第10讲 线性规划方法
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
线性规划法
线性规划法
线性规划（Linear Programming）是数学规划的一种方法，用于确定一组决策变量的最佳值，以实现目标函数的最大
化或最小化。
在线性规划中，决策变量需要满足一组线性约束条件，这
些约束条件可以用一系列线性方程或不等式表示。
目标函
数可以是需要最大化的利润、最小化的成本或其他衡量指标。
线性规划的一般形式如下：
最大化(C^T * X)
满足约束条件：A * X <= B
X >=0
其中，C为包含决策变量的系数矩阵，X为决策变量向量，A为约束矩阵，B为约束约束向量。
线性规划可以通过图形法、单纯形法、内点法等多种方法求解。
求解过程中，需要确定目标函数的最优解，使其满足约束条件。
线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配、供应链规划等领域，都可以使用线性规划方法进行决策优化。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划问题的四种求解方法
可画出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二 、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
一 、截距法
y )都使 F(x , y)=Ax +By 取等值C 的直线l :
例 1 某厂需从国外引进两种机器 .第一 Ax +By = C(A 、B 不同时为零).通过比较等
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
x +2y 4x +y
=13得 =24
B(5 , 4).故当
x
=5, y
=4
行域 .令 z = 0 , 则可画出 直线 l 0 :2x -5y + 7150 =0 .画出一组与 l 0 平行的等值线 , 比较等
线性规划的求解算法
线性规划的求解算法 线性规划（linear programming ）是运筹学中的一个重要分支，在现代工业、农业、商业、交通运输、国防军事及经济管理等诸多领域都有着广泛重要的应用。
在数学系的竞赛数学建模中，也多次应用线性规划来建模从而解决实际问题。
在这里介绍单纯性法和对偶单纯形法两种求解线性规划的方法。
一、单纯形法算法主体思想标准线性规划简记如下：LP-max LP-mins.t {0Ax b x =≥ s.t {0Ax b x =≥ 这里只以LP-min 为例。
1、算法思想单纯形法是在已知一个可行基的前提下采用的解决线性规划的算法。
步骤如下：（1）输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M M O M K ，并化为典则形式。
用R （i ）记录单位矩阵I 中元素1的位置。
（2）求{}0min |0,1j j a j n t >≤≤@若t 不存在，则得到最优解；(i),1R i n x a += （i=1,2,...m ）.其他j x =0，停。
否则，转到（3）。
（3）求,1min{|0,1}i n it it a a i m a λ+>≤≤@。
若λ不存在，则LP-min 无下届，所以无最优解，停；否则，求,1min (i)|,0,1(s)i n it it a R a i m R a λ+⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭@，转到（4）。
（4）sjsj sta a a ⇐，（j=1，2....n+1） ij ij sj it a a a a ⇐-,(i=0,1,2...m;i ≠s;j=1,2,....,n+1), (s)t R ⇐,转到（2）.二、对偶单纯形法对偶单纯形法是在已知一个正则基的条件下的求解线性规划的方法。
步骤如下:(1)输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M M O M K ，并化为典则形式。
线性规划方法及其应用
05
线性规划方法优缺点分析
优点分析
有效处理多变量问题
线性规划能够同时处理多个决策变量，通过 优化算法寻找最优解。
直观易懂的数学模型
线性规划在各个领域都有广泛的应用，如生 产计划、资源分配、运输问题等。
广泛应用
线性规划的数学模型相对简单，易于理解和 应用。
可求解大规模问题
随着计算机技术的发展，线性规划可以求解 大规模的问题，满足实际应用的需求。
复杂约束处理
研究如何处理包含复杂约束条件的线性规划问题，提高求解效率和 准确性。
不确定性问题建模
针对包含不确定性因素的线性规划问题，发展有效的建模和求解方 法。
应用领域拓展
探索线性规划方法在更多领域（如机器学习、大数据分析等）的应用 潜力，推动相关领域的理论和技术创新。
感谢您的观看
THANKS
3
考虑不确定性
将不确定性因素引入资源分配问题中，通过线性 规划求解鲁棒性强的资源分配策略，以应对潜在 的风险和变化。
04
线性规划软件介绍
