高数(下) 复习
西南交通大学 高数下期末复习参考资料
2018-2019第2学期高等数学下册复习参考资料目录第一章、向量代数与空间解析几何 (1)第一节向量及其运算 (1)第二节空间的平面和直线 (2)第三节空间曲面与空间曲线 (4)习题 (5)第二章、多元函数微分法及其应用 (5)第一节偏导数 (5)第二节全微分 (6)第三节方向导数和梯度 (8)第四节多元函数的极值以求法 (9)习题 (10)第三章、重积分 (10)第一节二重积分的概念和性质（几何意义） (10)第二节二重积分的计算法 (12)第三节三重积分的概念 (13)第四节三重积分的计算 (13)第五节重积分的应用 (15)习题 (16)第四章、曲线积分与曲面积分 (16)第一节对弧长的曲线积分 (16)第二节对坐标的曲线积分 (18)第三节格林公式 (18)第四节对面积的曲面积分 (20)第五节对坐标的曲面积分 (20)习题 (22)第五章、无穷级数 (22)第一节常数项级数的概念和性质 (22)第二节常数项级数的审敛法 (23)第三节幂级数 (24)第四节傅里叶级数 (25)习题 (26)期末模拟卷 (26)参考答案 (28)第一章、向量代数与空间解析几何第一节向量及其运算1.向量的数量积（点积）向量a⃗=(a1,a2,a3)与向量b⃗⃗=(b1,b2,b3)的数量积是一个数，其值为|a⃗||b⃗⃗|cosθ，其中θ为向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角，记作a⃗⋅b⃗⃗，若其中有一个为零向量时，则定义其值为0，数量积的坐标表达式为a⃗⋅b⃗⃗=a1b1+a2b2+a3b3，两个向量相互垂直则称它们正交，记作a⃗⊥b⃗⃗，特别的，规定零向量与任意向量垂直。
数量积有以下基本性质：（1）a⃗⋅b⃗⃗=b⃗⃗⋅a⃗（2）(λa⃗)⋅b⃗⃗=λ(a⃗⋅b⃗⃗)（3）(a⃗+b⃗⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⃗⋅c⃗（4）a⃗⊥b⃗⃗的充要条件为a⃗⋅b⃗⃗=02.向量的向量积（叉积）向量积，顾名思义，就是两个向量a⃗和b⃗⃗的经过特殊的法则所合成的向量，通常该向量垂直于向量a⃗与向量b⃗⃗所在的平面，记此向量为c⃗，c⃗=a⃗×b⃗⃗，通常，向量a⃗与向量b⃗⃗交换位置后要再添加一个负号才能使其值还是c⃗，c⃗的模等于|a⃗||b⃗⃗|sinθ，θ为两个向量的夹角，应注意这里的θ范围。
高数下册复习知识点总结
高数下册复习知识点总结高数下册复习学问点总结高数下册复习学问点总结：8空间解析几乎与向量代数1.给定向量的坐标表达式，如何表示单位向量、方向数与方向余弦、投影。
2.向量的数量积、向量积的定义式与坐标式，把握两个向量垂直和平行的条件。
3.了解常用二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程。
空间曲线在坐标平面上的投影方程。
4.平面方程和直线方程及其求法。
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6.点到直线以及点到平面的距离。
9多元函数微分法及其应用1.有关偏导数和全微分的求解方法，偏导要求求到二阶。
2.复合函数的链式法则，隐函数求导公式和方法。
3.空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面与法线方程；函数沿着一条直线的方向导数与梯度。
4.利用充分条件推断函数的极值问题；利用拉格朗日乘子法（即条件极值）分析实际问题或给定函数的最值问题。
10重积分1.二重积分直角坐标交换积分次序；选择合适的坐标系计算二重积分。
2.选择合适的坐标系计算三重积分。
3.利用二重积分计算曲面的面积；利用三重积分计算立体体积；4.利用质心和转动惯量公式求解问题。
11曲面积分与曲线积分1.两类曲线积分的计算与联系；2.两类曲面积分的计算与联系；3.格林公式和高斯公式的应用。
12曲面积分与曲线积分1.常数项积分的敛散性判别：（1）正项级数；（2）交叉级数；（3）一般级数2.幂级数的收敛域（1）标准型（2）非标准型幂级数的和函数，幂级数绽开3.傅里叶级数的和函数以及绽开式扩展阅读：高数下册总复习学问点归纳(1)高等数学（一）教案期末总复习第八、九章向量代数与空间解析几何总结向量代数定义与运算的几何表达定义向量模有大小、有方向.记作a 或AB向量a的模记作a在直角坐标系下的表示aaxiayjazk(ax,ay,az)axprjxa,ayprjya,azprjzaaax2ay2az2和差cabca －b单位向量cabaxbx,ayby,azbzaa0，则eaa设a与x,y,z轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，cosea(ax,ay,az)axayaz222方向余弦aaacosx，cosy，coszaaaea(cos，cos，cos)cos2+cos2cos21点乘（数量积）ababcos，为向量a与b的夹角abaxbxaybyazbziabaxbxjaybykazbzcabsin叉乘（向量积）为向量a与b 的夹角cab向量c与a，b都垂直定理与公式垂直平行abab0abaxbxaybyazbz0a//bcosa//bab0axayazbxbybz2222交角余弦ab两向量夹角余弦cosab向量a在非零向量b上的投影axbxaybyazbzaxayazbxbybz22投影prjbaacos(ab)abbprjbaaxbxaybyazbzbxbybz222平面法向量n{A,B,C}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点法式方程形式及特征直线方向向量T{m,n,p}点M0(x0,y0,z0)方程名称一般式点向式方程形式及特征A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20AxByCzD0A(xx0)B(yy0)C(zz0)0 xx0yy0zz0mnp高等数学（一）教案期末总复习xx1三点式yy1y2y1y3y1zz1z2z10z3z1两点式线线垂直线线平行线面平行参数式x2x1x3x1截距式面面垂直面面平行线面垂直xyz1abcA1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2ABCmnpxx0mtyy0ntzzpt0xx0yy0zz0x 1x0y1y0z1z0m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2AmBnCp0点面距离M0(x0,y0,z0)AxByCzD0面面距离AxByCzD10AxByCzD20dAx0By0Cz0DABC222dD1D2ABC222面面夹角n1{A1,B1,C1}n2{A2,B2,C2}cos|A1A2B1B2C1C2|A1B1C1A2B2C2222222线线夹角s1{m1,n1,p1}s2{m2,n2,p2}线面夹角s{m,n,p}n{A,B,C}AmBnCpA2B2C2m2n2p2cosm1m2n1n2p1p2222m12n12p12m2 n2p2sinx(t)，y(t)，z(t)，切“线”方程：切向量xx0yy0zz0(t0)(t0)(t0)空间(t)曲线：T((t0),(t0),(t0))法平“面”方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0切“线”方程：y(x)切向量z(x)T(1,(x),(x))xx0yy0zz01(x0)(x0)法平“面”方程：(xx0)(x0)(yy0)(x0)(zz0)0法向量切平“面”方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fx(x0,y0,z0)(yy0)F(x,y,z)0空间曲面：n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))n(fx(x0,y0),fy(x0,y0) ,1)Fx(x0,y0,z0)(zz0)0法“线“方程：xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)切平“面”方程：fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0法“线“方程：zf(x,y)或n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)xx0yy0zz0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1高等数学（一）教案期末总复习第十章总结重积分计算方法（1）利用直角坐标系X型Y型积分类型二重积分典型例题f(x,y)dxdydxDab2(x)1(x)f(x,y)dyf(x,y)dxP141例1、例3f(x,y)dxdyDdcdy2(y)1(y)Ifx,ydD（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简洁(含(x2y2),平面薄片的质量质量=面密度面积为实数)P147例5f(cos,sin)ddDd2()1()f(cos,sin)d0202（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）0I2f(x,y)dxdyD1计算步骤及留意事项f(x,y)对于x是奇函数，即f(x,y)f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数，即f(x,y)f(x,y)D1是D的右半部分P141例2应用该性质更便利1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分别3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便留意：充分利用对称性，奇偶性高等数学（一）教案期末总复习三重积分(1)利用直角坐标投影投影法截面法bay2(x)f(x,y,z)dVdxy1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dzP159例1P160例2xrcos（2）利用柱面坐标yrsinzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简洁；如旋转体○If(x,y,z)dvP161例3空间立体物的质量质量=密度面积22222被积函数用柱面坐标表示时变量易分别.如f(xy)f(xz)○f(x,y,z)dVdzdabr2()r1()f(cos,sin,z)dxcosrsincos（3）利用球面坐标ysinrsinsinzrcosdvr2sindrdd适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简洁;如，球体，锥体.○P16510-(1)2222被积函数用球面坐标表示时变量易分别.如，f(xyz)○Idd11222(,)1(,)f(sincos,sinsin,cos)2sind（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案期末总复习第十一章总结曲线积分与曲面积分积分类型参数法（转化为定积分）第一类曲线积分（1）L:y(x)IIf(x,y)ds计算方法典型例题(t)Iaf(x,y(x))1y"(x)dx曲形构件的质量（2）L:y(t)质量=线密度xr()cos弧长（3）rr()()L:f((t),(t))b"2(t)"2(t)dt2Lx(t)P189-例1P190－3yr()sinIf(r()cos,r()sin)r2()r"2()d平面其次类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）x(t)L:(t单调地从到)y(t)P196-例1、例2、例3、例4LPdxQdy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：LPdxQdy(DQP)dxdyxy满意条件直接应用IPdxQdy应用：有瑕点，挖洞L不是封闭曲线，添加帮助线变力沿曲线所做的功P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特别路径法）等价条件：①QP②xy③PdxQdy0LLPdxQdy与路径无关，与起点、终点有关P211-例5、例6、例7④PdxQdy具有原函数u(x,y)（特别路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系IPdxQdy(PcosQcos)dsLL空间其次类曲线积分（1）参数法（转化为定积分）PdxQdyRdz{P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}d tIPdxQdyRdz（2）利用斯托克斯公式（转化其次类曲面积分）L条件：①L封闭，分段光滑，有向②P，Q，R具有一阶连续偏导数PdxQdyRdzL变力沿曲线所做结论：的功QpRQPR()dydz()dzdx()dxdyyzzxxyP240-例1 高等数学（一）教案期末总复习应用：满意条件直接应用不是封闭曲线，添加帮助线第一类曲面积分投影法：zz(x,y)投影到xoy面If(x,y,z)dv曲面薄片的质量Dxy质量=面密度类似的还有投影到yoz面和zox面的公式面积（1）投影法Pdydzp(x(y,z),y,z)dydz1○Dyz：zz(x,y)，为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0Qdzdxp(x,y(x,z),z)dzdx2其次类曲面积分○Dyz：yy(x,z)，为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos02If(x,y,z)dvf(x,y,z(x,y))1zx2zydxdyP217-例1、例2P226-例2IPdydzQdzdxR3QdxdyQ(x,y,z(x,y))dxdy○Dyz流体流向曲面一侧的流量：xx(y,z)，为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0（2）高斯公式右手法则取定的侧条件：①封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧②P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：PdydzQdzdzRdxdy(PQR)xyzP231-例1、例2应用：满意条件直接应用不是封闭曲面，添加帮助面（3）两类曲面积分之间的联系PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dSP228-例3转换投影法：dydz(全部类型的积分：z)dxdyxdzdx(z)dxdyy1定义：四步法分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
