高中数2020学回归课本校本教材26---概率统计排列组合二项式定理
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
排列组合、二项式定理与概率统计
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。
它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。
它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。
这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。
它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。
这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。
排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
高中数学公式大全排列组合与二项式定理
高中数学公式大全排列组合与二项式定理高中数学公式大全：排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式，它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
本文将为您详细介绍排列组合与二项式定理的相关内容。
一、排列组合排列和组合是排列组合问题中最基础的概念。
排列表示从一组元素中选取若干元素按照一定顺序排列的方式，而组合则表示从一组元素中选取若干元素，顺序不考虑。
下面是排列组合中常见的公式：1. 排列公式：排列公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，按照一定顺序排列的方式。
排列的数量表示为 P(n,m)，计算公式如下：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n! 表示 n 的阶乘。
2. 组合公式：组合公式用于求解从 n 个元素中取出 m 个元素，顺序不考虑的方式。
组合的数量表示为 C(n,m)，计算公式如下：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、二项式定理二项式定理是高中数学中另一个重要的公式，它表示了任意实数a、b 和正整数 n 的 n 次幂展开后，各项的系数。
二项式定理为：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中，C(n,m) 表示组合数，表示从 n 个元素中选取 m 个元素的方式数。
三、应用举例1. 排列组合的应用：在一群人中选出特定的几个人组成小组，或者在一串数字中找出满足某种条件的特定数字。
排列组合在组合数学、概率论等领域有广泛的应用。
2. 二项式定理的应用：在数学展开、概率计算、代数运算等方面常常用到二项式定理。
它在概率论中常用于计算二项分布的概率，也可以用于计算方程式的展开。
总结：排列组合与二项式定理是高中数学中重要的概念和公式。
它们在概率论、组合数学、代数等领域都有广泛应用。
高中数学高考专题26 排列组合、二项式定理(解析版)
专题26 排列组合二项式定理命题规律内 容典 型１ 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8 ２ 求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14 ３ 求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12 ４ 利用计数原理计算组合问题2020年高考山东卷3 ５利用计数原理计算排列组合的综合问题2020年高考全国Ⅱ卷理数14命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论. 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），∴2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155rrrr rr r xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==，在615r r rr xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5，∴33x y 的系数为10515+=，故选C ． 2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数【解决之道】解决此类问题，设指定项为二项式展开式的第r 项，利用通项公式，列出关于r 的方程，解出r ，即可求出指定的系数.【三年高考】1.【2020年高考北京卷3】在)52的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】C【解析】由题意展开式的通项为T r+1=C 5r（x 12）5−r(−2)r ==C 5r (−2)r x5−r2，令r=1得x 2的系数为-10，故选C ．2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 （用数字作答）． 【答案】240【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其二项式展开通项：()62612rr rr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r xC x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅，当1230r -=，解得4r =，∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．3.【2020年高考天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．5.【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．6.【2018年高考浙江卷】二项式81)2x的展开式的常数项是__________． 【答案】7【解析】二项式812x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848318811C C 22rr rrrr r T xx --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令8403r -=得2r =，故所求的常数项为2821C =72⋅．故答案为：7． 7.【2018年高考天津卷理数】在5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52【解析】二项式5(x -的展开式的通项公式为35521551C C 2r rr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：225115C 10242⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：52．命题规律三 求二项式展开式中奇数项系数【解决之道】解决此类问题，要熟记二项式展开式的系数性质，利用赋值法，即可列出二项式系数的方程（组），系数和即赋值1x =，偶数项系数和减去奇数项系数和即赋值1x =-，通过解方程即可求出偶数项（奇数项）系数和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= ．【答案】80；51【解析】由题意可知5a 表示4x 的系数，即4455280a C =⋅=，11a =，125210a C =⋅=，2235240a C =⋅=，∴12351a a a ++=．命题规律四 利用计数原理计算组合问题【解决之道】排列组合问题常见解法:（1）元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
高考数学回归课本教案：排列组合与概率
高考数学回归课本教案：排列组合与概率一、教学目标1. 理解排列组合的概念，掌握排列组合的计算方法。
2. 理解概率的基本原理，掌握概率的计算方法。
3. 能够运用排列组合和概率的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 排列组合的概念和计算方法。
2. 概率的基本原理和计算方法。
3. 排列组合和概率在实际问题中的应用。
三、教学重点1. 排列组合的计算方法。
2. 概率的计算方法。
四、教学难点1. 排列组合的复杂计算。
2. 概率的推理和计算。
五、教学方法1. 采用讲解、示例、练习相结合的方法，帮助学生理解和掌握排列组合和概率的知识。
2. 通过实际问题的讨论，培养学生的应用能力。
一、排列组合的概念和计算方法1. 排列的概念和计算方法a. 排列的定义b. 排列的计算公式c. 排列的示例和练习2. 组合的概念和计算方法a. 组合的定义b. 组合的计算公式c. 组合的示例和练习二、概率的基本原理和计算方法1. 概率的概念和计算方法a. 概率的定义b. 概率的计算公式c. 概率的示例和练习2. 条件概率和独立事件的概率a. 条件概率的定义和计算方法b. 独立事件的定义和概率计算方法c. 条件概率和独立事件的示例和练习三、排列组合和概率在实际问题中的应用1. 排列组合在实际问题中的应用a. 人员安排问题的解决b. 活动安排问题的解决c. 排列组合应用题的练习2. 概率在实际问题中的应用a. 概率在决策中的应用b. 概率在预测中的应用c. 概率应用题的练习这只是一个初步的教案框架，具体的内容可以根据实际需要进行调整和补充。
希望对你有所帮助。
六、排列组合的综合应用1. 排列组合的综合问题解决a. 多重排列组合问题的分析b. 排列组合问题的高级应用c. 综合应用题的练习七、概率的进一步理解和应用1. 概率的公理体系和性质a. 概率的基本公理b. 概率的互补事件和独立事件的性质c. 概率的练习题2. 随机事件的分布a. 离散型随机变量的定义和性质b. 连续型随机变量的定义和性质c. 随机事件分布列的练习题八、概率的计算方法1. 直接计算法a. 利用概率的基本性质计算概率b. 利用排列组合计算概率c. 直接计算法的练习题2. 条件计算法a. 利用条件概率计算概率b. 利用独立事件的概率计算概率c. 条件计算法的练习题九、概率分布和期望值1. 离散型随机变量的期望值a. 离散型随机变量的期望值的定义和性质b. 离散型随机变量期望值的计算方法c. 离散型随机变量期望值的练习题2. 连续型随机变量的期望值a. 连续型随机变量的期望值的定义和性质b. 连续型随机变量期望值的计算方法c. 连续型随机变量期望值的练习题十、实际问题的概率分析和解决1. 概率模型构建a. 实际问题概率模型的建立b. 概率模型的求解和分析c. 概率模型构建的练习题2. 实际问题的概率解决a. 利用概率解决随机事件问题b. 利用概率解决决策问题c. 实际问题概率解决的练习题重点和难点解析一、排列组合的概念和计算方法难点解析：排列组合的复杂计算，尤其是当元素数量较多时，如何快速准确地计算出结果。
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
高中数学排列组合与二项式定理
