2020版高考数学大二轮复习课时作业4基本初等函数、函数与方程及函数的应用理
高考数学：专题一第四讲 基本初等函数及函数的应用配套限时规范训练
第四讲 基本初等函数及函数的应用（推荐时间：50分钟）一、选择题1．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A.13B.23C ．1D ．22．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( )A ．f (1)< f (2)< f (4)B ．f (2)< f (1)< f (4)C ．f (2)< f (4)< f (1)D ．f (4)< f (2)< f (1) 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －1＋1，x >0，则f (2 013)等于( ) A ．2 010 B ．2 011 C ．2 012D ．2 0134．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x， x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19的值为( ) A ．4B.14 C ．－4D ．－145．若函数f (x )＝若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x，x ≥4f x ＋1，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16D.137．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．(－∞，－2]D ．[1,2]8．(2011·天津)对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] 二、填空题9．(2011·陕西)则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x，x ≤0，则f (f (－2))＝____________.10．(2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．11．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．12．(2011·湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍． 三、解答题13．(2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．14．已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x .求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由．答案1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．－210．－3411．212．6 10 00013．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a2b ；当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a2b .14．解 由题意知，x ∈[0，＋∞)，h (x )＝x 3－x －x ，h (0)＝0，且h (1)＝－1<0，h (2)＝6－2>0，则x ＝0为h (x )的一个零点，且h (x )在(1,2)内有零点．因此，h (x )至少有两个零点．方法一 h ′(x )＝3x 2－1－12x 21-，记φ(x )＝3x 2－1－12x 21-，则φ′(x )＝6x ＋14x 23-.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．又因为φ(1)>0，φ(33)<0，则φ(x )在(33，1)内有零点，所以φ(x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．记此零点为x 1，则当x ∈(0，x 1)时，φ(x )<φ(x 1)＝0；当x ∈(x 1，＋∞)时，φ(x )>φ(x 1)＝0.所以当x ∈(0，x 1)时，h (x )单调递减，而h (0)＝0，则h (x )在(0，x 1]内无零点； 当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．方法二 由h (x )＝x (x 2－1－x －12)，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x 23-.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点． 综上所述，h (x )有且只有两个零点．。
高考数学二轮专题突破辅导与测试基本初等函数函数与方程及函数的应用公开课一等奖课件省赛课获奖课件
c＝log2.11.5<log2.12.1＝1，
因此 c<a<b.
(2)选项A，由于函数在区间上为增函数，由单调性定义可
知(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，故A错误；选项B，由函数图像的凸
凹性可知f
x1＋x2 2
>
fx1＋fx2 2
，故B错误；选项C，令g(x)＝
fx x
＝
ln x x
＝exx在(－∞，0)，(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故 C
错误；同理，令 h(x)＝xex，则 h′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，所以
h(x)＝xex 在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数，
故 D 错误．
答案：B
——————————规律·总结————————————
2．已知函数 f(x)＝2xx＋－112，，xx∈∈210，，212.，
若存在 x1，x2，当 0≤x1<x2<2
时，f(x1)＝f(x2)，则 x1f(x2)的取值范围是_____．
x1＋12＝2x2－1，
解析：作出函数
f(x)的图像，由图知
22－12≤x1<12，
21≤x2<1.
所以
x1f(x2)
1 x
图像交点的个数，在同一坐标系中画出两个
函数图像如图所示：
由图可知共有6个交点，故函数F(x)＝xf(x)－1的零点 个数为6.
(3)由x2－3≥x－1解得x≤－1或x≥2，所以f(x)＝
|x－1|，x≤－1或x≥2， x2－3，－1<x<2.
函数y＝f(x)－c恰有两个零点，即函
数y＝f(x)，y＝c的图像恰有两个交点，作出函数y＝f(x)，y＝c
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：函数与方程及函数的应用含解析
A.2B.3C.4D.5
答案:A
解析:因为f(x)=
所以f(2-x)=
即f(2-x)=
f(x)+f(2-x)=
所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=
其图象如图所示.
显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.
(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;
(2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?
答案:B
解析:由题意,得f(x)单调递增,f(1)=-1<0,f(2)= >0,所以f(x)=- +log2x的零点落在区间(1,2)内.
2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2.若|x1-x2|> ,则f(x)可以是()
A.f(x)=2x- B.f(x)=-x2+x-
则y=
整理,得y=
∵0.9×200=180>100,
∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,
∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.
9.已知函数f(x)=2x,g(x)= +2.
