第五篇第四讲平面向量的应用
平面向量的应用
平面向量的应用1. 引言在数学和物理学中，平面向量是一种有方向和大小的对象，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念和性质，并探讨其在不同领域中的具体应用。
2. 平面向量的定义和表示方法2.1 定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的有序数对。
它可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2.2 表示方法平面向量可以用坐标表示或分解为两个分量表示。
3. 平面向量的基本性质和运算3.1 基本性质- 平面向量的大小是非负实数，并且只有大小相等且方向相同的向量才相等。
- 平面向量的方向可以用角度表示，也可以用一个有向直线来表示。
- 平面向量的加法满足交换律和结合律。
3.2 运算- 平面向量的加法：将两个向量的相应分量相加即可。
- 平面向量的减法：将被减向量取反后与减向量相加。
- 平面向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘再相加。
4. 平面向量的应用领域4.1 几何学中的应用- 平面向量可以用来表示平面上的点、线、面等。
- 平面向量可以用来表示直线的方向和长度。
- 平面向量可以用来计算线段的长度和所在直线的倾斜角。
4.2 物理学中的应用- 平面向量可以用来表示力的大小和方向。
- 平面向量可以用来表示速度的大小和方向。
- 平面向量可以用来表示位移的大小和方向。
4.3 工程学中的应用- 平面向量可以用来表示力的合成和分解。
- 平面向量可以用来表示物体在斜面上的重力分解。
- 平面向量可以用来计算物体在平面上的平衡条件。
5. 平面向量的实际案例5.1 平面向量在建筑设计中的应用应用平面向量的力学定量方法，可以对建筑物的结构进行合理设计，确保其牢固性和稳定性。
5.2 平面向量在导航系统中的应用通过利用平面向量表示位置和方向，导航系统能够准确计算出目标的位置和导航路径，为人们提供方便和准确的导航服务。
5.3 平面向量在电路设计中的应用通过使用平面向量表示电路中的电流和电压，可以进行电路的分析和计算，保证电路的正常工作。
《平面向量的应用》平面向量及其应用 PPT教学课件 (平面几何中的向量方法,向量在物理中的应用举例)
因此在 BC 上存在点 M，使得∠EAM＝45°，且此时 BM＝－3＋2 3.
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探究三 平面向量在物理中的应用 [例 3] 设作用于同一点的三个力 F1，F2，F3 处于平衡状态，若|F1| ＝1，|F2|＝2，且 F1 与 F2 的夹角为23π，如图所示． (1)求 F3 的大小． (2)设力 F3，F2 的夹角为 θ，求 θ 的值．
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1．试用坐标法解本例(1)．
解析：以点 F 为原点，线段 EF 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 F(0,0)， E(2,0)，B(0,2 3)，C(2，2 3)，B→E＝(2，－2 3)，C→E＝(0，－2 3)，E→F＝(－2,0)， 则G→F＝G→E＋E→F＝34B→E＋E→F＝(－12，－3 2 3)， 故G→F·C→E＝－323×(－2 3)＝9.
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6．4 平面向量的应用 6．4.1 平面几何中的向量方法 6．4.2 向量在物理中的应用举例
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内容标准
学科素养
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其 他实际问题．
直观想象 逻辑推理
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 3.掌握利用向量方法解决平面几何问题的一般步骤.