MATLAB软件介绍
1
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的数学 计算软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、 数据分析以及数值计算等领域。
2
MATLAB提供了丰富的工具箱，其中包括优化工 具箱（Optimization Toolbox），可用于解决线 性规划问题。
线性规划方法及其应用
目录
• 线性规划基本概念 • 线性规划方法 • 线性规划应用举例 • 线性规划软件介绍 • 线性规划方法优缺点分析 • 线性规划方法发展趋势与展望
01
线性规划基本概念
定义与特点
定义：线性规划是一种数学方法，用于 优化一组线性不等式约束下的线性目标 函数。
线性规划的方法及应用
线性规划的方法及应用1 引言运筹学最初是由于第二次世界大战的军事需要而发展起来的，它是一种科学方法，是一种以定量的研究优化问题并寻求其确定解答的方法体系．线性规划（Linear Progromming ，简称LP ）是运筹学的一个重要分支，其研究始于20世纪30年代末，许多人把线性规划的发展列为20世纪中期最重要的科学进步之一．1947年美国的数学家丹泽格提出了一般的线性规划数学模型和求解线性规划问题的通用方法――单纯形法，从而使线性规划在理论上趋于成熟．此后随着电子计算机的出现，计算技术发展到一个高阶段，单纯形法步骤可以编成计算机程序，从而使线性规划在实际中的应用日益广泛和深入．目前，从解决工程问题的最优化问题到工业、农业、交通运输、军事国防等部门的计划管理与决策分析，乃至整个国民经济的综合平衡，线性规划都有用武之地，它已成为现代管理科学的重要基础之一．2 线性规划的提出经营管理中如何有效地利用现有人力物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力物力去实现．这类问题可以用数学语言表达，即先根据问题要达到的目标选取适当的变量，问题的目标通常用变量的函数形式（称为目标函数），对问题的限制条件用有关变量的等式或不等式表达（称为约束条件）．当变量连续取值，且目标函数和约束条件为线性时，称这类模型为线性规划的模型．有关对线性规划问题建模、求解和应用的研究构成了运筹学中的线性规划分支．线性规划实际上是:求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解.从而线性规划模型的基本结构为： ①变量：变量又叫未知数，它是实际系统的位置因素，也是决策系统中的可控因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如n x x x ,,,21 等．②目标函数：将实际系统的目标用数学形式表示出来，就称为目标函数，线性规划的目标函数是求系统目标的数值，即极大值（如产值极大值，利润极大值）或极小值（如成本极小值，费用极小值等等）． ③约束条件：约束条件是指实现系统目标的限制因素．它涉及到企业内部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应设备能力、计划指标．产品质量要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束条件．约束条件的数学表示有三种，即≤=≥,,,线性规划的变量应为非负值，因为变量在实际问题中所代表的均为实物，所以不能为负．线性规划问题有多种形式，函数有的要求实现最大化，有的要求最小化；约束条件可以是“≤”，也可以是“≥”，还可以是“=”，这种多样性给讨论带来不便. 为了便于讨论其一般解法，我们通常将线性规划问题的约束条件归结为线性方程和一组非负性限制条件，并且对目标函数统一成求最大值,也就是说,将线性规划问题的数学模型化成如下形式,并称它为线性规划问题的标准形式:),,2,1(..max11m i b x at s x c f ij nj ijjnj j ===∑∑==),,2,1(0n j x j =≥任何非标准形式的线性规划问题都能化成上述标准形式,这是由于不等式约束k j nj ijb x a≤∑=1等价于约束条件0,1≥=+++=∑k n k k n nj j ijx b x x a；不等式约束l j nj ijb x a≥∑=1等价于约束条件；0,1≥=-++=∑l n l l n nj j ijx b x x a这里增添的变量k n x +和l n x +称为松弛变量.还有,求函数f 的最小值解可转化为求函数f -的最 大值解.以下讨论线性规划问题时以标准型为主.3 线性规划的解法3.1 图解法满足约束条件的决策变量的一组值叫做这个线性规划的一个可行解;把所有可行解构成的集合叫做这个线性规划的可行域.因此,求解一个线性规划的问题,使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为线性规划的最优解.一般求解线性规划问题是讨论它的最优解．下面介绍只有两个决策变量的线性规划问题的图解法.