高中数学必修二4.2.3
最新人教B版高中数学选择性必修第二册第四章 概率与统计4.2.3 二项分布与超几何分布
第四章
高中同步学案
4.2.3 二项分布与超几何分布
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布,并能利用它们解决一些简
单的实际问题.
2.理解超几何分布的意义,能够利用超几何分布的概率公式解决实际问题.
3.通过本节的学习,体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活
反思感悟 n次独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验;
(2)分拆:判断所求事件是否需要拆分;
(3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥
事件概率加法公式计算.
变式训练 1某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,求下列事件的
(3)至多有 4 次投中的概率为
C80 ×0.38+C81 ×0.7×0.37+C82 ×0.72×0.36+C83 ×0.73×0.35+C84 ×0.74×0.34≈0.194.
探究二
二项分布
例2某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通
过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;
具体的分布列.
微思考1
独立重复试验满足什么条件?
提示 (1)每次试验是在相同的条件下进行的;
(2)各次试验的结果互不影响,即每次试验是相互独立的;
(3)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.
微思考2
二项分布与两点分布有什么关系?
提示 (1)两点分布的试验次数只有一次,试验结果只有两种:事件A发生
高中数学 必修二 习题：第4章 圆的方程4.2.3 Word版含解析
第四章 4.2 4.2.3一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m[答案] B[解析] 圆半径OA ＝3.6，卡车宽1.6，所以AB ＝0.8， 所以弦心距OB ＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．30－10 5B ．5－ 5C ．5D ．25[答案] A [解析]x 2＋y 2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d ＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )[答案] A[解析] 由方程y ＝－4－x 2得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上和以下的部分．4．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )D ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π[答案] D[解析] 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.5．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A ．24B ．16C ．8D ．4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．6．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)． 二、填空题7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为________.[答案] [34，＋∞)[解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QD ．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)．8．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是________.[答案] (－3,32][解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点． 三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C ．现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A 、B 、P 在此圆上，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6. 答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.一、选择题1．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－6 5D ．14＋6 5[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.2．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是( )A ．k ＝－ 2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1[答案] D[解析] 由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k <1或k ＝ 2.3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×10×46＝20 6. 4．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )D ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4[答案] A[解析] 原点O 到直线2x ＋y －4＝0的距离为d ，则d ＝45，点C 到直线2x ＋y －4＝0的距离是圆的半径r ，由题知C 是AB 的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB 中，圆C 过原点O ，即|OC |＝r ，所以2r ≥d ，所以r 最小为25，面积最小为4π5，故选D ． 二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于________.[答案] B 景点在小路的投影处[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧ a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．6．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________.[答案] [0，43][解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43.三、解答题7.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) [解析] 如图，以O 为原点，东西方向为x 轴建立直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)，圆O 方程x 2＋y 2＝252.直线AB 方程：x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ，则d ＝|－120|5＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.8．已知隧道的截面是半径为4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m 、高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x 2＋y 2＝16(y ≥0)．将x ＝2.7代入，得 y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用 学案+课时训练
人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解， 两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0， 解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章 圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)， 半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0， 得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72， 半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。
必修二第4章-4.2-4.2.2-4.2.3
两圆 x2＋y2＝a 与 x2＋y2＋6x－8y－11＝0 内切，求 a 的 值．
【解】 ∵x2＋y2＝a 表示一个圆， ∴a>0， 两圆的圆心、半径长分别为(0,0)， a与(－3,4)，6. 由于两圆内切，则 0＋32＋0－42＝| a－6|， 解得 a＝121 或 a＝1.
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位置 关系 图示 d 与 r1、 r2 的关系 外离 外切 相交 内切 内含
d>r1＋r2 d＝r1＋r2
|r1－r2|<d
<r1＋r2
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
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(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数 进行判断． 圆C1方程 消元 ――――→一元二次方程Δ＝0⇒ 圆C2方程 Δ>0⇒ 相交 内切或外切 Δ<0⇒ 外离或内含
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3．情感、态度与价值观 (1)让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的 应用，培养学生分析问题与解决问题的能力． (2)通过学生的自主探究、小组讨论合作，培养学生的团 队精神和主动学习的良好习惯．
