2007年全国初中数学竞赛试题及答案
2007年全国初中数学联赛
2007年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知一次函数y = ax + b 的图象经过一、二、三象限，且与x 轴交于点（－2，0），则不等式ax ＞b 的解集为（ ）A ．x ＞－2B ．x ＜－2C ．x ＞2D ．x ＜22．已知a =bc ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a3．父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系：已知：⑴麦思的父母与麦思的血型各不相同；⑵麦思的血型不是B 型，那么麦思的血型是（ ）A ．A 型B ．AB 型或O 型C ．AB 型D ．A 型或O 型或AB 型4．四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（ ）A ．24组B ．48组C ．12组D ．16组5．已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：222222123451(20)5S x x x x x =++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S 2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S 2。
其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④6．已知三角形的三边a ，b ，c 的长都是整数，且a ≤b ＜c ，如果b = 7，则这样的三角形共有（ ）A ．21个B ．28个C ．49个D ．54个7．如图，直线l 1：y = x + 1与直线l 2 ：12y x =-- 把平面直角坐标系分成四个部分，则点44,57⎛⎫- ⎪⎝⎭在（ ） A ．第一部分 B ．第二部分C ．第三部分D ．第四部分8．已知实数a满足|2006|a a -=，那么22006a -的值是（ ）A ．2005B ．2006C ．2007D ．20089．设分数13(13)56n n n -≠+不是最简分数，那么正整数n 的最小值可以是（ ） A ．84 B ．68 C ．45 D ．11510．如图，P 是△ABC 内一点，BP ，CP ，AP 的延长线分别与AC ，AB ，BC 交于点E ，F ，D 。
2007年全国初中数学竞赛试题及答案
2007年全国初中数学竞赛试题班级 座号 姓名 成绩一、选择题（共5题，每小题6分，共30分）1、方程组126x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的实数解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个。
现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．203、已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4、已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且AB 、AC 分别相交于点D 、E ，若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心 5、方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．无穷多 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6、如图，点A 、C都在函数0)y x x =>的图象上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 .7、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，CA= 4，点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 .8、如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G = n ·90°，则n = .9、已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），若二次函数2(3)3y x a x =+-+的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 .10、已知对于任意正整数n ，都有312,n a a a n +++= 则23100111111a a a +++=--- .三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11、已知抛物线C 1：234y x x =--+和抛物线C 2：234y x x =--相交于A ，B两点。
全国初中数学竞赛真题及答案大全
2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3月18日8:30——10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内1. 若m 为实数，则代数式m的值一定是A.正数 B.0 C.负数 D.非负数2．如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a、b、c三种物体的重量，下列判断正确的是A．c>a B．a<b C．a<cD. b<c3. 如图2，点C是∠的平分线上一点，点B、B′分别在边、上，如果再添加一个条件，即可推出′,那么该条件不可以是A. ′⊥B. ′C. ∠∠′ D. ∠′C图图4．图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，则（）2的值是A ．13B ．19C ．25D ．169 图35．已知m 是方程01x -x 2=+2006的一个根，则代数式3+1++22m 20062005m -m 的值等于 A.2005 B.2006 C.2007D.20086．将一段72长的绳子，从一端开始每3作一记号，每4也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为A ．37B ．36C ．35D ．347． 某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人8．如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（ ）块A ．9B ．10C ．11D ．129．如图5，将△沿着它的中位线折叠后，点A 落到点A ′，若∠120 ，∠26 ,则∠A ′的度数是A ．120B ．112C ．110D ．10810. 方程x x -x 22=2的正根的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）11．若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]0==3=2.30.7-43.7-，，等，则[][]=3+5π-12．在直径为4的⊙O 中，长度为32的弦所对的圆周角的度数为 .13．如图6，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为°.14．如图7，在△中，53为的中点，2，则∠ .15．若干个装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人装卸的时1，则按改变的方式装卸，自始至终共需时间间是第一个人的4小时.16.在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程y （千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用图8中的实线（O→A→B→C）与虚线（）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是 .17.已知a＜3，b＞3，且1-k+，3,ba=则k的最小整数值是.18.若503=+，，且x、y、z均为非负数，则x=++z-yx30yz4=的最大值为.++zy5xM2三、解答题(本大题共2小题，每小题15分，满分30分)19. 已知在△中，∠90 ，4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度 0(α＜α＜90 ），旋转后，直角三角板的直角边分别与、相交于点K、H，四边形是旋转过程中三角板与△的重叠部分（如图所示）。
2007年全国初中数学竞赛试题及答案
１2007年全国初中数学竞赛试题及（答案）考试时间：2007年4月1日上午9：30—11：30答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的实数解的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解：选（A ）。
当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20解：选（B ）。
只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解：选（D ）。
设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，20ct at b ++=三式相加得：2()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以ab c ca b bc a 222++＝333a b cabc++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ）（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。
2007年全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4 答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解．故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21 ∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）．4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
2007—2014全国初中数学联赛试题汇编(含答案)
第二试 （ A）
一、 （本题满分 20 分）设 m, n 为正整数，且 m 2 ，如果对一切实数 t ，二次函数
y x 2 (3 mt) x 3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于 2t n ，求 m, n 的值.
解 因为一元二次方程 x (3 mt ) x 3mt 0 的两根分别为 mt 和 3 ，所以二次函
y 6, z 4 .
因此，共有 1＋2＋3＋4＝10 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结 果有 2 种，所以所求的概率为
2 1 . 故选（B）. 10 5
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1. 设 x
1 2 1 1
，a 是 x 的小数部分，b 是 x 的小数部分， 则 a 3 b 3 3ab ____1___.
注：本题也可用特殊值法来判断.
2．当 x 分别取值
1 1 1 1 ， ， ，…， ，1 ，2 ，…， 2005 ，2006 ， 2007 时， 2007 2006 2005 2
的 值 ， 将 所 得 的 结 果 相 加 ， 其 和 等 于
1 x2 计 算 代 数 式 1 x2
（ ） （A）－1. 【答】C.
3 3
2. 对于一切不小于 2 的自然数 n ， 关于 x 的一元二次方程 x (n 2) x 2n 0 的两个根
2 2
记作 a n , bn（ n 2 ） ， 则
1 1 1 = (a 2007 2)(b2007 2) (a 2 2)(b2 2) (a3 2)(b3 2)
2007 年全国初中数学联合竞赛
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 已知 x, y, z 满足
数学周报杯2007年全国初中数学竞赛试题参考答案
“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分意见一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、2C 、 3D 、4 答案：A解：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x 只有1个解。
2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．A 、14B 、16C 、18D 、20答案：B 解：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种。
故选B ．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解： 如图，连接BE ，因为ABC ∆为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角。
又因为⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以ABE BAC ∠=∠．于是，BACABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2．若ABC ∆的外心为1O ，则BAC C BO ∠=∠21，所以，⊙O 一定过ABC ∆的外心。
2007年全国初中数学联赛试题及答案
2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=-=532，则zy y x 25+-的值为（ ） A ．1. B ．31. C ．31-. D ．21. 2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211xx +-的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） A ．－1. B ．1. C ．0. D ．2007.3. 设c b a ,,是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2b a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形. B ．锐角三角形. C ．钝角三角形. D ）直角三角形.4. 已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）A ．30°.B ．45°.C ．60°.D ．75°.5．设K 是△ABC 内任意一点，△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则ABC DEF S S △△:的值为（ ）A ．91.B ．92.C ．94.D ．32. 6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）A ．101.B ．51.C ．103.D ．52. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1. 设121-=x ，a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则=++ab b a 333___ ．2. 对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两个根记作n n b a ,（2≥n ），则)2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a = ． 3. 已知直角梯形ABCD 的四条边长分别为6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与CB 的延长线交于点F ，则BF BE -的值为．4． 若64100+a 和64201+a 均为四位数，且均为完全平方数，则整数a 的值是 ．第二试（A ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求n m ,的值.