例１ 用图解法求解21m axx x f +-=22..21-≥-x x t s2221≤-x x 521≤+x x12,0x x ≥解 第一步 先画出可行域 以21,x x 为坐标轴作直角坐标系,因为0,021≥≥x x ，所以问题的可行解必在第一象限（含坐标轴）；约束条件222-≥-x x 要求问题的可行解必在直线222-=-x x 的右下方的半平面上；约束条件2221≤-x x ，要求问题的可行解必在直线2221=-x x 的左上方的半平面上；约束条件521≤+x x ，要求问题的可行解必在直线521=+x x 的左下方的半平面上.因为所有的约束条件都必须同时满足,所以问题的可行解域必为闭区域4321Q Q Q OQ ,如图3.1.1中的阴影部分. 第二步 从可行域中找出最优解现在分析目标函数21x x f +-=,在坐标平面上,它可以看作是以f 为参数的一族平行线:f x x +=12位于同一条直线上的点,都有相同的目标函数值,因而称它为等值线.当f 由小变大时,直线f x x +=12沿其法线方向向左上方移动.当移动到2Q 点时,f 的取值最大,这就得出了本题的最优解,如图3.1.2 ,此时f 最大,得 3411max =+⨯-=f .显然用图解法求解线性规划问题时,简单直观；但是当决策变量多于两个的时候,用图解法就失效了.3.2 单纯形法这一方法是丹泽格在1947年提出的，它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划近30年．单纯形法是求解线性规划问题的最重要、最基本的方法，它的解题思路[7](p27)是：将线性规划问题化为标准型后，先找出一个单位可行基，对这个可行基给出可行解，然后用判定定理——称为检验数，判定其是否为最优解．若是，求解过程结束；若不是，在单位可行基的基础上，进行换基迭代，该过程叫做迭代，直到得出最优解或证明无最优解为止.它有很强的程序性,它的具体操作是从一张叫做初始表的表格开始的.初始表由四部分构成[7](p27-28):第一部分A A B =-1(B 是单位可行基) 即约束方程组的系数矩阵.第二部分b b B =-1(B 是单位可行基) 即约束方程组的常数项构成的列向量.第三部分是检验数C A CB --1 (B C 为单位可行基变量所对应的目标函数中的系数列向量;C 是目标函数的系数行向量).第四部分b C B 该数为目标函数值.它的表格形式为:例２ 用单纯形法求解 2136m axx x f +=40x 23..21≤+x t s 21421≤+x x12,0x x ≥ ．解 第一步 将原问题化为标准型 43210036m ax x x x x f +++=40x 23..321=++x x t s214421=++x x x )4,3,2,1(0=≥j x j ．第二步 观察原问题是否存在现成的单位可行基 因为约束方程组的系数矩阵为),,,(101401234321p p p p A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ，所以原问题存在现成的单位可行基()1341001B p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第三步 列出初始表，计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-10140123)111A A B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-2140)211b b B ， 3)1B C 是目标函数中基变量43,x x 的系数构成的列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛00，)0,0,3,6()4111--=-=--C C A B C B ，15)0B C b = ，1346)B x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .由上面计算结果，列出初始表（如下表）表3.2.1第四步 判定由初始表知，检验数中含有负数，故可行解Tx )21,40,0,0(=不是最优解，还需 要进行迭代运算（若检验数均为非负数，则可行解即为最优解） 第五步 迭代运算迭代一：①确定主元在检验数中，找出最小负数。
线性规划标准形式
线性规划标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在管理、经济、工程等领域有着广泛的应用。
在进行线性规划问题求解时，往往需要将原始问题转化为标准形式，这样可以更方便地应用线性规划的方法进行求解。
本文将介绍线性规划的标准形式及其相关内容。
1. 线性规划的标准形式。
线性规划的标准形式可以表示为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，目标函数为最大化的线性表达式，约束条件为线性不等式，变量xi为决策变量，ci为系数，aij为系数矩阵，bi为常数，n为变量个数，m为约束个数。
2. 转化为标准形式的方法。
