M进制尺度函数和正交小波的Fourier变换的紧支集刻画

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小波变换课件-第3章-紧支撑小波基的构造

第3章紧支撑小波基的构造3.1紧支撑正交小波的构造3.1.1构造紧支撑正交小波的条件● 用多分辨分析构造小波的基本思想是：由尺度函数ϕ→正交尺度函数φ→滤波器h →滤波器g →小波ψ。

● 通常做法：从滤波器h 出发→正交尺度函数φ→正交小波函数ψ。

● 考虑有限冲激响应滤波器FIR 序列h ＝{0h ，1h ，...，N h }，它在满足什么条件才能使两尺度方程0()(2)Nk t h t k φφ==-存在解2()()t L R φ∈，并且它是2()L R 中的正交尺度函数。

由于ˆ()φω1jj =∞= （3－2）式(3-2)由频域形式两尺度方程ˆˆˆ()(/2)(/2)φωωφω=递推而得, ˆˆˆ()(/2)(/2)φωωφω=ˆˆˆ(/2)(/4)(/4)h ωωφω=ˆˆˆ(/2)(/4)(/4)hωωφω=…ˆˆˆˆ(/2)(/4)...(/2)(/2)j j h h ωωωφω=ˆˆˆˆ(/2)(/4)...(/2)j j j j h h ωωω=∞==因此，问题可进一步阐述为，离散滤波器系数0h 、1h 、…,N h在满足什么条件下，无穷积1j j =∞收敛于2()L R 中的某个正交尺度函数()t φ的傅里叶变换ˆ()φω。

从正交多分辨分析可知，若φ为正交尺度函数，h 是对应φ的两尺度函数的滤波器，则h 满足以下条件： 1）0,2n k k n kh h δ+=∑ （3－3）2）k kh =∑ （3－4）3）ˆ()φω1jj =∞= （3－5）可以证明，式（3－3）和式（3－4）仅是是构造正交小波的必要条件，并非充分条件。

一些结论性的条件：1.充分条件11） 0,2n k k n kh h δ+=∑ 2）k kh =∑3）在[,]22ππ-上，ˆ()h ω0≠ 2.充分条件2（Mallat,1989）1）0,2n k k n kh h δ+=∑ 2）k kh =∑3）2ˆinf ()0hπωω≤> inf 是下确界, 即最大的下界.3. 充分条件3 ( Lawton,1990)1）0,2n k k n kh h δ+=∑ 2）k kh =∑3）矩阵,(2121))(()i j N N A a --⨯=的特征值1是非退化的（不变，或是倍数，但不退化为零），其中*,021,1Ni j k k j i ka h h N i j N =-+=-+≤≤-∑ （3－6）4. 充分条件4 (Daubechies,1988)1）0,2n k k n kh h δ+=∑ 2）k kh =∑3）p 阶消失矩条件01ˆ()(e )2pi i e h F ωωω-⎫+=⎪⎭（3－7）其中，当=ωπ时，0(e )0i F ω≠，且0|(e )|i F ω在=02ωπ范围内的上界值-12p ≤。

小波变换(wavelet transform)