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[自主检测]
1．在四边形 ABCD 中，若A→B＋C→D＝0，A→B·A→D＝0，则四边形 ABCD 为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
平面向量应用
平面向量应用平面向量是解决几何问题的强大工具之一。
它广泛应用于各个领域，如物理、工程学、计算机图形学等。
本文将介绍平面向量的定义、运算以及它在实际问题中的应用。
一、定义平面向量是由有序数对(a, b)表示的几何对象。
其中，a和b分别表示向量在x和y轴上的分量。
平面向量通常记作a=i+bj，其中i和j是单位向量，分别表示x和y轴的方向。
例如，向量a=(2, 3)可以表示为a=2i+3j。
二、运算平面向量的运算主要包括加法、减法和数量乘法。
1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律。
例如，向量a=(2, 3)和向量b=(1, 2)的和为a+b=(3, 5)。
2. 减法：向量的减法可以通过加法和数量乘法得到。
例如，向量a=(2, 3)减去向量b=(1, 2)可以表示为a-b=a+(-1)b=(2, 3)+(-1)(1, 2)=(2,3)+(-1, -2)=(1, 1)。
3. 数量乘法：向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
例如，向量a=(2, 3)乘以实数k的结果为ka=(2k, 3k)。
三、应用1. 位移和平移：平面向量可以描述物体的位移和平移。
例如，向量a=(3, 4)表示一个物体向右移动3个单位，向上移动4个单位。
如果一个图形绕（0，0）顺时针旋转90度，后者获得反方向的位移（4，-3），这是向量数量乘法的应用。
2. 力的合成：在物理学中，力可以表示为平面向量。
如果有两个力F1=(2, 3)和F2=(-1, 2)，求合力F=F1+F2。
通过向量的加法可得，F=(2, 3)+(-1, 2)=(1, 5)。
合力F的大小可以通过向量的模来计算，即√(1^2+5^2)=√26。
3. 图形相似性：平面向量在计算机图形学中有广泛应用。
例如，两个多边形之间的相似性可以通过向量来判断。
如果两个多边形的对应边平行且长度成比例，那么它们是相似的。
通过向量运算可以计算多边形的平移、旋转、缩放等操作。
4. 线性方程组的解：线性方程组的解可以通过向量计算得到。
平面向量的计算与应用
平面向量的计算与应用平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将介绍平面向量的基本概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
平面向量的大小称为模长或长度，通常用|a|表示；平面向量的方向可以用角度或与坐标轴的夹角表示。
平面向量通常用字母加箭头表示，例如：→a。
二、平面向量的表示与计算1. 平面向量的表示平面向量可以使用坐标表示或分解成基本单位向量的线性组合表示。
(1) 坐标表示：平面向量的坐标表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
(2) 分解表示：平面向量可以分解为平行于x轴和y轴上的分量之和，即a = a1i + a2j，其中a1和a2分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j分别是单位向量。
2. 平面向量的计算(1) 平面向量的加法：将两个向量的对应分量相加。
例如，向量a=(a1, a2)，向量b=(b1, b2)，则a+b=(a1+b1, a2+b2)。
(2) 平面向量的数乘：将向量的每个分量与一个标量相乘。
例如，向量a=(a1, a2)，标量k，则ka=(ka1, ka2)。
(3) 平面向量的数量积：两个向量数量积的结果是一个标量。
数量积的计算公式为a·b=a1b1+a2b2。
三、平面向量的应用平面向量在几何、物理和工程学科中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 向量位移平面向量可以用于表示物体的位移。
通过将位移分解为x轴和y轴上的分量，可以方便地描述物体的运动轨迹和方向。
2. 向量叠加平面向量的加法可以用于表示多个力的合力。
例如，在力学中，多个施加在物体上的力可以通过向量叠加得到合力，进而确定物体的运动状态。
3. 向量投影平面向量的投影可以用于解决与求解相关的实际问题。
例如，物体在斜坡上的运动问题中，可以将斜坡的倾角表示为一个向量，并且计算出物体在斜坡上的投影力来解决问题。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
它可以用于求解平面上的距离、角度、垂直、平行等关系，为各种几何问题的解决提供了方便和简洁的方法。
本文将介绍平面向量在几种常见问题中的应用，包括向量的加减法、向量共线垂直性质、向量的数量积和向量的模、方向投影等内容。
一、向量的加减法向量的加减法是平面向量最基本的操作。
当我们要求两个向量的和或差时，可以通过将它们的对应分量相加或相减来得到结果。
例如，有向量 $\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和$\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的和为$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \langle x_1 + x_2, y_1 +y_2 \rangle$，差为 $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \langle x_1 - x_2, y_1 - y_2 \rangle$。
二、向量共线与垂直性质对于两个非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$，如果它们的方向相同或相反，则称这两个向量共线。
向量共线的判断可以通过它们的方向比较或通过计算它们的比值来得到。
如果两个向量的方向垂直，则称这两个向量垂直。
两个向量垂直的判断可以通过它们的数量积的结果是否为零来确定。
三、向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，用符号 $\cdot$ 表示。
对于向量$\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和 $\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的数量积为 $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$。
平面向量的综合运用 人教课标版精品公开PPT课件
即
r2 ka
(t3
r2 3t)b
(t
kt 2
r 3k)a
r b
0
，
∴ k
r a
2
(t3
3t)
r b
2
0，
将
r a
2,
r b
1 代入上式，得 4k
t3
3t
0 ，∴k
1 (t3
3t)
，
4
∴ k t2 1 (t2 4t 3) 1 (t 2)2 7 ，
t4
4
4
故k
t t22 t
时1 (，t2 4
变式：试用向量 b ， c 表示 a .
