[宝典]主动操纵道理课件第四章根轨迹法ppt
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自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件
s3 不是根轨迹上的点。
根据相角方程得系 统的根轨迹为：
第一节 根轨迹的基本概念
作业习题： 4-2 4-3 4-7
返回
第四章 根轨迹分析法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅
值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。
闭s环s22 +特K2rs=征0+↑KKr 方1r=程s110 式 特征-2 方程-1的根0 σ
(1R)左(从s) 半根- 平轨s面(迹sK+r为2可) 稳C知(s定): 极点；右半平面为 不稳Kr定极s1点；虚s2轴 上为0临界0极点。-2
(2)有01<2呈Kr过<-11-阻1+时j 尼，状-系1-1-态j统。
根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较 方便地近似绘制出根轨迹曲线。
根轨迹基本特征为以下八条：
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、根轨迹的对称性和分布性 二、根轨迹的起点和终点 三、实轴上的根轨迹段 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点和会合点 六、根轨迹的出射角和入射角 七、根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系
p2
p1
-2
0σ
环传递函数的极点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2. 终点
根轨迹方程：
m
i
n=1((ss--pzji))=
-
1 Kr
m
j =1
Kr
i n=1((ss--pzji))=0
j =1
m
则 i =1(s-zi) =0 即 s=zi
8 8
m条根轨迹终止于开环传递函数的零点
自动控制原理第四章根轨迹课件
幅值条件
s z
i 1
Hale Waihona Puke mi s p
j 1
n
j
1 Kg
Kg=0
(s p ) 0
j 1 j
n
根轨迹起始于开环极点
Kg=∞
(s z ) 0
i 1 i
m
根轨迹终止于开环零点
根轨迹分支数 • n阶系统的根轨迹有n条分支
s z
i 1
m
i
s p
j 1
jω
-p3
ⅹ
j4
K1 G( s) H ( s) s( s 4)( s 2 4s 20)
规则1、2、3、4 根轨迹对称于实轴， 有四条根轨迹分支，分别起 始于极点0,－4和－2±j4，终止 于无限远零点。 实轴上0~－4区段为根轨迹. 相角条件 -p3、-p4的连接线为 根轨迹
-p2
s1 z1 ( z1 p1 )(z1 p2 )
s2 z1 ( z1 p1 )( z1 p2 )
7.根轨迹的出射角和入射角(1)
出射角：根轨迹离开复数极点处的切线方向与实轴 正方向的夹角 入射角：而进入开环复数零点处的切线方向与实轴 正方向的夹角
7.根轨迹的出射角和入射角(2)
i 1 i 1
每对共轭复数极点所提供的相角 之和为360°； s1右边所有位于实轴上的每一个极 点或零点所提供的相角为180°；
ⅹ ⅹ
-p3 s2
-p4
jω
-θ -z1
○
ⅹ
-p2 s1
ⅹ
-p1
σ
s1左边所有位于实轴上的每一个极
点或零点所提供的相角为0°。
自动控制原理第四章根轨迹法.
