【同步测控】2015-2016学年九年级数学下册 3.6 直线和圆的位置关系(第1课时)能力提升 (新版)北师大版
北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》说课稿1
北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》说课稿1一. 教材分析《直线和圆的位置关系》是北师大版数学九年级下册第3.6节的内容。
这一节主要介绍了直线和圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。
通过本节课的学习，学生能够理解直线和圆的位置关系的概念，掌握判断直线和圆位置关系的方法，并能运用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了直线、圆的基本概念和性质，对图形的认知和空间想象能力有一定的基础。
但是，对于直线和圆的位置关系的理解和应用还较为困难，需要通过实例和练习来进一步巩固。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直线和圆的位置关系的概念，掌握判断直线和圆位置关系的方法。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，学生能够培养空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与学习活动，克服困难，增强对数学学习的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：直线和圆的位置关系的概念，判断直线和圆位置关系的方法。
2.教学难点：直线和圆位置关系的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作交流、启发引导的教学方法，让学生在探究中学习，在交流中思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示直线和圆的位置关系，帮助学生理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引发学生对直线和圆位置关系的思考，激发学习兴趣。
2.探究新知：学生通过观察、操作、交流，探讨直线和圆的位置关系，总结判断方法。
3.巩固新知：教师通过例题和练习，帮助学生巩固直线和圆位置关系的理解和应用。
4.拓展与应用：学生运用所学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
5.课堂小结：学生总结本节课的学习内容，教师进行点评和补充。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出直线和圆的位置关系的概念和判断方法。
可以采用流程图、示意图等形式，帮助学生理解和记忆。
北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》教案2
北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》教案2一. 教材分析《直线和圆的位置关系》是北师大版数学九年级下册第3.6节的内容。
本节主要让学生了解直线和圆的位置关系，包括相切和相交两种情况，并掌握判断直线和圆位置关系的方法。
通过本节的学习，学生能够进一步理解直线和圆的性质，为后续解析几何的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了直线、圆的基本性质和相互之间的交点性质。
但对于判断直线和圆位置关系的实践操作能力尚待提高，需要通过实例分析和动手操作，进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解直线和圆的位置关系，包括相切和相交两种情况。
2.让学生掌握判断直线和圆位置关系的方法。
3.培养学生的实践操作能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直线和圆的位置关系的判断方法。
2.教学难点：如何运用位置关系解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和动手操作法，引导学生主动探究，合作交流，从而提高学生对直线和圆位置关系的理解和应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。
2.准备课件和教学道具。
3.安排学生在课前预习相关内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习直线和圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
例如：“直线和圆有哪些基本的性质？它们之间有什么联系？”2.呈现（15分钟）展示直线和圆的位置关系图片，让学生观察并描述它们之间的位置关系。
接着，通过课件演示直线和圆相切、相交的动态过程，引导学生直观地理解两种位置关系。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，分析直线和圆的位置关系。
学生可以利用直尺、圆规等工具进行实际操作，验证理论。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）请学生上台演示刚才的操作，并讲解直线和圆位置关系的判断方法。
其他学生认真听讲，互相交流心得。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
九年级数学直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
A B C
点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r; d=r； d<r.
直线与圆的位置关系
(地平线)
● ● ●
O
● ●
O
O
a(地平线)
O
O
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点： 直线和圆没有公共点， 叫直线和圆相离 特点： 直线和圆有惟一的公共点， 叫做直线和圆相切。 C
C
x
A
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l
．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交பைடு நூலகம்
2 d<r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
切点
切线
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2, 且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm. 求l1与l2的距离m.
