2016-2017学年广西南宁八中高一上学期期中数学试卷和解析

2016-2017学年广西南宁八中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将其选出后填入答题卷．1．（5.00分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A⊆B D．B⊆A2．（5.00分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}3．（5.00分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=x﹣1与y=B．y=与y=C．y=lgx﹣2与y=lg D．y=4lgx与y=lgx24．（5.00分）函数f（x）=2x+5x的零点所在大致区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）5．（5.00分）函数的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称6．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2]B．（0，2） C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]7．（5.00分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=8．（5.00分）设a=（）0.9，b=（）﹣0.3，c=log30.7，则有（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜a＜c9．（5.00分）若幂函数f（x）的图象经过点（3，9），那么函数f（x）的单调增区间是（）A．[3，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，3]10．（5.00分）函数f（x）=x2﹣2x零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5.00分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时12．（5.00分）如果函数f（x）对其定义域内的两个实数x1、x2，都满足不等式，则称函数f（x）在其定义域内具有性质M．给出下列函数：①；②y=x2；③y=2x；④y=log2x．其中具有性质M的是（）A．①④B．②③C．③④D．①②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共16分．把答案填在答题卷的横线上．13．（5.00分）设f（x）=，则f（f（3））的值为．14．（5.00分）已知函数y=log a（x﹣3）﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．15．（5.00分）若实数α满足log a2＞1，则a的取值范围为．16．（5.00分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f（2）=0，不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）计算下列各式的值（其中，e为自然对数的底数）：（1）；（2）．18．（12.00分）已知全集U=R，集合，B={x|1＜x＜6}（1）求A∩∁U B；（2）已知C={x|a≤x≤a+1}，若A∩C=C，求实数a的取值范围．19．（12.00分）已知函数f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（a）=4，求f（﹣a）的值．20．（12.00分）随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员400人，每人每年可创利10万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.05万元，但公司需付下岗职员每人每年2万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？21．（12.00分）已知函数f（x）=x2+bx+1满足f（1+x）=f（1﹣x），．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断g（x）在[1，2]上的单调性并用定义证明你的结论；（3）求g（x）在[1，2]上的最大值和最小值．22．（12.00分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．2016-2017学年广西南宁八中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将其选出后填入答题卷．1．（5.00分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A⊆B D．B⊆A【解答】解：因为A={1，2，3}，B={2，3}，显然，A≠B且B⊆A，根据集合交集的定义得，A∩B={2，3}=A，所以，A∩B≠∅，故选：D．2．（5.00分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．3．（5.00分）下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．y=x﹣1与y=B．y=与y=C．y=lgx﹣2与y=lg D．y=4lgx与y=lgx2【解答】解：A.，∴这两函数对应法则不同，不是同一函数；B.的定义域为[1，+∞），的定义域为（1，+∞），∴这两函数定义域不同，不是同一函数；C.，∴这两函数是同一函数；D．y=4lgx的定义域为（0，+∞），y=lgx2的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数．故选：C．4．（5.00分）函数f（x）=2x+5x的零点所在大致区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：∵函数f（x）=2x+5x是单调递增函数，又∵f（﹣1）=2﹣5=﹣3＜0，f（0）=1+0=1＞0，∴函数f（x）的零点必在区间（﹣1，0）上，故必存在零点的区间是（﹣1，0），故选：C．5．（5.00分）函数的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称【解答】解：函数，可得f（﹣x）=（﹣x）2+=x2+=f（x），函数是偶函数，函数图象关于y轴对称．故选：B．6．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，2]B．（0，2） C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：函数f（x）=，由题意得：，解得：0＜x＜2，故选：B．7．（5.00分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=【解答】解：函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y=2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D．8．（5.00分）设a=（）0.9，b=（）﹣0.3，c=log30.7，则有（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a=（）0.9∈（0，1），b=（）﹣0.3＞1，c=log30.7＜0，则b＞a＞c．故选：A．9．（5.00分）若幂函数f（x）的图象经过点（3，9），那么函数f（x）的单调增区间是（）A．[3，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，3]【解答】解：设幂函数f（x）=x a，则3a=9，解得a=2，∴f（x）=x2；∴f（x）=x2的单调递增区间是[0，+∞），故选：B．10．