第六章 数 列

等差数列的定义：数列 {a n }，从第二项起，每 等差数列的定义 一项与前一项的差都是同一个常数，则称数 列为等差数列。常数称为公差，记作：d。 大家来判断一下上述三个例子中的公差是多 少？ 2 －0.1 0
二、等差列的通项公式： 等差列的通项公式
a n = a1 + (n − 1)d
说明：通项公式给出了 a1 , a n , d , n 之间的 说明 关系。已知任何三个，-1 数 列 的 概 念
理解相关概念。 理解相关概念。 掌握数列的表示方法。 掌握数列的表示方法。 会根据通项公式求项， 会根据通项公式求项，也会根据项归纳出 通项公式。 通项公式。
一、数列的概念。
（1）1，2，3，4，5，……，48 （2）1，0.9，0.8，0.7，0.6，0.5，…… （3）3，3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，…… （4）2，2，2，2，2，2，…… （5）1，－1，1，－1，1，－1，1
小结： 小结：求数列通项公式的主要技巧 就是观察数列中的每一项与序号 项与序号n的 就是观察数列中的每一项与序号 的 关系， 关系，用常见的数列通过合理的变 换和组合形成一个新数列的通项公 式。
学生练习： 学生练习：P135 课堂练习
4、数列的分类 、
分为： （1）按项的个数分为：有穷数列和无穷数列。 ） 项的个数分为 有穷数列和无穷数列。 分为： （2）按项的增减性分为：递增数列、递减数 ） 项的增减性分为 递增数列、 交错数列、常数列。 列、交错数列、常数列。
3、前后类比的学习方法。
等差数列 定 义
等 比 数列
an +1 − an = d
an = a1 + (n − 1) ⋅ d
an +1 = q(q ≠ 0) an
通项公式 中项公式 前n项和公式 项和公式
an = a1 ⋅ q
n −1
a+b A= 2
n(a1 + an ) Sn = 2 n(n − 1) S n = n ⋅ a1 + ⋅d 2
1
2
4
8 16
263
h g f e
d c
b a
让我们来分析一下: 让我们来分析一下
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里 的麦粒数的2倍 且共有 个格子,各个格子里的麦 且共有64个格子 的麦粒数的 倍,且共有 个格子 各个格子里的麦 粒数依次是
1, 2, 2 , 2 , ⋅ ⋅⋅, 2 ,
2 3 63
2、已知一个等比数列的首相为 ，公比为 已知一个等比数列的首相为3， 已知一个等比数列的首相为 2，前n项的和为 ，求n. ， 项的和为93， 项的和为 3、设等比数列的通项公式 an 、 的前6项的和 项的和. 的前 项的和
=2
n−1
，求它
小结：
1、等比数列前n 项和公式.
2、用方程的思想来解决问题。
三、等比中项
定义： 定义：如果在a,b中间插入一个数G，使他们 成等比数列，则称G是a与b的等比中项。
G = ± a ⋅b
【★】
例题：
例3、求2和10的等比中项。
2 与 2 的等比中项。 例4、求 2
( a 4 + a 2 b 2 与b 4 + a 2 b 2的等比中项。a, b ≠ 0) 例5、求
a+b A= 2
例6、 求 、
3+ 2 3− 2
与
3− 2 3+ 2
的等差中项。 。
例7、已知三个数a,b,c成等差数列，求证 、 b+c,c+a,a+b也是等差数列 。
学生练习： 学生练习：P138 课堂练习
四、等差数列的前 项和公式。 等差数列的前n项和公式 等差数列的前 项和公式。
n ( a1 + a n ) n ( n − 1) d Sn = 或 S n = na1 + 2 2
3 1 例2、已知等比数列中 a1 = 6,a 5 = , q = 、已知等比数列中 8 2 求 S5 .
例3、已知等比数列中 a 2
，
= 8,a 4 = 2 ，求 S 5.
