最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数的概念及性质》同步训练(第1课时)
人教版数学高一必修一同步训练 指数函数(一)
3.1.2 指数函数(一)一、基础过关1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是 ( )A ．y ＝(－4)xB ．y ＝πxC ．y ＝－4xD ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 3．函数y ＝21x 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)4．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长11.3%，经过x 年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )5．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____________． 6．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 7．比较下列各组数中两个值的大小： (1)0.2－1.5和0.2－1.7；(2)(14)13和(14)23； (3)2－1.5和30.2.8．判断下列函数在(－∞，＋∞)内是增函数，还是减函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫14x ；(3)y ＝2x3. 二、能力提升9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x <0，g (x )， x >0. 若f (x )是奇函数，则g (2)的值是( )A ．－14B ．－4C.14 D ．4 10．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )11．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)，(4－a2)x ＋2 (x ≤1)，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ________．12．求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域． 三、探究与拓展13．当a ＞1时，判断函数y ＝a x ＋1a x －1是奇函数．答案1．B 2.C 3.C 4.D 5.186．4,8)12．解 令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t， 又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵0≤x ≤3，∴当x ＝1时，t min ＝1； 当x ＝3时，t max ＝5. 故1≤t ≤5， ∴⎝⎛⎭⎫125≤y ≤⎝⎛⎭⎫121， 故所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤132，12.13．证明 由a x －1≠0，得x ≠0，故函数定义域为{x |x ≠0}，易判断其定义域关于原点对称． 又f (－x )＝a －x ＋1a －x －1＝(a －x ＋1)a x (a －x －1)a x ＝1＋a x 1－a x ＝－f (x )，∴f (－x )＝－f (x )，∴函数y ＝a x ＋1a x －1是奇函数．。
最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数》同步训练
3.1.2 指数函数5分钟训练1.下列关于自变量x 的函数中,是指数函数的是( )A.y=(a+1)x (a ＞-1且a≠0)B.y=(-3)xC.y=-(-3)xD.y=3x+1答案：A解析：∵a ＞-1且a≠0,∴a+1＞0且a+1≠1,∴y=(a+1)x (a ＞-1且a≠0)为指数函数.2.函数y=a |x|(a ＞1)的图象是( )答案：B解析：函数f(|x|)是偶函数,应先画出x ≥0时f(x)的图象,然后沿y 轴翻折过去,得到x ＜0时函数的图象.当x≥0时,y=a |x|=a x 的图象过(0,1)点,在第一象限,图象下凸,是增函数,故选B.3.已知f （x ）=3-a x+1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为( )A.（0，3）B.（-1，2）C.（-1，3）D.（3，-1）答案：B解析：由y=a x 的图象恒过(0，1)点，可知当本题中的x+1=0即x=-1时，y=2,与a 的取值无关.由x=-1时，y=3-a 0=2得定点P(-1，2)，故选B.4.函数y=2x 的图象与函数y=0.5x 的图象关于____________对称;函数y=2x 的图象与函数y=-2x 的图象关于____________对称.答案：y 轴 x 轴10分钟训练1.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩余量为y ，则x 、y 之间的函数关系式是( )A.y=0.957 6xB.y=0.957 6x-1C.y=1009576.0xD.y=x 1009576.0答案：C解析：依题意有:100年后质量为1的镭剩余量y 1=1×95.76%，200年后质量为1的镭剩余量为y 2=1×95.76%×95.76%，…，∴x 年后，y=1009576.0x，故选C.2.函数f(x)=a x-b 的图象如图所示,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( )A.a ＞1,b ＜0B.a ＞1,b ＞0C.0＜a ＜1,b ＞0D.0＜a ＜1,b ＜0答案：D解析：由题图可知,函数f(x)=a x-b 是单调递减的,∴0＜a ＜1.又由于函数图象与y 轴的交点在点(0,1)的下方,即函数f(x)=a x-b 的图象是由函数f(x)=a x 的图象向左平移得到的,∴-b ＞0,即b ＜0.3.函数y=x 31-的定义域是( )A.［0,+∞)B.(-∞,0］C.［1,+∞)D.(-∞,+∞)答案：B解析：要使函数有意义,必须1-3x ≥0,即3x ≤1,3x ≤30,∴x≤0,∴函数的定义域是(-∞,0］.4.（2007山东日照实验高中《函数》过关测试,12）下列说法不正确的是( )A.函数y=2xx a a --(a ＞0,a≠1)是奇函数 B.函数f(x)=1)1(-+x x a x a (a ＞0,a≠1)是偶函数 C.若f(x)=3x ,则f(x+y)=f(x)f(y)D.若f(x)=a x (a ＞0,a≠1),且x 1≠x 2,则21［f(x 1)+f(x 2)］＜f(221x x +) 答案：D解析：由函数的凹凸性可知D 不成立.5.已知函数y=a 2x +2a x -1(a ＞0,a≠1)在区间［-1,1］上的最大值是14,则a 的值为____________. 答案：3或31 解析：y=a 2x +2a x -1=(a x +1)2-2,∵函数y=a 2x +2a x -1在［-1,1］上的最大值是14,∴(a x +1)2的最大值为16.当a ＞1,x=1时,(a+1)2=16,得a=3;当0＜a ＜1,x=-1时,(a 1+1)2=16,得a=31. 6.求下列函数的单调区间和值域.(1)y=x x --23;(2)y=a 2x -2a x -1(a ＞0,a≠1).解：(1)设y=3u ,u=-x 2-x.则y 随u 的增大而增大,随u 的减小而减小,u 的增区间即是y 的增区间,u 的减区间即为y 的减区间.u=-x 2-x=-(x+21)2+41在(-∞,21-］上递增,在(21-,+∞)上递减. ∴y=x x --23的增区间为(-∞,21-］,减区间为(21-,+∞). ∵u=-x 2-x≤41, ∴0＜y=x x --23≤413,即函数y=xx --23的值域为(0,43］. (2)y=(a x -1)2-2(a ＞0,a≠1),设u=a x .∵y=(u-1)2-2在u ∈［1,+∞)时是关于u 的增函数,在u ∈(-∞,1)时是关于u 的减函数,∴当a x ≥1时,原函数的单调性与u=a x 的单调性相同;当a x ＜1时,原函数的单调性与u=a x 的单调性相反.若a ＞1,a x ≥1⇔x≥0,a x ＜1⇔x ＜0,∴在［0,+∞)上,函数y=a 2x -2a x -1是增函数;在(-∞,0)上,函数y=a 2x -2a x -1是减函数.∵a x ＞0,∴函数值域是［-2,+∞).30分钟训练1.已知21＜（21）b ＜（21）a ＜1，则( ) A.a ＞b ＞1 B.0＜b ＜a ＜1C.b ＞a ＞1D.0＜a ＜b ＜1答案：D解析：不等式21＜(21)b ＜(21)a ＜1即为21＜(21)b ＜(21)a ＜(21)0，根据指数函数的单调性即可得指数a 、b 、0、1的大小关系.根据指数函数y=(21)x 在R 上是减函数，得0＜a ＜b ＜1.选D.2.若函数y=a x -（b+1）（a ＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有( )A.a ＞1且b ＜1B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＞0D.0＜a ＜1且b ＜0答案：B解析：指数函数y=a x 的图象如图所示.由图象可以看出a ＞1，-(b+1)＜-1(向下平移一个单位)，即b ＞0.故选B.3.（2007广东韶关高三摸底,3）函数y=||x xa x(0＜a ＜1)的图象的大致形状是()答案：D解析：y=⎪⎩⎪⎨⎧<->.0,,0,x a x a x x 4.一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖,每三分钟分裂一次,假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中,恰好一小时这种细胞充满容器,假设开始将两个细胞放入容器,同样充满容器时间是( )A.27分钟B.30分钟C.45分钟D.57分钟 答案：D解析：设要经过时间为x,由2×32x =220,得x=57.5.（2007江苏第二次大联考,11）若函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+->1,2)24(,1,x x a x a x 是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(1,8)C.(4,8)D.［4,8)答案：D解析：由f(x)在R 上是单调递增函数知a ＞1,4-2a ＞0,a 1≥4-2a +2同时成立,解不等式组得a ∈［4,8).6.(探究题)指数函数①f(x)=m x ,②g(x)=n x 满足不等式0＜m ＜n ＜1,则它们的图象是( )答案：C解析：令x=1,①②对应的函数值分别为m 和n,由0＜m ＜n ＜1,可知应选C.7.（2007上海春招,9）若x 1、x 2为方程2x =11)21(+-x 的两个实数解,则x 1+x 2=_______________. 答案：-1解析：由题意得2x =112-x ,即x=11-x,化简得x 2+x-1=0. 由韦达定理可知x 1+x 2=-1.8.（2007山东日照实验高中一轮测试,15）已知集合A n ={x|2n ＜x ＜2n+1,且x=7m+1,m 、n ∈N *},则A 6中各元素之和为_______________.答案：891解析：当n=6时,64＜x ＜128,A 6中的各元素为:71,78,85,92,99,106,113,120,127,其和为891.9.(创新题)已知f(x)=x(121-x +21). (1)求函数的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求证:f(x)>0.答案：(1)解：由2x -1≠0,得x≠0,∴函数定义域为{x|x ∈R ,且x≠0}.(2)解：在定义域内任取x,则-x 在定义域内,则有 f(-x)=x x x x x )21212())(21121(+--=-+-- =x x x x x x ∙-+=∙-+-)12(212)21(221, 而f(x)=x x x x x ∙-+=+-)12(212)21121(, ∴f(-x)=f(x).∴函数f(x)为偶函数.(3)证明：当x ＜0时,由指数函数的性质知0＜2x ＜1,-1＜2x -1＜0.∴121-x ＜-1.∴2121121-<+-x . 又x ＜0,∴f(x)=(121-x +21)x ＞0. 由f(x)为偶函数,当x ＞0时,f(x)＞0.总之,x ∈R 且x≠0时,函数f(x)＞0.10.设函数f （x ）是定义在R 上的增函数，且f （x ）≠0，对于任意x 1、x 2∈R ，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2）.（1）求证：f （x 1-x 2）=)()(21x f x f ； （2）若f （1）=2，解不等式f （3x ）>4f （x ）.答案：(1)证明：∵f(x 1)=f(x 1-x 2+x 2)=f(x 1-x 2)·f(x 2)，又f(x)≠0，∴f(x 1-x 2)=)()(21x f x f . (2)解：∵f(1)=2，∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)，4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x).那么f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x)，又因为函数f(x)是定义在R 上的增函数，由f(3x)>f(2+x)得3x>2+x ，即x>1.故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.。
高中数学必修一第二章2.1.2指数函数及其性质习题(含答案)
