Ti x1 dS A [( 11 x12 12 x12 21 x1x2 22 x1x2 )]dx1dx2 1 u1 u1 1 u2 u1 1 u1 u1 [ ( )] 12 [ ( )] 21 [ ( )] x1 2 x1 x1 x1 2 x1 x2 x1 2 x2 x1 1 u2 u2 1 u1 u1 1 u2 u2 [ ( )]}dx1dx2 21 [ ( )] 22 [ ( )]}dx1dx2 x1 2 x2 x2 x1 2 x2 x1 x1 2 x2 x2
Folias分析得到： M 1 a 2
Rt
17
取值如下：圆筒轴向裂纹时取1.61，圆筒环向裂纹 时取0.32，球形容器裂纹时取1.93.
2.裂纹长度修正 压力容器的表面裂纹和深埋裂纹应换算为等效的穿透裂纹. 非贯穿裂纹
K I a
K I a
无限大板中心穿透裂纹
令非贯穿裂纹 K I 与无限大板中心穿透裂纹的 K I 相等，则等效穿透裂纹的长度为
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—无限大板的COD利用D－B模型计算结果
D－B模型不适用于全面屈服（ s ）。有限元计算表 明：对小范围屈服或大范围屈服。当 0.6 时，上式的 s 预测是令人满意的.
D－B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力 问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性 化的模型.当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之间 有着一致性. 将 ln sec(
第四章 弹塑性断裂力学
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线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以
与积分路径无关的常数。即具有守恒性。
22
闭合回路：ABDEC 在裂纹面上BD、AC上：Ti 0 dx2 0 设 n1 ，n2为弧元dS的外法线元的方向余弦
dx n1 cos 2 dS
dx1 n2 sin dS
微元dS上三角形体元的力的平衡条件
T1 11n1 21n2 T2 12 n1 22 n2 Ti ij ni j 1,2) (i,
K 1 K Ｒ＝ ( I )2 0.318( I )2
s
s
8
Paris位移公式
(1) ( 2)
远场均匀拉应力产生
塑性区分界上的拉应力 s 产生
卡氏定理：物体受一对力作用,力作用点间沿力方向的相对 位移等于应变能对外力Ｐ的偏导数。

U P
引入虚力Ｆ，物体的应变能 U U (a, P, F )
D1 D2两点沿Ｆ方向的相对位移为
lim
F 0
U F
9
又有，恒定载荷下的能量释放率为
GI ( U )P A
当取板厚Ｂ＝１时
U ( a , P , F ) U 0 ( P , F ) GI da
0
GI (

U )P a
2 表示裂纹扩展过程时的长度
无裂纹体（a=0）的应变能
和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c

c arccos
又由
2 s 2 c 2 F 1 a [ cos ] [ ] d E 0 F ( 2 a 2 )