2014福建省重点高中自主招生数学试卷及答案
2014年福州市中考数学试卷(含答案)
二O一四年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷（全卷共4页，三大题，22小题，满分150分；考试时间120分钟）友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。
毕业学校姓名考生号一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．-5的相反数是A．-5 B．5 C．15D．-152．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记者数法表示为A．11⨯104B．1.1⨯105C．1.1⨯104D．0.11⨯1063．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥4．下列计算正确的是A．x4·x4=x16B．(a3)2=a5C．(ab2)3=ab6D．a+2a=3a5．若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是A．44 B．45 C．46 D．476．下列命题中，假命题是A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360︒7．若(m-1)2+2n+=0，则m+n的值是A．-1 B．0 C．1 D．28．某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是A．60045050x x=+B．60045050x x=-C．60045050x x=+D．60045050x x=-9．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为A．45︒B．55︒C．60︒D．75︒10．如图，已知直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=kx交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是A．-1 B．1 C．12D．34二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）11．分解因式：ma+mb=.12．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是.13．计算：（2+1）（2-1）=.14．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则□ABCD的周长是.15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90︒，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=12BC .若AB=10，则EF的长是.三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）16．（每小题7分，共14分）（1）计算：9+12014⎛⎫⎪⎝⎭0+|-1|.（2）先化简，再求值：(x+2)2+x(2-x)，其中x=1 3 .17．（每小题7分，共14分）（1）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.（2）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上.①sin B的值是；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应）.连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.18．（满分12分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分.规定：85≤x≤100为A级，75≤x<85为B级，60≤x<75为C级，x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，a=%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？19．（满分12分）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A 商品和2件B商品共用了160元.（1）求A，B两种商品每件多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？20．（满分11分）如图，在△ABC中，∠B=45︒，∠ACB=60︒，AB=32，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.21．（满分13分）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60︒，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=12秒时，则OP=，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.22.（满分14分）如图，抛物线y=12(x-3)2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.数学试卷参考答案1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．D11．m (a +b )12．1513．1 14．20 15．5 16．（1）解：原式=3+1+1=5. （2）解：原式=x 2+4x +4+2x -x 2 =6x +4. 当x =13时，原式=6⨯13+4=6.17．（1）证明：∵BE =CF ， ∴BE +EF =CF +EF 即BF =CE .又∵AB =DC ，∠B =∠C ， ∴△ABF ≌△DCE .∴∠A =∠E .（2）【答案】①35；②如图所示.由轴对称的性质可得，AA 1=2，BB 1=8，高是4.∴11AA B B S 梯形 =12(AA 1+BB 1)⨯4=20.18．解：（1）50，24；（2）如图所示；（3）72；（4）该校D级学生有：2000⨯450=160人.19．解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元.依题意，得290 32160.x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得2050. xy=⎧⎨=⎩，答：A商口每件20元，B商品每件50元.（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10-a)件.依题意，得2050(10)300 2050(10)350.a aa a+-≥⎧⎨+-≤⎩，解得5≤a≤62 3 .根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6.方案一：当a=5时，购买费用为20⨯5+50⨯(10-5)=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20⨯6+50⨯(10-6)=320元.∵350>320，∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低.答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件.其中方案二费用最低.20．解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.∴∠AEB=∠AEC=90︒.在Rt△ABE中，∵sin B=AE AB，∴AB=AB·sin B=32·sin45︒= 32·22=3.∵∠B=45︒，∴∠BAE=45︒. ∴BE=AE=3.在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=AE EC，∴EC=333 tan tan603AEACB===∠︒.∴BC =BE +EC =3+3.（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵∠EAC =30︒，EC =3， ∴AC =23.解法一：连接AO 并延长交⊙O 于M ，连接CM . ∵AM 为直径， ∴∠ACM =90︒.在Rt △ACM 中，∵∠M =∠D =∠ACB =60︒，sin M =ACAM， ∴AM =sin AC M=23sin 60︒=4. ∴⊙O 的半径为2.解法二：连接OA ，OC ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，则AF =12AC =3. ∵∠D =∠ACB =60︒， ∴∠AOC =120︒.∴∠AOF =12∠AOC =60︒. 在Rt △OAF 中，sin ∠AOF =AFAO， ∴AO =sin AFAOF∠=2，即⊙O 的半径为2.21．解：（1）1，334； （2）①∵∠A <∠BOC =60︒，∴∠A 不可能是直角. ②当∠ABP =90︒时， ∵∠BOC =60︒， ∴∠OPB =30︒.∴OP =2OB ，即2t =2. ∴t =1.③当∠APB =90︒时，作PD ⊥AB ，垂足为D ，则∠ADP =∠PDB =90︒. ∵OP =2t ，∴OD =t ，PD =3t ，AD =2+t ，BD =1-t （△BOP 是锐角三角形）.解法一：∴BP 2=（1-t ）2 +3t 2，AP 2=(2+t )2+3t 2. ∵BP 2+AP 2=AB 2，∴(1-t )2+3t 2+(2+t )2+3t 2=9， 即4t 2+t -2=0.解得t 1=1338-+，t 2= 1338--（舍去）. 解法二：∵∠APD +∠BPD =90︒，∠B +∠BPD =90︒，∴∠APD =∠B . ∴△APD ∽△PBD . ∴.AD PDPD BD = ∴PD 2=AD ·BD .于是(3t )2=(2+t )(1-t )，即 4t 2+t -2=0. 解得t 1=1338-+，t 2= 1338--（舍去）. 综上，当△ABP 为直角三角形时，t =1或1338-+. （3）解法一：∵AP =AB ， ∴∠APB =∠B .作OE ∥AP ，交BP 于点E ， ∴∠OEB =∠APB =∠B . ∵AQ ∥BP ，∴∠QAB +∠B =180︒. 又∵∠3+∠OEB =180︒， ∴∠3=∠QAB .又∵∠AOC =∠2+∠B =∠1+∠QOP ， 已知∠B =∠QOP ， ∴∠1=∠2.∴△QAO ∽△OEP .∴AQ AOEO EP=，即AQ·EP=EO·AO.∵OE∥AP，∴△OBE∽△ABP.∴13 OE BE BOAP BP BA===.∴OE=13AP=1，BP=32EP.∴AQ·BP=AQ·32EP=32AO·OE=32⨯2⨯1=3.解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F. ∵AQ∥BP，∴∠QAP=∠APB.∵AP=AB，∴∠APB=∠B.∴∠QAP=∠B.又∵∠QOP=∠B，∴∠QAP=∠QOP.∵∠QFA=∠PFO，∴△QFA∽△PFO.∴FQ FAFP FO=，即FQ FPFA FO=.又∵∠PFQ=∠OFA，∴△PFQ∽△OFA.∴∠3=∠1.∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，已知∠B=∠QOP，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴△APQ∽△BPO.∴AQ AP BO BP=.∴AQ·BP=AP·BO=3⨯1=3.22.【答案】（1）顶点D的坐标为（3，-1）.令y=0，得12(x-3)2-1=0，解得x1=3+2，x2=3-2.∵点A在点B的左侧，∴A点坐标(3-2，0)，B点坐标（3+2，0）.（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G.则G（0，-1），GD=3.令x=0，则y=72，∴C点坐标为（0，72）.∴GC=72-(-1)=92.设对称轴交x轴于点M. ∵OE⊥CD，∴∠GCD+∠COH=90︒.∵∠MOE+∠COH=90︒，∴∠MOE=∠GCD.又∵∠CGD=∠OMN=90︒，∴△DCG∽△EOM.∴9323CG DGOM EM EM==，即.∴EM=2，即点E坐标为(3，2)，ED=3.由勾股定理，得AE2=6，AD2=3，∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.∴△AED是直角三角形，即∠DAE=90︒.设AE交CD于点F.∴∠ADC+∠AFD=90︒.又∵∠AEO+∠HFE=90︒，∴∠AFD=∠HFE，∴∠AEO=∠ADC.（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2=EP2-1. 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)2.精品文档11 / 11 ∵y =12(x -3)2-1， ∴(x -3)2=2y +2.∴EP 2=2y +2+y 2-4y +4=(y -1)2+5.当y =1时，EP 2最小值为5. 把y =1代入y =12(x -3)2-1，得12(x -3)2-1=1， 解得x 1=1，x 2=5.又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x 1=1舍去.∴点P 坐标为(5，1). 此时Q 点坐标为（3，1）或(191355，).。
福州一中自主招生数学试卷及答案
福州一中2014年高中招生（面向福州以外地区）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上．．．．．．．的相应位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）1． 下列等式：①22532b a ab ab =+； ②326(5)25a a -=；③y x y x +=+； ④10112()( 3.14)|32|433π-+----=+ .其中正确的等式有（★★★）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示：则这些队员年龄的众数和中位数分别是(★★★) A ．31, 152 B ．3115, 2 C ．15, 15 D ．3131, 223．右图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为等边三角形，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（★★★） A ．2732B ．123C ．24D ．2423+34年龄人数年龄人数4．若关于x 的方程22x c x c +=+的解是1x c =，22x c=，则关于x 的方程2211x a x a +=+++的解12 x x ，的值是（★★★） A ．2,a aB ．21, 1a a ++C . 2, 1a a +D ．1, 1a a a -+5．如图，边长为2的菱形纸片ABCD 中，60A ∠=，将该纸片折叠，EF为折痕，点A D 、分别落在'A 、'D 处.若''A D 经过点B ，且'D F CD ⊥，则DF 的长为（★★★） A．2B．4- C．32- D6．有一个数阵排列如下：1 2 4 7 11 16 22 3 5 8 12 17 23 6 9 13 18 2410 14 19 2515 20 2621 2728则第20行从左至右第10个数为（★★★）A ．425B ．426C ．427D ．428二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．计算：22222132(1)211a a a a aa a a a a +-+⋅-÷=----+★★★.8．如图，BD CE 、分别是ABC ∆的AC AB 、边上的中线，且BD CE ⊥.若4BD =，6CE =，则ABC ∆的面积等于★★★.E DCBAD 'A 'FE DCBA9．从2,1,1,2--这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y kx b =+的系数k b 、，则一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限的概率是★★★. 10. 有一列数a ，b ，c ，d ，，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差．若第一个数a 等于2，则第2014个数等于★★★. 11．如图，已知直线y kx =与双曲线ky x=相交于A B 、两点，过点A 作AC 垂直于x 轴，垂足为C ，且12AOCS ∆=.过原点O 作AB 的垂线交AC 的延长线于点D ，则ABD ∆的内切圆半径长等于★★★.12．规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =， {}2 4.2-=-；②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-. 若实数x 满足{}[]4 2=-x x ,则实数x 的取值范围是★★★．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中劣弧AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． (1) 求证：ACE BCD ∠=∠；(2) 若60ACB ∠=，试探究CD 与AD BD +长度的大小关系，并证明你的结论．E如图，小明站在看台上的A 处，测得旗杆顶端D 的仰角为15，当旗杆顶端D 的影子刚好落在看台底部B 处时，太阳光与地面成60角.已知60ABC ∠=，4AB =米，求旗杆的高度. （点A 与旗杆DE 及其影子在同一平面内，CB E 、、三点共线且旗杆与地面垂直，不考虑小明的身高）如图，在平面直角坐标系中，A B 、为x 轴上两点（点A 在点B 的左边），C D 、为y 轴上两点，经过A C B 、、的抛物线的一部分1C 与经过A D B 、、的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点D 的坐标为(0 , 2)-，抛物线1C 的解析式为223 (0)y mx mx m m =--<.(1) 求A B 、两点的坐标；(2) 若四边形ACBD 是梯形，求m 的值；(3) 若点D 关于x 轴的对称点为1D ，试判断直线1AD 与该蛋线的公共点的个数，并证福州一中2014年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7． 1- 8．16 9．1310．211．2 12．23x ≤<三、解答题（本大题共3小题，满分40分） 13．(1)证明： ABC ∆中，AC BC = CAB CBA ∴∠=1802ACB CBA ∴∠=-∠同理CED ∆中，1802ECD CDA ∠=-∠……2分O 中，AC AC =CBA CDA ∴∠=∠…………………………………3分ACB ECD ∴∠=∠…………………………………4分 ACB ACD ECD ACD ∴∠-∠=∠-∠即 ACE BCD ∠=∠.……………………………5分(2)解：,CD AD BD =+证明如下：……………………6分在ACE ∆和BCD ∆中，AC BC ACE BCDCE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ACE ∴∆≌()BCD SAS ∆…………………………8分AE BD ∴=………………………………………9分若60ACB ∠=，则60ECD ∠=、又∵CE CD =ECD ∴∆是等边三角形DE DC ∴=………………………………………10分DE AD AE =+EAE BD =∴DE AD BD =+又∵DE DC =∴CD AD BD =+.………………………………12分 14．解：过点A 作AFBD ⊥于点F ，……………………1分由题意知，15,60.DAH DBE ∠=∠= 点,,C B E 在一条直线上18060ABD ABC DBE ∴∠=-∠-∠=………2分ABF ∆中，90,4AFB AB ∠==∴cos 4cos 602,BF AB ABD =⋅∠=⋅=sin 4sin 6023AF AB ABD=⋅∠=⋅=6分AH ∥BE60HAB ABC ∴∠=∠=75BAD HAB DAH ∴∠=∠+∠=DAB ∆中，18045ADB ABD DAB ∠=-∠-∠=Rt DAF ∴∆中，tan DFAF ADB =⋅∠=2BD BF FD ∴=+=+……………………10分在Rt BDE ∆中，60DBE ∠=(sin 23DE BD DBE ∴=⋅∠=+=+∴旗杆的高度为(3+米.………………………12分15．解：(1) 在函数223y mx mx m =--中，令0y =，则 2230mx mx m --= ∵0m <∴2230x x --=解得 123, 1x x ==-∴ (1,0), (3,0)A B -……………………………2分 (2) ∵(1,0), (3,0), (0,2)A B D --∴1, 3, 2AO BO DO ===.在函数223 (0)y mx mx m m =--<中，令0x =，则3y m =-∴(0,3)C m -则3OC m =-……………………………………3分①若AC ∥BD则AOC ∆∽BOD ∆ ∴AO BOCO DO = ∴1332m =- 解得29m =-此时AC BD ≠，四边形ACBD 是梯形.……6分 ②若BC ∥AD则AOD ∆∽BOC ∆ ∴AO BODO CO = ∴1323m=- 解得2m =-此时AD BC ≠，四边形ACBD 是梯形.综上所述，229m =--或.………………………………………………9分 (3) ∵点1D 与点D 关于x 轴对称∴1(0,2)D则直线1AD 的方程为：22y x =+………………………………………11分 易知直线1AD 与抛物线2C 只有一个公共点A ，下面只要考虑直线1AD 与抛物线1C 的公共点个数. 联立直线1AD 和抛物线1C 的方程22223y x y mx mx m =+⎧⎨=--⎩得2(22)320mx m x m -+--= 解得123x m=+，21x =-…………………………………………………13分 ∵0m < ∴233m+< ①当231m +>-，即12m <-时， 直线1AD 与该蛋线有两个公共点； ②当23m +≤1-，即12-≤0m <时， 直线1AD 与该蛋线只有一个公共点A .综上所述，当12m <-时，直线1AD 与该蛋线有两个公共点； 当12-≤0m <时，直线1AD 与该蛋线有一个公共点.…………16分。
自主招生数学试题及答案
