2012年数学建模课程结业论文题目

2012年数学模型课程结业论文题目
1．某厂用原料A，B生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单件产品所需原料、所获利润等有关数据如下表所示：
（1）建立线性规划模型，求使该厂获利最大的生产计划；
（2）若产品乙、丙的单件利润不变，甲的单件利润增加到6，是否改变生产计划？
（3）若原料A市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B如数量不足可去市场购买，单价为0.5，问该厂是否购买，以购进多少为宜。

2．下表是1980年到1999年世界人口统计数据（单位：百万）。

请利用1980年到1998年世界人口数据建立世界人口模型，用所建立的模型预测1999年人口，并与实际人口进行对比，
表1 世界人口统计数据表
3．一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量。

请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。

4．在甲乙双方的一次战役中，甲乙双方在开始时投入士兵数分别为x0和y0，t时刻甲乙双方的士兵数分别为x（t）和y（t），甲乙双方战斗的有效系数（包括士气、武器装备、指挥艺术等）分别为b和a，即甲方平均一个士兵使乙方士兵在单位时间内的减员数为b。

若甲乙双方都不考虑增援兵力，也不考虑士兵病故、逃亡等因素，试研究甲乙双方士兵人数的变化规律，并判断战役的结局情况。

5．硬盘振动测量
硬盘是计算机上的重要部件，正向着更小、更快、密度更高的方向发展。

如何减小盘片的振动，成为关键问题，于是怎样检测盘片的振动更加重要。

由于硬盘转速很高，不适宜接触式测量，容易想到光学测量。

有一种新技术测量物体表面获得振动情况，是利用类似镜面反射的几何光学原理工作的：选用同一点光源发出两束光线，照射有反射能力的被测物体平面，产生的两条反射光线再照射到水平放置的接受屏上。

接受屏能够检测出光线照射点在接受屏平面上的坐标位置，问题是怎样利用图2中O ’x ’y ’平面的两个坐标值反算出被测物体当前的平面方程，就可利用平面方程的变化得到振动情况。

图1是用两条光线检测的原理图，点光源O 为坐标原点，E1和E2是盘片瞬间位置的反射点，此时盘片局部表面方程为z=ax+by+(c+D)，其中a,b,c 为未知量，由于硬盘在振动，平面就偏离了初始位置z=D(D<0)；接受屏方程为z=h ，其中h>0为接受屏的高度，B1和B2是其上的照射点，这样利用它们确定a 、b 和c 获得盘片局部表面方程。

（本题作到确定出a 、b 和c 即可，不必分析振动情况）
问题 1：请解释这种测量技术采用两束光线的原因。

问题 2：请建数学模型分析盘片局部表面方程的测量原理。

问题 3：试分析接受屏分辨率（测量精度）对盘片局部表面方程的影响。

6. 配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付出生产准备费（与生产数量无关）。

同一部件的产量大与需求量时因积压资金、占用仓库要付贮存费。

今已知某一部件厂的日需求量为常数r ，日生产速率为常数k ，k>r ，每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2。

假设不允许缺货，当存量降到零时立即开始生产（不计生产准备时间），并且在每个生产周期T 内，开始的一段时间(0<t<T0)一边生产一边销售，后来的一段时间（T0<t<T ）只销售不生产。

试安排该产品的生产计划，即确定生产周期T ，使总费
图2 接受屏示意图
)D c +h
z =图1 原理图
用最小？
7
我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的《国家公务员暂行条例》规定：“国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。

目前, 我国招聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。

现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序如下：
（一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和“行政职业能力测验”三个部分，每科满分为100分。

根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。

（二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。

按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级，具体结果见表１所示。

（三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。

该单位拟将录用的8名公务员安排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。

这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、(2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。

见表2所示。

招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。

招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。

每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。

请研究下列问题：
（1）如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领导小组设计一种录用分配方案；
（2）在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案；
（3）你的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行？
(4) 你对上述招聘公务员过程认为还有哪些地方值得改进，给出你的建议。

表１：招聘公务员笔试成绩，专家面试评分及个人志愿
表 2: 用人部门的基本情况及对公务员的期望要求
8．非线性交调的频率设计
如果一非线性器件的输入)(t u 与输出)(t y 的关系是)()()(2t u t u t y +=（其中t 是时间），那么当输入是包含频率21,f f 的信号t f t f t u 212cos 2cos )(ππ+=时，输出)(t y 中不仅
包含输入信号
21,f f ，而且还会出现21f ，21f f ±等新的频率成分，这些新的频率称为交
调，如果交调出现在原有频率
21,f f 的附近，就会形成噪声干扰，因此工程设计中对交调的
出现有一定的要求。

