2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期28.1、圆的概念及性质、圆的对称性的应用素材
冀教版-数学-九年级上册--28.1圆的概念及性质 教案
28.1圆的概念及性质圆是初中几何中重要的内容之一.本节建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性及圆的有关概念。
讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验.。
数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题.利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。
1）通过观察、操作、归纳等理解圆的定义，能在圆形中准确识别圆心、半径、弦、圆弧、等圆、等弧等相关概念；认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形和圆的旋转不变形。
2）采用多媒体和教具相结合，学生自主学习和小组合作相结合的教学方法，让学生理解圆的不同定义，感受圆和实际生活的联系，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
3）体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
重点：圆的定义及相关概念和性质学习。
难点：圆的定义。
多媒体，圆规，直尺，绳子，橡皮筋。
【教学环节安排】教学环节教师活动学生活动设计意图活动一创设情境引入新课教师出示屏幕上的图片并提出问题：你还能举出生活中与圆有关的例子吗？学生观察图片，感悟并思考圆在生活中的广泛应用。
让学生从实际出发，充分发现教学与实际的联系，激发学生的积极性。
自主学习认识概念教师在屏幕出示问题：①什么叫做弦、弧、等圆、等弧？②等圆的半径有什么关系？③长度相等的弧是等弧吗？学生带着问题自学教材认识圆的有关概念。
并把学习困惑在全班交流。
培养学生自学能力，发现问题、解决问题的能力。
活动二民主讨论以小组为单位请同学们利用绳子、橡皮筋、等工具画圆。
教师巡视指导。
最后，出示课件得到圆的动态定义。
学生画圆，同时思考：圆的形成过程及元素。
并交流困惑。
动手操作为学生架起由感性认识到理性认识的桥梁，在操作中探究，在实践中建构新知。
活动三个性展示教师在屏幕出示问题：①在圆上任取3个点，量一量，它们到圆心的距离相等吗？②平面内到点O的距离等于半径OA的点都在圆上吗？③请试着归纳出圆的定义。
冀教版-数学-九年级上册-28.1 圆的概念及性质 教案
圆的概念及性质教学目标：1．经历探索圆的过程,理解圆的本质属性；2．了解圆的有关概念,理解概念之间的区别和联系.教学重点与难点：教学重点：圆的有关概念教学难点：定义圆应该具备的两个条件．教学过程：一、创设情景1.你能列举日常生活中哪些物体是圆形的吗?为什么人们把车轮做成圆的呢?(揭示本章学习的内容)设计意图：结合生活实际,从学生已有的知识出发,列举生活中的圆,一方面使学生体会圆在日常生活和生产实践中有着广泛的应用,另一方面从中提出问题,让学生自然而然地进入新知识的学习中.2.探究新知试一试：师生一起用圆规画圆.思考：若在操场上画一个大圆，你有什么办法？设计意图：学生动手操作中发现圆的形成过程，为得出圆的概念提供感性认识.3.说一说：观察以上两种画图的方法，你能说说圆的形成过程吗？学生讨论得出：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
我们知道，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点为圆心的圆，记作“⊙O”读作“圆O”.设计意图：让学生动手操作实验中发现圆的形成过程和圆的性质。
4.量一量，圆上任意一点到圆心的距离相等吗？为什么？反过来，平面内到点O的距离等于线段OA的长的点都在圆上吗？学生通过独立操作，思考原因.学生互相补充，得到结论：圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.所以，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.设计意图：让学生在交流讨论中，体会到圆是一个平面图形.只有圆心确定、半径也确定，才能确定一个圆.5.为什么人们将车轮做成圆形的吗？你能说说原因吗？如果车轮不是圆的（比如椭圆或正方形的），坐车的人会是什么感觉？设计意图：体会圆在日常生活中的应用，为下面的学习作好心理准备.6.认识圆的有关概念（1）弦和直径：连续圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（4）弓形：由弦及所对的弧组成的图形叫做弓形.（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.三、巩固练习已知：如图，AB，CD为⊙O的直径.求证：AD//CB.证明：连接AC，DB.AB，CD为⊙O的直径，∴OA=OB,OC=OD.∴四边形ADBC为平行四边形，∴AD//CB.四、梳理小结1.本节课你学到了圆的哪些知识？2.你能说说弦与直径，弧与半圆的关系吗?。
冀教版初中数学九年级上册 28.1 圆的概念及性质 教案
圆的基本性质和概念
【教学目的】
知识目标：1．经历抽象和建立圆的概念，发现圆的轴对称性及相关性质的过程；
2．理解圆及其有关概念．
能力目标：学生经历观察、操作、归纳和概括形成圆的概念以及圆的对称性及相关性质的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力，通过引导学生添
加合理的辅助线，培养学生的创造力，积累一定的数学活动经验。
情感目标：引导学生对图片的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心。
【教学重点】让学生动手操作以及推理探究，建立圆的概念，发现圆的轴对称性及相关性质
【教学难点】与圆有关的概念的区别与联系．
节前预习：1．如何在操场上画一个半径为5m的圆，说出你的理由．
2．圆是对称图形，是它的对称轴，圆也是对称图形，是它的对称中心．
教学过程：
一、问题情境
观察下面图片，回答下列问题：
1.自行车轮和皮带传送轮为什么都做成圆形的？和大家
交流你的想法.
