轨迹方程的求法ppt完美课件1 通用
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轨迹方程PPT教学课件
动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
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59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
轨迹方程的求法 通用精品课件
以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。
设椭圆方程为 x 2
y2 +
= 1 （a>b>0)
则
a2 b2
|AD| + |AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a
所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a 即 8 + 4 2 = 4a
例8. 等腰直角三角形ABC中，斜边BC
在已知曲线上运动,代入已知曲线得出M的方 程.M和P是什么关系?回到图中仔细分析,连 接AQ会怎么样?点M与Δ AFQ是什么关系?
xP
yP
1 3x 2
3y 2
本题答案: y2 8 (x 1). 33
轨迹为以(-1/3,0)顶点,开口向右的抛物线(除去顶点).
18.已知直线L1⊥直线L2,垂足为M,点N ∈L2,(如图)以A,B为端点 的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等.若ΔAMN 为锐角三角形,且|AM|=√17,|AN|=3,|BN|=6.建立适当的坐标系,
(A)圆 (B)双曲线 (C)椭圆 (D)抛物线
6.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是__(x___1_)2___y_2 __4__.
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
平方化简得:(x 1)2 y2 4 (P78)
4.当所求动点的运动受一些几何量(距离、角度、 斜率、坐标等)制约时,可考虑用参数法求解.
5.求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应,否则要 “多退少补”,多余的点要剔除,不足的点要补充.
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9
【分析】（1）根据题意，先找出等价条件，再根据
条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. （1）|PA|+|PB|=10-|AB|=6. （2）|PA|-|PB|=1. （3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点
到A的距离等于P点到直线x=2的距离.
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10
【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，
为 一 定 点, M为 圆A上 的 一 个 动 点,线 段MB
的 中 垂 线 和 直 线AM的 交 点 为P, N为 垂 足,
-30
-20
求 动 点P的 轨 迹 方 程.
15
M
10
N
5
P
-10
A
B
10
-5
PPT课件
-10
13
【练习3】第3题
已 知 圆A的 方 程 为( x 3)2 y 2 64, B(3,0)为 一 定 点,
即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，
且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b= 5， 因此其方程为 x2（yy≠2 0 1）.
95
（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，
因此|PA|-|PB|=1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a=1，2c=4，即a= 1,c=2,b= ，15
x2 y2 1 平方化简得:(x 1)2 y2 4 (x 3)2 y2 2
2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心
的轨迹方程是__y2_=_8_x_(_x_＞__0_)_或__y=__0_(x_＜__0_)_.
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
轨迹方程PPT课件
【解题回顾】注意运用过封闭曲线内的点的直线必与此曲 线相交这一性质.
2020年10月2日
8
3. 若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a 的值.
【解题回顾】对于开放的曲线，Δ=0仅是有一个公共点的充分但 并不一定必要的条件，本题用代数方法解完后，应从几何上验证 一下：当a=0时，曲线y2=ax蜕化为直线y=0，此时与已知直线y=x -1，恰有一个交点(1，0)；当a=-1时，直线y=-1与抛物线y2=-x的 对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次
❖ 即 Δ=(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
❖ 亦即 5k2≥1-m 对一切实数k成立．
❖ ∴1-m≤0，即m≥1．
❖ 故20m20年的10月取2日值范围为m∈[1，5)．
7
2.
已知椭圆 x y 16 9
1 ，l1、l2为过点(0，m)且相互垂直的
两条直线，问实数m在什么范围时，直线l1、l2都与椭圆有 公共点
轴交于点N(x0，0)求x0
【解题回顾】第二小题中用k表示为x0的函数，即求函数x0 的值域. 本小题是转化为给定区间上二次函数的值域求法
2020年10月2日
返回11
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5. 设A为双曲线x2/16-y2/9=1右支上一点，F为该双曲线的 右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲 线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( A )
《高三数学轨迹方程》PPT课件
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
【高中数学课件】轨迹方程的求法
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yp|
易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3
即yp= ±3，将它代入抛物线方程得
故所求P点坐标为
（
9 8
，3
）h 和（
9
x89 p，= -8 3 ）
它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6.
