角平分线的性质和判定
三角形的角平分线性质
三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。
1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。
三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。
2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。
对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。
（2）角平分线分割对边成比例。
对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。
（3）角平分线长度关系。
对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。
即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。
（4）角平分线的外角等于直角。
对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。
3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。
内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。
（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。
总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。
角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。
通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。
角平分线的判定(用)
为了证明角平分线的判定定理， 我们可以按照以下步骤进行推导
综上所述，我们证明了角平分线 的判定定理。
03 判定定理的应用
在几何证明中的应用
证明角平分线
利用角平分线的判定定理，可以 证明某个角是另一个角的平分线。
证明等腰三角形
在三角形中，如果一个角的平分线 与对边相交，则该交点与对边的两 个端点所形成的三角形是等腰三角 形。
进行证明。
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证明线段比例
利用角平分线定理，可以证明线段 之间的比例关系。
在三角形中的运用
01
02
03
确定角的平分线
在三角形中，可以利用角 平分线的判定定理来确定 角的平分线位置。
计算线段长度
利用角平分线定理，可以 计Байду номын сангаас三角形中某些线段的 长度。
判断三角形形状
在三角形中，可以利用角 平分线的性质来判断三角 形的形状。
在日常生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，角平分线 的判定定理可用于确定窗 户、门等部件的位置和角 度。
道路规划
在道路规划中，可以利用 角平分线的判定定理来确 定交叉路口的角度和道路 的走向。
机械制造
在机械制造中，角平分线 的判定定理可用于确定零 件的精确位置和角度。
04 判定定理的推论与变种
推论一
角平分线的判定定理
目录
• 角平分线的定义与性质 • 角平分线的判定定理 • 判定定理的应用 • 判定定理的推论与变种
01 角平分线的定义与性质
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分的一条射线。
角平分线上的任意一点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
角平分线的判定
角平分线的性质和判定一、基础知识回顾。
角平分线的性质： 角平分线的判定：一、分线的判定定理角平分线的判定：到角两边距离相等的点在 。
如图：∵P D ⊥OA,PF ⊥OB ，PD=PE ，∴P 在∠AOB 的平分线上，或（∠AOP=∠BOP ）1、如图，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BD=2CD ，BC=9，求点D 到AB 的距离。
D C BA2、如图，求作到三条直线距离相等的所有点。
3、如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，求证：AM 平分DAB ∠。
MDCBA4. 如图所示，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD . 求证：AD 平分∠BAC .5、如图，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE=DF ，求证：GE=GF 。
FGDCBAE6、如图，CD AB ⊥，BE AC ⊥，OB OC =，求证12∠=∠。
O21A B CDE7、如图，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，BD=DF ，求证：CF=EB 。
FD C BAE8 如图，BE=CF ，BE ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E,BF 和CE 交于点D ，求证：AD 平分∠BAC.9.如图在△ABC 中，∠B=∠C ,D 是BC 的中点，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AD 平分∠BACCFABC10.如图BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE,CF相交于点D，且CE=BF，求证:点D在∠BAC的平分线上11，在Rt△ABC中，∠C=90。
，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，AE=BC，DE⊥AB，垂足为E，求证△DBE的周长等于AB.12，在△ABC中，外角∠CBE和∠BCG的平分线相交于点F，求证：点F在∠BAC的平分线上13，已知∠B=∠C=90。
，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。
_角平分线的性质和判定(包含答案)