解：⑵∵ a mb nc ，m, n R ，
∴ (3,2) m(1,2) n(4,1)
(m 4n,2m n)
∴
m 4n 2m n
2
3
，
，
解之得
m
5 9
n
8 9
.
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .⑶若 (a kc) ∥ (2b a) ，求实数 k；
2
解：⑴∵ f (x) a (a b) a a a b
sin2 x cos2 x sin xcosx cos2 x
1 1 sin 2x 1 (cos2x 1) 3 2 sin(2x ) ，
2
2
22
4
∴ f (x) 的最大值为 3 2 ，最小正周期是 2 ；
22
的转化，从而将问题转化为三角问题，再利用三 角函数的知识来解决的.
巩固练习
设向量 a (sin x,cos x) ， b (cos x,cos x) ， x R ，函
第五章5.4 平面向量的应用
→→ 【例 1】 平面上的两个向量OA，OB满
足|O→A|＝a，|O→B|＝b，且O→A⊥O→B， a2＋b2＝4.向量O→P＝xO→B＋yO→B (x，
y∈R)，且 a2x－122＋b2y－122＝1.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： M→P＝x－12O→A＋y－12O→B； (2)求|O→P|的最大值，并求此时四边
∵△ABC 为锐角三角形，∴A＝60°. (2)y＝2sin2B＋cosC－2 3B
＝2sin2B＋cos180°－B2－A－3B
＝2sin2B＋cos(2B－60°)
＝1－cos 2B＋cos(2B－60°)
y∈R)，且 a2x－122＋b2y－122＝1.
思维启迪
解析
探究提高
故 P，O，A，B 四点都在以 M
为圆心、1 为半径的圆上，所以
当且仅当 OP 为圆 M 的直径时， |O→P|max＝2.
(1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： 这时四边形 OAPB 为矩形，则
M→P＝x－12O→A＋y－12O→B；
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个
解析
力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的 作用而处于平衡状态，已知 F1， F2 成 60°角，且 F1，F2 的大小 分别为 2 和 4，则 F3 的大小为 ________．
答案
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题型二
平面向量在物理计算题中的应用
【例 2】 质点受到平面上的三个
平面向量及其应用
平面向量及其应用一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一，它具有方向、大小和起点的特点。
在数学和物理等学科中，平面向量的应用广泛，能够帮助我们解决各种问题。
本文将围绕平面向量的定义、性质和应用展开讨论。
二、平面向量的定义和表示方式1. 定义：平面向量是空间中具有大小和方向的量，可以表示为有序数对或两点之差。
2. 表示方式：平面向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
也可用坐标表示，坐标中的两个数表示向量的两个分量。
三、平面向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积或内积，定义为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的大小，θ表示A和B的夹角。
3. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉积或外积，定义为A×B=|A||B|sinθn，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量。
四、平面向量的性质1. 平面向量的平行与共线性：两个向量平行，当且仅当它们的夹角为0°或180°；三个向量共线，当且仅当它们的行列式为0。
2. 平面向量的垂直性：两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。
3. 平面向量的共点：三个向量共点，当且仅当它们的线性组合为零向量。
五、平面向量的应用1. 几何问题：平面向量可用于解决平面几何中的直线相交、三角形的重心、垂心和外心等问题。
2. 物理问题：平面向量在物理学中有广泛的应用，如力的合成、分解，速度和加速度的分解，以及涉及力的做功和力矩的计算等。
3. 图形变换：平面向量可用于表示图形的平移、旋转、缩放和翻折等变换，从而方便地进行图形的分析和计算。
六、案例分析1. 实例一：已知平面上两点A(-1,2)和B(3,4)，求向量AB的大小和方向。
解法：向量AB=(3-(-1),4-2)=(4,2)，所以|AB|=√(4^2+2^2)=√20，向量AB的方向与x轴的夹角为arctan(2/4)=30°。
平面向量应用举例PPT课件
化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若
则△ABC为钝角三角形.( )
AB AC，
AB BC＜0，
【解析】( 1)正确 .因为
有相同 的起点 A，故 A，B， C三点 共线， 故正确.