高中数学排列组合与二项式定理第一篇：高中数学排列组合与二项式定理排列组合与二项式定理1．（西城区）在(2x2-A．－5 1x)的展开式常数项是 6 D．60（）B．15 C．－602．（东城区）8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有（）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种3．（海淀区）从3名男生和3名女生中，选出2名女生1名男生分别担任语文、数学、英语的课代表，则选派方案共有（）A．18种B．36种C．54种D．72种4．(崇文区)某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛，对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员，则不同的选法共有A．50种B．150种C．300种 D．600种（）5．（丰台区）把编号为1、2、3、4的4位运动员排在编号为1、2、3、4的4条跑道中，要求有且只有两位运动员的编号与其所在跑道的编号相同，共有不同的排法种数是()A． 3B．6C．12D．246．（朝阳区）从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种x6B．186种 7C．180种 D．90种 7．（东城区）已知(x-)展开式的第4项的值等于5，则x= 48．（海淀区）在(ax-1)的展开式中x的系数是240，则正实数a9．（宣武区）设二项式(33x+1x)的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，n若P+S=272，则n=,其展开式中的常数项为.210．(崇文区)若(x+1x2)展开式中只有第四项的系数最大，则，展开式中的第五n项为11．（丰台区）.在(x+1a)的展开式中，含x与x项的系数相等，则a的值是 75412．（朝阳区）若(1－ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是13．（宣武区）现有A、B、C、D、E、F、共6位同学站成一排照像，要求同学A、B相邻，C、D不相邻，这样的排队照像方式有DBCCBC7.-1715x411.53;12.±213.144第二篇：高中数学排列组合与二项式定理知识点总结排列组合与二项式定理知识点１．计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)２．排列（有序）与组合（无序）Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!－k!３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想.４．二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m最大二项式系数在中间。
高考数学回归课本教案排列组合与概率
高考数学回归课本教案排列组合与概率一、章节概述本章主要涉及排列组合和概率两个方面的知识。
排列组合是研究如何从多个不同元素中选取一部分元素进行排列或组合的问题，它是组合数学的一个重要分支。
概率则是对随机事件发生可能性的一种度量，它是数学统计学的基础。
本章将重点讲解排列组合的基本原理和方法，以及概率的基本概念和计算方法。
二、教学目标1. 理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本原理和方法。
2. 掌握概率的基本概念，了解常用概率计算方法。
3. 能够应用排列组合和概率的知识解决实际问题。
三、教学内容1. 排列组合的概念和原理排列的定义和计算方法组合的定义和计算方法排列组合的性质和公式2. 概率的基本概念随机事件的定义和分类必然事件、不可能事件和不确定事件概率的定义和计算方法3. 常用概率计算方法古典概型的概率计算条件概率和独立事件的概率计算互斥事件的概率计算四、教学方法1. 采用讲解法，通过教师的讲解和举例，让学生理解排列组合和概率的基本概念和方法。
2. 采用案例分析法，通过具体的案例和问题，让学生学会应用排列组合和概率的知识解决实际问题。
3. 采用练习法，通过布置相关的习题和作业，让学生巩固和提高排列组合和概率的计算能力。
五、教学评估1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的参与程度，包括提问、回答问题和讨论等，以评估学生对排列组合和概率知识的理解程度。
2. 习题练习：布置相关的习题和作业，要求学生在规定时间内完成，以评估学生的排列组合和概率计算能力。
六、章节概述本章将继续深入探讨排列组合和概率的相关概念。
我们将重点讲解排列组合在实际问题中的应用，以及概率的一些高级计算方法。
学生将能够通过实例更好地理解排列组合和概率的理论知识，并能够运用这些知识解决实际问题。
七、教学目标1. 学会运用排列组合知识解决实际问题。
2. 掌握概率的高级计算方法，如全概率公式和贝叶斯公式。
3. 能够运用概率知识对现实事件进行合理判断和预测。
高考数学回归课本教案排列组合与概率
高考数学回归课本教案排列组合与概率一、教学目标1. 理解排列组合的基本概念和方法，掌握排列数公式和组合数公式的运用。
2. 掌握概率的基本原理和方法，能够运用概率公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决数学问题的能力。
二、教学内容1. 排列组合的概念和方法排列的概念和排列数的计算公式组合的概念和组合数的计算公式排列组合的综合应用举例2. 概率的基本原理随机事件的定义和分类必然事件、不可能事件和不确定事件的区分概率的定义和计算方法三、教学重点和难点1. 教学重点：排列组合的概念和方法的掌握概率的基本原理和计算方法的运用2. 教学难点：排列组合的综合应用举例概率公式的灵活运用解决实际问题四、教学方法和手段1. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等相结合的教学方法。
通过具体例题和练习题，引导学生主动思考和解决问题。
2. 教学手段：使用多媒体教学课件，展示排列组合和概率的相关概念和例题。
提供充足的练习题和学习资料，帮助学生巩固知识点。
五、教学安排1. 课时：本章共计4 课时。
2. 教学进度安排：课时1：排列组合的概念和方法（排列数公式、组合数公式）课时2：排列组合的综合应用举例课时3：概率的基本原理（随机事件、必然事件、不可能事件）课时4：概率的计算方法（概率公式应用）六、教学活动设计1. 排列组合的概念和方法通过具体例子引入排列组合的概念，如举办运动会比赛项目的安排。
讲解排列数公式和组合数公式的推导过程，让学生理解其含义。
2. 概率的基本原理通过具体例子引入随机事件的概念，如抛硬币、抽奖等。
讲解必然事件、不可能事件和不确定事件的定义和区分。
七、教学评估设计1. 排列组合的概念和方法通过课堂提问，检查学生对排列组合概念的理解程度。
通过例题练习，评估学生对排列数公式和组合数公式的掌握情况。
2. 概率的基本原理通过课堂提问，检查学生对随机事件的定义和分类的理解程度。
通过例题练习，评估学生对概率的定义和计算方法的掌握情况。
高考数学回归课本教案排列组合与概率
高考数学回归课本教案——排列组合与概率教学目标：1. 理解排列组合的基本概念和方法，掌握排列组合的计算公式。
2. 理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法。
3. 能够运用排列组合和概率的知识解决实际问题。
教学内容：第一章：排列组合基本概念1.1 排列的概念和计算公式1.2 组合的概念和计算公式第二章：排列组合的进一步应用2.1 排列组合的综合应用2.2 排列组合在实际问题中的应用第三章：概率的基本概念3.1 随机事件的概念3.2 概率的定义和计算方法第四章：概率的进一步应用4.1 条件概率和独立事件4.2 概率的乘法公式和全概率公式第五章：概率分布和统计5.1 离散型随机变量的概率分布5.2 连续型随机变量的概率分布教学方法：1. 采用讲授法，讲解排列组合和概率的基本概念和方法。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的应用。
3. 采用练习法，让学生通过练习题目的方式巩固知识点。
教学评估：1. 课堂练习：每章结束后进行课堂练习，检查学生对知识的掌握程度。
2. 课后作业：布置课后作业，要求学生在规定时间内完成。
3. 单元测试：每个模块结束后进行单元测试，评估学生对模块知识的掌握情况。
教学资源：1. 教材：《高考数学复习课本》2. 教辅资料：《高考数学排列组合与概率专项训练》3. 网络资源：相关排列组合和概率的教学视频和案例分析。
教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：4课时教学总结：通过本章教学，学生应能够掌握排列组合的基本概念和方法，能够灵活运用排列组合的计算公式解决实际问题。
学生还应理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，并能够运用概率的知识解决实际问题。
高考数学回归课本教案——排列组合与概率（续）教学内容：第六章：排列组合的综合应用6.1 排列组合在数学问题中的应用6.2 排列组合与其他数学领域的综合应用第七章：概率的乘法公式和全概率公式7.1 概率的乘法公式的推导和应用7.2 全概率公式的推导和应用第八章：条件概率和独立事件8.1 条件概率的定义和计算方法8.2 独立事件的定义和计算方法第九章：离散型随机变量的概率分布9.1 离散型随机变量的概率分布的概念和性质9.2 几种常见的离散型随机变量的概率分布及其应用第十章：连续型随机变量的概率分布10.1 连续型随机变量的概率分布的概念和性质10.2 几种常见的连续型随机变量的概率分布及其应用教学方法：1. 采用案例分析法，分析排列组合和概率在实际问题中的应用。
二项式定理与排列组合的知识点总结
二项式定理与排列组合的知识点总结二项式定理是高中数学中的一个重要定理，它与排列组合有着密切的联系。
本文将对二项式定理和排列组合的知识点进行总结，希望能够为读者提供清晰明了的概念和理解。
一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象的一种组织方式。
排列是指将一组元素按照一定顺序进行布置，而组合是指从一组元素中取出若干元素组成一个集合。
1. 排列排列是指从一组元素中有序地选取若干个元素进行布置。
主要分为两种类型：有放回排列和无放回排列。
有放回排列是指在选择完元素后将其放回原处，元素可以被多次选取。
而无放回排列是指在选择完元素后不放回，下次选择时不能再选取。
2. 组合组合是指从一组元素中无序地选择若干个元素进行组合。
同样地，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种类型。
二、二项式定理的概念和公式二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开二项式的幂。
它表述了如下公式：(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n其中，a，b是实数或者变量，n为非负整数。
C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数，也称为二项系数。