2.1.2 指数函数及其性质知识清单1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质 过定点过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)． 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为________． 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．能力提升一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.知识清单1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．能力提升 1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P . 2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2. 6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x<()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。
(人教a版)数学必修一课时训练：2.1.2(第1课时)指数函数的图象及性质(含答案)
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课时提升卷(十六)指数函数的图象及性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.若函数y=(2a-3)x是指数函数,则a的取值范围是( )A.a>B.a>,且a≠2C.a<D.a≠22.指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,),那么f(4)·f(2)等于( )A.8B.16C.32D.643.(2013·黄冈高一检测)已知集合M={y|y=-x2+2,x∈R},集合N={y|y=2x,0≤x≤2},则(ðM)∩N=( )RA.[1,2]B.(2,4]C.[1,2)D.[2,4)4.当x>0时,指数函数f(x)=(a-1)x<1恒成立,则实数a的取值范围是( )A.a>2B.1<a<2C.a>1D.a∈R5.(2012·四川高考)函数y=a x-(a>0,a≠1)的图象可能是( )二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知函数f(x)=则f(2)+f(-2)= .7.(2012·山东高考改编)若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上是增函数,则a= .8.(2013·长沙高一检测)关于下列说法:(1)若函数y=2x的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1}.(2)若函数y=的定义域是{x|x≥2},则它的值域是{y|y≤}.(3)若函数y=2x的值域是{y|0<y≤4},则它的定义域一定是{x|0<x≤2}.其中不正确的说法的序号是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a≠1).若f(x)的图象如图所示,求a,b 的值.10.(2013·长春高一检测)已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,),其中a>0且a≠1.(1)求a的值.(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.11.(能力挑战题)已知函数y=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,记f(x)=.(1)求a的值.(2)证明f(x)+f(1-x)=1.(3)求f()+f()+f()+…+f()的值.答案解析1.【解析】选B.由题意得2a-3>0,且2a-3≠1,所以a>,且a≠2.2.【解析】选D.设f(x)=a x(a>0且a≠1),由已知得=a-2,a2=4,所以a=2,于是f(x)=2x,所以f(4)·f(2)=24·22=26=64.3.【解析】选B.由题可知M=(-∞,2],N=[1,4],∴ðM=(2,+∞),(RðM)∩N=(2,4].R【变式备选】若集合M={y|y=2-x},P={y|y=},则M∩P等于( )A.{y|y>1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0}【解析】选C.y=2-x的值域为{y|y>0},y=的值域为{y|y≥0},因此,其交集为{y|y>0}.故选C.4.【解题指南】结合指数函数的图象,若x>0时,(a-1)x<1恒成立,则必有0<a-1<1,进而求解.【解析】选B.∵x>0时,(a-1)x<1恒成立,∴0<a-1<1,∴1<a<2.5.【解析】选D.当a>1时,y=a x-在R上为增函数,且与y轴的交点为(0,1-),又0<1-<1,故排除A,B.当0<a<1时,y=a x-在R上为减函数,且与y轴的交点为(0,1-),又1-<0,故选D.6.【解析】f(2)+f(-2)=22+3-2=.答案:【举一反三】若对于本题中的函数f(x),有f(a)=16,试求a的值. 【解析】当a≤1时,f(a)=3a≤3<16,故a>1,此时有f(a)=2a=16,所以a=4.7.【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-x2在[0,+∞)上是减函数,不合题意.若0<a<1,则a-1=4,a2=m,故a=,m=,检验知符合题意.答案:8.【解题指南】解答本题一方面要注意利用函数的单调性由定义域求值域,由值域求定义域;另一方面要注意结合函数的图象,弄清楚函数值与自变量的关系.【解析】(1)不正确.由x≤0得0<2x≤20=1,值域是{y|0<y≤1}.(2)不正确.由x≥2得0<≤,值域是{y|0<y≤}.(3)不正确.由2x≤4=22得x≤2,所以若函数y=2x的值域是{y|0<y≤4},则它的定义域一定是{x|x≤2}.答案:(1)(2)(3)9.【解析】由图象得,点(2,0),(0,-2)在函数f(x)的图象上,所以解得10.【解析】(1)∵函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,),∴=a2-1,∴a=.(2)由(1)知f(x)=()x-1=2·()x,∵x≥0,∴0<()x≤()0=1,∴0<2·()x≤2,∴函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2].11.【解析】(1)函数y=a x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20,∴a+a2=20,得a=4或a=-5(舍去).(2)由(1)知f(x)=,∴f(x)+f(1-x)=+=+=+=+=1.(3)由(2)知f()+f()=1,f()+f()=1,…,f()+f()=1,∴f()+f()+f()+…+f()=++…+=1+1+…+1=1 006.。
最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数及其性质》(第1课时)1
数学人教A 必修1第二章2．1.2 指数函数及其性质第1课时1．理解指数函数的概念，能画出指数函数图象的草图，会判断指数函数． 2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的问题．1．指数函数的定义一般地，函数y ＝______(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是______．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ； (3)系数：a x 的系数是1.【做一做1】 已知f (x )＝9x ，则f ⎝⎛⎭⎫12等于( )．A.12 B ．2 C ．3 D ．9 2．指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质如下表所示：指数函数的性质可用如下口诀来记忆： 指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0,1)点．【做一做2－1】 y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )．【做一做2－2】 y ＝(3)x 的值域是( )． A ．R B ．[0，＋) C ．(－，0) D ．(0，＋) 【做一做2－3】 函数y ＝(a －2)x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是__________．答案：1．a x 自变量【做一做1】 C f ⎝⎛⎭⎫12＝129＝9＝3.2．R (0，＋∞) (0,1) 增函数 减函数 【做一做2－1】 C 【做一做2－2】 D【做一做2－3】 (3，＋∞) 由a －2＞1，得a ＞3.1．对指数函数中底数取值范围的理解剖析：①若a ＜0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x ，当x ＝12时无意义．②若a ＝0，则当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 无意义．③若a ＝1，则对于任何x R ，a x 是一个常量1，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1，这样对于任何x R ，a x 都有意义． 2．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)中底数a 对函数图象的影响剖析：设y ＝f (x )＝a x ，则f (1)＝a ，即直线x ＝1与指数函数f (x )＝a x 图象交点的纵坐标是底数a .如图(1)所示．(1) (2)指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象如图(2)所示，则有a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0.从图中可以看出：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．指数函数y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x (或y ＝a －x)的图象关于y 轴对称．题型一 判断指数函数【例1】 下列函数中，哪些是指数函数？ (1)y ＝(－8)x ；(2)y ＝212x -；(3)y ＝(2a －1)x ⎝⎛a >12，且a ≠1 )；(4)y ＝2·3x . 分析：依据指数函数解析式满足的三个特征来判断．反思：判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)这一结构，其具备的特点如下：题型二 求定义域、值域【例2】 求下列函数的定义域与值域． (1)142x y -=；(2)23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭.分析：由于指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的定义域是R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域．反思：对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)这类函数： (1)定义域是使f (x )有意义的x 的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性求得此函数的值域． 题型三 定点问题【例3】 若函数f (x )＝a x －1＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，试求点P 的坐标． 分析：利用指数函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)来确定．反思：函数f (x )＝ka g (x )＋b (k ，a ，b 均为常数，且k ≠0，a ＞0，且a ≠1)．若g (m )＝0，则f (x )的图象过定点(m ，k ＋b )．题型四 易混易错题易错点 利用换元法时，忽视中间变量的取值范围【例4】 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．反思：求形如f (a x )的函数的值域时，常利用换元法，设a x ＝t ，根据f (a x )的定义域求得t 的范围，再转化为求f (t )的值域．答案：【例1】 解：(1)中底数－8＜0，故不是指数函数． (2)中指数不是自变量x ，故不是指数函数．(3)中，∵a ＞12，且a ≠1，∴2a －1＞0，且2a －1≠1.∴y ＝(2a －1)x 是指数函数．(4)中3x 前的系数是2，而不是1，故不是指数函数．综上所述，仅有(3)是指数函数．【例2】 解：(1)由x －4≠0，得x ≠4， ∴定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}． ∵1x －4≠0，∴142x -≠1. ∴y ＝142x -的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．(2)定义域为R . ∵|x |≥0，∴0233322xx y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝1. 故23xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为{y |y ≥1}．