.A
.A
.B
这时的直线叫切线
惟一的公共点叫切点。 特点： 直线和圆有两个公共点， 叫做直线和圆相交。
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1） （2）
· O · O
l
（3） l l
· O
相离
相交
相切
课堂练习：
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm
数学北师大版九年级下册3.6直线和圆的位置关系(二)
3.6直线和圆的位置关系（二）一、教学目标知识与技能（1）能判定一条直线是否为圆的切线．（2）会过圆上一点画圆的切线．（3）会作三角形的内切圆．过程与方法（1）通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．（2）会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．情感态度与价值观（1）经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．（2）经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．教学重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用．作三角形内切圆的方法．教学难点探索圆的切线的判定方法．二、教学过程第一环节引入新课上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢?本节课我们就继续探索切线的判定条件．第二环节新课讲解1．探索切线的判定条件如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A 旋转时，(1)随着∠α的变化，点O 到l 的距离(d 如何变化?直线l 与⊙O 的位置关系如何变化?(2)当∠α等于多少度时，点O 到l 的距离d 等于半径r?此时，直线l 与⊙O 有怎样的位置关系?为什么?在教学中，教师可以引导学生，画一个圆并画出直径AB ，拿直尺当直线，让直尺绕着点A 移动．观察∠α发生变化时，点O 到l 的距离d 如何变化，然后互相交流意见．以下是实际教学中，学生得到的结论：生1：如上图，直线l 1与AB 的夹角为α,点O 到l 的距离为d 1，d 1<r ，这时直线l 1与⊙O 的位置关系是相交；当把直线l 1沿顺时针方向旋转到l 位置时，∠α由锐角变为直角，点O 到l 的距离为d ，d=r ，这时直线l 与⊙O 的位置关系是相切：当把直线l 再继续旋转到l 2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l 的距离为d 2，d 2<r ，这时直线l与⊙O 的位置关系是相离．生2：当∠α=90°时，点O 到l的距离d 等于半径．此时，直线l与⊙O 的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O 到直线l 的距离d ＝r 时，直线与⊙O 相切．生3：这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．2．做一做已知⊙O 上有一点A ，过A 作出⊙O 的切线．分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O 和圆上一点A ，那么过A 点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可．如右图．(1)连接OA ．(2)过点A 作OA 的垂线l ，l 即为所求的切线．3．如何作三角形的内切圆．如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如右上图)．(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．⊙I就是所求的圆．∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上．∵ID ＝IN，∵ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的，所以I到△ABC三边的距离相等因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．4．（补充）例题讲解如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT＝AB．求证：AT是⊙O的切线．分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°．由三角形内角和可证∠TAB=90°，即AT⊥AB．证明：∵AB=AT，∠ABT＝45°．∴∠ATB＝∠ABT＝45°．∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°．∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．第三环节课堂练习随堂练习1．以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少?2．分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?第四环节课时小结本节课学习了以下内容：1．探索切线的判定条件．2．会经过圆上一点作圆的切线．3．会作三角形的内切圆．4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．第五环节课后作业必做： P93习题3.8 1,2题选做：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．三、教学反思课堂教学问题的设计，是教师传授知识与了解学生掌握知识程度的重要途径，是能否调动学生学习兴趣的重要手段，本节课我觉得自己所设计的问题在把握在新旧知识的衔接点上，在围绕教学内容的重难点上，从学生学习效果上看，似乎并不是那么完满。
北师大版九年级数学下册：3.6 直线和圆的位置关系教案
北师大版九年级数学下册：3.6 直线和圆的位置关系教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.6“直线和圆的位置关系”是本节课的主要内容。
通过前几节课的学习，学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质，本节课将进一步引导学生探究直线和圆之间的位置关系，为后续学习圆的方程和几何性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于直线和圆的基本概念有了一定的了解。
但是，对于直线和圆之间的位置关系的理解还需加强，特别是对于一些特殊位置关系，如相切、相离等，需要通过实例和几何画图来帮助学生更好地理解。
三. 教学目标1.让学生了解直线和圆的位置关系，掌握相切、相离等基本概念。
2.培养学生通过几何画图分析问题、解决问题的能力。
3.培养学生空间想象力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.直线和圆的位置关系的理解。
2.特殊位置关系（如相切、相离）的判断和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、几何画图法和小组讨论法进行教学。
通过问题引导学生思考，利用几何画图展示直线和圆的位置关系，让学生在小组讨论中交流思路、解决问题。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.几何画图工具（如直尺、圆规等）。
3.实例题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示直线和圆的图片，引导学生思考直线和圆之间可能存在的位置关系。
通过提问，让学生回顾直线和圆的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解直线和圆的位置关系，引导学生通过几何画图展示相切、相离等位置关系。
在这个过程中，让学生观察、分析、总结直线和圆的位置特征。
3.操练（10分钟）让学生分组进行几何画图，自行探索直线和圆的位置关系。
每组选取一个实例进行展示，并简要说明判断过程。
教师在这个过程中进行指导和点评。
4.巩固（10分钟）让学生解答一些关于直线和圆位置关系的题目，巩固所学知识。
题目难度可适当调整，以满足不同学生的学习需求。
5.拓展（10分钟）引导学生思考直线和圆的位置关系在实际问题中的应用，如圆的方程、几何图形的面积等。
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
数学北师大版九年级下册3.6(1)直线和圆的位置关系.6直线与圆的位置关系(1)
AC 1 cos A . AB 2
B
切线的性质的应用
(2)以点C为圆心,分别以2cm,4cm 为半径作两个圆,这两个圆与AB分 别有怎样的位置关系? 解:(2)由(1)可知,圆心到AB 的距离d= 2 3 cm,所以 当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离; 当r=4cm时,d<r,AB与⊙C相交.