具体计算公式如下：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)三、二项式定理与排列组合的关系二项式定理中的二项系数C(n, k)正是组合数的计算公式，说明了二项式展开式中各项系数的求解方法。
1. 二项式系数的性质二项系数具有一些重要的性质，包括对称性、加法原理和乘法原理等。
这些性质在解决排列组合问题时具有重要的指导作用。
2. 应用举例利用二项式定理和排列组合的知识，可以解决一些实际问题。
比如，求解一组数的幂展开式中某一项的系数、计算某些特殊排列组合的总数等等。
四、应用示例在实际应用中，二项式定理与排列组合经常被用于解决一些概率、统计和计算问题。
2020届高三数学总复习第十章 排列、组合、二项式定理和概率、统计
十年高考分类解析与应试策略数学第十章 排列、组合、二项式定理和概率、统计●考点阐释本章从内容到方法都是比较独特的，是进一步学习概率论的基础知识.其中分类计数原理和分步计数原理是本章的基础，它是学习排列、组合、二项式定理和计算事件的概率的预备知识.在对应用题的考查中，经常要运用分类计数原理或分步计数原理对问题进行分类或分步分析求解，如何灵活利用这两个原理对问题进行分类或分步往往是解应用题的关键.从两个原理上，完成一件事的“分类”和“分步”是有区别的，因此在应用上，要注意将两个原理区分开.排列、组合也是本章的两个主要概念.定义中从n 个不同元素中，任取M （M ≤n ）个元素“按一定的顺序排成一列”与不管怎样的顺序“并成一组”是有本质区别的.只有准确、全面把握这两个概念，才能正确区分是排列问题，还是组合问题.具体解决手段：只要取出2个元素交换看结果是否有变化.二项式定理中，公式一般都能记住，但与其相关的概念如：二项式系数、系数、常数项、项数等，学生易混，须在平常加以对比分析，对通项公式重点训练.应用上要注意：①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项随之确定.②公式表示的是第r +1项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和为n .④r 的取值从0到n ，共n +1个.古典概型是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练掌握排列组合的基本知识.熟练掌握五种事件的概率以及抽样方法、总体分布的估计、期望和方差. ●试题类编 一、选择题1.（2003京春理，9）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）A.42B.30C.20D.122.（2003京春文，10）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）A.6B.12C.15D.303.（2002京皖春理，6）从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）A.280种B.240种C.180种D.96种4.（2002京皖春文，6）若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（ ）A.180种B.360种C.15种D.30种5.（2002京皖春理，10）对于二项式（x1+x 3）n（n ∈N *），四位同学作出了四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项 ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项 ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项 ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项上述判断中正确的是（ ）A.①③B.②③C.②④D.①④6.（2002京皖春文，10）在（x1+x 2）6的展开式中，x 3的系数和常数项依次是（ ） A.20，20 B.15，20 C.20，15 D.15，157.（2002全国文，12、理，11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）A.8种B.12种C.16种D.20种8.（2002北京文，9）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（ ）A.480B.240C.120D.969.（2002北京理，9）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A.4448412C C C 种B.34448412C C C 种C.3348412AC C种D.334448412A C C C 种 10.（2001京皖春，3）1222C C lim ++∞→n n n nn 等于（ ）A.0B.2C.21D.41 11.（2001天津理，9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种12.（2000京皖春，8）从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”（其中“ｑu ”相连且顺序不变）的不同排列共有（ ）A.120个B.480个C.720个D.840个13.（1999全国理，8）若（2x ＋3）4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋ax 4，则（a 0＋a 2＋a 4）2－（a 1＋a 3）2的值为（ ） A.1 B.－1 C.0 D.214.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种B.6种C.7种D.8种15.（1998全国理，11）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1 名医生和2名护士.不同的分配方法共有（ ） A.90种 B.180种 C.270种 D.540种 16.（1997全国理，15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）A.150种B.147种C.144种D.141种17.（1997全国文）四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有（ ）A.30种B.33种C.36种D.39种 18.（1996全国文）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A.720种 B.360种 C.240种 D.120种19.（1995全国文15，理13）用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）A.24个B.30个C.40个D.60个 20.（1995全国，6）在（1－x 3）（1+x ）10的展开式中，x 5的系数是（ ） A.－297 B.－252 C.297 D.20721.（1994全国，10）有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种22.（1994上海，18）计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）A.5544A A 种 B.554435A A A 种 C.554413A A A 种D.554422A A A 种二、填空题23.（2003上海春，9）8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有_____场比赛.24.（2002上海7）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增至14名，但只任取其中7名裁判的评分作为有效分.若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是_____.（结果用数值表示）25.（2002上海春，7）六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是_____.26.（2002上海春，5）若在（xx 15）n的展开式中，第4项是常数项，则n = . 27.（2002全国理，16）（x 2+1）（x －2）7的展开式中x 3项的系数是 . 28.（2002上海文，9）某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天.29.（2002天津文，15）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）：其中产量比较稳定的小麦品种是_____.30.（2001上海，7）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种．（结果用数值表示）31.（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .32．（2001上海理，8）在代数式（4x 2－2x －5）（1＋21x）5的展开式中，常数项为 ． 33.（2001全国文，13）（21x ＋1）10的二项展开式中x 3的系数为 . 34.（2001上海春）在大小相同的6个球中，2个红球，4个白球.若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是_____.（结果用分数表示）35.（2001广东河南，13）已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组成共有 种可能（用数字作答）.36.（2001江西、山西、天津理）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_____.（用数字作答）37.（2001上海文）利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_____.38.（2000上海春，4）若（x +a ）5的展开式中的第四项是10a 2（a 为大于零的常数），则x =_____.39.（2000上海春，10）有n （n ∈N *）件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种，则n =_____.40.（2000京皖春理，17）103)1(xx 展开式中的常数项是_____.41.（2000全国文、理，3）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）.42.（2000年上海，9）在二项式（x －1）11的展开式中，系数最小的项的系数为 .（结果用数值表示）43.（2000上海，10）有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3.现任取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 .44.（2000两省一市理，13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数以ξ的概率分布是45.（1999全国，16）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有_____种（用数字作答）.46.