【例3】 解：令x －1＝0，解得x ＝1，此时f (1)＝a 0＋3＝4，即f (x )的图象恒过定点P 的坐标为(1,4)．【例4】 错解：令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，即当t ＝－12时，y min ＝34，即原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 错因分析：原函数的自变量x 的取值范围是R ，换元后t ＝⎝⎛⎭⎫12x＞0，而不是t ∈R ，错解中，把t 的取值范围当成了实数集R .正解：令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34.因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＞1，即原函数的值域是(1，＋∞)．1若y ＝(a －3)·(a －2)x是指数函数，则a ＝______.2函数f (x )＝a 3－x －1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点的坐标是__________． 3函数y ＝4x ＋2x －3的值域为__________．4已知指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (6)＝__________. 5求下列函数的值域：(1)12xy -=；(2)y =答案：1． 4 由题意，得31,20,21,a a a -=⎧⎪->⎨⎪-≠⎩解得a ＝4.2． (3,0) 令3－x ＝0，解得x ＝3，则f (3)＝a 0－1＝0，即过定点(3,0)． 3． (－3，＋∞) 函数的定义域是R .设2x ＝t ，则t ＞0.∴y ＝t 2＋t －3＝211324t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭在(0，＋)上为增函数，∴y ＞11344-＝－3，∴函数的值域为(－3，＋)．4． 64 设f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)．∵函数f (x )的图象过点(3,8)，∴8＝a 3，a ＝2. ∴f (x )＝2x .∴f (6)＝26＝64.5．解：(1)∵1x-≠0，∴y ＝12x -≠1.∴y ＞0且y ≠1，∴值域是(0,1)(1，＋)．(2)0，∴y =50＝1.∴值域是[1，＋)．。
最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数》课后训练
课后训练基础巩固1．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则() A．A⊆B B．A BC．A＝B D．A∩B＝2．若12=0.5a，13=0.5b，14=0.5c，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．a＜b＜cC．a＜c＜b D．b＜c＜a3．函数y＝2x＋1的图象是()4．对任意实数a(a＞0，且a≠1)，函数f(x)＝a x－1＋3的图象必经过点()A．(5,2) B．(2,5)C．(4,1) D．(1,4)5．函数y＝2－|x|的单调递增区间是()A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．不存在6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()7．函数y＝a x－3＋5(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点______．8．函数y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a＝________. 9．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．能力提升10．写出满足条件f(x1)·f(x2)＝f(x1＋x2)的一个函数f(x)＝________.11．设4 ()=42xxf x+.(1)若0＜a＜1，求f(a)＋f(1－a)的值；(2)求121000100110011001f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L.12．已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；(3)求g(x)的值域．13．已知函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)，x∈R.若x1，x2∈R，且x1≠x2.(1)试判断12[f(x1)＋f(x2)]与122x xf+⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系；(2)若已知函数f(x)＝3x，试判断12332x x+与122x xf+⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系．参考答案1．A 点拨：∵A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}， B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，∴A ⊆B . 2．B 点拨：∵函数y ＝0.5x 是减函数， 又∵111>>234，∴a ＜b ＜c . 3．B 点拨：将函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位长度即可得到y ＝2x ＋1的图象，结合图象知，选B.4．D 点拨： 令x －1＝0，得x ＝1，所以y ＝1＋3＝4，故函数f (x )的图象过定点(1,4)．5．B 点拨：画出函数y ＝2－|x |图象，如图．由图象可知其递增区间为(－∞，0)．6．A 点拨：由f (x )的图象可知，0＜a ＜1，且b ＜－1，故当x ＝0时g (x )＜0，可排除B ，C.又∵0＜a ＜1时，函数g (x )为减函数，因此选A.7．(3,6) 点拨：∵函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，∴函数y ＝a x －3的图象过定点(3,1)，∴函数y ＝a x －3＋5的图象过定点(3,6)．8．2 点拨：由于函数y ＝a x 在[0,1]上为单调函数，故其最大、最小值在x ＝0，x ＝1处取得，所以a 1＋a 0＝3，即a ＝2.9．解：∵f (x )＝3＋2×3x ＋1－9x ＝－(3x )2＋6×3x ＋3，令t ＝3x ，又x ∈[－1,2]，则t ∈1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则y ＝－t 2＋6t ＋3＝－(t －3)2＋12，∴当t ＝3，即x ＝1时，y 有最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，y 有最小值－24. ∴函数f (x )的值域为[－24,12]．10．2x (答案不唯一) 点拨：本题答案不唯一，一般地，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，都满足f (x 1)·f (x 2)＝f (x 1＋x 2)．11．解：(1)f (a )＋f (1－a )＝11444442===142424242442a a a a aa a aa --+++++++⋅+. (2)121000100110011001f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L111000299910001=2100110011001100110011001f f f f f f ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭L＝12×1×1 000＝500.12．解：(1)∵f(x)＝3x，∴f(a＋2)＝3a＋2＝18.∴3a＝2.∴g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x.∴g(x)＝2x－4x.(2)令t＝2x.∵x∈[0,1]，且函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，∴t∈[1,2]．则y＝t－t2＝－(t2－t)＝21124t⎛⎫--+⎪⎝⎭，t∈[1,2]．∵函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，函数y＝t－t2在[1,2]上单调递减，∴函数g(x)的单调递减区间为[0,1]．下面给出证明：任取x1，x2∈[0,1]，且x1＜x2，则g(x2)－g(x1)＝22112424x x x x－－＋＝211212(22)(22)(22)x x x x x x－＋＋－＝2112(22)(122)x x x x－－－，∵0≤x1＜x2≤1，∴212>2x x，且1≤12x＜2,1＜22x≤2.∴2＜1222x x＋＜4.∴－3＜12122x x－－＜－1.∴2112(22)(122)<0x x x x－－－.∴g(x2)－g(x1)＜0.∴函数g(x)在区间[0,1]上是减函数．(3)∵g(x)在[0,1]上是减函数，∴g(1)≤g(x)≤g(0)．∴g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0.∴－2≤g(x)≤0，∴函数g(x)的值域为[－2,0]．13．解：(1)12[f(x1)＋f(x2)]－121212()()22=22x xf x f x fx xf+⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭.由题意知1212()()22x xf x f x f+⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝12121222222=()x x x xx xa a a a a++--.因为x1≠x2，所以12220x xa a-≠.所以12222()>0x xa a-.所以f(x1)＋f(x2)－1222x xf+⎛⎫⎪⎝⎭＞0，即12[f(x1)＋f(x2)]＞122x xf+⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由(1)易知121212331=[()()]>222x x x xf x f x f++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.。
【人教A版】高中数学必修1同步教学案必修1第二章《指数函数的图象及其性质》练习题(含答案)
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及其性质A级基础巩固一、选择题1．以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为()A．y＝(e－1)x B．y＝(1－e)xC．y＝3x＋1D．y＝x22．函数y＝2x－8的定义域为()A．(－∞，3) B．(－∞，3]C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)3．函数y＝a x＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点()A．(0，1) B．(1，0) C．(2，1) D．(0，2)4．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞) B．[0，4]C．[0，4) D．(0，4)5．函数y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()二、填空题6．已知集合A＝{x|1≤2x<16}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B ＝________．7．已知函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2），x <0，2x ，x ≥0，则f (－7.5)的值为________．8．函数y ＝a x (－2≤x ≤3)的最大值为2，则a ＝________．三、解答题9．求不等式a 4x ＋5>a 2x －1(a >0，且a ≠1)中x 的取值范围．10．若0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．B 级 能力提升1．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[0，1] D ．(0，1]2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．3．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，当x ∈[－1，0]时，函数的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)试求a 的值；(2)写出f (x )在[0，1]上的解析式；(3)求f (x )在[0，1]上的最大值．参考答案第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及其性质A级基础巩固一、选择题1．以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为()A．y＝(e－1)x B．y＝(1－e)xC．y＝3x＋1D．y＝x2解析：由指数函数的定义可知选A.答案：A2．函数y＝2x－8的定义域为()A．(－∞，3) B．(－∞，3]C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3，所以函数y ＝2x－8的定义域为[3，＋∞)．答案：D3．