(s z j ) pi )
m
lim
sm s
n
s
lim
1
s s nm
0
即其余的 n-m 条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系 统的n-m个无穷大零点。
回章首 回节首
18
4-2-5 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法。 在实轴上选取实验点si， 如果实验点 si 的右方实轴上的开环 零点数和极点数的总和为奇数，则 实验点 si 所在的实验段是根轨迹， 否则该实验段不是根轨迹。 图中， [-1,0]段和[-∞,-5]段是根轨迹。 而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根轨迹。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹图的基本法则 §4-3 控制系统根轨迹的绘制
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
退出
.R.Evans）提出了一种在复平面上由系 统的开环极、零点来确定闭环系统极、零点的图 解方法，称为根轨迹法。 意义：可以分析系统的性能，确定系统应有的结 构和参数，也可用于校正装置的综合。
回章首 回节首
22
分离点或会合点位置的计算
(1) 重根法 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点 必为特征方程的重根。 如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。 重根的确定可以借助于代数重根法则。
回章首
回节首
23
代数重根法则
已知n次代数方程为
f ( x) x n an1x n1 ... a1x a0 0
根轨迹法是一种简便的图解方法，在控制工 程上得到了广泛的应用。
回章首
2
§4-1 根轨迹法的基本概念
第四章根轨迹.ppt
K1 时，s1 1 j，s2 1 j
3
§4- 2 绘制根轨迹依据
一 绘制根轨迹的基本条件
系统特征方程
1+G(s)H(s)=0 G(s)H(s)=-1
幅值条件: |G(s)H(s)|=1 相角条件: ∠G(s)H(s)=±(2q+1)π, q=0,1,2,…
m
K1 (s z j )
12
§4-5 增加开环零极点对根轨迹的影响
一 添加开环极点
添加位于左半平面的开环极点，将使根轨迹向右 半平面移动，系统的稳定性能降低。
二 添加开环零点
添加位于左半平面的开环零点，将使根轨迹向左 半平面移动，系统的相对稳定性得到改善。
三 增加开环偶极子对根轨迹的影响
1 偶极子指系统中相距很近的一对极点和零点。 2 偶极子不影响远处根轨迹的形状及根轨迹增益K，对
二 通过输出反馈任意设定希望的闭环主 导极点
15
i 1
j 1
n
s si 0
i 1
n
si a1
n
si an
i 1
i 1
可利用此性质判闭环极点的分布情况
n
n
n m 2时， si pi a1 常数
i 1
i 1
一些变化后,另一些会做相反变化.
8
三 闭环极点的确定:
∵ G(s)H (s)
j 1 n
(s pi )
i 1
4
幅值条件:
m
K1 | s z j |
或
j 1
1
n
| s pi |
i 1
n
| s pi |
K1
3
§4- 2 绘制根轨迹依据
一 绘制根轨迹的基本条件
系统特征方程
1+G(s)H(s)=0 G(s)H(s)=-1
幅值条件: |G(s)H(s)|=1 相角条件: ∠G(s)H(s)=±(2q+1)π, q=0,1,2,…
m
K1 (s z j )
12
§4-5 增加开环零极点对根轨迹的影响
一 添加开环极点
添加位于左半平面的开环极点，将使根轨迹向右 半平面移动，系统的稳定性能降低。
二 添加开环零点
添加位于左半平面的开环零点，将使根轨迹向左 半平面移动，系统的相对稳定性得到改善。
三 增加开环偶极子对根轨迹的影响
1 偶极子指系统中相距很近的一对极点和零点。 2 偶极子不影响远处根轨迹的形状及根轨迹增益K，对
二 通过输出反馈任意设定希望的闭环主 导极点
15
i 1
j 1
n
s si 0
i 1
n
si a1
n
si an
i 1
i 1
可利用此性质判闭环极点的分布情况
n
n
n m 2时， si pi a1 常数
i 1
i 1
一些变化后,另一些会做相反变化.