（1999上海理，3）在（x 3+22x）5展开式中，x 5项的系数为 . 47.（1999上海理，11）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2=16内的概率是 .48.（1998全国理，17）（x +2）10（x 2－1）的展开式中x 10的系数为_____（用数字作答）.49.（1998上海，9）设n 是一个自然数，（1＋n x ）n的展开式中x 3的系数为161，则n =_____.50.（1997全国，16）已知（2x x a）9的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_____. 51.（1997上海，11）若（3x +1）n （n ∈N *）的展开式中各项系数的和是256，则展开式中x 2的系数是_____.52.（1997上海，16）从集合｛0、1、2、3、5、7、11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax +By +C =0中的A 、B 、C ，所得经过坐标原点的直线有_____条（结果用数值表示）.53.（1996全国，17）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有_____个（用数字作答）.54.（1996上海，17）有8本互不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_____种（结果用数字表示）.55.（1996上海理，14）在（1+x ）6（1－x ）4的展开式中，x 3的系数是_____（结果用数值表示）.56.（1995上海，13）若（x +1）n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1（n ∈N *），且a ∶b ＝3∶1，那么n =_____.57.（1995上海，19）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取法有_____种.（结果用数值表示）.58.（1995全国，20）四个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_____种.（用数字作答）59.（1994全国，16）在（3－x ）7的展开式中，x 5的系数是_____（用数字作答）. 三、解答题60.（2002天津文20，理19）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？61.（2001江西、山西、天津）如图10—1，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1，N 2.当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0．80、0．90、0．90.分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.62.（2001上海理）对任意一个非零复数z ，m z ={ω|ω=z 2n －1，n ∈N }（1）设α是方程x +21=x的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P .（2）设复数ω∈M z ，求证：M ω⊆M z .63.（2001全国理，20）已知i ，m ，n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n . （1）证明n i i m A ＜m i i n A ；（2）证明（1＋m ）n ＞（1＋n ）m .64.（2000江西、山西、天津理，17）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？65.（2000上海，22）规定!)1()1(C m m x x x mx+-⋅⋅-⋅=Λ，其中x ∈R ，m 是正整数，且0C x =1，这是组合数mn C （n 、m 是正整数，且m ≤n 的一种推广）.（1）（文）求315C -的值； （理）求515C -的值；（2）（文）设x ＞0，当x 为何值时，213)C (C x x 取最小值？（理，文2）组合数的两个性质： ①m n nmn-=C C . ②mn m n m n 11C C C +-=+. 是否都能推广到mx C （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，请写出推广的形式，并图10—1给出证明；若不能，则说明理由.（3）（理）已知组合数mn C 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，mn C ∈Z . 66.（1996全国文24，理23）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?●答案解析 1.答案：A解析：这是一个插空问题，应分两类：第一类，新增的两个节目连在一起；第二类，两个新增节目不连在一起，而原来的5个节目可看做分出6个空位.第一类则有2×16A 种不同的插法，第二类则有26A 种不同的插法.应用分类计数原理，共有12+30=42种不同的插法. 评述：该题是应用问题，内容贴近学生，有一定的综合性、灵活性、考查分析，解决问题及逻辑思维的能力.同时应有周密的思维习惯.2.答案：D解析：见第1题. 3.答案：B解析：因为甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作.因此，翻译工作从余下的四名志愿者选一人有14A 种，再从余下的5人中选3人从事导游、导购、保洁有35A 种.因此3514A A =240.4.答案：B 解析：46A =360. 5.答案：D 解析：二项式（x 1+x 3）n 展开式的通项为T r +1=r n C (x1)n －r (x 3)r =r n C x r －n ·x 3r =r n C x 4r －n 当展开式中有常数项时，有4－n =0，即存在n 、r 使方程有解.当展开式中有x 的一次项时，有4r －n =1，即存在n 、r 使方程有解. 即分别存在n ，使展开式有常数项和一次项. 6.答案：C 解析：二项式（x1+x 2）6展开式的通项为： T r +1=636266C )()1(C --=r r r r rx x x∴当T r +1为x 3项时，r =3，∴T r +1=36C ·x 3=20·x 3 当T r +1为常数项时，r =2，∴T r +1=26C =157.答案：B解析：联想以空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即16C ·12C ；也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即：1836C C -. 8.答案：B解析：先把5本书中的两本捆起来（25C ），再分成四份（44A ），∴分法种数为25C ·44A =240（种）.9.答案：A解析：先分配4个人到第一个路口，再分配4个人到第二个路口，最后分配4个人到第三个路口，即：412C ·48C ·44C .10.答案：D解析：原式＝n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 2411)12(21)12)(22()1)(1(A A A A A A A A 122112111222++=++=++++=⋅⋅=++++++++ ∴41C C lim 1222=++∞→n n n nn 11.答案：A 解析：设该队胜x 场，平y 场，则负（15－x －y ）场，由题意得3x +y =33， ∴y =33－3x ≥0∴x ≤11，且x +y ≤15，（x ，y ∈N ） 因此，有以下三种情况：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==69310011y x y x y x 或或 评述：本题利用不定方程及穷举法解决排列、组合问题. 12.答案：B解析：4436A C ＝480．13.答案：A 14．答案：C解法一：由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种，故共有1＋2＋4＝7种不同的选购方式，答案为C.解法二：先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘、再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿解法一可知选C.评述：本题主要考查分类计数原理、分类讨论思想.背景简单，但无现成模式可用，对分析解决问题的能力有较高要求.15.答案：D解析：设计让3所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有2613C C 种，再由学校乙挑选，有2412C C 种，余下的到学校丙只有一种，于是不同的方法数共有13C ·26C ·2412C C ＝540种，答案为D.评述：设计一个程序是解答排列组合应用题的常见解法. 16.答案：D解法一：10个点任取4个点取法有410C 种，其中面ABC 内的6个点中任意4点都共面，从这6点中任取4点有46C 种，同理在其余3个面内也有46C 种，又每条棱与相对棱中点共面有6种，各棱中点中4点共面的有3种，故10个点中取4点，不共面的取法共有36C 4C 46410---＝141种.解法二：四面体记之为A —BCD ，设平面BCD 为α，那么从10个点中取4个不共面的点的情况共有四类：（1）恰有3个点在α上，有4（3C 36-）＝68种取法；（2）恰有2个点在α上，可分两种情况：该2个点在四面体的同一条棱上时有3)3C (C 2423-＝27种，该2个点不在同一条棱上，有（2326C 3C -）·（24C －1）＝30种；（3）恰有1个点在α上，可分两种情况，该点是棱的中点时有3×3＝9种，该点是棱的端点时有3×2＝6种；（4）4个点全不在α上，只有1种取法.根据分类计数原理得，不同的取法共有68＋27＋30＋9＋6＋1＝141种．评述：本题对空间想象能力要求较高，对观察能力和思维能力要求也高.在应用背景及其限制条件下合理分类是解题的关键.17.答案：B解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面，点A 所在的每个面中含A 的4点组合有35C 个，点A 在3个面内，共有335C 个组合，点A 在6条棱的三条棱上，每条棱上有3个点，这3点与对棱的中点共面，所以与点A 共面的四点组合共有335C +3=33（个）评述：本题考查组合的知识和空间想象能力.对考生的观察能力和思维能力有较高要求，考生失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算入内.18.答案：C解析：把甲、乙两人看作1个人，这样6个人看作5个人，5个人的全排列有55A 种，甲、乙两个人还有顺序问题，所以排法总数为55A ·22A =240（种）评述：这是一道有限制条件的排列题，考查排列的概念和排列数公式.“相邻问题”是一个常见的典型问题.19.答案：A解法一：其中2在个位的三位数有24A 个，4在个位的三位数有24A 个，故没有重复数字的三位偶数共有224A ＝24个，故选A.解法二：先排个位有12A 种，再排十位、百位有24A 种，于是合乎要求的三位偶数共有2412A A ＝24个.故选A. 