抛物线：y2 = 8x
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
（2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|，
P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|，
由题设得
6= S=
1 2
|a-m|·|yhp|y源自P（x，y） • x•A
3
则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。
故，点P的轨迹是以 A 为焦点，以 n 为准线的抛物线。
h
20
椭圆、双曲线方程分别为
x2
y2
+
=1
12+8 2 8+8 2
x2
12- 8
-
2
8
y2
2-
=1 8
a= 12+8 2= 4(3+2 2) =2 3+2 2
点的轨迹方程ppt课件
解： 设M(x, y)， 设A(a,0)，则B(0,b)
uur
uuur
AP (2 a, 4) BP (2, 4 b)
uuur uuur Q AP BP 010 a 2b 0(1)
又A，B的中点是M
x
y
a 2 b 2
(2) (3)
y
.P B M.
o
参 数 法
l2
A
x
l1
把（2）（3）两式代入（1）
A点在y x2上运动
转
yA xA2
即3y (3x 2)化 2 简为9x2 12x 3y 4 0 (x 2)
移
重心G的轨迹方程是9x2 12x 3y 4 0, (x 2)3 3
法
12
总结 :
参数法(代入法、相关点法)：当直接建立, x, y的关系 比较困难时，可以先设一些参数，通过参数连接x,y， 最后消去参数，从而得到x,y的关系式。
直 接 法
6
练习1:过点 P(2 ，4)作两条互相垂直的直线
l1 ，l2 ，若 l1 交 x 轴于A，l2 交 y 轴于B，
求线段 AB 中点 M 的轨迹方程 . y
解：设 M (x，y) ，连 结PM
.P l2
则 A(2x，0) ，B(0，2y)
l1 l2 PAB为Rt
PM
1 2
AB
B M.
x 2y 5 0 即为所求 M 的轨迹方程.
10
例4.已知三点A(-4,0),B(4,0),F(8,0)及直线l的方程：x=2.
过F作相互垂直的两条直线，分别交直线l于M、N两点，直
线AM与BN交于P点.求P点的轨迹方程.
交
解：设P（x,y）,由题意MF,NF的斜率一定存在，且不为0
轨迹方程的求法(中学课件2019)
轨迹方程的基本求法
求平面上的动点的轨迹方程不仅是 教学大纲要求掌握的主要内容之一，也 是高考考查的重点内容之一。
一 方法探究
1、直接法
例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于 由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成 的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=| x︱·︱y |=︱xy︱
点P到直线x十y=6y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0
；抢庄牛牛/ ；