现有一SCS(非线性)系统，其输入输出关系由如下一组数据给出： 输入信号为t f A t f A t f A t u 3322112cos 2cos 2cos )(πππ++=
，其中251=A ，
45,1032==A A 是输入信号的振幅，对输入信号的频率321,,f f f 的设计要求为：
1）5546,5041,4036321≤≤≤≤≤≤
f f f 。

2）输出中的交调均不得出现在5±i f 的范围内（i=1,2,3）
，此范围称为i f 的接受带（参见下图）
i B （信号振幅）
n C （交调振幅）
6-=i n f f 5-i f i f 5+i f 6+i f
接收带
3）定义输出中的信噪比SNR=22
10log 10n
i C B (单位：分贝)，其中i B 是输出中对应于频率为i
f 的信号的振幅，n C 是某一频率为
n f 的交调的振幅。

若n f 出现在6±=i n f f 处（i=1,2,3）
，则对应的SNR 应大于10分贝（参见上图）。

4）
i f 不得出现在j f 的接收带内（i,j=1,2,3,i ≠j ）
5）为简单起见，i f 只取整数值，且交调只考虑2阶类型（即{j i f f ±},i,j=1,2,3）和3
阶类型（即{
k j i f f f ±±},i,j,k=1,2,3）
试按上述要求设计输入信号频率k j i f f f ,,。

9．公平的竞赛评卷系统
数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关心竞赛评卷的公平性。

现今大多数的评卷工作是这样进行的：先将答卷编成密号，评委由各参赛学校（20-50所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由M 个评委组成，评阅N 份答卷，每份答卷经L 个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分（A+，A ，A-，B+，B ，B-，C+ ，C ，C-，D ），如果L 个评委给出的分数基本一致，就给出这份答卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中M = 5-10，N = 60-200，L = 3-5）。

现在需要你解决如下问题：
(1)有A,B,C,D 四个题目，P （P ≥ M ）所学校参赛，给出一种答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为明号）；要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好；对你的方法给出分析。

(2)每个题组的M 个评委来自不同学校，给出一种评阅答卷分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求。

(3)给出评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评价（某
评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可在下面的问题中调整）。

(4)给出最终的分数调整计算公式。

该公式要处理那些可能出现的“不公平”，及尺度偏差。

对可能出现的“不公平”构造例子，说明你的方法。

(5)对评卷中的其他问题（如采用百分制还是等级分，一份答卷由几个评委评阅可以满足既经济又公平，等等）提出你的看法和根据。

（6）假定有35所学校298个参赛队参赛，数据如附表。

其中：数字前两位代表学校，甲组选做A，B题；乙组选做C，D题；
25名评委所属的学校编号为：1-17，20，21，22，24，26，28，29，30。

每份试卷经四位评委评阅，编号为15，22的只容许评C，D题，编号为26的只容许评A，B题，编号为1，4，6，12，16的评委要求评A题，编号为2，5，7，10的评委要求评B 题；编号为24的评委要求评C题，编号为29的评委要求评D题。

其余按所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。

要求对问题1，2给出具体的算法及结果。

对问题3，4，5给出模拟数据再进行分析和运算。

附表：XX赛区参赛情况表
10．某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆以供日后销售。

为了尽快收回资金并获得较多的赢利，公司经理李先生打算做广告，于是便找到广告公司的王经理进行咨询。

李经理认为，随彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算（见表2）。

他问王经理广告有多大的效应。

王经理说“投入一定的钢管费后，销售量将有一个增长，这由销售增长因子来表示。

例如，投资3万元的广告费，销售增长因子为1.85，即销售量将是预期
表2 售价与预期销售量
表3 广告费与销售增长因子
问李经理如何确定彩漆的售价和广告费，才能使公司获得的利润最大？
11．
某公司有4万元，可向A,B,C三个项目投资，已知各项目投资额的相应效益值如下表，
12．
为了更好地引进优秀人才，需要对应招人员的情况进行综合考虑，并量化打分。

考核的内容分为：知识方面（包括：语文知识，外语知识，国内外政治实事知识）；能力方面（包括：计算机操作能力，公关能力）；表现方面（包括：容貌与风度，体形高矮与肥瘦，音色）。

