C--汕头市2007年普通高校招生模拟考试数学试卷1(理)

广东省汕头市2007年普通高校招生模拟考试理科数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.水平放置的正方体的六个面分别用"前面、后面、上面、下面、左面、右面"表示, 如图是一个正方体的表面展开图, 若图中 "2"在正方体的上面, 则这个正方体的下面是( )A. 0B. 7C.快D. 乐2.下列积分的值等于1的是( )A. 10xdx ⎰ B. 10(1)x dx +⎰ C. 101dx ⎰ D. 1012dx ⎰3.若命题p: x ∈A ∪B, 则p ⌝是( )A. x ∉A 且 x ∉BB. x ∉A 或x ∉BC. x ∉A ∩BD. x ∈A ∩B4. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1, 在平行四边形ABCD 中, 有AC 2＋BD 2=2(AB 2＋AD 2), 那么在图2所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 有AC 12＋BD 12＋CA 12＋DB 12= ( )A. 2(AB 2＋AD 2＋AA 12)B. 3(AB 2＋AD 2＋AA 12)C. 4(AB 2＋AD 2＋AA 12)D. 4(AB 2＋AD 2)5. 函数f(x)=lnx －1x －1的零点的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个 6. 如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形, 俯视图为一个半径为3的圆及其圆心, 那么这个几何体的体积为( ) A. 3π B. 3π C. 33π D. 93π7.已知函数f(x)=1－(x －1)2 , 若0<x 1<x 2<1, 则 ( ) A. f(x 1)x 1 > f(x 2)x 2 B. f(x 1)x 1 = f(x 2)x 2 C. f(x 1)x 1 < f(x 2)x 2D. 前三个判断都不正确 8. 定义在(－∞,＋∞)上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)=－f(x), 且f(x)在[－1,0]上是增函数, 下面五个关于f(x)的命题中: ① f(x)是周期函数 ② f(x) 的图象关于x=1对称③ f(x)在[0,1]上是增函数, ④f(x)在[1,2]上为减函数 ⑤ f(2)=f(0)正确命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个二、填空题: 本大题每小题5分, 共30分, 把答案填在答题卷中的横线上.9. 已知三角形的边长分别为4, 5,61, 则它的最大内角的度数是______, 它的面积是_____10. 给出以下一个算法的程序框图, 该程序框图的功能是________11. 已知(1x 2 － x p)6 的展开式中, 不含x 的项是15, 那么正数p 的值是________12. 已知向量a →=(8, 12x), b →=(x,1), (2a →＋b →)∥b →, 且x<0, 则x 的值为______选做题: 在下面三道小题中选做两题, 三道小题都选的只计算第13、14小题的得分13. 直线⎩⎨⎧x=3＋4t y=4－5t (t 为参数)的斜率为_______ 14. ⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于点P, 已知AP=2, BP=6, CP : PD=1:3, 则PD=_____15.函数g(x)= 11－|x －a|的定义域为________(用区间表示). 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. (12分)已知函数f(x)=Asin(ωx ＋ϕ) (x ∈R, A>0, ω>0, |ϕ| <π2)的部分图象如图所示, (1)试确定f(x)的解析式;(2)若f(a 2π) = 12, 求cos(2π3 －a)的值17. (12分)已知实数a>0, 函数f(x)=ax(x －2)2 (x ∈R)有极大值8.(1) 求函数f(x)的单调区间, (2) 求实数a 的值.18.（本小题满分14分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；(Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额表三所示.该工厂有工人40名，可用资.金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）19.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n , 首项为a 1, 且2, a n , S n 成等差数列,(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若 b n =log2a n , c n = b n a n, 求数列{c n }的前n 项和T n .20.(本小题满分14分)如图, 在四棱锥P －ABCD 中,PA ⊥平面ABCD, 底面ABCD 为正方形, 且PA=AD=2, E 、F 分别为棱AD 、PC 的中点.(1)求异面直线EF 和PB 所成角的大小;(2)求证: 平面PCE ⊥平面PBC;(3)求二面角E －PC －D 的大小.21.(本题满分14分)设A 、B 是椭圆3x 2＋y 2=λ上的两点, 点N(1,3)是线段AB 的中点.(1)确定λ的取值范围, 使直线AB 存在, 并求直线AB 的方程.(2)线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C,D 两点, 求线段CD 的中点M 的坐标(3)试判断是否存在这样的λ, 使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由.参考答案1.B2.C3.A4.C5.C6.D7.A8.C9. 120°, 5 310. 求出a,b,c 三个数中最小. 11. 1 12. －4 13, －5414. 6 15. (a －1,a ＋1) 16.解: (1)由图象可知A=2, T 4 = 56 － 13 = 12, ∴T=2, ω= 2πT=π 将点P(13, 2)代入y=2sin(ωx ＋ϕ) , 得 sin(π3＋ϕ)=1, 又|ϕ| < π2, 所以ϕ = π6. 