为了将原始线性规划问题转化为标准形式，可以采取以下步骤：（1）将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量或者人工变量，将不等式约束转化为等式约束。
（2）将目标函数转化为最大化问题，如果原始问题是最小化问题，可以通过取负号将其转化为最大化问题。
（3）引入非负约束，对于原始问题中的自由变量或者负变量，引入非负变量替代。
通过以上步骤，可以将原始线性规划问题转化为标准形式，从而方便进行后续的求解操作。
3. 求解标准形式的方法。
一旦线性规划问题被转化为标准形式，就可以利用线性规划的方法进行求解。
常用的求解方法包括单纯形法、对偶理论、内点法等。
这些方法都是基于线性规划的特殊结构和性质而设计的，可以高效地求解大规模的线性规划问题。
4. 实例分析。
为了更好地理解线性规划的标准形式，我们可以通过一个实例来进行分析。
假设有如下线性规划问题：Max z = 3x1 + 5x2。
Subject to:2x1 + x2 ≤ 6。
线性规划讲义
线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将从五个大点来详细阐述线性规划的相关概念和应用。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和形式线性规划是一种数学模型，其目标函数和约束条件均为线性函数。
一般形式为：最大化（或最小化）目标函数 Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数。
约束条件一般为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为系数，b1, b2, ..., bm为常数。
1.2 线性规划的可行解和最优解可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在所有可行解中使目标函数达到最大（或最小）值的解。
线性规划问题的解空间是一个多面体，最优解通常位于多面体的顶点。
1.3 线性规划的图解法和单纯形法线性规划问题可以通过图解法和单纯形法求解。
图解法适用于二维或三维问题，通过画出目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。
单纯形法适用于高维问题，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。
2. 线性规划的应用领域2.1 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑生产能力、资源约束和市场需求等因素，可以确定最优的生产数量和产品组合。
2.2 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
通过考虑资源供应量、需求量和优先级等因素，可以实现资源的有效调配。
2.3 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的调度和路径规划。
线性规划基本知识
线性规划基本知识线性规划是一种数学优化方法，用于在给定限制条件下最大或最小化线性目标函数。
它是现代数学、工程学和运筹学的基础之一，被广泛应用于制造业、金融、交通、物流等领域。
本文将介绍线性规划的基础知识，包括线性规划问题的表达方式、标准形式、单纯形法求解以及对偶理论等。
一、线性规划问题的表达方式线性规划问题的表达方式通常包含以下部分：1. 决策变量：表示求解问题时需要确定的变量，通常用x1、x2、......、xn表示。
2. 目标函数：表示优化的目标，通常是一个线性函数，用c1x1+c2x2+......+cnxn表示。
3. 约束条件：表示限制决策变量的取值范围，通常是线性等式或不等式，用a11x1+a12x2+......+a1nxn≤b1、a21x1+a22x2+......+a2nxn≤b2、......、am1x1+am2x2+......+amnxn≤bm 表示。
其中，决策变量x1、x2、......、xn的取值范围可以是非负实数集合、整数集合或者其他特定取值范围。
二、线性规划的标准形式通常情况下，线性规划问题都可以通过一些变换，转化为标准形式进行求解。
标准形式的线性规划问题包括以下三个部分：1. 最大化或最小化的目标函数2. 约束条件，所有约束条件都是小于等于号3. 决策变量的取值范围，所有决策变量都是非负实数三、单纯形法求解线性规划问题单纯形法是线性规划问题最常用的求解方法之一，它是一种迭代的过程，通过一系列基本变换（基本可行解、进入变量、离开变量、更新表格）逐步接近最优解。
单纯形法求解线性规划问题的步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。
2. 确定一个初始可行解。
3. 计算第一行表格的系数，并找出最小的系数所在的列，作为进入变量。
4. 确定离开变量，通过将所有正数元素对应的值除以对应进入变量的系数，找到最小的元素所在的行，作为离开变量所在行。
5. 更新表格，完成一次迭代。
6. 重复第三至第五步，直至得到最优解或者确定问题无可行解或是无界问题。