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本学期《高等数学》的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法．我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围．对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题．对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节．逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固．考试题型为：一.选择题（每小题3分，共15分） 二.填空题（每小题3分，共15分） 三.计算题（8小题，共40分） 四.应用题（2小题，共16分） 五.证明题（2小题，共14分）下面分章复习所学知识第五章 定积分的应用定积分在几何上的应用：求平面图形的面积（1） 直角坐标情形：由平面曲线(),()[()()]y f x y g x f x g x ==≥,()x a x b a b ==<所围图形的面积为[()()].baA f x g x dx =-⎰（2）极坐标情形：由曲线()r r θ=及射线,()θαθβαβ==<所围成的曲边扇形的面积为21().2A r d βαθθ=⎰例 （填空题）由曲线x y 1=及直线0,2,===y x x y 围成的平面图形的面积 .第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 的距离公式222121212()()()d x x y y z z =-+-+- 2.非零向量 {}123,,a a a a =的方向余弦公式 312222222222123123123cos ,cos ,cos a a a a a aa a aa a aαβγ===++++++3.向量的运算设 {}{}123123,,,,,a a a a b b b b ==，则112233123123,ijka b a b a b a b a b a aab b b ⋅=++⨯= 两非零向量垂直、平行的充要条件11223331212300//0a b a b a b a b a b a a a a b a b a b b b b λ⊥⇔⋅=⇔++=⇔=⇔⨯=⇔==4.向量{}123,,a a a a =在非零向量{}123,,b b b b =上的投影 112233222123Pr cos ,b b a b a b a ba b a j a a a b bb b b ++⋅∏==<>==++（二）平面与直线 1.平面方程（1）一般式：0;Ax By Cz D +++=（2）点法式：000()()()0;A x x B y y C z z -+-+-=（3）截距式：1;x y za b c++=（4）三点式：1112121213131310.x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 2.直线方程（1）对称式（点向式、标准式）：000;x x y y z z m n p---== （2）一般式：111122220;0A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩（3）参数式：000,;x x mt y y nt t z z pt=+⎧⎪=+-∞<<+∞⎨⎪=+⎩（4）两点式：111212121.x x y y z z x x y y z z ---==--- 3.平面()∏与直线()l 平行、垂直的充要条件及夹角（1）1212121211112222()()0()//()A A B B C C A B C A B C ∏⊥∏⇔++=∏∏⇔==;(2)12121212111122220//l l m m n n p p m n pl l m n p ⊥⇔++=⇔==；（3）1111111111111111()()//0m n p l A B C l m A n B p C ∏⊥⇔==∏⇔++=；（4）1()∏与2()∏的夹角： 121212222222111222c o s A A B B C C A B C A BC ϕ++=++⋅++(5)1l 与2l 的夹角： 121212222222111222c o s m m n n p p m n p m np ϕ++=++⋅++（6）1()∏与1l 的夹角：111111222222111111s i n m A n B p C m n p A BC ϕ++=++⋅++4.距离设点0000(,,)M x y z ，平面():0Ax By Cz D ∏+++=直线111:x x y y z z l m n p---==（1）点到平面的距离公式：000222;Ax By Cz Dd A B C+++=++(2) 点到直线的距离公式：01M M ld l⨯=，其中 {}01101010,,M M x x y y z z =---，{}1,,,l m n p M =是直线上任一点． （三）曲面与空间曲线记住一些常见的曲面的方程 （1）旋转曲面园锥面：22z x y =+，旋转抛物面：22z x y =+，旋转椭球面：22222 1.x y z a c++= （2）柱面圆柱面：222,x y R +=椭圆柱面：22221x y a b+=，抛物柱面：220x py -=，双曲柱面：2222 1.x y a b-=（3）二次曲面球面：2222()()();x a y b z c R -+-+-=椭球面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c++=>；椭球抛物面：22,(,22x y z p q p g +=同号）； 双曲抛物面：22,(,2x y z p q p q-+=同号）； 单叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c +-=>；双叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c+-=->．本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题．例1.设三角形ABC ，已知2,2,BA i j BC i j k D =+=++为BC 的中点，则BC 上 的中线长AD =10/2例2. 1.两向量a 与b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=.2.向量13(2),(1)a i j b i j k λλλ=-++=-+-平行，则λ= 1 .3.求同时垂直于向量{}{}2,3,1,1,2,0a b =-=-的单位向量是 0c ±.解 {}2312,1,1120i j kc a b =⨯=-=--，单位化 {}02222,1,1211,,66621(1)c c c --⎧⎫===⎨⎬⎩⎭++-. 例3.（选择题）过点(2,3,5)且平行于平面53210x y z -++的平面是（ C ）.53211A x y z ++-=.53211B x y z -++= .53211C xy z -+-=.53211D x y z +++= 例4.（选择题）在空间直角坐标系下，方程350x y +=的图形是（ D ）.A 过原点的一条直线； .B 斜率为35-的一条直线；.C 垂直于z 轴的一平面； .D 过z 轴的一平面.例5.（选择题）方程231x y +=在空间表示的图形是（ B ） .A 平行于XOY 坐标面的平面； .B 平行于z 轴的平面； .C 过oz 轴的平面； .D 直线． 例6.（选择题）方程22x y =在空间表示的是（ B ） .A 抛物线； .B 抛物柱面； .C 母线平行于x 轴的柱面； .D 旋转抛物面. 例7. (选择题) 下列平面方程中（ C ）过y 轴：.A 1x y z ++=； .B 0x y z ++=； .C 0x z +=； .D 1.x z +=例8. 曲线 2221z x y z ⎧=+⎨=⎩在XOY 平面上的投影方程为：22210x y z ⎧+=⎨=⎩第七章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为(,)z f x y =的两要素，其定义域为平面上的点集．例9 (填空题)二元函数ln 1xyz y=+的定义域是0,0(,)0,10x y D x y x y ⎧⎫>>⎪⎪=⎨⎬<-<<⎪⎪⎩⎭或 二元函数221ln(1)x y z x y --=--的定义域为{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+<2.极限：函数(,)z f x y =的极限为A ，是指点(,)x y 以任何方式沿某路径趋于点00(,)x y 时，(,)f x y A →，记为00lim (,)x x y y f x y A →→=例10. 证明：极限2222200lim ()x y x y x y x y →→--不存在．证明 如果动点(,)P x y 沿y x =趋于点(0,0)时，则2242224000lim lim 1;()x x y x y x x y x y x →→→==-- 如果动点(,)P x y 沿2y x =趋于点(0,0)时，则2242224200024lim lim 0()4x x y y xx y x x y x y x x →→→===--+ 因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 连续，必须同时满足三个条件，缺一不可：（1）在00(,)U x y 内有定义；（2）0lim (,)x x y y f x y →→存在；（3）0000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=.否则间断．例11.（选择题）设221xy z x y=--，下面结论正确的是（ D ）.A 在XOY 平面上连续； .B 在XOY 平面上不连续；.C 在XOY 平面上只有(1,0),(0,1)为间断点；.D 在XOY 平面上，只有在区域221x y +<内，函数连续.例12． (选择题) 函数22222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）.A 连续； .B 有极限但不连续； .C 极限不存在； .D 无定义.（二）偏导数1.定义与计算偏导数,z zx y∂∂∂∂是整体记号，不具有商的意义，求z x ∂∂时，把(,)z f x y =中的y固定 （看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出．记住：偏导函数z x ∂∂与一点的偏导数000(,)x x x y y z f x y x==∂'=∂记号不同，及它们之间的关系例13.（填空题）设22(,)f x y x y x y =+-+，则(3,4)x f '=252.高阶偏导数（以二阶为主）：22(,)();xx z z f x y x x x ∂∂∂''==∂∂∂ 22(,)();yy z zf x y y y y∂∂∂''==∂∂∂ 2(,)();xy z z f x y x y y x ∂∂∂''==∂∂∂∂ 2(,)().yx z zf x y y x x y ∂∂∂''==∂∂∂∂（注意：二阶混合偏导数在定义域D 内连续时，相等）（三）全微分1.