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15 y＝ x 由 14 2 2 x ＋y ＝1 解得 E ∴E
14 421 15 421 点的坐标为 ， 421 . 421
14 421 15 421 点选在坐标为 ， 421 的点，造价最低． 421
【人教A版】高中数学必修二：课时提升作业(二十八) 4.2.3
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课时提升作业(二十八)直线与圆的方程的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.圆x2+y2-4x+2y+c=0,与直线3x-4y=0相交于A,B两点,圆心为P,若∠APB=90°,则c的值为( )A.8B.2C.-3D.3【解析】选C.由题意得C<5,圆心P(2,-1),r=,圆心到直线的距离d==2,由于∠APB=90°,所以r=d=2,从而=2,c=-3.【补偿训练】若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是( ) A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0【解析】选A.已知圆心为O(1,0),根据题意:又k AB·k OP=-1,所以k AB=1,故直线AB的方程是x-y-3=0.2.如果实数x,y满足等式(x-1)2+y2=,那么的最大值是( )A. B. C. D.【解析】选D.的几何意义是圆上的点P(x,y)与原点连线的斜率,结合图形得,斜率的最大值为,所以=.3.台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区域,城市B在A的正东40千米处,B城市处在危险区域的时间为( ) A.0.5小时 B.1小时C.3.6小时D.4.5小时【解析】选B.受影响的区域长度=2=20千米,故影响时间是1小时.4.点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则直线x0x+y0y=r2和已知圆的公共点个数为( ) A.0 B.1C.2D.无法确定【解析】选A.因为+<r 2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离d=>r,故直线与圆相离.【延伸探究】若将本题改为“点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外”,其余条件不变,又如何求解?【解析】选C.因为+>r 2,圆心到直线x0x+y0y=r2的距离d =< r,故直线与圆相交,所以公共点的个数为两个.5.已知集合M={(x,y)|y=,y≠0},n={(x,y)|y=x+b},若M∩N≠ ,则实数b的取值范围是( )A.[-3,3]B.[-3,3]C.(-3,3]D.[-3,3)【解题指南】解得本题的关键是注意到y=,即x2+y2=9(y>0),图形是半圆.【解析】选C.由于M∩N≠ ,说明直线y=x+b与半圆x2+y2=9(y>0)相交,画图探索可知-3<b≤3.【方法技巧】数形结合在求解直线与圆交点个数中的应用直线与圆的一部分有交点时,如果采用代数法去研究,则消元以后转化成了给定区间的二次方程根的分布问题,求解过程相对复杂,而如果采用数形结合及直线与圆的几何法求解,先找出边界,然后结合直线或圆的变化特征求解,相对来说就简单多了.二、填空题(每小题5分,共15分)6.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有条.【解析】方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求弦长为整数的条数为2+2×(25-11+1)=32.答案:32【补偿训练】过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是.【解析】设P(x,y),则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°,则|PO|=2, 由可得答案:(,)7.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为.【解析】因为圆心到直线的距离为,从村庄外围到小路的最短距离为-2. 答案:-2【补偿训练】(2015·保定高一检测)已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为( )A. B. C.2 D.2【解析】选A.表示点(x,y)与原点的距离,所以其最小值为原点到2x+y+5=0的距离,故d==.8.已知x+y+1=0,那么的最小值是.【解析】表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d==2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上且=,=,AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP.【解题指南】要证AP⊥CP,可转化为直线AP,CP的斜率之积等于-1即可,由此以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系. 【证明】以B为原点,BC边所在直线为x轴,线段BC长的为单位长,建立平面直角坐标系.则A(3,3),B(0,0),C(6,0).由已知,得D(2,0),E(5,).直线AD的方程为y=3(x-2).直线BE的方程为y=(x-5)+.解以上两方程联立成的方程组,得x=,y=.所以,点P的坐标是.直线PC的斜率k PC=-,因为k AP·k PC=3×=-1,所以,AP⊥CP.10.如图所示是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).【解析】建立如图所示直角坐标系,使圆心在y轴上,只要求出P2的纵坐标,就可得出支柱A2P2的高度.设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.因为P,B都在圆上,所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是得到方程组解得b=-10.5,r2=14.52,所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得(-2)2+(y+10.5)2=14.52,即y+10.5=(P2的纵坐标y>0,平方根取正值).所以y≈3.86,故支柱A2P2的高度约为3.86m.【补偿训练】设有半径为3公里的圆形村落,A,B两人同时从村落中心出发,A向东而B向北前进,A离开村后不久,改变前进方向,斜着沿切于村落周界的方向前进,后来恰好与B相遇.设A,B两人的速度都一定,其比为3∶1,问A,B两人在何处相遇?【解析】如图所示,以村落中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系,又设A向东走到D 转向到C恰好与B相遇,设CD方程为+=1(a>3,b>3),设B的速度为v,则A的速度为3v,依题意有解得,所以B向北走3.75公里时相遇.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点,则△ABC(C为圆心)的面积等于( )A.2B.2C.4D.4【解析】选A.因为圆心到直线的距离d==,所以|AB|=2=4,所以S△ABC=×4×=2.【补偿训练】已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为×AC×BD=×10×4=20.2.如图所示,已知直线l的解析式是y=x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间为( )A.6sB.6s或16sC.16sD.8s或16s【解析】选B.设运动的时间为ts,则ts后圆心的坐标为(0,1.5-0.5t).因为圆C 与直线l:y=x-4相切,所以=1.5.解得t=6或16.即该圆运动的时间为6s或16s.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若点P(x,y)满足x2+y2=25,则x+y的最大值是.【解析】令x+y=z,则=5,所以z=±5,即-5≤x+y≤5,所以x+y的最大值是5.答案:5【拓展延伸】数形结合思想在解题中的运用利用数形结合求解问题时,关键是抓住“数”中的某些结构特征,联想到解析几何中的某些方程、公式,从而挖掘出“数”的几何意义,实现“数”向“形”的转化,如本题由x+y联想直线的截距.4.若点P在直线l1:x+y+3=0上,过点P的直线l2与曲线C:(x-5)2+y2=16相切于点M,则|PM|的最小值为.【解析】曲线C:(x-5)2+y2=16是圆心为C(5,0),半径为4的圆,连接CP,CM,则在△MPC中,CM⊥PM,则|PM|==,当|PM|取最小值时,|CP|取最小值,又点P在直线l1上,则|CP|的最小值是点C到直线l1的距离,即|CP|的最小值为d==4,则|PM|的最小值为=4.答案:4【补偿训练】圆(x-2)2+(y+3)2=4上的点到x-y+3=0的最远的距离为. 【解析】圆心C(2,-3)到直线的距离d==4>2,所以直线与圆相离.过圆心C作直线x-y+3=0的垂线,垂足设为H,则圆上的点A到直线的距离最远为4+2.答案:4+2三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4和直线l:x+2y+2=0,直线n经过圆C外定点A(1,0).若直线n与圆C相交于P,Q两点,与l交于N点,且线段PQ的中点为M,求证:|AM|·|AN|为定值.【解析】方法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),又由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N.再由得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,所以x1+x2=得M.所以|AM|·|AN|=·=·=6为定值.方法二:由题意知直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线n的方程为kx-y-k=0,由得N,又直线CM与n垂直,由得M.所以|AM|·|AN|=|y M-0|·|y N-0|=|y M·y N|==6,为定值.6.已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N 两点.(1)求k的取值范围.(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数. 【解题指南】(1)求解时要抓住直线与圆有两个交点,所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解.(2)利用=+找到m,n的关系.【解析】(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由Δ=(-8k)2-4(1+k2)×12>0,得k2>3.所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2),|ON|2=(1+k2),又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2.由=+,得=+,即=+=.由(*)式可知,x1+x2=,x1x2=,所以m2=.因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m2=中并化简,得5n2-3m2=36. 由m2=及k2>3,可知0<m2<3,即m∈(-,0)∪(0,).根据题意,点Q在圆C内,则n>0,所以n==.于是,n与m的函数关系为n=(m∈(-,0)∪(0,)).关闭Word文档返回原板块。
