(全国通用版)2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理学案 新人教

2．1.1 合情推理
学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．
知识点一归纳推理
思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．
以上属于什么推理？
答案属于归纳推理．
梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．
知识点二类比推理
思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？
答案类比推理．
梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
(2)特征：由特殊到特殊的推理．
知识点三合情推理
思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？
答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．
梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想
1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( ×)
2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √)
3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)
类型一归纳推理
命题角度1 数、式中的归纳推理
例1 (1)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为_____________________________________________________．
(2)已知f(x)＝
x
1－x
，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，
猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在数对(组)中的应用
答案(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
(2)x
1－4x
x
1－2n－1x
解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．
(2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x
1－x
. 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))， ∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x
1－x 1－x 1－x
＝x 1－2x ， f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x
1－2x
1－2×x 1－2x ＝x
1－4x ， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x
1－4x
1－4×x 1－4x ＝x
1－8x ， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x
1－8x
1－8×x 1－8x ＝x
1－16x ， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x 1－2n －1x
. 引申探究
在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N *)的表达式．
解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x
1－x
. 又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))， ∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x
1－x 1－x 1－x
＝x 1－2x ， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x
1－2x
1－x 1－2x ＝x
1－3x ， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x
1－3x
1－x 1－3x ＝x
1－4x . 因此，可以猜想f n (x )＝x 1－nx
. 反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法。