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
解线性规划问题的常见方法与策略
解线性规划问题的常见方法与策略线性规划是数学中的一类优化问题，目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划在运筹学、经济学、管理学、工程学等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍解决线性规划问题的常见方法与策略。
1. 模型建立在解决线性规划问题之前，应该先建立数学模型。
模型主要包含目标函数和约束条件。
通常需要对问题进行分析和抽象，确定需求变量、决策变量、目标和限制条件。
建立好模型后，就可以应用各种算法进行求解了。
2. 单纯性法单纯性法是一种直接、高效的线性规划求解方法，也是最为广泛应用的方法。
它通过不断的交替基变换来逐步靠近最优解。
具体而言，单纯性法首先选择一个基本可行解，然后通过行变换和列变换找到下一个更优的基本可行解，直到找到最优解或者无法继续优化为止。
3. 对偶理论对偶理论是解决线性规划问题的另一种方法，它将线性规划问题转化为一个对偶问题。
对偶问题又称对偶线性规划，它的目标函数与原问题的约束条件有关。
对偶问题可以通过单纯性法或其他优化方法来求解，从而得到原问题的最优解。
4. 网络流算法网络流算法是一种常用的线性规划求解方法，它通过流量平衡条件和容量限制条件来描述约束条件。
将线性规划问题转化为网络流问题，然后应用最大化流算法或最小费用最大流算法求解。
5. 分支定界法分支定界法是一种可以求解任何类型的数学规划问题的通用方法。
其基本思想是将问题分解成多个子问题，然后用分支定界法求解。
分支定界法可以解决较小规模的线性规划问题，但是对于大规模问题求解效率较低。
综上所述，单纯性法、对偶理论、网络流算法和分支定界法是解决线性规划问题的常见方法。
在实际应用中，应该结合问题的特点和求解效率选择合适的方法和策略。
线性规划问题的求解方法与实践
线性规划问题的求解方法与实践线性规划是一种常见的优化问题，可以用来研究诸如资源分配、生产优化等问题。
线性规划问题的求解方法也十分重要，常用的方法有单纯形法、内点法、整数规划等。
本文将从理论和实践两个层面讨论线性规划问题的求解方法。
一、单纯形法单纯形法是一种求解线性规划问题的标准算法，在实践中得到广泛应用。
其基本思想是将线性规划问题转化为标准型，并通过不断的迭代来达到最优解。
标准型是指将目标函数和限制条件均转化为等式的形式。
具体来说，假设有线性规划问题：max c1*x1 + c2*x2 + … + cn*xns.t.a11*x1 + a12*x2 + … + a1n*xn ≤ b1a21*x1 + a22*x2 + … + a2n*xn ≤ b2…am1*x1 + am2*x2 + … + amn*xn ≤ bm其中，x1~xn为决策变量，c1~cn为目标函数的系数，a11~amn 为各限制条件的系数，b1~bm为约束条件的右值。
将其转化为标准型：max cxs.t.Ax = bx ≥ 0其中，x = (x1, x2, …, xn)T，c和x为向量，A为mxn的矩阵，b为m维的向量。
线性规划问题的解可以存在于顶点中，而顶点又可以表示为n-m个线性约束的交点。
单纯形法就是借助这一点来求解问题，每次从一个顶点出发，向相邻的顶点移动，最终找到全局最优解。
二、内点法内点法是求解线性规划问题的另一种常见方法，也被称为封闭框架法。
其基本思想是通过构造一个特殊的迭代序列，将问题转化为无约束的非光滑的优化问题，然后使用牛顿迭代等方法求解。
内点法的优点在于可以直接求解非线性约束和整数规划问题，同时有较好的收敛性和鲁棒性。
内点法的基本思路是将约束条件改写为一组等效条件，并考虑在这些等效条件内部寻找最优解。
这些等效条件称为“内点”，表示在这些条件下寻找的最优解都在可行域内部。
例如，在松弛的线性规划问题中，对于每个限制条件，都可以构造一个内点，使得其满足该约束条件，并使用初始可行解来初始化算法。
线性规划方法
则目标函数标准形式为
n
n
Z cjxj cjxj oxnk
j1
j1
三、线性规划的解及其性质
(一)线性规划的解 可行解与最优解
满足约束条件(即满足线性约束和非负 约束)的一组变量为可行解。所有可行解组 成的集合称为可行域。
C BBB 1b1b CB CB 1B A1A
为对应于基B的单纯形表,记为T(B) 。
如果记 CBB1bb00 C C B B 1 A [ b 0,b 1 0, 2,b 0 n ]
B 1 b [b 1,0 b 2,0 ,b m 0]T
以及
b11 b12 b1n
B1A
b2
1
b22
b2n
(2)若检验系数中,有些为正数,但其中某一正 的检验系数所对应的列向量的各分量均非正,则线 性规划问题无解。
(3)若检验系数中,有些为正数,且它们所对应 的列向量中有正的分量,则需要换基、进行迭代运 算。
第3步,选主元。 在所有大于零的检验数中选
取最大的一个b0s,对应的非基变量为xs,对应的列向
a11 a12 a1m
Ba21
a22