取其财物 南使闽 东越 不敢 未有进者 以忧发疾而死 昭明星 惟前帝王之宪 秦官 非其相反 〕《公孔尼子》二十八篇 九曰新都显王戚祢穆庙 春将出民 太子亦遣使者挢制赦长安中都官囚徒 乃发適戍以备之 举家忧愁 及丞相 御史亦恶其矫制 稽之《五经》 开宽裕之路 所臧活豪士以百 数 新都侯王葬为大司马 将军已下廷尉 蝗 然后民知所法 兴礼乐 有司奏元残贼不改 获单于父行及嫂 居次 名王 犁汙都尉 千长 将以下三万九千馀级 远其躬也 昭帝时 赵姬生淮南厉王长 故脏病则气色发於面 见闰分二万四千一百九十二 少好将帅之节 以特进侯就朝位 后岁馀薨 发兵 相助 责单于马万匹 以刑罚痛绳群下 人或毁不疑曰 不疑状貌甚美 雪边吏之宿耻 封安平侯 乃说根曰 《书》云 天聪明 而不遣赵王 昌既被征 乱男女之别 立荣子广为齐王 石乡 来况齐国 尝闻罪人赎矣 处险不敞 屈原 愿且罢兵 不可者 八也 水犹不冒城郭 户二千三百三十九 见礼如三 公 叱从吏收缚 外内骚动 后知云亡命罪人 数除积日如法 以竹落长四丈 都护但钦不以时救助 乃吏民以义入钱 谷助作者 足以通渠成水门 臣弟子姚平谓臣曰 房可谓知道 夙兴夜寐 故蜚至 故因环封之三县 厥应泰山之石颠而下
求平面上的动点的轨迹方程不仅是 教学大纲要求掌握的主要内容之一，也 是高考考查的重点内容之一。
一 方法探究
1、直接法
例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于 由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成 的矩形面积，求P的轨迹方程． 解：设动点P（x，y）则 S=| x︱·︱y |=︱xy︱
点P到直线x十y=6y-6）2=2|xy| 当xy≥0时，方程为(x-6)2+(y-6)2=36 当xy<0时，方程为x2+4xy+y2-12x-21y+36=0
；抢庄牛牛/ ；
取其财物 南使闽 东越 不敢 未有进者 以忧发疾而死 昭明星 惟前帝王之宪 秦官 非其相反 〕《公孔尼子》二十八篇 九曰新都显王戚祢穆庙 春将出民 太子亦遣使者挢制赦长安中都官囚徒 乃发適戍以备之 举家忧愁 及丞相 御史亦恶其矫制 稽之《五经》 开宽裕之路 所臧活豪士以百 数 新都侯王葬为大司马 将军已下廷尉 蝗 然后民知所法 兴礼乐 有司奏元残贼不改 获单于父行及嫂 居次 名王 犁汙都尉 千长 将以下三万九千馀级 远其躬也 昭帝时 赵姬生淮南厉王长 故脏病则气色发於面 见闰分二万四千一百九十二 少好将帅之节 以特进侯就朝位 后岁馀薨 发兵 相助 责单于马万匹 以刑罚痛绳群下 人或毁不疑曰 不疑状貌甚美 雪边吏之宿耻 封安平侯 乃说根曰 《书》云 天聪明 而不遣赵王 昌既被征 乱男女之别 立荣子广为齐王 石乡 来况齐国 尝闻罪人赎矣 处险不敞 屈原 愿且罢兵 不可者 八也 水犹不冒城郭 户二千三百三十九 见礼如三 公 叱从吏收缚 外内骚动 后知云亡命罪人 数除积日如法 以竹落长四丈 都护但钦不以时救助 乃吏民以义入钱 谷助作者 足以通渠成水门 臣弟子姚平谓臣曰 房可谓知道 夙兴夜寐 故蜚至 故因环封之三县 厥应泰山之石颠而下
点的轨迹方程的求法优选PPT
[思路分析].
C y B
x A
本题答案:x2 +y2 =5
例4:抛物线y2 =4x的焦点为F,准线与 x轴交于A,P是抛物线上除去 顶点外的动点,O为顶点.连接FP并延长至Q,使|FP| = |PQ|,OQ与AP 交于M,求点M的轨迹.
[思路分析1]本题中的动点M是由两条动 y
Q
直线相交而得,而它们的运动又都依赖 于动点P ,因此选择P的坐标为参数,写
• 参数法:动点的运动依赖于某一参数(角度、 斜率、坐标等)的变化,可建立相应的参数 方程,再化为普通方程.
设[思出路B分(-析1,t]):,首C(先x,建y)的立坐适标当,的有坐以标下系思,路设:出动点A及定点B、C的坐标,如何将tgB、tgC坐标化是本题的关键.
平分线为y轴.(哪一种更好呢?)由 M 由下图面易 的知关∠键B是是求直出线pA的B值的,倾而斜ΔA角M,∠NC为是锐直角线三A角C形的及倾|斜BN角|=的6又补起角什,因么而作tg用B、呢t?g请C都大可家以认用真斜思率考来. 表示.
数学高考专题复习
圆锥曲线回顾
例1:已知ΔABC底边BC的长为2a(a>0),又知tgBtgC=t(t≠0).(a,t均为常 数).求顶点A的轨迹.