8
三 闭环极点的确定:
∵ G(s)H (s)
j 1 n
(s pi )
i 1
4
幅值条件:
m
K1 | s z j |
或
j 1
1
n
| s pi |
i 1
n
| s pi |
K1
自动控制原理第四章 根轨迹法PPT
第二节 绘制根轨迹的基本方法
四、根轨迹的渐近线
趋于无穷远处的根轨迹的渐近线 由下式确定 渐近线与实轴的夹角： +(2k+1)π K= 0,1,2,3 θ= n-m 渐近线与实轴的交点： σ=
pj zi ∑ ∑ i =1 j=1 n-m
n m
第二节 绘制根轨迹的基本方法
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 渐近线与实轴的夹角 : jω 解： 1）开环零、极点： +(2k+1)π O+ O p =-3 p =0 p =-2 + 180 60 = , θ= 1 3 2 3 p2 60 p p3 2 ）实轴上的根轨迹段： 渐近线与实轴的交点 : 0 1 -1 -2 p ~ p1~p-1-2 3 -1 = σ= 2 3 n-m= 3 3 4）根轨迹的渐近线： ）系统的根轨迹
ב-
ב
ב
ב
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2） <T (1)开环零、极点分布 1 1 p1=0 p2=T z1= (2) 实轴上根轨迹段 p1~p2 z1~-∞ ב ב
jω
z1
1 בp2 1 -T p
1 0
(3)系统的根轨迹
p1和p2为根轨迹 的起点 Z1和-∞为根轨迹 的终点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
五、根轨迹的分离点和会合点
闭环特征方程的根在 S 平面上的重合 闭环特征方程式： K B ( s)+A(s)=0 r 注意：只有位于根轨迹上的重根才是 点称为根轨迹的分离点或会合点。 重根必须同时满足以下两式 分离点或会合点。 一般将根轨迹 KrB'(s)+A'(s)=0 KrB(s)+ A(s)=0 若不在根轨迹上的分离点或会 离开实轴进入复平面的点称为分离点 即 A'(s) 合点应该舍去。 dB ( s ) dA ( s ) 离开复平面进入实轴的点称为会合点 Kr =K + =0 B'(s) ds ds r 设系统的开环传递函数为 解上式得 Kr B(s) G H((s A (s)B' s)= )=A' A((s s))B(s)
第4章根轨迹PPT
轨迹
第四章 根 轨 迹 法
4.1 根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则
4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹
4.5 正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹
小结
轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为
另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。
轨迹
例4.1的分离点和汇合点
s( s 4)( s 2 2s 2) kg ( s 5)
dk g ds 0
得到-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46
轨迹
§4—4
一、参数根轨迹
参数根轨迹和多回路根轨迹
＊参数根轨迹：系统闭环极点随Kg以外的参数变化而变化的
轨迹。
＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究迹的绘制方法，进行绘制。
例4.2 单位反馈系统开环传递函数为
＊
绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹
§4—2 绘制根轨迹的依据和条件
根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比
第四章 根 轨 迹 法
4.1 根轨迹的概念 4.2 绘制根轨迹的依据 4.3 绘制根轨迹的基本法则
4.4 参数根轨迹和多回路系统根轨迹
4.5 正反馈根轨迹 4.6 滞后系统的根轨迹 4.7 根轨迹的应用 4.8 计算机绘制根轨迹
小结
轨迹
§4—1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义 如图所示一般闭环系统的闭 环传递函数为
另外，必须指出，用上式求出的点不一定都是分离点或 会合点，还必须满足特征方程或用相应的规则来检验。
轨迹
例4.1的分离点和汇合点
s( s 4)( s 2 2s 2) kg ( s 5)
dk g ds 0
得到-5.93,-3.38,-0.67+j0.46,-0.67-j0.46
轨迹
§4—4
一、参数根轨迹
参数根轨迹和多回路根轨迹
＊参数根轨迹：系统闭环极点随Kg以外的参数变化而变化的
轨迹。
＊绘制方法：把特征方程作等效处理，把要研究迹的绘制方法，进行绘制。
例4.2 单位反馈系统开环传递函数为
＊
绘制以a为变量的根轨迹。并分析a与系统性能的关系。
＊
软实验
轨迹
§4—5 正反馈系统的根轨迹
一、正反馈系统的特征方程 传递函数
Y ( s) G1 ( s) G( s) X ( s) 1 G1 ( s) H ( s)
X(s)
G1(S) H(S)
Y(s)
特征方程
1 G1 (s) H (s) 1 G0 (s) 0
简写为
G0 ( s) 1
轨迹
§4—2 绘制根轨迹的依据和条件
根轨迹的绘制依据是特征方程，根据特征方程可以得出比
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