自主招生数学试题及答案【篇一：2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案(2)】一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ d）a．2? b．8?3侧（左）视俯视图c．4?d．2?正（主）视2.已知a（x1，y1），b（x2，y2）是反比例函数y?的两点，满足y1?y2?1在平面直角坐标系xoy的第一象限上图象x75，x2?x1?. 则s?aob?（ b） 2310111213a．2 b. 2 c. 2d. 2111213143.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（）a．1 004b. 1 005 c. 1 006d. 1 0083.设2 015个整数为x1，x2，…，x2015.记x1+x2+…+x2015=m.不妨设m-xi=i（i=1，2，…，2014），m-x2015=a.则2014m=1+2+…+2014+a.故a除以2014的余数为1007.从而，a=1007，m=1008.当xi=1008-i（i=1，2，…，2014），5x102=1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为( d)5a. . b. 2. c. 1 d. 821732144、解从10个球中取出4个，不同的取法有c10?210种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以4先从5个编号中选取4个编号，有c5种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有c5?2808. 故选（d）. ?2102144?80种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为5. 使得3?81是完全平方数的正整数n有（ b ）a. 0个b. 1个c. 2个d. 3个1n.a. 0个b. 1个c. 2个d. 3个5、解当n?4时，易知3n?81不是完全平方数.故设n?k?4，其中k为正整数，则而81是平方数，则一定存在正整数x，使得3k?1?x2，3n?81?81(3k?1).因为3n?81是完全平方数，即3k?x2?1?(x?1)(x?1)，故x?1,x?1都是3的方幂.又两个数x?1,x?1相差2，所以只可能是3和1，从而x?2,k?1.因此，存在唯一的正整数n?k?4?5，使得3n?81为完全平方数.故选（b）.6.如图，已知ab为⊙o的直径，c为⊙o上一点，cd⊥ab于d，ad=9，bd=4，以c为圆心，cd为半径的圆与⊙o相交于p,q两点，弦pq交cd于e，则pe?eq的值是（ d ）a．24 b. 9c. 36d. 277.已知实系数一元二次方程x+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x1,x2,且0 ＜x1＜1，x2＞1，则取值范围（） a -1＜2b的ab1b1b1b1??b -1＜＜? c -2＜?? d -2＜＜? a2a2a2a28. 图中正方形abcd边长为2，从各边往外作等边三角形abe、bcf、cdg、dah，则四边形afgd的周长为 ( )a.4+26+22b. 2+26+22c. 4+23 +42 d．4+2+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为a1，a2，…，a8.则a1?a2+a2?a3+a3?a4+a4?a5+a5?a6+a6?a7+a7?a8+a8?a1的最大值为2由题意记s=a1?a2+a2?a3+a3?a4+a4?a5+a5?a6+a6?a7+a7?a8+a8?a1. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，s=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如8?4+4?7+7?+?5+5?2+2?6+6?3+3?8=32.10.记?x?表示不超过实数x的最大整数，ak=?2014?(k=1,2,?,100,则在这100个整数中，不同的??k??整数的个数为69211.设非负实数x,y,z满足x+y+z=1,则t=9?x2+4?y+?z212．如图所示，线段oa = ob = oc =1，∠aob = 60o，∠boc =30o，以oa，ob，oc为直径画3个圆，两两的交点为m，n，p，则阴影部分的曲边三角形的面积是．解：如图，连接ac，an，bn，am，bm， mp，np，om，on，op，易知∠opa=∠opc =90o，∠ano =∠bno = 90o，∠bmo=∠cno = 90o，所以a，p，c共线；a，n，b共线；b，m，c共线．由oa=ob=oc=1，可知p，m，n分别是ac，bc，ab的中点，mpnb 为平行四边形，bn=mp，bm=np，所以bn与mp长度相等，bm与np长度相等，因此，曲边三角形mpn的面积= smpnb =1s△abc， 242而s△abc = saocb – s△aoc = s△aob+ s△boc – s△aoc1?1 所以，曲边三角形mpn的面积=13. 将一个4?4棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有c4种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有c4种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为6??1?6?4?2??90种.填90.14.圆o的半径为1，p为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点a与点p重合）沿圆周顺时针滚动。
福州一中自主招生2011~2014数学试卷(含答案)
2011年福州一中自主招生一、选择题1．右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误．．的是（★★★） A ．a c < B ．b c < C ．2224a b c += D ．222a b c +=2．下列计算：①42=±；②236236a a a =；③20111||2sin 45(1)012-+-=-；④b c ba c a +=+．其中正确的个数有（★★★）A ．0B ．1C ．2D ．33．某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8人捐款统计如下表：捐款数（万元） 5 10 20 50人数（人）1 2 32设这8人捐款数的众数为a ，中位数为b ，平均数为c ，则下列各式正确的是（★★★） A ．a b c =< B ．a b c << C ．a b c => D ．a b c == 4．如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C 、、，则该 圆弧所在圆的圆心坐标为（★★★）A ．(2,0)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．无法确定 5．如右图，在ABC ∆中，5,4,3AB AC BC ===，经过点C 且 与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（★★★） A ．2 B ．125C ．52 D ．226．定义：直线1l 与2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为p 、q ，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是（★★★）A ．1B ．2C ．3D ． 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）7．化简22221621()393x x x x x x x x --+++÷+-+的结果为 ★★★．8．如图，在两面墙之间有一根底端在A 点的竹竿，当它靠在一1yxOBAC1AC EDBAP侧墙上时，竹竿的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，竹竿 的顶端在D 点．已知60BAC ∠=，45DAE ∠=，2AC =米， 则DE 的高度为★★★米．（墙面垂直地面）9．若实数a b ，满足21a b +=，则224a b +10．如图，△ABC 的三边长分别为3、5、6，BD 是△ABC •的外角平分线，M 、N 是直线BC 且AM BD ⊥于D ，AN CE ⊥于E ，则DE 的长等于★★★．11．下面为杨辉三角系数表，它的作用之一是指导读者按规律写出形如()na b +（其中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出6()a b +展开式中所缺的系数．则 12．三个同学对问题“若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是410x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222459459a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是★★★ ．三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）13．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，连接AE 、DE ． △DCE 沿DE 翻折后，点C 恰好落在AE 上，记为点F ．（Ⅰ）求证： ADF ∆≌EAB ∆； （Ⅱ）若10AD =，1tan 3EDF ∠=,求矩形ABCD 的面积．14．（本小题满分14分）如图，双曲线ky x =与直线:(0,0)l y kx b k b =-+>>有且只有 1()a b a b +=+ 222()2a b a ab b +=++ 33223()33a b a a b ab b +=+++66542()615a b a a b a b +=+++★★★332456156a b a b ab b +++．4432234()464a b a a b a b ab b +=++++CE FDAB．．． ．．．一个公共点A ，AC x ⊥轴于C ，直线l 交x 轴于点B ．（Ⅰ）求点A 的横坐标；（Ⅱ） 已知ABC ∆的面积等于1，若有一动点从原点开始移动， 假定其每次只能向上或向右移动1个单位长度（向上和向右的 可能性相同）．求3次移动后，该点在直线l 上的概率．15．（本小题满分14分）已知二次函数22y ax ax c =-+的图像与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，其顶点为M ．（Ⅰ）根据图像，解不等式220ax ax c -+>；（Ⅱ）若点(3,6)D -在二次函数的图像上，试问：线段OB 上 是否存在N 点，使得ADB BMN ∠=∠？若存在，求出N 点坐 标；若不存在，说明理由．福州一中2011年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号 1 2 3 4 56 答案CBABBD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7．1x 8．2 2 9．1 10．7 11． 20 12．918x y =⎧⎨=⎩ 三、解答题（本大题共3小题，满分40分） 13．(Ⅰ)证明：DCE ∆沿DE 翻折得到DFE ∆，DCE ∆∴≌DFE ∆，∴,90DC DF DFE C =∠=∠=，…………2分CE FDAB又矩形ABCD 中//AD BC ,AB CD =,90B ∠=。
2014年高考福建文科数学试题(卷)与答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年福建，文1，5分】若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q =I （ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤ 【答案】A【解析】{|34}P Q x x ≤I ＝＜，故选A ． （2）【2014年福建，文2，5分】复数()32i i +等于（ ）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i + 【答案】B【解析】232i i 3i 223()i i ＋＝＋＝－＋，故选B ． （3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）（A ）2π（B ）π （C ）2 （D ）1【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212ππ⨯=，宽1，∴212S ππ=⨯=，故选A ． （4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】第一次循环1n =，判断1221>成立，则112n =+=；第二次循环，判断2222>不成立，则输出2n =，故选B ．（5）【2014年福建，文5，5分】命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ）（A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥（C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥ 【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是[)00,x ∃∈+∞，300x x +<，故选C ． （6）【2014年福建，文6，5分】直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）（A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+= 【答案】D【解析】直线过圆心()0,3，与直线10x y ++=垂直，故其斜率1k =．所以直线的方程为()310y x -=⨯-，即30x y -+=，故选D ．（7）【2014年福建，文7，5分】将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）（A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()f x 是偶函数，A 不正确；()f x 的周期为2π，B 不正确；()f x 的图象关于直线()x k k π=∈Z 对称，C 不正确；()f x 的图象关于点(),02k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，当1k =-时，点为π(,0)2-，故选D ．（8）【2014年福建，文8，5分】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】由题中图象可知log 31a =，所以3a =．A 选项，133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，在R 上单调递减，故A 不正确．B 选项，3y x =为幂函数，图象正确．C 选项，()33y x x =-=-，其图象和B 选项中3y x =的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，()3log y x =-，其图象与3log y x =的图象关于y 轴对称，故D 选项不正确，故选B ．（9）【2014年福建，文9，5分】要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 【答案】C【解析】设容器的底长x 米，宽y 米，则4xy =．所以4y x=，则总造价为：()()80420211080202080f x xy x y x x x x ⎛⎫=++⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞．所以()20160f x ≥⨯=，当且仅当4x x=，即x ＝2时，等号成立，所以最低总造价是160元，故选C ．（10）【2014年福建，文10，5分】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r等于（ ）（A ）OM u u u u r （B ）2OM u u u u r （C ）3OM u u u u r （D ）4OM u u u u r 【答案】D【解析】因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得2OA OC OM +=u u u r u u u r u u u u r ，2OB OD OM +=u u u r u u u r u u u u r，所以4OA OB OC OD OM +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r，故选D ．（11）【2014年福建，文11，5分】已知圆C ：()()221x a y b -+-=，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩．若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（ ）（A ）5 （B ）29 （C ）37 （D ）49 【答案】C【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以1b =，所以圆心在直线1y =上，求得与直线30x y -+=，70x y +-=的两交点坐标分别为()2,1A -，()6,1B ，所以[]2,6a ∈-．所以[]22211,37a b a +=+∈，所以22a b +的最大值为37，故选C ．（12）【2014年福建，文12，5分】在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】不妨设()1,0F a -，()2,0F a ，其中0a >，点(),P x y 是其轨迹上的点，P 到1F ，2F 的“L -距离”之和等于定值b （大于12||||F F )，所以x a y x a y b +++-+=，即2x a x a y b -+++=．当x a <-，0y ≥时，上式可化为2b y x －=；当a x a -≤≤，0y ≥时，上式可化为2by =a -；当x a >，0y ≥时，上式可化为2b x+y =；当x a <-，0y <时，上式可化为2bx+y =-；当a x a -≤≤，0y <时，上式可化为2b y a =-；当x a >，0y <时，上式可化为2bx y =-，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2014年福建，文13，5分】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ． 【答案】0.18【解析】由几何概型可知18010001S S S ==阴影阴影正方形，所以0.18S 阴影＝．故答案为0.18． （14）【2014年福建，文14，5分】在ABC ∆中，060A =，2AC =，BC =AB = ．【答案】1【解析】由余弦定理可知：2222431cos 2222b c a c A bc c +-+-===⨯，所以1c =，故答案为1．（15）【2014年福建，文15，5分】函数()()()22026ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数是 ．【答案】2【解析】当0x ≤时，令()220f x x =-=，得x =x =0x >时，()26ln f x x x =-+，()12+0f x x'=>．所以()f x 单调递增，当0x →时，()0f x <；当x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在()0,+∞上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2．（16）【2014年福建，文16，5分】已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于 ． 【答案】201【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：（1）当①成立时，则2a ≠，2b ≠，0c =，此种情况不成立； （2）当②成立时，则2a =，2b =，0c =，此种情况不成立；（3）当③成立时，则2a =，2b ≠，0c ≠，即2a =，0b =，1c =， 所以1001010021001201a b c ++=⨯+⨯+=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年福建，文17，12分】在等比数列{}n a 中，23a =，581a =．（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此13n n a -=．（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==． （18）【2014年福建，文18，12分】已知函数()()2cos sin cos f x x x x =+．（1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：（1）55552cos sin cos 2cos sin cos 24444444f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=---=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++++ ⎪⎝⎭，故周期T π=．由222242k x k πππππ-≤+≤+得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈．因此()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（19）【2014年福建，文19，12分】如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积． 解：（1）因AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，故AB CD ⊥．又CD BD ⊥，AB BD B =I ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ．（2）由AB ⊥平面BCD ，得AB BD ⊥．因1AB BD ==，故12ABD S ∆=．因M 是AD 中点，故124ABD ABM S S ∆∆==．由（1）知，CD ⊥平面ABD ，故三棱锥C ABM -的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积1312ABM A MBC C ABM S h V V ∆--⋅===．（20）【2014年福建，文20，12分】根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP为13054085-美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为408512616-美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616GDP 如下表．（1（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为：()80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a a⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为[)64004085,12616∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：{}{}{}{},,,,,,,,A B A C A D A E {}{}{},,,,,,B C B D B E{}{}{},,,,,C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{}{}{},,,,,A C A E C E 共3个，所以所求概率为()310P M =． （21）【2014年福建，文21，12分】已知曲线Γ上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =- 的距离小2．（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ．以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ．试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合） 时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：（1）设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =． （2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =．由'12y x =得切线l 的斜率012k x =， 故切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即20042y x x x =-．由200420y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由200423y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径r =00||3||24x MN x =+，||AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．（22）【2014年福建，文22，14分】已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有x x ce <．解：（1）由题()x f x e a '=-，故()101f a '-==-，得2a =．故()2x f x e x =-，()2x f x e '=-．令()0f x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所 以当ln2x =时，()f x 取得极小值，其值为()ln 22ln 4f =-，()f x 无极大值．（2）令()2x g x e x =-，则由（1）得()()()2ln 22ln 40x g x e x f x f '=-=≥=->，故()g x 在R 上单调递增．又()010g =>，故当时，()()00g x g >>，即2x x e <．（3）①若1c ≥，由（2）知，当0x >时，2x x e <，故当0x >时，2x x x e ce <≤．取00x =，当()0,x x ∈+∞时，恒有2xx ce <；②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立，即要()2ln 2ln ln x kx x k>=+ 成立．令()2ln ln h x x x k =--，则()21h x x=-．所以当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞单增．取01616x k =>，故()h x 在()0,x +∞单增．又()()()()0162ln 16ln 8ln 23ln 50h x k k k k k k k =--=-+-+>，即存在016x c=，当()0,x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上得证．。
2014年福建省南平一中自主招生数学学科试卷(含答案)精要.