角平分线的性质和判定（1）以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；（2）分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，相交于点；（3）连接点和并延长，则射线就是的角平分线若DP=EP，则点P在∠AOB的角平分线上一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定二．重难点：角平分线的性质和判定三．易错点：1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错．题模一：尺规作图例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB∠的边OA上任意两点．（1）尺规作图：作AOB∠的平分线OC；（2）在AOB∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN+的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹）如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．题模二：性质例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．例 1.2.3 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．题模三：判定例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ．（1）求证：AE 平分∠BAD ； （2）求∠AED 的度数．例 1.3.2 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法）如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．FABCDEOOEDCBA随练1.2如图，△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A.65°B.60°C.55°D.45°随练1.3如图，已知ABC∆的周长是20，OB和OC分别平分ABC∠和ACB∠，OD BC⊥于点D，且3OD=，则ABC∆的面积是（）A.20B.25C.30D.35随练 1.4如图，AB CD∥，BP和CP分别平分ABC∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若8AD=，则点P到BC的距离是（）A.8B.6C.4D.2随练1.5三角形中到三边的距离相等的点是（）A.三条边的垂直平分线的交点B.三条高的交点C.三条中线的交点D.三条角平分线的交点随练1.6如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC的外角的平分线，求证：点P在∠A的平分线上．拓展1如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．拓展2如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A.四处B.三处C.两处D.一处拓展3在ABC∆中，AB AC=，70ABC∠=︒（1）用直尺和圆规作ABC∠的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的条件下，BDC∠=________．PCBA拓展4 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点拓展5 如图，已知在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，2DE =，则BCE ∆的面积等于________．拓展6 如图，ABC ∆的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC ∆分为三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A.1:1:1B.1:2:3C.2:3:4D.3:4:5拓展7 如图，已知：BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥于E ，236ABC S cm ∆=；，12AB cm =，18BC cm =，则DE 的长为________cm ．拓展8 如图，ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥交AF 的延长线于F ．（1）说明BE CF =的理由；（2）如果AB a =，AC b =，求AE BE 、的长．拓展9 如图，△ABC 和△AED 为等腰三角形，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ，连接BE 、CD 交于点O ，连接AO ． 求证：（1）△BAE ≌△CAD ； （2）OA 平分∠BOD ．GFE DC BA答案解析角平分线题模一：尺规作图例1.1.1【答案】（1）（2）【解析】（1）如图1所示，OC即为所求作的AOB∠的平分线．（2）如图2，作点M关于OC的对称点M'，连接M N'交OC于点P，则点P即为所求．例1.1.2【答案】【解析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA、OB于点C、点D，（2）再分别以点C、点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于一点E，（3）连接OE，则OE为∠AOB的角平分线，（4）连接MN，分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧交于点F、点H，（5）连接FH，则FH为线段MN的垂直平分线，（6）直线FH与OE交于点P，点P即为所求．题模二：性质例1.2.1【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．例1.2.2【答案】4【解析】连接AO，OB，OC，∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，∴OR ＝OQ ，OR ＝OP ，∴由勾股定理得：AR 2＝OA 2－OR 2，AQ 2＝AO 2－OQ 2， ∴AR ＝AQ ，同理BR ＝BP ，CQ ＝CP ， 即O 在∠ACB 角平分线上，设BP ＝BR ＝x ，CP ＝CQ ＝y ，AQ ＝AR ＝z ， 则987y z x y x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ x ＝3，y ＝5，z ＝4，∴BP ＝3，CQ ＝5，AR ＝4， BP ＋CQ －AR ＝3＋5－4＝4．例1.2.3【答案】31.5【解析】∵O 点为ABC △中角平分线的交点， ∴O 点到三边距离相等．∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△1()331.52AB BC AC =⨯++⨯=题模三：判定 例1.3.1【答案】（1）见解析 （2）90°【解析】（1）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，图略．∵DE 平分∠ADC ，EC ⊥CD ，EF ⊥AD ，∴EC ＝EF ，又EC ＝EB ，∴EF ＝EB ，又EF ⊥AD ，EB ⊥AB ，∴点E 在∠BAD 的平分线上，∴AE 平分∠BAD ． （2）∠AED ＝90°． 例1.3.2【答案】见解析．【解析】因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=︒， 则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌．进而由AF AO=得AFO AOF∠=∠；由AOE AFO∠=∠可得AOF∠=AOE∠，即OA平分DOE∠．随练1.1【答案】【解析】如图所示：作CD的垂直平分线，AOB∠的角平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和1P都是所求的点．随练1.2【答案】A【解析】解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG 是∠CAB 的平分线，∵∠CAB ＝50°，∴∠CAD ＝25°；在△ADC 中，∠C ＝90°，∠CAD ＝25°，∴∠ADC ＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）．随练1.3【答案】C【解析】如图，连接OA ，过O 作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ，OB 、OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，3OE OF OD ∴===，ABC ∆的周长是20，OD BC ⊥于D ，且3OD =，1111()32222ABC S AB OE BC OD AC OF AB BC AC ∆∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯++⨯ 1203302=⨯⨯=．随练1.4【答案】C【解析】过点P 作PE BC ⊥于E ，AB CD ∥，PA AB ⊥，PD CD ∴⊥， BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，PA PE ∴=，PD PE =，PE PA PD ∴==，8PA PD AD +==，4PA PD ∴==，4PE ∴=．随练1.5【答案】D【解析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知： 三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．随练1.6【答案】见解析【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PG ⊥AC 于点G ，PF ⊥BC 于点F ．因为P 在∠EBC 的平分线上，PE ⊥AB ，PH ⊥BC ，所以PE PF =．同理可证PF PG =．所以PG PE =，又PE ⊥AB ，PG ⊥AC ，所以P 在∠A 的平分线上．拓展1【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）如图1，射线CP 为所求作的图形．（2）∵CP 是∠ACB 的平分线∴∠DCE=∠BCE ．在△CDE 和△CBE 中，CD=CB DCE=BCE CE=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），P∴BE=DE．拓展2【答案】A【解析】满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．拓展3【答案】（1）（2）75︒【解析】（1）如图所示，BD 即为所求；（2）在ABC ∆中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒， BDC ∠是ABD ∆的外角，403575BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．拓展4【答案】D【解析】∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴角形三边距离相等的点应是这个三角形三个内角平分线的交点．拓展5【答案】6【解析】作EF BC ⊥于F ， BE 平分ABC ∠，EF BC ⊥，ED AB ⊥，2EF DE ∴==，BCE ∴∆的面积162BC EF =⨯⨯=．拓展6【答案】C【解析】过点O 作OD AC ⊥于D ，OE AB ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，点O 是内心，OE OF OD ∴==， 111::::::2:3:4222ABO BCO CAO S S S AB OE BC OF AC OD AB BC AC ∆∆∆∴===．拓展7【答案】2.4【解析】如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，BD 是ABC ∠的平分线，DE BC ⊥， DE DF ∴=，ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+，1122AB DF BC DE =+， 11121822DE DE =⨯+⨯， 15DE =，236ABC cm ∆=，1536DE ∴=，解得 2.4DE cm =．拓展8【答案】（1）见解析；（2）2a b BE -=，2a b AE += 【解析】（1）连接DB 、DC ，∵DG ⊥BC 且平分BC ，∴DB DC =．∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE DF =．90AED BED ACD DCF ∠=∠=∠=∠=︒在Rt △DBE 和Rt △DCF 中DB DC DE DF =⎧⎨=⎩Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ），∴BE CF =．（2）在Rt △ADE 和Rt △ADF 中∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ）．AD AD DE DF =⎧⎨=⎩∴AE AF =．∵AC CF AF +=，∴AE AC CF =+．∵AE AB BE =-，∴AC CF AB BE +=-∵AB a =，AC b =，∴b BE a BE +=-， ∴2a b BE -=， ∴22a b a b AE AB BE a -+=-=-=．拓展9【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）过点A 分别作AF ⊥BE 于F ，AG ⊥CD 于G ．如图所示：G F EDCB A∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△CAD中，AB ACBAE CAD AE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△CAD（SAS），（2）连接AO并延长交CE为点H，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，∴AF＝AG，∵AF⊥BE于F，AG⊥CD于G，∴OA平分∠BOD，∴∠AOD＝∠AOB，∵∠COH＝∠AOD，∠EOH＝∠AOB，∴∠COH＝∠EOH．∴OA平分∠BOD．。