定义与计算：若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的全改变量（全增量）可表为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中,A B 不依赖于,x y ∆∆，仅与00(,)x y 有关， 22()()x y ρ=∆+∆，则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作 .z z dz A x B y dx dy x y∂∂=∆+∆=+∂∂ 例14.（选择题）函数(,)z z x y =由方程ln()0z xy +=所确定，则dz =（ A ）.;dx dy A x y -- .;dx dy B x y+ .;dx dy C z x + ..dx dy D xy xy+ 例15. 函数22ln()u x y z =++在点(1,0,1)处的全微分为： . 例16. 求22x y z e +=的全微分及二阶偏导数.解22222,2x y x y zz xe ye x y++∂∂==∂∂ 222222;x y x y d z x e d xy ed y++∴=+ 2222222222(12),4x y x y z z z ex x y e x x y y x++∂∂∂=+==∂∂∂∂∂22222,2(12).x y z e y y +∂=+∂2.二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系．偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩⇒⇒可导极限存在，反之不一定成立.例17.（选择题）二元函数22z x y =+在点(0,0)处（ C ）.A 不连续，两个偏导数不存在； .B 不连续，两个偏导数存在； .C 连续，两个偏导数不存在；.D 连续，两个偏导数存在．例18.（填空题）(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)z f x y =可微的充分条件.例19. 证明题：证明函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)点处两个偏导数存在，但不连续.（用定义求偏导数，取两条路径如极限不一则不连续）3.方向导数与梯度（不做考试要求）（1）方向导数—函数在特定方向（指定方向）上的变化率：cos cos cos f f f fxy z l αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂，其中,,αβγ为射线l 与,,x y z 轴正向夹角（2）梯度—不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 处的梯度为：(,,).f f f gradf x y z i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ 例20.（填空题）函数22u xy z xyz =+-在点(1,1,2)处沿方向{}1,2,1l =的方向导数是 .（四）多元复合函数的导数1.锁链法则—先画出链式图，写出公式，然后计算.(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，则有锁链公式：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 2.几种推广情形（1）若(,,)z f u v w =，而(,),(,),(,)u x y v x y w x y ϕψω===，则有锁链公式：z z u z v z w x u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂z z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ （2）若(,,),z f u x y =而(,)u u x y =，则有锁链公式： z f f u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂z f f u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂注意：这里z x ∂∂与f x ∂∂不同，zx∂∂是把复合后的函数，将y 看作常数，对x 求偏导；而fx∂∂是把复合前的函数，将,u y 看作常数对x 求偏导． （3）设(,,,)u f x y z t =，而(),(),()x x t y y t z z t ===，则复合函数只有一个自变量， t 求导dzdt ，称为全导数.d z u d x u d y u d z u d td t x d t y d x t d t t d t∂∂∂∂=+++∂∂∂∂何时用锁链法则：①函数关系不具体； ②中间变量多于一个.例21.（选择题）设22(,)()()f x y x y x y x y x y +-=-=+-，则()()f x y f x yxy∂⋅∂⋅+=∂∂（ C ）..22A x y - .22B x y+.;C x y + ..D x y --例22.22sin()1,yz x e xy =++求 2,.z zx x y∂∂∂∂∂例23.设arctan()z u x y =-，求,,.u u u x y z∂∂∂∂∂∂ 解 由锁链法则121();1()z z u z x y x x y -∂=⋅-∂+- 121();1()z zu z x y y x y -∂-=⋅-∂+-21()l n .1()z z u x y x y z x y ∂=-⋅-∂+- 例24.设二元函数(,)xz xy f xy y=+，其中f 是二阶可微函数，求,,.x y yy z z z ''''解 设1,2xxy u v y====，则 121;x z y yf f y'=++122;y xz x xf f y '=+- 11122212223222()()yy x x x x z x f x f f f x f y y y y ⎡⎤⎡⎤''=+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222111222224322.x x xx f f f f y y y=-++例25.设(5,)u f x y xyz =+，求22.ux∂∂解 12x u f yzf '=+； 2211122122.xx u f yzf yzf y z f ''=+++ （五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1. 方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则）， 解出所求的偏导数（是,x y 的函数）.2.公式法：x z F z x F '∂=-'∂， .y z F zy F '∂=-'∂ 3.微分法：利用一阶全微分形式的＂不变性＂，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数．例26.（填空题）由方程2221x xyz z ++=确定(,)z z x y =，则z x ∂=∂124xy z-+. 例27.设ln ,x z z y =求,.z z x y∂∂∂∂ 解 由隐函数微分法 设 (,,)ln ln ln x z xF x y z z y z y z=-=-+ 因为 22111,,x y z x x zF F F z y z z z+'''===--=-所以 21x z F z z z x z x F x z z -'∂=-==+'∂+- 221.()y z F z z y x z y F y x z z -'∂=-==+'∂+-例28. 设(,)z z x y =是由方程2224x x y e z z ++=所确定的隐函数，求.dz例29.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明：1x z x y∂∂+=∂∂ 证明设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+，则 2c o s (23)x F x y z '=+--,2c o s (23)2y F x y z '=+-⋅-2x F '= 2c o s (23)(3)3z x F x y z F ''=+--+=-133x x z x F F z x F F ''∂=-=-=''∂-, 2233y x z x F F zy F F ''∂=-=-=''∂-故12 1.33y x z z F F z zx y F F ''∂∂+=--=+=''∂∂ （六）微分法在几何上的应用（不做考试要求）1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程 (),(),()x t y t z t ϕψω===，则Γ在点000(,,)x y z 处的切线方程为：000000()()()x x y y z zt t t ϕψω---==''' 法平面方程为： 000()()()()()()0t x x t y y t z zϕψω'''-+-+-= 2.空间曲线的切平面与法线隐函数的曲面方程：(,,)0F x y z =， 显函数的曲面方程：(,)z f x y =，（七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材.264P 定理1（极值发生在可疑点，即驻点或偏导数不存在的点上.2.极值的充分条件：设00(,)x y 为为函数(,)z f x y =的驻点，000022222,,x x x x x xy y y y y yzz zA B C xx yy ======∂∂∂===∂∂∂∂,则下结论（1）20,0B AC A -<>有极小值，0A <有极大值； （2）20B AC ->，无极值；（3）20B AC -=,不定，另作讨论.例30.（选择题）下列说法中，正确的是（ ）.A 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''==.B 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .C 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .D 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 的偏导数不存在，则必不存在极值. 例31求函数224(23)z x y =-+的极值.解 804(23)0x y z x z y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩，得驻点3(0,)2-又22333(0,)(0,)(0,)222()xyxxyyB AC z z z ----=-⋅08(8)640-⋅-=>，故函数在3(0,)2-处无极值.3.用Lagrange 乘子法求条件极值的应用题解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题； （2）作辅助函数(,,,)F x y z λ＝原函数+λ乘条件函数； （3）将辅助函数对,,,x y z λ分别求偏导数，得方程组； （4）解方程组，得唯一驻点（5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点，并求出最值．例32 应用题：造一个容积为V 的长方体盒子，如何设计，才能使所用材料最少？解 设盒长为x ，宽为y 则高为V xy ，故表面积为：2()V V S xy x y=++， 于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，222(02()0SV y x x S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得唯一驻点33(,)V V ，根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点， 答：当盒子的长宽高都是3V ，即正方体时，所用材料最少.例33. 应用题：利用Lagrange 乘子法求椭圆抛物面222z x y =+到平面232x y z +-=的最短距离.第八章 重 积 分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限； 三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量； 三重积分表示空间物体的质量（无几何意义）． 3.性质与定积分类似性质3：如果在定义域D 上，函数(,)1f x y =，σ为D 的面积，则 1DDd d σσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰（二）二重积分的计算1.