人教A高中数学必修二课时分层训练：第四章 圆与方程 42 422 423 含解析
第四章4．2直线、圆的位置关系4．2．2圆与圆的位置关系4．2．3直线与圆的方程的应用课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．已知0＜r＜2＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含解析：选B设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，圆心距|OO′|＝12＋(－1)2＝2.显然有|r－2|＜2＜2＋r.所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2条．3．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m等于()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.0米C ．3.6米D ．4.5米解析：选C 可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD ＝OC 2－CD 2＝3.6(米)，故选C.5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0解析：选B 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x＋3y －1＝0，故选B.6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则实数a ＝ .解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a ，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－(3)2＝1，解得a ＝1.答案：17．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为 ．解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．点P 在圆O ：x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则|PQ |的最小值为 ．解析：如图所示．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，圆O 的半径为r 1，圆C 的半径为r 2，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时|PQ |最小，最小值为|P ′Q ′|＝|OC |－r 1－r 2＝1.答案：19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，求以圆C 1与圆C 2的公共弦为直径的圆的方程．解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0. ∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2,0)，C 2(－1，－1)， ∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2,0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离d ＝|－2－0|2＝2， ∴所求圆的半径r ＝(3)2－(2)2＝1， ∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.10．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 利用圆的几何性质，将题目转化为求两圆相交的公共弦所在直线的方程．设点P (3,1)，圆心C (1,0)，又切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52，∴此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54 ①.又圆C ：(x －1)2＋y 2＝1 ②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．2．若圆x 2＋y 2＝r 2与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0有公共点，则r 满足的条件是( )A ．r ＜5＋1B ．r ＞5＋1C ．|r －5|＜1D ．|r －5|≤1解析：选D 由x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，圆心距(－1)2＋22＝ 5.∵两圆有公共点，∴|r －1|≤5≤r ＋1，∴5－1≤r ≤5＋1，即－1≤r －5≤1，∴|r －5|≤1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 由圆(x ＋2)2＋y 2＝5，可知其圆心为(－2,0)，半径为 5.设点(－2,0)关于直线x －y ＋1＝0对称的点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2＝－1，x －22－y ＋02＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为5，∴圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5.4．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5解析：选C 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)，半径长r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，半径长r 2＝2，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.5．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长为 ．解析：连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4. 答案：46．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是 ．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝07．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为 ．解析：如图所示，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0)．台风中心在直线y ＝x 上移动．则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离．则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，直线y ＝x 被圆B 截得弦长为CD ＝2·302－⎝ ⎛⎭⎪⎫4022＝20(km)．故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h)． 答案：1 h8．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2 ＝2(2－1)，∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0.∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2，解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
【高中数学必修二】4.2.3直线与圆的方程的应用
几何
代数
几何
练习：教材132页练习中第3题、第4题
4.2.3 直线与圆的方程的应用
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱 跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需要 用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度
P2 P
A
A1
A2 O A3
A4
B
例1、如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱 跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需要 用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度
A(a,0) B(0, b) C (c,0)
D(0, d )
过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂 线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC， BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得： bd ac (0, b) y y xQ xM B Q N 2 2 a d xE yE ( a , 0 ) (c,0)C M 2 2 O A x N Q 所以， ac a 2 bd d 2 1 2 2 E QE ( ) ( ) b c 2 2 2 2 2 (0, d )D 又
因为P、B都在圆上， 所以它们的坐标（0， 4）、（10，0）满足 方程