评述：本题为有特殊要求的排列问题，考查排列基础知识和逻辑推理能力. 20.答案：D解析：∵原式=（1+x ）10－x 3（1+x ）10.∴欲求原展开式中x 5的系数，只需求出（1+x ）10展开式中x 5和x 2的系数.而（1+x ）10=1+…+210C x 2+…+510C x 5+….故（1－x 3）（1+x ）10展开式中，x 5的系数为510C －210C =207.21.答案：C解法一：从10人中选派4人有410C 种，进而对选出的4人具体分派任务，有1224C C 种，由分步计数原理得不同的选派方法为1224410C C C ＝2520种，答案为C.解法二：据分步计数原理，不同选法种数为210C ·18C ·17C ＝2520种.评述：本题主要考查组合和分步计数原理，答数较大，对组合数的计算要求较高.方法一用的是先选后派方法是处理排列组合应用题的基本方法.22.答案：D解析：先各看成整体，但水彩画不在两端，则为22A ，然后水彩画与国画各全排列，所以共有554422A A A ．23.答案：16解析：分两组比赛，每组有24C 场，每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场，三、四名比赛，冠亚军比赛，共有224C +2+2=16（场）24.答案：133 解析：有效分应该是由没有受贿裁判的评分，因此，7名裁判应从12人中选712C ，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是133C C 714712 .25.答案：201 解析：因为后排每人均比前排人高，因此应将6人中最高的3个人放在后排，其余3人站前排.故所有排法有33A ·33A =36种.故后排每人均比前排同学高的概率为201A A A 663333=⋅ 26.答案：18 解析：∵5183333534)1(C )1()(C ---=-=n n n nx xx T 为常数项. ∴518-n =0，即n =18. 27.答案：1008解析：系数为：17C （－2）6+37C （－2）4=1008.28.答案：11解析：要完成某项工序，必须先完成它的紧前工序且在紧前工序完成的条件下，若干件工序可同时进行，因而工程总时数为：3+2+5+1=11（天）.29.答案：甲解析：根据题意，需要比较2*甲S 和2*乙S由于2*甲S =0.158，2*乙S =0.552 因此甲产量比较稳定. 30.答案：7解析：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有245C 25⨯=＝10（种） 选择方式至少为200种，设素菜为x 种，∴252C C x ≥2002)1(-x x ≥20，x （x －1）≥40，x ≥7 ∴至少应为7种素菜. 31.答案：2n （n －1）解析：先在圆上找一点，2n 个点因为是等分点，所以过圆心的直径应有n ，减去过这点的直径，剩下的直径n －1个都可以与这个点形成直角三角形，∴一个点可以形成n －1个直角三角形，这样的点有2n 个.∴一共为2n （n －1）. 32.答案：15解析：15205)1(1C )4()1(1C 512415202505=+-=+-xx x . 33.答案：15解析：15816891081C )21(C 3103310=⨯⨯⨯=⨯=34.答案：54 解析：所选3球中至少有一个红球的选法有12C ·2224C C +·14C =16（种） 从6个球中任选3个球的选法有36C =20（种）. 故概率p =542016=. 评述：本题主要考查对可能事件的概率计算，以及考生分析问题解决问题的能力.古典概率是学习概率与统计的起点，而掌握古典概型的前提是能熟练地掌握排列组合的基本知识.35.答案：4900解析：完成这件事可分为两步：第一步：从甲组8人中抽取4个，有48C 种方法； 第二步：从乙组8人中抽取4人，有48C 种方法. 因此，比赛人员的组成共有48C ·48C =4900种可能.评述：本题考查分步计数原理、组合的概念以及组合数的运算，考查分析问题、解决问题的能力.36.答案：1.2解析：设其中含红球个数为x ，则x =1或 x =2.而含一个红球的概率A 1=106C C C 251213=⋅含两个红球的概率为A 2=103C C 2523=∴含红球个数的数学期望为1×106+2×103=1.2 评述：本题考查数学期望的概念、概率的概念及它们的计算.37.答案：A 3解析：A 1的数学期望：1x E =0.25×50+0.30×65+0.45×26=43.7 A 2的数学期望：2x E =0.25×70+0.30×26+0.45×16=32.5 A 3的数学期望：3x E =0.25×（－20）+0.30×52+0.45×78=45.7A 4的数学期望：4x E =0.25×98+0.30×82+0.45×（－10）=44.6评述：本题考查概率与数学期望，考查学生识表的能力.对图表的识别能力，是近年高考突出考查的热点.图表语言与其数学语言的相互转换，应成为数学学习的一个重点，应引起高度重视.38.答案：a1 解析：∵x a a x T 33352135410)(C ==-，∴x ＝a1.39.答案：5解析：由11A 2--n n ＝48，得11A --n n ＝24，∵44A ＝24，∴n ＝5. 40.答案：210 解析：T r ＋1＝65301031102110)1(C )()(Cr rr rrr xx x ----=-⋅，令30－5r =0，得r =6.∴常数项T 7＝610C ·（－1）6＝210．41.答案：252解析：222733A C A ＝252．42.答案：－462解法一：因为在（x －1）11的展开式中，各项的二项式系数与系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项511C x 6（－1）5．第七项611C x 5（－1）6，所以得系数最小的项的系数为462C 511-=-． 解法二：展开式中第r +1项为r rrx)1(C 1111--，要使项的系数最小，则r 为奇数，且使r11C 为最大，由此得r =5，所以项的最小系数为462)1(C 5511-=-．43.答案：141解析：从9面旗帜中任取3面，共有39C （种）取法. 现取3面，颜色与号码均不相同共有13C ·12C ·11C =6（种） 因此，所求概率为141846C 639==. 44.答案：解析：设次品数为ξ，则ξ~（2，0.05），其中p =0.05为次品率，则q =0.95为正品率，于是由二项分布公式（列成表格）：即得所求结果.45.答案：12解析：先考虑A 种植在左边的情况，有三类：A 种植在最左边一垄上时，B 有三种不同的种植方法；A 种植在左边第二垄上时，B 有两种不同的种植方法；A 种植在左边第三垄上时，B 只有一种种植方法.又B 在左边种植的情况与A 时的相同，故共有2×（3＋2＋1）＝12种不同的选垄方法.评述：本题主要考查两个基本原理、分类讨论思想，对分析解决问题的能力有较高要求. 46.答案：40解析：由通项公式T r +1=r5C （x 3）5－r ·（22x ）r =r 5C ·2r ·x 15－5r由题意，令15－5r =5.得r =2. ∴含x 5项的系数为25C ·22=40. 47.答案：92 解析：掷两次骰子分别得到的总数m 、n 作为P 点的坐标共有16A ·16A =36（种）可能结果，其中落在圆内的点有8个：（1，1）、（2，2）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（3，1）、（2，3）、（3，2），则所求的概率为92368=. 评述：本题考查点与圆的位置关系，概率概念等基础知识以及运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决实际问题的能力.48.答案： 179解析：展开式中x 10的系数与（x +2）10的展开式中x 10的系数和x 8的系数有关，由多项式运算法则知所求系数为010C ·（－1）＋210C ·22·1＝179.评述：本题考查在逻辑思维能力上的要求，兼考查分类讨论的思想.49. 答案：4 解析：T r ＋1＝r rn n x )(C ，令r =3得x 3的系数1611C 33=n n ，解得n =4. 50.答案： 4解析：T r ＋1＝929299292C )1()()2()1(C -+---⋅⋅⋅-=-r rr r r r r r rr x a xa x当392=-+r r ，即r =8时，492C )1(28898=⋅⋅--a ，解得a =4.评述：本题考查二项式定理的基础知识，重点考查通项公式和项的系数的概念，兼考运算能力.51.答案： 54解析：令x =1得展开式各项系数之和4n ＝256解得n =4，所以x 2的系数是24C ·32＝54． 52.答案：30解析：因过原点的直线常数项为0知c =0，从集合中任取两个非零元素作系数A 、B 有26A 种，所以适合条件的直线有26A ＝30条.53.答案： 32解析：7个点任取3点的组合数37C ＝35，其中三点在一线上不能组成三角形的有3个，故组成三角形的个数为35－3＝32个. 评述：本题是有限制条件的组合应用题，背景采用几何图形，对逻辑思维能力要求较高.易出现不排除不构成三角形的情况的错误.54.答案： 1440解析：将数学书与外文书分别捆在一起与其他3本书一起排，有55A ＝120种排法，再将3本数学书之间交换有33A ＝6种，2本外文书之间交换有22A ＝2种，故共有223355A A A ＝1440种排法.55.答案： －8解析：原式=（1＋x ）2（1－x 2）4＝（1＋2x ＋x 2）(1－x 2)4含x 3的项为2x ·14C ·(－x 2)＝－8x 3，故x 3的系数为－8.56.答案：11解析：2233C C ,C C nn n n n nb a ====--， 由已知有113)1(62)2)(1(13C C 23=⇒=-⋅--⇒=n n n n n n nn ． 57. 答案：350解析：选法是原装取2台组装取3台，原装取3台组装取2台.故不同的选取法有25363526C C C C +＝350种.58. 答案：144解法一：考虑用分配的数学模型来解.若1号盒空，2号盒放2个球，3号盒和4号盒各放一个球有111224C C C ＝12种放法. 若1号盒空，3号盒放2个球，4号盒和2号盒各放一个球时仍有111224C C C ＝12种放法.若1号盒空，4号盒放2个球，2号盒和3号盒各放一个球同样有111224C C C ＝12种放法. 即1号盒空共有3×12＝36种放法.同理2号盒空有36种放法，3号盒空有36种放法，4号盒空有36种放法. 故按题中要求恰有一个空盒的放法共有4×36＝144种放法.解法二：先将4个球分成3组每组至少1个，分法有6种.然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组.则恰有一个空盒的放法种数为634A ＝144种.评述：本题是一道排列组合综合题，运用先分组，后排列的方法较好. 59.答案： －189 解析：r r r r x T )()3(C 771-=-+，所以r =5，x 5的系数为57C 32（－1）5＝－189．评述：本题考查二项式定理，重点考查通项公式，兼考计算能力.60.解：（Ⅰ）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即32216415611)5.0(C )5.0(C )5.0(C 1626616606=++-=---.