其中，左上角的元素表示整个图像块的像素值的平均值，其余是该图像块的细节系数。如果从矩阵中去掉表示图像的某些细节系数，事实证明重构的图像质量仍然可以接受。具体做法是设置一个阈值，例如的细节系数δ≤5 就把它当作“0”看待，这样相比， Aδ 中“0”的数目增加了 18 个，也就是去掉了 18 个细节系数。这样做的好处是可提高小波图像编码的效率。对矩阵进行逆变换，得到了重构的近似矩阵
7 50 42 31 39 18 10 63
57 16 24 33 25 48 56 1
使用灰度表示的图像如图 11.2 所示：
图 11.2 图像矩阵 A 的灰度图
一个图像块是一个二维的数据阵列，可以先对阵列的每一行进行一维小波变换，然后对再行变换之后的阵列的每一列进行一维小波变换，最后对经过变换之后的图像数据阵列进行编码。 (1) 求均值与差值利用一维的非规范化哈尔小波变换对图像矩阵的每一行进行变换，即求均值与差值。在图像块矩阵 A 中，第一行的像素值为 R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] 步骤 1：在 R0 行上取每一对像素的平均值，并将结果放到新一行 N0 的前 4 个位置，其余的 4 个数是 R0 行每一对像素的差值的一半（细节系数）： R0: [64 2 3 61 60 6 7 57] N0: [33 32 33 32 31 -29 27 -25] 步骤 2：对行 N0 的前 4 个数使用与第一步相同的方法，得到两个平均值和两个细节系数，并放在新一行 N1 的前 4 个位置，其余的 4 个细节系数直接从行 N0 复制到 N1 的相应位置上： N1: [32.5 32.5 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 步骤 3：用与步骤 1 和 2 相同的方法，对剩余的一对平均值求平均值和差值， N2: [32.5 0 0.5 0.5 31 -29 27 -25] 3 0 0 1 V : V W W W2 其中，第一个元素是该行像素值的平均值，其余的是这行的细节系数。 (2) 计算图像矩阵使用(1)中求均值和差值的方法，对矩阵的每一行进行计算，得到行变换后的矩阵：

尺度函数与小波函数

尺度函数与小波函数尺度函数与小波函数|字号订阅如题，我想问问尺度因子a和尺度函数一样吗？如果不一样那他们之间有什么联系呢？非常感谢不一样，尺度因子只是个尺度函数中的系数；尺度函数对应图像二维小波变换中的近似子带、小波函数对应细节子带。

如果尺度函数为φ（2^a*x-i），则尺度因子a越大尺度函数生成的矢量空间越大，波形越小。

尺度函数与小波函数对于多分辨率而言，尺度函数与小波函数共同构造了信号的分解。

这里尺度函数可以由低通滤波器构造，而小波函数则由高通滤波器实现。

这样的滤波器组就构成了分解的框架。

而同时我们可以看到，低通滤波器的尺度函数可以作为下一级的小波函数和尺度函数的母函数。

说明白些，其实尺度函数表征了信号的低频特征，小波函数才是真正逼近高频的基。

利用尺度函数可以构造出小波函数。

同时我们也知道，由于下抽样后小波函数失去了平移不变性。

这同傅立叶变换相同，当在时域中的信号f=x(t)进行抽样成为f=x(2t)，那么在时间上的平移就不是线性的了。

不具有平移不变性所以我们对信号进行平移时就会舍弃了一些信号的性质，不能充分利用信号信息。

而解决的办法就是多孔小波。

采用多孔小波我们不再每次滤波后对信号进行下抽样。

不过同时我们又不得不面对冗余的问题，因为实际上通过滤波器以后信号被展宽了两倍。

这对于压缩来说是不利的。

所以多孔要解决冗余与平移不变性的问题，这两个看起来是矛盾的，不过我们可以这样思考：就是可以多分辨变换完成之后再抽取。

这样一来问题就不那么复杂了。

小波函数与尺度函数这个问题不好说，简单的说你得从小波的多分辨率分析开始理解，多分辨率分析又得从映射来理解，映射又得从向量的投影来理解，所以我就从向量的投影来说：假设是在三维空间里表达一个向量，我们需要建立一个三维的坐标系，只要坐标系建立我们就可以用三个点（x,y,z）来简单的表示一个向量，同样的在一个信号我们设为f(t),要想表示它，我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系，然后将f(t),映射与这些简单的正交函数上，产生一个系数，这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的所以你不好想象，总之就是利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t),借就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对需要一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是在小波函数的作用了。

小波变换与尺度函数

小波分析里，很容易混淆的一个概念就是小波函数（wavelet function）和尺度函数（scaling function）的关系。

本文将不涉及小波分析的由来及发展历史，也不谈小波分析应用，本文主要目标仅是试着解释清楚小波函数和尺度函数两者的关系，同时也解释一些小波分析中的其他必要相关概念。

当然，要更好理解小波分析，一些傅里叶变换的知识是必要的。

我们知道，傅里叶变换分三种不同但又紧密相连的形式：1，积分傅里叶变换，时域频域都连续；2，傅里叶级数展开，时域连续，频域离散；3，离散傅里叶变换，时域频域都离散。

