第5讲 角平分线的性质及判定综合

第5讲 角平分线的性质及判定综合
作已知角的角平分线
如图，作∠AOB 的平分线的步骤
（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N 。

（2）分别以点M 、N
为圆心，大于
2
1
MN 为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C 。

（3）连射线OC ，射线OC 即为所求。

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。

符号语言：
如图，已知OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，则PD=PE 。

角的平分线的性质的推导：
已知，如上右图，OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，求证：PD=PE 。

证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB （已知） ∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义） 又∵OC 平分∠AOB （已知）
∴∠AOC=∠BOC （角的平分线定义） 在Rt △DOP 和Rt △EOP 中 ⎪⎩⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP OEP ODP BOC AOC
∴Rt △DOP ≌Rt △EOP （AAS ）
∴PD=PE （全等三角形的对应边相等）
扩充：到三角形三边距离相等的点，是三条角平分线的交点。

练习：
1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且BC=8cm ，BE=4cm ，则△BDE 的周长为________cm 。

2.在△ABC 中，∠C=90°，AM 平分∠CAB ，BM=6.2cm ，点M 到AB 的距离为2cm ，BC=_____
3.在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ∶CD=9∶7，则D 到AB 的距离为 .
A B
C D
E
O
P
（第1题） （第2题） （第3题） 【例1--1】如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A. PD ＝PE
B. B.OD ＝OE
C. ∠DPO ＝∠EPO
D.PD ＝OD
【例1--2】画图，如图是三条交叉公路，请你设计一个方案，要建一个购物中心，使它到三条公路的距离相等，这样的地址有几处？请你画出来。

【例1--3】如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BE=CF ，求证：（1）DE=DC （2）DF=BD ．
【例1--4】如图，BN 是∠ABC 的平分线，P 在BN 上，D 、E 分别在AB 、BC 上，∠BDP+
∠BEP=180
°，且∠BDP 、∠BEP 都不是直角。

求证：PD=PE
21D A P
O E
B
O
A B
C
D E
【例1--5】如图，已知OE 平分∠AOB ，BC ⊥OA ，AD ⊥OB 。

求证：EA=EB
角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。

几何语言：如右图，
∵DC ⊥AC 于C ，DB ⊥AB 于B ，且DC=DB
∴点D 在∠CAB 的角平分线上（OD 平分∠CAB ）
【例2--1】如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于D ，则下列结论： ①△ABE ≌△ACF ； ②△BDF ≌△CDE ；
③点D 在∠BAC 的平分线上， 其中正确的是( ) A. 只有① B. 只有② C. 只有①和② D. ①②③
练习：如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C 、D 分别在角的两边OA 、OB 上，添加下列条件不能判定△POC ≌△POD 的选项是（ ） A. PC ⊥OA ，PD ⊥OB B. OC=OD
C.∠OPC=∠OPD
D. PC=PD
【例2--2】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是点E ，F ，且BE=CF ，求证：AD 是△ABC 的角平分线。

【例2--3】如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC。

求证：AD是∠BAC的平分线。

【例2--4】如图，OD平分∠AOB，OA=OB，P是OD上一点，PM⊥BD于点M，PN⊥AD于点N.求证：PM=PN.
【例2--5】已知：如图所示，BE=CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D，求证：AD平分∠BAC.
【例2--6】如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点O，OB=OC。

求证：∠1=∠2
A
12
D E
O
B C
全等三角形综合：（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）
【例3--1】如图所示，四边形ABCD中AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由。

【例3--2】如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，
（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。

（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。

【例3--3】如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE=CF，求证：（1）DE=DC （2）AB=AF+2EB．
【例3--4】AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF 与AD相交于点G。

AD与EF相交于点G，AD与EF垂直吗？
【例3--5】如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点C作CF ⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．求证：△ABE≌△ACF；
【例3--6】如图，在四边形OACD中，CM⊥OA于M，现有：①∠1=∠2；②CA=CB；③
∠3+∠4=180°；④OA+OB=2OM，若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论。

任选一组证明。

作业：
1、如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）
A、PD＝PE
B、OD＝OE
C、∠DPO＝∠EPO
D、PD＝OD
2、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A、1处
B、2处
C、3处
D、4处
3、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB ＝6㎝，则△DEB的周长为（）
A、4㎝
B、6㎝
C、10㎝
D、不能确定
第1题图第2题图第3题图
4、如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.
6、已知：如图，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 .
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件 .
（3）若以“SAS”为依据，还缺条件 .
7、已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB。

求证：D在∠BAC的平分线上．
8、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为C．求证：△DBE的周长等于AB．
2
1
D A
P
O
E
B
l2
l1
l3
D
C
A
E
B
第6题图
第4题第5题。