（1）利用层次分析法，建立人才招聘的层次结构模型，给出比较判别矩阵，并进行一致性检验，计算权向量
（2）根据上述计算结果，建立人才招聘综合考核指标体系；
请按指标体系分别求出综合分，并根据综合分确定最先录用谁。

13．花瓶体积的计算
我们只想用一个计算器、一根绳子和一把尺子来估算一个花瓶的体积（旋转体的体积）。

我们测量花瓶的高是6cm ，然后我们用绳子和尺子从上到下每隔0.5cm 测量一次花瓶的圆周
请你用三种不同的方法估算花瓶的体积。

14．径向厚度的计算 问题的提出：
某零件是空心旋转体，取x 轴为旋转轴，过旋转轴的截面截得外曲面的曲线公式为
)]arccos(1[22max t t t R Y fkm
-+-π
=
锥体母线方程式中：12-=
fkm
L x
t mm R mm L t L x fkm fkm 1.486 , 2331 , 11 ,0max ==≤≤-≤≤)(),( 即旋转曲面半径是纵坐标旋转轴是横坐标Y x
零件变化示意图
根据工艺要求，法向厚度随x 变化，其变化规律： 站位 模腔厚度d x=－140~圆弧过渡段开始 10.67 x=圆弧段末~150 8.6481
x=150~460 x x *00165.0*5360000000124.089586.82-- x=460~900 x x *000730253.0*290000008117.064248.82-- x=900~969 7.3278 x=969~1102 8
在加工此零件时，需要将法向厚度转化为径向厚度，因此需要解决如下问题： 需要解决的问题：
1）根据公式画出外曲线；
2）从x=0,y=0起始，每增加10mm 求y 的对应值，列出数据表，10560≤≤x 3）将法向厚度公式中法向公式变为径向厚度公式。

4）根据上述公式及径向厚度的变化规律做出内曲线（此时纵坐标y 是内旋转曲面的半径）。

当x 每增加10mm ，给出y 的对应值
15．火柴销售与各因素之间的关系
1051.5 1102
量为60（万箱），蚊香销售量为50（十万箱），打火石销量为8（百万粒）时火柴销售量。

16．医院选址问题
下图是一个新建居民小区的示意图。

1v ，2v ，…，10v 表示各居民点，边上的数表示两居民点间的距离。

现在需要我们考虑的问题是在这十个居民点中，何处作为新建医院的理想地址。

17．存储问题
设某厂每月生产某种产品最多600件,当月生产的产品若未销售掉,就需存贮(刚入库的产品,该月不服存贮费)。

月初就已存贮的产品需支付存贮费，每100件每月1千元。

已知每100件产品的生产费为5千元，在进行生产的月份工厂要支出经营费4千元，市场需求如表下表所示，假定1月初及4月底库存量为零，试问每月生产多少产品，才能在满足需求的条
18．
一家保姆服务公司专门向顾主提供保姆服务。

根据统计，下年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。

公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗。

每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。

保姆从该公司而不是从顾主那里得到报酬，每人每月工资800元。

春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束时，将有15%的保姆自动离职
（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度的增加不影响招聘计划？可以增加多少？
（2）如果公司允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。

19．某公司在未来1~4月份内需要完成三项工程：第1项工程工期为1~3月份共三个月，总计需要劳动力80人月，第2项工程工期四个月，总计需要劳动力100人月，第3项工程工期从3至4月份共两个月，总计需要劳动力120人月。

该公司每月可用劳力为80人，但任何一项工程后上投入的劳力任一月内不准超过60人。

问该公司能否按时完成上述三项工程任务，应如何安排劳动力。

试将此问题归结为网络最大流问题。

v v 6
10
20．最廉价航费表的计算
某公司在六个城市C 1，C 2，C 3，C 4，C 5，C 6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间。

已知从C i 到C j 的直达航班票价由下述矩阵的第I 行，第j 列元素给出（∞表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线表。

⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞
∞∞055
252510
55010202525100102040201001525201505010254050
21．据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
（1） 对大李碰到的情况做出解释；
（2）. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
1） 酒是在很短时间内喝的；
2） 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

（3） 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

（4） 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ （5） 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据
1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg 的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
22．评定奖学金问题
为了鼓励先进，对于学习优异、各方面表现突出的学生，学院要奖励给奖学金，以资鼓励。