同样，在小波分析中，也有三种类似的形式。

积分（连续）小波变换（CWT），小波级数展开，以及离散小波变换（DWT）。

先看看连续小波变换，连续小波正变换为[1]：（1）逆变换为：（2）其中*号表示复共轭，为小波基函数（basis function）。

不同小波基函数，都是由同一个基本小波（basic wavelet）ψ(t)，经缩放和平移生成，即：（3）傅里叶变换把一个信号f(t)分解为一系列不同频率正弦型信号的叠加，而傅里叶变换系数就代表不同正弦型信号的幅值。

其中，所有正弦型基函数都由傅里叶基函数生成。

类似于傅里叶基函数，所有小波基函数也由同一个基本小波生成[2]。

不同的是，傅里叶基函数是固定的正弦型信号，而基本小波并未指定，需要根据实际的信号形式，在满足基本小波约束条件下进行设计。

可以看到，连续小波变换采用积分形式，而实际应用中，我们计算的都是采样后的信号，也需要通过离散形式来处理和表达，所以更加有用的是时域频域都离散的DWT，离散小波变换。

但是离散小波变换的计算将引入三个问题：1，数据冗余。

观察式（1），可以看到，小波变换将一个一维信号变换为二维小波系数。

同样，若信号是二维，变换后将得到三维小波系数。

这反映了小波变换的优点，变换不仅具有傅里叶变换的频域分辨率，同时具有了时域或空域分辨率。

但是一维信号用二维系数来表达，这就意味着必然有很大的冗余性。

db4小波原理

db4小波原理db4小波原理是一种常用的小波变换方法，广泛应用于信号处理、图像处理等领域。

它是一种基于多尺度分析的数学工具，可以将信号分解成不同尺度的频率成分，从而方便地进行信号分析和处理。

在进行db4小波变换之前，我们首先需要了解小波变换的基本概念。

小波变换是一种将信号分解为不同频率成分的方法，它类似于傅里叶变换，但是具有更好的时频局部化特性。

通过小波变换，我们可以得到信号在不同尺度上的频谱信息，从而能够更准确地描述信号的特征。

db4小波是一种具有良好性质的小波函数，它是由Daubechies提出的一组正交小波函数。

db4小波具有紧支集、平滑性好等特点，适用于信号的分析和处理。

在进行db4小波变换时，我们首先需要将信号进行一维离散小波变换。

离散小波变换是一种将信号离散化处理的方法，它将连续信号转化为离散信号，从而能够方便地进行计算和处理。

db4小波变换的具体过程如下：1. 将原始信号进行一维离散小波变换，得到各个尺度上的小波系数。

2. 根据小波系数，可以得到信号在不同尺度上的频谱信息，从而可以对信号进行分析和处理。

3. 对小波系数进行阈值处理，将较小的小波系数置零，从而实现信号的去噪。

4. 将阈值处理后的小波系数进行逆变换，得到去噪后的信号。

通过db4小波变换，我们可以实现信号的分析和处理。

例如，在图像处理中，可以利用db4小波变换对图像进行去噪、压缩等操作。

在信号处理中，可以利用db4小波变换对信号进行频谱分析、特征提取等操作。

总结起来，db4小波原理是一种基于多尺度分析的小波变换方法，通过将信号分解成不同尺度的频率成分，实现对信号的分析和处理。

它具有紧支集、平滑性好等特点，在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。

通过合理利用db4小波原理，我们可以更准确地描述和处理信号，提高信号处理的效果。

《小波分析概述》PPT课件

Heisenberg不等式表明窗口Fourier变换的时窗半径和频窗半径, 一个减小必然引起另一个的增大, 不能同时减小.
窗口Fourier变换的窗函数选定以后, 其时-频窗就固定不变了, 这样就限制了窗口Fourier变换的实际应用. 为了提取高频分量的信息, 时窗应该尽量地窄, 而允许频窗适当地宽; 对于低频分量, 时窗则应适当加宽, 以保证至少能包含一个周期的过程, 频窗应当尽量缩小, 保证有较高的频率分辨率.
§4.2 窗口Fourier变换简介
窗口Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内, 将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加, 通过在时域上加上窗口来实现短时性. 通常选择在有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数g(t) 作为窗函数, 用平移滑动的窗函数g(t-t)与信号f (t) 相乘, 有效地抑制了t=t 邻域以外的信号, 在t 附近开窗, 通过平移来覆盖整个时间域. 再进行Fourier 变换, 所得的结果反映了t=t 时刻附近的频谱信息, 从而产生了时域局部化的作用.
设 f , g Lk12, k(2R是)任,意常数, 则
W (k1 f k2g) (a,b) k1 W f (a,b) k2 W g (a,b).
(2) 平移性质
设 f L2则(R),
W f (t t0 ) (a,b) W f (t) (a,b t0).
(3) 尺度法则
第四章小波变换基础
§4.1 小波变换的背景 §4.2 窗口Fourier变换简介 §4.3 连续小波变换 §4.4 二进小波变换和离散小波变换 §4.5 多分辨分析 §4.6 Mallat分解与重构算法
主要内容