2.如果把自行车轮做成其他的形状，如三角形或正方形，你认为可。
冀教版数学九年级上册28.1《圆的概念及性质》教学设计
冀教版数学九年级上册28.1《圆的概念及性质》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第28.1节《圆的概念及性质》是本册教材中的重要内容，主要介绍了圆的定义、圆的性质、以及圆的方程。
这部分内容是学生进一步学习圆的计算和应用的基础，对于培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，具备了一定的逻辑思维和空间想象能力。
但是对于圆的概念和性质的理解还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，通过操作活动和思考问题，引导学生理解和掌握圆的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解圆的定义，掌握圆的基本性质，并能运用圆的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.圆的定义和性质的理解。
2.圆的方程的推导和应用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过提问和引导学生思考，激发学生的探究欲望，引导学生自主发现圆的性质。
2.操作实践法：通过学生的实际操作，培养学生的动手能力和空间想象能力。
3.讨论交流法：通过小组讨论和全班交流，培养学生的合作意识和表达能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解圆的概念和性质。
2.学习素材：准备一些关于圆的图片和实例，供学生在课堂上观察和思考。
3.圆规和直尺：准备一些圆规和直尺，供学生在课堂上操作和实践。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些与圆相关的图片和生活实例，引导学生对圆的概念产生兴趣，激发学生的探究欲望。
2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现圆的定义和性质，引导学生观察和思考，引导学生自主发现圆的性质。
3.操练（10分钟）教师学生进行实际的操作活动，使用圆规和直尺画圆，测量圆的直径和半径，引导学生运用圆的性质解决实际问题。
冀教版数学九年级上册28.1《圆的概念及性质》教案
《圆的概念及性质》教案学习目标1、感受并发现圆的有关特征，理解圆的圆心、半径和直径等概念．2、进一步积累认识图形的学习经验，培养学生的观察能力、动手操作能力、抽象概括能力和合作交流能力，增强空间观念，发展数学思考．3、体验圆与生活的联系，从数学的角度感受圆的美，激发学生数学学习的热情和兴趣．教学过程（一）情境引入前段时间我们学习了图形的旋转，图形的旋转创造了生活中的许多美．思考：圆绕其圆心旋转任何度数都能和自身重合吗？圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处可见．展示图片（生活中的圆）这一节课我们一起学习“圆”．（二）学生自学组织学生自学，并要求学生完成自学提纲里的问题．自学提纲为：请同学们阅读课本练习前的内容，并思考：1．①观察画圆的过程，你能概括出圆的定义吗？②圆的图形符号怎样来表示？③确定一个圆需要哪两个要素？2．①从集合的角度怎样定义圆？②车轮为什么做成圆形的？3．①理解圆的相关概念：弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧．②注意区别优弧和劣弧．（三）检查自学效果请学生回答自学提纲中的问题，检测学生是否真正理解这些知识点，再组织学生进行评价并纠错，在学生回答的过程中老师把主要知识点在黑板上予以呈现，部分答案利用多媒体展示．（四）学以致用想一想：通过七道题，先让学生独立思考，然后请学生汇报结果，再请学生评价并纠错，最后归纳解题方法．老师适时做以引导，方法上的总结．1、判断下列说法的正误（1）弦是直径；（）（2）半圆是弧；（）（3）过圆心的线段是直径；（ ）（4）过圆心的直线是直径；（ ）（5）半圆是最长的弧；（ ）（6）直径是最长的弦；（ ）（7）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（ ）（8）半径相等的两个圆是等圆．（ ）2、圆中最长的弦长为12cm ，则该圆的半径为________．3、下列说法错误的有（ ）个．①经过P 点的圆有无数个．②以P 为圆心的圆有无数个．③半径为3cm 且经过P 点的圆有无数个．④以P 为圆心，以3cm 为半径的圆有无数个．A 、1B 、2C 、3D 、44、如图，若∠AOB =60°，则△AOB 是_____三角形．5、如图，弦有：______________在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦． 6、如图，弧有：______________ 7、劣弧有：______________ 优弧有：______________判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆．（ ）课堂小结通过本节课的学习你学会了什么知识和方法？先请学生进行自主小结，再由老师概括总结，形成知识体系． ● OBC A。