（Ⅱ）至少4人同时上网的概率为3.03211)5.0(C )5.0(C )5.0(C 666656646>=++ 至少5人同时上网的概率为：3.0647)5.0)(C C (66656<=+. 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.61.解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件 P （A ）＝0．80，P （B ）＝0．90，P （C ）＝0．90.（Ⅰ）因为事件A 、B 、C 是相互独立的，系统N 1正常工作的概率 P 1＝P （A ·B ·C ）＝P （A ）·P （B ）·P （C ）＝0．80×0．90×0．90＝0．648. 故系统N 1正常工作的概率为0．648． （Ⅱ）系统N 2正常工作的概率)]()(1[)()](1[)(2C P B P A P C B P A P P ⋅-⋅=⋅-⋅=.∵P （B ）＝1－P （B ）＝1－0．90＝0．10. P （C ）＝1－P （C ）＝1－0．90＝0．10.∴P 2＝0．80×［1－0．10×0．10］＝0．80×0．99＝0．792. 故系统N 2正常工作的概率为0．792. 62.解：（1）解方程x +21=x得x =i 2222±当α1=i 2222+时ω=α12n －1=112121])2222[()(ααααn nni i =+=由i n 的周期性知：ω有四个值. n =1时，ω=i i i 22222222+=+ n =2时，ω=i i 222222221+-=+- n =3时，ω=i i i 22222222--=+- n =4时，ω=i i 222222221-=+ 当α2=2222-i 时，ω=α22n －1=2222)()(αααnn i -= n =1时，ω=i i i 22222222-=-- n =2时，ω=i i 222222221--=-- n =3时，ω=i i i 22222222+-=- n =4时，ω=i i 222222221+=- ∴不管α=i 2222+还是α=i 2222-M α={i i i i 2222,2222,2222,2222--+--+ } P =3162C 224== （2）∵ω∈M z ，则ω=z 2m －1，m ∈N任取x ∈M ω，则x =ω2n －1，n ∈N而ω=z 2m －1 ∴x =（z 2m －1）2n －1=z (2m －1)(2n －1) ∵（2m －1）（2n －1）为正奇数 ∴x ∈M z ∴M ω⊆M z评述：复数的运算是复数的基础，本题考查复数的奇数次幂，由于i n 的周期性，因而 α2n －1只有四个值，题目以集合的形式给出复数ω，使复数与集合有机的结合在一起，不仅考查复数还考查集合的表示方法.而证明一个集合是另一个集合的子集在对集合的考查上又高了一个层次.证明尽管不繁，但思维层次较高.63.证明：（1）方法一：i i i m m i m m m m )1()1(A +-⋅⋅-⋅=Λi i i n ni n n n n )1()1(A +-⋅⋅-⋅=Λ 对于m ＜n ，∴k ＝1，2，…，i －1有mkm n k n ->- ∴ii m i i n mn A A >即m i i n A ＞n ii m A 方法二：n i in A =43421Λ个n n n n ⋅⋅·m ·（m －1）·（m －2）·…·（m －i +1） =mn ·（mn －n ）·（mn －2n ）·…·［mn －n （i －1）］①同理m i im A =mn ·（mn －m ）·（mn －2m ）·…·［mn －m （i －1）］ ② ∵1＜i ≤m ＜n ，∴mn －n ＜mn －m ，mn －2n ＜mn －2m ，…， mn －n （i －1）＜mn －m （i －1） ③∴联系①、②、③可得n i im A ＜m i A i n . （2）由二项式定理：nn nn n nm m m m C C C )1(1100+++=+Λ mm m m m m n n n n C C C )1(1100+++=+Λ 又∵!A C i m m ii ni i n =。
高中数学回归课本排列组合二项式定理
回归课本(十) 排列、组合、二项式定理一． 考试内容：分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质.二．考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.【注意】这部分内容复习的重点有：排列组合的理论基础、原理，二项式定 理的通项公式，二项式系数的性质等.三．基础知识:1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L .2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯L .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 4.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m-=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n nn n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-L .5.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).6.组合数的两个性质(1)mn C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-; （3）11mm n n n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ.(6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ΛΛ. (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛ. (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ.(9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110Λ. (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++Λ. 8.排列数与组合数的关系m mn n A m C =⋅！ .9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=--Λ. （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，mn 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!! (21)1c b a m CCC N m mn n n n p n p⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =L 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.10.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ; 二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=..二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）;2;213120210-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ；四．高考题回顾一、组数问题：1（2004年全国卷二.文理12）在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）.A. 56个B. 57个C. 58个D. 60个2.（辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）3. 从集合{ P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是________．(用数字作答)．4. .（江西卷）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不 同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 二、分配问题：5（2004年全国卷三.文理12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）. A.12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种6. （北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 7. （湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不 同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 8. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ）.A. 2426C A B. 242621C A C. 2426A A D. 262A 三、几何问题：9.（2004年北京卷.理7）从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种. 在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm 等于（ ）. A. 101 B. 51 C. 103D. 5210. 湖北卷）以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A ．385367B ．385376 C ．385192 D ．3851811（2004年湖南卷.文理10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）. A. 56 B. 52 C. 48 D. 40四.二项式定理问题12. （全国卷Ⅲ）在(x−1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )（A ）−14 （B ）14 （C ）−28 （D ）2813. (山东)如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-14. 设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C Λ 15. （湖南卷）在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答） 16.（04年天津卷.理15）若2004220040122004(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则010********()()()()a a a a a a a a ++++++⋅⋅⋅++= . 17. （04年福建卷.文9）已知8()a x x-展开式常数项为1120, 其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）. A. 82 B. 83 C. 1或83 D. 1或8218.