函数y＝a x＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点()A．(0，1) B．(1，0) C．(2，1) D．(0，2)解析：因为y＝a x的图象一定经过点(0，1)，将y＝a x的图象向上平移1个单位得到函数y＝a x＋1的图象，所以，函数y＝a x＋1的图象经过点(0，2)．答案：D4．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞) B．[0，4]C．[0，4) D．(0，4)解析：由题意知0≤16－4x<16，所以0≤16－4x<4.所以函数y＝16－4x的值域为[0，4)．答案：C5．函数y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()解析：函数y＝x＋a单调递增．由题意知a>0且a≠1.当0<a<1时，y＝a x单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；当a>1时，y＝a x单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D.答案：D二、填空题6．已知集合A＝{x|1≤2x<16}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B ＝________．解析：由1≤2x <16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N}，所以A ∩B ＝{0，1，2}．答案：{0，1，2}7．已知函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2），x <0，2x ，x ≥0，则f (－7.5)的值为________．解析：由题意，得f (－7.5)＝f (－5.5)＝f (－3.5)＝f (－1.5)＝f (0.5)＝20.5＝ 2. 答案：28．函数y ＝a x (－2≤x ≤3)的最大值为2，则a ＝________． 解析：当0<a <1时，y ＝a x 在[－2，3]上是减函数，所以y max ＝a －2＝2，得a ＝22； 当a >1时，y ＝a x 在[－2，3]上是增函数，所以y max ＝a 3＝2，解得a ＝32.综上知a ＝22或32. 答案：22或32 三、解答题9．求不等式a 4x ＋5>a 2x －1(a >0，且a ≠1)中x 的取值范围． 解：对于a 4x ＋5>a 2x －1(a >0，且a ≠1)，当a >1时，有4x ＋5>2x －1，解得x >－3；当0<a <1时，有4x ＋5<2x －1， 解得x <－3.故当a >1时，x 的取值范围为{x |x >－3}；当0<a <1时，x 的取值范围为{x |x <－3}．10．若0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值． 解：y ＝4x －12－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5. 令2x＝t ，则1≤t ≤4，y ＝12(t －3)2＋12， 所以当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝52. 故该函数的最大值为y max ＝52，最小值为y min ＝12. B 级 能力提升1．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[0，1] D ．(0，1]解析：依题意－2a 2×（－1）≤1且a ＋1>1， 解得0<a ≤1.答案：D2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：因为f (x )的图象过(0，－2)，(2，0)且a >1，所以⎩⎨⎧－2＝a 0＋b ，0＝a 2＋b ，所以a ＝3，b ＝－3，所以f (x )＝(3)x －3，f (3)＝(3)3－3＝33－3.答案：33－33．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，当x ∈[－1，0]时，函数的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)试求a 的值；(2)写出f (x )在[0，1]上的解析式；(3)求f (x )在[0，1]上的最大值．解：(1)因为f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，所以a ＝1.(2)设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]，所以f (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14－x －12－x ＝2x －4x . 即当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －4x .(3)f (x )＝2x －4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122＋14， 其中2x ∈[1，2]，所以当2x ＝1时，f (x )max ＝0.。
高中数学2.1.2指数函数及其性质(1)同步讲练新人教版必修1
课题：指数函数及其性质（1）精讲部分学习目标展示（1）理解指数函数的概念（2）掌握指数函数的图象（3）掌握指数函数当底数变化时，函 数图象的变化规律（4）会求指数形式的函数的定义域 衔接性知识1. 分数指数幕如何定义的？m答: a n n a m (a 0 , m , n N , n1 1-^= (a 0 , m ,n N,n 1)，n. m a答：函数y x 2的指数为定值 2，而底数是自变量 x ；函数y 2x 的底数是2，而指数是自变量x . 基础知识工具箱m(1) 0n 0(a0,m, n N , n 1)m(2) 0 n (aN ,n 1）无意义2.比较函数 yx 2与y2x 在形式上的不同?1），a特征底不(1)y a x与ya(a0且a1)的图象关于y轴对称同xy 11y a的/两/b x个几个不同的指数函数的图象规律：图在第一象限内，按逆时针方向，底数从少到象0y c.x 大排列，即a b 1 c d 0的r d0X关系典例精讲剖析例1.下列函数中，哪些是指数函数?(1)y 4x ；(2) y X4；(3) y 4x ；(4) y ( 4)x ；(5) y x ；(6) y 4x2；1⑺ y x X； (8) y (2a 1)x (a - , a 1)2［解析］(1)、(5)、(8)为指数函数；(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是—1与指数函数4x的乘积；(4)中底数一4<0,二不是指数函数；(6)中指数不是自变量X,而是x 的函数；(7)中底数x不是常数•它们都不符合指数函数的定义例2•求列函数的定义域：(1) f(x) 3^ ⑵f(x)(1)，2(3) f(x)解：(1)使函数有意义，得3x 2 0,2x 3，所以f (x)的定义域为［2 ,)；3(2)使函数有意义，得0,所以f (x)的定义域为(,0) U (0 ,)；(3 )使函数有意义，得12x 0 , 2x 1，由y 2x的图象，可知，x 0,所以f(x) 的定义域为(,0).例 3. (1) 指数函数y1f (x)的图象经过点(2,—)，求f (21), f(3)的值;(2)若y 2(k 3) (2 k 1)x是指数函数，求实数解：(1 )设 f (x) a x (a 0,且a 1)，则Q指数函数y f (x)的图象经过点(2,丄)2 a2丄，即a2子，所以f(x)(曰［答案］Ba >0,故f (x ) = ax 的图象经过一、 三象限，••• A 、D 不正确.若g (x ) = a x 为增函数，则 a >1,与y = ax 的斜率小于1矛盾，故C 不正确.B 中0<a <1，故B正确.2.指数函数y f (x)的图象过点(1,{)，则f ［ f (2)］f( 1)f(3)(2)由指数函数的定义，得k 22k 2k例4. (1)下图分别是函数①y = a x ；②y = b x ；③y = c x :④y = d x 的图象,a 、b 、c 、d4 3 1分别是下列四数：：'2、丁乔、中的一个，则相应的a 、b 、c 、d 应是下列哪一组* 3 10 54 13 , 4 3 1 31,4 A. 3， -，2，5，10 B. 2，3，10，5 C. 10，5， 2，3 D. 10 4, J 2(2)无论a 取何值(a >0且a * 1)，函数y 2 a x 3的图象恒过定点 解：(1)法一、指数函数 y = a x 的图象从第一象限看，逆时针方向底数大，故选C.解法二：直线x =1与函数的图象相交,4 3 1从上到下依次为 c >d >a >b ,而.'2>3>10>5，故选C. (2)由指函数 y = a x ( a >0且a *1)过定点(0,1)知,•此函数图象过定点(一3,3).精练部分g (x ) = a 的图象可能是( )［解析］由指数函数的定义知 3a 依次从小变A 类试题(普通班用)1.在同一平面直角坐标系中，函数f (x ) = ax 与指数函数［答案］16[解析]设 f (x) a x(a 0 ,且a 1), T f (x)图象过点(1,1), • a 2 , • f(x) 2x , 22• f[f (2)] f(2 ) f(4)24 163.函数 f (x)(3a 2)3x 4b (a2,a1)的图象过定点 (x ° ,3),3则 X 。
人教A版高中数学必修1第二章2.1.2《指数函数及其性质》同步测试(一)
《指数函数及其性质》同步测试题（一）---主要涉及概念、定义域、值域一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若函数()()21xf x a a a =--是指数函数，则（ ）A ．1a =B ．2a =C ．1a =或2a =D ．0a >且1a ≠2．下列函数中指数函数的个数是（ ）①23x y =⋅ ①13x y += ①3x y = ①()21xy a =-（a 为常数，12a >，1a ≠）①3y x = ①4x y =- ①()4xy =- A ．1B ．2C ．3D ．43．已知指数函数y =(a +2)x ,则实数a 的取值范围是( ). A ．(-2,+∞) B ．[-2,+∞)C ．(-2，-1)（-1，+∞）D ．(1,2)∪(2,+∞)4．函数y = ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．[)0,+∞D ．(],0-∞5．函数()f x = ） A ．(,0)-∞B ．(,0]-∞C ．(0,)+∞D ．[0,)+∞6．已知函数f (x )的定义域是(1，2)，则函数f (2x )的定义域是（ ） A ．(0，1) B ．(2，4) C ．(12，1) D ．(1，2)7．若221124x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的解集是函数2xy =的定义域，则函数2xy =的值域是（ ）A ．1,28⎡⎫⎪⎢⎭⎣B ．128⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝D ．)2,⎡+∞⎣8．函数[]12,0,1xy x =-∈的值域是（ ）A ．[]0,1B ．[]1,0-C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．函数()1423xx y x R -=++∈的值域为（ ）A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．13,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[)9,+∞10．设函数()()121xf x x R =∈+,则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)11．函数()1212xxf x -=+的值域为（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,112．函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二．填空题13．函数()1f x x =-的定义域为__________. 14．已知f （x ）R ，则实数a 的取值范围是______．15．函数211()3x y -=的值域是___16．函数1()41(0)2xx f x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________. 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)， （1）求a 值； （2）求函数2()(0)x f x a x -=≥的值域；18．求下列函数的定义域： （1）y =（2）y =19．已知a R ∈，函数1()21x f x a =-+. （1）用函数单调性定义证明：()f x 在(),-∞+∞上单调递增； （2）若()f x 为奇函数，求： ①a 的值； ②()f x 的值域.20．已知()16245x x f x =-⨯+，[]1,2x ∈-． （1）设4x t =，[]1,2x ∈-，求t 的最大值与最小值； （2）求()f x 的最大值与最小值．21．已知函数2()221=+-+x x f x a a a ,其中0a >且1a ≠，满足(1)5f =. （1）求实数a 的值；（2）当[0,3]x ∈，求()f x 的值域；（3）若关于x 的方程()f x m =在区间[0,3]上无解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()x f x a b =+（a ＞0，a ≠1）的图象过点（0，﹣2），（2，0） （1）求a 与b 的值；（2）求x ∈[﹣1，2]时，求f （x ）的最大值与最小值． （3）求使()0f x >成立的x 范围．