(2)正确. 解析几 何中的 坐标、 直线平 行、垂 直、长 度等问 题可利 用向量 的共线 、数量 积、模 等知识 解决， 故正确.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】 选B.由 题意可 知，
则CM CB
CM CB＝(CA＋1 AB) CB 3
＝CA CB＋1 AB CB 3
＝0＋1 3 2 3cos45＝3. 3
BM＝2MA，
4.在△ABC中，已知向量 满足 则△ABC为( )
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3( 单位： 牛顿) 的作用 而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角， 且F1,F2的大小 分别 为2和4，则F3的大小为( ) 【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所 以|F3|= 选D.
A6B2C2 5D2 7
②用含θ 的关系 式表示m,n，然 后转化 为三角 函数的 最值问 题
求解.
| BC BA | 2
【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos θ)，b=(-1,2cos θ)， ∵a⊥b， ∴a·b=0， ∴-1+2co s2θ=cos 2θ= 0，故 选C.
2① | BC BA |2 | AC |2 ( 2cos 1)2 ( 2sin 1)2
AB AC且AB,AC
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问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模 型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两 条邻边长度之间的关系吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
D
பைடு நூலகம்
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
猜想： AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
AB a, AD则 b , AR r , AC a b
由于 AR与 A共C线，故设 r n(a b ), n R
又因为 ER与E共B线，
所以设ER mEB m(a 1 b)
D
F
C
2
因为 AR AE ER E R
T
所以 r 1 b
2
思考3 请利用向量的方法解决下列问题： 如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体， 绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1. (答1)求由|F力1|，的|F平2|随衡θ及角向的量变加化法而的变平化行的四情边况形；法则，得 －G＝F1＋F2，|F1|＝co|Gs |θ，
|F2|＝|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大.