冀教版数学九年级上册28.1《圆的概念及性质》教学设计
冀教版数学九年级上册28.1《圆的概念及性质》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册第28.1节《圆的概念及性质》是本册教材的重要内容之一。
本节内容主要介绍了圆的定义、圆的性质、以及圆的方程。
通过本节课的学习，学生能够理解圆的基本概念，掌握圆的性质，并能够运用圆的性质解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认知和理解能力较强。
但是，对于圆的概念和性质的理解还需要进一步的引导和培养。
此外，学生的学习习惯和思维方式各有不同，需要教师在教学过程中关注学生的个体差异，进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解圆的定义和性质；2.能够运用圆的性质解决实际问题；3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力；4.提高学生的数学解题能力和学习兴趣。
四. 教学重难点1.圆的定义和性质的理解；2.圆的方程的推导和应用；3.学生对实际问题的解决能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和发现圆的性质；2.通过实例和练习题，培养学生的实际问题解决能力；3.利用多媒体辅助教学，帮助学生直观地理解圆的概念和性质；4.采用分组讨论和合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件和教具；2.准备相关的练习题和实际问题；3.安排适当的时间进行课堂讨论和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些与圆相关的实际问题，引导学生思考圆的概念和性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师通过多媒体课件，介绍圆的定义和性质，引导学生直观地理解圆的概念和性质。
3.操练（15分钟）教师提出一些实际问题，让学生分组讨论和合作解决，培养学生的实际问题解决能力。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考圆的方程的推导和应用，帮助学生进一步理解圆的性质。
圆的概念及性质冀教版九年级数学(上册)-【完整版】
C
A
圆的概念 及性质- 冀教版 九年级 数学上 册-精 品课件p pt(实 用版)
D
A⌒B与⌒CD是等弧，存在于同圆中.
圆的概念 及性质- 冀教版 九年级 数学上 册-精 品课件p pt(实 用版)
1.如图，点O为⊙OD的圆心，点A、B、C在⊙O上.
O C
⊙O的半径有_3__条，是O_A_、__O_B_、__O_C. A
4.已知A、B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则 弦AB的取值范围是_0_＜__A_B_≤_.10 5.过圆上一点可以作圆的最长弦有___1__ 条.
过圆内一点A可以作出圆的最长弦有_1_条__或__无__数_条.
圆的概念 及性质- 冀教版 九年级 数学上 册-精 品课件p pt(实 用版)
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同学们再见
四、圆的有关概念
1.弦 连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦.
O·
A
B 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 直径是圆中最长的弦.
C
四、圆的有关概念
2.弧
O·
A
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两
条弧，每一条弧都叫做半圆．BCC源自CABAB
半圆ACB
弓形ACB
A
D 圆上的所有点到圆心
O
的距离相等，反过来，
到同一点距离相等的
B
点在同一个圆上. C
分析：
小
美
二、确定一个圆的条件
圆心
决定圆的位置
半径
决定圆的大小
下列说法中，错误的是__④______.
①经过点P的圆有无数个； ②以点P为圆心的圆有无数个； ③半径为3cm，且经过点P的圆有无数个； ④以点P为圆心，3cm为半径的圆有无数个.