（04年上海卷.9）若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 .（结果用分数是表示）19.（04年福建卷.理9）若9)21(x -展开式的第3项为288，则n n xx x 111(lim 2+⋅⋅⋅++∞→）的值是（ ）. A. 2 B. 1 C. 21 D. 52 五.课本中习题归纳一.分类计数原理与分步计数原理1.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有 种不同的取法;(2)从书架的第1,2,3,层各取1本,有 种不同的取法;2.一种号码锁有6个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这6个拨号盘可以组成 个六位数字号码.3.要从甲,乙,丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有 种不同的选法.4.乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有 项.5.用1,5,9,13中任意一个作分子,4,8,12,16中任意一个数作分母,可构造 个不同的分数;可构造 个不同的真分数;可构造 个不同的假分数.6.(1)在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在{0,1,2,3,4,5}A =内取值的不同点共有 个.(2)在平面直角坐标系内,直线y kx b =+的斜率在集合{1,2,5,}B =内取值,截距在集合{2,4,6,8}C =内取值,这样不同的直线共有 条.7.(1)4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的1个运动队,则有 种不同的报名方法. (2)3个班分别从5个风景点中选择1处游览,则有 种不同的选法. 二.排列 组合 二项式定理8.某年全国足球甲级(A 组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主,客场分别比赛1次,共进行 场比赛.9.(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法;(2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有 种不同的送法.10.某信号兵用红,黄,白3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面,2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示 种不同的信号.11.用0到9这10个数字,可以组成 个没有重复数字的三位数;可以组成 个没有重复数字的三位偶数;可以组成 个十位数字比个位数字与百位数字都大的三位数.12.由数字1,2,3,4,5可以组成 个没有重复数字,并且比2005大的正整数. 13.(1)7个人站成一排,如果甲必须站在正中间,有 种排法; (2) 7个人站成一排,如果甲不站在正中间,有 种排法;(3) 7个人站成一排,如果甲,乙2人必须站在两端,有 种排法; (4) 7个人站成一排,如果甲不站在左端,乙不站在右端,有 种排法;(5) 7个小孩子站成两排,其中3个女孩站在前排,4个男孩站在后排,有 种排法;(6) 7个小孩子站成两排,其中前排站3人,后排站4人,有 种排法. 14.(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有 种不同的方法;(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有 种不同的方法.15.(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有 条; (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有 条. 16.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有 种取法;(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 种取法; (3)从口袋内取出3个球,使其中不含有黑球,有 种取法.17.在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. (1)一共有 种不同的抽法;(2)抽出的3件中恰1件是次品的抽法有 种; (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 种.18.计算:(1)012345555555C C C C C C +++++= ; (2)222222234567C C C C C C +++++= ;(3) 024555C C C ++= ;(4)135555C C C ++= . 19.1圆,2圆,5圆,10圆的人民币各2张,一共可以组成 种币值. 20.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛. (1)如果4人中男生和女生各选2人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有 种选法; (4)如果4人中必须既有男生又有女生,有 种选法. 21.12()x a +的展开式中的倒数第四项的系数是220,则a = ;常数项等于 . 22.91()x x -的展开式中3x 的系数是;12(3的展开式的中间一项是 .(的展开式的中间两项系数的和等于.23.15。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一，用于解决计数问题。
排列组合分为排列和组合两种情况。
1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
高中数学中常用的排列公式为：An= n!/(n-r)!，其中n表示总数，r表示选取的个数。
排列的特点是考虑顺序，即不同的顺序被视为不同的排列。
2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合，不考虑顺序。
高中数学中常用的组合公式为：Cn= n!/[(n-r)!*r!]，其中n表示总数，r表示选取的个数。
组合的特点是不考虑顺序，即不同的顺序被视为相同的组合。
二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一，用于展开一个任意次数的二项式表达式。
二项式定理的公式为：(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数，表示从n中选取r个的组合数。
三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理，高中数学还有许多重要的公式需要掌握。
1. 三角函数相关公式：- 三角恒等式：sin^2x + cos^2x = 1；tanx = sinx/cosx- 三角和差公式：sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny；cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式：sin2x = 2sinxcosx；cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式：- 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d；等差数列前n项和公式：Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式：an = a1 * r^(n-1)；等比数列前n项和公式：Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式：- 点到直线的距离公式：d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式：S = a * b- 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分，针对不同的题目和问题，可能还需要运用其他公式和方法进行解题。
高中数学中的排列组合和二项式定理
排列组合和二项式定理是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将从这三个概念的定义、性质、应用等方面进行阐述。
排列组合和二项式定理都是与排列组合相关的重要数学概念。
排列组合主要用于计算有限集合中元素的排列组合数，而二项式定理则是一个数学公式，描述了两个二进制数的组合方式。
排列组合和二项式定理在数学中有着广泛的应用。
首先，在组合数学中，排列组合被用来计算组合的系数。
例如，在计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数时，可以使用排列组合的方法来计算。
此外，排列组合还可以用于解决一些概率问题，例如，在抽奖活动中，可以通过计算不同号码的组合数来计算中奖的概率。
其次，二项式定理在统计学和概率论中有着广泛的应用。
例如，在计算平均数、方差和标准差等统计量时，可以使用二项式定理来计算。
此外，二项式定理还可以用于解决一些概率问题，例如，在计算抛硬币的正反面出现的概率时，可以使用二项式定理来计算。
排列组合和二项式定理的应用非常广泛，下面举几个例子来说明：1. 计算组合数：假设要从n个不同元素中选取k个元素，不考虑顺序，那么可以使用排列组合的方法来计算组合数。
具体地，可以计算出所有可能的排列数，然后除以从n个元素中选取k个元素的排列数。
例如，从5个不同元素中选取3个元素的组合数为C(5,3) = 10。
2. 计算概率：假设要进行一次抽奖活动，其中有10个不同的号码，每个号码出现的概率为1/10。
那么可以计算出所有可能的组合数，即10个不同的号码的排列数。
然后，根据二项式定理来计算中奖的概率。
具体地，可以计算出中奖的概率等于中奖号码出现的次数与总次数的比值。
例如，如果中奖号码为5号，那么中奖的概率等于5/10 = 0.5。
3. 计算统计量：假设要进行一次考试，共有10道题目，每道题目有3个选项。
那么可以计算出所有可能的组合数，即30种不同的答案组合方式。
然后，根据二项式定理来计算平均分数、方差和标准差等统计量。