角的平分线的性质(基础)知识讲解
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,PP P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．2、如下图, △ABC 中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对举一反三：AB AC ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．。
角平分线性质的原理
角平分线性质的原理角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的线段。
角平分线有以下几个重要的性质：性质一：角平分线上的所有点到角的两边的距离相等。
这个性质可以通过几何推理证明。
假设有一个角ABC，角平分线AD将角分成两个大小相等的角∠BAD和∠DAC。
我们需要证明，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即AD = BD = CD。
证明如下：首先，连接AC。
假设∠BAD = ∠DAC = x。
由于∠BAD和∠DAC大小相等，因此四边形ABCD可以分成两个等腰三角形∆ABD和∆ACD。
根据等腰三角形的性质，AD = BD，AD = CD。
所以，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质二：角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
内切点是指和角的另一条边相切于一个点的线。
角的角平分线正好满足这个条件，因此角平分线和角的另一条边相交的点是角的内切点。
证明如下：仍以角ABC为例，设∠BAD和∠DAC是由角平分线AD分出的两个大小相等的角。
连接AC并延长到点D，假设角∠ADC是由角平分线AD分出的较大的角。
根据性质一，AD = CD。
又根据角度和定理，∠A + ∠BAD + ∠DAC + ∠ADC = 180。
由于∠BAD = ∠DAC，所以∠A + 2∠BAD + ∠ADC = 180。
进一步化简得到∠A + ∠BAD + ∠BAD + ∠ADC = 180。
由于∠BAD + ∠ADC = 180（补角关系），所以∠A + ∠BAD + ∠BAD + 180 - ∠BAD = 180。
整理得到∠A + ∠BAD = 180，即∠BAD + ∠DAC = 180。
这说明∠BAD和∠DAC 构成的直线与延长线AC重合于点D，所以角平分线和角的另一条边相交于角的内切点。
性质三：角的内切线平分角的大小。
内切线是指从角的内切点到角的顶点的线段，它平分了角的大小。
证明如下：再以角ABC为例，连接内切点D和角的顶点A，假设角∠BAC的内切线为AD。
数学上册角的平分线的性质
计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
角平分线性质与判定语言表述
02
利用角平分线的性质可 以证明某些结论或推导 出其他相关性质。
03
通过判定可以找到满足 特定条件的角平分线， 从而解决问题。
04
在解题过程中，需要根 据问题的具体情况选择 合适的性质或判定方法 。
04
CATALOGUE
角平分线的实际应用
几何图形中的角平分线
角平分线定义
从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分 ，这条线段被称为该角的 角平分线。
推论1
在三角形中，角的平分线与对边 相交，将相对边分为两段成比例
的线段。
推论2
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂线段与该点到角的顶
点的距离相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推论3
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂足是该垂足到角的顶
点的距离最短。
与角平分线相关的辅助线作法
作法1
01
在三角形中，为了证明某结论，可以过某点作角的平分线或平
手工制作
在制作手工艺品时，如剪纸、折纸等 ，角平分线可以帮助确定对称轴，从 而制作出精美的作品。
角平分线在数学竞赛中的应用
几何证明
在数学竞赛中，经常需要利用角 平分线的性质来证明几何定理或
推导新结论。
最值问题
通过构造角平分线，可以解决一些 几何中的最值问题，如求点到直线 的最短距离等。
组合几何
在组合几何问题中，角平分线可以 帮助确定图形的对称性，从而找到 解决问题的突破口。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两等分， 且与相对边上的交点到该角的顶 点的距离相等。
定理与推论
角平分线定理
角平分线上的任意一点到该角的两边 的距离相等。
推论
初二讲义角平分线的判定与性质
第7讲角平分线的判定与性质【知识点与方法梳理】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．角平分线的性质及判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．推导：已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在R t△PAO和R t△PBO中，∴R t△PAO≌R t△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）【经典例题】FEDAB CNMGOED BAC例1．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF ，求证：CF=EB 例2.已知：如图，AD 、BE 是△ABC 的两条角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上例3.如图AB ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。