自动控制原理课件第四章根轨迹法ppt
-1
动态性能：
-0.5
0
K=0.25
Re
过阻尼 0<k<0.25单位阶跃的响应为非周期过程。 临界阻尼 k=0.25单位阶跃响应为非周期过程，响应过渡较快 。 欠阻尼 k>0.25单位阶跃响应为阻尼振荡过程
2013-8-11 自动控制原理 4
闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
设控制系统如图所示
G( s) ( s) 1 G( s) H ( s)
147.9 111.7 160.3 164.4
1.826
13.826 21.826
k*=0.266
2013-8-11 自动控制原理
180.3o
11
结论
：• 根轨迹上的点一定满足相角条件，且满
足相角条件的点一定在根轨迹上，即相 角条件是确定根轨迹的重要条件。 • 绘制根轨迹只需使用相角条件。 • 只有当需要确定根轨迹上各点的根轨迹 增益时，才需使用模值条件。
2013-8-11 自动控制原理 16
nm s
Kg
sz
i
在实际系统通常是 n m ，则还有 (n m) 条根轨迹终止于s平 面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m) 个无限远（无穷） 零点。
Kg 0
nm
Kg 0
nm
0
Kg
有两个无穷远处的终点
-1
2.26×2.11×2.61 = 6.0068
2.072
92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o
2013-8-11 自动控制原理 10
模值方程与相角方程的应用
Li
3.826
1.826 5.576
动态性能：
-0.5
0
K=0.25
Re
过阻尼 0<k<0.25单位阶跃的响应为非周期过程。 临界阻尼 k=0.25单位阶跃响应为非周期过程，响应过渡较快 。 欠阻尼 k>0.25单位阶跃响应为阻尼振荡过程
2013-8-11 自动控制原理 4
闭环零、极点与开环零、极点之间的关系
设控制系统如图所示
G( s) ( s) 1 G( s) H ( s)
147.9 111.7 160.3 164.4
1.826
13.826 21.826
k*=0.266
2013-8-11 自动控制原理
180.3o
11
结论
：• 根轨迹上的点一定满足相角条件，且满
足相角条件的点一定在根轨迹上，即相 角条件是确定根轨迹的重要条件。 • 绘制根轨迹只需使用相角条件。 • 只有当需要确定根轨迹上各点的根轨迹 增益时，才需使用模值条件。
2013-8-11 自动控制原理 16
nm s
Kg
sz
i
在实际系统通常是 n m ，则还有 (n m) 条根轨迹终止于s平 面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m) 个无限远（无穷） 零点。
Kg 0
nm
Kg 0
nm
0
Kg
有两个无穷远处的终点
-1
2.26×2.11×2.61 = 6.0068
2.072
92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o
2013-8-11 自动控制原理 10
模值方程与相角方程的应用
Li
3.826
1.826 5.576
自动控制课件第四章根轨迹法.ppt
第四章
根轨迹法
1
主要内容
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 开环零、极点变化时的根轨迹 4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃
响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析
返回主目录
2
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极 点、偶极子等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益 和开环增益。
f
(s zi )
K
* G
i 1 q
(s pi )
i 1
（4-5）
12
K
G
为前向通道增益，K
* G
为前向通道根轨迹增益
KG*
KG
1
2…
2
T1 T22…
（4-6）
l
(s z j)
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s p j)
j 1
（4-7）
式中：K
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
13
f
l
(s zi) (s z j)
G
(s)H
(s)
K
* G
K
* H
i1 q
j1 l
(s pi ) (s p j)
i1
i1
f
l
(s zi ) (s z j)
K*
i1 q
j1 h
(s pi ) (s p j)
i1
j1
（4-8）
14
闭环传递函数
f h
(s zk )
(s)
K
* G
k 1 n
根轨迹法
1
主要内容
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 开环零、极点变化时的根轨迹 4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃
响应的关系 4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析
返回主目录
2
基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极 点、偶极子等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益 和开环增益。