小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍小波变换的基本理论和应用.

小波的几个术语及常见的小波基介绍

小波的几个术语及常见的小波基介绍本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。

一、小波基选择标准小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。

现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点：1、支撑长度小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。

支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。

大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。

这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。

总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。

2、对称性具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。

3、消失矩在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。

消失矩越大，就使更多的小波系数为零。

但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。

所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。

小波的消失矩的定义为，若其中，Ψ(t)为基本小波，0<=p<N。

则称小波函数具有N阶消失矩。

从上式还可以得出，同任意n-1阶多项式正交。

在频域内表示就是Ψ(ω)在ω=0处有高阶零点（一阶零点就是容许条件）。

《小波分析概述》课件

小波变换在信号处理中发挥了重要作用，能够有效地分析信号的局部特征，如突变和奇异点，为信号处理提供了新的工具。
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函数空间表示为小波基的线性组合，从而能够更好地研究函数空间的性质和算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局部特性和可伸缩性，能够在时间和频率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声，实现平滑处理，提高图像的视觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以突出图像中的某些细节，增强图像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出图像中的边缘信息，有助于后续的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务相关的特征，为后续的图像识别提供依据。

尺度函数与正交小波基的构造

尺度函数与正交小波基的构造作者：朱梅樊中奎来源：《电脑知识与技术》2015年第29期摘要：该文首先介绍了小波变换的起源和应用领域，首先介绍了尺度函数、小波函数、尺度空间、小波空间，并在之基础上对正交小波基进行实验分析，给出了二维正交小波基的构造方法，并应用Haar小波进行图像进行分析和压缩，实验结果表明压缩效果较好。

关键词：小波变换；信号分析；图像压缩中图分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）29-0209-031 概述小波是上世纪80年代中期出现的一门现代技术，由法国工程师J.Morlet在1974年首先提出的，该技术的发展经历了：短时窗口傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等阶段的发展[1]。

1986年著名数学家Y.Meyer构造出第一个光滑的小波基对小波， 1988年S.Mall建立了构造小波基的方法，并提出多分辨率分析的概念[2]。

在此之后小波分析得到了快速的发展，比利时数学家 I. Doubechies 发表的《小波十讲》对小波分析的理论及应用的普及起了重要推动作用[3]。

目前小波分析在数学领域可以快速数值构造、阈值分析；在信号分析领域能够进行信号滤波、去噪等；在影像领域能够进行压缩、识别、分类等；在医学领域中可以提高CT、B超的效率缩短时间；并在机械故障诊断、地震勘探等方面都取得了重要的研究成果，有力的推动科学技术的发展[3]。

2 尺度函数与小波函数2.1 尺度函数与尺度空间定义函数[φ（t）∈L2（R）]为尺度函数（scale function）[4]，若其整数平移系列[φk（t）=φ（t-k）]满足αjm，n，βjm，n，γjm，n]与小波空间[W1j，W2j，W3j]相对应[sjm，n]为尺度空间[Vj]的尺度展开系数。