直角坐标系下二重积分的计算步骤：面积元素 d dxdy σ= ①先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图； ②如是x -形积分域，将其化为先对y 后对x 的积分次序积出来 y -形积分域，将其化为先对x 后对y 的积分次序积出来. 注 利用“穿口法”的定限口诀是： 后积先定限，限内画条线； 先交下限写，后交上限见.2.极坐标系下二重积分的计算①何时采用极坐标：（ⅰ）积分域是园形或环形；（ⅱ）被积函数包含22x y +.②记住极坐标变换：cos x r θ= 面积元素：d rdrd σθ=， s i n y r θ=然后将积分化为先对r ，后对θ的次序积出来； ③积分限如下定：（ⅰ）若极点O 在域D 内，则2()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr πθσθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅱ）若极点O 在域D 的边界上，则()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr βθασθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅲ）若极点O 在域D 的外部，则21()()(,)(cos ,sin ).r r Df x y d d f r r rdr βθαθσθθθ=⎰⎰⎰⎰例34.（选择题）设(,)f x y 是连续函数，交换二重积分112203ydy x y dx -⎰⎰的的积分次序后的结果为（ C ） 11220.3;xA dx x y dy -⎰⎰11220.3;y B dx x y dy -⎰⎰21122.3;x C dx x y dy -⎰⎰ 211220.3.x D dx x y dy +⎰⎰例35.交换积分次序：22121(1)01(,)(,)x x odx f x y dy dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰.例36.(选择题)设域22:1D x y +≤，且0,0x y ≥≥，则2Dxy dxdy =⎰⎰（ B ）112.;A dx xy dy ⎰⎰ 211200.;x B dx xy dy -⎰⎰2112.;y C dx xy dy -⎰⎰221120..y x D dx xy dy --⎰⎰例37.计算二重积分Ⅰ＝22y Dx e dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线,1y x y ==及y轴所围的平面区域．解 画出积分区域草图，这是y -型积分域，故选取先对x 后对y 的积分次序，得Ⅰ＝221220yy y Dx edxdy edy x dx --=⎰⎰⎰⎰＝221113000111()366y t y t t y e dy te dt td e =---==-⎰⎰⎰令110112(1).66t t tee dt e--⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰分部法例38.求二重积分 cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形区域.例39.计算Dydxdy ⎰⎰，其中D 由2,2y x y x x ==-围成．解 将22y x x =-改写为：11x y =+±-，则 {}(,)11,01D x y y x y y =--≤≤≤≤，所以原式＝11110(11)yyydy dx y y y dy --⋅=-+-⎰⎰⎰＝101514y ydy -+⋅-⎰ ＝2sin 2220442(1sin )sin .15815y tt tdt ππ==-+-=-⎰令例40.计算222DR x y d σ--⎰⎰，其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的闭区域 解 根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算c o s22222202R DR x y d d R r rdrπθσθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰＝33332024(sin )().333R R R d πθθπ--=-⎰例41.求二重积分22()xy De dxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,.D x y x y a ≥≥+≤解 选用极坐标计算22222()221()(1).224aax yrraDedxdy d erdr e d r e πππθ-+----=⋅=⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰例42.应用题：求在XOY 平面上由2y x =与24y x x =-所围成区域的面积.例43.D 是由曲线24()y x y =+以及4x y +=所围成的图形，试求D 的面积.（以上两题，利用二重积分的几何意义，取被积函数(,)1f x y ≡，计算二重积分即得所谓区域的面积）例44.（填空题）设空间一光滑曲面S ：(,),z f x y D =是S 在坐标面XOY 上的投影，则D 的面积＝1Dd σ⋅⎰⎰例45.利用极坐标计算二重积分22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰，其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥ 解 由于极点在D 的边界上，故原式＝1222ln(1)ln(1)Dr r drd d r r dr πθθ⋅+=+⎰⎰⎰⎰＝12201ln(1)(1)22r d r π⋅++⎰=分部法122100(1)l n (1)2(2l n 21).44r r rdr ππ⎡⎤++-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 解 2244444464(4).43yy Dy S dxdy dy dx dy ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰（三）三重积分的计算（只做简单的计算）1.直角坐标系下的计算 体积元素：dv dxdydz =1212(,)(,):()()z x y z z x y y x y y x a x b ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，（这是上下张着的曲面，x -型的投影域）则2211()(,)()(,)(,,)(,,);by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.柱坐标系（＝极坐标z +轴）下的计算体积元素：dv rdrd dz θ=1212(,)(,):()()z r z z r r r r θθθθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外部)则2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin );r z r r z r f x y z dv d rdr f r r dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.球坐标系下的计算体积元素：2sin dv r drd d ϕϕθ=s i n c o s i n s i n c o s x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1212(,)(,):()()r r r ϕθϕθϕθϕϕθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2211()(,)2()(,)(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r f x y z dv d d f r r r r dr βϕθϕθαϕθϕθθϕϕθϕθθϕΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰例46.在柱坐标中，a θ=（常数）表示的曲面是：z 过轴的半平面. 例47.(填空题)设一立体由上半球面224z x y =--及锥面223()z x y =+所围成，则其在XOY 平面上的投影为：21y x y +≤.例48.（选择题）Ⅰ＝22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22z x y =+，平面(0)z a a =>所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（ D ）2.;a arA d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 2220.;a arB d rdr r dz πθ⎰⎰⎰20.;a a C d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 220..a arD d rdr r dz πθ⎰⎰⎰例49（选择题）设区域{}222(,,)(1)1x y z x y z Ω=++-≤，且()f t 是连续函数，则222()f x y z dv Ω++=⎰⎰⎰（ A ） 22c o s220.()sin A d d f r r dr ππϕθϕϕ⎰⎰⎰；22c o s220.(2cos 1)sin B d d f r r r dr ππϕθϕϕϕ++⎰⎰⎰； 22c o s 200.(2c o s)s i n C d d f r r d rππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰； 22c o s 220.(2c o s )s i n .D d d f r r d r ππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰例50. 求曲面22y x z +=与22y x z +=所围成立体的体积体积. 解 在柱坐标系下，将被积函数(,,)1f x y z ≡，则所围立体的体积为：2211.6rr V dv rdrd dz d rdr dz ππθθΩΩ=⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第九章 曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求） （一）曲线积分1.第Ⅰ型曲线积分（对弧长的积分）2.第Ⅱ型曲线积分（对坐标的积分）3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线L 由它的的参数方程：(),()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩给出(特例) ,()x xa xb y y x =⎧≤≤⎨=⎩)，则[]22(,)(),()()(),();Lf x y ds f t t t t dt εαϕψϕψαβ''=+<⎰⎰（2）若弧AB 由()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩给出，起点A 对应t α=，终点B 对应,t β=则[][]{}(),()()(),()()ABPdx Qdy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰. 5.Green （格林）公式：()DLQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 应用：,P y Q x =-=，得D 得面积 12A xdy ydx =-⎰.6.平面曲线积分与路径无关的条件 （1）0;Pdx Qdy +=⎰（2）设G 是单连通域，,P Q 在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分LPdx Qdy +⎰在G 内与路径无关的充分必要条件是：P Q y x∂∂=∂∂在G 内恒成立. 例51.（选择题）设AB 为由点A (0,)π到点(,0)B π的直线段，则si n s i n ABydx xdy +=⎰（ C ）.2;A .1;B - .0;C .1.D例52.计算曲线积分22()()Lx y dx x y dyx y -+++⎰，其中L 是沿着园： 22(1)(1)1x y -+-=从点(2,1)到点(0,1)的上半圆弧. 解 2222(,),(,)x y x yP x y Q x y x y x y-+==++ 因为 222222,(0,0)()P y xy x Qx y y x y x∂--∂==≠≠∂+∂ 所以，在不含原点的任何闭曲线L 上0L=⎰，即在不含原点的任一闭区域内积分与路径无关.故选择路径为线段:,1,02,AB x x y x ==≤≤，在AB 上有：1,0y d y ==，故 原式＝02222()()11ABx y dx x y dyx dx x y x -++-=++⎰⎰ ＝22222011ln(1)arctan 12x dx x x x -+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰ln 5arctan 2.2=-例53.