(1)求函数g(x)的值域;
A.4B.6C.8D.10
基本初等函数、函数与方程及函数的应用(题型归纳)
基本初等函数、函数与方程及函数的应用【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则函数log ||a y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a>>【答案】D【解析】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22xx -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．[)1,0-C ．[)0,1D ．[)3,-+∞【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=-，即函数3x y =-在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象，如图：而3x y =-在(-∞，1]上单调递减，且有330x -≤-<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象有一个公共点，30m -≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1-【答案】AC【解析】()2121x x f x -=+ ,x ∈R ,2121x=-+2112()()2112x xx xf x f x ----∴-===-++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x -==-++ ，()f x ∴在R 上单调递增，20x> ，211x ∴+>，20221x∴<<+，22021x∴-<-<+，1()1f x ∴-<<，即函数值域为()1,1-令()21021x x f x -==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x --=--=-，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f -<-，∴213x -<-，解得1x <-，∴x 的取值范围是(),1-∞-．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =-由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一）【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法直接法直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+->-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =-<，()33202f =->，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3.故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1-112a ≤<或2a ≥【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，1x <，()211xf x =-<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=--=--≥- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1-.设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈-∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为:1-；112a ≤<或2a ≥.【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A ．0.210-B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =-，可得01AM gA =，即10M A A =，010M A A =⋅，当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A -⋅===⋅.故选：B.2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A ．7小时B ．10小时C ．15小时D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e -=-=，解得ln 0.95k =-，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P -=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9t t t P P e P eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg 61 1.79≈）A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，1311112ln 21ln 21ln 2ln 0222222f e ⎛⎫=-<--=-<-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+-在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．1[2,]4-B ．1(2,)4-C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+-在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +-=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =-+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =-+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，则函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，定义域为()1,1-，且()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A ．2B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99S N =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999S N =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍.故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,)(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点.画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且124x x +=-.所以214x x =--，所以()()212111424(0,4)x x x x x =--=-++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=，所以12324log log x x -=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确；()()12()ln 1ln 1ln ln(111x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211xy e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，4y =，即11()42a-=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =，药物刚好失效的时间31()0.1252t -=，解得6t =，故药物有效时长为131653232-=小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a+=C ．b a c=D ．2b c a+=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13(负值舍去).综上，a =3或a =13.14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1(),2-∞【解析】0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2-∞故答案为：1；(),2-∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤．故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x -<≤-所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。