角平分线的性质和判定
角平分线的性质和判定
一、角平分线的性质：
1、角平分线可以得到两个相等的角。
2、角平分线上的点到角两边的距离相等。
3、三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
二、判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
因此根据直线公理。
1角平分线定义
1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
2角平分线画法
方法1
1、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M、N。
2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
方法2
1、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。
2、连接CN与DM，相交于P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
第2讲 角平分线的性质与判定
第2讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN【解法指导】由于PM ⊥BD ，PN ⊥AD .欲证PM ＝PN 只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD 与△OAD 全等即可.证明：∵OD 平分∠AOB ∴∠1＝∠2在△OBD 与△OAD 中，12OB OA OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OBD ≌△OAD∴∠3＝∠4 ∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD 所以PM ＝PN 【变式题组】01．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.02．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果∠D ＝120°，求∠B 的度数 【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE ⊥AB ，联想到可作CF ⊥AD 于F ，得CE ＝CF ，AF ＝AE ，又由AE ＝12(AB ＋AD )得DF ＝EB ，于是可证△CFD ≌△CEB ，则∠B ＝∠CDF ＝60°.或者在AE 上截取AM ＝AD 从而构造全等三角形.解：过点C 作CF ⊥AD 于点F .∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，点C 是AC 上一点，∴CE ＝CF在Rt △CFA 和Rt △CEA 中，CF CEAC AC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ∴AF ＝AE又∵AE ＝12(AE ＋BE ＋AF －DF )，2AE ＝AE ＋AF ＋BE －DF ，∴BE ＝DF ∵CF ⊥AD ，CE ⊥AB ，∴∠F ＝∠CEB ＝90°在△CEB 和△CFD 中，CE CF F CEB DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△CFD∴∠B ＝∠CDF 又∵∠ADC ＝120°，∴∠CDF ＝60°，即∠B ＝60°. 【变式题组】01．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆ 02．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD 【解法指导】由于BE 平分∠ABC ，因而可以考虑过点D 作BC 的垂线或延长CE 从而构造全等三角形.证明：延长CE 交BA 的延长线于F ，∵∠1＝∠2，BE ＝BE ，∠BEF ＝∠BEC∴△BEF ≌△BEC (ASA ) ∴CE ＝EF ，∴CE ＝12CF ∵∠1＋∠F ＝∠3＋∠F ＝90°， ∴∠1＝∠3在△ABD 和△ACF 中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△ACF∴BD ＝CF ∴CE ＝12BD第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图【变式题组】01．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .02．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高01．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn02．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．403．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③ C ．①② D ．①②③04．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④ C ．②③④ D ．①②③④ 05．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ） A ．50° B ．45° C ．40° D ．35°06．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图第7题图第8题图第9题图第10题图A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 07．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P08．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个09．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD⊥EF .培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）l2第1题图第3题图第4题图第5题图A．一处B．二处C．三处D．四处02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（）A．18B．16C．14D．1203．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝12(∠ACB－∠B)07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP。