a2m[P1,P2,,Pm]
am1
am2
am
m
则称 Pj(j1,2, ,m)为基向量,与基向量相对应的 向量 xj(j1,2, ,m 为) 基变量,而其余的变量 x i(j m 1 ,m 2 , ,n )为非基变量。
如果XB[x1,x2, ,xm ]T 是方程组 BXB b 的 解, 则 X [x 1 ,x 2 , ,x m ,0 ,0 , ,0 ]T 就是方程 组 maZxCX的一个解,它称之为对应于基B 的基本解,简称基解。
线性规划方法
线性规划方法是一种常用的数学优化方法，它可以用来解决各种类型的最优化问题。
它的基本原理是，将一个复杂的最优化问题转化为一个线性规划问题，然后使用各种数学技术
和算法来解决。
线性规划方法有很多应用，它可以用来解决求解经济学、管理科学、运输科学、机械工程、数学建模等等各种问题。
它可以用来求解最优产品组合、最优资源分配、最优路线规划等问题。
线性规划方法的基本思想是，将一个复杂的最优化问题转化为一系列线性方程组，然后使用数学技术和算法来求解这些方程组。
一般来说，线性规划方法包括三个步骤：首先，要
明确最优化问题的目标函数和约束条件；其次，将最优化问题转化为线性规划问题；最后，使用各种数学技术和算法来求解线性规划问题。
线性规划方法是一种常用的数学优化方法，它可以用来解决各种最优化问题，并且具有广泛的应用。
它的基本思想是，将一个复杂的最优化问题转化为一系列线性方程组，然后使
用数学技术和算法来求解这些方程组。
线性规划方法在许多领域都有广泛的应用，如经济学、管理科学、运输科学、机械工程、数学建模等。
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在工程、经济学、管理学等领域都有着广泛的应用。
线性规划的标准形式是指将线性规划问题转化为一种标准的数学形式，以便于进行求解。
在本文中，我们将介绍线性规划的标准形式及其相关内容。
首先，让我们来看一下线性规划的一般形式。
线性规划问题通常可以表示为如下形式：\[\max \{c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}\]其中，c为n维向量，表示目标函数的系数；x为n维向量，表示决策变量；A 为m×n的矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b为m维向量，表示约束条件的右端向量。
接下来，我们将线性规划问题转化为标准形式。
标准形式的线性规划问题可以表示为如下形式：\[\max \{c^Tx | Ax = b, x \geq 0\}\]在标准形式中，约束条件变为了等式约束，这样可以方便地应用线性代数的方法进行求解。
为了将原始问题转化为标准形式，我们需要引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束。
具体地，对于每一个不等式约束$A_ix \leq b_i$，我们引入一个松弛变量$s_i \geq 0$，使得$A_ix + s_i = b_i$。
这样，原始问题就可以转化为一个等式约束的线性规划问题。
除了将不等式约束转化为等式约束，我们还需要考虑目标函数的形式。
在标准形式中，目标函数通常是最大化形式，而原始问题可能是最小化形式。
为了将最小化问题转化为最大化问题，我们可以取目标函数的相反数。
具体地，如果原始问题是$\min \{c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}$，那么对应的最大化问题就是$\max \{-c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}$。
在将线性规划问题转化为标准形式之后，我们就可以利用标准形式的特点进行求解。
标准形式的线性规划问题可以应用诸如单纯形法、对偶理论等方法进行求解，这些方法在数学理论上有着严格的证明，并且在计算机实现上也有着高效的算法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十章线性规划方法线性规划的一般模型；线性规划解的概念与理论；线性规划的求解方法；线性规划的软件求解方法；线性规划的应用案例分析。
设某企业现有m 种资源(1,2,,)i A i m = 用于生产n 种产品(1,2,,)j B j n = ，产品 资源 1B 2B n B 总 量 1A 11a 12a n a 1 1b 2A 21a 22a n a 2 2b m A 1m a 2m a mn a m b 利润 1c 2c n c每种资源的拥有量和每种产品所消耗的资源量，以及单位产品的利润如下表，试问如何安排生产计划使得该企业获利最大?1. 问题的提出建立数学模型：设产品j B 产量为),,2,1(n j x j =，称之为决策变量，所得的利润为z ，则要解决的问题的目标是使得（利润）函数∑==n j j jx c z 1有最大值，称为目标函数。
⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤=∑∑==),,2,1(0),,2,1(..max 11n j x m i b x a t s x c z j n j i j ij nj j j 1. 问题的提出决策变量所受的约束条件为1(1,2,,)0(1,2,,)n ij j i j j a x b i m x j n =⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 称之为问题的约束条件。
2 .线性规划模型的一般形式分量形式:∑==nj j j x c z 1(min)maxs.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥==≥≤∑=),,2,1(0),,2,1(),(1n j x m i b x a j n j i j ij矩阵形式⎩⎨⎧≥=≥≤⋅⋅=0),(..(min)max X b X A t s XC z向量形式 ⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥≤⋅=∑=0),(..(min)max 1X b x P t s X C z n j j j ),,,(21n c c c C =为系数向量；T n x x x X ),,,(21 =为决策向量；T m b b b b ),,,(21 =为常数向量；n m ij a A ⨯=)(为系数矩阵；),,2,1(),,,(21n j a a a P T mj j j j ==为约束方程组的系数向量。
3 .线性规划模型的标准型标准型: X C z ⋅=max ⎩⎨⎧≥=⋅0..X b X A t s ⎩⎨⎧≥=≥≤⋅⋅=0),(..(min)max X b X A t s XC z （1）最小化问题：令z z -='，则X C z z ⋅-=-='min max ； （2）约束条件为不等式：对不等号“)(≥≤”的约束条件，则在“)(≥≤”的左端加上（或减去）一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式。
标准化方法：（3）对无约束的变量：如),(+∞-∞∈x ，则令x x x ''-'=，使得0,≥'''x x ，代入模型即可。
二、线性规划解的概念与理论可行解:满足约束条件的解T n x x x X ),,,(21 =;（1）解：可行域:可行解的全体构成的集合，记为D ； 最优解:使目标函数达到最大的可行解。
1 .线性规划解的概念⎩⎨⎧≥=≥≤⋅⋅=0),(..(min)max X b X A t s XC z基：设系数矩阵n m ij a A ⨯=)(的秩为m ，则称A 的某个m m ⨯阶非奇异子矩阵)0(≠B B 为线性规划问题的一个基。
基向量与非基向量：如果基为),,,()(21m m m ij P P P a B ==⨯，则称向量Tmj j j j a a a P ),,,(21 =),,2,1(m j =为基向量，其它称为非基向量； （2）基基变量与非基变量：与基向量对应的决策变量),,2,1(m j x j =称为基变量，其它的变量称为非基变量。
（3）基解：设问题的基为 ),,,()(21m m m ij P P P a B ==⨯ 将约束方程组变为 ∑∑+==-=n m j j j m j j jx P b x P 11⎪⎩⎪⎨⎧≥=⋅=∑=0..max 1X b x P t s XC z n j j j （4）基可行解：满足非负约束条件的基解称为基可行解。
（5）可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
令),,1(0n m j x j +==，则称解向量T m x x x X )0,,0,,,,(21 =为问题的基解。
2 、线性规划解的基本理论定理1 如果线性规划问题存在可行解，则其可行域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==∑=n j j j j x b x P X D 10,是凸集。
定理2 线性规划问题的任一个基可行解X 必对应于可行域D 的一个顶点。
定理3（1）如果线性规划问题的可行域有界，则问题的最优解一定在可行域的顶点上达到。
（2）如果线性规划问题的可行域有无界，则问题可能无最优解；若有最优解也一定在可行域的某个顶点上达到。
二、线性规划解的概念与理论1、单纯形法的基本思想寻求问题的一个基可行解(即可行域的顶点)；检查该基可行解是否为最优解；如果不是，则设法再求另一个没有检查过的基可行解,如此进行下去,直到得到某一个基可行解为最优解为止。
现在要解决的问题：（1)如何求出第一个基可行解？（2)如何判断基可行解是否为最优解？（3)如何由一个基可行解过渡到另一个基可行解？2、线性规划的MATLAB求解用MATLAB求解线性规划模型•MATLAB(Matrix Laboratory)的基本含义是矩阵实验室；•它是由美国MathWorks公司研制开发的一套高性能的基数值计算、信息处理、图形显示等于一体的可视化数学工具软件。
