1.4 两类运动学问题

方向相反，可见加速度指向圆心。
例2: 人以恒定速率 v 0 运动，船之初速为0。
求:任一位置船之速度、加速度。
v0
y x hh
r
x
解一： r xi hj x v0 O 2 2 r r x h h r dr dx v i x dt dt d r d x 2 h2 x dx v0 2 2 dt dt dt x h v0 dr dx 2 2 v i x h i dt dt x 2 2 2 v0 h dv d x a 2 i 3 i dt dt x
y
解二：
x h l
2 2
v0
2
y
O
等式两边微分得：
h
x l x
2 xdx 2ldl
dx dl x l dt dt v0 l dx l dl v0 x x dt x dt
x 2 h2
例3：一作直线运动的质点，其 a kv k 为常数）， （
t 0 时，x 0, v v0 。求该质点运动的距离与时间的函 数关系。 v dv t 解： dv a kv v0 v k 0 dt dt v kt ln kt v v0 e v0
解：
x0 , v v0
dv adt
dv a dt
设 t=0 时 v=v0，将上式积分得：

v
v0
dv adt a dt
0 0
t
t

v v0 at
dx v v0 at dt
dx v0 at dx (v0 at )dt dt
设 t=0 时 x=x0 ，将上式积分得运动方程：


（3）瞬时加速度：
a与 r
v 3 sin( t )i 3 cos( t ) j 6 6 6 6 dv dv x dv y a i j dt dt dt 2 2 3( ) cos( t )i 3( ) sin( t ) j 6 6 6 6 2 ( ) 3 cos( t )i 3 sin( t ) j 6 6 6 2 ( ) r 6
dx kt 由 v v0e dt


x
0
dx v0e kt dt
0
t
v0 x (1 e kt ) k
解： （1）运动方程分量式为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 3 cos( t ) 6

y 3 sin( t ) 6

从运动方程分量式中消去t 得轨迹方程：
x y 3
2 2
2
r 3 cos( t )i 3 sin( t ) j 6 6
（2）瞬时速度：
dr v dt 3 sin( t )i 3 cos( t ) j 6 6 6 6 v 2
1.4 两类运动学问题
质点运动学两类基本问题
1 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度； 2 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 .
r (t )
求导
积分
v(t )
求导
积分
a (t )
第二类问题的例子：一质点作直线运动，其加速度为 一常量 a ，求其运动规律。 已知在 t=0 时刻，x
1 2 x x0 v0 t at 2
与方程
v v0 at
2 2 0
联立,消去 t 得到
v v 2a( x x0 )
例1: r 3 cos( t )i 3 sin( t ) j （SI制）试求： 6 6
（1）轨迹方程；（2）瞬时速度的大小； （3）瞬时加速度。