冀教版九年级上数学教案设计第 ：28.1圆的概念及性质
28.1圆的概念及性质一、教学目标知识目标1.理解圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念.2.认识圆的轴对称性和中心对称性.3.能应用圆的有关概念解决问题.能力目标1.通过感受生活中存在的圆形,提高学生识图能力,体会数学与生活息息相关.2.通过探索圆的概念的过程,学会用猜想归纳的思想解决问题.3.经历抽象和建立圆的概念的过程,探究圆的对称性,使学生积累数学活动经验.情感与价值观目标1.让学生经历观察、思考、归纳和概括等学习过程,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.2.引导学生对图形的观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,建立学习的自信心.二、教学重点难点重点与圆有关的概念.难点理解“直径与弦”“半圆与弧”“等弧与长度相等的弧”等概念.三、教学过程新课导入思考并回答:1.小学里学习过圆,你能举出哪些生活中圆的例子?2.为什么车轮都做成圆形?能不能做成正方形和长方形?3.如图所示,A,B表示车轮边缘上两点,点O表示车轮的轴心,那么A,O之间的距离与B,O之间的距离有什么关系?设计意图通过欣赏图片,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣,同时让学生体会圆是实际生活中常见的图形,通过小学对圆的初步接触,让学生回忆圆的知识,思考圆的特征,为后面给出圆的定义做准备,从已有的知识体系自然地构建出新知识.学习新知知识一、圆的概念思考1.我们怎样在本上画圆形?2.我们想在操场上画个圆形,你有什么办法吗?3.观察我们画圆的过程,圆上的点到到圆心的距离有什么共同特征?首先,小惠把绳子的一端固定在操场上的某一点O处,小亮在绳子的另一端拴上一小段竹签,然后,小亮将绳子拉紧,再绕点O转一圈,竹签划出的痕迹就是圆.课件展示平面上,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,叫做圆,这个定点叫圆心,这条定长叫做圆的半径.如图所示,它是以点O为圆心,OA的长为半径的圆,记作“☉O”,读作“圆O”.线段OA也称为☉O的半径.追加思考:1.篮球是圆吗?太阳是圆吗?(强调定义中的同一平面内)2.以3 cm为半径画圆,能画出几个圆?为什么?(无数个,圆心不确定)3.以O为圆心画圆,能画出几个圆?为什么?(无数个,半径不确定)4.确定一个圆需要哪几个元素?(圆心和半径两个元素)设计意图教师引导或自学教材,学生对画圆的过程加深认识,归纳形成概念,让学生经历概念的形成过程,培养自主学习、合作交流的能力.通过追加思考,让学生更深入的理解圆的概念,培养学生严谨的学习态度.知识点二、圆的对称性思考1.什么是轴对称图形、中心对称图形?2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?3.圆是中心对称图形吗?如果是,它的对称中心是什么?4.圆绕着它的圆心旋转任意角度后和自身重合吗?5.直径是圆的对称轴正确吗?归纳：圆是轴对称图形,过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形,圆心是它的对称中心.实际上,圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合.设计意图通过复习旧知识和创设动手操作活动,激发学生的学习兴趣,探索圆的对称性,了解圆的基本性质,为后边学习圆的性质做铺垫。
2017年秋季学期新版冀教版九年级数学上学期28.1、圆的概念及性质、过圆内一点最长的弦和最短的弦素材
过圆内一点的最长的弦和最短的弦关于过圆内一点的最长的弦和最短的弦，有些同学只是记住了结论，不知道其原因，现将其总结一下，希望能给同学们一点帮助。
一、经过圆内一点最长的弦同学们已经知道，直径是圆中最长的弦，这是为什么呢？我们可以将圆中的弦分为两类：一类是经过圆心的弦（即直径）；另一类是不经过圆心的弦，如图1，AB 是⊙O 中的任意一条不经过圆心的弦，连结OA ，OB ，根据三角形的三边关系都有OA+OB>AB ，即，直径的长大于非直径的弦长，所以直径是圆中最长的弦。
当然，经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径。
二、经过圆内一点最短的弦如图2，点P 是⊙O 内一点，经过点P 的无数条弦中哪一条是最短的弦呢？我们可以将经过点P 的弦分为两类，一类是经过点P 且与经过点P 的半径OA 垂直的弦，如，弦BC ⊥OA ；另一类是经过点P 且与经过点P 的半径OA 斜交的弦，如弦DE 。
弦BC 与弦DE 哪一个较短呢？连结OC 。
因为BC ⊥OA ，所以BC=2 CP ，在Rt ΔOCP 中，CP=22OP OC -，所以BC=222OP OC -。
作OG ⊥DE 于G ，连结OD 。
则DE=2DG ，在Rt ΔODG 中，DG= OD 2－OG 2，所以DE=2 22OG OD -。
在Rt ΔOPG 中，斜边OP 大于直角边OG ，所以OP 2> OG 2，又因为OC=OD ，所以CP<DG ，BC<DE ，图1图2所以弦BC 是过⊙O 内点P 最短的弦。
所以，经过圆内一点的最短的弦是过该点且与过该点的半径相垂直的弦。
由此可见，过圆内一点的弦的长度是有范围的。
例如，如图3，点P 是半径为5cm 的⊙O 内一点，OP=3cm,则过点P 的最长的弦的长度为10cm(即直径AB 的长)，过点P 最短的弦的长度为8cm ，（即CD=2CP =2 22OP OC=8cm ），在本题的前提下，过点P 的弦中，不存在大于10cm 或小于8cm 的弦。
九年级上册数学冀教版圆的知识点
九年级上册数学冀教版圆的知识点圆是数学中的一个基础概念，也是九年级上册数学冀教版中的一个重要知识点。