计算曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是园的渐开线：(c o s s i n ),02.(s i n c o s )x at t t t y at t t π=+⎧≤≤⎨=-⎩ 解 [][]222222(cos sin )(sin )(1)x y a t t t a t t a t +=++-=+(s i n s i n c o s 0x at t tt a tt'=-++= (cos cos sin )sin y a t t t t at t '=-+= 22ds x y dt atdt ''=+=原式＝2222330(1)()a t atdt a t t dt ππ+=+⎰⎰＝24322320()2(12).24t t a a πππ+=+例54.（填空题）L 为园：224x y +=，计算弧长的曲线积分22Lx y ds +=⎰8π例55. 计算 222(sin ).Lx yx dx xy dy -+⎰L 为正向圆周：22 1.x y +=（应用Green 公式化为二重积分计算）第十章 无 穷 级 数（一）数项级数敛散性的判别 一.级数的概念12121,nn nnn uu u u Su uu∞==++++=+++∑ 若lim n n S S →∞=，则称级数收敛到和S级数收敛的必要条件：1n n u ∞=∑收敛，则lim 0.n n u →∞=二.逆否命题：若lim 0,n n u →∞≠则级数1n n u ∞=∑发散．三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理； （1）绝对收敛定理1nn u∞=∑与1n n u ∞=∑有如下关系：1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑也收敛；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑必定发散.（2）比值判别法23.交错级数的Leibniz （莱布尼兹）判别法；4.从定义、性质判别.四.两个重要的参照级数：1.等比（几何）级数1211n n n aqa aq aq aq ∞--==+++++∑当1q <时，级数收敛；当1q ≥时，级数发散. 2.p 级数11111123pp p pn nn ∞==+++++∑当1p >时，级数收敛；当1p ≤时，级数发散；特例：1p =时，11n n∞=∑称为调和级数，发散.五.判别级数收敛的一般步骤： 1.先看通项n u 是否趋于零？若lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散；若lim 0n n u →=，则需进一步判断.2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限lim n n S →∞是否存在？例56.（选择题）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（ D ）收敛1.;n n A u ∞=∑ 21.;n n B u ∞=∑1.();n n C u c ∞=+∑ 1..n n D c u ∞=⋅∑例57.若级数1nn u∞=∑收敛，则级数1(100)nn u∞=+∑收敛还是发散？ .例58.判定级数12sin3n nn π∞=∑的收敛性解 这是正项级数法一.用比较判别法 因 22sin()33n nn n u ππ=≤⋅，而12()3n n π∞=∑是公比213q =<的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数收敛.法二.用比值判别法 因111112si n3l i m l i m 2si n 3223l i m 1.323n n n n n n n n n n n n nu u ππππ+++→∞→∞++→∞=⋅==<⋅无穷小替换，由比值判别法，知原级数收敛. 例59判断级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑的收敛性.解 因 111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++(1,2,)n =1l i m 0l n (1)n n →∞=+ ，故由leibniz 判别法，知原交错级数收敛.例60（填空题 ）极限2!lim n n n n n→∞的值为0解 以2!n n n n u n=为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例61证明：若0,lim 0n n n u nu a →∞>=≠，则级数1n n u ∞=∑发散.证明 因为 lim lim01nn n n u n u a n→∞→∞⋅==≠，由0n u >，根据正项级数比值判别法的极限形式，由于11n n ∞=∑为调和级数，发散，所以级数1n n u ∞=∑也发散.（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间 1. 用比值判别法2 1()lim()n n n u x u x +→∞=（一般与x 有关），再讨论，求出收敛半径.2. 1l i m n n n aa ρ→∞+=， 则收敛半径为：1R ρ=3.对端点单独讨论后，确定收敛区间. 例62.求幂级数221212n nn n x ∞-=-∑的收敛域. 解 这是缺少奇数次项的幂级数，由比值判别法2，1()lim ()n n nu x u x +→∞=2221221)12(22)12(lim x x n x n n n n n n =-⋅+-+∞→ ⇒ 当2211,2,22x x x <<<时，原级数收敛，收敛半径2R =讨论端点的情况：当2±=x 时，原级数为∑∞=-1212n n 发散，故收敛域)2,2(-例63.将函数21()52x f x x x -=-+展为1x -的幂级数.例64.求幂级数2ln (1)nnn n x n∞=-∑的收敛域；当1x =时，是绝对收敛， 还是条件收敛？并给出证明.（三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为(0)R >，则在(,)R R -内，和函数具有下列性质：（1）和函数是连续的；（2）()S x 逐项可导，且10()()nn n n n n S x a x na x ∞∞-==''==∑∑；（3）()S x 逐项可积，且10()1xx xnnn n n n n n n a S t dt a t dt a t dt x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰. 注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同．例65.求幂级数41141n n x n +∞=+∑的和函数.解 设和函数411()41n n x S x n +∞==+∑，易得收敛区间为(1,1)-，利用逐项微分和积分，414442411()()()()41n n n n n x S x x x x x n +∞∞==''===+++++∑∑这是41q x =<的等比级数，由因(0)0S =，故 44440001(1)()()11xxx x x S x S x dx dx dx x x--'===--⎰⎰⎰ ＝4220011111(1)(1)12121x x dx dx x x x-=-+⋅+⋅-+-⎰⎰ ＝111arctan ln .241xx x x+-+- (11)x -<< 例66. 求幂级数21121n n x n +∞=+∑的收敛区间，并求其和函数.（四）傅立叶级数(不做考试要求)第十一章 微 分 方 程（一）一阶微分方程的求解1.可分离变量的方程：()()dyf xg y dx=的解法 分离变量后，两边同时积分得通解；2.齐次方程：()dy yF dx x =的解法： 令 y u x =，则()duxu F u dx+=，分离变量并积分，得通解； 3.一阶线性非齐次方程：()()dyp x y q x dx+=的解法解法-常数变易法通解公式为：()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ 注：解方程一般直接用常数变易法，当然，也可代通解公式，但公式复杂，且计算和化简时较繁，易出错．（二）二阶线性微分方程的通解结构1.齐次方程：()()0y p x y q x '''++=的通解：是两个线性无关特解12(),()y x y x 的线性组合，即1122()()y c y x c y x =+；2.非齐次方程：()()()y p x y q x y f x '''++=的通解 非齐通（y ）＝齐通（y ）+非齐特（y *）（三）二阶常系数线性齐次方程：0y py q '''++=通解的特征根解法； 二阶常系数线性非齐次方程的两种特殊右端特解的解法. 例67.（单选题）下列微分方程中，通解为212(cos sin )x y e c x c x =+的方程是（ B ）.450A y y y '''--= .450B y y y '''-+= .250C y y y '''-+= 2.45.x D y y y e '''++=解 B .的特征方程为：2450λλ-+= 4162042222i i λ±-±===±， 2,1αβ== 故通解为： 212(cos sin )x y e c x c x =+.例68.求微分方程0340,,5x x y y y yy ==''''--==-的特解.例69.（填空题）微分方程ln 0xy y y '-=的通解为cx y e =. 这是可分离变量的方程 ln dyx y y dx= 分离变量ln dy dxy y x = 两边积分(l n )ln d y dx y x =⎰⎰得 1l n l n l nl ny x c =+ 111ln ,ln ,.c x cx y c x y c x y e e ±==±== 例70. 求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解。
高数下册各章总复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。
（2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件；)y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存的充 分条件。
（3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条件。
（4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的充 分条件。
8.02求函数()()222yx 1ln y x 4y ,x f ---=的定义域，并求()y ,x f lim 0y 21x →→。
解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x4y 1y x 01y x 10y x 10y x 422222222，定义域：(){}x 4y ,1y x 0y ,x D 222≤<+<=2)由初等函数的连续性知：43ln 20211ln 0214)0,21(f )y ,x (f lim 2220y 21x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯==→→+8.03 证明极限422y 0x y x xy lim+→→不存在。
证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有222220x 4220x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的，故：极限422y 0x y x xy lim+→→+不存在。
高数下复习
′ 例1. 已知 z = ln(cos(x- 2y)), 求z′ , z′yx x 1 解： z′ = (− sin(x − 2 y)) = −tg ( x − 2 y) x cos(x − 2 y) 1 z′y = (− sin(x − 2 y))(−2) = 2tg ( x − 2 y) cos(x − 2 y) ′yx = (2tg ( x − 2 y))′x = 2 sec2 ( x − 2 y) z′
3.利用极坐标计算二重积分
.例 3. 计算I = sin x2 + y2 dσ , D: π 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4π 2 ∫∫
D
x = r cD π ≤ r ≤ 2π y = r sinθ I = ∫ dθ ∫ sinr ⋅ rdr = −2π ∫ rd cosr
0 ≤ y ≤ 1 ∴ D: ， y ≤ x ≤ 2 − y 原式 = ∫ dy ∫
0 1 2− y y
f（x，y）dx
2.利用直角坐标计算二重积分
. 例2.