2020高考数学(文科)二轮专题精讲《基本初等函数、函数与方程》
＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为( )
A.54，94
B.54，94
C.54，94∪{1}
D.54，94∪{1}
解析：选 D 如图，分别画出两函数 y＝f(x)和 y＝－14x＋a 的图象．
①先研究当 0≤x≤1 时，直线 y＝－14x＋a 与 y＝2 x的图象只有一个交点的情 况．当直线 y＝－14x＋a 过点 B(1,2)时，由 2＝－14＋a，解得 a＝94；
B.
2．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数 y＝ln x 的图象关于直线 x＝1 对称
的是( )
A．y＝ln(1－x)
B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x)
D．y＝ln(2＋x)
解析：选 B 解法一：y＝ln x 图象上的点 P(1,0)关于直线 x＝1 的对称点是它本身， 则点 P 在 y＝ln x 图象关于直线 x＝1 对称的图象上，结合选项可知，B 正确．故选 B.
称函数 f(x)具有 M 性质．下列函数中具有 M 性质的是( )
A．f(x)＝2－x
B.f(x)＝x2
C．f(x)＝3－x
D．f(x)＝cos x
[解析] (1)由于 y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，∴a>1，则 y＝logax 在(0，＋∞)上是增 函数，又函数 y＝loga|x|的图象关于 y 轴对称．
(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习 专题能力训练4 基本初等函数、函数的图象与性质
专题能力训练4 基本初等函数、函数的图象与性质专题能力训练第14页一、能力突破训练1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( ) A.f (x )=-x|x| B.f (x )=x sin x C.f (x )=1x D.f (x )=x 12答案:A解析:函数f (x )={-x 2,x ≥0,x 2,x <0在其定义域上既是奇函数又是减函数,故选A .2.(2019全国Ⅱ,理6)若a>b ,则( ) A.ln(a-b )>0 B.3a <3bC.a 3-b 3>0 D.|a|>|b|答案:C解析:取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b )=0,排除A;∵3a =9,3b =3,∴3a >3b ,排除B;∵y=x 3是增函数,a>b ,∴a 3>b 3,故C 正确;取a=1,b=-2,满足a>b ,但|a|<|b|,排除D .故选C .3.函数y=-x 4+x 2+2的图象大致为( )答案:D解析:当x=0时,y=2>0,排除A,B;当x=12时,y=-(12)4+(12)2+2>2.排除C .故选D .4.(2019吉林长春质监(四))已知f (x )=sin x+1sin x +ax 2,若f (π2)=2+π,则f (-π2)=( )A.2-π B .π-2 C.2 D .π答案:B解析:因为f (x )=sin x+1sin x +ax 2,f (π2)=2+π,所以f (π2)=1+1+π2x 4=2+π,因此π2x 4=π,故a=4π;所以f (-π2)=-1-1+4π×π24=-2+π.故选B .5.已知函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( )A .-74 B .-54C .-34D .-14答案:A解析:∵f (a )=-3,∴当a ≤1时,f (a )=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立.当a>1时,f (a )=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=14-2=-74.6.已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f (1-x )=f (1+x ),若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=( )A.-50B.0C.2D.50答案:C解析:∵f (-x )=f (2+x )=-f (x ),∴f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f (x ). ∴f (x )的周期为4. ∵f (x )为R 上的奇函数, ∴f (0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.7.已知a>b>1,若log a b+log b a=52,a b=b a,则a=,b=. 答案:4 2解析:设log b a=t,由a>b>1,知t>1.由题意,得t+1x =52,解得t=2,则a=b2.由a b=b a,得b2b=x x2,即得2b=b2,即b=2,故a=4.8.若函数f(x)=x ln(x+√x+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+√x+1)=ln√x+1+1x,f(1)=ln(1+√x+1),因此ln(√x+1+1)-ln a=ln(√x+1+1),于是ln a=0,∴a=1.9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(lo g12a)≤2f(1),则a的取值范围是.答案:[12,2]解析:由题意知a>0,又lo g12a=log2a-1=-log2a.∵f(x)是R上的偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(lo g12a).∵f(log2a)+f(lo g12a)≤2f(1),∴2f (log 2a )≤2f (1),即f (log 2a )≤f (1).又f (x )在区间[0,+∞)内单调递增,∴|log 2a|≤1,-1≤log 2a ≤1,∴a ∈[12,2].10.设奇函数y=f (x )(x ∈R ),满足对任意t ∈R 都有f (t )=f (1-t ),且当x ∈[0,12]时,f (x )=-x 2,则f (3)+f (-32)的值等于.答案:-14解析:根据对任意t ∈R 都有f (t )=f (1-t )可得f (-t )=f (1+t ),即f (t+1)=-f (t ),进而得到f (t+2)=-f (t+1)=-[-f (t )]=f (t ),得函数y=f (x )的一个周期为2,则f (3)=f (1)=f (0+1)=-f (0)=0,f (-32)=f (12)=-14,所以f (3)+f (-32)=0+(-14)=-14. 11.设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M+m= .答案:2 解析:f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1=1+2x +sin xx 2+1,设g (x )=2x +sin xx 2+1,则g (-x )=-g (x ),故g (x )是奇函数.由奇函数图象的对称性知g (x )max +g (x )min =0, 则M+m=[g (x )+1]max +[g (x )+1]min =2+g (x )max +g (x )min =2.12.若不等式3x 2-log a x<0在x ∈(0,13)内恒成立,求实数a 的取值范围.解:由题意知3x 2<log a x 在x ∈(0,13)内恒成立.在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x 2和y=log a x 的图象.观察两函数图象,当x ∈(0,13)时,若a>1,则函数y=log a x 的图象显然在函数y=3x 2图象的下方,所以不成立;当0<a<1时,由图可知,y=log a x 的图象必须过点(13,13)或在这个点的上方,则log a 13≥13,所以a ≥127,所以127≤a<1. 综上,实数a 的取值范围为127≤a<1.二、思维提升训练13.函数y=cos6x2x -2-x 的图象大致为( )答案:D 解析:y=cos6x2x -2-x为奇函数,排除A 项;y=cos6x 有无穷多个零点,排除C 项;当x 在原点右侧附近时,可保证2x-2-x>0,cos6x>0,则此时y>0,故选D .14.