本文将为大家详细介绍圆的定义、性质以及一些相关定理，以帮助大家更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的定义圆是平面上一组与一个固定点的距离都相等的点构成的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径。
圆可以用符号“O” 表示。
二、圆的性质1. 圆的半径相等的两条弦相等。
证明：对于圆O，假设弦AB和弦CD的长度相等，即AB=CD。
连接AO、BO、CO、DO。
由圆的定义可知，AO=BO=CO=DO，所以△AOB≌△COD。
根据三角形的性质可知 AB=CD。
2. 相等弧所对的圆心角相等。
证明：设圆弧AB和圆弧CD等长，即 AB=CD，连接AO、BO、CO、DO。
根据圆的性质可知 AO=BO=CO=DO，同时根据圆的定义可知 AO=CO，BO=DO。
故有△AOB≌△COD，所以∠AOB=∠COD。
3. 在同一个圆中，离圆心较远的弧所对的圆心角比离圆心较近的弧所对的圆心角大。
证明：设弧AB较长，弧CD较短，连接AO、BO、CO、DO。
根据圆的性质可知AO=BO=CO=DO，但由于CD<AB，所以∠COD<∠AOB。
三、相关定理1. 直径定理直径是圆上任意两点之间的最长线段，也是通过圆心的两条弦之一。
直径是圆上最特殊的一条弦，有一个重要的定理与之对应：圆上的任意弦若与直径垂直，则该弦是直径。
证明：设弦AC与直径BD垂直，连接BC和AD。
根据圆的性质可知AB=CD，并且∠BAC=∠BDC=90°，所以△ABC≌△CBD。
由此可知AC=BD，即弦AC与直径BD相等，所以弦AC是直径。
2. 弦割定理在同一个圆内，若有两条弦AB和CD相交于点E，则AE·EB=CE·ED。
证明：连接OA、OB、OC、OD。
根据圆的性质可知OA=OC，OB=OD，所以△OAE≌△OCE，△ABE≌△CDE。
【冀教数学学九年级(河北)281圆的概念及性质
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径 C．长度相等的两条弧是等弧 D．直径是圆中最长的弦
4．(2021·张家口质检)如图，在⊙O 中，点 B，O，C 和点 A，O，D 分别在同一
条直线上，则图中有____条弦．( B )
A．2 ห้องสมุดไป่ตู้．3 C．4 D．5
8．参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距
离都___相__等____，这个距离就是这个圆的__半___径__长__．
知识点 2 圆的概念的应用 9．如图所示圆规，点 A 是铁尖的端点，点 B 是铅笔芯尖的端点，已知点 A 与点 B 的距离是 2 cm，若铁尖的端点 A 固定，铅笔芯尖的端点 B 绕点 A 旋转一周，
度数为( C )
A．50° B．60° C．70° D．90°
3．(生活情境题)如图，王大爷家屋后有一块长 12 m，宽 8 m 的矩形空地，他在以
BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在 A 处，为了不让羊吃到菜，
拴羊的绳子可以长( A )
A．3 m
B．4 m
C．5 m
D．6 m
4．(2021·沧州期中)如图，已知 AB，AD 是⊙O 的弦，∠B＝32°，点 C 在弦 AB
第二十八章 圆 28．1 圆的概念及性质
必备知识·基础练
【易错诊断】 (打“√”或“×”) 1．在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所
形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径．( √ ) 2．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．( × ) 3．连接圆上任意两点的线段叫做弦，圆中有最大的弦，也有最小的弦．( × ) 4．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，弧分优弧、劣弧和半圆．( √ ) 5．半径相等的两个圆叫做等圆，长度相等的两条弧叫等弧．( × ) 6．圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．( √ )
冀教版-数学-九年级上册-28.1圆的概念及性质 导学案
圆的概念及性质学习目标：1.理解圆的相关概念并会简单应用.2.理解并掌握圆的对称性并会简单运用和计算.学习重点：圆的相关概念.学习难点：掌握圆的对称性及其运用.教学过程一、知识链接1.请尽可能多的找出下图中的圆.2.列出你所学过的轴对称图形：__________________________.3.列出你所学过的中心对称图形：_________________________.二、新知预习2.我们来画一个圆：（1）方法一：把绳子的一端固定在某一点O处，在绳子的另一端栓上一支笔，然后将绳子拉紧，再绕着O点转一圈，这样笔画出的痕迹就是圆.（2）方法二：使用圆规画圆.【概念学习】圆：平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.圆心：这个定点叫做圆心.半径：这个定长叫做圆的半径.圆的表示方法：如图，它是以点______为圆心，______的长为半径的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”，_________也称为⊙O的半径.【归纳】由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义，容易得到：圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）.3.