角平分线的定义是什么判定定理有哪些
角平分线的定义是什么判定定理有哪些角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交。
角平分线的定义角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线，也叫三角形的内角平分线。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的判定角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上角平分线的交点叫什么心“角平分线的交点叫内心，垂线的交点叫垂心，中线的交点分别叫重心，垂直平分线的交点叫外心，三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。
三角形有许多性质，存在很多“心”的性质：1、重心：三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
2、外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
角平分线的性质定理和判定
1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上例1. 已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ，（1）求证：BD+DE=AC ． （2）求△DBE 的周长．分析：（1）因为AC=BC=BD+CD ，只要证明CD=DE 即可，又因为AD 平分∠BAC ，则CD=DE ； （2）由（1）可知AC=BD+DE ，由CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°，可证△ACD ≌△AED ，则AC=AE ，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB ． 解答：解：（1）∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE ，∴BC=BD+CD=BD+DE ， AC=BC ， ∴AC=BD+DE ；（2）∵CD=DE ，AD=AD ，∠C=∠AED=90°，∴△ACD≌△AED，∴AC=AE，∵AC=BD+DE，∴BD+DE=AE，∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．分析：首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．解答：证明：作ME⊥AD，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？．例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD 交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°．∵AO平分∠BAC，∴∠1=∠2．在△AOD和△AOE中，∠ADC＝∠AEB∠1＝∠2OA＝OA，∴△AOD≌△AOE（AAS）．∴OD=OE．在△BOD和△COE中，∠BDC＝∠CEBOD＝OE∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB=OC．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º：证PE＝PF∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．3）CD、AB、AD间？直接写出结果首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．解答：（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°-（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中DM＝DMEM＝CM∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．点评：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式练习】1.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN即可．解答：证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线．点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．过点D作DF⊥BC于点F．根据角平分线的性质，得DE=DF=2，再根据三角形的面积公式分别求得△ABD和△BCD的面积即可．解答：解：过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DF=DE=2．∴△ABC的面积为12(9×2+6×2)＝15cm2【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到12BF•DM=12DN•CE，由于CE=BF，可得结论DM=DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．解答：证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：12BF•DM，△DCE的面积为：12DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴12BF•DM=12DN•CE，∵CE=BF，∴DM=DN，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）例4.如图，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且夹角为90°，其仓库G 在A 区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm ． （1）在图上标出仓库G 的位置．（比例尺为1：10 000，用尺规作图）． （2）求出仓库G 到铁路的实际距离。
角平分线的性质与判定