[思路分析]:首先建立适当的坐标系,设出
y A
动点A及定点B、C的坐标,如何将tgB、
tgC坐标化是本题的关键.由图易知∠B 是直线AB的倾斜角,∠C是直线AC的倾斜
1 本题答案:x轨2迹+y方2程=5为 x2/a2 +y2/ta2 =1 (x≠+-a)
标准方程y =2px(p>0).下面的关键 2 由图易知∠B是直线AB的倾斜角,∠C是直线AC的倾斜角的补角,因而tgB、tgC都可以用斜率来表示.
轨迹方程的求法ppt1 通用18页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
Байду номын сангаас
轨迹方程的求法ppt1 通用
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
高中必修高一数学PPT课件定义法求轨迹方程PPT共17页
END
高中必修高一数学PPT课件定义法求 轨迹方程
36、“不可能”这个字(法语是一个 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
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轨迹方程的求法
求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握 的主要内容之一，也是高考考查的重要内容之一。
轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合，求符合某种 条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间 的特性（运动规律）去寻求变量间关系的方程。因此，求轨 迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设中的几何条件， 通过“解析化”将其转化为代数方程。
例5：设圆C：(x-1)2 + y2 =1，过原点O作圆的任意弦， 求所作弦的中点的轨迹方程。
解：设Q点坐标为（1+cosθ，sinθ），
∵P（x，y）的坐标为
x 1 cos 2
消去θ得
y sin
2
(x1)2y21x
2
4
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
求动点轨迹方程的几种常用方法： 1.直接法；2.定义法；3.代入法（转代法）； 4.待定系数法；5.参数法；6.交轨法。
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等 量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只 须把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程，由于 这种求轨迹方程的过程不需其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称 之为直接法。
OQ 2
分析：这是主动点和被动点问题，设法用P点坐标来表示Q点坐标，问题
便可迎刃而解。
解：设Q（x0，y0），P（x，y），由OO
P Q
3 2
且P在OQ的延长线上，
得 OP 3
x 3x0 13
PQ
由定比分点坐标公式得：
y 3 y0 13
x0
2 3
x
y0
2 3
y
又点Ｑ(2在y抛)2 物 线4y22＝x4x 上，
得b2 8 ∴椭圆方程为 x 2 y 2 1
16 8
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
若动点P（x，y）中坐标x、y之间的关系难以找 出，可引进参数t，用t分别表示x、y（即x=f(t)， y=g(t)），再由两式消去t，便得到所求曲线的普通方程。
解：设点P的坐标（x0，y0），则Q（x0，-y0），
直线PF1的方程：y y0 (x 2) ---- ①
x0 2
直线QF2的方程：y
y0 x0 2
(x
2)
---- ②
①②联立，解得
x0
4x,y0
2y x
将上面结果代入
x02 3
y02
∴c2 = a2 +(2a-c)2 ∴e＝ c 5
a4
又双曲线过点A（1，2），y轴为右准线，由双曲线定义得：
A F （ ed为点A到y轴的距离） 即
d
(x1)2(y2)2 5 4
两边平方并整理得右焦点F的轨迹方程为
(x-1)2＋(y-2)2 =（x>0）
2006届高中数学专题复习·轨迹方程的求法
三、代入法 若动点P（x，y）随已知曲线f（x，y）= 0上的动 （转代法） 点Q(x′,y′)的变化而变化，则用P点坐标 x，y来
表示Q点的坐标x′，y′，将它代入已知曲线方程f（x，y）=
0，便得到所求的曲线方程。
例3：设点Q是抛物线y2＝4x上的动点，点O是原点，点P在OQ的延长线
上，O 且P 3 = ，当点Q在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程。
3
3
y2 6x
已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设
条件确定其系数即可。
例4：已知圆C1的方程为(x2)2(y1)2
20 3
，椭圆C2的方程为ax