( x 2 + y 2 )dσ ∫∫
D
D由y = x，y = x + a， = a和y = 3a (a > 0)围成 y
a ≤ y ≤ 3a 解： D ： y − a ≤ x ≤ y 原式 =
4.全微分的求法 全微分的求法
1 (1)直接法：直接利用微分法则求出全微分。
2 (2)公式法：先求出偏导数，然后利用公式： = z ′ dx + z ′ dy dz x y 写出全微分。
例4. 已知cos2 x + cos2 y + cos2 z = 1, 求dz. 解法一： d(cos x + cos y + cos z) = d1
高数下知识点复习
高数下知识点复习一、导数与微分1.导数的定义导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义为：$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$$2.导数的性质导数具有如下的性质：(1) 导函数存在的充要条件是函数在该点可导。
(2) 导函数的值表示函数的斜率。
(3) 导函数具有线性性质，即对于常数a和b，有$(af(x)+bg(x))'=af'(x)+bg'(x)$。
(4) 导函数的导数为二阶导数，记作$f''(x)$。
3.微分的定义与性质微分是导数的一种几何解释，表示函数在某一点附近的变化量。
微分的定义为：$$df(x) = f'(x)dx$$微分满足的性质包括：(1) $\Delta f = f(x+\Delta x)-f(x) \approx df$(2) 微分的四则运算：若函数f(x)和g(x)可导，则$$d(f\pm g) = df \pm dg$$$$d(f \cdot g) = g(df) + f(dg)$$$$d\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g(df) - f(dg)}{g^2}$$二、极限与连续1.数列极限数列极限是描述数列趋向某一值的概念。
数列的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正整数N，使得当$n>N$时，有$|a_n-L|<\varepsilon$。
2.函数极限函数极限是描述函数趋向某一值的概念。
函数的极限定义为：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-L|<\varepsilon$。
3.极限的性质极限具有如下的性质：(1) 唯一性：如果极限存在，则极限是唯一的。
高数(下)复习
总复习 10.6CH6 微分方程1. 基本概念 P330-331(波浪线划出)2. 可分离变量微分方程：先分离变量，再两边积分 P335(3) (4)3. 一阶线性微分方程：标准型 P344(1), 公式法解题步骤：1）写成标准型；2）计算⎰dx x P )(；3）计算⎰⎰dx x Q e dx x P )()(； 4）写出通解：[]⎰+=⎰⎰-C dx x Q e e y dx x P dx x P )()()(4. 二阶常系数线性微分方程： 1）齐 次：标准型：P359（1）；解的性质：定理，P359；通解的结构和求解步骤：P363 表；例题：1. 若y (x )是常系数齐次线性方程y "+ay '+by =0的解，则k y (x ) ( 或3 y (x )、7 y (x ) ) 也是其解.2. 设微分方程 y "+ay '+by =0有两个线性无关的特解y 1(x )与y 2(x )，则其通解为_______________.3. 求下列方程的通解：（1）y" -2 y' -3 y = 0；（2）y" -6 y' +9 y = 0 ；（3）y" -4 y' +5 y = 0 ；（4）y" -2 y' +5 y = 04. 求解下列微分方程的通解或特解：（1）x y d x + (x 2+1) d y = 0，y (0) =2 .（2）.52,)1(12d d 027=+=+-=x y x x y x y （3） P350，1（3），2（1） （4）sin y x x ''=+CH7 向量代数1. 空间直角坐标系 P82. 向量的坐标表示（向径终点M 的坐标），向量的运算 P113. 向量的模、两点间的距离 P134. 向量的数量积、向量积（定义+坐标表示式） P24 、P28 两向量垂直、平行的充要条件 P22 、P275. 平面的点法式方程（点+法向量）、一般式方程 P35（3）、P37（4）6. 两平面的夹角（两平面垂直、平行的充要条件） P39（6）、P397. 空间直线的一般式方程、点向式方程（点+方向向量）、参数方程 P43（1）、P44（2）、（3） 8. 两直线的夹角（两直线垂直、平行的充要条件） P46（5）、P46 9. 直线与平面的夹角 P47（6）10. 旋转曲面与二次曲面 P54（2）（3）、P56-60例题：1. 在空间直角坐标系中，点A (2, - 3, 4)关于坐标面xOz 、坐标轴O x 、原点的对称点分别为2. 设向量a =i -3 j + k , b = i + 3k , c = i - 3 j , 计算 ( a +b ) ⨯ (c + b ).3. 求直线22213--=-=z y x 与直线21123-=-=--z y x 的夹角 4. 求平面2 x - y + 6 = 0与直线z y x 126133=-=-的夹角为（ ）. 5. 在空间直角坐标系中，求向量 (1, 2 ,3 ) 与x 轴的夹角.6. 若向量（2 , 0 , 3）与（a ，2，1）垂直， 与（6 , 0 , b ）平行，则常数a = ， b = .7. 求过点(2,3,4)且平行于二平面x + y + z + 2=0 和 2 x - y +3 z +5= 0的直线方程.8. 求过点(3,2,1)且垂直于二平面 x - y +3 = 0和 2 y - z = 3的平面方程.9. 指出曲 面z =221y x +-的几何图形10. 求yoz 面上曲线z= y 2 绕z 轴旋转生成的曲面.11. 将xoz 面上的椭圆2221x z +=绕x 轴旋转一周所形成的曲面方程。
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
【精品】07高等数学(下)期末复习题.doc
高等数学A C二丿期耒夏习題一.填空题1、 __________________________________________________________________________________ 设A = 2a + 3b,B = 3a-b, \a\ = 2,问= 4,(©%)=专，则A与直的夹角为____________________________ 。
2、过点(-1,4,3)H与直线兀-3 = * = 三平行的直线方程为________________________________ o3、方程兀2_4丁2+宓2=/儿当。
=0, b = 2；。
= 一4, & = -2；。
=0, b = 0时依次表示的曲面是__________________ ，________________ ， __________________ O4、 ____________________________________________________ 设 /(%, y) = x + (y - l)arcsin ，则/Y(x,l)= , f y(0,1)=___________________________________________ 。
5、 _________________________________________________________________ 设u = x2 -xy + y2,花(1,1)，I = (cos a, sin a),则%心= ____________________________________________ ，在 __________ 方向上，方向导数最大；在_____________ 方向上，方向导数有最小值；在______________ 方向上，方向导数为()；grad M(/^)= _______________________ o6、 ____________________________________________________ 设x2 sin y-Jy\nz = 3,则乎= _ ,李=。
高数下期末考试复习题及答案
z = x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ h) 的下侧。
解：补平面 Σ1 : z = h 的上侧，则 ∫∫ ( y 2 − z )dydz + ( z 2 − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy
∑
=
∫∫ ( y
Σ + Σ1
2
− z )dydz + ( z − x)dzdx + ( x 2 − y )dxdy − ∫∫ ( x 2 − y )dxdy
a0 =
5分
f ( x) =
Hale Waihona Puke h 2 ∞ sin nh + ∑ cos nx, x ∈ [0, h) ∪ (h, π ) π π n =1 n h 2 ∞ sin nh 1 + ∑ cos nx 收敛于 。 π π n =1 n 2
8分
当 x = h 时，级数
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x+
7分
计算 ∫∫ ( y 2 + 3 x − 6 y + 9)dσ ，其中 D 是闭区域: x 2 + y 2 ≤ R 2 。
D
解：利用对称性，并设 x = r cosθ , y = r sin θ ，则
∫∫ ( y
D
2
+ 3 x − 6 y + 9)dσ = ∫∫ ( y 2 + 9)dσ =
D
C
0
4分
π
0
π
0
= 18 13 ∫ 2 (t sin t cos t )dt = 18 13 ∫ 2
t sin 2tdt 2
6分
t 1 = 18 13[− cos 2t + sin 2t ] 4 8
高数下册总复习知识点.pptx
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
(取 x为参数)
i jk
取T Fx Fy Fz
切线方程为
Gx Gy Gz M
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz M Gz Gx M Gx Gy M
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
M
(x
x0 )
它们距离为
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
2、数量积 (点积、内积)
a
b
|
a
||
b
|
cos
其中
为a
与b
的夹角
数量积的坐标表达式 a b axbx a yby azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz
ax2
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则
中间变量均为一元函数的情形
定理1 若函数
在点t处可导，z f (u, v)
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链式法则
dz z du z dv dt u dt v dt
z
u v
1
旋 转 椭 球 面
z
o
y
x
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
高数下册复习题
高数下册复习题多元函数微分学1：证明函数⎪⎩⎪⎨⎧+=,0,),(422y x xy y x f)0,0(),()0,0(),(=≠y x y x在点)0,0(处不连续，但存在一阶偏导数. 2：设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧++=,0,1sin )(),(2222yx y x y x f)0,0(),()0,0(),(=≠y x y x问在点)0,0(处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由. .3：设),,(w v u ϕ为可微函数，且0),,(=---bx ay az cx cy bz ϕ，证明：b xza+∂∂c y z =∂∂4： 求二元函数)4(2y x y xz --=在由直线轴轴y x y x ,,6=+所围成的闭域D 上的极值、最大植和最小值.5： 求平面1543=++z y x 和柱面122=+y x的交线上与xOy平面距离最短点的坐标.)1235,53,54(⎪⎭⎫⎝⎛ 6：在椭球面196222=++z y x 上求距离平面2281243=++z y x 的最近点和最远点.（答案：最近点⎪⎭⎫ ⎝⎛83819，，，最远点⎪⎭⎫ ⎝⎛---83819，，）多元函数积分学一．重积分1：计算二次积分⎰⎰xxdy y xdx 2sin 21π⎰⎰+2422sin xdy yxdx π2：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域.（答案：24π-） 3：设)(t f 在),0[+∞上连续，且+=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f求)(t f . （答案：24)(t e t f π=） 4：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x),(y x f 为D 上的连续函数，且---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ）5：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdyy x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域.