2）长方块形式的二维正交小波基与二维正交小波变换正交基的尺度在两个方向上是不同的，形象称为的长方形正交小波基。

[f（x，y）]在长方块二维正交小波基下的展开公式为[f（x，y）=j=1∞m=1∞k，ndj，mk，nψj，k（x）∙ψm，n（y）] （3.1）其中[dj，mk，n=f（x，y）ψj，k（x）ψm，n（y）dxdy] （3.2）称之为长方块形式下的二维正交小波变换系数，[j，m]是两个方向上的尺度，位移[k，n]是两个尺度下的。

第6章紧支撑小波的构造.ppt

k
k
k

1

k
hk
(
2
)
1
k
hk
(
2
)
(只有有限个k)
紧支撑小波
m ( )
1 2
k
hk eik
m (0)
1 2
k
hk 1
10
m ( ) ec m (2 j ) e(c 2 j )

( c 2 j )
m (2 j ) e j1
( 2

)]ei
/2ˆ( ) 2

m
( 2

)
d d
(ei
/
2ˆ
(
2
))}
|
0
=[ d d
m
( 2

)]
| 0
ˆ( 0) 2

m
(
)
d d
(ei
/2ˆ( )) 2
| 0

是m的l+1阶零点

[d d
m
( 2

)]
| 0
0
m
(
)

(1
ei 2
)l 1
l
(
),
证明中要用到的条件：m ( ) 0 可由：m (0) 1， m ( ) 2 m ( ) 2 1推出
紧支撑小波
因m ( ) Cl 所以 l （）Cl
24
完整的构造紧支撑光滑正交小波的条件
1、m (0) 1 （隐含在条件2、3中）
n=N2

如果T( ) nein满足 n＝1，那么 T(2 j )是指数型

十、2013年本科生Fourier分析之正交小波构造与系数有理化

国防科学技术大学教案课程名称：小波分析及应用任课单位：理学院数学与系统科学系计算数学教研室授课对象：2011级数学专业本科生主讲教员：成礼智教授授课时间：2013年秋季学期正交小波系数的有理化国防科技大学理学院2013年秋季学期教案首页课程名称Fourier 分析与小波总计：40学时课程类别选修学分 2讲课：40 学时自主学习： 6 学时任课教师成礼智职称教授授课对象2011级数学专业本科教材和基本参考资料1．成礼智，王红霞，罗永，小波的理论与应用，科学出版社，20042．G.Strang,T Q Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Welleseley MA:Welleseley-Cambridge Presss,1996，3. S.Mallat, Introduction to Wavelets, SIAM 2002教学目的任务本课程是数学专业选修专业课。

本课程以泛函分析与矩阵分析为基础，主要介绍Fourier变换与小波分析的基础理论,小波分析的典型应用.本课程的教学目的是在较短的学时内，提供数学专业本科生所需要的基本的小波分析基础知识知应用能力，使学生在掌握基本理论的基础上能够应用于解决实际问题.内容课时分配章内容学时数1 傅里叶分析与预备知识82 Haar小波分析 63 多分辨分析与小波构造124 提升格式小波与整数变换85 小波的典型应用 6教研室意见教研室主任签名年月日- 2 -教案续页教学基本内容备注正交小波构造与系数有理化教案课程内容：正交小波构造与系数有理化本次课重点：正交小波构造、Daubechies 条件、系数有理化难点：正交小波构造复习：（1）双尺度方程()(2)()(2)k k x h x k x g x k ϕϕψϕ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∑∑第一个式子得到低频分量，第二个式子得到高频分量，且11(1)k k k g h --=-。