A
P
B
●
O
直线和圆的位置关系 （用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r 的关系来区分）
d r
直线和圆相交
直线和圆相切
d< r d= r
d
∟
r
r d
∟
直线和圆相离
d> r
小试牛刀
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 2 个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交源自, 直线与圆有____交点
割线
小结：
两 2.判定直线与圆的位置关系的方法有 ____种：
直线与圆的公共点 （1）根据定义，由________________
的个数来判断；
圆心到直线的距离d与半径r （2）根据性质，由_________________ 的关系来判断。 3.切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的直径（半径） O
(地平线)
● ● ●
O a(地平线)
O
O
直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线，
这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点。 (3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
判断直线与圆的位置关系方法
判断直线与圆的位置关系方法一、点到直线的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，点的坐标为(x1,y1)。
点到直线的距离公式为：d=，A*x1+B*y1+C，/√(A^2+B^2)。
1.当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆相离。
2.当d=r时，直线与圆只有一个交点，该交点即为点到直线的垂线与圆的交点。
3.当d<r时，直线与圆有两个交点，求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。
二、点到圆的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，点的坐标为(x1,y1)。
点到圆的距离公式为：d=√((x1-h)^2+(y1-k)^2)。
1.当d>r时，直线与圆无交点，直线与圆相离。
2.当d=r时，直线与圆只有一个交点，该交点即为点到圆的垂线与圆的交点。
3.当d<r时，直线与圆有两个交点，求解交点的方法可以利用点到直线的垂线方程。
三、直线与圆的交点公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，直线与圆的交点分别为(x1,y1)和(x2,y2)。
则交点的坐标有以下两种求解方法：1.代入方程法：将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程。
解这个方程可以得到x1和x2的值，将其代入直线的方程即可得到相应的y值。
最终求出交点的坐标。
2.垂线法：设直线的方程为y = kx + b，对其求出斜率 k 并确定直线的垂线的斜率为 -1/k。
将直线的方程代入圆的方程得到一个关于 x 的一元二次方程，解这个方程可以得到 x1 和 x2 的值，将其代入直线的方程即可得到相应的 y 值。
最终求出交点的坐标。
以上是判断直线与圆的常用方法，可以根据具体问题选择合适的方法来解决。
同时也需要注意解析几何中的一些特殊情况，如直线与圆相切、相交、相离等情况，对于这些情况需要综合考虑以上的公式和几何特性来判断两者的位置关系。
九年级数学下册第3章圆3、6直线和圆的位置关系3、6、1直线和圆的位置关系教案新版北师大版_-最新整理
九年级数学下册第3章圆3、6直线和圆的位置关系3、6、1直线和圆的位置关系教案新版北师大版_一、教学目标1．理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数,圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定它们.2．掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.二、课时安排1课时三、教学重点理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数,圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定它们.四、教学难点掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.五、教学过程（一）导入新课太阳与地平线的位置关系,列车的轮子与铁轨之间的关系, 给你留下了_________的位置关系的印象.（二）讲授新课探究1：作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,试说出直线和圆有几种位置关系?直线和圆的位置关系：你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗?利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系具有一定的局限，你有更好的判断方法吗？点和圆的三种位置关系仿照这种方法怎样判断“直线和圆的位置关系”？