参考答案一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二．填空题 13．(2,1)- 14．[-1，0]15．(]03，16．(1,3]三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.【解析】（1）函数()2x f x a-=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=，12a ∴=（2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（18.【解析】（1）由题意可得210x -≥，即022x ≥， 又指数函数()2xf x =单调递增，得0x ≥.所以函数y =[)0,+∞；（2）由题意，得31903120x x +⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≠⎩，得230113322x x -+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪≠⎩，又指数函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，2x ∴≤-且3x ≠-.所以函数y =()(],33,2-∞-⋃--. 19.【解析】（1）设12x x <，则()()()()12121212112*********x x x x x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 1212210,210,220x x x x +>+>-<，()()120f x f x ∴-<，()()12f x f x ∴<.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增（2）①若()f x 为奇函数，则()1002f a =-=， 解得：12a =.经检验成立 ②11()221x f x =-+， 211x+>，10121x∴<<+，故()1122f x -<<， 故函数的值域为：11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 20.【解析】(1) 因为4x t =在[]1,2-上是增函数，故有1164t ≤≤， 即t 的最小值为14，t 的最大值为16； (2) 设4x t =，[]1,2x ∈-，则22()25(1)4f t t t t =-+=-+，1[,16]4t ∈，max min ()(16)229,()(1)4f t f f t f ====；21.【解析】（1）由2(1)2215f a a a =+-+=，解得2a =±，因为0a >，所以2a =. （2）由（1）知2()2223,x x f x =+⋅-[0,3]x ∈令2x t =，则223,18y t t t =+-≤≤，由223y tt =+-在[1,8]上单调递增，所以当1t =时，min 0y =，此时0x =， 当8t =时，max 77y =，此时3x =，所以()f x 的值域为[0,77].（3）因为()f x m =在区间[0,3]上无解，所以77>m 或0m <； 实数m 的取值范围为(,0)(77,)-∞⋃+∞.22.【解析】（1）因为函数图象过点()0,2-和点()2,0，所以将点()0,2-和点()2,0代入()f x ，得022a b a b ⎧+=-⎨+=⎩，解得3a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩a ，故ab ＝﹣3；（2）因为()3xf x =-1，所以，该函数在定义域内单调递增，即当[]1,2x ∈-时，()f x 单调递增，所以，()()min 133f x f =-=-，()()max 20f x f ==（3）由()0f x >可得30x->，即23x>=，因为xy =是单调递增函数，所以解得2x >。
必修一同步2.1.2第1课时指数函数及其性质
第二章 2.1 2.1.2 第一课时指数函数及其性质基础巩固一、选择题 1．下列函数，①y ＝x 2；②y ＝(－2)x ；③y ＝2x ＋1；④y ＝(a －1)x(a >1，且a ≠2)．其中，指数函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A2．函数y ＝1－3x的定义域是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)[答案] B[解析] 1－3x≥0,3x ≤1，∴x ≤0，故选B. 3．函数f (x )＝3x －3(1＜x ≤5)的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,9)C ．(19，9]D ．(13，27)[答案] C[解析] 因为1＜x ≤5，所以－2＜x －3≤2.而函数f (x )＝3x是单调递增的，于是有19＜f (x )≤32＝9，即所求函数的值域为(19，9]，故选C.4．若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a ·180°6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3[答案] D[解析] ∵3a＝9，∴a ＝2，∴tana ·180°6＝tan60°＝3，故选D.5．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )[答案] D[解析] 当x ＞0时，y ＝a x(0＜a ＜1)，故可排除A 、B 项；当x ＜0时，y ＝－a x与y ＝a x (0＜a ＜1，x ＜0)的图象关于x 轴对称，故选D.6．(2015·山东梁山一中高一期中质量检测)函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于( )A.12 B ．2 C ．4 D.14[答案] B[解析] 当a >1时，y min ＝a 0＝1；y max ＝a 1＝a ， 由1＋a ＝3，所以a ＝2.当0<a <1时，y max ＝a 0＝1，y min ＝a 1＝a .由1＋a ＝3，所以a ＝2矛盾，综上所述，有a ＝2. 二、填空题7．函数y ＝a x－1(a ＞0，且a ≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．[答案] (0,1)[解析] 由a x－1≥0，得a x≥1.∵函数的定义域是(－∞，0]，∴a x≥1的解集为(－∞，0]，∴0＜a ＜1.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．[答案] －3[解析] 由已知，得f (1)＝2；又当x ＞0时，f (x )＝2x＞1，而f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－2，且a ＜0， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 三、解答题9．求下列函数的值域： (1)y ＝2－1x；(2)y ＝51－x.[解析] (1)∵－1x ≠0，∴y ＝2－1x≠1.∴y ＞0且y ≠1，∴所求函数的值域是(0,1)∪(1，＋∞)． (2)∵1－x ≥0，∴y ＝51－x≥50＝1.∴所求函数的值域是[1，＋∞)．10．函数f (x )＝k ·a －x(k ，a 为常数，a ＞0且a ≠1)的图象过点A (0,1)，B (3,8)． (1)求函数f (x )的解析式； (2)若函数g (x )＝f x －1f x ＋1，试判断函数g (x )的奇偶性，并给出证明．[解析] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，k ·a －3＝8，∴k ＝1，a ＝12，∴f (x )＝2x.(2)函数g (x )为奇函数．证明：g (x )＝2x－12x ＋1，其定义域为R ，又g (x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－g (x )， ∴函数g (x )为奇函数．能力提升一、选择题1．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(12，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)[答案] B2．指数函数y ＝a x(a ∈{13，12，2,3})的图象如下图，则分别对应于图象①②③④的a的值为( )A.13，12，2,3 B.12，13，3,2 C ．3,2，12，13D ．2,3，13，12[答案] B3．(2015·河北衡水中学期中)若函数f (x )＝a －22x ＋1是奇函数，则a 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] C[解析] ∵f (0)＝a －220＋1＝a －1＝0，∴a ＝1，故选C.4．(2015·湖北教学合作体期末)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图象如图下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )[答案] A[解析] 由题图可知0＜a ＜1，b ＜－1，则g (x )是一个减函数，可排除C ，D ，再根据g (0)＝1＋b ＜0，可排除B ，故选A.二、填空题5．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________ [答案] 64[解析] 由已知函数图象过(2,4)，令y ＝a x，得a 2＝4，∴a ＝2，∴f (2)·f (4)＝22×24＝64.6．(2015·云南玉溪一中期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －1 x ＋7a －2 x ＜1 ，a xx ≥1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．[答案] [38，12)[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜0，0＜a ＜1，9a －3≥a ，解得38≤a ＜12.三、解答题7．(2015·长春高一检测)已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． [解析] (1)∵函数f (x )＝ax －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，∴12＝a 2－1，∴a ＝12.(2)由(1)知f (x )＝(12)x －1＝2·(12)x，∵x ≥0，∴0＜(12)x ≤(12)0＝1，∴0＜2·(12)x≤2，∴函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．8．(能力挑战题)已知函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记f (x )＝a xa x ＋2.(1)求a 的值；(2)证明f (x )＋f (1－x )＝1；(3)求f (12015)＋f (22015)＋f (32015)＋…＋f (20142015)的值．[解析] (1)函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20， ∴a ＋a 2＝20，得a ＝4或a ＝－5(舍去)． (2)由(1)知f (x )＝4x4x ＋2，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝4x4x ＋2＋44x 44x ＋2＝4x 4x ＋2＋42·4x＋4＝4x4x ＋2＋24x ＋2＝1.(3)由(2)知f (12015)＋f (20142015)＝1，f (22015)＋f (20142015)＝1，…， f (10072015)＋f (10082015)＝1， ∴f (12015)＋f (22015)＋f (32015)＋…＋f (20142015)＝[f (12015)＋f (20142015)]＋[f (22015)＋f (20132015)]＋…＋[f (10072015)＋f (10082015)]＝1＋1＋…＋1＝1007.。
高一数学必修1(人教版)同步练习第二章第一节指数函数
2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第二章第一节指数函数一、学习目标：1. 了解基本初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数）的实际背景。
了解实数指数幂的意义及对数的作用、了解指数函数与对数函数互为反函数的性质。
2. 理解指数、对数的概念及其运算性质，理解指数函数、对数函数，一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质。
3. 掌握幂的运算、对数运算及指数函数、对数函数、一次函数、二次函数性质的应用二、重点、难点：重点：（1）指数幂、对数的运算（2）对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的理解。
难点：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的应用三、考点分析：函数这部分内容是高考中的重点与难点，基本的初等函数是高考函数基础知识考查的重点，因此第一轮的复习重点是把握基本函数的基础知识及其简单的应用，这部分知识点是高考命题的“黄金”知识点，命题的题型有选择题、填空题、中等类型的大题等。
知识梳理注：（1）二次函数的解析式的确定方法有三种形式①一般式：若已知二次函数经过A ，B ，C 三点，可设解析式为c bx ax x f ++=2)(，把三点坐标代入求出a ，b ，c 的值。