假定奖学金分为三等，评定奖学金时综合考虑：学习成绩、综合表现、社会工作等方面因素，结合学分制，还要考虑所取得的学分等因素。

请你设计一种评定奖学金的方法，其要求如下：
⑴提出问题；
⑵做出假设；
⑶建立模型；
⑷模型求解；
⑸给出评定奖学金的方法
⑹根据往年的数据，用你所给的方法进行计算，把所得到的结果与往年的实际情况进行比较分析，以此来检验你所提供的方法的可用性和客观性。

23．在确定像数学建模竞赛这种形式的比赛的优胜者时，常常要评阅大量的答卷，比如说，有P=100份答卷。

一个由J位评阅人组成的小组来完成评阅任务，基于竞赛资金对能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，如果P=100，通常J=8。

理想的情况是每个评阅人看所有的答卷，并将它们一一排序，但这种方法工作量太大。

另一种方法是进行一系列的筛选，在一次筛选中每个评阅人只看一定数量的答卷，并给出分数。

为了减少所看答卷的数量，考虑如下的筛选模式：如果答卷是被排序，则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的30%答卷被筛除；如果答卷被打分（比如说从1分到100分），则某个截止分数线以下的答卷被筛除。

这样，通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述过程。

人们关注的是，每个评阅人看的答卷要显著地小于P。

评阅过程直到剩下W份答卷时停止，这些就是优胜者。

当P=100时通常取W=3。

你的任务时利用排序、打分及其他方法的组合，确定一种筛选模式，按照这种模式，最后选中的W份答卷只能来自“最好的”2W份答卷（所谓“最好的”是指，我们假定存在着一种评阅人一致赞成的答卷的绝对排序）。

例如，用你给出的方法得到的最后3份答卷将全部包括在“最好的”6份答卷中。

在所有满足上述要求的方法中，希望你能给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法。

注意在打分时存在系统偏差的可能性。

例如，对于一批答卷，一位评阅人平均给70分，而另一位可能平均给80分。

在你给出的模式中如何调节尺度来适应竞赛参数（P，J和W）的变化？
24．车辆更新问题
一辆汽车从购买到更新，使用年限不同，更新速度不同，其总成本有明显差异。

现在只在每年年初考虑是否更新车辆，车辆最多使用4年，考虑一辆车的8年更新规划。

各年年初
使用不同时间的维修费为
25．水塔流量的估计
某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。

但面临的困难是，当水塔水位降低到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。

通常每天供水两次，每次约两小时。

水塔是一个高12.2米、直径17.4米的正圆柱。

按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到10.8米时水泵停止工作。

下表是某一天的水位测量记录，试估计任何时刻（包括水泵正在供水时）从水塔流出的水流量（单位时间流出水的体积），及一天的总用水量。

26．某公司饲养实验用的动物以供出售。

已知这些动物的生长对饲料中三种营养成分：蛋白质、矿物质、维生素特别敏感，每个动物每天至少需要蛋白质70g，矿物质3g，维生素10mg，
（1）试建立数学模型，要求确定既能满足动物生长所需，又使总成本为最低的饲料配方。

（2）若饲料A2的成本降为每公斤0.5 元，是否改变配方？
27．某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：
设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员？从第一班开始排，试建立线规划性模型，并求解。

28．Lanchester作战模型在甲乙双方的一次战役中，甲乙双方在开始时投入士兵数分别为x0和y0，t时刻甲乙双方的士兵数分别为x（t）和y（t），甲乙双方战斗的有效系数（包括士气、武器装备、指挥艺术等）分别为b和a，即甲方平均一个士兵使乙方士兵在单位时间内的减员数为b。

若甲乙双方都不考虑增援兵力，也不考虑士兵病故、逃亡等因素，试研究甲乙双方士兵人数的变化规律，并判断战役的结局情况。

29．服药问题我们知道，患者服药后，随时间推移，药品在体内逐渐被吸收，发生化学反应，也就是体内药品的浓度逐渐降低，药品浓度的变化量与服药量成正比。

医生给病人开处方时，必须注明两点：服药的剂量和服药的时间间隔。

超剂量的药品回对身体产生严重不良后果，甚至死亡，而剂量不足，则达不到治病的目的。

试研究药品在体内浓度的变化规律。

30．夫妻过河问题
有5对夫妻要过河，船至多可载3人，条件是任一女子不能在其丈夫不在场的情况下与另外的男子在一起，问如何安排这５对夫妻过河？
要求：
⑴提出问题；
⑵做出假设；
⑶建立模型；
⑷模型求解；。