解得：b=-10.5
r2=14.52
所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52
把点P2的横坐标x=-2代入这个圆的方程，得y=3.86(y>0)
答：支柱A2P2的长度约为3.86米
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂 直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对 边长的一半
解：如图建立平面直角坐标系，圆心 在y轴上。设圆心的坐标是（0，b）, 圆的半径是r，那么圆的方程是
高中数学必修二目录
高中数学必修二目录高中数学必修二目录通常包括以下几个部分：1. 函数与方程1.1 函数的基本概念1.2 一次函数及其应用1.3 一次函数与方程组的联立解法1.4 二次函数及其应用1.5 二次函数与方程组的联立解法1.6 两个非线性方程组的联立解法2. 三角函数2.1 角的概念2.2 三角函数的引入2.3 三角函数的图象2.4 三角函数的性质2.5 幂函数与指数函数的推广3. 三角函数的图象与性质3.1 正弦函数与余弦函数的图象与性质 3.2 弦割函数与余切函数的图象与性质 3.3 反三角函数的图象与性质3.4 三角函数的证明与运用4. 三角恒等变换4.1 平凡恒等变换4.2 倍角、半角与合角公式4.3 万能公式与半正角公式5. 三角方程5.1 函数方程与三角方程的概念 5.2 解三角方程的基本思路与方法 5.3 解三角方程的常用公式6. 图形的变换6.1 图形的基本变换6.2 正方形的判定与构造6.3 图形的对等部分与轴对称性 6.4 构造垂直平分线与角的平分线7. 向量与坐标7.1 向量的几何表示7.2 平面向量的加法与减法7.3 向量的数量积与夹角7.4 直线的参数方程与点和向量的坐标表示8. 解析几何8.1 直线的方程与斜率8.2 直线的倾斜角与截距8.3 圆的方程及其性质8.4 抛物线及其方程8.5 椭圆与双曲线的方程及其性质9. 导数与微分9.1 导数的基本定义与公式9.2 导数的计算与应用9.3 微分的概念与计算9.4 高阶导数与导数法则9.5 函数的单调性与极值10. 不定积分10.1 不定积分的概念与性质10.2 基本积分公式与换元积分法10.3 分式积分与三角函数积分10.4 正弦、余弦与平方根积分10.5 积分的应用这仅是一份大致的目录，不同学校或教材可能会有所不同。
请根据实际情况参考教材的目录。
高一必修2、3、4数学复习知识要点
高一数学第二学期基础知识复习提要一、必修2第四章 圆与方程1、圆的标准方程： 222b)-(y a)-(x r =+ 圆心（a,b ） 半径r ＞0圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）圆心（2,2E D --） r=2、点与圆的位置关系设圆C ∶222b)-(y a)-(x r =+，点M(00,y x )到圆心的距离为d ，则有：(1)d ＞r 点M 在圆外；(2)d=r 点M 在圆上； (3)d ＜r 点M 在圆内． 3、直线与圆的位置关系设圆 C ∶222b)-(y a)-(x r =+，直线l 的方程Ax+By+C=0，圆心(a ，b)到直线l 的距离为d,判别式为△，则有：(几何特征) (1)d ＜r 直线与圆相交； (2)d=r 直线与圆相切; (3)d ＞r 直线与圆相离; 弦长公式： 或（代数特征）(1)△＞0 直线与圆相交，圆C 和直线l 组成的方程组有两解； (2)△=0 直线与圆相切， 圆C 和直线l 组成的方程组有一解； (3)△＜0 直线与圆相离， 圆C 和直线l 组成的方程组无解。
4、圆与圆的位置关系 设圆C1：222b)-(y a)-(x r =+和圆C2：222n)-(y m)-(x r =+ (R,r ＞0)且设两圆圆心距为d ，则有：(1) d ＞R+r 两圆外离; (2) d=R+r 两圆外切;(3) │R-r │＜d ＜│R ＋r │两圆相交; (4) d= │R-r │ 两圆内切; (5) d ＜│R-r │ 两圆内含;2422FE D-+222d r l -=必修3 第一章《算法初步》1、本章的知识结构2、知识梳理(1)四种基本的程序框(2)三种基本逻辑结构顺序结构 条件结构 循环结构 (3)基本算法语句 （一）输入语句 单个变量：多个变量： （二）输出语句：（三）赋值语句： （四）条件语句IF-THEN-ELSE 格式当计算机执行上述语句时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句1，否则执行ELSE 后的语句2。
最新人教B版高中数学必修第二册第四章4.2.3 对数函数的性质与图像
4.2.3 对数函数的性质与图像必备知识基础练1.(2020山东潍坊高一月考)函数y=√log 13(2x -3)的定义域是( )A.32,+∞ B.[2,+∞) C.32,2 D.32,2解析依题意0<2x-3≤1,解得32<x ≤2,所以函数的定义域为32,2. 2.设a=4-12,b=lo g 1415,c=log 43,则a ,b ,c 的大小关系是 ( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a4-12=12,b=lo g 1415=log 45>1>log 43>log 42=12,所以a<c<b. 3.函数y=ln(1-x )的图像大致为( )(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C . 4.函数y=log a (x+2)+1(a>0,且a ≠1)的图像过定点 ( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.5.(多选题)函数f (x )=log a (x+2)(0<a<1)的图像过 ( )A.第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限0<a<1,所以函数y=log a x 的图像单调递减,在y 轴右侧,过定点(1,0).函数f (x )=log a (x+2)的图像是把y=log a x 的图像向左平移2个单位长度,所以图像过第二、三、四象限.6.以下四个数中最大的是( ) A.(ln 2)2 B.ln(ln 2) C.ln √2 D.ln 20<ln 2<1,∴ln(ln 2)<0,(ln 2)2<ln 2.又ln √2=12ln 2<ln 2, ∴最大的数是ln 2.7.若对数函数f (x )的图像经过点P (8,3),则f (12)= .1f (x )=log a x (a>0且a ≠1),则log a 8=3,∴a 3=8,∴a=2.∴f (x )=log 2x ,故f (12)=log 212=-1.8.函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为 .+∞)3x >0,∴3x +1>1,∴log 2(3x +1)>0,∴f (x )的值域为(0,+∞).9.已知对数函数y=f (x )的图像经过点P (9,2). (1)求y=f (x )的解析式;(2)若x ∈(0,1),求f (x )的取值范围;(3)若函数y=g (x )的图像与函数y=f (x )的图像关于x 轴对称,求y=g (x )的解析式.设f (x )=log a x (a>0且a ≠1).由题意,f (9)=log a 9=2,故a 2=9, 解得a=3或a=-3. 又因为a>0,所以a=3. 故f (x )=log 3x.(2)因为3>1,所以当x ∈(0,1)时,f (x )<0, 即f (x )的取值范围为(-∞,0).(3)因为函数y=g (x )的图像与函数y=log 3x 的图像关于x 轴对称,所以g (x )=lo g 13x.关键能力提升练10.(多选题)(2020山东滕州一中高一月考)已知函数f (x )=log a x (a>0且a ≠1)的图像经过点(4,2),则下列命题正确的有( )A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若x>1,则f (x )>0D.若0<x 1<x 2,则f (x 1)+f (x 2)2<f x 1+x 222=log a 4,a=2,故f (x )=log 2x.对A,函数为增函数正确; 对B,f (x )=log 2x 不为偶函数;对C,当x>1时,f (x )=log 2x>log 21=0成立; 对D,因为f (x )=log 2x 图像往上凸,故若0<x 1<x 2,则f (x 1)+f (x 2)2<f x 1+x 22成立.11.(多选题)(2020辽宁高一月考)已知实数a ,b 满足等式12a =13b ,则下列关系式中不可能成立的是( )A.0<b<aB.a<b<0C.0<a<bD.b<a<0解析设12a =13b=m ,m>0,所以a=lo g 12m ,b=lo g 13m ,当m=1时,a=b=0,当0<m<1时,0<b<a ,当m>1时,a<b<0.所以C,D 选项不可能出现.12.函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数f (lo g 12x )的定义域为 .答案12,2解析由题得-1≤lo g 12x ≤1,所以lo g 122≤lo g 12x ≤lo g 1212,所以12≤x ≤2,所以函数f (lo g 12x )的定义域为12,2.13.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .a=log 43.6log 42=2log 43.6=log 43.62,又函数y=log 4x 在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,∴log 43.62>log 43.6>log 43.2,∴a>c>b.14.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,直线y=a 与函数f (x )的图像恒有两个不同的交点,则a 的取值范围是 .f (x )的图像如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图像有两个不同的交点,则0<a ≤1.15.作出函数y=|log 2x|+2的图像,并根据图像写出函数的单调区间及值域.y=log 2x 的图像,如图1.再将y=log 2x 在x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的图像不变),得函数y=|log 2x|的图像,如图2;然后将y=|log 2x|的图像向上平移2个单位长度,得函数y=|log 2x|+2的图像,如图3.由图3得函数y=|log 2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).16.已知函数f (x )=√log 2(x -1)的定义域为A ,函数g (x )=(12)x(-1≤x ≤0)的值域为B.(1)求A ∩B ;(2)若C={y|y ≤a-1},且B ⊆C ,求a 的取值范围.由题意知,{x -1>0,log 2(x -1)≥0,解得x ≥2.∴A={x|x ≥2}.易知B={y|1≤y ≤2},∴A ∩B={2}.(2)由(1)知B={y|1≤y ≤2},若要使B ⊆C ,则有a-1≥2.所以a ≥3.即a 的取值范围为[3,+∞).学科素养创新练17.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M. (1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围; (2)若M=R ,求实数a 的取值范围.由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,化简得{2a +2≤0,5a +4>0,即{a ≤-1,a >-45.所以a ∈⌀.(2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a ≠0时,由二次函数的图像可知Δ=22-4×a ×a<0,且a>0,即{4-4a 2<0,a >0,化简得{a 2>1,a >0,解得a>1.所以a 的取值范围为(1,+∞).。