2014年福建省南平一中自主招生数学学科试卷考试时间：90分钟 满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确答案）1.若2,4==c b b a ,则cb b a ++的值为（ ）.Ａ．310 Ｂ．311 Ｃ．3 Ｄ．382.小蒋和小潘两人电脑打字比赛，小蒋每分钟比小潘少打8个字，小蒋打800个字和小潘打880个字所用的时间相等.设小蒋打字速度为x 个/分钟，则下列方程正确的是（ ）.Ａ．x x 8808800=+ Ｂ．x x 8808800=- Ｃ．8880800+=x x Ｄ．8880800-=x x 3.袋中有6个球（除颜色不同外，其它完全相同），其中白球3个，红球2个，黑球1个，如果从中随机摸出2个球，那么这两个均为白球的概率为（ ）. Ａ．31 Ｂ．41 Ｃ．51 Ｄ．61 4.方程组2121x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解x 、y 满足不等式21x y ->，则a 的取值范围为（ ）.Ａ．21≥a Ｂ．31>a Ｃ．32≤a Ｄ．23>a 5.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为BC 边上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）. Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．4.8 Ｄ．2.4 6.已知23-=+b a ,1-=ab ,则)2)(2(b a b a --的值为（ ）. Ａ．227 Ｂ．229 Ｃ．427 Ｄ．429EABC PFM （第5题图）ABCD（第7题图）7.如图，在四边形ABCD 中，AB=32，CD =2，∠A =∠C =90°， ∠B =60°,则AD 的长为（ ）. Ａ．233 Ｂ．13+ Ｃ．3 Ｄ．2 8.如图，在平面直角坐标系xoy 中，正方形ABCD 的顶点坐标分别 为A （1，1），B （1，-1），C （-1，-1），D （-1，1）,将y 轴上 一点P （0，2）绕点A 旋转180°得到点P 1；将点P 1绕点B 旋转 180°得到点P 2；将点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3；将点P 3 绕点D 旋转180°得到点P 4；……重复以上操作，依次得到点 P 1、P 2、P 3、P 4、……，则点P 2014的坐标是（ ）.Ａ．（0，2） Ｂ．（2，0） Ｃ．（0，-2） Ｄ．（-2，0）9. 函数1121≥<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x xx y ，当a y =时，对应的x 有两个不相等的值，则a 的取值范围（ ）.Ａ．1≥a Ｂ．0>a Ｃ．20≤<a Ｄ．20<<a10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠DAB =60°,点 O 为射线AC 上动点，动圆⊙O 始终与射线AB 相切，研究⊙O 与菱形ABCD 各边交点总个数的情况，以下论述正确的是（ ）. ①最少有1 个交点； ②最多有6 个交点； ③共有6种不同的情况；④有2个交点时，30<<AO ；⑤有3个交点时. 334=AOＡ．①②⑤ Ｂ．②③⑤ Ｃ．①③④ Ｄ．②④⑤BA CDP xy O （第8题图）ABCDO（第10题图）二、填空题（本大题5小题，共20分）11.如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 3cm . 12.在半径为1的圆中，有两条弦AB 、AC ，其中AB =3， AC =2，则∠BAC 的度数为 ．13．一个半径为1cm 的圆在边长为6cm 的正三角形内部任意移动（圆与正三角形的边可以相切），则圆在正三角形内不能 达到部分的面积为 2cm . 14.已知关于x 的二次函数y =14)3(2-++-px p px ，对任意实数x ,函数值y 都为负，则实数p 的取值范围是 .15.对于非负实数x 经“四舍五入”精确到个位的值记为{x }，即：当n 为非负整数时，如果2121+<≤-n x n ，则{x }=n ，如：{0.69}=1，{2.3}=2，则下列结论： ①{x }-x =0； ②{57}=1； ③若{x -1}＞2，则2.5＜x ≤3.5； ④{x +y }={x }+{y }不恒成立； ⑤满足{x }=x 34的x 只有三个非负实数. 其中一定正确的结论有 . （填写序号）三、解答题（本大题5小题，共50分）16．（本题满分5分）()2342112333--⎪⎭⎫⎝⎛-++--π17．（本题满分5分）解关于x 的方程：mx -2=3m +5x4cm10cm主视图 左视图俯视图（第11题图）B C D E OA （第18题图）18. （本题满分10分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 的长为半径的圆分别交AC ，AB 于点D 、E ，且BD 为⊙O 的切线， (1)求证：△ADE ∽△BCD ；(2)若BC =4，BD =5，求sin A 的值.19.（本题满分15分）如图，在一个坡度i =1︰7的斜坡面BD 上，架设两根高度均为10米的电杆DC 和BA ，水平距离DE 为14米，电线在空中架设时，A 、C 两端挂起的电线下垂近似成抛物线2981x y =形状，在竖直方向上，求下垂电线与坡面的距离MF 的最小值.20.（本题满分15分）定义：一条直线平分三角形的面积称这条直线为三角形的“等积线”，平分三角形的周长称这条直线为三角形的“等周线”，已知在直角坐标系中，点O 为坐标原点，A (4，3)，B (4，-3).（1）过点A 是否存在直线l ，既是△AOB 的“等积线”又是“等周线”，请说明理由. （2）当点P 在线段OA 上，点Q 在线段OB 上，直线PQ 为△AOB 的“等周线”，求Q P y y -； （3）当点M 在线段OB 上，点N 在线段AB 上，直线MN 既是△AOB 的“等积线”又是“等周线”，①求OM 的长；②平面上是否还有既是△AOB 的“等积线”，又是“等周线”的直线？若有，请画出所有情况的示意图.A B C D E （第19题图2） A xyAxyA xyOO OPN-14321-15432-14321-15432-14321-15432111A C D EB ED （第19题图1） MF2014年福建省南平一中自主招生数学学科评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.A ；2.C ；3.C ；4.B ；5.D ；6.A ；7.D ；8.C ；9.D ；10.B .二、填空题（本大题5小题，共20分）11.3240；12.75°或15°；13.（π-33）；14.109-<p ；15.②④⑤ 三、解答题（本大题5小题，共50分）16．（本题满分5分）解：原式=()()42381231----+……………………2分=42383231+---+ ……………………4分 =6- ……………………5分17．（本题满分5分）解： 235+=-m x mx()235+=-m x m ……………………2分（1）当5≠m 时，523-+=m m x ； ……………………4分（2）当5=m 时，此方程无解. ……………………5分18. （本题满分10分） (1)证明：连接DE 、OD ∵BD 为⊙O 的切线 ∴OD ⊥BD∴∠BDO =90° …………………1分 ∵∠BDC +∠BDO +∠ODA =180° ∴∠BDC +∠ODA =90° ∵OD =OA ∴∠A =∠ODA …………………2分 ∴∠BDC +∠A =90° ∵∠C =90°∴∠BDC +∠CBD =90°∴∠A =∠CBD ………………4分 ∵AE 为⊙O 的直径BC DEOA∴∠EDA =90°=∠C ……………………5分 ∴△ADE ∽△BCD ……………………6分 (2)在Rt △BCD 中，BC =4，BD =5∴3162522=-=-=BC BD CD ………………7分∴sin ∠CBD =53=BD CD ……………………8分 ∵ ∠A =∠CBD ∴sin A =sin ∠CBD =53……………………10分 19.（本题满分15分）解：如图，以点A 为原点建立坐标系，……………………1分∵DC =BA =10米∴点B 的坐标为（0，-10）∵斜坡的坡度i =1︰7，DE =14米 ∴BE =2米∴点D 的坐标为（14，-12）点C 的坐标为（14，-2） ……………4分设抛物线AC 的解析式为bx x y +=2981， 直线BD 的解析式为n mx y +=代入点的坐标可确定解析式为：x x y 729812-=；1071--=x y ……………10分设抛物线上任一点M （M x ，M M x x 729812-）， 如右图过点M 作x 轴的垂线交BD 于F ， 则点F 的坐标为（M x ，1071--M x ） ∴()21979811071981107172981222+-=+-=++-=-=M M M M M M F M MF x x x x x x y y y ………………13分 ∴下垂的电线与坡面的最近距离为219米. ………………15分ABCDE xyMF说明：(1)若以D 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为109812+=x y ，直线BD 的解析式为x y 71-=； (2)若以C 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为2981x y =，直线BD 的解析式为1071--=x y ； (3)若以E 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为12729812+-=x x y ，直线BD 的解析式为271+-=x y ； (4)若以B 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为10729812+-=x x y ，直线BD 的解析式为x y 71-=. 20.（本题满分15分）解：（1）不存在． …………………1分若直线AC 平分△AOB 的面积，那么S △AOC =S △ABC两个三角形高相等， …………………3分 ∴OC =BC ，∵AO ≠AB ，∴AO +OC ≠BC +BA∴不存在． …………………4分（2）易得直线OA 的解析式为x y 43=，直线OB 的解析式为x y 43-=.…5分 设点P （4t ，3t ），则OP =5t∵直线PQ 为△AOB 的“等周线” ∴OQ =8-5tA B x y （第20题图1）A B x y （第20题图2） A B xy （第20题图3） O CO O P Q M N -3-2-14321-15432-3-2-14321-15432-3-2-14321-15432111∴Q （t t 3524,4532+--） ……………………7分 从而524=-Q P y y ……………………8分（3）①设N （4，k ），则NB =k +3∵直线MN 为△AOB 的“等周线” ∴MB =8-（k +3）=5-k ∴OM =OB -MB =k设M （k 54，k 53-）……………………10分 ∵12=∆AOB S ，直线MN 为△AOB 的“等积线” ∴6=∆MNB S ……………………11分 ∴()6544321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+k k 解得0,221==k k从而2=OM 或0=OM ………13分②如下图所示，共有三条既是△AOB 的“等积线”，又是“等周线”的直线，它 们分别是l 1、l 2和x 轴. ……………………15分 说明：在示意图中，少画l 1和x 轴不扣分，少画l 2和多画不得分.-3-2-14321-154321 ABxyOl 2l 1。
2014年自主招生考试模拟试题与答案 数学
2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。
解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； （2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-， 所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。
2014年福建省福州八中自主招生数学样卷及详细试卷解析
2014年福建省福州八中自主招生数学样卷一、选择题（每题6分，满分60分.下列各题的四个选项中只有一个是正确的，请将你的选择填写在答题卡选择题1～10的位置.）1．（6分）化简（x﹣）÷（y﹣）的结果为（）A．1B．C．D．﹣12．（6分）如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（）A．12cm2B．18cm2C．24cm2D．30cm23．（6分）下列运算正确的是（）A．（a5）2=a7B．x6÷x2=x3C．x3•x﹣3=1D．4．（6分）已知点G是等边△ABC的重心，AB=6，P为AB边上的一个动点，则P、G两点间距离的最小值是（）A．2B．C．D．5．（6分）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是（）A．B．C．D．16．（6分）如图，已知⊙O的弦AB=100，∠ACB=45°，则⊙O的直径AD等于（）A．B．C．D．7．（6分）方程的解是（）A．x=1或x=B．x=﹣1或x=C．x=﹣1或x=D．x=1或x=8．（6分）王明、李成两位同学初三复习阶段10次数学自测的成绩（均为整数，且个位数为0）分别如图所示，根据图中提供的信息，下列说法正确的是（）A．两人成绩的众数相同B．两人成绩的中位数一样C．张明的方差大于李成的方差D．两人成绩的平均数相等9．（6分）设a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个实数根，则a2+a+ab的值为（）A．2013B．4026C．1D．010．（6分）若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18B．24C．30D．36二、填空题（每题6分，满分30分.)11．（6分）一副三角板如图放置，若∠1=90°，则∠2的度数为．12．（6分）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如上图所示，若y＜0，则x的取值范围是．13．（6分）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．14．（6分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：第3个数：；…第n个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是第个数．15．（6分）如图，将正方形纸片对折，折痕为EF．展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则∠ABG的正切值是．三、解答题（共4题，满分60分.请将下列四题的解答过程分别填写在答题卡“非选择题”第2、3、4、5框内.）16．（10分）设m＞n＞0，m2+n2=4mn，求的值．17．（15分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．18．（15分）已知点P是∠ABC内一动点（P与B点不重合），连接BP，过P作PE⊥BA于E，PF⊥BC于F．设∠EBP=α，∠FBP=β，（α、β都是锐角）（1）当∠EBP=40°，∠FBP=20°时，请比较sin40°与sin20°的大小（直接写出结果）；（2）若PE＞PF，试比较sinα与sinβ的大小，并说明理由；（3）若α＞β．试判断cosα与cosβ的大小，并给出证明．19．（20分）已知x轴上两点A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）在y轴上取一点C，使∠ACB=90°，则点C的坐标为．（2）设点是平面直角坐标系xOy中的一个动点，以AB为斜边的直角三角形ADB与△AOC相似时，求D点坐标．（3）设动点到x轴的距离为h，当h≥OC时，求x的取值范围．2014年福建省福州八中自主招生数学样卷参考答案与试题解析一、选择题（每题6分，满分60分.下列各题的四个选项中只有一个是正确的，请将你的选择填写在答题卡选择题1～10的位置.）1．（6分）化简（x﹣）÷（y﹣）的结果为（）A．1B．C．D．﹣1【分析】先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，最后进行约分．【解答】解：（x﹣）÷（y﹣）==．故选：B．【点评】考查分式的化简，分式的化简关键在于把分式的加减通过通分，再把除法转化为分式的乘法，进而通过约分转化为最简分式．2．（6分）如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（）A．12cm2B．18cm2C．24cm2D．30cm2【分析】过A作AG⊥BC，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．【解答】解：过A作AG⊥BC，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，∵△AEF的面积为6cm2，即EF•AH=6cm2，∴EF•AH=12cm2，∴S=（AD+BC）•AG=×2EF×2AH=2EF•AH=2×12cm2=24cm2．梯形ABCD故选：C．【点评】此题比较简单，考查的是梯形的中位线定理，即梯形的中位线等于上下底和的一半．3．（6分）下列运算正确的是（）A．（a5）2=a7B．x6÷x2=x3C．x3•x﹣3=1D．【分析】根据幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的除法底数不变指数相减，同底数幂的乘法底数不变指数相加，二次根式的性质，可得答案．【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；D、=|a|，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．（6分）已知点G是等边△ABC的重心，AB=6，P为AB边上的一个动点，则P、G两点间距离的最小值是（）A．2B．C．D．【分析】根据点到直线之间垂线段最短可知，当GP⊥AB时GP最小，此时点P 在线段AB的中点，根据重心的性质可得CG=2PG，即GP=CP，只需运用勾股定理求出CP即可．【解答】解：当点P运动到AB中点位置时，∵点G是等边△ABC的重心，∴CP⊥AB，CG=2PG即GP=CP．此时GP最短，且BP=3，BC=6，根据勾股定理可得：CP==3，∴GP=．故选：C．【点评】本题主要考查了点到直线之间垂线段最短、重心的性质（即重心到顶点的距离等于重心到对应中点距离的2倍）、勾股定理等知识，运用重心的性质能提高解题速度，应熟练掌握．5．（6分）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是（）A．B．C．D．1【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．【解答】解：∵，由①得：x≥2，由②得：x≤4，∴不等式组的解集为：2≤x≤4，∴整数解有：2，3，4；∴它是偶数的概率是．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．（6分）如图，已知⊙O的弦AB=100，∠ACB=45°，则⊙O的直径AD等于（）A．B．C．D．【分析】由圆周角定理，易证得△ABD是等腰直角直角三角形，继而求得答案．【解答】解：∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∵∠ACB=45°，∴∠D=∠ACB=45°，∴AD===100．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（6分）方程的解是（）A．x=1或x=B．x=﹣1或x=C．x=﹣1或x=D．x=1或x=【分析】根据绝对值性质，可知x的绝对值等于它本身或者相反数，进而解一元一次方程可得x的值．【解答】解：由题意得①=x或②=﹣x，解①得：x=1解②得：x=﹣．故x=1或x=﹣．故选：A．【点评】本题很好的将绝对值与一元一次方程结合，同时考查了两个知识点．8．（6分）王明、李成两位同学初三复习阶段10次数学自测的成绩（均为整数，且个位数为0）分别如图所示，根据图中提供的信息，下列说法正确的是（）A．两人成绩的众数相同B．两人成绩的中位数一样C．张明的方差大于李成的方差D．两人成绩的平均数相等【分析】根据计算公式分别求出王明、李成的平均数，利用中位数和众数的定义分别求出中位数和众数；计算方差从两人成绩稳定性上分析得出．