已知：平行四边形ABCD。
D
求证：AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
分析：因为平行四边形对边平行且相
等，故设 AB a, AD b 其它线段对应向 A
量用它们表示。
C B
解：设 AB a, AD b ，则 BC b, DA a, AC a b; DB a b
平面向量及其应用
平面向量及其应用平面向量是高中数学的一个重要概念，它在解决许多几何和物理问题中起到了关键作用。
本文将介绍平面向量的定义、性质以及其在几何和物理中的应用。
一、平面向量的定义和性质平面向量是具有大小和方向的量，用带箭头的字母表示。
设有两点A和B，向量AB表示从A点到B点的有向线段。
平面向量有以下性质：1. 平面向量的模：平面向量AB的模表示为|AB|，即AB的长度。
2. 平面向量的方向角：以x轴正方向为基准，平面向量AB与x轴正向的夹角为α。
3. 平面向量的方向向量：平面向量AB的方向向量是一个没有大小、只有方向的向量，通常表示为→AB。
4. 平面向量的相等：如果两个平面向量的模相等且方向相同，则这两个平面向量是相等的。
5. 平面向量的相反向量：如果两个平面向量的模相等，但方向相反，则这两个平面向量是相反向量。
二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量AD，其中向量AD的起点与向量AB的起点相同，终点与向量AC的终点相同。
2. 平面向量的减法：设有平面向量AB和AC，则它们的差向量为向量AD，其中向量AD的起点与向量AB的起点相同，终点与向量AC的起点相同。
3. 数量乘法：平面向量乘以一个实数k，得到的结果是一个新的平面向量，其模等于原向量的模与k的乘积，方向与原向量相同或相反，根据k的正负决定。
三、平面向量的应用平面向量在几何和物理问题中有广泛的应用。
以下举几个例子：1. 行列式法判定共线：设有三个平面向量AB、AC和AD，在平面上可以通过计算行列式来判断它们是否共线。
若行列式的值等于0，则表示这三个向量共线。
2. 平面向量的线性组合：设有平面向量AB和AC，并给定实数m和n，其线性组合为向量mAB + nAC。
线性组合的应用非常广泛，可以用来求解平面上的位置关系、线段的延长线等问题。
3. 平面向量的投影：平面向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。
通过计算向量投影可以得到两个向量之间的夹角，进而解决与夹角相关的几何问题。
《平面向量的应用》课件
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
平面向量的应用(解析版)
平面向量的应用(解析版)平面向量的应用(解析版)平面向量是数学中一个重要的概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过解析的方式介绍平面向量的应用。
以下是几个实际问题，通过解析平面向量可以得到解决。
1. 物体运动的描述在物理学中，我们经常需要描述物体的运动。
平面向量可以用来描述物体在平面上的位置和运动情况。
我们可以用一个有向线段来表示一个物体的位移，该有向线段的长度表示位移的大小，而箭头的指向表示位移的方向。
通过将位移向量进行相加、相减和缩放等运算，可以得到物体相对于某一初始位置的位置矢量，从而描述物体的运动轨迹和速度等信息。
2. 力的合成和分解在力学中，我们经常需要计算合力和分力的情况。
平面向量可以用来描述物体受到的力以及力的作用方向。
对于多个力的合力，我们可以通过将这些力的向量相加得到。
同样地，对于一个力的分解，我们可以将该力的向量按照一定比例分解为多个力的向量。
通过使用平面向量，我们可以更加方便地计算合力和分力的大小和方向。
3. 平面图形的性质在几何学中，平面向量可以用来描述和证明平面图形的性质。
例如，通过向量的加法可以证明平行四边形的对角线互相平分；通过向量的减法可以证明平行四边形的对边相等；通过向量的数量积可以计算平面图形的面积；通过向量的夹角可以判断平面图形是否垂直或平行等等。
平面向量在解析几何中起到了重要的作用，使得我们能够更加简单地研究平面图形的性质。
4. 导航和地图定位在导航和地图定位中，平面向量可以用来表示位置和方向。
我们可以将某一固定点作为原点，建立一个坐标系，通过向量来表示目标位置相对于原点的位置矢量。
同时，我们也可以通过向量的加法和缩放来表示导航的方向和距离。
通过平面向量，我们可以更加准确地确定目标位置，并指导我们的行进方向。
总结:平面向量的应用涉及到物理学、力学、几何学、导航和地图等多个领域。
通过解析平面向量，我们可以更加方便地描述物体的运动，计算合力和分力，研究平面图形的性质，以及进行导航和地图定位。
平面向量及其应用
平面向量及其应用平面向量是指在平面上用有向线段表示的量，可以简单地理解为二维向量。
平面向量的表示方法包括指定向量的起点和终点，或者指定向量在平面直角坐标系中的坐标。
平面向量是数学中的一个重要概念，应用广泛，例如在物理、工程学、计算机图形学等领域中，都有平面向量的应用。
平面向量的运算平面向量有加法、减法、数乘等运算。
其中，向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来表示。