复变函数：第二节 Fourier变换的定义及性质

F
1 2
p2 (t )
sin
,
1
1
其中 2 p2(t ) 是宽度为2, 幅度为的 2 矩形脉冲函数,
它是偶函数. 由Fourier变换(的2) 对称性质, 设 F() F [
F[ 2 ,
0,
f(
1 2
t)] F
p2( )
1; 1.
sin t t
F(F)[F (t)] 2 证明由Four.ier逆变换有 f (t
F f (t )ei0t F ( 0 )(其中0为常数).
证明：由Fourier变换的定义,
F
f (t )ei0t
f (t )ei0teitdt
f (t )ei( 0 )tdt F (
0 ).
19
(7) 微分性质设 F () F [ f (t)], 并且 f (n)(t)在
于是
. f(1t )o
1
2
.
1
F
(
)e
i
宽度为2 幅度为的f矩(形 )脉冲1函11数 F
2
(3) 相似性质设 F() F [ f (t)], 则
F [ f (at)]
1 a
F
a
(其中 a 0为常数).
证明由Fourier变换的定义,
F[ f (at )] f (at )eitdt.
0
i
o
t
5
例7.2 求矩形脉冲函数(E>0)
p
(
t
)
E
,
0,
t
2
t
2
的频谱.
解：由频谱函数的定义
p (t )
F()

数学物理方法2-1Fourier变换new

函数f (t)的Fourier积分公式
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
定理2.1.1 Fourier积分收敛定理设 f ( x ) 在 ( , ) 上满足： 1°在任一有限区间满足 Dirichlet 条件；
2°绝对可积

f (t ) dt
1 -i w x iwt 则 f x dx dw ( ( )e )e 2 在 t 点连续 f ( t ), 1 ( f ( t 0) f ( t 0))，其它 2 注:满足条件1°才能保证函数在任意有限区间上能展为 Fourier级数;满足条件2°才能保证T→+∞时极限存在。
T 则当T→+∞时，等价于△w → 0,从而
1 T -i wn x i wnt 2 ( ( )e ) e f (t ) lim f x dx w T T T 2 n 2 1 ( f ( x)e-i wxdx)ei wtdw 2
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
注:
1.

ˆ ( w ) | dw 收敛 | f ( x ) | dx 收敛保证，不一定保证 | f

2.能否扩大Fourier变换（逆变换）定义空间
1 ˆ 1 ˆ ˆ 3. f (t ) f ( w) F [ f ](t ) ， F [ f ](t )等于f (t )？ 1
第二章
积分变换及其应用
第一节 Fourier变换
1, t 1 例 1 求矩形脉冲函数 f (t ) 的Fourier积分。 0, t 1
1 e it it ˆ f ( w) f (t )e dt e dt 1 i it 1

Fourier变换

2c n
称 | c n | 为 fT (t) 离散振幅频谱；
称 argcn为 fT (t)离散相位频谱；
8
通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的
性质，叫做在时域中表示的性质。而频谱 F(n)
描述了这种性质在频域中的表示。
因此傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。
例延拓求为矩Ｔ形周波期函函数数f的(t傅) 立10叶级||tt ||数11的复指数11o形f(式t1)
2 3
26
例 2求指数衰减函数 f(t) e 0 ,t,
t0的傅氏变换及其 t0
则 1
2
f
(t )eitdt eitd＝
f (t), t为连续点
f
(t
0) 2
f
(t
0)
,
t为间断点
在 ( , )绝对可积 |f是 (t)|d指 t收的敛
20
Fourier 积分公式的三角形式
f (t) 1
2
f
(t
)e
i
t
d
t
e
it
d
1
2
f
(t
1 T , cn T
T2 T 2
fT
(t )eint dt
t t f(t) T l if m T (t) T l iT 1 m n T T 2 2fT ()e i n td e i n t
17
t t f(t) T l if m T (t) T l iT 1 m n T T 2 2fT ()e i n td e i n t
T 2 T 2
fT(t)eint
dteintD
T
令
FT