思考：圆中还有其他的元素吗？动手画一画.三、自学自测1.请用圆规和直尺画出一个半径为3cm的圆，并在这个圆中分别画出长4cm、5cm、6cm的弦.2.以点O为圆心，可以作几个圆 ( )A．只能1个 B．2个C．3个D．无数个四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：圆的有关概念【概念归纳】弦：圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.直径：过圆心的弦叫做这个圆的直径.弧：圆上任意的两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用⌒表示.半圆：圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆优弧：大于半圆的弧叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.优、劣弧的表示：如图，以AB为端点的弧有两条，其中劣弧用AB来表示，读作“弧AB”优弧用来表示，读作“弧ADB”.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，等弧：能够完全重合的两条弧叫做等弧.例1：有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4【归纳总结】对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条．【针对训练】1.圆上任意两点间的部分是( )A．半圆B．直径C．弦D．弧2.下列命题中是真命题的有( )①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．A．3个B．4个C．5个D．6个例2如图所示，OA.OB是⊙O的半径，点C.D分别为OA.OB的中点，求证：AD＝BC.【归纳总结】“同圆的半径相等”“公共角”“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解．【针对训练】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．探究点2：圆的对称性【动手操作】在纸上任意画出一个圆，用剪刀将其剪下.（1）将这个圆对折，左右两边能重合吗？（2）将圆心固定，将这个圆绕着圆心旋转180°，你又发现了什么？【归纳】圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆形是它的对称中心.例3：在下图所列的图形中选出轴对称图形：______.二、课堂小结内容 运用策略 圆的基本概念 平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做____，这个定点叫做____，这个定长叫做圆的____. 在圆中求角的问题时，转化到含有半径的等腰三角形中，应用“等边对等角”，同时要注意结合三角形的外角记忆平行线的性质解决.和圆有关的概念 圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条____，过圆心的弦叫做这个圆的____. 圆上任意的两点间的部分叫做____，简称____，圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做____；大于半圆的弧叫做____，小于半圆的弧叫做____. 直径是圆中最长的弦，一个圆有无数条直径.在圆中，直径是弦，但弦不是直径.半圆是弧，但弧不一定是半圆，长度相等弧不一定是等弧.当堂检测1.判断下列说法的正误：(1)弦是直径； （ ）(2)半圆是弧； （ ）(3)过圆心的线段是直径；（）(4)过圆心的直线是直径；（）(5)半圆是最长的弧；（）(6)直径是最长的弦；（）(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆; （）(8)半径相等的两个圆是等圆. （）2.下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.任意四边形3.如图，MN为⊙O的半径，∠MON=70°，则∠M=______.4.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，则AB=______.5.如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E，F，求EF的长．当堂检测参考答案：1.（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）×.2.B3.65°4.105.连接OD.∵OC⊥A B，DE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°.∴四边形DEOF是矩形．∴EF＝OD.∵OD＝OA，∴EF＝OA＝4.。
九年级数学上册 28.1 圆的概念及性质典型例题 圆的定义在证题中的作用素材 (新版)冀教版
典型例题：圆的定义在证题中的作用
我们知道，定理是推理证明的重要依据，而定义在证题当中也有不可忽视的作用．下面举例说明圆的定义在证题中的应用．
例1 如图1，△ABC为等边三角形，在AC边外侧作AD＝BC，求证∠BDC＝30°．
证明∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝AD．
这样，B，C，D三点应在以A为圆心，以AB为半径的圆上，将此圆画出．
∵△ABC为等边三角形，则∠BAC＝60°．
∴∠BDC＝30°．
例2 如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝B，AB＝AC＝AD＝A，求BD的长．