（5.00分）函数f（x）=x2﹣2x零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x零点个数可化为函数y=x2与y=2x的图象的交点个数，作函数y=x2与y=2x的图象如下，有三个交点，故选：C．11．（5.00分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【解答】解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e22k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24故选：C．12．（5.00分）如果函数f（x）对其定义域内的两个实数x1、x2，都满足不等式，则称函数f（x）在其定义域内具有性质M．给出下列函数：①；②y=x2；③y=2x；④y=log2x．其中具有性质M的是（）A．①④B．②③C．③④D．①②③④【解答】解：函数f（x）对其定义域内的任意两个实数x1，x2都满足不等式，则称函数f（x）在定义域上具有性质M，（为下凸函数）．由函数的图象可知：②y=x2；③y=2x．其中具有性质M．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共16分．把答案填在答题卷的横线上．13．（5.00分）设f（x）=，则f（f（3））的值为1．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=log5（3×3﹣4）=log55=1，f（f（3））=f（1）=2﹣30=1．故答案为：1．14．（5.00分）已知函数y=log a（x﹣3）﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（4，﹣1）．【解答】解：∵log a1=0，∴x﹣3=1，即x=4时，y=﹣1，∴点P的坐标是P（4，﹣1）．故答案为：（4，﹣1）．15．（5.00分）若实数α满足log a2＞1，则a的取值范围为（1，2）．【解答】解：∵log a2＞1=log a a，∴或，解得1＜a＜2或a∈∅．∴a的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．16．（5.00分）若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为减函数，若f（2）=0，不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【解答】解：定义在R上的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），在（0，+∞）为减函数，即在R上是减函数，∵f（2）=0，则f（﹣2）=0．令t=x﹣1，不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0转化为tf（t）＞0．当t＞0时，则f（t）＜0，可得：t＞2，即x﹣1＞2，解得：x＞3；当t＜0时，则f（t）＞0，可得：t＜﹣2，即x﹣1＜﹣2，解得：x＜﹣1；综上所得：不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10.00分）计算下列各式的值（其中，e为自然对数的底数）：（1）；（2）．【解答】解：（1）==；（2）=lg25+lg4+ln=lg（25×4）+ln=2+=．18．（12.00分）已知全集U=R，集合，B={x|1＜x＜6}（1）求A∩∁U B；（2）已知C={x|a≤x≤a+1}，若A∩C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（2）∵全集U=R，集合={x|﹣1≤x≤2}，B={x|1＜x＜6}∴∁U B={x|x≤1或x≥6}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x≤2}；（2）∵A∩C=C，∴C⊆A，∴解得：﹣1≤a≤1，则实数a的范围是{a|﹣1≤a≤1}．19．（12.00分）已知函数f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（a）=4，求f（﹣a）的值．【解答】解：（1）函数f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）其定义域满足：，解得：﹣3＜x＜3．故得f（x）的定义域数为{x|﹣3＜x＜3}．（2）由（1）可得f（x）的定义域数为{x|﹣3＜x＜3}．设﹣3＜x1＜x2＜3，则f（x1）﹣f（x2）=lg（3+x1）﹣lg（3﹣x1）﹣lg（3+x2）+lg（3﹣x2）=lg=lg因为9+3（x1﹣x2）﹣x1x2＞9+（x2﹣x1）﹣x1x2＜0，∴＜1，即f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是（﹣3，3）上的增函数；（3）∵函数的定义域为（﹣3，3）．∴定义域关于原点对称，∵f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数．∴f（a）=4，则f（﹣a）=f（a）=4．20．（12.00分）随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员400人，每人每年可创利10万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.05万元，但公司需付下岗职员每人每年2万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？【解答】解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y=（400﹣x）（10+0.05x）﹣2x=（x﹣80）2+4320依题意400﹣x≥×400=300，∴0＜x≤100．∴当x=80时，y取到最大值为4320；综上，为获得最大的经济效益，该公司应裁员80人．21．（12.00分）已知函数f（x）=x2+bx+1满足f（1+x）=f（1﹣x），．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断g（x）在[1，2]上的单调性并用定义证明你的结论；（3）求g（x）在[1，2]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+bx+1满足f（1+x）=f（1﹣x），可知函数的对称轴为：x=1，所以，b=﹣2，函数f（x）的解析式：f（x）=x2﹣2x+1．（2）=x+﹣2，g（x）在[1，2]上的单调性是增函数，证明：设1≤x1＜x2≤2，x1﹣x2＜0，＞0，g（x1）﹣g（x2）=x1﹣x2+=（x1﹣x2）（）＜0，g（x1）＜g（x2），所以函数g（x）在[1，2]上是增函数．（3）由（2）可知，函数是增函数，函数的最小值为：g（1）=0，函数的最大值为：g（2）=．22．（12.00分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：：（1）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．∴f（x）=，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴n=1，∴f（x）=，（x∈R）；（2）由（Ⅰ）知f（x）=，易知f（x）在R上为减函数，又f（x）是奇函数，∴f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x﹣k）=f （k﹣x），∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x﹣3＜k﹣x，即对一切x∈（1，4），有3x﹣3＜k恒成立，令m（x）=3x﹣3，x∈（1，4），易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）＜3×4﹣3=9，∴k≥9，即实数k的取值范围是[9，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。