（答案：2910）6：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（其中}01{22≥≤+=y y xy x D ，），（.（答案：)41(22ln 2ππ-+） 7：计算二重积分⎰⎰++=Ddxdyy xyf x I )](1[22，其中D 由1,1,3-===x y x y 所围成的平面区域，f 是D 上的连续函数.（答案：52-）8：证明⎰⎰⎰-=110)()1()(dx x f x dy y f dx x9：设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰⎰-≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛ba b a dx x f a b dx x f )()()(2210：求⎰⎰++=Ddxdyy y x I )(22，其中D 由圆422=+y x和1)1(22=++y x 围成的平面区域. （答案：)23(916-π） （2004年数学三）11：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z I 2，其中Ω是由)0(1222>=++z z y x 及221y x z +=+所围成的区域.（答案：6π） 12：计算三重积分⎰⎰⎰Ω++=dxdydzz y x I 222，其中Ω是以平面1=z 及锥面22y x z +=为边界的区域.（答案：)122(6-π）13：设函数)(x f 连续且恒大于⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t tt D dxx f d y xf t G )()()(2)(22σ其中}),,{()(2222t z y xz y x t ≤++=Ω，}),{()(222t y xy x t D ≤+=（1） 讨论)(t F 在区间),0(+∞内的单调性；（2） 证明当0>t 时，)(2)(t G t F π>14：计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D（答案：2ln 419+） （2008年数学二、三） 15：计算二重积分⎰⎰-Ddxdy y x )(, 其中{}xy y x y x D ≥≤-+-=,2)1()1(),(22（答案：38-） （2009年数学二、三）二．曲线积分1：计算dyxe y dx e xy AOBy y ⎰--+)(cos )12(，其中AOB 为由点)1,1(-A 沿曲线2x y =到点)0,0(，再沿直线0=y 到点)0,2(B 的路径.（答案：11sin -+e ）2：计算下列曲线积分 dyx y dx y x y AMB⎰-+-]sin )('[]cos )([πϕπϕ其中AMB 为连接点)2,(πA 与点)4,3(πB 的线段AB 之下方的任意路线，且该路线与线段AB 所围图形面积为2.（答案：26π-）3：计算⎰+-Lyx ydxxdy 224，其中L 是以点)0,1(为中心，R 为半径的圆周（1≠R ），方向为逆时针方向.（答案：π时为〉；当时为当101R R <）4：计算曲线积分 ⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正方形边界1=+y x 的正向.（答案：π2-） 5：计算⎰-++)2,1()0,0()2()(dyy xe dx x ey y，其中积分路径为过三点)2,1(),1,0(),0,0(的圆.（答案：272-e）6：设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分⎰++Lyx xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数。
高数下知识点复习
高数下知识点复习在高等数学下册的学习中，我们接触到了许多重要的知识点。
这些知识点不仅是数学学科的基础，也在实际应用中发挥着重要作用。
接下来，让我们一起对这些知识点进行一次系统的复习。
首先，我们来看看多元函数微分学。
多元函数的概念是这部分的基础，与一元函数不同，多元函数有多个自变量。
对于二元函数 z ＝ f(x, y)，我们要理解其定义域、值域等概念。
偏导数是多元函数微分学中的重要内容。
偏导数表示函数在某一方向上的变化率。
对于函数 z ＝ f(x, y)，其关于 x 的偏导数记为∂z/∂x，关于 y 的偏导数记为∂z/∂y。
计算偏导数时，我们把其他自变量看作常数，只对所关注的自变量求导。
全微分则是对多元函数微小变化的一种精确描述。
如果函数 z ＝f(x, y)的全微分 dz ＝∂z/∂x dx ＋∂z/∂y dy，那么全微分在近似计算和误差分析中有着广泛的应用。
接下来是多元复合函数求导法则。
这部分内容相对复杂，需要我们理清函数之间的复合关系。
比如，对于形如 z ＝ f(u(x, y)， v(x, y)）的复合函数，我们要使用链式法则来求导。
隐函数求导也是一个重点。
当方程 F(x, y) ＝ 0 确定了隐函数 y ＝y(x)时，我们通过对方程两边同时求导来得到隐函数的导数。
再说说方向导数与梯度。
方向导数表示函数沿某一方向的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向是函数值增加最快的方向，其模长等于方向导数的最大值。
在多元函数极值问题中，我们要掌握极值的必要条件和充分条件。
通过求解偏导数为零的方程组，得到可能的极值点，然后再利用充分条件判断是极大值还是极小值。
然后是重积分。
二重积分是将平面区域上的函数进行积分，它可以用来计算平面图形的面积、质量等。
在计算二重积分时，我们可以将其化为累次积分，根据积分区域的特点选择合适的积分顺序。
三重积分则是对空间区域上的函数进行积分，其计算方法与二重积分类似，但更加复杂。
我们可以通过直角坐标、柱坐标、球坐标等不同的坐标系来计算三重积分。
高数下册复习专题-(带答案)教学内容
解:
u x
f1
yf2,
u y
f1
xf2,
2u xy
f11
xf12
f2 y( f21 xf22 ).
f2 f11 ( x y) f12 xyf22 .
3. 设z f (2x 3 y, x y), f (u,v)具有二阶连续偏导数， 求 z , z , 2z . x y xy
yz
1
dy dz 0 dx dx
xz dy xy dz
0
(1) ，
(2)
dx dx
(2)式–xy(1)式, 得
yz xy ( xz xy) dy 0, dx
即
dy y(z x) .
dx x( y z)
(2)式–xz(1)式, 得
yz xz ( xy xz) dz 0, dx
f ( y , z ) 0 确定z是x,y的函数，试求 x z
xx
x
y z y
。
z
练习.设F ( x az, y bz) 0, 计算a z b z , x y
其中F是它的变元的任意可微函数.
答案：1；公式法或两边求
5、设方程组
x
yz xyz 1
0，求
dy dx
，dz dx
。
解:方程组两边对x求导, 得
x y y2
解:
z x
f1，
z y
f1 2 yf2，
2z y2
f11 2 yf12 2 f2 2 yf21 4 y2 f22
f11 4 yf12 4 y2 f22 2 f2.
2. 设u f ( x y, xy), f具有二阶连续偏导数， 求 u , u , 2u . x y xy
高数(下)综合复习题答案
1. 求下列方程通解： (1)b y a y x y +'-'= 解. 原方程整理为：1by y x a x a'-=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰⎰--⎰-c dx e a x b ey a x dxax dxb a x C +-=)((2)0cos )sin 1(=-'+y y y x 解. 原方程整理为：01sin cos =--⋅y dydxyyx tgy x cos 1=⋅-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰-⎰c dy e y e x tgydy tgydy cos 1yc y x cos +=(3)x y y 2cos 24=+''*12*12**()***.()cos :[()cos ()sin ],(),,(,0)x n k x n n k i xn y P y Py P x e x y y x e Q x x Q x x y y x eQ x y y y i k k αααββββαβ+'''++==⋅+=⋅=+=注方程的特解的求法法1.设用待定系数法求法2.先设用待定系数法求后的实部其中是特征方程的重根或1解. 特征方程：042=+r 特征根为：i2±∴对应齐次方程的通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+= 所给方程自由项x x x f 2cos 1cos 2)(2+==设*1y 是：14=+''y y 的一个特解 *2y 是x y y 2cos 4=+''的一个特解可求得41*1=y ，x x y 2sin 4*2= ∴ 原方程的一个特解为x xy 2sin 441*+=∴原方程的通解为*y Y y +==x C x C 2sin 2cos 21++x x2sin 441+2. 设z=arctg xy +ln(x 2+y),求dz 。
解. dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=其中 222)(1)(x y x x y x y x z +∂++-=∂∂ , 221)(11x y xy x y z +++=∂∂ 3. 设Z=f (x 2y,x y )有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂2 解. xy z yx z''=∂∂∂2)(2221xy f xy f x z -'+'=∂∂ 11.:(,)2y f f x y x ''注记号也可记为 )2(21)(1122112x f xy x f x f y x z yx z⋅'+⎪⎭⎫ ⎝⎛''+⋅''=∂∂∂∂=∂∂∂)1())(1(22222221x f x y x f x f -'+-''+''+22312311)()2()2(f x y f y y y x f ''-+''-+''=22112f x f x '-'+ 4. 求函数f (x,y,z)=xy 2+yz 3在点（1，2，1）处沿着向量→l ={1,2,5}的方向导数. 解.456fl→∂=+=∂ 5. 求球面x 2+y 2+z 2=9/4与椭球面3x 2+(y-1)2+z 2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线与法平面方程。
高数下册期末总复习第七版
切线方程为 x − x0 = y − y0 = z − z0 ； x′(t0 ) y′(t0 ) z′(t0 )
法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ (x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z′(t0 ) ⋅ (z − z0 ) = 0
第5页共5页
5
b、
若曲线
Γ
的方程为：
三元方程组确定两个一元隐函数：
⎧ F ( x, ⎨⎩G ( x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
⎨ ⎩
z=
z
(
x
)
⇒
对x求导
dy dx
,
dz dx
⎧u=u ( x, y )
{ ⇒ 四元方程组可确定两个二元隐函数：
F ( x, y,u,v)=0 G( x, y,u,v)=0
⎨⎩v=v( x, y )
对x (或y )求偏导，视y (或x )为常量,得
G 2）点法式方程：法向量 n = ( A, B,C) ，点 M (x0 , y0 , z0 ) ∈ Π ，则 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ．
3）截距式方程： x + y + z = 1 abc
4）平面束方程：过直线
⎧ ⎨ ⎩
A1x A2 x
+ +
附录——平面曲线的情形
（1）
若平面曲线 C
:
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x(t) y(t)
，t
=
t0
↔
M0
∈C
，则
JG 切向量T = (x′(t0 ), y′(t0 )) ，
高数(下)复习题(经管本科)
高数（下）复习题（经管本科）一、填空题（每小题3分）1、设a=｛1,2,1｝,b2某y4某y=｛-2,-1,1｝,则coa,b_________。
2、lim某0y13、交换二次积分的积分次序dy022yy2f(某,y)d某=4、如果级数n1un收敛，则级数n1(un1)的敛散性为________________。
5、方程y6．设z某某214在空间解析几何中表示的图形是_________。