课堂练习
63 1. 已知一个等比数列的前 项和是 ，公 已知一个等比数列的前6项和是 32 1 求首项. 比是 − ，求首项 2
1 2 3 4 … … A B C D …
函数的定义域是N 函数的定义域是 或N＋的子 集。 自变量： 自变量：序号 函数值： 函数值：项
序号
项
说明： 说明：并不是任何数列都有通项公式。
3、数列的表示方法 、 （1）列举法：a1,a2,a3,……,an,…… ）列举法： （2）通项公式表达法：{an },n∈N＋ ）通项公式表达法： ∈ 表示第n项的式子叫做 的通项公式。 表示第 项的式子叫做{an }的通项公式。它是数 项的式子叫做 的通项公式 列的序号与项之间的函数解析式， 列的序号与项之间的函数解析式，反映了数列的 变化规律。 变化规律。 （3）递推公式表达法 ） 递推公式是数列的相邻的项之间的关系式， 递推公式是数列的相邻的项之间的关系式，反映 了若干项之间的关系。 了若干项之间的关系。
G = ± a ⋅b
a1 (1 − q n ) Sn = 1− q a1 − an ⋅ q Sn = 1− q
例题： 例题：
例1、求等差数列3，7，11，……的第4项和
第10项。
{a ，其中 a 7 = 10, a 21 = 38 例2、已知等差数列{a n }
求 a12 。
例3、已知等差数列{a n }，其中 a1 = −5, d = −4, a n = −401
求n。
例4、一个塔轮上有五个皮带轮，她们的直径
①
②
a1 − anq Sn = 1− q
等比数列前n项和 ： 等比数列前 项和Sn： 项和
a1(1− q ) 当 q ≠1 时，Sn = 1− q a1 − anq Sn = 1− q
n
【★】
当 q = 1 时 Sn = n a1
【★】
例题： 例题：
求等比数列1, 1,－ ,－ ,…的前 项和. 的前6 例1、 求等比数列1,－2，4 ,－8 ,…的前6项和
1、等比数列的通项公式 、
n −1
a n = a1 q
【★】
2、对公式的认识 、
强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公 式最简单的应用。
例题： 例题：
例1、求下列各等比数列的通项公式。 （1） a1 = −2, a3 = −8 （2） a1 = 5,2a n +1 = −3a n 例2、求等比数列5，－15，45，……的第4 项和第5项。 学生练习：课堂练习。 学生练习：课堂练习。
1、定义 、
定义：按一定次序排列的一列数叫 定义 做数列。数列中的每一个数叫做数 列的项，按顺序分别叫做：第1项、 第2项、第3项，……，第n项，记 作： 1 , a 2 , a3 , ⋯ , a n , ⋯或{a n } 。 a
首项
2、数列的通项公式 、
如果一个数列的第n项 如果一个数列的第 项 a n与项数 n之间的对 来表示， 应关系可以用一个关系式 a n = f (n)来表示， 就叫做这个数列的通项公式 数列的通项公式。 则a n = f (n)就叫做这个数列的通项公式。 从函数的观点来看数列： 从函数的观点来看数列： ＋
学生练习： 学生练习：课堂练习
引入: 引入
国际象棋的棋盘上共有8行 列 构成 构成64个 国际象棋的棋盘上共有 行8列,构成 个 格子.国际象棋起源于古代印度 国际象棋起源于古代印度,关于国际象 格子 国际象棋起源于古代印度 关于国际象 棋有这样一个传说. 棋有这样一个传说
1 2 3 4 5 6 7 8
例8、 在等差数列中，已知a1 = −2, a 20 = 104, 求S 20 例9、等差数列-10，-6，-2，2，……前多少
项的和等于54？ 54
例10、药房里一种数丸器，形状是一个等边
三角形，每排比前一排多一粒，如果排满了n 行，此外还有k粒，则：容器内一共有多少粒 药丸？
例11、已知等差数列公差 d = 2, a n = 1, S n = −8
于是发明者要求的麦粒总数就是： 于是发明者要求的麦粒总数就是：
1+ 2 + 2 + 2 +⋅⋅⋅ + 2
2 3
63
等比数列前n项和 等比数列前 项和（ Sn）公式的推导
错位相减法 Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 q Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + …+ a1qn ① － ②： ( 1 – q )Sn = a1 – a1 q n
求：a1和n 。
学生练习： 学生练习：P140 课堂练习
§6-3 等 比 数 列
1、理解等比数列的概念。 理解等比数列的概念。 理解等比数列的概念 2、熟记等比数列的通项公式。 、熟记等比数列的通项公式。 3、熟记等比数列的等比中项公式。 、熟记等比数列的等比中项公式。 4、会利用他们进行计算。 、会利用他们进行计算。
成等差数列，已知最小的皮带轮直径是100mm， 最大的是200mm，求中间三个皮带轮的直径。
例5、已知等差数列{a n } l、m、n、k都是正整数， , 且l+m=n+k,求证： al + a m = a n + a k
学生练习： 学生练习：P138 课堂练习
三、等差中项 等差中项
定义：a,A,b成等差数列，那么A称为a和b的 定义 等差中项。
例3、判断下列数列分别是什么数列：
（1）1，2，3，4，5 （2）1，－2，3，－4，5，…… （3）1－2，2－3，3－4，……，100－101 （4）9，99，999，9999，…… （5） 4，4，4，4，4，……