2 2
y2 b2
1
（a>b>c），C2离心率为 2 ，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好 2
为圆C1的直径，求直径AB的方程和椭圆C2的方程。
六、交轨法 是两条已知曲线f1(x，y) = 0，f2(x，y) = 0联立，
解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。
例6：如图，F1，F2是双曲线
x2 3
y2
1 ，的两个焦点，垂直于x轴的直线交
双曲线于P、Q两点，求直线PF1和QF2的交点M的轨迹方程，并说明这是什
么曲线。
分析：M是动直线PF1和QF2的交点，用交轨法。
例1：已知A（-2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率乘积
为k（k≠0），（1）求点P的轨迹方程；（2）讨论点P的轨迹类型。
分析：直接应用已知条件可列出轨迹方程，但不要忽略讨论参数范围。
解：（1）设点P的坐标为（x，y），则
y y = k，即kx2－y2= 4k（x≠±2）
x2 x2
∵k≠0，∴动点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x2)
4 4k
当k>0时，点P的轨迹为双曲线，除去两顶点（±2，0）；
当k<0且k≠-1时，点P的轨迹为椭圆，除去两顶点（±2，0）；
当k=-1时，点P的轨迹是圆，除去两点（±2，0）。
·轨迹方程的求法
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义
（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可以根据定义直接求
解：由e＝ 2 2
得a2＝2b2，设椭圆方程为 x 2
2b 2
y2 b2
1
，设A（x1，y1），
B（x2，y2），x 1 x 2 4
－－－－－－－①
y 1 y 2 2 －－－－－－－②
则有：
x12 2b2
y12 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
－－－－－－－③
x 22 2b2
y 22 b2
1
－－－－－－－④
③－④得 ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) ( y 1 y 2 ) 0将①、②代入
出动点的轨迹方程。
例2：已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，以y轴为右准线，
且过点A（1，2），求此双曲线右焦点F的轨迹方程。
分析：由已知条件得a、b、c之间的关系，再加上隐含条件c2＝a2＋b2得
到双曲线的离心率，最后由双曲线的定义得到动点坐标之间的关系式，化
简得到动点轨迹方程。
解：设F（x，y），∵2a＝b＋c，c2＝a2＋b2
y1 y2 1 x1 x2
所以直线ＡＢ的方程为 y1(x2)
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
· 轨迹方程的求法
即：y x3 将 y x3代入椭圆方程得: 3 x2 1 2 x 1 8 2 b 2 0 ∵直线与椭圆相交 ∴△﹥0，得b2﹥3
由 A B 2x 1 x 224 2 4 (1 8 3 2 b 2 ) 22 3 0
求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握 的主要内容之一，也是高考考查的重要内容之一。
轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合，求符合某种 条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间 的特性（运动规律）去寻求变量间关系的方程。因此，求轨 迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设中的几何条件， 通过“解析化”将其转化为代数方程。
例5：设圆C：(x-1)2 + y2 =1，过原点O作圆的任意弦， 求所作弦的中点的轨迹方程。
解：设Q点坐标为（1+cosθ，sinθ），
∵P（x，y）的坐标为
x 1 cos 2
消去θ得
y sin
2
(x1)2y21x
2
4
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
求动点轨迹方程的几种常用方法： 1.直接法；2.定义法；3.代入法（转代法）； 4.待定系数法；5.参数法；6.交轨法。
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等 量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只 须把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线的轨迹方程，由于 这种求轨迹方程的过程不需其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称 之为直接法。
OQ 2
分析：这是主动点和被动点问题，设法用P点坐标来表示Q点坐标，问题