证明以A为圆心，A长为半径画圆．
∵AB＝AC＝AD＝A，
故B，C，D三点在⊙A上，延长BA交⊙A于E，连结DE．
于是DE＝BC＝B．
在△BDE中，∴BE是⊙A的直径，
∴∠EDB＝90°．
例3 如图3，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：AB2－AD2＝BD·DC．
分析BD·DC的形式很容易使人想到相交弦定理，又由于AB＝AC，由圆的定义，可作辅助圆，于是我们有如下证明．
证明以A为圆心，AB为半径作圆，向两侧延长AD和⊙A分别交于E，F，则
BD·DC＝ED·DF＝(EA＋AD)(AF－AD)
＝(AB＋AD)(AB－AD)
＝AB2－AD2
∴AB2－AD2＝BD·DC．
从上面几例可以看出，利用圆的定义解某些几何问题，其特点是要找出到定点的距离等于定长的点，然后以定点为圆心定长为半径画圆，利用圆的有关性质使问题简捷、巧妙地得到解决．
2。
九年级数学上册281圆的概念及性质圆的对称性的应用素材(新版)冀教版.docx
圆的“对称性”的应用圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.结合圆的特点，我们体会它们的用处：【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图1所示，若油面宽6米，则油的最大深度为 _____ •图1分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度，就是求图1中弓形高CXOD— 0C,所以关键是求0C,利用勾股定理在中可求出.通过本题可看出图小弦长臼,弦心距d 半径与弓形高力四者之间的关系，要特别明确:①厂肝/②比（£）2+/由两个式子可知对2于臼、d、r、力这四个量，已知两个，另外两个一定能求，我们应该熟记.解:作半径〃丄初于C,・・W丄/伊0・6><丄=0. 3.2 2在Rt△应农中，V OC= y]OA2 -AC2 = 7（0.5）2-（0.3）2=0. 4,・・・少勿一OOO. 5—0. 4二0. 1（米）.・••油的最大深度为0. 1米.【例2]在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为 ________ .分析：本题考查垂径定理和勾股定理•根据题意，画出图形,这是与半径、弦长有关的问题，很自然联想到垂径定理，作出垂径，根据弦长日，圆心到弦的距离d,半径于三者Z间的关系?=（-）W 可求出弦心距d,从而问题解决.解答本题时，一定要注意分两种情况讨论，两条2平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧.解:①如图2所示，如果两条平行弦在圆心两侧，过。
作EFLAB予E, EFJCD于穴连结肋、C0,在 Rt △应/屮，0^yJOA 2 -AE 2 = ^52 -42=3, 在 RgCOF 中，OF^-JOC 2 -CF 2 = ^52 -32=4, :.EPOE+OPll 厘米).过0作0E 丄AB 于E,延长必交〃于A '： AB//CD.则OF LCD.连结/10、CO,在 RtAJ6ff 中，O&QOA? —AE?二居 _4?二3,在 ROCOF 中，OF^y)0C 2 -CF 2= ^52 -32 =4, :・E®OF—OH 厘米）.【例3】已知：如图4, M 是00的直径，弦CD LAB 于只CD=Wc/n f AP ： PB=\：5.求：OO 的半径.图3分析：已知直径肋丄弦CD,利用垂径定理可知 Q 丄CM cm,可设AP-x, P05x,直径励x, 2连结0C,则0O3x,把已知和未知集中在Rt'CPO 屮，利用勾股定理可以求解.一个圆的半 径有无数条，在解题时要利用好这个条件，并能恰当地增添辅助线.连结0C 构造岀一个 直角三角形，利用勾股定理便可以使问题得以解决.在圆中有关弦，弦心距，半径的问题常 作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题.解：连结0CJ AP ： PB=\ ： 5,:. 设 AP=x, PB=5x, AB=AP+PB=6x,•・・直径/矽丄弦图2②如图3所示，如果两条平行弦在圆心同侧,/. PC= PD=丄CD= 5 cm,2•・・0C+0A=3x,:.P0=2x,在Rt'POC中，根据勾股定理，得2 2 20C = PC + 0P ・2 2 2・・・(3%) =5 + (2x).解方程，得x=±G，x=-^5不合题意，舍去.・・・(DO的半径为3后cm.【例4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》屮的一个问题，‘'今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是: “如图3-2-16所示,G?为00的直径，弦AB1CD,垂足为E,炉1寸,求直径〃的长.”分析：本题是考查垂径定理和勾股定理的一道跨学科试题.解决本题的关键是理解题意, 把文言文翻译成数学语言，然后画出儿何图形，再利用数学知识来解决.解:连结0A.•:ABICD,CD为直径，・•・/佞丄力伕丄X 10二5(寸).2 2在Rt△处0中，设创=/,则0&x—\,由勾股定理，得Ab2+(^-l)2,解得尸13.・••妬13, C/)=2AO=26 (寸).。
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圆的“对称性”的应用
圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结合圆的特点，我们体会它们的用处：
【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB =0.6米,则油的最大深度为_______.