②零点式：若已知二次函数图象与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x B x A ，可设解析式为：))(()(21x x x x a x f --=，再根据其余的条件确定a 的值。
③顶点式：若已知二次函数的顶点坐标（h ，k ），则可设函数解析式为：k h x a x f +-=2)()(的形式，再根据另外的条件确定a 的值。
（2）二次函数的最值的确定（i ）若R x ∈，a ＞0，当a b x 2-=时，函数取得最小值a b ac x f 44)(2min -=；若R x ∈，a<0，当a bx 2-=时，函数取得最大值a b ac x f 44)(2m ax -=。
最新人教A版数学必修1练习：第二章 2.1 2.1.2 第1课时 指数函数图象及其性质 Word版含解析
[课时作业][A 组 基础巩固]1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－4)xB.y ＝λx (λ>1) C ．y ＝－4x D ．y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)解析：A 中底数不满足大于0且不等于1；C 中系数不是1；D 中指数不是独立的x ；只有选项B 满足指数函数定义．答案：B2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ． 0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0＜a ＜1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图象向左平移|－b |个单位而得，所以－b ＞0，即b ＜0.故选D.答案：D3．下列关系中正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 <223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 23<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<223 C ．223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 D ．223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 解析：223＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223-，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是R 上的减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1223->⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，即223>⎝ ⎛⎭⎪⎫1213>⎝ ⎛⎭⎪⎫1223. 答案：B4．函数y ＝2－|x |的值域是( )A ．(0,1)B.(0,1] C ．(0，＋∞) D ．R解析：设t ＝－|x |，则t ≤0，作出y ＝2t (t ≤0)的简图，由图象知0<2t ≤1.答案：B5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析：∵y ＝(12)x 是减函数，∴原不等式等价于2a ＋1>3－2a ，即4a >2，∴a >12.答案：B6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f [f (－4)]＝________.解析：依题意，知f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16， f (16)＝16＝4，∴f [f (－4)]＝f (16)＝4.答案：47．已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是________．解析：∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1，∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 为R 上的增函数．∴x >1－x .即x >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．已知函数f (x )＝a x 在x ∈[－2,2]上恒有f (x )＜2，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上的最大值为a 2，由a 2＜2得，1＜a ＜ 2.当0＜a ＜1时，f (x )＝a x 在[－2,2]上的最大值为a －2，由a －2＜2得a ＞12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) 9．(1)已知3x ≥30.5，求实数x 的取值范围；(2)已知0.2x <25，求实数x 的取值范围．解析：(1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x 在R 上是增函数．由3x ≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)．(2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x 在R 上是减函数．因为25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2. 由此可得x >－2，即x 的取值范围为(－2，＋∞)．10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1413和⎝ ⎛⎭⎪⎫1423； (3)2－1.5和30.2.解析：(1)考查函数y ＝0.2x .因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x .因为0<14<1，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1413>⎝ ⎛⎭⎪⎫1423. (3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2,即1<30.2，所以2－1.5<30.2.[B 组 能力提升]1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝31xB.y ＝31－x C ．y ＝3x －1D ．y ＝1－3x 解析：y ＝31x 的值域为{y |y >0且y ≠1}；y ＝31－x 的值域为{y |y >0}；y ＝3x －1的值域为[0，＋∞)；y ＝1－3x 的值域为[0,1)．答案：B答案：A3．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．解析：当a >1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎨⎧ a 0－1＝a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎨⎧ a 0－1＝a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝ 3. 答案： 34．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )是R 上的增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，4－a 2＋2≤a .解得4≤a ＜8.答案：[4,8) 5．设f (x )＝2x －12x ＋1，求f (x )的值域． 解析：令y ＝2x －12x ＋1，(2x ＋1)y ＝2x －1,2x (y －1)＝－1－y,2x ＝1＋y 1－y， ∵2x >0，∴1＋y 1－y >0，∴⎩⎨⎧ 1＋y >0，1－y >0，或⎩⎨⎧ 1＋y <0，1－y <0，解得－1<y <1.故值域为{y |－1<y <1}，即f (x )∈(－1,1)．6．已知函数y ＝a 233x x －＋ (a >0且a ≠1)，当x ∈[1,3]时有最小值8，求a 的值．解析：令y ＝a t ，t ＝x 2－3x ＋3，x ∈[1,3]，对称轴为t ＝32，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t 单调递减；x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，t 单调递增，即x ＝32时，t min ＝34. ①当a >1时，y ＝a t 为增函数，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝ax 2－3x ＋3为减函数；x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，y ＝a 233x x －＋为增函数．显然当x ＝32时，y min ＝a 34＝8，a ＝16.②当0<a <1时，y ＝a t为减函数，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝ax 2－3x ＋3为增函数，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，y ＝a 233x x －＋为减函数，这时y min 是x ＝1或x ＝3时，对应函数值中最小的一个，f (1)＝a ，f (3)＝a 3，若a ＝8，与0<a <1矛盾．若a 3＝8，a ＝38>1与0<a <1矛盾．故舍掉．综上所述，a 的值为16.。
人教新课标版数学高一-数学必修12.1.2指数函数及其性质(第1课时)
第二章 2.1 2.1.2 第一课时一、选择题1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1 D ．y ＝3x[答案] D2．已知函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．任意值[答案] B[解析] ∵y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1a >0且a ≠1 ∴a ＝2.3．函数y ＝4－2x 的定义域是( ) A ．(0,2] B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[1，＋∞)[答案] B[解析] ∵4－2x ≥0,2x ≤4＝22，∴x ≤2. 4．函数y ＝a |x |(0<a <1)的图象是( )[答案] C[解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x ≥0)⎝⎛⎭⎫1a x (x <0)，∵0<a <1，∴在[0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增，且y ≤1，故选C.[点评] 可取a ＝12画图判断．5．(2013～2014山东梁山一中高一期中质量检测)函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于( )A ．12B ．2C ．4D ．14[答案] B[解析] 当a >1时，y min ＝a 0＝1；y max ＝a 1＝a ， 由1＋a ＝3，所以a ＝2.当0<a <1时，y max ＝a 0＝1，y min ＝a 1＝a .由1＋a ＝3，所以a ＝2矛盾，综上所述，有a ＝2.6.函数①y ＝3x ；②y ＝2x ；③y ＝(12)x ；④y ＝(13)x .的图象对应正确的为( )A ．①－a ②－b ③－c ④－dB ．①－c ②－d ③－a ④－bC ．①－c ②－d ③－b ④－aD ．①－d ②－c ③－a ④－b [答案] B 二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞1，3x ，x ≤1，则f (2)＋f (－2)＝________.[答案]379[解析] f (x )＝22＝4，f (－2)＝3－2＝19，∴f (2)＋f (－2)＝3798．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________ [答案] 64[解析] 由已知函数图象过(2,4)，令y ＝a x ，得a 2＝4，∴a ＝2，∴f (2)·f (4)＝22×24＝64. 9．(2013～2014重庆市南开中学期中试题)函数f (x )＝2－|x |的值域是________．[答案] (0,1][解析] ∵|x |≥0，∴－|x |≤0，∴0<2－|x |≤1，∴函数y ＝2－|x |值域为(0,1]． 三、解答题10．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)，若f (x )的图象如图所示，求a ，b 的值．[解析] 由图象得，点(2,0)，(0，－2)在函数f (x )的图象上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3.11．(2013～2014长春高一检测)已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析] (1)∵函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，∴12＝a 2－1，∴a ＝12. (2)由(1)知f (x )＝(12)x －1＝2·(12)x ，∵x ≥0，∴0＜(12)x ≤(12)0＝1，∴0＜2·(12)x ≤2，∴函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．12．(能力挑战题)已知函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记f (x )＝a xa x ＋2.(1)求a 的值；(2)证明f (x )＋f (1－x )＝1；(3)求f (12013)＋f (22013)＋f (32013)＋…＋f (20122013)的值．[解析] (1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20， ∴a ＋a 2＝20，得a ＝4或a ＝－5(舍去)． (2)由(1)知f (x )＝4x4x ＋2，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x44x ＋2＝4x 4x ＋2＋42·4x ＋4＝4x 4x ＋2＋24x ＋2＝1.(3)由(2)知f (12013)＋f (20122013)＝1，f (22013)＋f (20112013)＝1，…， f (10062013)＋f (10072013)＝1， ∴f (12013)＋f (22013)＋f (32013)＋…＋f (20122013)＝[f (12013)＋f (20122013)]＋[f (22013)＋f (20112013)]＋…＋[f (10062013)＋f (10072013)]＝1＋1＋…＋1＝1006.。