MATLAB的优化工具箱(Optimization toolbox)，它的基本功能：(1) 求解线性规划和二次规划问题；(2) 求解无约束条件非线性规划的极小值问题；(3) 求解带约束条件非线性规划极小值问题；(4) 求解非线性方程组；(5) 求解带约束约束的线性最小二乘问题；(6) 求解非线性最小二乘逼近和曲线拟合问题.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤⋅212211..min x x x b x A b x A t s xC T 应用MATLAB 优化工具箱中的函数linprog 来求解线性规划问题，要求线性规划模型化为统一的基本模型：x=linprog(C,A1,b1,A2,b2)；x=linprog(C,A1,b1,A2,b2,x1,x2)；x=linprog(C,A1,b1,A2,b2,x1,x2,opt)；%设置可选参数值，而不是采用缺省值．x=linprog(C,A1,b1,A2,b2,x1,x2,x0,opt)；%x0为初始解，缺省值为0.[x,fv]=linprog(……)；％要求返回目标函数值[x,fv,ef]=linprog(……)；％要求返回程序结束标志[x,fv,ef,out]=linprog(……)；％要求返回程序的优化信息．[x,fv,ef,out,lambda]=linprog(……)；％要求返回在程序停止时的拉格朗日乘子．LINGO (Linear Interactive and General Optimizer )的基本含义是交互式的线性和通用优化求解器．它是美国芝加哥大学的Linus Schrage 教授于1980年开发了一套用于求解最优化问题的工具包，后来经过完善成何扩充，并成立了LINGO SYSTEM INC．3、线性规划的LINGO 解法三、线性规划的求解方法LINGO功能：求解线性规划、二次规划、非线性规划、目标规划、图论与网络优化、整数规划的求解，以及一些线性和非线性方程(组)、最大最小和排队论中的最优化问题求解等．用LINGO求解线性规划模型LINGO的特色：•它允许优化模型中的决策变量为整数，即可以求解整数规划，而且执行速度快．•求解线性和非线性优化问题的简易工具．•LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，对于线性规划模型：11max (1,2,,)..0(1,2,,)nj jj n ij j i j jz c x a x b i m s t x j n ===⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑数据段集合段目标约束MODEL:sets: row/1..m/:b; !m 表示数组的维数,是具体的正整数; arrange/1..n/:x,c; !n 表示数组的维数,是具休的正整数; link(row,arrange):a;endsetsdata:b=b(1),b(2),…,b(m); !约束条件右端项的实际数值; c=c(1),c(2),…,c(n); !目标函的系数的实际数值; a=a(1,1),a(1,2),…,a(1,n),a(2,1),a(2,2),…,a(2,n),... ... ... ...a(m,1),a(m,2),…,a(m,n); !约束条件系数矩阵的实际数值 enddata[OBJ]max=@sum(arrange(j):c(j)*x(j)); @for(row(i):@sum(arrange(j):a(i,j)x(j))<=b(i);); @for(arrange(j):x(j)>=0;);四、线性规划的应用案例分析1、合理下料问题(1)问题的提出：某单位需要加工制作100套工架，每套工架需用长为2.9米，2.1米和1.5米的圆钢各一根。
已知原材料长7.4米，现在的问题是如何下料使得所用的原材料最省？7.4m2.9m2.1m1.5m模型分析:在每一根原材料上各一根截取2.9米，2.1米和1.5米的圆钢做成一套工架，每根原材料剩下料头0.9米，要完成100套工架，就需要用100根原材料，共剩余90米料头。
7.4m2.9m 2.1m 1.5m0.9m7.4m 2.9m 2.1m 1.5m 0.9m2.9m 1.5m 1.5m 1.5m2.9m 2.9m 0.1m 1.5m 2.9m 2.1m 2.1m 0.3m2.1m 2.1m 1.5m 0.2m 1.5m 2.1m 1.5m 0.8m 1.5m 1.5m ABC DE Fx 1x 2x 3x 4x 5x 6如图可以得到下面的线性规划模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++++=+++=+++++++=0,,,,,100323100221002s.t.9.08.03.02.01.00min 6543216532165436421654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ＋运行该程序后，立即可以得到最优解为)0,8243.32,1757.17,1757.27,8243.12('=x ,按四舍五入的方法取整得)0,33,17,27,13('=x ，最优值为16=z 。