故所求解析式为f(x)=2sin(πx ＋π6) (x ∈R) (2)∵f(a 2π) = 12 , ∴2sin(a 2 ＋π6) = 12 , 即, sin(a 2 ＋π6) =14 ∴cos(2π3 －a)=cos[π－2(π6＋a 2 )] = －cos2(π6＋a 2 ) = 2sin 2(π6＋a 2 )－1 = －7817. 解: (1)∵f(x)=ax 3－4ax 2＋4ax ∴f '(x) =3ax 2－8ax ＋4a .令 f '(x)=0, 得3ax 2－8ax ＋4a=0, ∵a ≠0, ∴ 3x 2－8x ＋4= 0x= 23 或x=2 ∵a>0, ∴当x ∈(－∞, 23)或x ∈(2,＋∞)时 f '(x)>0 ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞, 23]和 [2,＋∞); 当x ∈(23, 2), f '(x)<0∴函数f(x)的单调递减区间为[23, 2]. (2) ∵x ∈(23, 2),时 f '(x)<0 , x ∈(－∞, 23)时, f '(x)>0, x ∈(2,＋∞)时 f '(x)>0 ∴f(x)在x=23时, 取得最大值. 即a ·23(23－2)2=8, 解得a= 27418. （本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分14 分.（Ⅰ）解：P 甲=0.8×0.75=0.6,P 乙=0.75×0.6=0.45…2分（Ⅱ）解：随机变量ξ、η的分别列是E ξ=5×0.6＋3×0.4= 4.2 E η = 4×0.45＋2×0.55= 2.9,2.432.05.268.05=⨯+⨯=ξE .1.24.05.16.05.2=⨯+⨯=ηE（Ⅲ）解：由题设知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,4028,60105y x y x y x 目标函数为4.2 2.9z xE yE x y ξη=+=+作出可行域（如图）：作直线:l 4.2 2.90x y +=将l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上的点M 点与原点距离最大，此时y x z 1.22.4+=取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+.4028,60105y x y x 得x=4,y=4即x=4,y=4时，z 取最大值，z 的最大值为28.419. 解: (1)由题意知2a n =2＋S n , a n >0, 当n=1时, 2a 1=a 1＋2, ∴a 1=2, 当n ≥2时, S n =2a n －2,S n －1=2a n －1－2, 两式相减得a n =2a n －2a n －1,整理得:a n a n －1=2. ∴数列{a n }是以2为首项, 2为公比的等比数列, a n =a 1·2n －1 = 2×2n －1=2n . (2)由(1)知a n = 2n, ∴b n =n, c n = n 2n , T n = 12 ＋ 24 ＋ 38 ＋ …＋ n 2n ① 12 T n = 14 ＋ 28 ＋ …＋ n 2n 1 ② ①－② 得 12 T n = 12 ＋ 14 ＋ 18 ＋ 116 ＋ …＋ n 2n －n 2n ＋1 ∴12 T n =1－12n －n 2n ＋1 ∴ T n = 2－ 2＋n 2n20. 解: 以直线AB 为x 轴, 直线AD 为y 轴, 直线AP 为z 轴建立空间直角坐标系, 如图,则A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)∵E 为AD 的中点, ∴E(0,1,0), 又F 为PC 的中点, ∴F(1,1,1).∴EF →=(1,0,1)又 PB →=(2,0,－2), ∴cos<EF →,PB →> = 1×2+1×(－1)1＋1·4＋4=0 , ∴cos<EF →,PB →> = 90°异面直线EF 和PB 所成角的大小为90°.(2)由(1)知EF ⊥PB, 又∵BC →=(0,2,0), EF →=(1,0,1) ∴EF →·BC →=0, ∴EF ⊥BC∴ 又EF 平面PCE, ∴平面PCE ⊥平面PBC(3)过点D 作DH ⊥PC 于H, 在Rt △PDC 中, PD=22, DC=2, PC=23, 则CH=233, PH:HC=2:1, 又P(0,0,2),C(2,2,0),∴H(43,43,23) ∴DH →=(43,－23,23), 又EF →=(1,0,1) cos<DH →, EF →>= 2263×2 = 32 ∴ <DH →, EF →>= 30°, ∴二面角E －PC －D 的大小辚30° 21. (1)解: 依题意,可设直线AB 的方程为y=k(x －1)＋3, 代入3x 2＋y 2=λ, 整理得(k 2＋3)x 2－2k(k －3)x ＋(k －3)2－λ=0 ①设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1,x 2是方程①的两个不同的根,∴△=4[λ(k 2＋3)－3(k －3)2]>0.② 且x 2＋x 1= 2k(k －3)k 2＋3, 由N(1,3)是线段AB 的中点, 得 x 1＋x 22 =1 , ∴k(k －3)=k 2＋3 解得k=－1, 代入②得λ>12, 即λ的取值范围是(12, ＋∞), ∴直线AB 的方程为y －3=－(x －1),即x ＋y －4=0(2)∵CD 垂直平分AB, 直线CD 的方程为y －3=x －1, 即x －y ＋2=0,代入椭圆方程, 整理得4x 2＋4x ＋4－λ=0 ③ 又设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),CD 的中点C(x 0,y 0), 则x 3,x 4是方程③的两根,∴x 3＋x 4=－1, 且x 0= 12(x 3＋x 4)=－12, y 0 =x 0＋2 = 32, 即M(－12, 32) (3)由弦长公式可得|CD|= 1+(--1k )2|x 1－x 2|= 2(λ－3) ④将直线AB 的方程x ＋y －4=0,代入椭圆方程得4x2－8x ＋16－λ=0 ⑤同理可得|AB|= 1＋k 2·|x 1－x 2|= 2(λ－12) ⑥∵当λ>12时, 2(λ－3)> 2(λ－12) , ∴ |AB|<|CD|, 假设存在λ>12, 使得A 、B 、C 、D 四点共圆, 则CD 必为圆的直径, 点M 为圆心, 点M 到直线AB 的距离为d= |x 0＋y 0－4|2 = |－12＋32－4|2= 322.. ⑦于是由④、⑥、⑦式和勾股定理可得. |MA|2=|MB|2=d 2＋ |AB 2|2 = 92＋ λ－122 = λ－32 = |CD 2|2. 故当λ>12时, A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心, |CD 2| 为半径的圆上.。