利用相似三角形的性质和角平分线的 性质进行证明。
角平分线在三角形中的性质
性质
在三角形中，角平分线与对边相交形成的线段之比等于相邻 两边之比。
应用
利用角平分线的性质定理和三角形中的其他性质，可以证明 三角形中的一些重要结论，如“直角三角形中，斜边上的中 线等于斜边的一半”。
02
CATALOGUE
判定方法
角平分线的判定方法一
利用角平分线的定义。在角的内部作一条射线，使得角的两边长度相等，则这 条射线是角的平分线。
角平分线的判定方法二
利用等腰三角形的性质。在角的内部作一条射线，使得与角的两边分别相交并 形成两个等腰三角形，则这条射线是角的平分线。
判定在三角形中的运用
在三角形中，角平分线将三角形分为两个面积相等的部分。这是因为角平分线将 三角形划分为两个等腰三角形，而等腰三角形的面积等于底乘高的一半，由于两 个等腰三角形的底相等且高相等，所以它们的面积相等。
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角平分线的作法
作法步骤Biblioteka 010203第一步
在角的顶点上，以角的两 边为邻边，作一个等腰三 角形。
第二步
从等腰三角形的顶点向底 边作垂线，将底边分为两 等份。
第三步
连接角的顶点和垂足，这 条连线就是角平分线。
作法在三角形中的运用
在三角形中，可以利用角平分线作法 来找到角的平分线，从而进一步研究 三角形的性质和判定。
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角平分线的判定
判定定理
角平分线的判定定理
从角的顶点出发，将角平分线引到角的两边，使得角的两边长度相等，则这条射 线就是角的平分线。
证明角平分线判定定理
在角的内部作一条射线，并使角的两边长度相等。然后，通过角的顶点和射线的 端点作一条直线，这条直线将与角的两边相交于两点。由于角的两边长度相等， 所以这两点与射线端点的距离相等，从而证明了射线是角的平分线。
角平分线的性质定理和判定(经典)
角平分线的性质定理和判定第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上．21NPF CBA例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．第四部分：思维误区一、忽视“垂直”条件例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
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三、思考与交流 1、 “如果一个点到角的两边的距离不相等， 那么这个点不在这个角的平分线上。 ” 你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？（反证法） 2、如图，△ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 O，点 O 到△ABC 各边的距离 相等吗？点 O 在∠C 的平分线上吗？
“优化学生学习过程”教学方案（推广试行）
课题 《角平分线的性质和判定》 课型 新授
目 标 表 述
1、运用直角三角形的全等判定定理和其它相关知识的证明角平分线的性质
和判定。 2、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步发展推理论证的能力。
教 学 目 标 制 定 依 据
教 材 分 析
本节内容学生在初二的学习过程中已初步了解， 有了一定的 感性而那时， 而本节课时让学生在已有的学习基础上， 证明角平 分线性质定理和判定定理， 对学生的说理要求很高。 本节课的学 习能很好地培养学生推理和证明能力
A E D B
C
2、如图，在△ABC 中，已知 AC=BC，∠C=900，AD 是△ABC 的角平分线,DE
A
⊥AB,垂足为 E， (1)求：如果 CD＝4cm，AC 的长。 (2)求证:AB＝AC＋CD。
E
C
D
B
1． 性质定理 2． 判定定理 课 堂 小 结 3． 证明的梳理过程、方法 板 书 设 计 定理一
学 情 分 析
学生有 什 么
1． 角平分线性质定理和逆定理的初步认识 2． 初步的证明基础 3． 三角形全等的证明
学生缺 什 么
合理的分析能力及推理能力
教 学 重 、 难 点
重、难 点表述
重点：角平分线的性质和判定。 难点：角平分线的性质和判定的证明和运用。
助 学 方 案
1． 积极引导学生回忆角平分线性质定理及其逆定理，让学生表 述，达到回顾的目的 2． 学生的动手操作 3． 合作与交流，完整书写出证明过程。老实加以规范。
A
O
E
定理：三角形的 3 条
交于一点。
B
D
C
四、例题讲解： 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA,PD⊥OB, 分别 C、D， C 求证：OP 是 CD 的垂直平分线。
A 垂足
P O D B
五、随堂练习 1、如图在△ABC 中，∠C=90 度，点 D 在 BC 上，DE 垂直平分 AB，且 DE=DC 求：∠B 的度数。课 Nhomakorabea 例题 2
定理二
课 后 作 业 反思 与 重建
巩固练习
P11 练习：学习评价手册
预习平行四边形的性质和判定 预习设计 角平分线上的点到角两边的距离相等，学生不敢直接运用，有些学生还是一句 三角形全等来说明两线段相等。
思考与表达： 怎么想 怎么写 要证 PD=PE 只需证 已知∠POD==∠POE OP=OP 只要证
D C P O E B
符号语言表述： ∵ ∴ 2、证明：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角 的平分线上。 已知，如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD=PE， 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。 （1、学生分析证明思 A 路 2、学生自己完成证明过程）
教 教学 阶段
学 师
过 生 活 动
程 设计 意图
一、问题引入： 已知：如图，点 P 在∠AOB 的边 OA 上。 1 2 （1）读句画图：○作∠AOB 的平分线 OM；○以点 P 为顶点，作∠ APQ=∠AOB，PQ、OM 相交于点 C；○过点 C 作 3 CE⊥OA，作 CF⊥OB。 （2）猜想：CE 与 CF 的大小关系； （3）若∠AOB=30°，猜想：PC 与 CE 的大小关系。 二、探究活动： 1、证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 已知，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上 PD⊥OA，PE⊥OB，垂 足分别为 D、E，求证：PD=PE A