f
(s zi )
K
* G
i 1 q
(s pi )
i 1
（4-5）
12
K
G
为前向通道增益，K
* G
为前向通道根轨迹增益
KG*
KG
1
2…
2
T1 T22…
（4-6）
l
(s z j)
H
(s)
K
* H
j 1 h
(s p j)
j 1
（4-7）
式中：K
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
13
f
l
(s zi) (s z j)
G
(s)H
(s)
K
* G
K
* H
i1 q
j1 l
(s pi ) (s p j)
i1
i1
f
l
(s zi ) (s z j)
K*
i1 q
j1 h
(s pi ) (s p j)
i1
j1
（4-8）
14
闭环传递函数
f h
(s zk )
(s)
K
* G
k 1 n
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-1 -0.5
0
Re
12/7/2020
自动控制原理
2
根轨迹：开环系统的某一参数从0变为∞ 时，闭环系统特征 方程的根在s平面上变化的轨迹
根轨迹法：
Evns提出（1948年）的一种由开环传递函数求 闭环特征根的简便方法；是分析与设计线性定 常控制系统的图解方法。
12/7/2020
自动控制原理
3
f
特征方程： s2sK0
特征根： S1,2
1
14K 2
R(s)
_
K0 1
1
8
4
1 2
．．．
．．．
s 1
0 0.1460.50.5j0.5．．．0.5j
．．．
s 2
1 0.8540.50.5j0.5．．．0.5j
．．．
K s(s 1)
K:0 ~ ∞
C(s)
Im
对于高阶系统，不能用特征方程 求根的解析方法得到根轨迹。
由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复
数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称 于实轴的。
l 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点
数(（nn条m）时） 。根轨迹是连续且对称于实轴的
曲线。 12/7/2020
自动控制原理
19
规则分3：析实轴：上的实根轨轴迹上的根轨迹必须满足绘
G(s)K(ss2 (s1 )s2 ()s(4 )3 s()26)
j
s平面
6 5 4 3 2 1 o
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。 [-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
12/7/2020
自动控制原理
21
规则4：根轨迹的渐近线
l 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统 有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这nm条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近 线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实
自动控制原理
9
模值条件与相 角条件的应用
78.8o -1.09+j2.07
66.27 2.2
2.072
o
6 2.1
-2
-11.5 -1
-0.825
ξ=0.466
92.49
ω n=2.34
2.61 o 127.53o
s1=-0.825
0.5
s2,3= -1.09±j2.07
2.26×2.11×2.61 = 6.0068
自动控制原理
θi
39.9 68.3 147. 9 111. 7160. 3164. 4
180.3o
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结论：根轨迹上的点一定满足相角条件，且满 足相 角条件的点一定在根轨迹上，即相 角条件是 确定根轨迹的重要条件。
绘制根轨迹只需使用相角条件。
只有当需要确定根轨迹上各点的根轨迹 增益时，才需使用模值条件。
l 根轨迹的起始角和终止角；
l 12/7/2020 根轨迹与虚轴自动的控制交原理 点；
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l 180根轨迹
(s) G(s)
1G(s)H(s)
R(s)
_
G(s) C(s) H (s)
特征方程： F (s) 1 G (s)H (s)0
m
Kg(szi)
令G(s)H(s)
i1 n
(spj)
Kg
N(s) D(s)
n-m条
与实轴夹角 (21)
nm
0， 1 ， 2
与实轴交点
n
m
( pj ) (zi )
j1 k
i1
nm
注：1. nm 2 90o nm3 60o,180o nm 4 45o,135o
2.与实轴交点必定在实轴上 3.计算与实轴交点时，只考虑开环零、极点的实部即可
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sm( zi)sm1 (zi)
i1 n
i1 n
sn( pj)sn1 (pj)
1 Kg
j1
j1
当 sk 时 zi ， pjk
1
1
1
(s
)nm
k
n
snm(
m
pj
zi)snm1 Kg
j1
i1
n
m
( pj ) (zi )
j1 k
i1
nm
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结论：根轨迹的渐近线