分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD =OD －
OC ,所以关键是求OC ,利用勾股定理在△AOC 中可求出.通过本题可看出图中弦长a ,弦心距d ,
半径r ,与弓形高h 四者之间的关系,要特别明确:①r =h +d ;②r 2
=(
2
a )2+d 2
,由两个式子可知对于a 、d 、r 、h 这四个量,已知两个,另外两个一定能求,我们应该熟记.
解:作半径OD ⊥AB 于C ,∴AC =
21AB =0.6×2
1
=0.3. 在Rt △AOC 中,∵OC =22AC OA -=2
2)3.0()5.0(-=0.4,
∴CD =OD －OC =0.5－0.4=0.1(米). ∴油的最大深度为0.1米.
【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.
分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a ,圆心到弦的距离d ,半径r 三者之间的关系
r 2=(
2
a )2+d 2
可求出弦心距d ,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧.
解:①如图2所示,如果两条平行弦在圆心两侧, 过O 作EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,连结AO 、CO ,
在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OE +OF =7(厘米).
B
②如图3所示,,
过O 作OE ⊥AB 于E ,延长OE 交CD 于F ,∵AB ∥CD ,则OF ⊥CD . 连结AO 、CO ,
在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OF －OE =1(厘米).
【例3】已知：如图4，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于P ，CD ＝10cm ，AP ︰PB ＝1︰5． 求：⊙O 的半径．
图3 分析：已知直径AB ⊥弦CD ，利用垂径定理可知PC =
2
1
CD =5cm ，可设AP =x ，PB =5x ，直径AB =6x ，连结OC ，则OC =3x ，把已知和未知集中在Rt △CPO 中，利用勾股定理可以求解．一个圆的半径有无数条，在解题时要利用好这个条件，并能恰当地增添辅助线．连结OC ，构造出一个直角三角形，利用勾股定理便可以使问题得以解决．在圆中有关弦，弦心距，半径的问题常作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题． 解：连结OC
∵ AP ︰PB ＝1︰5，
∴ 设AP ＝x ，PB ＝5x ，AB ＝AP ＋PB ＝6x ，
∵ 直径AB ⊥弦CD ， ∴ PC ＝PD ＝
2
1
CD ＝5cm ， ∵ OC ＋OA ＝3x ， ∴ PO ＝2x ，
在Rt △POC 中，根据勾股定理，得 OC 2
＝PC 2
＋OP 2
． ∴ （3x ）2
＝52
＋（2x ）2
．
解方程，得x ＝±5，x ＝－5不合题意，舍去． ∴ ⊙O 的半径为35cm ．
【例4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3－2－16所示,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E , CE =1寸,求直径CD 的长.”
分析：,把文言文翻译成数学语言,然后画出几何图形,再利用数学知识来解决.
解:连结OA .
∵AB ⊥CD ,CD 为直径,∴AE =
21AB =2
1
×10=5(寸). 在Rt △AEO 中,设OA =x ,则OE =x －1,由勾股定理,得x 2
=52
+(x －1)2
,解得x =13. ∴OA =13,∴CD =2AO =26(寸).。