角平分线性质与判定

角∴的PD平=分P线E上的( 点
到角的两边的距离相等
A
D
)C
P
O
E B
角平分线性质与判定
复习提问
4、角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离相等的点在
角的平分线上。
用符号语言表示为：
A D
∵
PDOA
PEOB
P
O
PD= PE
\ OP 是 AOB的平分线
E B
（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
角平分线性质与判定
想一想：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ
证明：在△OMC和△ONC中，
Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
角平分线性质与判定
1、在△OAB中，OE是它的角平分线，且 EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
ND
M
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
P
F
B
C
E
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 角平分线性质与判定
5、如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ 与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的 距离相等．
更上一层楼！
放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射
线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
证明： 在△ACD和△ACB中
A
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边） D
B
∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E C ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
H
Ｄ
Ｃ
F ＰＥ Ａ
ＢG
角平分线性质与判定
知识应用
6、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB ，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
7 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD
⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别， 是 D 、 E,PD=4cm, 则 PE=__________cm.
，A角E+的DE平= 分线 。
6cm
角平分线性质与判定
10.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
求证：AC=BD. O
C
D
A
E
B
角平分线性质与判定
练习2
2、 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
CD
B
角平分线性质与判定
3、 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A E
D
A
C
P
D B
E
B
C
O
角平分线性质与判定
练习
A
8 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分
E
别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°
，则 ∠EBF=
60 度，BE=
C D
。 BF
B
9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AF BC，
∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的
(2)A.∠D∵1平=D分∠C2∠⊥BAACC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴到__一__个__角__的_两_ 边的距离相等的点，在这个角平分线上。
(_
___________________________________________
___)
角平分线性质与判定
角的平分线的作法
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A
分线上）
角平分线性质与判定
定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
∵ OP 是 AOB 的平分线
PDOA PEOB
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
定理 2 角的内部到角的两边的距离相等 E B 的点 在角的平分线上。
∵ PDOAPEOB PD = PE \ OP 是 AOB 的平分线
B
复习提问
3、角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
推理的理由有三个 ，必须写完全，不
A
∵ ∠1= ∠2
能少了任何一个。
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
D
∴PD=PE
1
(角的平分线上的点到角的两边的O
2
距离相等)
P
E
B
角平分线性质与判定
判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质?
A
wk.baidu.com
F
E
CD B
角平分线性质与判定
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂 足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
A
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
(1)如图① ，∵AC平分∠BAD
B
∴DC=BC
错误
A
C
(2)如图② ，∵BC⊥AB,DC⊥AD
∴DB=DC
错误
(3)如图②，∵AD平分∠BAC，
且DB⊥AB，DC⊥AC
∴BD=CD
正确 A
D
图①
B
D
角平分线性质与判定
C
图②
如图，
∵
OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D_⊥__O_A_，__P_E__⊥_O__B_
你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗? 角平分线性质与判定
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ ，交ＯＢ于Ｎ．
A Ｍ
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
用途：判定一条射线是角平分线
由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 反过来，到角的两边的距离角相平分等线性的质与点判定都在这个角平分线上。
练习1：
A
填空：
12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D__C_=_D_E____ (__角_平__分_线__上__的_点__到_角__的_两__边_的__距_离__相_等___C_____D_______B__ )
§11.3 角平分线的 性质与判定（2课时）
角平分线性质与判定
复习提问
1、角平分线的定义
一条射线 把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
A
C
1
o
2
B
角平分线性质与判定
复习提问 2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
我的长度
A
O角平分线性质与判定