L2(RS)中正交尺度函数和正交小波的Fourier变换紧支集的刻画

L2(RS)中正交尺度函数和正交小波的Fourier变换紧支集的
刻画
黄永东;程正兴;韩惠丽
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2009(029)004
【摘要】借助于Fourier变换,在较弱条件下给出了ψ(x)是L2(RS)上正交尺度函数的一个充分必要条件.进一步,假设{ψμ}是正交小波,且正交小波的Fourier变换紧支集是∪μsupp{^ψμ}=s∏i=1[Ai,Di]-s∏i=1(Bi,Ci),Ai≤Bi≤Ci≤Di,i=1,2,…,s.rn则在最弱条件"每一个|^ψμ|在ω∈(δ)(sΠi=1[Ai,Di])上连续"下,该文通过一些不等式和等式给出了正交尺度函数和正交小波的Fourier变换紧支集的刻画.文中的结论全面改进了龙瑞嶙和张之华的结果.
【总页数】15页(P1104-1118)
【作者】黄永东;程正兴;韩惠丽
【作者单位】北方民族大学信息与系统科学研究所,宁夏银川,750021;西安交通大学理学院,西安,710049;宁夏大学数学与计算机学院,宁夏银川,750021
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.一种紧支集双正交小波基的构造 [J], 傅勤毅;蒋淑霞
2.基于紧支集双正交小波的芯片焊点定位技术研究 [J], 方舟;董浩;赵晓龙
3.基于提升格式的紧支集双正交小波的设计 [J], 梁茜;丁宣浩
4.M进制尺度函数和正交小波的Fourier变换的紧支集刻画 [J], 朱凤娟;李华;黄永东
5.采用频域紧支集正交小波基消除瞬态散射回波中的高斯白噪声干扰 [J], 焦丹;徐善驾;吴先良;李世雄
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第一章 Fouier变换

E, p ( t ) 0,
t ; 2 t

p ( t )
E.

2
.
.

o

.
2
t
2
Fourier变换物理意义-----频谱分析例4 求矩形脉冲函数(E>0)
E, p ( t ) 0, t t

2

2
p ( t )
当 t 0, 右端为
f (0 0) f (0 0) 1 2 2
t0 t 0 t 0
于是
0 cos t sin t d 0 2 2 2 t e
Fourier变换物理意义-----频谱分析在无线电技术、声学、振动理论中, Fourier 变换和频谱概念有密切联系. 时间变量的函数 f (t) 的Fourier变换F()称为 f (t)的频谱函数, 频谱函数的模 F ( ) 称为振幅频谱(简称为幅谱), 称arg F() 为相谱(即相位). 由于是连续变化的, 我们称其幅
Dirac引进了满足以上性质的“函数”, 称为“d 函数”,

d ( x ) f ( x )dx f (0).
但是, 从古典意义下的函数积分概念来看, 这些都是不合理的. 因为不是确定的数, 它表明变量
的变化趋势, 所以, d (0)=+无意义. 而积分值与函
数在个别点的值无关, 这样, 除一点外, 处处为零的
预备知识------ d 函数和d 型序列函数积分也应为零. 从而, d 函数的上述性质在古典意义下都不可能成立, 也是不合理的. 因此, 在很长一段时期, d 函数没有被数学家们接受. 但以 Dirac 为代表的物理学家们继续使用这个“怪”函数. 因为

用MATLAB中的小波函数和小波工具箱

研究生课程考试答题纸研究生学院考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）；B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）；一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。

（20分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。

（25分）三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。

（25分）四、平时成绩。

（30分）一、论述1. 连续小波变换将任意2()L R 空间中函数(t)f 在小波基下展开，称这种展开为函数(t)f 的连续小波变换(CWT),其表达式为,T (,)(),()()()f a R t W a f t t f t dt aτττψψ-=<>=⎰，其中a 为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b为时间平移因子。

其中,()(),0,a t t a R a ττψτ-=>∈为窗口函数也是小波母函数。

任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段a t ∆上包含在中心频率为0a ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。

随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率0a ω及带宽为a ω∆也发生变化。

小波变换是一种便分辨率的时频联合分析方法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而分析高频信号时，其时间窗减小。

这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间长的自然规律。

尺度伸缩，对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩和伸展。

在不同尺度下，小波的持续时间随a时间平移，指小波函数在时间轴上的波形平行移动，如下图所示：由于小波基函数在时间、频率域都具有有限或近似有限的定义域，显然经过平移后的函数在时频域仍是局部性的，如下图所示：连续小波,()a t τψ的时频域窗口中心及其宽度都随尺度a 的变化而伸缩，我们称t ω∆⋅∆为窗口函数的窗口面积。