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高中数学回归课本校本教材25（一）基础知识 计数原理与概率、统计1. 计数原理：如：将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：53）；如：用六种不同颜色把右图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；2.排列组合数公式:!(1)(1)(,,*)!()!mn n A n n n m m n m n N m n m =--+=≤∈- , !n n A n =.，如：满足2886x x A A -<的x ＝ （8）；(1)(1)()!(1)(2)321m m n nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01n nn C C ==. m n m n nC C -=；11r r rn n n C C C -++=. 3.二项式定理：011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ ，各系数就是组合数rn C ，叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1(0,1,2,...,)r n r rr n T C a b r n -+==.某项“加数b ”的指数≡该项的“项数减去1的差”，也可看成组合数的上标. 注意： ⑴第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别. ⑵二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mn m n nC C-=）．直线2nr =是图象的对称轴；（2）增减性与最大值： 2nn C12n n C -12n n C +（3）各二项式系数和：0122n r nn n n n n C C C C C =++++++4离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，叫做离散型随机变量。
（1）离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…，ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （)xi P ε==，则称表为随机变量ε的概率分布，简称ε的分布列。
（2）性质：①0(1,2,i p i ≥=…)；②P 1+P 2+…=1。
5.随机变量的均值和方差：（1）随机变量的期望：1122E x p x p ε=++…；反映随机变量取值的平均水平。
（2）离散型随机变量的方差：221122()()D x E p x E p εεε=-+-+…2()n n x E p ε+-+…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。
基本性质：()E a b aE b εε+=+；2()D a b a D εε+=。
6几种特殊的分布列：（1）两点分布：一个随机试验，结果只两种情况，则可用随机变量 1 ,0 .η⎧=⎨⎩甲结果发生乙结果发生如：设某项试验成功率是失败率2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验成功次数，则(0)P ξ=等于 ：1-(0)P ξ==2(0)P ξ=，即(0)P ξ==13。
（2）超几何分布:在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k P nNkn M N k M ====-- ξN M N n ≤≤,，称为超几何分布列， 称ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ；如：盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球概率是 解析：1245391021C C P C==。
也可设抽到白球数为X ，X —H （3，4，9），10(1)21P X == （3）二项分布（独立重复试验）：如果我们设在每次试验中成功的概率都为P ，则在n 次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n 次试验中恰好成功k 次的概率为：()().p 1p C k P k n kk n --==ξ记ε是n 次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B （n ，p ）；其概率()(1,0,1,2,k k n kn nP k C p q q p k -==-=…),n 。
如：小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是___（答：497．标准正态分布：密度函数：212()x f x -记作~N ξ（0，1）；公式：①()1()x x φφ-=-,② ()P a b ξ<<（二）基本计算1排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；如：四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。
①恰有两个空盒的放法有__种②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有___种（84；96）②捆绑法(相邻问题)；如：某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）③插空法（不相邻问题）；如：某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。
如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）④相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；如：某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）⑤分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n 组问题别忘除以!n .涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).如：4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）如：从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有多少个(用数字作答)？解 “××5”类型的有4×A 14＝16个；“××0”类型的有A 25＝20，共36个；如：9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有__种（90）2．求二项式展开式的特定项：①通项公式法步骤：1)找通项第k+1项的通项公式是T k+1=C n k a n-k b k ；2）利用同底数幂性质化简；3）取k=0，1，2，。
n 等等；当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。
如：（2006年广东卷）在112x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 的系数为 -1320；如：10展开式中的常数项是 6610(1)210C -= ; 计算12313927....n n nC C C -+-+(1)3nn n n c +-；(13)(2)n n -=-；如：求10有理项有 项；提示：410310(1)r r r x C -- ；② 271)(2)x x +-（的展开式中，3x 项的系数是： 3x 的来源有：第一因式取2x ，则第二因式必出x ，系数667(2)C -；第一因式取1，则第二因式必出3x ，其系数为447(2)C -；1008;3.二项式系数最大：n 偶数,n +1是奇数，二项式系数为2n nC ；n 奇数,n +1是偶数,二项式系数最大为1122n n nnCC-+=；项的系数最大：111111···k n k k k n k k n n k n k k k n k k n n C a b C a b C a b C ab -+--+---+-⎧≥⎪⎨≥⎪⎩求出k 的取值范围；如：在二项式11(1)x -的展开式中，系数最小的项的系数为______（答：－426）；如：在(1)nx +的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则n ＝____（答：17,18或19）注意：二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”，寻求其中项的系数的最大值是将相邻两项的系数构建不等式进行. 4.二项式的应用：主要是进行应用其前几项近似计算、整除性计算或证明、应用其首尾几项进行放缩：1）求“奇次(数)项”“偶次(数)项”的系数和：①“赋值法”展开式中各项的系数和，只需要将变元值令为1,算出值即；②通项法；.如奇(偶)次项系数和1[(1)(1)]2f f --(1[(1)(1)]2f f +-).02413512n nn n n n n C C C C C C -+++=+++= 2）证明整除性：①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题。
2991333++++ 被4除所得的余数为___0；4）放缩法证明不等式; 求证：1*3(2)2(,2)n n n n N n ->+∈>且 5.求随机变量ξ、η等：如：袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，任意取出3个，则其中所含白球的个数是 ； 0，1，2，3；如：设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果(4)0.3P X <=，那么n=3(4)(1)(2)(3)0.3,10;P x P x P x P x n n<==+=+===∴=6.离散性随机变量的分布列步骤：（1）设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…；（2）计算ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （P xi ==)ε；（3）列表；如：一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球,采取不放回抽样方式，从中摸出两个小球，求摸得白球的个数的分布列.答案：设摸得白球的个数为x ，则x 可能取0，1，2.(0)P x = 24266,15C C ==1124268(1),15C C P x C ===22261(2),15C P x C ===表略7求期望和方差：1）1122E x p x p ε=++…；()E a b aE b εε+=+2）221122()()D x E p x E p εεε=-+-+…2()n n x E p ε+-+…；2()D a b a D εε+=。
8.（1）两点分布：如果甲结果发生的概率为P ，则乙结果发生的概率必定为1－P ，均值为E η=p ，方差为D η=p （1－p ）。
（2）超几何分布: },,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nkn M N kM ====-- 则p E 1=ξ，D ξ =2pq 其中q=1-p.如：已知10件产品中有2件是次品.任意取出4件产品作检验，求其中恰有1件是次品的概率. 取出4件产品中有X 件是次品，则X ～H(4,2,10)P(X=k)=482410k k C C C -,k=0,1,2.∴P(X=1)= 3182410815C C C =如：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为 ；答案：35953100()(0,1,2,3)k kc c P X k k c -===。