高中数学(人教A版)必修1同步练习题：第2章2.1.2第1课时指数函数的图象及性质
精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数 ,那么a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3D ．1【解析】由题意得⎩⎨⎧a >0a ≠1a 2－4a ＋4＝1得a ＝3 ,应选C.【答案】 C2．以下各函数中 ,是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝【解析】 根据指数函数的定义y ＝a x (a >0且a ≠1) ,可知只有D 项正确．应选D.【答案】 D3．函数f (x )＝2|x |－1在区间[－1,2]上的值域是( ) A ．[1,4]B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 2 C ．[1,2] D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1 【解析】函数f (x )＝2t－1在R 上是增函数 ,∵－1≤x≤2 ,∴0≤|x|≤2 ,∴t∈[0,2] ,∴f(0)≤f(t)≤f(2) ,即12≤f(t)≤2 ,∴函数的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122,应选B.【答案】 B4．函数y＝a|x|(a>1)的图象是()【解析】当x≥0时,y＝a|x|的图象与指数函数y＝a x(a>1)的图象相同,当x<0时,y＝a|x|与y＝a－x的图象相同,由此判断B正确．【答案】B5．如图2-1-1是指数函数①y＝a x,②y＝b x,③y＝c x,④y＝d x的图象,那么a ,b ,c ,d与1的大小关系是()图2-1-1A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c【解析】法一当指数函数底数大于1时,图象上升,且当底数越大,图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向右越靠近于x轴,得b＜a＜1＜d＜c.法二令x＝1 ,由题图知c1＞d1＞a1＞b1 ,∴b＜a＜1＜d＜c.【答案】 B二、填空题6．指数函数f(x)＝a x＋1的图象恒过定点________．【解析】由函数y＝a x恒过(0,1)点,可得当x＋1＝0 ,即x＝－1时,y＝1恒成立 ,故函数恒过点(－1,1)．【答案】 (－1,1)7．函数f (x )＝3x －1的定义域为________．【解析】 由x －1≥0得x ≥1 ,所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1 ,＋∞)． 【答案】 [1 ,＋∞)8．函数f (x )＝3x －3(1<x ≤5)的值域为________．【解析】 因为1<x ≤5 ,所以－2<x －3≤2 ,而函数f (x )＝3x 是单调递增的 ,于是有19<f (x )≤32＝9 ,即值域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤19 9. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤19 9 三、解答题9．函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 12 ,其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 【解】 (1)因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 12 , 所以a 2－1＝12 ,那么a ＝12. (2)由(1)得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0) ,由x ≥0 ,得x －1≥－1 ,于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.所以所求函数的值域为(0,2]． 10．f (x )＝9x －2×3x ＋4 ,x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ,x ∈[－1,2] ,求t 的最||大值与最||小值； (2)求f (x )的最||大值与最||小值.【解】 (1)设t ＝3x ,∵x ∈[－1,2] ,函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数 ,故有13≤t≤9 ,故t的最||大值为9 ,t的最||小值为1 3.(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3 ,可得此二次函数的对称轴为t＝1 ,且13≤t≤9 ,故当t＝1时,函数f(x)有最||小值为3 ,当t＝9时,函数f(x)有最||大值为67.[能力提升]1．假设a>1 ,－1<b<0 ,那么函数y＝a x＋b的图象一定在()A．第|一、二、三象限B．第|一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第|一、二、四象限【解析】∵a>1 ,且－1<b<0 ,故其图象如下列图．【答案】 A2．函数y＝xa x|x|(0<a<1)的图象的大致形状是()【解析】由函数式可知当x>0时,y＝a x(0<a<1) ,当x<0时,y＝－a x(0<a<1) ,由函数的图象可知,函数的大致形状是D选项．【答案】 D3．函数f(x)＝3x3x＋1的值域是________．【解析】 函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1 ,即有3x ＝－y y －1 ,由于3x ＞0 ,那么－y y －1＞0 ,解得0＜y ＜1 ,值域为(0,1)． 【答案】 (0,1)4．函数f (x )＝b ·a x (其中a ,b 为常数且a ＞0 ,a ≠1)的图象经过点A (1,8) ,B (3,32)．(1)求f (x )的解析式；(2)假设不等式＋1－2m ≥0在x ∈(－∞ ,1]上恒成立 ,求实数m 的取值范围．【解】 (1)把点A (1,8) ,B (3,32)代入函数f (x )＝b ·a x,可得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝8b·a 3＝32 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4∴f (x )＝4·2x . (2)不等式＋1－2m ≥0在x ∈(－∞ ,1]上恒成立 ,即m ≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12在x ∈(－∞ ,1]上恒成立． 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,那么m ≤12·t 2＋12t ＋12.记g(t)＝12·t 2＋12t ＋12＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋38 , 由x ∈(－∞ ,1] ,可得t ≥12.故当t ＝12时 ,函数g(t)取得最||小值为78.由题意可得 ,m ≤g(t)min ,∴m ≤78.精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。
人教版高一数学必修一2.1.2指数函数及其性质(一)
2.1.2指数函数及其性质(一)班级______________座号_________学生_______________一、选择题1.若函数y =(1-3a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ( )A .(13，+∞)B .(-∞，13)C .(-∞，0)D .(-13，13) 2.设a =22.5,b =2.50,c =(12)2.5,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A .a >c >bB .c >a >bC .a >b >cD .b >a >c3.函数f (x )=3-a x -1的图象必经过点 ( )A .(0，1)B .(1，2)C .(2，3)D .(2，4)4.函数y =xa x |x|(0<a <1)的图像的大致形状是 ( )二、填空题5．函数y ＝2212x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域是________．6．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．7．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．三、解答题8.已知函数f(x)=a x-2(x≥0)的图象经过点(3，4)，其中a>0，且a≠1(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域.9.设a>0且a≠1,函数y=a2x+2a x-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.10.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]的值域.(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.2.1.2指数函数及其性质(一)参考答案1.B 【解析】由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1-3a >1，解得a <0.2.C 【解析】b =2.50=1,c =(12)2.5=2-2.5,则2-2.5<1<22.5,即c <b <a .【方法技巧】比较指数幂大小的技巧(1)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图像比较大小.3.B 【解析】因为f (1)=3-a 1-1=2，所以的图象必经过点(1，2)4.D 【解析】因为y =xa x |x |=⎩⎨⎧a x (x >0)-a x (x <0)，且0<a <1,所以结合选项知,选D . 5. [12，＋∞) 【解析】∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴2212x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭≥12.答案：[12，＋∞) 6.3【解析】由题意知⎩⎨⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎨⎧ a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 37. 2或12【解析】由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以由f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或128.解：(1)∵函数f (x )=a x -2(x ≥0)的图象经过点(3，4)，∴4=a 3-2，∴a =4.(2)由(1)得f (x )=4x -2(x ≥0)，它在定义域上为增函数，且f (0)=116， ∴f (x )=4x -2(x ≥0)的值域为[116，+∞). 9. 解：令t =a x (a >0且a ≠1),则原函数化为y =(t +1)2-2(t >0).(1)当0<a <1时,x ∈[-1,1],t =a x ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,此时f (t )在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增加的. 所以f (t )max =2111f a a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-2=14.所以211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=16,所以a =-15或a =13. 又因为0<a <1,所以a =13.(2)当a>1时,x∈[-1,1],t=a x∈1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦,此时f(t)在1,aa⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增加的.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3(a=-5舍去).综上得a=13或3.10.解：(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,x∈[-3,0],则t∈1,1 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故y=2t2-t-1=2214t⎛⎫-⎪⎝⎭-98,t∈1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故值域为9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解,等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.记g(m)=2am2-m-1,当a=0时,解为m=-1<0,不成立.当a<0时,开口向下,对称轴m=14a<0,过点(0,-1),不成立.当a>0时,开口向上,对称轴m=14a>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以,a>0.【一题多解】本题还有以下解法:方程2am2-m-1=0可化为a=m+12m2=211122m⎛⎫+⎪⎝⎭-18,所以a的范围即为函数g(m)=211122m⎛⎫+⎪⎝⎭-18在(0,+∞)上的值域,所以a>0.。