直线和圆的位置关系令圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r活动2：探究归纳直线与圆位置关系的判定可以从数的角度和形的角度进行判定，数的角度是圆心到直线的距离；形的角度是直线与圆的交点的个数.（三）重难点精讲例题：已知Rt△ABC的斜边AB=8cm, AC=4cm.(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切?(2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系?解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.∵AB=8cm,AC=4cm.∴∠A=60°.因此,当半径长为cm时,AB与⊙C相切.(2)由(1)可知,圆心到AB的距离d=cm,所以当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离;。
北师大版数学九年级下册第三章 3.6 直线和圆的位置关系
北师大版数学九年级下册第三章 3.6 直线和圆的位置关系1、直线和圆的位置关系简介在数学中，直线和圆是两个基本的图形，它们之间的位置关系对于理解几何问题非常重要。
在本章中，我们将讨论直线和圆的几种位置关系，并通过具体的例子来加深理解。
2、直线和圆的位置关系的种类2.1、直线与圆相离当一条直线和一个圆没有任何交点时，我们称直线和圆相离。
这种情况下，直线和圆之间的距离大于圆的半径。
2.2、直线与圆相切当一条直线和一个圆有且仅有一个交点时，我们称直线与圆相切。
这种情况下，直线和圆之间的距离等于圆的半径。
2.3、直线穿过圆的两个交点当一条直线和一个圆有两个交点时，我们称直线穿过圆的两个交点。
在这种情况下，直线和圆之间的距离小于圆的半径。
2.4、直线包围圆当一条直线完全包围一个圆时，我们称直线包围圆。
这种情况下，直线和圆之间的距离小于圆的半径。
3、直线和圆的位置关系的判断方法3.1、判断直线与圆相离要判断一条直线与一个圆相离，可以通过计算直线到圆心的距离与圆的半径的关系来确定。
如果直线到圆心的距离大于圆的半径，即可判断直线与圆相离。
3.2、判断直线与圆相切要判断一条直线与一个圆相切，可以通过计算直线到圆心的距离与圆的半径的关系来确定。
如果直线到圆心的距离等于圆的半径，即可判断直线与圆相切。
3.3、判断直线穿过圆的两个交点要判断一条直线是否穿过一个圆的两个交点，可以通过计算直线到圆心的距离与圆的半径的关系来确定。
如果直线到圆心的距离小于圆的半径，即可判断直线穿过圆的两个交点。
3.4、判断直线包围圆要判断一条直线是否完全包围一个圆，可以通过计算直线到圆心的距离与圆的半径的关系来确定。
如果直线到圆心的距离小于圆的半径，即可判断直线包围圆。
4、直线和圆的位置关系在几何问题中的应用直线和圆的位置关系在几何问题中有着广泛的应用。
以以下问题为例：问题：已知一个固定圆和一条动点直线，求直线上的点到圆的切线的长度之和的最小值。
直线与圆的位置关系
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
代数法主要步骤：
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
求出其Δ的值
把直线方程与圆的方程联立成方程组
！
添加标题
几何法主要步骤：
！
添加标题
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
！
添加标题
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交
直线与圆的 位置关系直线与圆的
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我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线可以发现，太阳与地平线有三种位置关系:
分 析
章节一
直线与圆的位置关系:
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离。
思 考
现在，如何用直线的方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？
1、看由它们的方程组成的方程组有无实数解;
分析:
例1 已知直线 和圆心为C的圆 ,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求 它们交点的坐标.
①
②
消去y,得
因为
所以,直线l与圆相交,有两个公共点.
解法一: 由直线与圆的方程,得
01
课本第140页 习题4.2 (A组)第 1、2、3 题
Thank you
谢谢！谢谢！
方法一
方法二
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？
A B C 返回 例1
直线与圆相切，只有一个公共点；
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九年级数学下册 第3章 圆 3.6 直线和圆的位置关系 3.6.2 直线和圆的位置关系
B
●O
αd
α┓ A
l
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课堂探究
过半径(bànjìng)外端且垂直于半径(bànjìng)的直线是圆的切线.