便可迎刃而解。
解：设Q（x0，y0），P（x，y），由OO
P Q
3 2
且P在OQ的延长线上，
得 OP 3
x 3x0 13
PQ
由定比分点坐标公式得：
y 3 y0 13
x0
2 3
x
y0
2 3
y
又点Ｑ(2在y抛)2 物 线4y22＝x4x 上，
得b2 8 ∴椭圆方程为 x 2 y 2 1
16 8
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
若动点P（x，y）中坐标x、y之间的关系难以找 出，可引进参数t，用t分别表示x、y（即x=f(t)， y=g(t)），再由两式消去t，便得到所求曲线的普通方程。
解：设点P的坐标（x0，y0），则Q（x0，-y0），
直线PF1的方程：y y0 (x 2) ---- ①
x0 2
直线QF2的方程：y
y0 x0 2
(x
2)
---- ②
①②联立，解得
x0
4x,y0
2y x
将上面结果代入
x02 3
y02
∴c2 = a2 +(2a-c)2 ∴e＝ c 5
a4
又双曲线过点A（1，2），y轴为右准线，由双曲线定义得：
A F （ ed为点A到y轴的距离） 即
d
(x1)2(y2)2 5 4
两边平方并整理得右焦点F的轨迹方程为
(x-1)2＋(y-2)2 =（x>0）
2006届高中数学专题复习·轨迹方程的求法
三、代入法 若动点P（x，y）随已知曲线f（x，y）= 0上的动 （转代法） 点Q(x′,y′)的变化而变化，则用P点坐标 x，y来
表示Q点的坐标x′，y′，将它代入已知曲线方程f（x，y）=
0，便得到所求的曲线方程。
例3：设点Q是抛物线y2＝4x上的动点，点O是原点，点P在OQ的延长线
上，O 且P 3 = ，当点Q在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程。
3
3
y2 6x
已知曲线类型，设相应的曲线方程，再由题设
条件确定其系数即可。
例4：已知圆C1的方程为(x2)2(y1)2
20 3
，椭圆C2的方程为ax
2 2
y2 b2
1
（a>b>c），C2离心率为 2 ，若C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰好 2
为圆C1的直径，求直径AB的方程和椭圆C2的方程。
六、交轨法 是两条已知曲线f1(x，y) = 0，f2(x，y) = 0联立，
解出两曲线交点，然后寻找交点横、纵坐标之间的关系式。
例6：如图，F1，F2是双曲线
x2 3
y2
1 ，的两个焦点，垂直于x轴的直线交
双曲线于P、Q两点，求直线PF1和QF2的交点M的轨迹方程，并说明这是什
么曲线。
分析：M是动直线PF1和QF2的交点，用交轨法。
例1：已知A（-2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率乘积
为k（k≠0），（1）求点P的轨迹方程；（2）讨论点P的轨迹类型。
分析：直接应用已知条件可列出轨迹方程，但不要忽略讨论参数范围。
解：（1）设点P的坐标为（x，y），则
y y = k，即kx2－y2= 4k（x≠±2）
x2 x2
∵k≠0，∴动点P的轨迹方程为 x2 y2 1(x2)
4 4k
当k>0时，点P的轨迹为双曲线，除去两顶点（±2，0）；
当k<0且k≠-1时，点P的轨迹为椭圆，除去两顶点（±2，0）；
当k=-1时，点P的轨迹是圆，除去两点（±2，0）。
·轨迹方程的求法
若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义
（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可以根据定义直接求
解：由e＝ 2 2
得a2＝2b2，设椭圆方程为 x 2
2b 2
y2 b2
1
，设A（x1，y1），
B（x2，y2），x 1 x 2 4
－－－－－－－①
y 1 y 2 2 －－－－－－－②
则有：
x12 2b2
y12 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
－－－－－－－③
x 22 2b2
y 22 b2
1
－－－－－－－④
③－④得 ( x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) ( y 1 y 2 ) 0将①、②代入
出动点的轨迹方程。
例2：已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，以y轴为右准线，
且过点A（1，2），求此双曲线右焦点F的轨迹方程。
分析：由已知条件得a、b、c之间的关系，再加上隐含条件c2＝a2＋b2得
到双曲线的离心率，最后由双曲线的定义得到动点坐标之间的关系式，化
简得到动点轨迹方程。
解：设F（x，y），∵2a＝b＋c，c2＝a2＋b2
y1 y2 1 x1 x2
所以直线ＡＢ的方程为 y1(x2)
轨 迹 方 程 的 求法pp t完美课 件1 通 用
· 轨迹方程的求法
即：y x3 将 y x3代入椭圆方程得: 3 x2 1 2 x 1 8 2 b 2 0 ∵直线与椭圆相交 ∴△﹥0，得b2﹥3
由 A B 2x 1 x 224 2 4 (1 8 3 2 b 2 ) 22 3 0