人教A版数学必修一§2.1.2(1)指数函数及其性质(课时练).docx
高中数学学习材料唐玲出品§2.1.2（1）指数函数及其性质（课时练）一．选择题：1、函数)1,0(41≠>+=-a a a y x 的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为·················（） 、A )5,1( 、B )4,1( 、C )4,0( 、D )0,4(2、函数271312-=-x y 的定义域是················································（） 、A ),2(+∞- 、B ),1[+∞- 、C ]1,(--∞ 、D )2,(-∞3、已知1,10-<<<b a ，则函数b a y x +=的图象必定不过····························（） 、A 第一象限 、B 第二象限 、C 第三象限 、D 第四象限4、若函数)1,0(1≠>-+=a a b a y x 的图象过第二、三、四象限，则一定有·············（） 、A 0,10><<b a 、B 0,1>>b a 、C 0,10<<<b a 、D 0,1<>b a5、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=2,322,2)(x x x x x f x ，若1)(0>xf ，则0x 的取值范围是·····················（）、A ),3()2,0(+∞ 、B ),3(+∞ 、C ),2()1,0(+∞ 、D )2,0(二．填空题：6、函数21232x x y --=的定义域为 ；函数2231()2x x y -+=的值域为7、若618.03=a ，Z k k k a ∈+∈],1,[，则k 的值是____________.8、直线a y 2=与函数)1,0(1≠>-=a a a y x 图象有两个公共点，则a 范围是______.三．简答题9、若函数)1,0(122≠>-+=a a a a y x x 在区间]1,1[-上的最大值是14，求实数a 的值. 提示：对实数a 进行分类讨论.10、若函数1212)(---⋅=x x a a x f 为奇函数. （1）求函数的定义域； （2）确定实数a 的值；（3）求函数的值域； （4）讨论函数的单调性.提示：利用x2),0(+∞∈，即可求出函数的值域.§2.1.2（1）指数函数及其性质一、选择题:1.A2.B3.A4.C5.A二、填空题:6. 略7. 略8. 略三、解答题：9.略10. 略。
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2．1.2 指数函数及其性质
第一课时 指数函数的概念及性质
知识点一：指数函数的概念
1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是
A ．y ＝(－4)x
B ．y ＝πx
C ．y ＝－4x
D ．y ＝a x ＋2(a ＞0且a ≠1)
2．下列函数中①y ＝2x 2；②y ＝4x ；③y ＝32x ；④y ＝3×2x ；⑤y ＝3x ＋1；⑥y ＝－3x ，一定是指数函数的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．设P ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y|y ＝2x ，x ∈R }，则
A ．Q P
B ．Q P
C ．P ∩Q ＝{2,4}
D ．P ∩Q ＝{(2,4)}
4．已知a ＝20.6，b ＝0.62，则实数a ，b 的大小关系是__________．
5．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为__________．
知识点二：指数函数的定义域和值域
6．当x ＞0时，函数f(x)＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是
A ．1＜|a|＜ 2
B ．|a|＜1
C ．|a|＞1
D ．|a|＞ 2
7．函数f(x)＝1－2x 的定义域是
A ．(－∞，0)
B ．(－∞，0]
C ．[0，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
8．集合P ＝{y|y ＝k ，k ∈R }，Q ＝{y|y ＝a x ＋1，a ＞0，且a ≠1，x ∈R }，若集合P ∩Q 只有一个子集，则k 的取值范围是
A ．(－∞，1)
B ．(－∞，1]
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞)
9．函数y ＝(13
)|x|的值域是________． 10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y ＝21
4x ；
(2)y ＝(23
)－|x|.
能力点一：利用指数函数比较幂和指数值的大小
11．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12
＜2x ＋1＜4}，则M ∩N 等于 A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0}
12．已知a ＝(35)13-，b ＝(35)12-，c ＝(43)12-，则a ，b ，c 三个数的大小关系是 A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c
13．设3x ＝17
，则 A ．－3＜x ＜－2 B ．－2＜x ＜－1
C ．－1＜x ＜0
D ．0＜x ＜1
14．(2010广东佛山一中期中)若3＜(13
)x ＜27，则 A ．－1＜x ＜3 B ．x ＞3或x ＜－1
C ．－3＜x ＜－1
D ．1＜x ＜3
15．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是__________．
16．比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.72.5,1.73；
(2)0.9－0.1,0.9－0.2；
(3)1.70.3,0.93.1.
能力点二：利用指数函数性质解答综合题
17．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是
A ．6
B ．1
C ．3 D.32
18．(2010河南洛阳高一期中)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
(12)x ＋2，x ≤0，23x ，x>0，
若f(a)＞1，则a 的取值范
围是
A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C ．(－1,1)
D．(－1，＋∞)
19．函数f(x)＝a x(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，则a的值为__________．20．如果函数y＝a2x＋2a x－1(a＞0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
21．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝4x＋2x＋1＋1；
(2)y＝1－2－x.
22．已知函数y＝a2x3x3
－＋，当x∈[1,3]时有最小值8，求a的值．
答案与解析
基础巩固
1．B
2．B只有②是指数函数．
3．B因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y＞0}，所以Q P.
4．a ＞b ∵a ＝20.6＞1，b ＝0.62＜1，∴a ＞b.
5．2 由y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋3＝1，a>0且a ≠1.解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1或2，a>0且a ≠1.∴a ＝2.
6.D 由指数函数的性质，可知f(x)在(0，＋∞)上是递增函数，所以a 2－1＞1，a 2＞2，|a|＞ 2.
7．B 要使函数有意义，只需1－2x ≥0，2x ≤1，x ≤0.
8．B 由集合P ∩Q 只有一个子集可知，P ∩Q ＝Ø．由Q ＝{y|y ＞1}，可知k ≤1.
9．(0,1] ∵|x|≥0，∴0＜y ≤1.
10．解：(1)∵x －4≠0，∴x ≠4.
∴定义域是{x ∈R |x ≠4}．
∵1x －4
≠0，∴21
4x -≠1. ∴函数的值域是{y|y ＞0且y ≠1}．
(2)定义域为R .
∵|x|≥0，
∴y ＝(23)－|x|＝(32)|x|≥(32
)0＝1. ∴y ＝(23
)－|x|的值域是{y|y ≥1}． 能力提升
11．B ∵12
＜2x ＋1＜4， ∴2－1＜2x ＋1＜22.
∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0.
于是N ＝{－1,0}，M ∩N ＝{－1}． 12．A ∵y ＝(35)x 是减函数，－13＞－12
，∴b ＞a ＞1. 又0＜c ＜1，∴c ＜a ＜b.
13．B 3－2＜3x ＝17
＜3－1， 即－2＜x ＜－1.
14．C ∵(13)－1＜(13)x ＜(13)－3且函数y ＝(13
)x 为单调递减函数， ∴－3＜x ＜－1.
15．c ＞a ＞b ∵y ＝0.8x 是减函数，∴0＜b ＜a ＜1.
又∵c ＝1.20.8＞1，∴c ＞a ＞b.
16．解：(1)考察指数函数y ＝1.7x ，由于底数1.7＞1，
∴指数函数y ＝1.7x 在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73.
(2)考察函数y ＝0.9x ，由于0＜0.9＜1，
∴指数函数y ＝0.9x 在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1＞－0.2，
∴0.9－0.1＜0.9－0.2.
(3)由指数函数的性质得1.70.3＞1.70＝1，
0．93.1＜0.90＝1，∴1.70.3＞0.93.1.
17．C 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.
18．B 当a ≤0时，f(a)＞1化为(12
)a ＋2＞1，解得a ∈(－∞，－2)； 当a ＞0时，f(a)＞1化为23a ＞1，解得a ∈(0，＋∞)，综上可知a 的取值范围是(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
19.12或32 f(x)＝a x (a ＞0，且a ≠1)是单调函数．当a ＞1时，由a 2－a ＝a 2
，得a ＝0(舍去)或a ＝32；当0＜a ＜1时，由a －a 2＝a 2，得a ＝0(舍去)或a ＝12
. 20．解：设t ＝a x ，则y ＝f(t)＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.
当a ＞1时，0＜a －1≤t ≤a ，此时y max ＝a 2＋2a －1，由题设a 2＋2a －1＝14，得a ＝3或a
＝－5，由a ＞1，知a ＝3.
当0＜a ＜1时，t ∈[a ，a －1]，此时y max ＝(a －1)2＋2a －1－1.
由题设a －2＋2a －1－1＝14，得a ＝13或a ＝－15，由0＜a ＜1，知a ＝13
. 故所求的a 的值为3或13
. 拓展探究
21．解：(1)定义域是R .
∵y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，
且2x ＞0，∴y ＞1.
∴y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域是{y|y ＞1}．
(2)要使函数有意义，必须1－2－x ≥0，即1－(12)x ≥0，也就是(12)x ≤1＝(12
)0，得x ≥0，定义域为{x|x ≥0}．
令t ＝1－(12)x ，当x ≥0时，0＜(12)x ≤1,0≤1－(12
)x ＜1，因此t ∈[0,1)，y ＝t 的值域为[0,1)． 22．解：令f(x)＝x 2－3x ＋3，则f(x)＝(x －32)2＋34
. 当x ∈[1,3]时，f(x)有最小值34
，最大值3. 当a ＞1时，y ＝a f(x)≥a 34
＝8，此时a ＝16. 当0＜a ＜1时，y ＝a f(x)≥a 3＝8，此时a ＝2，与0＜a ＜1矛盾，应舍去．
综上知a ＝16.。