三角形法则指出，两个向量相加的结果为它们首尾相接的三角形的第三边的向量；平行四边形法则指出，两个向量之和等于以它们为相邻边的平行四边形对角线所对应的向量。
这两种方法在实际运算中应用广泛，并具有直观性和易于理解的特点。
数乘运算是指向量与实数的乘积。
它可以用向量的长度与方向来表示，即将向量的长度缩放为实数倍，并不改变向量的方向。
在计算中，通常将向量表示为坐标形式，然后再进行数乘运算。
平面向量的应用平面向量广泛应用于物理学中的力学、电学、热学等领域。
其中，力学中向量的应用最为明显。
在力学中，向量可以表示物体的受力情况，以及物体在空间中的位置和运动状态。
例如，平衡力和非平衡力就可以用向量表示。
雷诺定理、牛顿第二定律等力学定理中都涉及向量的概念，因此对平面向量的熟悉和掌握是学习物理学的前提。
平面向量还广泛应用于计算机图形学中。
计算机图形学是一门研究如何在计算机上表示、处理和生成图像的学科。
在计算机图形学中，向量常用于表示二维或三维空间中的几何图形，例如点、直线、多边形等。
多项式的处理、旋转、平移等操作都可以用向量计算实现。
因此，向量的概念和运算成为了计算机图形学的基础知识。
总结平面向量是一个重要的数学概念，在各个领域中都有广泛的应用。
平面向量的运算包括加法、减法、数乘等，其中向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来表示。
平面向量的应用包括物理学中的力学、计算机图形学等领域。
学习平面向量是一项基础而重要的数学功课。
届高三数学平面向量的应用
t
1
(t
2)2
7
4
t
当t
4
4
2 时， k
t2
4
7
取最大值
。
h
t
4
9
例4 已知 a( 3,1),b(1, 3),且存在实数k和t,
使得：xa(t2 23)2b,ykatb,
且 x y , 求：k t 2 的最大值。
t
变式：已知向量 a(cos,sin),b(cos,sin),且 a , b
满足关系 kab 3akb（,k 为正实数）
HPPM0,PM3MQ, 2
当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程。
h
13
五、小结
1.向量的基本知识点 2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用
h
14
h
15
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
h
1
12《平面向量 －平面向量的应用》
h
2
1. 知识精讲: 掌握向量的概念、坐 标表示、运算性质，做到融会贯通， 能应用向量的有关性质解决诸如平 面几何、解析几何等的问题.
h
3
一、知识回顾
设向量 a(x1,y1) 与 b(x2,y2)的夹角为
1.用向量法求角
得：10(k-3)-4(2k+2)=0解得: K=9.
K=9 ka b与 a 3b 垂直。
时
h
6
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) ka b与 a 3b 垂直？
（2）ka b与 a 3b 平行？
平行时，它们是同向还是反向？
解：由题意得：10(2k+2)+4(k-3)=0解. 得：k 1
平面向量应用举例ppt
xx年xx月xx日
平面向量应用举例ppt
平面向量的基础知识平面向量在几何中的应用平面向量在物理中的应用平面向量在解析几何中的应用平面向量的实际应用举例平面向量的发展前景与研究方向
contents
目录
01
平面向量的基础知识
平面向量的定义
带有方向和大小的量
平面向量
零向量
单位向量
相等向量
长度为0的向量
要点三
平面向量在经济学中的应用
总结词
向量在经济学中可以用于描述经济指标之间的关系和趋势。
向量在生产函数中的应用
生产函数是经济学中的一个重要概念，它可以用向量来表示各种生产要素之间的比例关系。
向量在投入产出分析中的应用
投入产出分析是经济学中用于研究各部门之间相互依存关系的方法，可以用向量来表示不同部门之间的相互影响。
2
3
直线方向向量是直线上任意两点坐标差的向量，因此可用向量表示直线方向。
直线方向向量的表示
直线距离向量可以用两个点之间的距离表示，从而用于计算点到直线的距离。
直线距离向量的表示
曲线每一点的切向量是该点处曲线切线的方向向量，而法向量则是垂直于切向量的向量。
曲线切向量和法向量的表示
03
向量夹角的求解
两个向量夹角的求解可以用两个向量的点积除以两个向量的模长乘积得到。
总结词
向量在几何形状分析中的应用
向量可以用有向线段表示，具有方向和大小两个属性，可以用来表示物体的位置和运动
向量的几何意义
向量可以表示直线和平面，用向量表示直线可借助其方向和长度来刻画直线的基本性质；用向量表示平面可借助其法向量和到平面的距离来刻画平面的基本性质
向量在解析几何中的应用
平面向量的应用举例精选课件
F
E
a
B
P D
b
c
C
练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？
D E A
R
F
T
C
1,建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果’翻译‘成几何关系.