【解答】解：张明10次成绩分别为：80，70，90，80，70，90，70，80，90，80；按大小顺序排列为：70，70，70，80，80，80，80，90，90，90；则平均成绩是：×（90×3+80×4+70×3）=80（分），中位数是：80；众数是：80；方差：×（100×3+0×4+100×3）=60；李成10次成绩分别为：80，60，100，70，90，50，90，70，90，100；按大小顺序排列为：50，60，70，70，80，90，90，90，100，100；则平均成绩是：×（50+60+70×2+80+90×3+100×2）=80（分），中位数是：85，90出现了3次，出现的次数最多，则众数是：90；方差：×（900+400+100×5+0×1+400×3）=3000；所以只有平均数相同．故选：D．【点评】此题主要考查折线统计图，方差，极差，平均分等知识，概括了统计部分大部分内容，熟练掌握基础知识并区分知识之间的联系是解决问题的关键．9．（6分）设a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个实数根，则a2+a+ab的值为（）A．2013B．4026C．1D．0【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=a代入方程求出a2+a的值，再利用根与系数的关系求出ab的值，然后两者相加即可得解．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个实数根，∴a2+a﹣2013=0，∴a2+a=2013，又∵ab=﹣2013，∴a2+a+ab=（a2+a）+（ab）=2013+（﹣2013）=0．故选：D．【点评】本题考查了根与系数的关系与一元二次方程的解的定义，考虑把a2+a+ab 分成（a2+a）与ab的和是解题的关键．10．（6分）若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形，用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（）A．18B．24C．30D．36【分析】根据题意画出图形，从正方体的一个顶点出发求出构成的不规则三角形的个数即可求出用任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数．【解答】解：如图所示，∵连接BD、BE、BF、EG，则△BEF、△BEG、△BDE均为不规则三角形，∴从正方体的一个顶点出发与所有顶点的连线中有三个不规则的三角形，∴用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是3×8=24个．故选：B．【点评】本题考查的是立体图形，解答此题的关键是根据题意画出图形，找出从正方体的一个顶点出发求出构成的不规则三角形的个数．二、填空题（每题6分，满分30分.)11．（6分）一副三角板如图放置，若∠1=90°，则∠2的度数为75°．【分析】首先根据三角板可得∠B=30°，∠A=45°，再根据三角形内角和可得∠3=45°，然后再根据三角形内角与外角的关系可得∠2=∠B+∠4，进而得到答案．【解答】解：由题意得：∠B=30°，∠A=45°，∵∠1=90°，∴∠A+∠3=90°，∴∠3=45°，∴∠4=45°，∵∠B=30°，∴∠2=45°+30°=75°，故答案为：75°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．12．（6分）已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如上图所示，若y＜0，则x的取值范围是﹣1＜x＜3．【分析】先根据二次函数图象的对称性求出抛物线与x轴的另一交点的横坐标，然后根据图象直接解答即可．【解答】解：∵函数图象与x轴的一个交点横坐标为﹣1，对称轴为x=1，∴函数图象与x轴的另一个交点横坐标为3，可知，当y＜0时，﹣1＜x＜3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根据对称轴及图象与x轴的交点求出另一个交点坐标是解题的关键．13．（6分）反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为 1.5．【分析】由于AB∥x轴，可知AB两点的纵坐标相等，于是可设A点坐标是（a，c），B点坐标是（b，c），于是可得=，即b=a，进而可求AB，据图可知△AOB的高是c，再利用面积公式可求其面积．【解答】解：由于AB∥x轴，设A点坐标是（a，c），B点坐标是（b，c），那么=，∴b=a，∴AB=|a﹣b|=a，∵c=，=AB•c=×a×=，∴S△AOB故答案是．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是注意A、B两点的纵坐标相等．14．（6分）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：；第2个数：第3个数：；…第n个数：．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是第10个数．【分析】通过计算可以发现，第一个数﹣1+，第二个数为﹣1+，第三个数为﹣1+，…第n个数为﹣1+=﹣+，由此求得数，通过比较得出答案．【解答】解：第一个数：﹣（1+）=﹣1+=0，第二个数：﹣（1+）[1+][1+]=﹣1+=﹣，…第n个数为﹣（1+）[1+][1+]…[1+]=﹣1+ =﹣+，所以第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为﹣，﹣，﹣，﹣，其中最大的数为﹣，即第10个数最大，故答案为10．【点评】此题主要通过计算发现第n个数的规律为：为﹣（1+）[1+][1+]…[1+]=﹣1+=﹣+，由此规律解决问题．15．（6分）如图，将正方形纸片对折，折痕为EF．展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则∠ABG的正切值是．【分析】根据翻折变换的性质表示出BF以及AG，GE的长，进而利用勾股定理得出AG的长，即可得出∠ABG的正切值．【解答】解：设正方形边长为4，AG=x，∵将正方形纸片对折，折痕为EF，∴BF=2，AB=4，GE=2﹣x，∴AF==2，∴AE=4﹣2，在Rt△AGE中，AE2+GE2=AG2，∴+（2﹣x）2=x2，解得：x=8﹣4，∴∠ABG的正切值是：==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，根据已知表示出AG的长是解题关键．三、解答题（共4题，满分60分.请将下列四题的解答过程分别填写在答题卡“非选择题”第2、3、4、5框内.）16．（10分）设m＞n＞0，m2+n2=4mn，求的值．【分析】根据m2+n2=4mn，求得（m+n）2=6mn，（m﹣n）2=2mn，又m＞n＞0，得到m+n=，m﹣n=，即可解答．【解答】解：∵m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn，（m﹣n）2=2mn，又∵m＞n＞0，∴m+n=，m﹣n=，∴．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．17．（15分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c．（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF；（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG．【分析】（1）由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD，易得BG=AC+AG，即可得BG=BG=（AB+AC）；（2）由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得DF=AC=b，由FG=BG﹣BF，求得DF=FG，又由DE∥AB，即可求得∠FDG=∠EDG；（3）由△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），可得∠B=∠FDG，又由（2）得：∠FGD=∠FDG，易证得DG=BD=CD，可得B、G、C 三点在以BC为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BG⊥CG．【解答】（1）解：∵△BDG与四边形ACDG的周长相等，∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∴BG=AC+AG，∵BG+（AC+AG）=AB+AC，∴BG=（AB+AC）=（b+c）；（2）证明：∵点D、F分别是BC、AB的中点，∴DF=AC=b，BF=AB=c，又∵FG=BG﹣BF=（b+c）﹣c=b，∴DF=FG，∴∠FDG=∠FGD，∵点D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD，∴∠FDG=∠EDG，即DG平分∠EDF；（3）证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），∴∠B=∠FDG，由（2）得：∠FGD=∠FDG，∴∠FGD=∠B，∴DG=BD，∵BD=CD，∴DG=BD=CD，∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，∴∠BGC=90°，即BG⊥CG．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与整体思想的应用．18．（15分）已知点P是∠ABC内一动点（P与B点不重合），连接BP，过P作PE⊥BA于E，PF⊥BC于F．设∠EBP=α，∠FBP=β，（α、β都是锐角）（1）当∠EBP=40°，∠FBP=20°时，请比较sin40°与sin20°的大小（直接写出结果）；（2）若PE＞PF，试比较sinα与sinβ的大小，并说明理由；（3）若α＞β．试判断cosα与cosβ的大小，并给出证明．【分析】（1）根据题意画出图形，可得出PE＞PF，从而证出sin40°＞sin20°，（2）根据sin∠EBP=，sin∠FBP=，PE＞PF，BP=BP，即可得出sinα＞sinβ；（3）先根据cos∠EBP==cosα，cos∠FBP==cosβ，得出PE＞PF，再证出BE ＜BF，即可得出cosα＜cosβ．【解答】解：（1）如图：根据图形可得：PE＞PF，则sin40°＞sin20°，（2）∵sin∠EBP=，sin∠FBP=，PE＞PF，BP=BP，∴，∴sinα＞sinβ；（3）∵cos∠EBP==cosα，cos∠FBP==cosβ，∵BP=BP，α＞β，∴PE＞PF，∵BE=，BF=，∴BE＜BF，∴cosα＜cosβ．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、解直角三角形，关键是根据题意画出图形，比较出有关结果的大小．19．（20分）已知x轴上两点A（﹣1，0）、B（4，0）．（1）在y轴上取一点C，使∠ACB=90°，则点C的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．（2）设点是平面直角坐标系xOy中的一个动点，以AB为斜边的直角三角形ADB与△AOC相似时，求D点坐标．（3）设动点到x轴的距离为h，当h≥OC时，求x的取值范围．【分析】（1）设C（0，y），根据勾股定理和两点间的距离公式进行解答；（2）需要分类讨论：①当∠ADB=90°2时，过D作DH⊥x轴，则△AOC∽△ADB ∽△AHD，结合相似三角形的对应边成比例求得x的值；②当∠ADB=90°时，同理可得，结合相似三角形的对应边成比例求得x的值；（3）根据函数的性质得到|h|≥2，由此求得相应的x的取值范围．【解答】解：（1）设C（0，y），则12+y2+42+y2=52，解得y=±2，故点C的坐标为：（0，2）或（0，﹣2）．故答案是：（0，2）或（0，﹣2）；（2）依题意得AO=1，OC=2，AB=4﹣（﹣1）=5．∵y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣4）（x+1），∴该抛物线与x轴的交点坐标是A（﹣1，0）、B（4，0），即抛物线y=﹣x2+x+2经过点A、B、D．以AB为斜边的直角三角形有下列情况①如图1，当∠ADB=90°时，过D作DH⊥x轴，则△AOC∽△ADB∽△AHD，∴则有，解得x1=﹣1（舍去），x2=0，∴D1（0，2）；②当∠ADB=90°时，同理可得同理可得，解得x3=﹣1，x4=3∴D2（3，2）；综上所述点D1（0，2）和点D2（3，2）符合要求；（3）令得：x1=3，x2=0；令得：，；令，可得该函数图象如图所示2，当或或0≤x≤3时，h≥OC．【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及勾股定理的应用等知识点，综合性比较强，另外，解答有关于动点问题时，必须分类讨论，以防漏解或错解．第21页（共21页）。
2014年福建福州数学中考试卷+答案
2014年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分;每小题只有一个正确的选项)1.-5的相反数是( )A.-5B.5C.15D.-152.地球绕太阳公转的速度约是110 000千米/时,将110 000用科学记数法表示为( )A.11×104B.1.1×105C.1.1×104D.0.11×1063.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥4.下列计算正确的是( )A.x4·x4=x16B.(a3)2=a5C.(ab2)3=ab6D.a+2a=3a5.若7名学生的体重(单位:kg)分别是:40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是( )A.44B.45C.46D.476.下列命题中,假命题．．．是( )A.对顶角相等B.三角形两边的和小于第三边C.菱形的四条边都相等D.多边形的外角和等于360°7.若(m-1)2+√n+2=0,则m+n的值是( )A.-1B.0C.1D.28.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的是( )A.600n+50=450nB.600n-50=450nC.600n=450n+50D.600n=450n-509.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( )A.45°B.55°C.60°D.75°10.如图,已知直线y=-x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y=nn交于E,F两点.若AB=2EF,则k的值是( )A.-1B.1C.12D.34第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分;请将正确答案填在相应位置)11.分解因式:ma+mb= .12.若5件外观相同的产品中有1件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是.13.计算:(√2+1)(√2-1)= .14.如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是.BC.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=12若AB=10,则EF的长是.三、解答题(满分90分;请将正确答案及解答过程写在相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑)16.(每小题7分,共14分))0+|-1|;(1)计算:√9+(12 014.(2)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=1317.(每小题7分,共14分)(1)如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D;(2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.①sin B的值是;②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连结AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.图1 图218.(满分12分)设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分.规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了名学生,a= %;(2)补全条形统计图;(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为度;(4)若该校共有2 000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?19.(满分12分)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B两种商品每件各是多少元;(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过．．．300元,问有几．．．350元,且不低于种购买方案,哪种方案费用最低?20.(满分11分)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3√2,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,☉O为△ACD的外接圆.(1)求BC的长;(2)求☉O的半径.21.(满分13分)如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.(1)当t=1秒时,则OP= ,S△ABP= ;2(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B.求证:AQ·BP=3.图1 图2 备用图22.(满分14分)(x-3)2-1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为如图,抛物线y=12D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连结AE,AD.求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E 的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.备用图答案全解全析：一、选择题1.B 只有符号不同的两个数互为相反数,-5的相反数是5,故选B. 评析 本题考查相反数的定义,属容易题.2.B 科学记数法的表示形式为a×10n ,1≤|a|<10,故110 000=1.1×105,故选B. 评析 本题考查科学记数法的定义,属容易题.3.D 由主视图和左视图为三角形知此几何体为锥体,由俯视图为圆可推得此几何体为圆锥.评析 本题考查由三视图抽象出几何体和学生的空间想象能力,属容易题.4.D x 4·x 4=x 4+4=x 8,A 选项错误;(a 3)2=a 3×2=a 6,B 选项错误;(ab 2)3=a 3·b 2×3=a 3b 6,C 选项错误;根据合并同类项法则知,D 选项正确,故选D. 5.C 这组数据的平均数是40+42+43+45+47+47+587=46,故选C.评析 本题考查数据分析中的平均数的计算方法,属容易题. 6.B 根据三角形三条边之间的关系可知B 是错误的,故选B.7.A ∵(m -1)2+√n +2=0,∴{n -1=0,n +2=0,∴{n =1,n =-2,∴m+n=-1,故选A.8.A 根据“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”可以列出方程600n +50=450n,故选A.评析 本题考查分式方程的应用,根据题意正确找出等量关系是关键,属容易题. 9.C 由已知得AB=AE,∠BAE=150°,∴∠ABF=15°,∴∠BFC=∠ABF+∠BAF=60°. 评析 本题考查正方形、等边三角形、等腰三角形的性质,属中等难度题.10.D 如图,作ED⊥OB,EC⊥OA,FG⊥OA,垂足分别为D,C,G,ED 交FG 于H,易得A(2,0),B(0,2),∴△ACE、△AOB、△EHF 都是等腰直角三角形, 又∵AB=2EF,∴EH=FH=1,设OG=x,∴AC=EC=1-x, ∴E(x+1,1-x),F(x,2-x).又∵点E 、F 在双曲线上,∴(x+1)(1-x)=x(2-x),解得x=12,∴E (32,12),k=34.评析 本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题,相似三角形的判定和性质,属难题.二、填空题11.答案 m(a+b) 解析 ma+mb=m(a+b).评析 本题考查提公因式法分解因式,属容易题. 12.