人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.3 Word版含答案
4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标1.理解直线与圆的位置关系的几何性质.2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．知识点坐标法解决几何问题的步骤用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示 问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．类型一直线与圆的方程的应用 例1某圆拱桥的圆拱跨度为20m ，拱高为4m ．现有一船，宽10m ，水面以上高3m ，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的坐标系．依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋10)2＋b 2＝r 2，(a －10)2＋b 2＝r 2，a 2＋(b －4)2＝r 2，解此方程组，得a ＝0，b ＝－10.5，r ＝14.5， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)．把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1. 由于船在水面以上高3m,3＜3.1，所以该船可以从桥下通过．反思与感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________米．答案251解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，∴当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251(米)．类型二坐标法证明几何问题例2如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF 与CD相交于H，求证：EF平分CD.证明以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，设|AB |＝2r ，D (a,0)，则|CD |＝r2－a2， ∴C (a ，r2－a2)，∴圆O ：x 2＋y 2＝r 2， 圆C ：(x －a )2＋(y －r2－a2)2＝r 2－a 2.两方程作差，得直线EF 的方程为 2ax ＋2r2－a2y ＝r 2＋a 2.令x ＝a ，得y ＝12r2－a2，∴H (a ，12r2－a2)，即H 为CD 中点，∴EF 平分CD .反思与感悟(1)平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题； ②通过代数运算，解决代数问题；③把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论． (2)建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②常选特殊点作为直角坐标系的原点； ③尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程． 跟踪训练2如图，直角△ABC 的斜边长为定值2m ，以斜边的中点O 为圆心作半径为n 的圆，直线BC 交圆于P ，Q 两点，求证：|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2为定值．证明如图，以O 为坐标原点，以直线BC 为x 轴，建立直角坐标系，于是有B (－m,0)，C (m,0)，P (－n,0)，Q (n,0)． 设A (x ，y )，由已知，点A 在圆x 2＋y 2＝m 2上． 则|AP |2＋|AQ |2＋|PQ |2＝(x ＋n )2＋y 2＋(x －n )2＋y 2＋4n 2 ＝2x 2＋2y 2＋6n 2＝2m 2＋6n 2(定值)． 类型三直线与圆位置关系的应用 例3为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8km 到达公路上的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解以O 为坐标原点，OB ，OC 所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE 为最短距离．此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.反思与感悟针对这种类型的题目，即直线与圆的方程在生产、生活实践中的应用问题，关键是用坐标法将实际问题转化为数学问题，最后再还原为实际问题． 跟踪训练3一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西60km 处，受影响的范围是半径长为20km 的圆形区域(如图)．已知港口位于台风中心正北30km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解建立如图所示的直角坐标系，取10km 为单位长度，由题意知轮船的起点和终点坐标分别为(6,0)，(0,3)，所以轮船航线所在的直线方程为x6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0，台风区域边界所在圆的方程为x 2＋y 2＝4.由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离为d ＝|－6|12＋22＝65>2，所以直线x ＋2y －6＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，因此这艘轮船即使不改变航线，那么它也不会受到台风的影响．1．一辆卡车宽1.6m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A ．1.4mB ．3.5mC ．3.6mD ．2.0m 答案B解析如图，圆的半径|OA |＝3.6m ，卡车宽1.6m ，所以|AB |＝0.8m ， 所以弦心距|OB |＝3.62－0.82≈3.5(m)．2．方程x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0)所表示的图形是() A ．以原点为圆心，1为半径的上半圆 B ．以原点为圆心，1为半径的左半圆 C ．以原点为圆心，1为半径的下半圆 D ．以原点为圆心，1为半径的右半圆 答案B3．设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x －y ＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．答案722－2解析由圆心(2，－3)到直线x －y ＋2＝0距离为d ＝|2＋3＋2|2＝722，则从村庄外围到小路的最短距离为722－2.4．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则a 的取值范围为________． 答案(－∞，－524]∪[524，＋∞)解析由题意知，AB 所在直线与圆C 相切或相离时，视线不被挡住， 直线AB 的方程为y ＝a5(x ＋2)，即ax －5y ＋2a ＝0，所以d ＝|3a|a2＋52≥1，即a ≥524或a ≤－524.5．某操场400m 跑道的直道长为86.96m ，弯道是两个半圆弧，半径为36m ，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程．解易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C (0,43.48)，其所在圆的半径为36，故上半个弯道所在圆的方程是x 2＋(y －43.48)2＝362.同理下半个弯道所在圆的方程是x 2＋(y ＋43.48)2＝362.1．利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法．事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化、化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识．2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题．课时作业一、选择题 1．方程1－x2＝x ＋k 有唯一解，则实数k 的取值范围是() A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <1答案D解析由题意知，直线y ＝x ＋k 与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k <1或k ＝2.2．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的面积是()A.π4B.3π4C.3π2D ．π 答案D解析数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.3．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是() A ．62－2B ．8C ．46D ．10答案B解析点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为(5＋1)2＋(7＋1)2＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8. 4．曲线y ＝1＋1－x2与直线y ＝k (x ＋2)有交点时，实数k 的取值范围是()A ．(512，43] B ．(34，43)C ．[13，43]D ．[0，43]答案C解析由题意知，曲线y ＝1＋1－x2是以(0,1)为圆心，以1为半径的上半圆，直线过定点(－2,0)，如图所示，点A (1,1)，P (－2,0)，则k AP ＝13，直线与圆相切于点B 时，切线PB 的斜率是43，所以当直线与曲线有交点时， 实数k 的取值范围是[13，43]，故选C.5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是() A ．3－2B ．3＋2C ．3－22 D.3－22答案A解析直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，所以△ABC 的最小值为S △ABC ＝12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322－1 ＝3－2.6．如图所示，已知直线l 的解析式是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，一个半径为32的圆C ，圆心C 从点(0，32)开始以每秒12个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，该圆运动的时间为()A ．6sB ．6s 或16sC ．16sD ．8s 或16s 答案B解析当圆与直线l 相切时， 圆心坐标为(0，m )， 则圆心到直线l 的距离为|m ＋4|1＋(43)2＝32， 得m ＝－32或m ＝－132，∴该圆运动的时间为32－(－32)12＝6(s) 或32－(－132)12＝16(s)． 二、填空题7．已知集合A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}．若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 答案(－∞，－2)解析如图，A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}表示直线x －y ＋m ＝0及其右下方区域，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}表示圆x 2＋y 2＝1及其内部．要使A ∩B ＝∅，则直线x －y ＋m ＝0在圆x 2＋y 2＝1的下方，即|0－0＋m|2>1，故m <－2.8．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________． 答案4解析如图所示，在Rt △OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5， ∴|AC |＝5×255＝2，∴|AB |＝4.9．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________． 答案254解析∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________________________． 答案x ＋y －2＝0解析由题意知，点P (1,1)在圆x 2＋y 2＝4内，则过点P 截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大， 则所求直线与圆心O 和P (1,1)的连线垂直， ∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.11．台风中心从A 地以20km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40km 处，则城市B 处于危险区的时间为________h. 答案1解析如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则台风经过以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN ，可求得|MN |＝20， ∴时间为1h.三、解答题12．设半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？解由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立直角坐标系，如图，设A 、B 两人的速度分别为3v km /h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，则P (3a v ,0)，Q (0，(a ＋b )v )，则|PQ |＝3b v ，|OP |＝3a v ，|OQ |＝(a ＋b )v .在Rt △OPQ 中，|PQ |2＝|OP |2＋|OQ |2，得5a ＝4b .又∵k PQ ＝0－v (a ＋b )3a v －0，∴k PQ ＝－34. 设直线PQ 的方程为y ＝－34x ＋m ， 由PQ 与圆x 2＋y 2＝9相切， 得|－4m|42＋32＝3，解得m ＝154， 故A 、B 两人相遇在正北方离村落中心154km 处． 四、探究与拓展13．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是()A ．[15°，45°]B ．[15°，75°]C ．[30°，60°]D ．[0°，90°]答案B解析圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，∴圆心为M (2,2)，半径r ＝18＝32.∵圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22， ∴圆心M 到直线l 的距离d 应小于等于2， 即d ＝|2a ＋2b|a2＋b2≤2，整理得(a b )2＋4×a b＋1≤0， 解得－2－3≤a b ≤－2＋3，∴2－3≤－a b ≤2＋3，即直线l 的斜率k ∈[2－3，2＋3]， 即k ＝tan α∈[2－3，2＋3]， 利用排除法知直线l 的倾斜角α的取值范围是[15°，75°]，故选B.14．有一种商品，A 、B 两地均有销售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍．已知A 、B 相距10km ，问居民应如何选择在A 地或B 地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑) 解以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系．|AB |＝10，所以A (－5,0)，B (5,0)，设P (x ，y )是区域分界线上的任一点，并设从B 地运往P 地的单位距离运费为a ，即从B 地运往P 地的运费为|PB |·a ，则从A 地运往P 地的运费为|PA |·3a ，当运费相等时，就是|PB |·a ＝3a ·|PA |，即3(x ＋5)2＋y 2＝(x －5)2＋y 2，整理得(x ＋254)2＋y 2＝(154)2.① 所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A 地或B 地购买，在圆内的居民应选择在A 地购买，在圆外的居民应选择在B 地购买．。
高中数学必修二目录
高中数学必修二目录高中数学必修二的目录如下：
第一章：不等式
1.1 一次不等式
知识点1：一次不等式的解集
知识点2：一次不等式的性质
知识点3：一次不等式的应用
1.2 二次不等式
知识点1：二次不等式的解集
知识点2：二次不等式的性质
知识点3：二次不等式的应用
第二章：函数概念与初等函数
2.1 函数的概念
知识点1：函数的定义和性质
知识点2：函数的表示方法
2.2 幂函数
知识点1：幂函数的概念与性质
知识点2：常用幂函数的图像与性质
2.3 指数函数
知识点1：指数函数的概念与性质
知识点2：常用指数函数的图像与性质
2.4 对数函数
知识点1：对数函数的概念与性质
知识点2：常用对数函数的图像与性质第三章：三角函数
3.1 弧度制与角度制
知识点1：弧度制与角度制的换算
知识点2：弧度的性质与应用
3.2 正弦函数与余弦函数
知识点1：正弦函数与余弦函数的定义
知识点2：正弦函数与余弦函数的性质与图像
3.3 正切函数与余切函数
知识点1：正切函数与余切函数的定义
知识点2：正切函数与余切函数的性质与图像第四章：平面向量
4.1 平面向量的表示与运算
知识点1：平面向量的定义与表示方法
知识点2：平面向量的运算法则
4.2 平面向量的数量积
知识点1：平面向量的数量积的定义与性质知识点2：平面向量的数量积的应用
4.3 平面向量的叉积
知识点1：平面向量的叉积的定义与性质
知识点2：平面向量的叉积的应用
以上是高中数学必修二的目录，涵盖了不等式、函数概念与初等函数、三角函数以及平面向量等内容。
高中教育数学必修第二册《4.2.3 三角函数的叠加及其应用》教学课件
例2
已知函数
f(x)＝m2 sin
2x＋
3 2 mcos
2x＋n(m>0)
(1)求函数 f(x)的单调递减区间；
(2)设 x∈0，π2，f(x)的最小值是 1－ 3，最大值是 3，求实数 m， n 的值．
解析：(1)f(x)＝m2 sin
2x＋
3 2 mcos
2x＋n
＝m12sin
2x＋
23cos
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 3sin x＋cos x＝2sinx＋π6.( √ ) (2)cos x－sin x＝cosx＋π4.( × ) (3)函数 y＝sin 2x－cos 2x 的最小正周期为 π.( √ ) (4)函数 y＝sin x－ 3cos x 的最大值为 1.( × )
D．函数 f(x)在0，π2上的最小值为－1
解析：∵f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ＝cos(2x＋φ)的图象的一个对称 中心为π6，0，
∴cos2×π6＋φ＝0，则π3＋φ＝π2＋kπ， ∴φ＝π6＋kπ，k∈Z. ∵0<φ<π2， ∴φ＝π6. 则 f(x)＝cos2x＋π6.
一切 x∈R，都有 f(x)≤f1π2＝4，∴asain2＋6π＋b2b＝co4s，π6＝4， 解得ab＝ ＝22，3.
∴f(x)＝2sin 2x＋2 3cos x．即 f(x)＝4sin2x＋π3.
题型一 利用两角和与差的正、余弦公式、辅助公式化简——自 主完成
化简下列各式： 1．sinx－6πcosπ6＋cosx－6πsinπ6.
解析：原式＝sinx－π6＋6π＝sin x.
2．3sin 2x－ 3cos 2x.
人教B版高中数学必修第二册4.2.3.1对数函数的概念【上课课件】
所以f(8)＝log 1 8＝－3.
2
题型2 求函数的定义域[经典例题]
例2 求下列函数的定义域：
真数大于0.
(1)y＝log3x2;
(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1).