二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N .证明：∠AFN =∠DME .三、 （本题满分25分）已知a 是正整数，如果关于x 的方程056)38()17(23=--+++x a x a x 的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.第二试（B ）一、（本题满分20分）设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，二次函数a x a x y -+++=38)17(2，反比例函数xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值. 第二试（C ）一、（本题满分20分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a 是正整数，如果二次函数a x a x y 710)232(22-+++=和反比例函数xa y 311-=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值和对应的公共整点.A B C D EF M N P2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B2.C3.D4.C5.A6.B（解析：1.由x z z y x +=-=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+-=+-x x x x z y y x ，故选B. 注：本题也可用特殊值法来判断.2． 因为=+-++-222211)1(1)1(1n n n n 011112222=+-++-n n n n ，即当x 分别取值n 1，n n (为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当1=x 时，0111122=+-.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算所得各代数式的值之和为0.故选C.3. 由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=---,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此222b c a =+，所以△ABC 是直角三角形. 故选D.4. 锐角△ABC 的垂心在三角形内部，如图，设△ABC 的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OD CE AH OB 2===，所以∠OBD ＝30°，∠BOD ＝60°，所以∠A ＝∠BOD ＝60°.故选C.5． A.分别延长KD 、KE 、KF ，与△ABC 的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△KAB 、△KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以ABC MNP S S △△41=.易证△DEF ∽△MNP ，且相似比为3:2，所以MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选A. 6．设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且7,6,5≤≤≤z y x ，15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当2=x 时，只有一种可能，即7,6==z y ；当3=x 时，12=+z y ，有2种可能，7,5==z y 或6,6==z y ；当4=x 时，11=+z y ，有3种可能，7,4==z y 或6,5==z y 或5,6==z y ；当5=x 时，10=+z y ，有4种可能，7,3==z y 或6,4==z y 或5,5==z y 或4,6==z y .因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选B.） 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1.1 2. 10034016- 3.4 4.7 （解析：1.∵12121+=-=x ，而3122<+<，∴122-=-=x a . 又∵12--=-x ，而2123-<--<-，∴22)3(-=---=x b .∴1=+b a ， ∴=++ab b a 333=++-+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++-b a ab b ab a .2.由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，22n n a b n ⋅=-，所以 =--)2)(2(n n b a (2-n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1)n n n n =--++=-+， 则11111()(2)(2)2(1)21n n a b n n n n =-=----++， )2)(2(122--b a )2)(2(133--+b a +)2)(2(120072007--+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤--+-++-=--=-⎢⎥⎣⎦. 3.延长CD 交⊙O 于点G ，设DG BE ,的中点分别为点N M ,，则易知DN AM =.因为10==CD BC ，由割线定理，易证DG BF =，所以42)(2)(2==-=-=-=-AB AM BM DN BM DG BE BF BE .4．设264100m a =+，264201n a =+，则100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a -+=-=，因为101是质数，且101101<-<-m n ，所以101=+m n ，故1012-=-=n m n a .代入264201n a =+，整理得020*******=+-n n ，解得59=n ，或343=n （舍去）.所以171012=-=n a .）第二试 （A ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为3mt + （5分） 由题意，32mt t n +≥+，即22(3)(2)mt t n +≥+，即222(4)(64)90m t m n t n -+-+-≥（10分） 由题意知，042≠-m ，且上式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分） 证明:设MN 与EF 交于点P ，∵NE //BC ， ∴△PNE ∽△PBC ，∴PCPE PB PN =, ∴PC PN PE PB ⋅=⋅.(5分) 又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PF PE PB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅.(10分)∴PF PM PC PN ⋅=⋅,故PFPC PN PM =(15分) 又∠FPN =∠MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC(20分)∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++-x a x x （5分）因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1） 的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.（10分）设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分） A B C D E FM N P显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（1）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1，1-和56-.当12=a 时，方程（1）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1，2-和28-.（25分） 第二试 （B ）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.（5分）所以，21d d ≥22)2()3(23n t mt n t mt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4(222≥-+-+-⇔n t n m t m （1）（10分）由题意知，042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤----=∆>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m （15分） 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨-≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m （20分） 二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=,56,38)17(2x y a x a x y 消去y 得a x a x -+++38)17(2x56=，即056)38()17(23=--+++x a x a x ，分解因式得[]056)18()1(2=+++-x a x x （1）（5分）显然11=x 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （2）的判别式0224)18(2>-+=∆a ，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式224)18(2-+=∆a 应该是一个完全平方数.设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即 224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分）当39=a 时，方程（2）即056572=++x x ，它的两根分别为1-和56-，此时两个函数的图象还有两个交点)56,1(--和)1,56(--.当12=a 时，方程（2）即056302=++x x ，它的两根分别为2-和28-，此时两个函数的图象还有两个交点)28,2(--和)2,28(--.（25分） 第二试 （C ）一、（本题满分25分）题目与（B ）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（A ）卷第二题相同.三、（本题满分25分） 解：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++=,311,710)232(22x a y a x a x y 消去y 得a x a x 710)232(22-+++＝113a x -，即0113)710()232(223=-+-+++a x a x a x ，分解因式得[]0311)12()12(2=-+++-a x a x x （1）（5分）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于x 的一元二次方程0311)12(2=-+++a x a x （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式∆应该是一个完全平方数.（10分）而224)18(10036)311(4)12(222-+=++=--+=∆a a a a a .所以224)18(2-+a 应该是一个完全平方数，设22224)18(k a =-+（其中k 为非负整数），则224)18(22=-+k a ，即224)18)(18(=-+++k a k a .（15分）显然k a ++18与k a -+18的奇偶性相同，且1818≥++k a ，而8284562112224⨯=⨯=⨯=，所以⎩⎨⎧=-+=++,218,11218k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,418,5618k a k a 或⎩⎨⎧=-+=++,818,2818k a k a 解得⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==,26,12k a 或⎩⎨⎧==,10,0k a 而a 是正整数，所以只可能⎩⎨⎧==,55,39k a 或⎩⎨⎧==.26,12k a （20分） 当39=a 时，方程（2）即0106512=-+x x ，它的两根分别为2和53-，易求得两个函数的图象有公共整点)53,2(-和)2,53(-.当12=a 时，方程（2）即025242=-+x x ，它的两根分别为1和25-，易求得两个函数的图象有公共整点)25,1(-和)1,25(-. （25分）。
2007年初中数学竞赛试题赏析(含解答)-
2007年初中数学竞赛试题赏析2007年春末夏初，国内的初中数学竞赛基本告一段落，暑假期间，在放松避暑纳凉的同时，对数学爱好者来说，把玩一下新的试题，也是一件乐事．下面为大家选析一些试题，供同学们玩赏．一、代数问题例1 已知a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．（2007年北京市初二数学竞赛试题三）证明 由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1， 即（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0， 通分，分子部分因式分解，（请自己完成演算）可得()()()2a b c c a b c a b abc+-+--+=0． 所以，或者a+b-c=0或者c+a-b=0或者b+c-a=0．①若a+b-c=0，则222222222222222222()21;222()21;222()2 1.222b c a b c b c bc bc bc bcc a b c a c a ac ac ac cab c a a b a b ab bc ab ab+-+--===+-+--===+-+-+-===- ②若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=1，2222c a b ac +-=-1，2222a b c ab+-=1， ③若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=-1，2222c a b ac +-=1，2222a b c ab+-=1． 综合①、②、③可得，三个分数2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-的值有两个为1，一个为-1．评析：由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1，要证这三个分数的值有两个为1，一个为-1，想到证（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0 是关键．其中分子部分的因式分解，可检验你的代数式恒等变形的基本功是否过硬． 例2 设a 是正整数，二次函数y=x 2+（a+17）x+38-a ，反比例函数y=56x，•如果这两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值．（2007年全国初中数学联合竞赛（B 组）试题第三大题）解 联立方程组2(17)38,56,y x a x a y x ⎧=+++-⎪⎨=⎪⎩消去y 得x 2+（a+17）x+38-a=56x， 即x 3+（a+17）x 2+（38-a ）x-56=0，分解因式得（x-1）[x 2+（a+18）x+56]=0． （1）显然x 1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点， 因为a 是正整数，所以关于x 的方程x 2+（a+18）x+56=0 （2）的判别式△=（a+18）2-224>0，它一定有两个不同的实数根．而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，•因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．设（a+18）2-224=k 2（其中k 为非负整数），则（a+18）2-k 2=224，即（a+18+k ）（a+18-k ）=224．显然a+18+k 与a+18-k 的奇偶性相同，且a+18+k ≥8，而224=112×2=56×4=28×8，18112,1856,1828,182,184,188.39,12,0,55,26,10.a k a k a k a k a k a k a a a k k k ++=++=++=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+-=+-=+-=⎩⎩⎩===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩所以或或解得或或 而a 是正整数，所以只可能39,12,55,26,a a k k ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 当a=39时，方程（2）即x 2+57x+56=0，它的两根分别为-1和-56，此时两个函数的图象还有两个交点（-1，-56）和（-56，-1）．当a=12时，方程（2）即x 2+30x+56=0，它的两根分别为-2和-28，此时两个函数的图象还有两个交点（-2，-28）和（-28，-2）．评析：这是初中数学的重点知识与方法高度综合的题目，要求会自行演算独立解答．二、几何问题在初中阶段，图形的运动主要是合同变换，包含平移、轴对称、旋转和中心对称．另外，在我国的几何教学中，对等积变换的知识日益普及，主要是利用“同底等高的两个三角形面积相等”和三角形面积公式来证题、计算，包括解决线段的比例问题．例3 如图1所示，△ABC 中，∠ABC=46°，D 是BC 边上一点，DC=AB ，∠DAB=21°，•试确定∠CAD 的度数．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题四）图1 图2解如图2，作△ABD关于AD的轴对称图形△AED，即∠EAD=21°，AE=AB，•所以DE=BD．易知∠ADC=21°+46°=67°，所以∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°，∠CDE=113°-67°=46°，连接CE，DC=AB，△ABD≌△CDE≌△ADE．设O为AE与DC的交点，由于∠ODE=∠OED=46°，所以OD=OE．又DC=AE，所以AO=CO ∠OCA=∠OAC ∠COE=2∠ACO．易知∠COE=2×46°=92°，因此2∠ACO=∠COE=92°∠ACO=46°=∠OAC．所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=21°+46°=67°．例4如图3，已知等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=•QB=BC，则∠PCQ=______．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题）图3 图4解：如图4，过P作AB的平行线，过B作PQ的平行线，二平行线相交于O，则PQBO•是个菱形．连接CO．由AB=AC，AP=QB，则PC=AQ，AP=QB=PO，∠CPO=∠PAQ，所以△PQC≌△APQ，因此CO=PQ=CB=OB，可知△BCO为等边三角形，∠BCO=∠CBO=60°，•设∠CAB=θ，•则∠PCO=∠QBO=θ，由三角形内角和定理，得3θ+2×60°=180°⇒θ=20°，因此∠PCQ=80°-•50°=30°．例5 如图5，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底AD 边上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线CD 交的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N ．证明：∠AFN=∠DME ．（2007全国初中数学联合竞赛试题）例5分析 延长BF ，CM 相交于Q ，因为EM ∥AF ，所以∠DME=∠DQA ．要证∠AFN=∠DME ，只需证∠AFN=∠DQA 即可．为此，只需证FN ∥MC ．证明 （面积法）连接FM ，BE ，CN ，因为EM ∥AF ，所以S △PFM =S △PBE ，因为AD ∥BC ，S △BNE =S △CNE ，因此S △BNE +S △PNE =S △CNE +S △PNE ．即S △PBE =S △PNC ，所以S △PFM =S △PNC ．两边同加S △PMC 得S △FMC =S △NMC ，所以FN ∥MC ，又已知FB ∥ME ，所以∠AFN=∠DME ．至于其它的证法我们就不再例举了．例6 试问：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3•个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由． （第12届华杯赛初一组决赛试题14）解：（1）由于18=14×12=14×（112+16+14）=114824++116，所以18能表示为3个互异的正整数的倒数的和．（2）不妨设三个正整数a<b<c ，满足18=21a +21b +21c． 由于a ，b ，c 是互异的正整数，则21c <21b <21a， 从而18=21a +21b +21c <23a ，所以a 2>24．又18>21a，所以a 2>8，故a 2=9或16． 若a 2=9，则21b +21c =18-19=172，于是172>21b，有b 2>72； 又因为21c <21b ，所以172=21b +21c <22b ， 因此b 2<144，所以72<b 2<144．故b 2=81，100或121，将b 2=81，100，121分别代入c 2=227272b b -，没有一个是完全平方数，此时无解．若a 2=16，则21b +21c =18-116=116， 同上讨论可得：16<b 2<32，所以b 2=25，c 2=22161625169b b ⨯=-不是整数． 综上所述，18不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和． 例7 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程x 2-abx+12（a+b ）=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．解 不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为x 1，x 2（x 1≤x 2），则有12121()2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩ 所以x 1x 2-x 1-x 2=12a+12b-ab ，4（x 1-1）（x 2-1）+（2a-1）（2b-1）=5． 因为a ，b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数．于是x 1-1≥0，x 2-1≥0，2a-1≥1，2b-1≥1，所以12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩或12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩ （1）当12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ，b 都是正整数，且a ≤b ，可得a=1，b=3． 此时，一元二次方程为x 2-3x+2=0，它的两个根为x=1，x=2．（2）当12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得a=1，b=1，此时，一元二次方程为x 2-x+1=0，它无整数解．综上所述，当且仅当a=1，b=3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x 1=1，x 2=2．例8 （1）是否存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）？（2）设k （k ≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得m （m+k ）=n （n+1）？ 解:（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）． 则（m+1）2=n 2+n+1，显然n>1．于是n 2<n 2+n+1<（n+1）2，所以n 2+n+1不是平方数，矛盾．（2）当k=3时，若存在正整数m ，n ，使得m （m+3）=n （n+1），则4m 2+12m=4n 2+4n ⇔（2m+3）2=（2n+1）2+8即（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8⇔ （m-n+1）（m+n+2）=2， 而m+n+2>2，故上式不可能成立．当k ≥4时，若k=2t （t 是不小于2的整数）为偶数，取m=t 2-t ，n=t 2-1，则m （m+k ）=（t 2-t ）（t 2+t ）=t 4-t 2，n （n+1）=（t 2-1）t 2=t 4-t 2，因此这样的（m ，n ）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取m=22t t-，n=222t t+-，则m（m+k）=22t t-（22t t-+2t+1）=14（t4+2t3-t2-2t）n（n+1）=222t t+-·22t t+=14（t4+2t3-t2-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．（注：当k≥4时，构造的例子不是唯一的．）四、组合与极值组合问题对锻炼思维意义重大，初中只适宜分类计数、加法原理、乘法原理的简单运用，简单的包含排除原理，基本的抽屉原理也是重要的内容．但在初中阶段，不应提前引入排列组合的计算公式．特别是提前较大范围的培训高中的排列组合知识，会激起大范围超前学习的竞争热，从而影响基础教育，并且也影响竞赛的公平性．建议命一些以几何元素为背景的构造性的问题，容易引发学生兴趣，又使套用组合公式的人容易出错，这类问题的研制特别引人注目．例9 平面上有6个点，其中任何3个点不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共点，则最多可以选出多少个三角形？（第12届华杯赛初一组决赛试题12）解答:（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；•再从余下的5点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个点做三角形的第三个顶点者，有4种取法．因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出一个三角形．但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，•三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造654321⨯⨯⨯⨯=20个不同的三角形．（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能做出2个三角形，•它们没有公共顶点，如图4（1）．（3）用英文大写字母A，B，C，D，E，F记这6个点，如果可以选出5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母．但是，不同的英文大写字母仅有6个，因此，这5•个三角形中至少有三个三角形有同一个顶点，不妨设为点A．根据题目条件，这三个三角形没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6•个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同．否则，根据题目条件，它们将有公共边．但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母，所以，不可能存在5个三角形，它们没有公共边．如图4（2）所示，△ABC，△ADE，△BDF和△CEF这4个三角形没有公共边，所以，最多可以选出4个三角形，它们没有公共边．例10 若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和8是的倍数．试确定n的最小值，并说明你的理由．（2007北京市中学生数学竞赛初二年级试题五）解先证n≤14时题设的性质不成立．因为，当n=14时，对于9999993，9999994，…，999999，…，10000006这14个连续整数中，任意一个数字的数字之和均不能被8整除．所以n≤14时题设的性质不成立．因此要使题设的性质成立，应有n≥15．再证n=15时，题设的性质成立．设a1，a2，…，a15为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0•的整数最多有两个，最少有一个，可分为：（1）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有两个时，设a i<a j，且a i，a j的个位数字为0．则满足a i，a i+1，a i+2，…，a i+9，a j为连续的11个整数，其中a i，a i+1，a i+2，…，a i+9无进位设n i表示a i各位数字之和．则前10个数的各位数字之和分别为n i，n i+1，…，n i+9则这连续的10个数中至少有一个被8整除．（2）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，设其中的a i的个位数字为0，•①若整数满足1≤i≤8，则在a i后面至少有7个连续整数，则a i，a i+1，a i+2，…，a i+7这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．②若整数i满足9≤i≤15，则在a前面至少有8个连续整数，不妨设为a i-8，a i-7，a i-5，a i-4，a i-3，a a-2，a a-2，a i-1，这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．由①、②可知，当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．综上（1）、（2）所述，对于任意15个连续整数中，必有一个数，•其各位数字之和是的倍数．而小于15个的任意连续整数不成立此性质，所以n的最小值是15．例11 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接．（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？（第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试23题）解：（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，•按题设规则用线段连接，可以连出3×3+3×3+3×3=27条线段．（2）平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，按题设规则用线段连接，可以连出2×3+2×4+3×4=26条线段．（3）设平面上三组点数为m，n，p个，s=m+n+p，目标求s的最小值？按题设规则用线段连接，可以连出mn+mp+np=192条线段．由于s2=（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np≥mn+mp+np+2mn+2mp+2np=3mn+3mp+3np=•3（mn+mp+np）=3×192=576=242所以s≥24．s的最小值是24．事实上，当这24个点平分为3组，每组8个点，按题设规则用线段连接，恰可以连出8×8+8×8+8×8=3×64=192条线段．因此平面上至少有24个点．- 11 -。
2007～2014年全国初中数学联赛试题
即当 x
别取值
1 n
n (n 为 整
1 − 12 = 0 .因 1 + 12
当x
别取值
2007
全 初中数学联合竞赛试题参考答案及评 标准
第1
共8
1 2007
1 2006
1 2005
… .
1 2
1
2
…
2005
2006
2007 时 计算所得各
第二试
一 本题满 以代 设 m, n 为 整数
A
且m ≠ 2 如果对一 实数 t 二次函数
y = x 2 + (3 − mt ) x − 3mt 的 象
x 轴的 个交点间的距离 小于 2t + n
根 别为 mபைடு நூலகம் 和 − 3
求 m, n 的值. 所 二次函
2 解 因为一元二次方程 x + (3 − mt ) x − 3mt = 0 的
有 4 种可能
y = 6, z = 4 .
因 共有 令 以 3 4 令代 种可能的摸球结果 中摸出的球中恰好有 3 个红球的结
果有 以 种 所 所求的概率为
2 1 = .故选 B . 10 5
二
填空题
本题满
以8
小题 7
令. 设 x =
1 2 −1
a 是 x 的小数部
b 是 −x 的 小 数 部
则
a 3 + b 3 + 3ab = ____令___.
以代代7
全
初中数学联合竞赛 标准
试题参考答案及评
说明 评阅试卷时 请依据本评 标准.第一试 选择题和填空题只设 7 和 代 档 第二试各题 请 格按照本评 标准规定的评 档次给 要再增加 他中间档次.如果 考生的解答方法和本解答 同 只要思路合理 骤 确 在评卷时请参照本评 标准划 的档次 给予相 的 数.
全国初中数学竞赛真题及答案大全
全国初中数学竞赛真题及答案⼤全2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本试卷共6页，满分120分，考试时间：3⽉18⽇8:30——10:30）⼀、选择题（本⼤题满分50分，每⼩题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有⼀个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的⽅格内1. 若m 为实数，则代数式m +m 的值⼀定是A. 正数B.0C.负数D.⾮负数2．如图1所⽰，是两架处在平衡状态的天平，那么，对于a 、b 、c 三种物体的重量，下列判断正确的是A ．c>aB ．aC ．a3. 如图2，点C 是∠PAQ 的平分线上⼀点，点B 、B ′分别在边AP 、AQ 上，如果再添加⼀个条件，即可推出AB=AB ′,那么该条件不可以是A. BB ′⊥ACB. CB=CB ′C. ∠ACB=∠ACB ′D. ∠ABC=AB ′C4．图3是由四个全等的直⾓三⾓形与中间的⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形，如果⼤正⽅形的⾯积是13，⼩正⽅形的⾯积是1，直⾓三⾓形的两条直⾓边长分别为a 、b ，则（a+b ）2的值是A ．13B ．19C ．25D ．169 图35．已知m 是⽅程01x -x 2=+2006的⼀个根，则代数式3+1++22m20062005m -m 的值等于A.2005B.2006C.2007D.20086．将⼀段72cm 长的绳⼦，从⼀端开始每3cm 作⼀记号，每4cm也作⼀记号，然后从有图2图1记号的地⽅剪断，则这段绳⼦共被剪成的段数为A ．37B ．36D ．347．某旅游团92⼈在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每⼈可选不同的菜，但⾦额都须正好10元，且每⼀种菜最多只能买⼀份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有⽅案中，⾄少有⼀个⽅案的⼈数不少于A ．9⼈B ．10⼈C ．11⼈D ．12⼈ 8．如图4是由⼏块相同的⼩正⽅体搭成的⽴体图形的三视图，则这⽴体图形中⼩正⽅体共有（）块A ．9B ．10C ．11D ．129．如图5，将△ABC 沿着它的中位线DE 折叠后，点A 落到点A ′，若∠C=120 ，∠A=26,则∠A ′DB 的度数是A ．120B ．112C ．110D ．10810. ⽅程xx -x 22=2的正根的个数是A ．0个B ．1个D ．3个⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，满分40分）11．若[]x 表⽰不超过x 的最⼤整数，如[][][]0==3=2.30.7-43.7-，，等，则[][]=3+5π-_________12．在直径为4cm 的⊙O 中，长度为32cm 的弦BC 所对的圆周⾓的度数为 .13．如图6，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和⼀个⼩灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可以使⼩灯泡放光，那么随机闭合其中两个开关，能使⼩灯泡发光的概率为 ____________°.14．如图7，在△ABC 中，AB=5,AC=3,D 为BC 的中点，AD=2，则tan ∠BAD= __________.15．若⼲个装卸⼀批货物，每个⼯⼈的装卸速度相同，如果这些⼯⼈同时⼯作，则需10⼩时装卸完毕；现改变装卸⽅式，开始⼀个⼈⼲，以后每隔t （整数）⼩时增加⼀个⼈⼲，每个参加装卸的⼈都⼀直⼲到装卸完毕，且最后参加的⼀个⼈装卸的时间是第⼀个⼈的41，则按改变的⽅式装卸，⾃始⾄终共需时间⼩时.16.在⼀次⾃⾏车越野赛中，甲、⼄两名选⼿所⾛的路程y （千⽶）随时间x （分钟）变化的图象（全程）分别⽤图8中的实线（O →A →B →C ）与虚线（OD ）表⽰，那么，在本次⽐赛过程中，⼄领先甲时的x 的取值范围是 .17.已知a ＜3，b ＞3，且1-k b a =+，ab=3,则k 的最⼩整数值是_____________.18.若50z -y x 30z y x =+3=++，，且x 、y 、z 均为⾮负数，则z y 5x M 2+4+=的最⼤值为_________________. 三、解答题(本⼤题共2⼩题，每⼩题15分，满分30分) 19. 已知在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC=4,现将⼀块边长⾜够⼤的直⾓三⾓板的直⾓顶点置于AB 的中点O ，两直⾓边分别经过点B 、C ，然后将三⾓板绕点O 按顺时针⽅向旋转⼀个⾓度0(α＜α＜90），旋转后，直⾓三⾓板的直⾓边分别与AC 、BC 相交于点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三⾓板与△ABC 的重叠部分（如图所⽰）。
2007年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试题及答案
2007年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷（本卷满分120分，考试时间：3月18日8:30 —— 10:30） 一、选择题（本大题满分 50分，每小题5分）在下列各题的四个备选答案中，只有 个是正确的，请把正确的答案的字母代号填写括号内. 1.若m 为实数，则代数式 m +m 的值- -定是 ). A 、正数 B 、0 C 、负数 2. 如图1所示，是两架处在平衡状态的天平，那么， 下列判断正确的是（ ）. A 、c>a B 、a<b C 、a<c 3. 如图2，点C 是/ FAQ 的平分线上一点，点 B 、 加一个条件，即可推出 AB=AB ,那么该条件不可以是（ A 、BB'丄 AC B 、CB=CB ' C 、/ ACB=/ ACB D 、 对于 D 、非负数 a 、b 、c 三种物体的重量, b<c B '分别在边AP 、AQ 上，如果再添 ）• /D 、/ ABC=Z AB ' C| ⑥1\ 叵叵/ \ & & b / 图1 图24.图3是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正 方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形 的两条直角边长分别为 a 、匕，则（a+b ） 2的值是（ A 、 13 B 、 19 C 、 25 D 、 169)• 2 5 •已知m 是方程x - 2006X +1 = 0的一个根, 则代数式 2 2006 m -2005m + r +3的值等于(m +1A 、 2005B 、 2006)• C 、 2007D 、.20086.将一段72cm 长的绳子，从一端开始每3cm 作一记号，每 有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）. C 、 35 D 、 34 4cm 也作一记号，然后从 A 、 37 B 、 36 7.某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有 9种菜，每份菜单单价分别为 5、6、7、8、9 （元），旅游团领队交代：每人可选不同的菜，但金额都须正好 种菜最多只能买一份， 的人数不少于（ A 、9人&如图 体共有（ 这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中， ）• B 、10 人 C 、11 人 D 、12 人 4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方 ）块.1、 2、 3、 4、 10元，且每一 至少有一个方案 B 、 10 A 、9 C 、11 D 、 12三、解答题（本大题共2小题，每小题15分，满分30分)二、填空题（本大题共 8小题，每小题5分，满分40分）11 •若[x ]表示不超过x 的最大整数，如[3.2]= 3,[- 3.7]= - 4,[0.7]= 0等，则轾5 + 3[- p ]=12. 在直径为4cm 的O O 中，长度为2、3cm 的弦BC 所对的圆周角的度数 为 ______ . _____13. ________________________________________ 如图6，电路图上有四个开关 A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关 D 或 同时闭合开关 A 、B 、C 都可以使小灯泡放光，那么随机闭 合其中两个开关，能使小灯泡发光的概率为 ________________________________________________ .14. 如图 7，在厶 ABC 中，AB=5,AC=3, D 为 BC 的 中点，AD=2，贝U tan / BAD = _________ .15. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同， 如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔 t （整数）小时增加一个人干， 每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且最后参加的一个人1装卸的时间是第一个人的一，则按改变的方式装卸，4自始至终共需时间 ________________ 小时.16. 在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程 化的图象（全程）分别用图 8中的实线（》A T B ^C ） 次比赛过程中，乙领先甲时的 x 的取值范围是17. 已知 a v 3，b >3，且 a + b = k- 1， ab=3,则k 的最小整数值是 ________________ . 18.若 x + y + z = 30,3x+ y- z = 50 , 且x 、y 、z 均为非负数，则M = 5x+ 4y+ 2z 的最大值为9.如图5，将厶ABC 沿着它的中位线 DE 折叠后，点A 落到点A '，若/ C=120，/ A=26 ,则/A 'DB 的度数是（ ）.A 、120B 、112C 、11010.方程2x- A 、0个x 2 = 2的正根的个数是（xB 、1个)•108D 、图7y （千米）随时间x （分钟）变 与虚线（OD ）表示，那么，在本meE819. 已知在△ ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点0,两直角边分别经过点B、C,然后将三角板绕点0按顺时针方向旋转a v 90 ：),旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交一个角度加。
2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题参考答案
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C 解：由3210x x x +++=，得1x =-， 所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1． 2．答案：A 解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4．3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限． 5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab +=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则 △OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26，∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2；解：当x ≤-3时，y = -3x -6； 当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个；解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形．9．答案：5312； A D（第2题） AB CEFO G（第6题）解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得：︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ．解得AD =5312． 10．答案：1，或253±-；解：由已知，321x x x (200032120001)x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得123200012319991515,x x x x x x x x±±==． 所以12000=x ，或2000x =．11．答案：238104；解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上． 12．答案：36；解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m +⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36． 三、解答题（共4题，满分54分）13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c-=-， 即A （2-，0）． 所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ， 因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++，解得12x =-，25x =-． 将它们分别代入y =36x --，得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15． 14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形．∵F 是AC 的中点，∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵AB ∥CD ，∴DN AN PN MN =．∵AD ∥CE ，∴DN CQPN PQ =． ∴+PN MN =PN PQ DN AN DN CQ +=DN CQ AN +． 又=OQ DN 31=OG DG ，∴OQ =3DN ．∴CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ，于是，AN +CQ =2DN ，∴+PN MN =PN PQ DNCQ AN +=2， 即MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，...，2008分成1004对，每对数的和为2009， 每对数记作(m ，2009-m )，其中m =1，2，3， (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之 一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，(123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，BACMN P E FQ DG O每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，． 又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=．（2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003，1004，…，2008，则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017；当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017．所以1006n ≤时都不成立．。
2007年全国初中数学联赛试题及解答
2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题 1. 已知z y x ,,满足x z z y x +=−=532，则zy y x 25+−的值为（ ） （A）1. （B）31. （C）31−. （D）21.2．当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，，2006，2007时，计算代数式20052211x x +−的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）（A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007.3. 设是△的三边长，二次函数c b a ,,ABC 2)2(2ba cx xb a y −−−−=在时取最小值1=x b 58−，则△是（ ）ABC （A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.4. 已知锐角△的顶点ABC A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ）（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°. 5．设是△内任意一点，△、△K ABC KAB KBC 、△KCA 的重心分别为D 、E 、F ，则的值为 （ ）ABC DEF S S △△:（A）91. （B）92. （C）94. （D）32.6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（A ）101. （B ）51. （C ）103. （D ）52.二、填空题 1. 设121−=x ，是a x 的小数部分，是b x −的小数部分，则=++ab b a 333____1___.2. 对于一切不小于2的自然数，关于n x 的一元二次方程22(2)2x n x n 0−+−=的两个根记作（），则n n b a ,2≥n )2)(2(122−−b a )2)(2(133−−+b a L +)2)(2(120072007−−+b a = 3. 已知直角梯形的四条边长分别为ABCD 6,10,2====AD CD BC AB ，过B 、D 两点作圆,与BA 的延长线交于点E ，与的延长线交于点CBF ，则BF BE −的值为_________.4． 若100和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是__64+a 64201+a a _____.第二试 （A 卷）一、 设为正整数，且n m ,2≠m ，如果对一切实数t ，二次函数的图象与mt x mt x y 3)3(2−−+=x 轴的两个交点间的距离不小于2t n +，求m 的值.n ,ABCDEFMN P 二、如图，四边形是梯形，点ABCD E 是上底边AD 上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交的延长线于点CD M ，BM 与AD 交于点.证明：∠=∠N AFN DME .三、 已知是正整数，如果关于a x 的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.056)38()17(23=−−+++x a x a x a第二试 （B 卷）一、设为正整数，且n m ,2≠m ，二次函数的图象与mt x mt x y 3)3(2−−+=x 轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与1d nt x n t x y 2)2(2+−+−=x 轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数t 恒成立，求的值.2d 21d d ≥n m ,二、题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、设是正整数，二次函数，反比例函数a a x a x y −+++=38)17(2xy 56=，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值.第二试 （C 卷）一、题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二、题目和解答与（A ）卷第二题相同.三、设是正整数，如果二次函数和反比例函数a a x a x y 710)232(22−+++=xay 311−=的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点a2007年全国初中数学联合竞赛答案第一试一、选择题 1. B.由x z z y x +=−=532得x z x y 23,3==，所以31333525=+−=+−x x x x z y y x ，故选（B ）. 注：本题也可用特殊值法来判断.2. C.因为=+−++−2222111(1)1(1n n nn 011112222=+−++−n n n n ，即当x 分别取值n 1，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当n n (1=x 时，0111122=+−.因此，当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，时，计算所得各代数式的值之和为0. 故选（C ）.20073. D.由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−−−,5822,1)2(2b b a c b a b a c 即⎪⎩⎪⎨⎧==+,53,2b c a c b 所以b c 53=，b a 54=，因此，所以△是直角三角形. 故选（D）. 222b c a =+ABC 4. C.锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的外心为O ，ABC ABC D 为的中点，BO 的延长线交⊙O 于点BC E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则OB OD CE AH 2===，所以∠OBD ＝30°，∠＝60°，所以∠BOD A ＝∠＝60°.故选（C）.BOD5. A.分别延长、KE 、KF ，与△的三边KD ABC AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为△、△KAB KBC 、△KCA 的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、、CA 的中点，所以BC ABC MNP S S △△41=. 易证△DEF ∽△，且相似比为，所以MNP 3:2MNP DEF S S △△2)32(=ABC S △4194⋅=ABC S △91=.所以:DEF S △19ABC S =△.故选（A）.6. B.设摸出的15个球中有x 个红球、y 个黑球、z 个白球，则z y x ,,都是正整数，且，7,6,5≤≤≤z y x 15=++z y x .因为13≤+z y ，所以x 可取值2，3，4，5.当时，只有一种可能，即2=x 7,6==z y ；当时，，有2种可能，3=x 12=+z y 7,5==z y 或6,6==z y ；当时，，有3种可能，4=x 11=+z y 7,4==z y 或6,5==z y 或； 5,6==z y 当时，，有4种可能，5=x 10=+z y 7,3==z y 或6,4==z y 或或.5,5==z y 4,6==z y 因此，共有1＋2＋3＋4＝10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为51102=.故选（B ）.二、填空题 1. 1∵12121+=−=x ，而3122<+<，∴122−=−=x a .又∵12−−=−x ，而2123−<−−<−，∴22)3(−=−−−=x b .∴，1=+b a ∴=++ab b a 333=++−+ab b ab a b a 3))((221)(3222=+=++−b a ab b ab a . 2. 10034016−由根与系数的关系得2+=+n b a n n ，，所以22n n a b n ⋅=−=−−)2)(2(n n b a (2−n n b a 4)++n n b a 222(2)42(1n n n n )=−−++=−+， 则1111((2)(2)2(1)21n n a b n n n n =−=−−−−++1， )2)(2(122−−b a )2)(2(133−−+b a L +)2)(2(120072007−−+b a ＝11111111111003()()()()22334200720082220084016⎡⎤+−++−=−−=−⎢⎥⎣⎦L −−.3. 4A BCD EFGM N 延长CD 交⊙于点G ，设的中点分别为点M ，则易知.因为O DG BE ,N ,DN AM =10==CD BC ，由割线定理，易证，所以DG BF =42)(2)(2==−=−=−=−AB AM BM DN BM DG BE BF BE . 4. 17设100，，则264m a =+264201n a =+100,32<≤n m ，两式相减得))((10122m n m n m n a −+=−=，因为101是质数，且101101<−<−m n ，所以，故101=+m n 1012−=−=n m n a .代入，264201n a =+整理得n ，解得020*******=+−n 59=n ，或343=n （舍去）. 所以a .171012=−=n第二试 （A 卷）一． 解 因为一元二次方程的两根分别为和−，所以03)3(2=−−+mt x mt x mt 3二次函数的图象与mt x mt x y 3)3(2−−+=x 轴的两个交点间的距离为3mt +.由题意，32mt t n +≥+，即，即22(3)(2)mt t n +≥+222(4)(64)9m t m n t n −+−+−≥0.由题意知，，且上式对一切实数t 恒成立，所以042≠−m ⎪⎩⎪⎨⎧≤−−−−=Δ>−,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 22,4(6)0,m mn >⎧⇒⇒⎨−≤⎩⎩⎨⎧=>,6,2mn m 所以或 ⎩⎨⎧==,2,3n m ⎩⎨⎧==.1,6n m二．证明 设与MN EF 交于点P ，∵//，NE BC ∴△∽△，∴PNE PBC PCPEPB PN =, ∴.PC PN PE PB ⋅=⋅又∵ME //BF ，∴△PME ∽△PBF ，∴PFPEPB PM =, ∴PF PM PE PB ⋅=⋅. ∴,故PF PM PC PN ⋅=⋅PFPCPN PM = 又∠=∠FPN MPE ，∴△PNF ∽△PMC ，∴∠PNF ＝∠PMC ，∴NF//MC ∴∠ANF ＝∠EDM.又∵ME//BF ，∴∠FAN ＝∠MED.∴∠ANF ＋∠FAN ＝∠EDM ＋∠MED ，∴∠AFN=∠DME.三 解 观察易知，方程有一个整数根11=x ，将方程的左边分解因式，得[]056)18()1(2=+++−x a x x因为a 是正整数，所以关于x 的方程056)18(2=+++x a x （1）的判别式，它一定有两个不同的实数根.0224)18(2>−+=Δa 而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数.224)18(2−+=Δa设（其中为非负整数），则，即22224)18(k a =−+k 224)18(22=−+k a 224)18)(18(=−+++k a k a .显然与的奇偶性相同，且k a ++18k a −+181818≥++k a ，而8284562112224×=×=×=，所以⎩⎨⎧=−+=++,218,11218k a k a 或或解得或或 ⎩⎨⎧=−+=++,418,5618k a k a ⎩⎨⎧=−+=++,818,2818k a k a ⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==,26,12k a ⎩⎨⎧==,10,0k a 而是正整数，所以只可能或a ⎩⎨⎧==,55,39k a ⎩⎨⎧==.26,12k a 当时，方程（1）即，它的两根分别为39=a 056572=++x x 1−和.此时原方程的三个根为1，和.56−1−56−当时，方程（1）即，它的两根分别为12=a 056302=++x x 2−和.此时原方程的三个根为1，和。
2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及参考答案
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2007年4月1日 下午1：00—3：00）答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1．若3210x x x +++=，则2627--+x x+ … +x x ++-11+ … +2726x x +的值是（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）2 2．定义：定点A 与⊙O 上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与⊙O 之间的距离．现有一矩形ABCD 如图，AB =14cm ，BC =12cm ，⊙K 与矩形的边AB 、BC 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，则点A 与⊙K 的距离为（ ）（A ）4cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）12cm3．某班选举班干部，全班有50名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，50．老师规定：同意某同学当选的记“1”，不同意（含弃权）的记“0”． 如果令⎩⎨⎧=号同学当选．号同学不同意第，第号同学当选，号同学同意第，第，j i j i a j i 01其中i =1，2，...，50；j =1，2， (50)则同时同意第1号和第50号同学当选的人数可表示为（ ）（A ）2111，，a a ++ … ++++250150501，，，a a a … +5050，a （B ）1211，，a a ++ … ++++502501150，，，a a a … +5050，a （C ） 50111，，a a +50212，，a a + … +5050150，，a a （D ） 15011，，a a +25021，，a a + … +5050501，，a aA（第2题）4．若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） （A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限5．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)无穷多个 6．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( )(A) 12 (B) 16(C)(D)二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．函数321+++++=x x x y ，当x = 时，y 有最小值，最小值等于 ．8．以立方体的8个顶点中的任意3个顶点为顶点的三角形中，正三角形的个数为 ．9．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB =6 cm ，AC =4 cm ，∠A =60°，则AD 的长为 cm ． 10．设，，，321x x x … ，2007x 为实数，且满足321x x x …2007x =321x x x -…2007x =321x x x -…2007x =…=321x x x …20072006x x -=1，则2000x 的值是 ．11．正六边形轨道ABCDEF 的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别从A ，C 两点同时出发，均按A →B →C →D →E →F →A →… 方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过 秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．正整数M 的个位上的数字与数20152013的个位上的数字相同，把M 的个位上的数字移到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N ．若N 是M 的4倍，T 是M 的最小值，则T 的各位数字之和等于 ．ABCEFO（第6题） （第9题）ABCD三、解答题（共4小题，满分54分）13．（本题满分12分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象G 和x 轴有且只有一个交点A ，与y 轴的交点为B （0，4），且ac b =． （1）求该二次函数的解析表达式；（2）将一次函数y =3-x 的图象作适当平移，使它经过点A ，记所得的图象为L ，图象L 与G 的另一个交点为C ，求△ABC 的面积．如图，AB ∥CD 、AD ∥CE ，F 、G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB 、AD 、CD 、CE 于点M 、N 、P 、Q，求证：MN +PQ =2PN ．BACMN P EFQDG2007个质点均匀分布在半径为R 的圆周上，依次记为1P ，2P ，3P ，…，2007P ．小明用红色按如下规则去涂这些点：设某次涂第i 个质点，则下次就涂第i 个质点后面的第i 个质点．按此规则，小明能否将所有的质点均涂成红色？若能，请给出一种涂点方案；若不能，请说明理由．从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数，（1）求证：当n=1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017．（2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题参考答案一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1．答案：C解：由3210x x x +++=，得1x =-，所以2627--+x x + … +x x ++-11+ … +2726x x +=-1．2．答案：A解：连结AK 、EK ，设AK 与⊙O 的交点为H ，则AH 即为所求， 因为AK =22AE EK +=10，所以AH = 4． 3．答案：C解：由题意得C 正确． 4．答案：A解：由已知可得t c b a c b a )(2++=++，当0a b c ++≠时，12t =，1124y x =+，直线过第一、二、三象限； 当0a b c ++=时，1t =-，1y x =-+，直线过第一、二、四象限．综合上可得，直线必定经过的象限是第一、二象限．5．答案：C解：设直角三角形的两条直角边长为,a b (a b ≤)，则12a b k ab ++=⋅（a ,b ,k 均为正整数），化简，得(4)(4)8ka kb --=，所以4148ka kb -=⎧⎨-=⎩或4244ka kb -=⎧⎨-=⎩．解得1512k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或234k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩或⎪⎩⎪⎨⎧===.8,6,1b a k 即有3组解．6．答案：B解：在AC 上取一点G ，使CG =AB =4，连接OG ，则△OG C ≌△OAB ，所以OG =OA =26， ∠AOG =90°，所以△AOG 是等腰直角三角形，AG =12，所以AC =16．A（第2题）AB CEFO G（第6题）二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．答案：-2，2解：当x ≤-3时，y = -3x -6；当-3＜x ≤-2时，y = -x ； 当-2＜x ≤-1时，y =x +4； 当x ＞-1时，y =3x +6．；所以当x =-2时，y 的值最小，最小值为2． 8．答案：8个解：正三角形的各边必为立方体各面的对角线，共有8个正三角形． 9．答案：5312 解：由S △ABC =S △ABD + S △ADC ，得︒⋅⋅60sin 21AC AB =︒⋅⋅+︒⋅⋅30sin 2130sin 21AC AD AD AB ． 解得AD =5312．10．答案：1，或253±-解：由已知，321x x x ...200032120001x x x x x -=1，321x x x (1999)32119991x x x x x -=1，解得12320001231999x x x x x x x x ==． 所以12000=x，或2000x = 11．答案：238104解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，乙走了2.91208x ⨯厘米，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+⨯>--+-⨯．，1201202402.91208120)1(1202402.9)1(1208x x x x解得328327<≤x ．因x 是整数，所以x =8，即经过2.98120⨯=232400=238104秒时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．12．答案：36 解：20152013的个位数字是7，所以可设710+=k M ，其中k 是m 位正整数，则k N m+⨯=107．由条件N =4M ，得k m+⨯107=)710(4+k ，即39)410(7-=m k ．当m =5时，k 取得最小值17948．所以T =179487，它的各位数字之和为36．三、解答题（共4题，满分54分） 13．(12分)解：（1）由B （0，4）得，c =4．G 与x 轴的交点A （2ba-，0）， 由条件ac b =，得b c a =，所以2b a -=22c -=-，即A （2-，0）．所以4,4240.b a a b =⎧⎨-+=⎩解得1,4.a b =⎧⎨=⎩所求二次函数的解析式为244y x x =++．（2）设图象L 的函数解析式为y =3-x +b ，因图象L 过点A （2-，0），所以6b =-，即平移后所得一次函数的解析式为y =36x --．令36x --=244x x ++， 解得12x =-，25x =-．将它们分别代入y =36x --， 得10y =，29y =．所以图象L 与G 的另一个交点为C （5-，9）． 如图，过C 作CD ⊥x 轴于D ，则 S △ABC =S 梯形BCDO -S △ACD -S △ABO =111(49)53924222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=15．（第13题）14．(12分)证明：延长BA 、EC ，设交点为O ，则四边形OADC 为平行四边形． ∵ F 是AC 的中点， ∴ DF 的延长线必过O 点，且31=OG DG ． ∵ AB ∥CD ， ∴DNANPN MN =． ∵ AD ∥CE ，∴DNCQPN PQ =． ∴ +PN MN =PN PQ DN AN DNCQ+ =DNCQ AN +．又=OQ DN 31=OG DG ， ∴ OQ =3DN ．∴ CQ =OQ -OC =3DN -OC =3DN -AD ，AN =AD -DN ， 于是，AN +CQ =2DN ， ∴+PN MN =PNPQ DN CQAN +=2，即 MN +PQ =2PN ．15．(14分)解：不能．理由：设继i P 点涂成红色后被涂到的点是第j 号，则j =2,22007,22007,22007.i i i i ≤⎧⎨->⎩若i =2007，则j =2007，即除2007P 点涂成红色外，其余均没有涂到． 若i ≠2007，则2i ≠2007，且2i ≠4014，即2i -2007≠2007， 表明2007P 点永远涂不到红色．BACMN P E FQDG O 初中数学资源网第11页（共6页） 16．(16分)解：（1）设123x x x ，，，…，1007x 是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数．首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m ，2009-m ) ，其中m =1，2，3， (1004)因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，因此至少有3对数，不妨记为112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，， (123m m m ，，互不相等)均为123x x x ，，，…，1007x 中的6个数．其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008-k ) ，其中k =1，2， (1003)2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是123x x x ，，，…，1007x 中的4个数，不妨记其中的一对为11(2008)k k -，．又在三对数112233(2009)(2009)(2009)m m m m m m ---，，，，，，(123m m m ，，互不相等)中至少存在1对数中的两个数与11(2008)k k -，中的两个数互不相同，不妨设该对数为11(2009)m m -，，于是1111200920084017m m k k +-++-=．（2）不成立．当1006n =时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：1003 ，1004， (2008)则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017；当1006n <时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n 个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017．所以1006n ≤时都不成立．。
【精华】2007年全国初中数学竞赛
2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．草稿纸不上交．一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．函数||1xy-=图象的大致形状是（）2．老王家到单位的路程是3 500米，老王每天早上7∶30离家步行去上班，在8∶10(含8∶10)至8∶20(含8∶20)之间到达单位，如果设老王步行的速度为x米/分，则老王步行的速度范围是（）(A) 70≤x≤87.5 (B) x≤70或x≥87.5 (C) x≤70 (D) x≥87.5 3．如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB=60º，D是 BC的中点，则tan∠ADC等于（）(A)12(B) 2(C)(A) (B) (C)4． 抛物线2y x x p =++（p ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ） (A)（0,2-）(B)（19,24-） (C)（19,24-） (D) （19,24--）5． 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =36º，CD 是角平分线，则△DBC的面积与△ABC 面积的比值是（ ）(A)(B)(C)(D)6． 直线:l y px =（P 是不等于0的整数）与直线10y x =+的交点恰好是格点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） (A) 6条 (B) 7条 (C) 8条 (D) 无数条 7． 把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□x 2+□x +□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a ，b ，c （ ） (A) 不存在(B) 有一组(C) 有两组(D) 多于两组8． 六个面上分别标有1，1，2，3，3，5六个数字的均匀立方体的表面展开图如图所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标．已知小明前两次掷得的两个点能确定一条直线l ，且这条直线l 经过点P (4，7)，那么他第三次掷得的点也在直线l 上的概率是（ ）A ．23B ．12C ．13D ．161 13 3 2 5 (第8题)BC(第5题)二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9． 若a 是一个完全平方数，则比a 大的最小完全平方数是 ．10．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间小正方形（阴影部分）的周长为 ．11．在锐角三角形ABC 中，∠A =50º，AB ＞BC ，则∠B 的取值 范围是 ．12．设正△ABC 的边长为a ，将△ABC 绕它的中心(正△ABC 外接圆的圆心)旋转60°得到对应的△A B C '''，则A ，B ′两点间的距离等于 ．13．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD ，已知AD =3，AO =8，OC =5，若点P 在梯形内，且PAD POC S S ∆∆=，PAO PCD S S ∆∆=，那么点P 的坐标是 ．14．已知A ，B ，C ，D 四人的体重均为整数千克，其中A 最轻，其次是B ，C ，D ，以他们中的每两人为一组称得的体重如下（单位：千克）：45， 49， 54， 55， 60， 64．则D 的体重为 千克．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15．已知18b a -=，2124a a +=，求ba a -的值．(第13题)(第10题)16．现有a 根长度相同的火柴棒，按如图1摆放时可摆成m 个正方形，按如图2摆放时可摆成2n 个正方形．(1) 用含n 的代数式表示m ；(2) 当这a 根火柴棒还能摆成如图3所示的形状时，求a 的最小值．(图3)(图2) (图1)17．如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与AB和BC边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G ，求∠DEF 的度数．E(第17题)18．已知抛物线l 1：22221y ax amx am m =-+++（a ＞0，m ＞0）的顶点为A ，抛物线l 2的顶点B 在y 轴上，且抛物线l 1和抛物线l 2关于点P (1，3)成中心对称． (1) 当1a =时，求l 2的解析式和m 的值； (2) 设l 2与x 轴正半轴的交点是C ，当△ABC 为等腰三角形时，求a 的值．2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1． 答案：D解：当x ＞0时，x y 1-=，图象在第四象限；当x ＜0时，x y 1=，图象在第三象限．所以原函数的图象在第三、四象限． 2． 答案：A解：根据题意可知老王去上班路上所用的时间在40至50分钟之间，所以350035005040x ≤≤，即70≤x ≤87.5． 3． 答案：D解：连接AC ，设∠DAC =∠DAB =xº，∠ABC =y º，则有x +y =60，2x +y =90，解得 x =30．所以tan ∠DAC ．4． 答案：D解：由题意得，20p p p ++=，解得122,0p p =-=（舍去）当22p =-时，抛物线是22y x x =+-，求得顶点坐标是（19,24--）．5． 答案：C解：如图所示，易证AD =DC =BC ，△CDB ∽△ABC ．(第18题备用图)所以BC BDAB BC=，BC AB BCAB BC-=，1BC ABAB BC=-．可解得BCAB=．所以DBCABCS BD AB ADS AB AB∆∆-===ABBC-1=．6．答案：B解：解方程组,10.y pxy x=⎧⎨=+⎩，得101xp=-，因为x和p都是整数，所以110,5,2,1p-=±±±±，即11,9,6,4,3,1,2,0p=---共8个值，0p=舍去．7．答案：C解：设三个连续的正整数分别为n－1，n，n＋1（n为大于1的整数），当一次项系数是n－1或n时，方程的判别式△均小于零，方程无实数根；当一次项系数是n＋1时，方程的判别式△=()22141314n n n n+--=--+（）（），要使△≥0，由于n为大于1的整数，所以n只能取2．当n=2时，方程2320x x++=，22310x x++=均有整数根，所以满足要求的a，b，c只有两组：（1，3，2）、（2，3，1）8．答案：A解：每掷一次可能得到6个点的坐标是(其中有两个点是重合的)：(1，1)，(1，1)，(2，3)，(3，2)，(3，5)，(5，3)，通过描点和计算可以发现，经过(1，1)，(2，3)，(3，5)三点中的任意两点所确定的直线都经过点P(4，7)，所以小明第三次掷得的点也在直线l上的概率是3264=．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．答案：1a+解：比a大的最小完全平方数是21)1a=+．10．答案：解：作如图所示的辅助线，易知小正方形的边长是，故所求周长为11．答案：40º＜∠B＜80°解：如图，当BC最短时，∠ABC＝40º，现以B为圆心，AB长为半径画弧交直线AC于点C1，当BC1长等于AB时，∠ABC1＝80º，所以40º＜∠B＜80º．12解：当△ABC按顺时针方向旋转60°时（如图1），连结OA，OB′，∵∠AOB′=60°，∴△OAB′为正三角形，(第11题)(第10题)∴AB ′． 当△ABC 按逆时针方向旋转60°时（如图2），AB ′=2×OA=3a ． 13．答案：（178，3） 解：梯形AOCD 的面积=358322+⨯=（）．过P 作PE ⊥y 轴于点E ，∵PAD POC S S ∆∆=，∴3AE =5OE ，即3(8-OE )=5OE ，解得OE =3．∴PAD POC S S ∆∆==7.5，PAO PCD S S ∆∆==(32-2×7.5)÷2=8.5．∴188.52PE ⨯⨯=，PE =178． ∴ P 点的坐标是（178，3）． 14．答案：35解：∵ A ＋B =45，……①A ＋C =49，……② C ＋D =64，B ＋D =60，②－①，得C －B =4，则B ＋C =B ＋(B ＋4)=2×B ＋4为偶数． 在54千克与55千克中，只有54为偶数，∴ B =25，∴D =35．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15．(12分)解： ①×2-②， 得a a b 3222=-．由题意，得 a ≠0．两边同除以2a ，得32b a a -=．16．(12分)解：(1) 图1中火柴棒的总数是(31m +)根，图2中火柴棒的总数是（52n +）根，1,8b a -= ……①212.4a a +=……②(第13题)因为火柴棒的总数相同，所以3152m n +=+， 所以513n m +=． (2) 设图3中有3 p 个正方形，那么火柴棒的总数是(73)p +根， 由题意得a =315273m n p +=+=+，所以325177m n p --==． 因为m ，n ，p 均是正整数，所以当m =17，n =10时，p =7，此时a 的值最小，31715102773a =⨯+=⨯+=⨯+=52．17．(12分)解：过点E 作BC 的垂线与圆交与点H ，与AC 交于点O ， 连结AH 和DH ，作AM ⊥BC ，垂足是M ．因为E 是切点，所以EH 必过圆心，即EH 是直径， 所以DH ⊥DE ，因为D ，E 是切点，所以BD =BE ， 又因为∠B =60°，所以△DBE 是正三角形， 所以∠BDE =∠BAC =60°， 所以DE ∥AC ，DH ⊥AC ．由已知得AM =EH ，又AM ∥EH ，所以四边形AMEH 是矩形， 所以AH ⊥H E ，即AH 是切线，所以AD =AH ，AC 垂直平分DH ，AC 必过圆心， 所以AC 与EH 的交点O 是圆心， 所以OE =OF ，因为∠COE =90°-∠C =30°，所以∠OEF =75°， 又∠DEO =∠EOC =30°， 所以∠DEF =30°+75°=105°．18．(14分)解：(1) 当a =1时，因为22221y ax amx am m =-+++=()221x m m -++．所以顶点A (m ，2m +1)，又P (1，3)，设直线AB 的解析式是y =kx +b ，把点A ，P 的坐标代入，得①—②，得2m -2=（m -1）k ，因为m ≠1（若m=1，则A ，B ，P 三点重合，不合题意），所以k =2，b =1，所以直线AB 的解析式是y =2x +1，得 l 2的顶点B (0，1)，因为l 2与l 1关于点P 成中心对称，所以抛物线的开口大小相同，方向相反，得 l 2的解析式是21y x =-+．(第17题)M21,m km b +=+…① 3.k b =+…②(第18题图1)初数初赛试题 第11页（共11页） 因为点A ，B 关于点(1,3)P 成中心对称（如图1），作PE ⊥y 轴于点E ，作AF ⊥y 轴于点F ，则△BPE ∽△BAF ，所以AF =2PE ，即m =2．(2) 在Rt △ABF中，因为AB =5，所以当△ABC 为等腰三角形时，只有以下两种情况：i) 如图2，若BC AB ==OC得0)C因为0)C 在12+-=ax y 上， 所以119a =ii) 如图3，若A C B C=，设C （x ，0），作AD ⊥x 轴于点D ，在Rt △OBC 中，221BC x =+，在Rt △ADC 中，()22225AC x =-+，由()221225x x +=-+，解得7x =．因为C (7，0)在12+-=ax y 上，所以149a =． 综上可得，满足使△ABC 是等腰三角形的a 值有两个，1211,1949a a == ．(第18题图2) (第18题图3)。
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１2007年全国初中数学竞赛试题及答案考试时间：2007年4月1日上午9：30—11：30（温州市鹿城区临江中学 陈昆明 解答）一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分）1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x 的实数解的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解：选（A ）。
当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20解：选（B ）。
只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解：选（D ）。
设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++=，20bt ct a ++=，20ct at b ++= 三式相加得：2()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=，所以ab c ca b bc a 222++＝333a b cabc++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ）（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心解：选（B ）。
如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ，即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。
分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。
又因为∠KHD ＝∠ACD ，所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。
5．方程256323+-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多解：选（A ）。
原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6２D 的倍数。
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．如图，点A ，C 都在函数)0(33>=x xy 的图像上，点B ，D 都在x 轴上， 且使得△OAB ， △BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为． 解：填D 。
设OB＝2a ，BD ＝2b ，由△OAB ，△BCD 都是等边三角形，得(),(2)A a C a b+，把点A ，C 坐标代入y =a b = 即(22,0)D a b D +=7．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB = 90°，CA = 4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ． 解：填4。
连结OP ，OB ，则所求面积之差的绝对值＝222OPQ OBQ OPB S S S ∆∆∆+=＝2×2×8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =︒90·n ，则=n ． 解：填6。
如图：∠A+∠E+∠F ＝360°-∠α，∠B+∠C+∠G=360°-∠β，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G ＝（360°-∠α）+（360°-∠β）+∠＝540°＝690⨯︒9．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图像与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 ． 解：填11,32a a -≤<-=-或（1）若图像的顶点在AB 上，则有23122(3)120,a a -⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=--=⎩解得：3a =-（2）若图像的顶点在x 轴下方，则有(1)1330(2)42(3)30,f a f a =+-+≤⎧⎨=+-+>⎩或(1)1330(2)42(3)30,f a f a =+-+≥⎧⎨=+-+<⎩分别解之，得11,2a -≤<-综上，得：11,32a a -≤<-=-或10．已知对于任意正整数n ，都有321n a a a n =+⋯++，则=-+⋯+-+-11111110032a a a ． 解：填33100。
由321n a a a n =+⋯++及3121(1)n a a a n -++⋯+=-得33(1)3(1)1n a n n n n =--=-+ 题图第6３所以11n a -111C （1（2）当PQ 解：（1不妨设点所以AB =（2）设P 因为PQ ∥所以PQ ＝即当a ＝012．已知a 解：假设方程0)(22=++-b a abx x 有两个整数解为12,x x ， 由1121220,()0x x ab x x a b +=>=+> 知120,0x x >>， 下证（1）12x x ≠事实上，若12x x =，则2()2()0ab a b ∆=-+=，2()2()ab a b =+， 即2()112()2(11)4a b aba b ab +==+≤+=，因a ，b 为正整数,所以ab ＝1，2，3或4，易知不存在a ，b 的值满足2()2()ab a b =+ （2）不妨设12x x < 则12122112x x a b x x ab a b+==+≤+，即121222x x x x x ≤+<，所以有12x <，因1x 是正整数，故11x =把11x =代入原方程得，121()0ab a b -++= 即2()20ab a b -+-=，也即42()15ab a b -++= 所以(21)(21)5a b --=，因a,b 都是正整数，４则211215215,211,a a b b -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩或 解得：133,1,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 由12x x ab +=得21312x =⨯-=综上，存在正整数a ＝1，b=3或a=3，b=1，使得 方程0)(212=++-b a abx x 有两个整数解为121,2x x ==。
13．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足BCADCF DE =．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ． 求证： （1）PCPDBC AD =； （2）△PAB ∽△PDC ． 证明：（1）连结PG ，PE ，PF ，四边形PGED 和四边形PGFC 都内接于圆180180PGE PDE PDE PCF PGF PCF PED PGD PFC ∠+∠=︒⎫⎧⎫⇒⇒∠=∠⎨⎬⎪⇒∠+∠=︒⎬⎩⎭⎪∠=∠=∠⎭PCE ∆∆ PD DE PC CF AD DE BC CF ⎫⇒=⎪⎪⇒⎬⎪=⎪⎭PCPD BC AD = （2） P D E P C F P D A P C BP A D P B C A D P D B C P C ∠=∠⇒∠=∠⎫⎪⇒∆∆⇒⎬=⎪⎭APD BPC APB DPC PA PD PA PB PB PC PD PC ∠=∠⇒∠=∠⎧⎫⎪⎪⎨⎬=⇒=⎪⎪⎩⎭PAB PDC ⇒∆∆14．（1）是否存在正整数m ，n ，使得)1()2(+=+n n m m ？（2）设)3(≥k k 是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得)1()(+=+n n k m m ？ 解：（1）由)1()2(+=+n n m m 得：22(1)1m n n +=++又因为当n 为正整数时，2221(1)n n n n <++<+，所以21n n ++不是完全平方数，即m+1不是正整数，故不存在正整数m ，n ，使得)1()2(+=+n n m m(2)当k=3时，由(3)(1)m m n n +=+得：23(1)0m m n n +-+=，５若关于m 的方程有正整数解，则2294(1)8(21)n n n l ∆=++=++=（l 为正整数）， 即22(21)8,[(21)][((21)]8l n l n l n -+=++-+= 所以(21)8(21)4,(21)1(21)2l n l n l n l n ++=++=⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩或， 解得：54,0n = 所以不存在正整数m ，n ，使得)1()(+=+n n k m m 。
当3k >时，①若2(2k t t =≥的正整数)，代入)1()(+=+n n k m m 。
整理得22(1)0m tm n n +-+= 设222244(1)(41)(21)t n n t n l ∆=++=-++=（l 为正整数） 即2222(21)41[(21)][((21)]41)1l n t l n l n t -+=-++-+=-⨯，（令2(21)41(21)1l n t l n ⎧++=-⎨-+=⎩，解得2221l t n t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时2222222t l t t m t t -+-+===- ②若21(2k t t =+≥的正整数)，代入)1()(+=+n n k m m 。
整理得2(21)(1)0m t m n n ++-+= 设222(21)4(1)4(1)(21)t n n t t n l ∆=+++=+++=（l 为正整数） 即22(21)4(1)[(21)][((21)]2(1)2l n t t l n l n t t -+=+++-+=+⨯，令(21)2(1)(21)2l n t t l n ++=+⎧⎨-+=⎩，解得21(1)12l t t t t n ⎧=++⎪⎨+=-⎪⎩，此时22(21)(21)1222t l t t t t tm -++-++++-=== 并且m ，n 的值都是正整数。