ψ(t) 正交小波函数

ψ(t) 正交小波函数正交小波函数是一种特殊的数学函数，它在信号处理和图像压缩等领域具有重要的应用。

这种函数具有很多独特的性质，使其在信号处理中成为一种有力的工具。

本文将介绍正交小波函数的定义、性质和应用，并探讨它在实际问题中的应用。

正交小波函数的定义是一组具有正交性质的函数集合。

这些函数在时域和频域中都具有紧凑的表示形式，因此在信号的分析和处理中具有很多优势。

正交小波函数的定义很复杂，它涉及到一系列的数学运算和变换，但我们可以通过直观的例子来理解它的含义。

正交小波函数的一个重要性质是它们具有多尺度分析的能力。

这意味着它们可以对信号进行不同尺度的分解和重构，从而实现对信号的多尺度分析。

这种多尺度分析的特性使得正交小波函数在图像压缩和信号去噪等领域具有广泛的应用。

通过对信号进行小波变换，可以将信号的能量集中在少数主要的小波系数上，从而实现对信号的高效压缩。

正交小波函数还具有局部化的特性。

这意味着它们在时域和频域中都具有紧凑的表示形式，可以有效地捕捉信号的局部特征。

这种局部化的特性使得正交小波函数在图像处理中具有很好的边缘检测和纹理分析能力。

通过对图像进行小波变换，可以将图像的不同频率分量分离出来，从而实现对图像的局部特征提取。

正交小波函数的应用非常广泛。

在信号处理领域，它们被广泛用于信号压缩、信号去噪、信号分析等方面。

在图像处理领域，它们被广泛用于图像压缩、图像增强、图像分割等方面。

此外，正交小波函数还在模式识别、数据挖掘、机器学习等领域得到了广泛的应用。

在实际问题中，正交小波函数的选择非常重要。

不同的正交小波函数具有不同的性质，适用于不同的应用场景。

因此，在应用正交小波函数进行信号处理或图像处理时，需要根据具体的问题选择合适的正交小波函数。

这需要对正交小波函数的性质和应用有深入的理解和掌握。

正交小波函数是一种重要的数学工具，具有多尺度分析和局部化等特性，广泛应用于信号处理和图像处理等领域。

通过对信号或图像进行小波变换，可以实现对信号或图像的分解、重构和分析。

尺度函数与小波的构造

第三章尺度函数与小波的构造§1 框架在第一章中，我们将小波变换定义为()()R b R a dxa b x x f ab a Wf ∈∈⎪⎭⎫⎝⎛-=+∞∞-⎰,,1,ψ （3.1）若()x ψ满足()()∞<=-=⎰⎰∞∞ψωωωψωωωψC d d 21ˆˆ022(3.2)那么我们可以从()()R L x f 2∈的小波变换()b a Wf ,重构()x f()()201,2a dadb a b x a b a Wf C x f ⎰⎰∞∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ψψ(3.3) 如果我们将参数a 和b 离散化，令Z m a a a m∈>=,1,00，相应的Z n a nb b m ∈=,0，那么上述变换和反变换函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=a b x ax ab ψψ1将为 ()()002/0nb x a a x m m m n -=--ψψ （3.4)也就是说，我们可以计算连续小波变换的离散值()()()mn mRm m mf dx nb x a x f a a nb a Wf ψψ,,002/000=-=--⎰(3.5)现在的问题是，离散化时我们是否丢失了某些关于信号的信息，或者说，我们是否可以从这些离散值重构信号。

在多分辨率逼近中，我们讨论了一种最典型的情况，1,200==b a 且{}2,,Z n m m n∈ψ构成()R L 2的正交归一基。

现在我们打算一般性地讨论这个问题。

实际上，在多尺度边缘检测中，我们已放松了对正交性的要求。

根据我们即将介绍的框架理论，如存在∞<>B A ,0使()()R L x f f B f fA nm mn222,2,,∈∀≤≤∑ψ (3.6)则我们说集{}2,;Z n m m n∈ψ为一个框架。

这样我们可以构造一个数值稳定的算法，从小波系数{}2,,,Z n m f m n∈ψ重构()x f 。

不难验证，我们在多分辨率逼近中引入的小波级数只不过是（3.6）式中A=B=1的特殊情况。