，则dz(1,1)2y．(1n27．若级数n1un收敛，则级数n1un)（填收敛或发散）．8.微分方程y\4y'0的通解为=．9．设D:某2y24(y0)则d某dy．D10．已知A(1,1,1),B(4,1,3)，则方向与AB11、设向量a1,3,20相同的单位向量AB与b___________．，b2,6,l，且a垂直，则l_____.12、设函数zin(某y)某y，则2z某y2.13、过点M01,1,2，且垂直于直线l:某12y13z1的平面方为.14、将二重积分I10d某某某f(某,y)dy改变积分次序为.15、级数n1n1n12的敛散性是（填收敛、发散、不能判定）.16、微分方程y4y3y0的积分曲线在0,2处与直线某y20相切的特解是（具体值）.17．方程y4y13y0的通解是．18．球面某2yz2某4y4z7022的球心是．19．函数y14某关于某的幂级数展开式为．所围成的域，不计算I的先y后某20．设D是由y的累次积分为I某,某y1及某2Df(某,y)d．B(7,1,3)21．已知点A(4,0,5),是．22.曲面z2某y22，则方向与AB相同，过A点的直线方程的曲面名称是_______.23．若级数n11qn收敛，则q.24．点2,3,4在空间直角坐标系的位置是第卦限.25．zln(y2某1)的定义域.226.将函数f(某)214某展开成某1幂级数是.27．y某在平面几何中表示图形，在空间几何中表示图形.28．过点（1，2，-1）且与直线：某为______________．29．求lim某0y02t,y73t,z1t垂直的平面方程2某y4某y＝.30．二阶常系数线性方程y2y3y0的通解是．12y31．交换dy00f(某,y)d某的积分次序_________．2n32.设anaaqaq......aq,q1，则liman=n33.已知a(1,2,3),b(0,1,0),则ab34.过点(0,1,2)且平行平面3某35.交换积分次序36.微分方程y10d 某1某yz1的平面方程为f(某,y)dy=2y2y0的通解是二、选择题（每小题3分）1、函数zf某,y连续是zf(某,y)可微的（）条件。
高数下期末复习模拟试题3份
2
∂P ∂P = 在 D 内 连 续 ， 且 有 ∂x ∂y ， 则
∫
L
( P( x, y ) + y )dx + ( P( x, y ) − x)dy =（
）
2 − 2 a A、 ;
B、 − 2a ;
2
C、 − a ;
2
D、 a
→
2
7. 设流体速度场 v = ci + y j ( c 为常数 ), 则单 位时间内由半径为 2 的球面内部流出球
u = f ( x, xy ), v = g ( x + xy ) ，
∂u ∂u 求 ∂x , ∂y
。
x +t
∂u ∂u 2.（8 分）设 u ( x, t ) = ∫ x −t f ( z )dz ，求 ∂x , ∂t 。 四、求解下列问题（共计 15 分） 。
1.计算 I
= ∫ 0 dx ∫ x e dy 。 （7 分）
即
∫
x0 0
ydx −
1 2 x0 y 0 = x0 2
将 ( x 0 , y 0 ) 改为 ( x, y ) 得： 求导得： y ′ −
∫
x
0
ydx −
1 xy = x 2 2
1 y = −4 ，且 y (1) = 1 x
该方程的通解为 y = (c + (−4)e
∫
−
∫ x dx1dx源自e∫ x dx∂ 2u ∂ 2u 数，则 x ∂x 2 + y ∂y 2
等于（
）
（A） x + y （B） x ； (C) y
(D)0 。
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2
2u a 2e ax cos by, x 2
u abeax sin by, xy
2
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3、全微分计算 1）可微和全微分定义
z
空间直线：一般式、点向式方程
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1、向量的两种表示法 模、夹角
(1)向量的有向线段表示
加法、数乘运算 （三角形法则）
(2)向量的坐标表示
模、方向余弦
加法、数乘运算（坐标运算）
注意：空间两点构成的向量：
x 方向余弦： c o s r
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M0
o
M
y
x
x x0 m t 参数式 y y0 n t ( m 2 n 2 p 2 0 ) z z0 p t
线与线的关系
L1 L2 L1 // L2
L L //
夹角余弦公式 夹角正弦公式
面与线的关系
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情形1: 中间变量均为一元函数情形
情形2: 中间变量均为多元函数的情形. 情形3: 中间变量既含一元，又含多元的情形.
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例如， 设 z f (u , v ) , u ( x , y ) ,
v ( x, y )
z z u z v f1 1 f 2 1 x u x v x z z u z v f1 2 f 2 2 y u y v y
（2）极限不存在的判定 方法：让P(x, y) 沿直线 y=kx 趋向于P0 (x0, y0)， 若极限值与k有关，则极限不存在
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xy x2 y 例. 讨论函数 f ( x, y ) 2 在点 (0, 0) 的极限. , 2 2 2 x y x y sin xy sin x 2 y , 2 例. 讨论函数 g ( x, y ) 2 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x y x y
解
u 1, x
u 1 y yz cos ze , y 2 2
u ye yz , z
所求全微分
1 y du dx ( cos ze yz )dy ye yz dz. 2 2
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4、复合函数的求导 复合函数求导的链式法则： “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”
多元函数的极限计算 偏导数计算 全微分计算
多元函数 复合函数的求导 微分学 隐函数的求导 空间曲线的切线与法平面 应用
曲面的切平面与法线
极值,条件极值,最值
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1. 多元函数的极限 （1）多元函数极限的计算
x x0 y y0
lim f ( x , y )
方法：凑元法，或利用连续性
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z
n
M
7.平面基本方程 一般式： Ax By Cz D 0
x
M0
o
y
点法式：
x y z 截距式： 1 a b c
平面与平面之间的关系: 垂直:
平行: n1 n 2 0
n ( A, B, C )
A1 A2 B1 B 2 C 1C 2 0
Fx z , x Fz
Fy z y Fz
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6. 空间曲线的切线与法平面
x (t ) 设空间光滑曲线的参数方程 : y (t ) z (t ) T ( (t 0 ) , (t 0 ) , (t 0 )) 切向量
A1 B1 C1 A2 B2 C 2
n1 n 2 夹角公式: cos n1 n 2
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z
8. 空间直线方程
s
L
A1 x B1 y C1 z D1 0 一般式 A2 x B2 y arccos . 60 n1 {2,1,1}, ( 2) n2 {4, 2,2}
2 1 1 , 4 2 2
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两平面平行
例 判断二次曲面方程表示什么图形
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第九章
多元函数的微分学
高等数学(下) 复习概要
八、向量代数与空间解析几何
九、多元函数微分法 十、重积分 十一、曲线积分与曲面积分 十二、无穷级数
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第八章
向量代数与空间解析几何
向量的运算 向量 两向量的位置关系 柱面、旋转曲面的方程 二次曲面方程
空间曲面
空间解析 几何
空间曲线：一般式、参数式方程 空间平面: 一般式、点法式方程
ab 夹角余弦公式: cos | a || b |
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4、几何公式
空间两点间距离公式：
平行四边形面积公式：
| a b || a || b | sin
两向量夹角余弦公式:
a b cos | a || b |
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5. 空间曲面方程 • 旋转曲面
f ( y , z ) 0 绕 z 轴的旋转曲面: 如, 曲线 x0
f ( x 2 y 2 , z ) 0
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. • 二次曲面
三元二次方程
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
sin( x 2 y ) u x 2 y sin u lim lim 1, 其中 x 0 2 x y u0 u y0
sin( x 2 y ) x2 y 1 x 0 0, lim x 2 y 2 0. x 2 2 x 0 x y 2 y 0
f1 ( xy, x y ) y f 2 ( xy , x y )
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5、隐函数求导 利用隐函数存在定理和隐函数求导公式 1) 二元方程F(x,y)=0所确定的隐函数y = f (x)
Fx dy dx Fy
2) 三元方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z = f (x , y)
z
u x y x v y
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例. 设
求
z
u x y x v y
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z z 例 例 已知 z xf ( xy , x y ), 求 , 2 . x x z f 解: x x x
2
f1 y f 2 1
x x y z
2 2 2
2. 向量的运算 加减: 数乘:
a b ( a x b x , a y b y , a z bz )
点积:
叉积:
a b a x bx a y b y a z bz a b cos
a ( a x , a y , a z )
o ( )
( x ) 2 ( y ) 2
d z f x ( x , y )d x f y ( x , y ) d y
2) 关系
函数连续
函数可微 偏导数连续
函数偏导存在
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y 例 3 计算函数u x sin e yz 的全微分. 2
F (x , y , z) 0
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例如， • 椭球面 • 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
例.求 lim 解: 原式
x 0 y 0
xy 1 1 . xy
1 1 lim x0 x y 1 1 2
y 0
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sin( x 2 y ) 例 求极限 lim 2 . 2 x 0 x y y0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
法线方程 y y0 x x0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )
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Fz ( x0 , y 0 , z 0 )( z z 0 ) 0
7. 曲面的切平面与法线
设空间光滑曲面的一般方程
曲面 在点 的法向量
n ( Fx ( x0 , y 0 , z 0 ) , Fy ( x0 , y 0 , z 0 ) , Fz ( x0 , y 0 , z 0 ))
切平面方程
Fx ( x0 , y 0 , z 0 ) ( x x0 ) F y ( x0 , y 0 , z 0 ) ( y y 0 )
i j k a b ax ay az
| a b | | a || b | sin
bx b y bz
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3. 向量与向量之间的位置关系
a b 0
bx b y b z ax a y az
a x bx a y b y a z bz 0
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( p , q 同号)
6、空间曲线方程 一般方程: