理论力学课件3

xR
R = ∫ q( x)dx = 图形面积
a
b
O a x dx
xR
R l/2
O l
∫ q(x )xdx = 图形形心 = ∫ q(x )dx
b a b a
q
R 2l/3 q
l
R = ql
ql R= 2
[例] 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 例 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
Q(62)P2W(12+2)+NB4=0
QPW+NA+NB =0
解得： 解得：
N A =210kN, N B =870kN
§3-6 静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡
一、静定与静不定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 ∑ X = 0 ∑Y = 0 力偶系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个未知数。
主 R' = F′+ F′ + F′+K= ∑F 矢 1 2 3 i
主矩 MO =m1 +m2 +m3 +K =mO (F1)+mO (F2 )+K=∑mO (Fi )
R' = R'x + R' y = (∑ X )2 + (∑ Y )2 大小： 大小
2 2
主矢 R ′
方向： 方向
α = tan
1
④ R ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简 可以继续简 ′ 化为一个合力 R 。
MO O R’ O’ R” Od R’ O’ R O d O’ R
合力R的大小等于原力系的主矢 合力R的作用线位置
MO d= R
特殊情况： 特殊情况： 1 （ ）R ⊥ M O，可简化为一个力。 可简化为一个力。
§3 - 3
平面任意力系的简化结果 合力矩定理
简化结果： 主矢R ′，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R ′=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ， ② R ′=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。 ③ R ′ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。 这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）。 （ 。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
第三章
平面任意力系
平面任意力系实例
§3 - 1
B d F A
力线平移定理
F’ d F F” F’ A B m d
B
A
F=F’=F” 力F 力系 F , F ′, F ′′
M = F d = Mo F
( )
力F ′ + 力偶（ F ， F ′′）
力的平移定理：可以把作用在刚体上点 的力 平行移到任一 力的平移定理 可以把作用在刚体上点A的力 F 可以把作用在刚体上点 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 ，但必须同时附加一个力偶。 对新作用点B的矩 的矩。 的矩等于原来的力 F对新作用点 的矩。
（2）R M O , 力螺旋。 力螺旋。
(3) R不平行也不垂直M O ,
力螺旋。 力螺旋。
力螺旋工程应用： 力螺旋工程应用：
结论： 结论：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力R ;③平衡 ③ 合力矩定理：由于主矩 合力矩定理 而合力对O点的矩
M O = ∑mO ( Fi )
雨棚
固定端（插入端） 固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一 认为 平面内; 平面内
Fi MA A YA MA A XA A RA
② 将Fi向A点简化得一 点简化得一 力和一力偶; 力和一力偶 ③RA方向不定可用正交 分力Y 表示; 分力 A, XA表示 ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; 约束反力 限制物体平动, ⑤ YA, XA限制物体平动 MA为限制转动。 为限制转动。
∑ mB (F ) = 0
Q(6 + 2) + P 2 W (12 2) NA (2 + 2) = 0
限制条件： N A ≥ 0 限制条件 解得 Q≥75 kN ②空载时，W=0 由 空载时， 限制条件为：N B 限制条件
≥0
∑mA(F )=0
解得
Q(62)P2+ NB (2+2)=0
Q ≤ 350 kN
因此保证空、满载均不倒 应满足如下关系 应满足如下关系： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系
75 kN≤Q ≤350 kN
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少 求当 ，满载 时 由平面平行力系的平衡方程可得： 由平面平行力系的平衡方程可得：
∑mA(F)=0 ∑Fi =0,
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。 上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 例 解：①选AB梁研究 ②画受力图
YA A
2a XA
P a NB B
由∑ m A ( Fi ) = 0 X =0 XA = 0 ∑
2P P 2 a + N B 3a = 0 , ∴ N B = 3
2 2
∑
X =0
∑X =0
∑ m A ( Fi ) = 0
∑ m A ( Fi ) = 0 ∑ mB ( Fi ) = 0 ∑ mC ( Fi ) = 0
③三矩式 条件： 条件：A,B,C不在 不在 同一直线上
∑Y = 0
∑mO ( Fi ) = 0
①一矩式
∑ mB ( Fi ) = 0
②二矩式 条件： 条件：x 轴不⊥ AB 连线
i =1
n
mO ( R ) = R d = M O (主矩)
———合力矩定理
∴ MO (R)=∑mO (Fi )
n i=1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。 中各力对于同一点之矩的代数和。
[例1] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， 例 AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 解： 选整体研究 ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩点、Bxy,B点 ④ 列方程为:
X B = 0; ∑X =0 ∑ Y = 0 YB P = 0; YB = P ∑ mB = 0 M B P × DE = 0
∑ m A ( Fi ) = 0
∑ mB ( Fi ) = 0
一矩式
二矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即
∑X =0
条件： 连线不能平行 条件：AB连线不能平行 成立 ，所以只有两个独立方程， 于力的作用线 只能求解两个独立的未知数。
恒
R
y
分布载荷q(x)的合力大小及作用线
q(x) b x
[例] 已知：塔式起重机 P=700kN, 例 W=200kN (最大起重量)，尺寸如 图。求：①保证满载和空载时不 致翻倒，平衡块Q=？ ②当 Q=180kN时，求满载时轨道A、B 给起重机轮子的反力？
首先考虑满载时， ⑴ 解：⑴ ①首先考虑满载时，起 重机不向右翻倒的最小Q为 重机不向右翻倒的最小 为：
§3 - 4
由于
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
=0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为 平面任意力系平衡的充要条件为： 平面任意力系平衡的充要条件为 力系的主矢 都等于零，即： 和主矩 MO 都等于零
R' = (∑ X ) + (∑ Y ) = 0 M O = ∑mO ( Fi ) = 0
解方程得
MB =1000×1=1000(Nm)
① 再研究CD杆 ② 受力如图 ③ 取E为矩心，列方程 ④ 解方程求未知数
∑ m E = 0, S CA sin 45 o CE P ED = 0
SCA = P ED 1000×1 = = 1414( N ) o CE 0.707×1 sin 45
YA + N B P = 0, P ∴ YA = 3
∑Y = 0
§3 - 5
平面平行力系的平衡方程
设有F1, F2 … Fn 各平行力系，
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫。 平面平行力系
y
x1 x2 xn
F1 A1
F2 A2 An Fn x
向O点简化得：
RO MO O
主矢 R O = R ' = ∑ F
[ 例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系 物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫。 物系 [例] 例
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 外力 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。 内力
∑ m i =0
∑X =0 平面任意 ∑Y = 0 力系
三个独立方程，只能求三个未知数。 ∑mO ( Fi ) = 0
当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目= 独立方程数目 未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
物系平衡的特点： 物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 平衡方程，整个系统可列3 个方程 个方程（ 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 个物体） 有n个物体） 个物体