∵AB是⊙O的直径,直线(zhíxiàn)CD经过A点,且CD⊥AB,上就是
d=r
直线和圆相切
的另一种说法.
3．了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念．
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1.如图,已知直线AB 经过⊙O上的点C, 并且AO=OB,CA=CB, 那么(nà me)直线 AB是⊙O的切线吗?
解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于 AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC ＝BC，所以OC⊥AB．∴直线(zhíxiàn)AB是⊙O的切线.
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本节目标 (mùbiāo)
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练(xùnliàn)学生的推理判断能力． 2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．
3.会作三角形的内切圆．
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预习(yùxí)反馈
A
1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆, ∠C是直角(zhíjiǎo), AC=3,BC=4.求⊙O的半径r .
F
三边的距离相等,
I● ●
E
因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并 B
且(bìngqiě)只能作一个.
┓
C
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心(yuánxīn)叫做 三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
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九年级数学下册3.6《直线和圆的位置关系》典型例题北师大版(new)
（3）ห้องสมุดไป่ตู้r=2.5cm时，CD＜r,∴圆C与AB相交．
说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系．
例2解：过C点作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=4,BC=2，
∴AC=2
，
∴AB·CD=AC·BC,
∴ ，
（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0 r〈CD，即0<r< ；
(2）∵直线AB与⊙C相切，∴r=CD，即r= ；
因此，DC上存在点P，使Rt△PBC∽Rt△APD．
说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O相交、相离．
例4分析：要证以 为直径的圆与 相切，只需证明 的中点到 的距离等于 。
九年级数学下册3_6直线和圆的位置关系直线和圆相切的考点分析素材新版北师大版
二、考点例析：
考点一、考d、R法那么
例一、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必然（）
A．与 轴相离、与 轴相切B．与 轴、 轴都相离
C．与 轴相切、与 轴相离D．与 轴、 轴都相切（南昌市中考）
分析：依照坐标系的知识，明白，圆心到y轴的距离是dy=2，到x轴的距离是dx=3，由于圆的半径R=2，因此，dy=R，因此，y轴与圆相切，如此，咱们就能够够排除B和D；因为，dx=3＞R=2，因此，x轴与圆相离，因此，选项A是正确的。
证明：
如图2，连接OD ，
因为，AB=AC，因此，∠B=∠C,因为，OB=OD，因此，∠B=∠ODB,
因此，∠C=∠ODB,
因此，OD∥AC，
因为，DE⊥AC，
因此，DE⊥OD，
因此，DE是圆的切线。
例4、如图3所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
求证：DE为⊙O的切线；（恩施自治州中考改编）
分析：连接OD ，关键证明DE⊥OD。
证明：如图4，连接OD ，
因为，OA=OB，DC=BD，
因此，OD∥AC，
因为，DE⊥AC，
因此，DE⊥OD，
因此，DE是圆的切线。
考点3、判定运动直线是圆的切线
例五、如下图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A动身，以 cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A当即停止．当点P运动的时刻为▲s时，BP与⊙O相切．
因此，如图2所示，过点O作OE⊥CD，垂足是E，又因为，∠C=90°，
因此，OE∥BC，
九年级数学辅导： 圆 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系姓名 日期【知识要点】1．直线和圆的位置关系如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么： （1）直线l 和相交⇔d ＜r ，直线和圆有两个交点； （2）直线l 和⊙O 相切⇔d=r ，直线和圆只有一个交点； （3）直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ，直线和圆没有交点。
2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线的判定方法：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
（3）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
判定切线有三种方法，在几何证明中常用的是后两种方法，用后两种方法判定切线时，往往要添加辅助线。
4.切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个。
5.外切多边形：（1）和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。
（2）圆的外切四边形的性质：圆外切四边形两组对边的和相等。
【典型例题】例1（1）圆外切等腰梯形的上底为4cm ，圆的半径为3cm ，那么这个梯形的腰长为 cm （2）在直角坐标系中，⊙M 的圆心坐标是（m ,0），半径是2，如果⊙M 与y 轴所在直线相切，那么m = ，如果⊙M 与y 轴所在直线相交，那么m 的取值范围是 。
（3）已知⊙O 的半径为4cm ，P 为直线l 上一点，若P O=4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是 (4)下列说法正确的是（ ）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）(2)(3)例2 如图，已知，在ABC ∆中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于D 点，过D 作AB DE ⊥于E ，求证：DE 为⊙O 的切线。
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直线和圆的位置关系
能力提升
1.(2015广东广州中考)已知☉O的半径是5,直线l是☉O的切线,则点O到直线l的距离是()
A.2.5
B.3
C.5
D.10
2.