2.5 平面向量应用举例
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
a b | a || b | cosθ
2.平面向量数量积的运算律.
(1)a b b a (2)( a) b (a b ) a (b ) (3)(a b ) c a c b c
所以： OD a,即有： a bc 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的 F1 是同个问题，抽象为数学模型如 下： 用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
λ1λ2=-1；
③若向量 a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ),则 a + b 与 a - b 的夹角为90°； ④若向量 a 、 b 满足| a |=3,| b |=4,| a + b |= 13 ,则 a , b 的夹角为60°.
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x 1 0
1
1
2
3
4
5
P
x 6
向 量 更 是 一 种 方 法
a (b－2c)= x1 x2 y1 y2 0
a / /b x1 y2 x2 y1 0
总结：例2中用到了向量的哪些知识？三角函数中的哪些知识？
向量 1、向量坐标运算 2、向量平行、垂直条件 3、向量的模
三角函数 1、两角和差公式 2、三角函数有界性求最值 3、弦切互化
第 4讲
平面向量应用举例
起航——从考纲定位开始
一、向量在平面几何中的应用 向量线性运算及数量积解决平面几何中的 平行、垂直、长度、夹角 二、向量在三角函数中的应用 与三角函数结合考查数量的坐标运算、 向量数量积、模、夹角等坐标运算
三角恒等变换、解三角形！
一、回顾教材 1、向量平行、垂直： （线段平行、三点共线、垂直问题）
a / /b a b x1 y2 x2 y1 0 a b a b 0 x1 x2 y1 y2 0
a b a b cos = x1 x2 y1 y2
a
x Байду номын сангаасy
2 1 2 1
2、向量的数量积、模：（求数量积、夹角、模）
考向二 向量在三角函数中的应用
例2：设向量 a (4cos ,sin ), b (sin ,4cos ), c (cos , 4sin ), (1)若a与b－2c垂直，求 tan(＋ )； (2)求 | b＋c | 的最大值； (3)若 tan tan ＝ 16，求证： a / /b
3、在△ABC中tanC＝－tan (A+B).
课堂小结
一、知识点总结：
1.平面向量性质（数量积、平行垂直条件、模、夹角）
2.三角恒等变换、正余弦定理
二、学习方法总结：
1.将向量间的关系转换为三角函数式
2.弦切互化、边角互化
——转换思想；
思考：
向 量 不 仅 是 工 具
y 1
M
求 sin MNP
ABAC BABC k (k R)
若 （2）
6、在三角形ABC中，角 A,B,C的对边分别为a,b,c,若
（1）判断三角形ABC的形状；
A
c 2 ，求k的值
B
c a
b
C
小结：
1、把数量积转化为三角形边、角关系； 2、利用正、余弦定理进行边角互化；
c
B
b a
C
AC 3BC
规范演练（训练2、课后作业6）
训练2 在三角形ABC中，已知
ABAC 3BABC
5 （1）求证：tanB=3tanA;(2)若cosC = ，求 A的值 5
(2) cosC
sinC
tanC tan[ (A B)] tan(A B)
平面向量性质
三角函数式
训练2 在三角形ABC中，已知 ABAC 3BA BC
5 （1）求证：tanB=3tanA;(2)若cosC = ，求 A的值 5 证明： A
ABAC 3BABC