【解析】 (1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
D．(－∞，1)
)
答案：D
解析：要使f(x)有意义，则1－x>0，∴x<1，∴f(x)的定义域为(－∞，1)．
4．在同一个坐标系下，函数y＝2x与函数y＝log x的图象都正确的是
1
(
)
2
答案：A
解析：指数函数y＝2x是增函数，对数函数y＝log 1 x是减函数，故选A.
2
课堂探究·素养提升
题型1 对数函数的概念[经典例题]
是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数
是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，
符合对数函数的定义，故是对数函数．
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1
(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________；
方法归纳
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：
分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)
非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的
定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
高中数学人教A版必修2课件：第四章4.2.2~4.2.3
)
2．圆 O1：(x－1)2＋y2＝1 和圆 O2：x2＋(y－2)2＝4 的位置关系 是( ) B．相交 D．内切
A．外离 C．外切
解析：选 B.因为两圆心距|O1O2|＝ 5，且 2－1< 5<2＋1， 所以两圆相交．
3．已知两圆的半径分别为 1 和 5，若两圆相切，则圆心距 d 的 取值是________．
第四章
圆与方程
4．2.2 4．2.3
圆与圆的位置关系
直线与圆的方程的应用
第四章
圆与方程
1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 圆的位置关系解决简单的实际问题． 3．体会用代数方法处理几何问题的思想．
2.能利用直线与
明目标、知重点
1．圆与圆的位置关系
外切 、_____ 外离 、_____ 相交 、_____ 内切 、 圆与圆有五种位置关系，分别是_____
判断两圆位置关系的步骤 (1)将圆的方程化为标准方程，写出圆心和半径． (2)计算两圆圆心的距离 d. (3)通过 d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆位置关系或求参数 范围．
1.(1)若 a2＋b2＝4，则圆 O1：(x－a)2＋y2＝1 与圆 O2：x2＋(y－b)2＝1 的位置关系是________． (2)已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1 与(x－2)2＋(y－5)2＝r2(r>1)相交， 则实数 r 的取值范围是________．
又因为圆 C 与直线 x＋ 3y＝0 相切于 A(3，－ 3)，
所以
|a＋ 3b| ＝r，② 2
b＋ 3 ＝ 3.③ a－ 3 a＝4， 由①②③解得b＝0，或 r＝2
a＝0， b＝－4 3，故圆 C 的方程为(x－4)2 r＝6.
必修2 4章-4.2.3
高考调研 ·新课标 ·数学必修二 A版
【解析】
建立如右图所示的直角坐标
系则圆心在 y 轴上． 设圆心的坐标是(0， b)， 圆的半径是 r，那么圆的方程是 x2＋(y－b)2 ＝r2.下面用待定系数法求 b 和 r 的值．因为 P、B 都在圆上，所 以它们的坐标(0，4)、(10，0)都是圆的方程的解．于是得到方程
【思路分析】 本题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算 能力．
第21页
高考调研 ·新课标 ·数学必修二 A版
【解析】
以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在的直线为 x
轴，建立如图所示的直角坐标系，则 O1(－2，0)，O2(2，0)．
由已知 PM＝ 2PN， ∴PM2＝2PN2. ∵两圆的半径均为 1， ∴PO12－1＝2(PO22－1)．
第24页
高考调研 ·新课标 ·数学必修二 A版
探究 3 在实际问题中，遇到有关直线和圆的问题，通常建 立坐标系， 利用坐标法解决． 建立适当的直角坐标系应遵循三点： (1)若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； (2)常选特殊点作为直角坐标系的原点； (3)尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会 简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经 验的积累．
2 2 2 0 ＋（4－b） ＝r ， 组 2 2 2 10 ＋（0－b） ＝r ，
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学必修二 A版
解得 b＝－10.5，r2＝14.52. 所以圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52. 把点 C 的横坐标 x＝－2 代入这个圆的方程，得(－2)2＋(y＋ 10.5)2＝14.52.于是 y＝ 14.52－（－2）2－10.5≈14.36－10.5＝3.86 (m)．
数学：4.2.3课件(新人教A版必修2)
• 重点与难点：直线与圆的方程的应用．
第四页，编辑于星期日：十二点 三十七分。
问题提出
通过直线与圆的方程，可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系，对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题，我们可以 建立直角坐标系，通过直线与圆的 方程，将其转化为代数问题来解决. 对此，我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.
标如何？
y
B
C
A
oM
x
N
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距离 |MN|？
第十七页，编辑于星期日：十二点 三十七分。
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从而 命题成立.你能用平面几何知识证明这 个命题吗？
B
C M
N
E
D
A
第十八页，编辑于星期日：十二点 三十七分。
理论迁移
例1 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4， |OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内 切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、 B的距离的平方和的最大值和最小值.
y
o
X
第十五页，编辑于星期日：十二点 三十七分。
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
y B C oM
N
D
A x
第十六页，编辑于星期日：十二点 三十七分。
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的坐
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2
第一页，编辑于星期日：十二点 三十七分。
4.2.3《直线与圆 的方程的应用》
第二页，编辑于星期日：十二点 三十七分。
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教A版·数学·必修2
跟踪训练 2．如图，直角△ABC的斜边长为定值
2 m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，
BC的延长线交圆于P、Q两点，求证：|AP|2
＋|AQ|2＋|PQ|2为定值． 解析：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x 轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)， C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)． 设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上．
好地了解近代数学的发展．
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祝
您
2 1 ∴垂线l的方程为y＝ 2 (x－2)，即x－2y－2＝0.
2x＋y＋3＝0， 由 解得 x－2y－2＝0，
7 y＝－5.
4 x＝－ ， 5
－4，－7. ∴P 5 5
点评：充分利用式子的几何意义，可以减少运算量．
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跟踪训练 3．已知x，y是实数，且x2＋y2－4x－6y＋12＝0，求
直线与圆方程的实际应用
某市气象台测得今年第三号台风中心在某市正 东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动，据测 定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响， 请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间(精确到分 钟)．
分析：注意到受台风影响的范围是一个圆，受台风影响 的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定，故只 要建立适当的坐标系，求出风向及圆形区域圆方程，然后利 用弦长公式即可解决． 解析：以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方 向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300,0)处，台风中心 沿倾斜角为150°方向直线移动，其轨迹方程为
－y的最值．
y (1) 的最值；(2)x2＋y2的最值；(3)x＋y的最值；(4)x x
解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1表示以点
C(2,3)为圆心，1为半径的圆．
的斜率k.
y (1) 表示圆C上的点P(x，y)与坐标原点O(0,0)连线 x
故当y＝kx为圆C的切线时，k可取得最值．
|2k－3|
∴x2＋y2 的最大值为( 22＋32＋1)2＝14＋2 13， 最小值为( 22＋32－1)2＝14－2 13.