答案 15解析 5件外观相同的产品中有1件不合格,从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是15.评析 本题考查概率,属容易题. 13.答案 1解析 (√2+1)(√2-1)=(√2)2-12=2-1=1.评析 本题考查二次根式的运算法则和平方差公式,属容易题. 14.答案 20解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形,AD=6,BE=2, ∴BC=AD=6,∴EC=4.又∵DE 平分∠ADC,∴∠ADE=∠EDC. ∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠EDC.∴CD=EC=4.∴▱ABCD 的周长是2×(6+4)=20.评析 本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定,属中等难度题. 15.答案 5解析 ∵在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D,E 分别是边AB,AC 的中点,AB=10, ∴AD=5,AE=EC,DE=12BC,∠AED=90°. ∵CF=12BC,∴DE=FC.在Rt△ADE 和Rt△EFC 中,∵AE=EC,∠AED=∠ECF=90°,DE=FC, ∴Rt△ADE≌Rt△EFC(SAS).∴EF=AD=5.评析 本题考查三角形中位线定理,属中等难度题. 三、解答题16.解析 (1)原式=3+1+1=5.(2)原式=x 2+4x+4+2x-x 2=6x+4. 当x=13时,原式=6×13+4=6.评析 本题考查了实数的运算,属容易题. 17.解析 (1)证明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF, 即BF=CE.又∵AB=DC,∠B=∠C, ∴△ABF≌△DCE. ∴∠A=∠D. (2)①35.②如图所示.由轴对称的性质可得,AA 1=2,BB 1=8,梯形AA 1B 1B 的高是4. ∴n 梯形nn 1n 1B =12(AA 1+BB 1)×4=20.评析 本题考查了全等三角形的判定与性质,属容易题. 18.解析 (1)50;24. (2)如图所示.综合评定成绩条形统计图(3)72.(4)该校D 级学生约有2 000×450=160(名).评析 本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比,属容易题. 19.解析 (1)设A 商品每件x 元,B 商品每件y 元.依题意,得{2n +n =90,3n +2n =160.解得{n =20,n =50.答:A 商品每件20元,B 商品每件50元.(2)设小亮准备购买A 商品a 件,则购买B 商品(10-a)件.依题意,得{20n +50(10-n )≥300,20n +50(10-n )≤350.解得5≤a≤623.根据题意知,a 的值应为整数,所以a=5或a=6.方案一:当a=5时,购买费用为20×5+50×(10-5)=350元; 方案二:当a=6时,购买费用为20×6+50×(10-6)=320元. ∵350>320,∴购买A 商品6件,B 商品4件的费用最低.答:有两种购买方案,方案一:购买A 商品5件,B 商品5件;方案二:购买A 商品6件,B 商品4件.其中方案二费用最低.20.解析 (1)过点A 作AE⊥BC,垂足为E. ∴∠AEB=∠AEC=90°. 在Rt△ABE 中,∵sin B=nnnn ,∴AE=AB·sin B=3√2·sin 45°=3√2×√22=3. ∵∠B=45°,∴∠BAE=45°. ∴BE=AE=3.在Rt△ACE 中,∵tan∠ACB=nnnn, ∴EC=nntan∠nnn =3tan60°=√3=√3.∴BC=BE+EC=3+√3.(2)由(1)得,在Rt△ACE 中,∠EAC=30°,EC=√3, ∴AC=2√3.解法一:连结AO 并延长交☉O 于M,连结CM. ∵AM 为直径,∴∠ACM=90°.在Rt△ACM 中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sin M=nnnn , ∴AM=nnsin n =2√3sin60°=4. ∴☉O 的半径为2.解法二:连结OA,OC,过点O 作OF⊥AC,垂足为F,则AF=12AC=√3.∵∠D=∠ACB=60°,∴∠AOC=120°. ∴∠AOF=12∠AOC=60°.在Rt△OAF 中,∵sin∠AOF=nnnn , ∴AO=nnsin∠nnn =2,即☉O 的半径为2.评析 本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数的应用,属中等难度题. 21.解析 (1)1;3√34. (2)①∵∠A<∠BOC=60°, ∴∠A 不可能为直角. ②当∠ABP=90°时,∵∠BOC=60°, ∴∠OPB=30°. ∴OP=2OB,即2t=2. ∴t=1.③当∠APB=90°时,作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90°. ∵OP=2t,∴OD=t,PD=√3t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP 是锐角三角形).解法一:BP 2=(1-t)2+3t 2,AP 2=(2+t)2+3t 2.∵BP 2+AP 2=AB 2,∴(1-t)2+3t 2+(2+t)2+3t 2=9,即4t 2+t-2=0. 解得t 1=-1+√338,t 2=-1-√338(舍去). 解法二:∵∠APD+∠BPD=90°,∠B+∠BPD=90°,∴∠APD=∠B.又∵∠ADP=∠PDB=90°, ∴△APD∽△PBD, ∴nn nn =nn nn,∴PD 2=AD·BD. 于是(√3t)2=(2+t)(1-t),即4t 2+t-2=0. 解得t 1=-1+√338,t 2=-1-√338(舍去). 综上,当△ABP 是直角三角形时,t=1或-1+√338.(3)证法一:∵AP=AB,∴∠APB=∠B.作OE∥AP,交BP 于点E, ∴∠OEB=∠APB=∠B. ∵AQ∥BP,∴∠QAB+∠B=180°. 又∵∠3+∠OEB=180°, ∴∠3=∠QAB.又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP, 已知∠B=∠QOP, ∴∠1=∠2.∴△QAO∽△OEP. ∴nn nn =nnnn,即AQ·EP=EO·AO.∵OE∥AP,∴△OBE∽△ABP. ∴nn nn =nn nn =nn nn =13.∴OE=13AP=1,BP=32EP.∴AQ·BP=AQ·32EP=32AO·OE=32×2×1=3.证法二:连结PQ,设AP 与OQ 相交于点F.∵AQ∥BP,∴∠QAP=∠APB. ∵AP=AB, ∴∠APB=∠B. ∴∠QAP=∠B. 又∵∠QOP=∠B, ∴∠QAP=∠QOP. ∵∠QFA=∠PFO, ∴△QFA∽△PFO. ∴nn nn =nn nn ,即nn nn =nnnn . 又∵∠PFQ=∠OFA, ∴△PFQ∽△OFA. ∴∠3=∠1.∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP, 已知∠B=∠QOP, ∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3.∴△APQ∽△BPO. ∴nn nn =nnnn .∴AQ·BP=AP·BO=3×1=3.22.解析 (1)顶点D 的坐标为(3,-1). 令y=0,得12(x-3)2-1=0,解得x 1=3+√2,x 2=3-√2. ∵点A 在点B 的左侧,∴点A 坐标为(3-√2,0),点B 坐标为(3+√2,0). (2)证明:过D 作DG⊥y 轴,垂足为G, 则G(0,-1),GD=3.令x=0,则y=72,∴点C 坐标为(0,72).∴GC=72-(-1)=92. 设对称轴交x 轴于点M.∵OE⊥CD,∴∠GCD+∠COH=90°. ∵∠MOE+∠COH=90°, ∴∠MOE=∠GCD.又∵∠CGD=∠OME=90°, ∴△DCG∽△EOM.∴nn nn =nn nn ,即923=3nn. ∴EM=2,即点E 的坐标为(3,2),∴ED=3.由勾股定理,得AE 2=6,AD 2=3,∴AE 2+AD 2=6+3=9=ED 2.∴△AED 是直角三角形,且∠DAE=90°.设AE 交CD 于点F. ∴∠ADC+∠AFD=90°. 又∵∠AEO+∠HFE=90°, ∠AFD=∠HFE, ∴∠AEO=∠ADC.(3)由☉E 的半径为1,根据勾股定理,得PQ 2=EP 2-1.要使切线长PQ 最小,只需EP 长最小,即EP 2最小. 设点P 的坐标为(x,y),由勾股定理,得EP 2=(x-3)2+(y-2)2. ∵y=12(x-3)2-1,∴(x -3)2=2y+2.∴EP 2=2y+2+y 2-4y+4=(y-1)2+5.当y=1时,EP 2取最小值,为5.把y=1代入y=12(x-3)2-1,得12(x-3)2-1=1, 解得x 1=1,x 2=5.又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上, ∴x 1=1舍去.∴点P 的坐标为(5,1).此时Q 点坐标为(3,1)或(195,135).评析本题是压轴题,涉及考点众多,难度较大.第(2)问中,注意观察图形,将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题,综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数(或相似形)求解;第(3)问中,解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题,注意求EP2最小值的具体方法.属难题.11。
2014学年福建省福州中考数学年试题答案
数学试卷 第1页（共8页） 数学试卷 第2页（共8页）绝密★启用前山西省2014年高中阶段教育学校招生统一考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.计算23-+的结果是( )A .1B .1-C .5-D .6-2.如图,直线AB ,CD 被直线EF 所截,AB CD ∥,1110∠=,则2∠等于( )A .65B .70 C .75D .80 3.下列运算正确的是( )A .224358a a a += B .6212aa a =C .222()a b a b +=+D .20(1)1a += 4.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的 “弦图”,它解决的数学问题是( )A .黄金分割B .垂径定理C .勾股定理D .正弦定理5.下右图是由三个小正方体叠成的一个几何体,它的左视图是( )ABCD6.我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数,回顾学习过程,都是按照列表、描点、连线得到函数的图象,然后根据函数的图象研究函数的性质.这种研究方法主要体现的数学思想是( )A .演绎B .数形结合C .抽象D .公理化7.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是 ( )A .频率就是概率B .频率与试验次数无关C .概率是随机的,与频率无关D .随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率8.如图,O 是ABC △的外接圆,连接OA ,OB ,50OBA ∠=,则C ∠的度数为( )A .30B .40 C .50D .809. 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5μm 1μm=0.0000(01m)的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.它们含有大量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大危害.2.5μm 用科学记数法可表示为( )A .52.510m -⨯B .70.2510m -⨯C .62.510m -⨯D .52510m -⨯10.如图,点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上,且2EC AE =,Rt FEG △的两直角边EF ,EG 分别交BC ,DC 于点M ,N .若正方形ABCD 的边长为a ,则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A .223aB .214aC .259aD .249a 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填在题中的横线上) 11.计算：23232a b a b = . 12.化简21639x x ++-的结果是. 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共8页） 数学试卷 第4页（共8页）13.如图,已知一次函数4y kx =-的图象与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,与反比例函数8y x=在第一象限内的图象交于点C ,且A 为BC 的中点,则k = .14.甲、乙、丙三位同学打乒乓球,想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打.规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背,若只有两个人手势相同(都是手心或都是手背),则这两人先打；若三人手势相同,则重新决定.那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是 .15.一走廊拐角的横截面如图所示,已知AB BC ⊥,AB DE ∥,BC FG ∥,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m .EF 的圆心为O ,半径为1m ,且90EOF ∠=,DE ,FG 分别与O 相切于E ,F 两点.若水平放置的木棒MN 的两个端点M ,N 分别在AB 和BC 上,且MN 与O 相切于点P ,P 是EF 的中点,则木棒MN 的长度为m .16.如图,在ABC △中,30BAC ∠=,AB AC =,AD 是BC 边上的中线,12ACE BAC ∠=∠,CE 交AB 于点E ,交AD 于点F ,若2BC =,则EF 的长为.三、解答题(本大题共8小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分,每题5分)(1)计算：211(2)sin 60()2---(2)分解因式：(1)(3)1x x --+.18.(本小题满分6分)解不等式组并求出它的正整数解.5229,12 3.x x x --⎧⎨--⎩＞①≥②19.(本小题满分6分)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.几何中,平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形,大家对于它们的性质都非常熟悉.生活中还有一种特殊的四边形——筝形.所谓筝形,它的形状与我们生活中风筝的骨架相似. 定义：两组邻边分别相等的四边形,称之为筝形.如图,四边形ABCD 是筝形,其中AB AD =,CB CD =.判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形.②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.显然,菱形是特殊的筝形,就一般筝形而言,它与菱形有许多相同点和不同点.如果只研究一般的筝形(不包括菱形),请根据以上材料完成下列任务：数学试卷 第5页（共8页） 数学试卷 第6页（共8页）(1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；(2)请仿照图1的画法,在图2所示的88⨯网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案,具体要求如下： ①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都涂上阴影(建议用一系列平行斜线表示阴影).图1图220.(本小题满分10分)某公司招聘人才,对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试,其中(1)若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人,那么谁将被录用？ (2)根据实际需要,公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3:5:2的比确定每人的最后成绩,若按此成绩在甲、乙两人中录用一人,谁将被录用？(3)公司按照(2)中的成绩计算方法,将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图(每组分数段均包含左端数值,不包含右端数值,如最右边一组分数x 为8590x ≤＜),并决定由高分到低分录用8名员工,甲、乙两人能否被录用？请说明理由,并求出本次招聘人才的录用率.21.(本小题满分7分)如图,点A ,B ,C 表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB ,BC 表示连接缆车站的钢缆,已知A ,B ,C 三点在同一铅直平面内,它们的海拔高度'AA ,'BB ,'CC 分别为110米,310米,710米,钢缆AB 的坡度11:2i =,钢缆BC 的坡度21:1i =,景区因改造缆车线路,需要从A 到C 直线架设一条钢缆,那么钢缆AC 的长度是多少米？(注：坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)22.(本小题满分9分)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为246000米,施工队在绿化了222000米后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程. (1)该项绿化工程原计划每天完成多少2米？(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为562米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米？23.(本小题满分11分)课题学习：正方形折纸中的数学.动手操作：如图1,四边形ABCD 是一张正方形纸片,先将正方形ABCD 对折,使BC 与AD 重合,折痕为EF ,把这个正方形展平,然后沿直线CG 折叠,使B 点落在EF 上,对应点为'B .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--数学试卷 第7页（共8页） 数学试卷 第8页（共8页）图1图2图3数学思考：(1)求'CB F ∠的度数；(2)如图2,在图1的基础上,连接'AB ,试判断'B AE ∠与'GCB ∠的大小关系,并说明理由. 解决问题：(3)如图3,按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD 对折,使BC 与AD 重合,折痕为EF ,把这个正方形展平,然后继续对折,使AB 与DC 重合,折痕为MN ,再把这个正方形展平,设EF 和MN 相交于点O ；第二步：沿直线CG 折叠,使B 点落在EF 上,对应点为'B ；再沿直线AH 折叠,使D 点落在EF 上,对应点为'D ；第三步：设CG ,AH 分别与MN 相交于点P ,Q ,连接'B P ,'PD ,'D Q ,'QB .试判断四边形''B PD Q 的形状,并证明你的结论.24.(本小题满分13分)综合与探究：如图,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是平行四边形,A ,C 两点的坐标分别为(4,0),(2,3)-,抛物线W 经过O ,A ,C 三点,D 是抛物线W 的顶点.(1)求抛物线W 的解析式及顶点D 的坐标；(2)将抛物线W 和□OABC 一起先向右平移4个单位后,再向下平移(03)m m ＜＜个单位,得到抛物线'W 和□O A B C ''''.在向下平移的过程中,设□O A B C ''''与□OABC 的重叠部分的面积为S ,试探究：当m 为何值时S 有最大值,并求出S 的最大值；(3)在(2)的条件下,当S 取最大值时,设此时抛物线W '的顶点为F ,若点M 是x 轴上的动点,点N 时抛物线W '上的动点,试判断是否存在这样的点M 和点N ,使得以D ,F ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.。
重点高中自主招生数学试题8含答案
重点高中自主招生数学试题8含答案一.选择题：（每小题3分，共30分） 1．已知tan 33)20(0=-α，则锐角α的度数是（ ） A ．60°B.45°C.50°D.75°2．抛物线22y x =向左平移1个单位，再上平移3个单位，得到的抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（ ） Ａ.开口向上；x ＝-1；（-1，3） B.开口向上；x ＝1；（1，3） C.开口向下；x ＝1；（-1，-3） D.开口向下；x ＝-1；（1，-3） 3．把二次函数2y ax bx c =++ 的值恒为正，则a,b,c 应满足（ ）A ．2a>0,b 40.ac -> B. 20,40a b ac >-< C. 20,40a b ac <-> D. 20,40a b ac <-< 4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）．5．AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC=6米，52ACB ∠=,则拉线AC 的长为（ ）A.︒526sin 米 B. ︒526tan 米 C. 6·cos 52°米 D. ︒526cos 米 6．已知112233(2)(1)(2)P y P y P y --，，，，，是反比例函数 2y x=的图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是（ ） Ａ．321y y y <<Ｂ．123y y y << Ｃ．213y y y << Ｄ． 以上都不对7. 、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（ ）A ．变长B ．变短C ．先变长后变短D ．先变短后变长8. 已知关于x 的方程x 2―(2k ―1)x+k 2=0有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是( ) A ．0 B ．―1 C ．―2 D ．19.如图所示,在四边形ABCD 中，AD ∥BC,要使四边形ABCD 成为平行四边形还需要条件( ) A.AB=DC B. ∠1=∠2 C. AB=AD D.∠D=∠B10. 如图所示, ⊙O 是△ABC 的外接圆,已知∠ABO = 20º,则∠C 的度数为( ) A.45º B.60º C.70º D.90º二.填空题（每小题3分，共15分）A B C D 主视图左视图俯视图(第4题) ABC┐11．已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．12．初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度（如图），他们在离旗杆底部E 点30米的D 处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为30º，已知测角仪器高AD=1.4米，则旗杆BE 的高为________米（结果保留根号）．13． 如图四边形ABCD 内接于⊙O,AB 为直径,PD 切⊙O 于D,与BA 延长线交于P 点,已知∠BCD=130º,则∠ADP= .14. 如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 ㎝。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014年福州师大附中自主招生数学试卷
福建师大附中2014年创新班自主招生考试数学试卷姓名 准考证号 初中校 一、单项选择题（每小题6分，共48分） 1．下列运算正确的是（ ）A ．52234)2y x xy =（B ．2= C ．ππ-=-3)3(2D ． 130sin 60cos =-π2．—个几何体的正视图与左视图相同，均为右图所示，则其俯视图 可能是（ ）3．a 是实数，则||a a +（ ）A ．不可能是负数B ．可以是负数C ．必定是正数D ．可以是正数，也可以是负数4．若1122(,),(,)A x y B x y 为一次函数13-=x y 图象上的两个不同的点，且2121,0x x x x <≠，设22111,1x y N x y M +=+=，则（ ） A ． N M > B ．N M = C ． N M < D ． 无法确定 5．定义运算)1(b a b a -=⊗，则下面的结论正确的是（ ） A. 2(2)2⊗-=-B. a b b a ⊗=⊗C . 若0=+b a ，则ab b b a a 2)()(=⊗+⊗D .若0=⊗b a ，则0=a6. 已知关于x 的方程0124=+-ax x 无实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ． 22<<-aB ．0<aC ．02<<-aD ．2<a7． 如图，边长为1的正方形ABCD 的AB 边在直线MN 上. 正方形沿直线MN 作无滑动翻滚. 当A 第3次落在MN 上时(开始时A 点第1次落在MN 上)，A 点运动的路程为 （ ）A ．()π222+B ．π4C ．π22+D． π38．由10个非负整数构成的一组数据1021,,,x x x . 当它们的平均数、众数、中位数满足下列选项中的哪个时，可以保证1021,,,x x x 中最大的数据一定不超过7. （ ）． A ．平均数为2，众数为2，中位数为2； B ．平均数为3，中位数为4； C ．中位数为2，众数为3； D ．平均数为2，众数为3.CA●二、填空题（每小题5分，共20分）9．因式分解=--x x x 6141223.10．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++≤+-<+a x x x x 32121313有且只有三个不同的整数解，则实数a 的取值范围为 .11．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是),2)(,2(>a a P 半径为2，函数y =x 的图象被⊙P 所截得的弦AB的长为 a 的值是 .12．把正整数1，2，3，4，5，6…按某种规律填入下表.按照这种规律连续填写，2014出现在第行第 列. 三、解答题（共82分）13. (本题10分) 5名同学E D C B A ,,,,代表本校与兄弟学校进行乒乓球比赛. （1）随机选取1名同学参加单打比赛，求B 同学被选中的概率；（2）随机选取2名同学参加双打比赛，求B 同学被选中的概率.14．(本题12分) 如图，在平面直角坐标系中，点A （0，12），点B （6，0），抛物线2x y =沿O →B 方向进行平移，平移后的抛物线顶点为B ．（1）则直线AB 的解析式为=1y ；平移后的抛物线的解析式为=2y ；（2）求21y y <时x 的取值范围.15．(本题15分)某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10x元时，床位可以全部租出；当床价高于10元，每提高1元将有3张床位空闲. 为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位的收入必须高于支出.(1)若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租的床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入). 把y 表示为x 的函数，并求出自变量x 的取值范围；(2)问床位价格为多少时，该宾馆一天出租的床位的净收入最大，最大值为多少？16．(本题15分) 如图，点A 是函数)0(>=a xay 的图象在第一象限内分支上一点，过O 点作OA OB ⊥,交函数)0(>-=a xay 的图象在第二象限内分支于点B .点C 为x 轴正半轴上一点.(1)当o AOC a 60,3=∠=时，求①点A 的坐标； ②AOB ∆的面积AOB S ∆；(2)当1=a ，)0(tan >=∠k k AOC 时，求ABO ∠17．(本题15分)已知四边形ABCD 内接于以BC 为直径的⊙O ，A 为弧BD 中点，延长DA CB ,交于点P . (1)连结OA ，求证：CD OA //； (2)求证：PC PB PD PA ⋅=⋅；(3)过点C 作PD 的垂线交PD 的延长线于点E ，当18,==CD BO PB 时，求DE 的长.18．(本题15分)对非负实数x ，定义x “四舍五入”到个位的值记为x ，如,048.00==,146.153.0==,22= 432.45.3==(1)计算=2 ；(2)若3=x ，则x 的取值范围是 ；若n x =(n 为正整数)，则x 的取值范围是 ； (3)求满足x x 34=的所有非负实数x 的值； (4)若存在正数x ，使得kx x =，求k 的取值范围.。
数学_2014年福建省泉州市某校高中自主招生考试数学试卷(含答案)
2014年福建省泉州市某校高中自主招生考试数学试卷一、填空题（本大题共10小题；每小题5分，共50分）1. 某同学在使用计算器求30个数的平均值的时候，错将99误输入为9，那么由此求出的平均数与实际平均数的差的绝对值为________．2. 已知x＝1是关于x不等式组{x≤2x>a的一个解，那么实数a的取值范围是________．3. 如果(m−√m3)0=1，则实数m的取值范围为________．4. 已知：x=√10−12,y=√10+12，则xxy−y2−yx2−xy的值为________．5. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则该圆锥的底面半径为________．6. 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为________．7. 一束光线从y轴上的点A(0, m)出发，经过x轴上的点M(34,0)反射后恰好经过点B(3, 3)，则m＝________．8. 设点P是半径为5的⊙O内一定点，且OP＝4，则过点P的所有弦中，弦长可能取到的所有整数值之和为________．9. 如图，已知⊙O过正方形ABCD的顶点A、D，且与BC边相切，若⊙O的半径为1，则正方形的边长为________．10. 将1，−2，3，−4，5，−6…按一定规律排列如图，则第10行从左到右第9个数是________．二、解答题（本大题共6小题；共70分）11. 如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个等分点，连接AC、BE相交于点F．（1）求证：AB2＝AF⋅AC；（2）设AF＝m，CF＝n，求m:n的值．12. 已知函数y＝−x2的图象向右平移2个单位，再向上平移n(n>0)个单位后得到的抛物线C恰好与直线y＝−2x+8相切与点A．（1）求抛物线C得解析式；（2）若抛物线C的顶点为B，交y轴与点D，△ABD的外接圆交x轴与M、N两点，求MN的长．13. 为了探索代数式√x2+1+√(8−x)2+25的最小值，小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB＝1，DE＝5，BD＝8，设BC＝x．则AC=√x2+1，CE=√(8−x)2+25则问题即转化成求AC+CE的最小值．（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得√x2+1+√(8−x)2+25的最小值等于________，此时x＝________；（2）题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想？（选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想）（3）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值________．14. 已知关于x的方程(x−1)(x2−3x+m)=0，m为实数．(1)当m=4时，求方程的根；(2)若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m的值；(3)若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m的取值范围．15. 在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰长的比叫做顶角的正对（符号为sad）．如图1，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰=BC．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定AB的．根据上述角的正对定义，解决下列问题：（1）计算：sad60∘＝________；sad90∘＝________；sad120∘＝________；（2）对于0∘<A<180∘，则∠A的正对值sadA的取值范围是________；（3）如图2在直角三角形ABC中AC⊥BC，已知sinA=3，试求sadA的值．516. 当−1≤x≤1时，函数y＝−x2−2mx+2n+1的最小值是−4，最大值是0，求m、n 的值．2014年福建省泉州市某校高中自主招生考试数学试卷答案1. 32. a<13. m>0且m≠134. 4√1095. 2cm6. √39π7. 18. 409. 8510. −9011. 证明：A、B、C、D、E是⊙O上的五个等分点，∴ 五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形，其每个内角为(5−2)×1805=108，∴ ∠ABF＝∠BAF＝∠ACB＝36∘，∠CBF＝∠CFB＝72∘，∴ △ABF∽△ACB，AB＝BC＝CF，∴ ABAC =AFAB，∴ AB2＝AF⋅AC；由（1）有AB＝CF＝n，由AB2＝AF⋅AC＝AF⋅(AF+CF)，∴ n2＝m(m+n)，∴ m2+mn−n2＝0，即(mn )2+(mn)−1＝0，而mn>0，解得mn =√5−12．12. ．由抛物线的解析式可知：B(2，．∵ 由((1)可知：当n＝3时，直线与抛物线相切，∴ x2−6x+9＝0，解得：x＝3．∵ 将x＝3代入y＝−2x+8得：y＝2，∴ A(3,（2）．∵ 由两点间的距离公式可知AD2＝(3−0)2+(−1−(3)2＝18，BD2＝(2−0)2+(−1−(4)2＝20，AB2＝(3−(5)2+(2−(6)2＝2，∴ BD2＝BA2+AD2．∴ 三角形ABD为直角三角形．∵ 圆E是△ABD的外接圆，∴ E是BD的中点．∴ E(1,（7）．∴ ME ＝DE =12BD =12×2√5=√5，EF ＝1． ∵ EF ⊥MN ，∴ MF ＝FN ，∠EFM ＝90∘．在Rt △MEF 中，MF =√ME 2−EF 2=2．∴ MN ＝2MF ＝4．∴ MN 的长度为413. 10,43 数形结合的数学思想；1314. 解：(1)当m =4时，方程为(x −1)(x 2−3x +4)=0，得x −1=0或x 2−3x +4=0，由x −1=0得x =1，由x 2−3x +4=0，得Δ=9−16=−7<0，该方程无实数解，故方程的实根为x =1.(2)由x −1=0，得x 1=1．由x 2−3x +m =0，得Δ=9−4m ≥0，所以m ≤94，设方程两根为x 2，x 3，若x 2=1，则1−3+m =0，得m =2，方程为x 2−3x +2=0，解得x 2=1，x 3=2符合题意；若x 2=x 3时，Δ=9−4m =0，得m = 94， 方程为x 2−3x +94=0， 得x 2 = x 3 = 32，符合题意，综上，m =2或m = 94.(3)方程的三个实根满足x 1=1，由x 2−3x +m =0，得Δ=9−4m ≥0，设方程两根为x 2，x 3，则x 2+x 3=3，x 2⋅x 3=m >0，因为方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，则{x 2⋅x 3=m >0，Δ=9−4m ≥0，|x 2−x 3|<1，由|x 2−x 3| = √(x 2 + x 2)2 − 4x 2x 3 = √9 − 4m < 1，得m >2，解得2< m ≤ 94． 15. 1,√2,√30<sadA <2过B 作BD ⊥AC 于D ，如图3，∴ sinA =35=BD AB ， 设BD ＝3x ，AB ＝5x ，由勾股定理得AD ＝4x ，∴ DC ＝5x −4x ＝x ，在Rt △BDC 中，BC =√BD 2+DC 2=√10x ，∴ sadA =BCAB =√10x 5x =√105．16. y ＝−x 2−2mx +2n +1＝−(x +m)2+m 2+2n +1，其对称轴为直线x ＝−m ，①当−m ≤−1，即m ≥1时，{−1−2m +2n +1=−4−1+2m +2n +1=0， 解得{m =1n =−1， ②当−1<−m <0，即0<m <1时，{m 2+2n +1=0−1−2m +2n +1=−4， 消去n 得，m 2+2m −3＝0，解得m ＝1或m ＝−3，舍去；③当 0<−m <1，即−1<m <0时，{m 2+2n +1=0−1+2m +2n +1=−4解得m ＝−1或m ＝3，舍去；④当−m ≥1，即m ≤−1时，{−1−2m +2n +1=0−1+2m +2n +1=−4， 解得{m =−1n =−1， 综上所述m ＝1，n ＝−1或m ＝−1，n ＝−1．。
2014年福建福州高级中等学校招生考试数学试卷
2014年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分;每小题只有一个正确的选项)1.-5的相反数是()A.-5B.5C.D.-2.地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时,将110000用科学记数法表示为()A.11×104B.1.1×105C.1.1×104D.0.11×1063.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥4.下列计算正确的是()A.x4·x4=x16B.(a3)2=a5C.(ab2)3=ab6D.a+2a=3a5.若7名学生的体重(单位:kg)分别是:40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是()A.44B.45C.46D.476.下列命题中,假命题．．．是()A.对顶角相等B.三角形两边的和小于第三边C.菱形的四条边都相等D.多边形的外角和等于360°7.若(m-1)2+=0,则m+n的值是()A.-1B.0C.1D.28.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的是()A.=B.-=C.= D.=-9.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°10.如图,已知直线y=-x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y=交于E,F两点.若AB=2EF,则k的值是()A.-1B.1C.D.第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分;请将正确答案填在相应位置)11.分解因式:ma+mb=.12.若5件外观相同的产品中有1件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是.13.计算:(+1)(-1)=.14.如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=BC.若AB=10,则EF的长是.三、解答题(满分90分;请将正确答案及解答过程写在相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑)16.(每小题7分,共14分)(1)计算:++|-1|;(2)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=.17.(每小题7分,共14分)(1)如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D;(2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.①sin B的值是;②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连结AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.图1图2设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分.规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B 级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了名学生,a=%;(2)补全条形统计图;(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为度;(4)若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?19.(满分12分)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B两种商品每件各是多少元;(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过．．．300元,问有几．．．350元,且不低于种购买方案,哪种方案费用最低?如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,☉O为△ACD的外接圆.(1)求BC的长;(2)求☉O的半径.21.(满分13分)如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.(1)当t=秒时,则OP=,S△ABP=;(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B.求证:AQ·BP=3.图1图2备用图如图,抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连结AE,AD.求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E 的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.备用图答案全解全析：一、选择题1.B只有符号不同的两个数互为相反数,-5的相反数是5,故选B.评析本题考查相反数的定义,属容易题.2.B科学记数法的表示形式为a×10n,1≤|a|<10,故110000=1.1×105,故选B.评析本题考查科学记数法的定义,属容易题.3.D由主视图和左视图为三角形知此几何体为锥体,由俯视图为圆可推得此几何体为圆锥.评析本题考查由三视图抽象出几何体和学生的空间想象能力,属容易题.4.D x4·x4=x4+4=x8,A选项错误;(a3)2=a3×2=a6,B选项错误;(ab2)3=a3·b2×3=a3b6,C选项错误;根据合并同类项法则知,D选项正确,故选D.5.C这组数据的平均数是=46,故选C.评析本题考查数据分析中的平均数的计算方法,属容易题.6.B根据三角形三条边之间的关系可知B是错误的,故选B.7.A∵(m-1)2+=0,∴-∴-∴m+n=-1,故选A.8.A根据“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”可以列出方程=,故选A.评析本题考查分式方程的应用,根据题意正确找出等量关系是关键,属容易题.9.C由已知得AB=AE,∠BAE=150°,∴∠ABF=15°,∴∠BFC=∠ABF+∠BAF=60°.评析本题考查正方形、等边三角形、等腰三角形的性质,属中等难度题.10.D如图,作ED⊥OB,EC⊥OA,FG⊥OA,垂足分别为D,C,G,ED交FG于H,易得A(2,0),B(0,2),∴△ACE、△AOB、△EHF都是等腰直角三角形,又∵AB=2EF,∴EH=FH=1,设OG=x,∴AC=EC=1-x,∴E(x+1,1-x),F(x,2-x).又∵点E、F在双曲线上,∴(x+1)(1-x)=x(2-x),解得x=,∴E,k=.评析本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题,相似三角形的判定和性质,属难题.二、填空题11.答案m(a+b)解析ma+mb=m(a+b).评析本题考查提公因式法分解因式,属容易题.12.答案解析5件外观相同的产品中有1件不合格,从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是.评析本题考查概率,属容易题.13.答案1解析(+1)(-1)=()2-12=2-1=1.评析本题考查二次根式的运算法则和平方差公式,属容易题.14.答案20解析∵四边形ABCD是平行四边形,AD=6,BE=2,∴BC=AD=6,∴EC=4.又∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠EDC.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠EDC.∴CD=EC=4.∴▱ABCD的周长是2×(6+4)=20.评析本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定,属中等难度题. 15.答案5解析∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,AB=10,∴AD=5,AE=EC,DE=BC,∠AED=90°.∵CF=BC,∴DE=FC.在Rt△ADE和Rt△EFC中,∵AE=EC,∠AED=∠ECF=90°,DE=FC,∴Rt△ADE≌Rt△EFC(SAS).∴EF=AD=5.评析本题考查三角形中位线定理,属中等难度题.三、解答题16.解析(1)原式=3+1+1=5.(2)原式=x2+4x+4+2x-x2=6x+4.当x=时,原式=6×+4=6.评析本题考查了实数的运算,属容易题.17.解析(1)证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.又∵AB=DC,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE.∴∠A=∠D.(2)①.②如图所示.由轴对称的性质可得,AA1=2,BB1=8,梯形AA1B1B的高是4.=(AA1+BB1)×4=20.∴梯形评析本题考查了全等三角形的判定与性质,属容易题.18.解析(1)50;24.(2)如图所示.综合评定成绩条形统计图(3)72.(4)该校D级学生约有2000×=160(名).评析本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比,属容易题.19.解析(1)设A商品每件x元,B商品每件y元.依题意,得解得答:A商品每件20元,B商品每件50元.(2)设小亮准备购买A商品a件,则购买B商品(10-a)件.依题意,得--解得5≤a≤6.根据题意知,a的值应为整数,所以a=5或a=6.方案一:当a=5时,购买费用为20×5+50×(10-5)=350元;方案二:当a=6时,购买费用为20×6+50×(10-6)=320元.∵350>320,∴购买A商品6件,B商品4件的费用最低.答:有两种购买方案,方案一:购买A商品5件,B商品5件;方案二:购买A商品6件,B商品4件.其中方案二费用最低.20.解析(1)过点A作AE⊥BC,垂足为E.∴∠AEB=∠AEC=90°.在Rt△ABE中,∵sin B=,∴AE=AB·sin B=3·sin45°=3×=3.∵∠B=45°,∴∠BAE=45°.∴BE=AE=3.在Rt△ACE中,∵tan∠ACB=,∴EC==°==.∴BC=BE+EC=3+.(2)由(1)得,在Rt△ACE中,∠EAC=30°,EC=,∴AC=2.解法一:连结AO并延长交☉O于M,连结CM.∵AM为直径,∴∠ACM=90°.在Rt△ACM中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sin M=,=4.∴AM==°∴☉O的半径为2.解法二:连结OA,OC,过点O作OF⊥AC,垂足为F,则AF=AC=.∵∠D=∠ACB=60°,∴∠AOC=120°.∴∠AOF=∠AOC=60°.在Rt△OAF中,∵sin∠AOF=,∴AO==2,即☉O的半径为2.评析本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数的应用,属中等难度题.21.解析(1)1;.(2)①∵∠A<∠BOC=60°,∴∠A不可能为直角.②当∠ABP=90°时,∵∠BOC=60°,∴∠OPB=30°.∴OP=2OB,即2t=2.∴t=1.③当∠APB=90°时,作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90°.∵OP=2t,∴OD=t,PD=t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形).解法一:BP2=(1-t)2+3t2,AP2=(2+t)2+3t2.∵BP2+AP2=AB2,∴(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,即4t2+t-2=0.解得t1=-,t2=--(舍去).解法二:∵∠APD+∠BPD=90°,∠B+∠BPD=90°,∴∠APD=∠B.又∵∠ADP=∠PDB=90°,∴△APD∽△PBD,∴=,∴PD2=AD·BD.于是(t)2=(2+t)(1-t),即4t2+t-2=0.解得t1=-,t2=--(舍去).综上,当△ABP是直角三角形时,t=1或-.(3)证法一:∵AP=AB,∴∠APB=∠B.作OE∥AP,交BP于点E,∴∠OEB=∠APB=∠B.∵AQ∥BP,∴∠QAB+∠B=180°.又∵∠3+∠OEB=180°,∴∠3=∠QAB.又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,已知∠B=∠QOP,∴∠1=∠2.∴△QAO∽△OEP.∴=,即AQ·EP=EO·AO.∵OE∥AP,∴△OBE∽△ABP.∴===.∴OE=AP=1,BP=EP.∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=×2×1=3.证法二:连结PQ,设AP与OQ相交于点F.∵AQ∥BP,∴∠QAP=∠APB.∵AP=AB,∴∠APB=∠B.∴∠QAP=∠B.又∵∠QOP=∠B,∴∠QAP=∠QOP.∵∠QFA=∠PFO,∴△QFA∽△PFO.∴=,即=.又∵∠PFQ=∠OFA,∴△PFQ∽△OFA.∴∠3=∠1.∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,已知∠B=∠QOP,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴△APQ∽△BPO.∴=.∴AQ·BP=AP·BO=3×1=3.22.解析(1)顶点D的坐标为(3,-1).令y=0,得(x-3)2-1=0,解得x1=3+,x2=3-.∵点A在点B的左侧,∴点A坐标为(3-,0),点B坐标为(3+,0).(2)证明:过D作DG⊥y轴,垂足为G,则G(0,-1),GD=3.令x=0,则y=,∴点C坐标为.∴GC=-(-1)=.设对称轴交x轴于点M.∵OE⊥CD,∴∠GCD+∠COH=90°.∵∠MOE+∠COH=90°,∴∠MOE=∠GCD.又∵∠CGD=∠OME=90°,∴△DCG∽△EOM.∴=,即=.∴EM=2,即点E的坐标为(3,2),∴ED=3.由勾股定理,得AE2=6,AD2=3,∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.∴△AED是直角三角形,且∠DAE=90°.设AE交CD于点F.∴∠ADC+∠AFD=90°.又∵∠AEO+∠HFE=90°,∠AFD=∠HFE,∴∠AEO=∠ADC.(3)由☉E的半径为1,根据勾股定理,得PQ2=EP2-1.要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.设点P的坐标为(x,y),由勾股定理,得EP2=(x-3)2+(y-2)2.∵y=(x-3)2-1,∴(x-3)2=2y+2.∴EP2=2y+2+y2-4y+4=(y-1)2+5.当y=1时,EP2取最小值,为5.把y=1代入y=(x-3)2-1,得(x-3)2-1=1,解得x1=1,x2=5.又∵点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x1=1舍去.∴点P的坐标为(5,1).此时Q点坐标为(3,1)或.评析本题是压轴题,涉及考点众多,难度较大.第(2)问中,注意观察图形,将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题,综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数(或相似形)求解;第(3)问中,解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题,注意求EP2最小值的具体方法.属难题.。
2014福建省重点高中自主招生数学试卷及答案
ABCD（第7题图）提前招生考试考前训练题（二）考试时间：90分钟 满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确答案）1.若2,4==c b b a ,则cb b a ++的值为（ ）.Ａ．310 Ｂ．311 Ｃ．3 Ｄ．382.小蒋和小潘两人电脑打字比赛，小蒋每分钟比小潘少打8个字，小蒋打800个字和小潘打880个字所用的时间相等.设小蒋打字速度为x 个/分钟，则下列方程正确的是（ ）.Ａ．x x 8808800=+ Ｂ．x x 8808800=- Ｃ．8880800+=x x Ｄ．8880800-=x x 3.袋中有6个球（除颜色不同外，其它完全相同），其中白球3个，红球2个，黑球1个，如果从中随机摸出2个球，那么这两个均为白球的概率为（ ）. Ａ．31 Ｂ．41 Ｃ．51 Ｄ．614.方程组2121x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩的解x 、y 满足不等式21x y ->，则a 的取值范围为（ ）.Ａ．21≥a Ｂ．31>a Ｃ．32≤a Ｄ．23>a 5.在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为BC 边上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）. Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．4.8 Ｄ．2.4 6.已知23-=+b a ,1-=ab ,则)2)(2(b a b a --的值为（ ）. Ａ．227 Ｂ．229 Ｃ．427 Ｄ．4297.如图，在四边形ABCD 中，AB=32，CD =2，∠A =∠C =90°， ∠B =60°,则AD 的长为（ ）.Ａ．233 Ｂ．13+ Ｃ．3 Ｄ．28.如图，在平面直角坐标系xoy 中，正方形ABCD 的顶点坐标分别 为A （1，1），B （1，-1），C （-1，-1），D （-1，1）,将y 轴上 一点P （0，2）绕点A 旋转180°得到点P 1；将点P 1绕点B 旋转 180°得到点P 2；将点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3；将点P 3 绕点D 旋转180°得到点P 4；……重复以上操作，依次得到点 P 1、P 2、P 3、P 4、……，则点P 2014的坐标是（ ）.Ａ．（0，2） Ｂ．（2，0） Ｃ．（0，-2） Ｄ．（-2，0）9. 函数1121≥<⎪⎩⎪⎨⎧+=x x xx y ，当a y =时，对应的x 有两个不相等的值，则a 的取值范围（ ）.Ａ．1≥a Ｂ．0>a Ｃ．20≤<a Ｄ．20<<a10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠DAB =60°,点 O 为射线AC 上动点，动圆⊙O 始终与射线AB 相切，研究⊙O 与菱形ABCD 各边交点总个数的情况，以下论述正确的是（ ）. ①最少有1 个交点； ②最多有6 个交点；③共有6种不同的情况；④有2个交点时，30<<AO ；⑤有3个交点时. 334=AOＡ．①②⑤ Ｂ．②③⑤ Ｃ．①③④ Ｄ．②④⑤二、填空题（本大题5小题，共20分）11.如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是 3cm . 12.在半径为1的圆中，有两条弦AB 、AC ，其中AB =3，AC =2，则∠BAC 的度数为 ．13．一个半径为1cm 的圆在边长为6cm 的正三角形内部任意移动（圆与正三角形的边可以相切），则圆在正三角形内不能达到部分的面积为 2cm .BA CDP xy O （第8题图）4cm10cm主视图 左视图俯视图（第11题图）EABC PFM（第5题图）ABCDO（第10题图）B C D E OA （第18题图） 14.已知关于x 的二次函数y =14)3(2-++-px p px ，对任意实数x ,函数值y 都为负，则实数p 的取值范围是 .15.对于非负实数x 经“四舍五入”精确到个位的值记为{x }，即：当n 为非负整数时，如果2121+<≤-n x n ，则{x }=n ，如：{0.69}=1，{2.3}=2，则下列结论： ①{x }-x =0； ②{57}=1； ③若{x -1}＞2，则2.5＜x ≤3.5； ④{x +y }={x }+{y }不恒成立； ⑤满足{x }=x 34的x 只有三个非负实数. 其中一定正确的结论有 . （填写序号）三、解答题（本大题5小题，共50分）16．（本题满分5分）()2342112333--⎪⎭⎫⎝⎛-++--π17．（本题满分5分）解关于x 的方程：mx -2=3m +5x18. （本题满分10分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 的长为半径的圆分别交AC ，AB 于点D 、E ，且BD 为⊙O 的切线， (1)求证：△ADE ∽△BCD ； (2)若BC =4，BD =5，求sin A 的值.19.（本题满分15分）如图，在一个坡度i =1︰7的斜坡面BD 上，架设两根高度均为10米的电杆DC 和BA ，水平距离DE 为14米，电线在空中架设时，A 、C 两端挂起的电线下垂近似成抛物线2981x y =形状，在竖直方向上，求下垂电线与坡面的距离MF 的最小值.20.（本题满分15分）定义：一条直线平分三角形的面积称这条直线为三角形的“等积线”，平分三角形的周长称这条直线为三角形的“等周线”，已知在直角坐标系中，点O 为坐标原点，A (4，3)，B (4，-3).（1）过点A 是否存在直线l ，既是△AOB 的“等积线”又是“等周线”，请说明理由. （2）当点P 在线段OA 上，点Q 在线段OB 上，直线PQ 为△AOB 的“等周线”，求Q P y y -； （3）当点M 在线段OB 上，点N 在线段AB 上，直线MN 既是△AOB 的“等积线”又是“等周线”，①求OM 的长；②平面上是否还有既是△AOB 的“等积线”，又是“等周线”的直线？若有，请画出所有情况的示意图.A B C D E （第19题图2） A B x y （第20题图1）AB x y （第20题图2） A B x y （第20题图3） OC O O P Q M N-3-2-14321-15432-3-2-14321-15432-3-2-14321-15432111A C D E B ED （第19题图1） MF提前招生考试考前训练题（二）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.A ；2.C ；3.C ；4.B ；5.D ；6.A ；7.D ；8.C ；9.D ；10.B .二、填空题（本大题5小题，共20分）11.3240；12.75°或15°；13.（π-33）；14.109-<p ；15.②④⑤ 三、解答题（本大题5小题，共50分）16．（本题满分5分）解：原式=()()42381231----+……………………2分=42383231+---+ ……………………4分 =6- ……………………5分17．（本题满分5分）解： 235+=-m x mx()235+=-m x m ……………………2分（1）当5≠m 时，523-+=m m x ； ……………………4分（2）当5=m 时，此方程无解. ……………………5分18. （本题满分10分） (1)证明：连接DE 、OD ∵BD 为⊙O 的切线 ∴OD ⊥BD∴∠BDO =90° …………………1分 ∵∠BDC +∠BDO +∠ODA =180° ∴∠BDC +∠ODA =90° ∵OD =OA ∴∠A =∠ODA …………………2分 ∴∠BDC +∠A =90° ∵∠C =90°∴∠BDC +∠CBD =90°∴∠A =∠CBD ………………4分 ∵AE 为⊙O 的直径∴∠EDA =90°=∠C ……………………5分 ∴△ADE ∽△BCD ……………………6分 (2)在Rt △BCD 中，BC =4，BD =5∴3162522=-=-=BC BD CD ………………7分∴sin ∠CBD =53=BD CD ……………………8分 ∵ ∠A =∠CBD ∴sin A =sin ∠CBD =53……………………10分 19.（本题满分15分）解：如图，以点A 为原点建立坐标系，……………………1分∵DC =BA =10米∴点B 的坐标为（0，-10）∵斜坡的坡度i =1︰7，DE =14米 ∴BE =2米∴点D 的坐标为（14，-12）点C 的坐标为（14，-2） ……………4分设抛物线AC 的解析式为bx x y +=2981， 直线BD 的解析式为n mx y +=代入点的坐标可确定解析式为：x x y 729812-=；1071--=x y ……………10分设抛物线上任一点M （M x ，M M x x 729812-）， 如右图过点M 作x 轴的垂线交BD 于F ， 则点F 的坐标为（M x ，1071--M x ） ∴()21979811071981107172981222+-=+-=++-=-=M M M M M M F M MF x x x x x x y y y ………………13分 ∴下垂的电线与坡面的最近距离为219米. ………………15分说明：BC DEOAABCDE xyMF(1)若以D 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为109812+=x y ，直线BD 的解析式为x y 71-=； (2)若以C 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为2981x y =，直线BD 的解析式为1071--=x y ； (3)若以E 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为12729812+-=x x y ，直线BD 的解析式为271+-=x y ； (4)若以B 为原点建立平面直角坐标系，则抛物线AC 的解析式为10729812+-=x x y ，直线BD 的解析式为x y 71-=. 20.（本题满分15分）解：（1）不存在． …………………1分若直线AC 平分△AOB 的面积，那么S △AOC =S △ABC两个三角形高相等， …………………3分 ∴OC =BC ，∵AO ≠AB ，∴AO +OC ≠BC +BA∴不存在． …………………4分（2）易得直线OA 的解析式为x y 43=，直线OB 的解析式为x y 43-=.…5分设点P （4t ，3t ），则OP =5t∵直线PQ 为△AOB 的“等周线” ∴OQ =8-5t∴Q （t t 3524,4532+--） ……………………7分 从而524=-Q P y y ……………………8分（3）①设N （4，k ），则NB =k +3∵直线MN 为△AOB 的“等周线” ∴MB =8-（k +3）=5-k ∴OM =OB -MB =k设M （k 54，k 53-）……………………10分 ∵12=∆AOB S ，直线MN 为△AOB 的“等积线” ∴6=∆MNB S ……………………11分 ∴()6544321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+k k 解得0,221==k k从而2=OM 或0=OM ………13分②如下图所示，共有三条既是△AOB 的“等积线”，又是“等周线”的直线，它 们分别是l 1、l 2和x 轴. ……………………15分 说明：在示意图中，少画l 1和x 轴不扣分，少画l 2和多画不得分.A B x y （第20题图1）A B x y （第20题图2） A B xy （第20题图3） O CO O P Q M N -3-2-14321-15432-3-2-14321-15432-3-2-14321-15432111-3-2-14321-154321 ABxyOl 2l 1。
福州三中2014年高中自主招生考试数学试卷
福州三中2014年高中自主招生考试数 学 试 题（满分：100分 考试时间：60分钟）一、选择题(每题6分,满分60分.下列各题的四个选项中只有一个是正确的，请将你的选择填写在答题卡选择题1~10的位置.)1．如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A.22<<-aB.23≤<aC.23≤<-aD.23≤≤-a2．下列命题中正确的个数有（ ）① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 3．如图，有一半径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90︒的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径长为（ ） A.2米 B. 22米 C. 42米 D. 82米4．一组样本容量为5的数据中，其中5.21=a ，2a 3.5=，43=a ，4a 与5a 的和为5，当4a 、5a 依次取（ ）时，这组样本方差有最小值。
A ．1.5 , 3.5 B.1 , 4 C. 2.5 , 2.5 D. 2 , 35．已知实数a满足|2006|a a -=，那么22006a -的值是（ ）A.2005B.2006C.2007D.20086．函数y ＝1x -图象的大致形状是（ ）AB C Dy x O y x O y x O yxO7．若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） A ．第一、二象限 B.第一、二、三象限C ．第二、三、四象限 D.第三、四象限8. 已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）9. 对每个x ，y 是x y 21=,1223,232+-=+=x y x y 三个值中的最小值，则当x 变化时，函数y 的最大值是（ ）A ． 4B ． 6C ． 8D ． 48710.在三角形ABC 中AB <AC <BC ，若在BC 上存在一点D ，使把这三角形沿AD 剪开后的两个三角形相似，且较大的三角形面积是较小三角形面积的2倍，则AB :AC :BC =（ ）A ． B. 1:2:3 C. 1:4:9 D.以上答案均不对二、填空题(每题6分,满分30分.请将答案填写在答题卡“非选择题”中第1框内，并按以下图示作答.)11．已知113x y+=，则5334xy x y x y xy --+-的值等于 。
2014自主招生数学模拟试题及答案
数学模拟试题(第一套)一、选择题1.在ABC ∆中，c b a 3=+，则C B A cos cos cos 的最大值为（ ）.A.817 B. 81 C. 91 D. 818 2. 在正四棱锥ABCD P -中，M ，N 分别为PB ，PD 的中点，且侧面棱长等于底面边长.则异面直线AM 与BN 所成角的余弦为（ ）.A. 61B. 31C. 32D. 433.掷两枚骰子(每枚有6面，分别是6~1点)，掷到两枚点数之和为7点以下的概率为（ ）.A. 61B. 125C. 32D. 214.直线1)1(+-=x k y 与曲线21x y -=有两个公共点，则k 的取值范围是（ ）. A. ]21,0( B. ),0(+∞ C. )21,0( D. ),21(+∞ 5.从10个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到( )种面值.A. 70B. 68C. 66D. 646.有A ，B ，C 三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律:每经过一定时间A 景点的游客会到B 景点，B 景点的游客会到C 景点，而C 景点的游客会有一半到A 景点，一半到B 景点，则经过一段时间达到平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量之比为（ ）A. 1:1:1B. 3:2:1C. 2:2:1D. 3:2:2 7. 在ABC ∆中，在AB 上取点1C 使得AB AC 411=，在BC 上取点1A 使得BC BA 411=，在CA 上取点1B 使得CA CB 411=，1BB 与1CC 交于点2A ，1CC 与1AA 交于点2B ，1AA 与1BB 交于点2C .则=∆∆ABCC B A S S 222（ ）A.134 B. 74 C. 135 D. 95 8. 从9~1九个数字中取出6个，得到一个顺子(即至少有5个数为连续整数)的棋率为（ ）.A. 6966A A 4B. 5955A A 5C. 69665955A A 4A A 5-D. 69665955A A 5A A 4- 9. 光线从原点发出，经直线013=+-y x 反射后经过点)0,1(，则光线在直线上的入射点为（ ）.A. )0,1(-B. )33,0(C. )332,1(D. )33,2(-- 10.63)1(xx x ++的展开式中2x 的系数为（ ）. A. 20 B. 30 C. 40 D. 50二、解答题11. 在边长为2的正方体为1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点.求点1A 到面ACD 的距离.12. 有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是 64，66，68，70.求这4个数.13. 在ABC ∆中，已知2sin cos sin cos =+ABB A .求证： 90=∠C .13. 把600粒花生分给100只猴子.请证明不管怎样分，至少有8只猴子分的花生一样多.14. 已知a ，b ，c 为正数.求证：2222cb a b ac c a b c b a ++≥+++++.数学模拟试题（第一套）答 案一、选择题1.利用正弦定理，将边的关系转化为角的关系，)sin(3sin 3sin sin B A C B A +==+，2cos 2sin 32cos 2sinB A B A B A B A ++=-+，2cos 32cos B A B A +=-.而12cos ≤-BA 所以312cos≤+B A ，所以97)cos(-≤+B A ，即97cos ≥C . CC C B A B A C B A cos )cos 1(21cos )]cos()[cos(21cos cos cos -≤++-=81781)2197(2181)21(cos 2122=+-⨯-≤+--=C . 答案： A10. 不妨设棱长为1，取PN 的中点E ，连接ME ，AE .在PAD ∆中，由余弦定理求出413=AE ，在AME ∆中，23=AM ，4321==BN EM ，由余弦定理求出61cos =∠AME . 答案: A11. 解法一:当第一枚1点，第二枚可以1，2，3，4，5点；当第一枚2点，第二枚可以1，2，3，4；当第一枚3点，第二枚可以1，2，3；当第一枚4点，第二枚可以1，2；当第一枚5点，第二枚可以1点，共15种情况，概率为1256152=. 答案： B 解法二:先算和为7点的概率为61，而剩余情况65中，大于7点的概率等于小于7点的概率，各为125. 答案： B12. 由数形结合，过点)1,1(的直线与单位圆的上半圆相交，斜率k 的范围为]21,0(. 答案: A13. 可得到的面值有2，4，5，6，…，64，65，66，68，70，从4到66是连续的，所以共66种. 答案: C14. 设到达平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量分别为x ，y ，z ，则2z x =，2zx y +=，y z =，所以2:2:1::=z y x . 答案： C7. 作11//CC D A ，则4111==BC BA BC BD ，而AB BC 431=，故AB BD 163=，AB AB AB D C 169163431=-=，所以4911221==AC D C AB B A ，13412=AA AB .类似的方法可求出131121=AA C A ，于是1AA 上的三条线段之比1:8:4.同样，可得1BB ，1CC 上的三条线段之比也都是1:8:4.27163298222212221222=⋅=⋅=∆∆C B B A B A C B S S C B A C B A ，139121121==∆∆AA B A S S C AA C B A ，4311==∆∆BC C A S S ABCC AA ，所以134431392716222=⋅⋅=∆∆ABC C B A S S . 答案： A15. 取到12345，⋅⋅⋅，56789之一的概率为5955A A 5，取到123456，…，456789之一的概率为6966A A 4所以得到一个顺子的概率为69665955A A 4A A 5-. 答案： C 16. 入射角等于出射角，进而算出斜率. 答案:B 17. 2x 可以是2个3x 和4个x 1的乘积，也可以是4个x 和2个x1的乘积，所以概率为3056C C C C 22464426=⋅=+. 答案： B二、解答题11. 取AC 的中点F ，容易求出DEF ∆的高DH （就是D 点到面ACD 的距离)为36.因为DE AA //1,DE AA 21=,所以1A到面ACD 的距离为D 点到面ACD 的距离的2倍,即362. 12. 设4个数为a ，b ，c ，d ，且d c b a <<<，则6个和为b a +，c a +，d a +，c b +，d b +，d c +.于是有d c d b c b d a c a b a +<+<+<+<+<+或d c d b d a c b c a b a +<+<+<+<+<+则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+70686664c b d a c a b a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+68706664c b d a c a b a ，分别解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====38363430d c b a ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====39353331d c b a13. B A B B A A sin sin 2cos sin cos sin =+，B A B A sin sin 42sin 2sin =+， cos()cos()cos()sin(B A B A B A B A +--=-+， C B A B A C cos )cos()cos(sin +-=-.以下用反证法：假设1sin ≠C ，则CCB A sin 1cos )cos(--=-.只要证明1sin 1|cosC |>-C ，就导致矛盾.事实上，利用)21(1sin cos π<<>+x x x 即得，所以假设1sin ≠C 不成立，即90=∠C .14. 假设没有8只猴子分的花生一样多，那么至多7只猴子分的花生一样多.我们从所需花生最少情况出发考虑:分得0粒，1粒，2粒，…….13粒的猴子各有7只，分得14粒，15粒花生的猴子各有1只，于是100只猴子最少需要分的花生为6661514)13210(7=+++⋅⋅⋅+++⨯粒，现在只有600粒花生，无法使得至多7只猴子分的花生一样多，故至少有8只猴子分的花生一样多.15. 利用柯西不等式2222222)())((cz by ax z y x c b a ++≥++++，得⎝⎛+++++≥++++++++)()()])()()[((22222a c a c bc b cb a b a ac c b b a c a c b c b a222)()(c b a b a b a c++=⎪⎪⎭⎫+++.所以2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++。
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Ｂ． 5
Ｃ． 4.8
Ｄ． 2.4
3 , ab 2
1 , 则 (2a
Ｂ． 29 2
b)( a 2b) 的值为（
Ｃ． 27 4
）.
Ｄ． 29 4
C
F
P
M
A
E
B
（第 5 题图）
7. 如图，在四边形 ABCD 中， AB= 2 3 ， CD=2，∠ A=∠ C=90°，
A
∠ B=60° , 则 AD 的长为（
认真审题
耐心答题
2014年福建省南平一中自主招生数学学科试卷
考试时间： 90 分钟 满分 100 分
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 每小题只有一个正确答案）
1. 若 a 4, b 2, 则 a b 的值为（
）.
bc
bc
Ａ． 10 3
Ｂ． 11 3
Ｃ． 3
Ｄ． 8 3
AC= 2 ，则∠ BAC 的度数为
．
13．一个半径为 1cm 的圆在边长为 6cm 的正三角形内部任意移
动（ 圆与正三角形的边可以相切 ），则圆在正三角形内不能
达到部分的面积为
cm2 .
10cm
主视图
左视图
4cm
俯视图
（第 11 题图）
1
认真审题耐心答题14. Nhomakorabea已知关于
x 的二次函数
y=
2
px
( p 3) x
Ｂ． a 0
Ｃ． 0 a 2
Ｄ． 0 a 2
10. 如图， 菱形 ABCD 的边长为 2，∠ DAB=60° , 点 O 为射线 AC 上动点， 动圆⊙ O 始终与射线
AB 相切，研究⊙ O 与菱形 ABCD 各边交点总个数的 情况，以下论述正确的是（
）.
①最少有 1 个交点； ②最多有 6 个交点；
）.
D
Ａ． 3 3 2
Ｂ． 3 1
Ｃ． 3
Ｄ． 2
B
C
（第 7 题图）
8. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，正方形 ABCD 的顶点坐标分别 为 A（ 1，1）， B（ 1，-1 ）， C（ -1 ，-1 ）， D（ -1 ， 1）, 将 y 轴上 一点 P（ 0，2）绕点 A 旋转 180°得到点 P1；将点 P1 绕点 B 旋转 180°得到点 P2；将点 P2 绕点 C 旋转 180°得到点 P3；将点 P3 绕点 D 旋转 180°得到点 P4；,, 重复以上操作，依次得到点
③共有 6 种不同的情况；④有 2 个交点时， 0 AO 3 ；
D
C
⑤有 3 个交点时 . AO 4 3 3
Ａ．①②⑤
Ｂ．②③⑤
Ｃ．①③④ Ｄ．②④⑤
二、填空题（本大题 5 小题，共 20 分）
11. 如图是一个包装盒的三视图，则这个包装盒的体积是
O
A
B
（第 10 题图）
cm3 .
12.在半径为 1 的圆中，有两条弦 AB、 AC，其中 AB= 3 ，
B
(2) 若 BC =4， BD =5，求 sin A 的值 .
E
O
C
D
A
（第 18 题图）
19. （本题满分 15 分）如图，在一个坡度 i=1︰ 7 的斜坡面 BD 上，架设两根高度均为 10 米的
电杆 DC 和 BA，水平距离 DE 为 14 米，电线在空中架设时， A、 C 两端挂起的电线下垂近
17．（本题满分 5 分）解关于 x 的方程： mx-2=3 m+5x
18. （本题满分 10 分）在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，点 O 在 AB 上，以 O 为圆心， OA 的长为
半径的圆分别交 AC，AB 于点 D、 E，且 BD 为⊙ O 的切线，
(1) 求证：△ ADE∽△ BCD；
y
P
D
A
O
x
C
B
P1、 P2、 P3、P4、 ,, ，则点 P2014 的坐标是（
）.
Ａ．（ 0， 2） Ｂ．（ 2，0） Ｃ．（ 0， -2 ） Ｄ．（-2 ， 0）
（第 8 题图）
x1 x1
9. 函数 y
2
，当 y a 时，对应的 x 有两个不相等的值， 则 a 的取值范围 （ ）.
x x1
Ａ． a 1
A(4 ， 3) ，B(4 ， -3). （ 1）过点 A 是否存在直线 l ，既是△ AOB 的“等积线”又是“等周线” ，请说明理由 .
似成抛物线 y
1 x2 形状， 在竖直方向上 ，求下垂电线与坡面的距离
98
A
M
C
A
MF 的最小值 . C
B
F
EE
DD
（第 19 题图 1）
B
E
D
（第 19 题图 2）
20. （本题满分 15 分）定义：一条直线平分三角形的面积称这条直线为三角形的“等积线”
，平
分三角形的周长称这条直线为三角形的 “等周线”，已知在直角坐标系中， 点 O 为坐标原点，
）.
x y 2a 1
Ａ． a 1 2
1 Ｂ． a
3
2 Ｃ． a
3
3 Ｄ． a
2
5. 在△ ABC 中， AB=6， AC=8， BC=10，P 为 BC 边上一动点， PE⊥ AB
于 E，PF ⊥AC 于 F ， M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（
）.
Ａ． 3
6. 已知 a b
Ａ． 27 2
3. 袋中有 6 个球（ 除颜色不同外，其它完全相同 ），其中白球 3 个，红球 2 个，黑球 1 个，如果
从中随机摸出 2 个球，那么这两个均为白球的概率为（
）.
Ａ． 1 3
Ｂ． 1 4
Ｃ． 1 5
Ｄ． 1 6
x 2y a 1
4. 方程组
的解 x 、 y 满足不等式 2x y 1，则 a 的取值范围为（
p 1 ，对任意实数 x, 函数值 y 都为负，则实数
4
p 的取值范围是
.
15. 对于非负实数 x 经“四舍五入”精确到个位的值记为 { x} ，即：当 n 为非负整数时，如果
1
n
xn
2
① { x}- x=0；
1
，则 { x}= n，如： {0.69}=1 ， {2.3}=2 ，则下列结论：
2
② { 7 }=1 ； 5
2. 小蒋和小潘两人电脑打字比赛， 小蒋每分钟比小潘少打 8 个字，小蒋打 800 个字和小潘打 880
个字所用的时间相等 . 设小蒋打字速度为 x 个 / 分钟，则下列方程正确的是（
）.
Ａ． 800 880 x8 x
Ｂ． 800 880 x8 x
Ｃ． 800 880 x x8
Ｄ． 800 880 x x8
③若 { x-1} ＞ 2，则 2.5 ＜ x≤3.5 ；
④ { x+y}={ x}+{ y} 不恒成立；
⑤满足 { x}= 4 x 的 x 只有三个非负实数 . 3
其中一定正确的结论有
.
（ 填写序号 ）
三、解答题（本大题 5 小题，共 50 分）
16．（本题满分 5 分）
3
30
3
1
4 32
21 2