(2015山东潍坊中考)如图,AB是☉O的弦,AO的延长线交过点B的☉O的切线于点C,如果∠
ABO=20°,则∠C的度数是()
A.70°
B.50°
C.45°
D.20°
3.
如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切☉O于点B,则PB 的最小值是()
A. B. C.3 D.2
4.(2014江苏常州中考)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点A(-3,0),点B(0,),点P的坐标为(1,0),☉P与y轴相切于点O,若将☉P沿x轴向左平移,平移后得到☉P'(点P的对应点为点P'),当☉P'与直线l相交时,横坐标为整数的点P'共有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,☉O是以AB为直径的圆,则直线DC与☉O的位置关系
是.
6.如图,☉M与x轴相交于点A(2,0),B(10,0),与y轴相切于点C,则圆心M的坐标是.
(第5题图)
(第6题图)
7.
(2015山东东营中考)已知在△ABC中,∠B=90°,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC 于点D,交AB于点E.
(1)求证:AC·AD=AB·AE;
(2)如果BD是☉O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.
创新应用
8.如图,∠PAQ是直角,半径为5的☉O与AP相切于点T,与AQ相交于两点B,C.
(1)BT是否平分∠OBA?证明你的结论.
(2)若已知AT=4,试求AB的长.
参考答案
1.C
2.B在☉O中,OA=OB,所以∠A=∠ABO=20°,所以∠COB=∠A+∠ABO=40°.由CB为☉O的切线,知∠CBO=90°,故∠C=90°-∠COB=90°-40°=50°.
3.B当OP⊥l时,PB的值最小,
∴在Rt△OBP中,根据勾股定理,PB=.
4.C当点P'在(-1,0)和(-5,0)时,☉P'与直线l相切.因此,整数点有(-2,0),(-3,0),(-4,0)三个.
5.相离由题意可知,☉O的半径是3.∵3<BC,
∴直线DC与☉O的位置关系是相离.
6.(6,2)如图,连接MC,则MC⊥OC.过点M作ME⊥AB于点E,连接MA.由垂径定理,得AE=BE=4,由四边形OCME为矩形,得MC=OE=6.
在Rt△MAE中,MA=6,AE=4,
∴ME==2.
∴圆心M的坐标是(6,2).
7.(1)证明:连接DE.∵AE是直径,
∴∠ADE=90°,∴∠ADE=∠ABC.
在Rt△ADE和Rt△ABC中,∠A是公共角,
故△ADE∽△ABC,则,
即AC·AD=AB·AE.
(2)解:连接OD.∵BD是☉O的切线,
∴OD⊥BD.
在Rt△OBD中,OE=BE=OD,∴OB=2OD,
∴∠OBD=30°.同理∠BAC=30°.
在Rt△ABC中,AC==2BC=2×2=4.
8.解:(1)BT平分∠OBA.
证明:连接OT.
∵AT是切线,
∴OT⊥AP.
∵∠PAB是直角,
即AQ⊥AP,∴AB∥OT,
∴∠TBA=∠BTO.
∵OT=OB,∴∠BTO=∠OBT,
∴∠OBT=∠TBA,
即BT平分∠OBA.
(2)过点B作BH⊥OT于点H,
则在Rt△OBH中,OB=5,BH=AT=4, ∴OH=3,
∴AB=HT=OT-OH=5-3=2.。