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(3)令 x＋y＝m， 当直线 l：x＋y＝m 与圆 C 相切时，l 在 y 轴上截距 m 取得最值． |2＋3－m| ∵ ＝1，∴m＝5± 2， 2 ∴x＋y 的最大值为 5＋ 2，最小值为 5－ 2. (4)令 x－y＝n， 当直线 l′：x－y＝n 与圆 C 相切时， l′在 y 轴上截距的相反数 n 取得最值． |2－3－n| ∵ ＝1，∴n＝－1± 2， 2 ∴x－y 的最大值为－1＋ 2，最小值为－1－ 2.
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2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 1 2 令 x＝a，得 y＝ r －a2， 2 a，1 r2－a2，即 H 为 CD 中点， ∴H 2 ∴EF 平分 CD.
点评：利用坐标方法解决平面几何问题时，要充分利用
直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系等有关 性质．建立适当的平面直角坐标系，正确使用坐标法，使几 何问题转化为代数问题，用代数运算求得结果以后，再解释 代数结果的实际含义，也就是将代数问题再转化到几何问题 中，对几何问题作出合理解释．
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1．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切， 则k的值等于( )
A．1或－19
C．－1或－19
B．10或－10
D．－1或19
解析：圆方程为(x－3)2＋y2＝22，∵圆与直线相
切，∴圆心到切线距离等于半径 ∴ |9＋k| ＝2，∴k＝1或－19.
3 y＝－ 3 (x－300)(x≤300)．
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该市受台风影响时，台风中心 在圆x2＋y2＝2502内，设射线与圆交
于C、D，则|CA|＝|AD|＝250，所以
台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时， 影响结束，作AH⊥CD于H，则|AH|＝|AB|· 30°＝150， sin |HB|＝150 3 ，|CH|＝|HD|＝ |AC|2－|AH|2 ＝200， ∴|BC|＝150 3 －200，则该市受台风影响的起始时 间t1＝ 150 3－200 ＝1.5 (h)，即约90分钟后台风影响该市，
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2 ∵ 3. 2＝1，∴k＝2± 3 1＋k y 2 2 ∴ 的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3. x 3 3
(2)设x2＋y2表示圆C上的点P(x，y)与坐标原点O(0,0)
连接的线段长的平方，故由平面几何知识，知P为直线OC 与圆C的两交点P1，P2时，OP12与OP22分别为OP2的最大值、 最小值．
关于直线x＋y＝0对称．
答案：D
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2．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m为 ( ) A．0或2 C. B．2 D．无解
2
解析：圆心(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离d＝ ＝ |m| ＝ m ，m＝2.修2
3．(2010年济南高一检测)已知点A(0,2)和圆C：(x－6)2 2＝ 36 ，一条光线从A点出发射到x轴上后，沿圆的 ＋(y－4) 5 切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．
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思考应用 用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？ 解析：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是 用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工具 就是平面直角坐标系．
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自测自评 1．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示的圆( A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x－y＝0对称 D．关于直线x＋y＝0对称 解析：该圆的圆心(－a，a)，在直线x＋y＝0上，故 )
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2 ＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．
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涉及圆的最值问题 (多解题)在直线2x＋y＋3＝0上求一点P，使P向
圆x2＋y2－4x＝0所引得的切线长为最短．
解析：法一：(代数法)圆化简为(x－2)2＋y2＝4，切线 长最短，即点P到圆心的距离最短，设圆心为O，P(x0，y0)，
40
即为台风对该市的持续影响时间．
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跟踪训练 1．台风中心从A地的每小时20千米的速度向东北方向 移动，离台风中心30千米内的地区为危险地区，城市B在A
的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(
A．0.5小时 C．1.5小时 B．1小时 D．2小时
)
解析：建系后写出直线和圆的方程，求得弦长为20
5
答案：A
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2．如果实数x，y满足等式(x－1)2＋y2＝ 的最大值是( )
3 ，那么 y x 4
1 A. 2 3 C. 2
3 B. 3 D. 3
解析：的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线
的斜率，结合图形得，斜率的最大值为 3 ，
y ∴( )max＝ 3 . x
答案：D
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千米，故处于危险区内的时间为 20 ＝1(小时)．
20
答案：B
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直线与圆的方程在平面几何中的应用 如图所示，在圆O上任取 C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB
相切于D，圆C与圆O交于E、F，且EF
与CD相交于H.求证：EF平分CD.
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直 角坐标系．如图，设|AB|＝2r，D(a,0)，则|CD|＝ r2－a2， ∴C(a， r2－a2)， ∴圆 O：x2＋y2＝r2， 圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为
则|PO|2＝(x0－2)2＋y20＝(x0－2)2＋(2x0＋3)2
＝5x20＋8x0＋13， ∴当x0＝－ 4 时，|PO|2最小． 此时切线最短，y0＝－ 7 ， 5 ∴P点的坐标为
－4，－7 5 5
5 .
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法二：(几何法)由题意知过圆心作直线的垂线l，从垂足 所引的圆的切线最短． 垂线l所在直线的斜率为 1 ，又过圆心(2,0)，
练习1.(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示圆心在______．半径 为________上的圆． 练习2.y＝
1－x 表示圆心在__________，半径
r2－x－a2 表示圆心在________，
2
为________的半圆． 练习3.y＝b－
半径为________的下半圆． 练习1. (a，b) r 练习2. (0,0) 1 练习3. (a，b) r
解析：已知点A关于x轴的对称点 为A′(0，－2)，所求的路程即为|A′D|. 在Rt△A′CD中， |A′D|2＝|A′C|2－|CD|2. ∴|A′D|＝
|A′C|2－|CD|2
＝ 18 5 ， 5 光线从A点到切点所经过的路程： |AM|＋|MD|＝ 185 5 .
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40
台风影响的持续时间t2＝ 的影响持续时间为10小时．
200＋200 ＝10(h)，即台风对该市 40
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点评：(1)要建立适当的坐标系，建系决定了运算的
繁简程度．因此，如何将实际问题转化为数学问题，如何
建立适当的数学模型是解题的关键． (2)本题亦可直接求出弦长|CD|＝400，则t＝ 400 ＝10，
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圆与方程
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.3 直线与圆的方程的应用
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