j1
辐值条件：G(s)H(s) 1
根轨迹方程：
D (s)K gN(s)0
辐角条件： m s zi n spj 2 1 , 0 ,1
i 1
j 1
由相角条件（(21) 条件）绘制出的根轨迹，称 180 根轨
迹 。 变化参数为根轨迹增益 K g 。
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规则1：根轨迹的起点和终点
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4.3 常规根轨迹及其绘制
通常，我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做
普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有 8条：
l 根轨迹的起点与终点；
l 根轨迹的条数、连续性和对称 性；
l 实轴上的根轨迹；
l 根轨迹的渐近线；
l 根轨迹在实轴上的分离点；
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj )
j 1
f
h
(s) G(s) 1G(s)H(s)
K* G
(szi)
(spj)
i1
j1
n
m
(spj)Kg (szi)
j1
i1
结论： （1）闭环系统的根轨迹增益 = 开环前向通道系统根轨迹增益。 （2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通
i1 n
1
(spj)
j1
K g 根轨迹增益 z i 开环零点 p j 开环极点
Kg 0
常数 常数
考虑：s是什么？ 复平面上的点，特征方程的根，闭环极点
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根轨迹的幅值条件和相角条件
根轨迹方程实质上为一向量方程
m
m
(szi)
szi
K i1 gn
1
Kg
i1 n
ej 1ej(21)
分析轴：上的一点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐 假设在近无线穷远由处与特征实根轴 k，的S平夹面上角所和有零交、点极点来到确 k 定的矢。量幅角都相等，为
则由辐角条件 m s zi n spj 2 1 , 0 ,1
i 1
j 1
有： m n 2 1 , 0 , 1
(21)
nm
开环传递函数中。
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在实际系统通常是 nm，则还有 (n m) 条根轨迹终止于s平 面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 (n m) 个无限远（无穷）
零点。
Kg 0
nm
0 Kg 有两个无穷远处的终点
Kg 0
nm
0 Kg 有一个无穷远处的起点
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道传递函数的极点所组成。 均有关。
K*
根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确
定闭环12/极7/20点20 。
自动控制原理
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4.2 根轨迹方程
G
由闭环传递函数
(s) G(s)
H
1G(s)H(s)
特征方程
m
(szi)
根轨迹方程
1G(s)H(s)0 Kg
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例： 设单位负反馈系统的前向传递函数为
G(s)s(sK 4)g(s(s2 12)s2)
解：
60 °
（1） p 10 ,p 2 4,p 3 1j， p 4 1j
z1 1
（2）有4条根轨迹的分支，对称于 实（3轴）实轴上的根轨迹：（ ， 4）， 1， （ 0）
-4
-3
180°
-2 -1 0
（4）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系
统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨
迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。
根轨迹方程：
n
m
(spj)Kg (szi)0
系统开环根轨迹增j1益(实变量i1）与复变量s有一一对应的关系，
当 由零K到g 无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在 平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。
f
h
(s) G(s) 1G(s)H(s)
K* G
(szi)
(spj)
i1
j1
n
m
(spj)Kg (szi)
j1
i1
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f
(s zi )
G(s)
K
* G
i 1 q
(s pi )
i 1
l
(s zj)
H
(s)
K* H
j 1 h
(s pj)
j 1
m
(s zi )
(s zi )
G(s)
K
* G
i 1 q
(s pi )
i 1
l
(s zj)
H
(s)
K* H
j 1 h
(s pj)
j 1
f
l
(szi)(szj)
m
(szi)
G(s)H(s)KG *KH *
i1 q
j1 h
K i1 gn
(spi)(spj)
(spj)