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,当x>0时,f (x )={xx +log 5x ,x >4,x 2+2x +3,0<x ≤4,若f (-5)<f (2),则a 的取值范围为( )A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(-2,+∞)D.(2,+∞)答案:B解析:因为f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以f (-5)=f (5)=5a+log 55=1+5a ,则不等式f (-5)<f (2)可化为f (5)<f (2).又f (2)=4+4+3=11,所以由5a+1<11可得a<2,故选B . 15.已知函数f (x )(x ∈R )满足f (-x )=2-f (x ),若函数y=x +1x与y=f (x )图象的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑x =1x(x i +y i )=( )A.0B.mC.2mD.4m答案:B解析:由f (-x )=2-f (x ),得f (x )的图象关于点(0,1)对称. 而y=x +1x =1+1x的图象是由y=1x 的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=x +1x的图象关于点(0,1)对称. 则函数y=x +1x与y=f (x )图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(x i ,y i ),(x'i ,y'i )(i=1,2,…,m )满足x i +x'i =0,y i +y'i =2, 所以∑x =1x (x i +y i )=∑i =1m x i +∑x =1xy i =x 2×0+x 2×2=m.16.已知函数f (x )={2x ,x >0,-x 2-2x +1,x ≤0,若f (f (a ))=4,则a= .答案:1或-1解析:令m=f (a ),则f (m )=4,当m>0时,由2m=4,解得m=2;当m ≤0时,-m 2-2m+1=3,无解,故f (a )=2.当a>0时,由2a =2,解得a=1;当a ≤0时,由-a 2-2a+1=2,解得a=-1.综上可知,a=1或a=-1.故答案为1或-1.17.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )={xx +1,-1≤x <0,xx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f (12)=f (32),则a+3b 的值为 .答案:-10解析:∵f (32)=f (12),∴f (12)=f (-12),∴12x +232=-12a+1,易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),∴-a+1=x+2,即2a+b=0,2∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10.18.若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2答案:①④)解析:对①,设g(x)=e x·2-x,则g'(x)=e x(2-x+2-x ln12)>0,=e x·2-x·(1+ln12∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;)对②,设g(x)=e x·3-x,则g'(x)=e x(3-x+3-x ln13)<0,=e x·3-x(1+ln13∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在区间(-∞,-3)内单调递减,在区间(-3,+∞)内单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.19.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.)x,且y=e x是增函数,解:(1)∵f(x)=e x-(1ey=-(1e )x是增函数,∴f(x)是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x), ∴f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数.∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0对x∈R恒成立,∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t,∴x2+x≥t2+t对x∈R恒成立.又(x+12)2≤(x+12)2对一切x∈R恒成立,∴(x+12)2≤0,∴t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.。
2020版高考文科数学突破二轮复习新课标通用第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用
ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等
于 8＋ 8 3，则球 O 的体积等于 ( )
32 π A. 3
32 2π B. 3
C． 16 π
16 2π D. 3
【 解析 】
(1)如图 ，由题意知圆柱的中心 O 为这个球的球心 ，于是 ，球的半径 r ＝ OB＝ OA2＋ AB2 ＝ 12＋（ 3） 2＝ 2.故这个球的表面积 S＝ 4πr 2＝ 16π.故选 D.
A ． 32 32
C. 3
64 B. 3 D． 8
解析 ：选 B.如图所示四棱锥 P-ABCD 为该几何体的直观图 ， 底面 ABCD 是边长为 4 的
正方形．取 CD 的中点为 E，连接 PE，则 PE⊥ 平面 ABCD ，且 PE＝ 4.所以这个几何体的体
积
V＝
1× 3
4×
4×
4＝64 3
，
故选
13 π A. 2
15 π C. 2
B． 7π D． 8π
(2)(2019 高·考浙江卷 )祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则
积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式
V 柱体 ＝ Sh，其中 S 是柱体
的底面积， h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示
cm3)是 (
，
或是求出一些体积比等．
③割补法： 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形
，转化为易计算体积
的几何体．
[ 对点训练 ] 1．(2019 ·唐山市摸底考试 )已知某几何体的三视图如图所示 弧) ，则该几何体的表面积为 ( )
(俯视图中曲线为四分之一圆
2020高考数学(文科)二轮专题辅导与训练课件：第二篇专题六第2讲 基本初等函数、函数与方程
第二篇 专题六 函数与导数
(2)当 x≤0 时，由 x2＋2ax＋a＝ax，得 a＝－x2－ax； 当 x>0 时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得 2a＝－x2＋ax.
重 难
令 g(x)＝－－xx22－＋aaxx，，xx≤>00. ，作出直线 y＝a，y＝2a，
限 时
考
函数 g(x)的图象如图所示，
的图象有且仅有 4 个交点，则函数 g(x)＝logax 的图象过(5，
1)点，即 a＝5.
答案 (1)A (2)C
菜单
高考专题辅导与训练·数学(文科)
第二篇 专题六 函数与导数
考点三 函数模型的实际应用
函数的三种常见模型
重 难
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分
限 时
考 类讨论思想求解．
点
检 测
·
·
精
能
析
力
精
达
研
标
菜单
高考专题辅导与训练·数学(文科)
第二篇 专题六 函数与导数
重 难 考
g(x)的最大值为－a42＋a22＝a42，
限 时
由图象可知，若 f(x)＝ax 恰有 2 个互异的实数根， 检
点 · 精
则 a<a42<2a，得 4<a<8.
测 · 能
析
力
精
[答案] (1)C (2)(4，8)
研 x－2＋x22＋ax2＋axa－，2xa≤，0x，>0.若关于 x 的方程 f(x)＝ax 恰有 2 个 标
互异的实数解，则 a 的取值范围是________．
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高考专题辅导与训练·数学(文科)
第二篇 专题六 函数与导数
2020高考数学一轮复习 课时作业4 函数及其表示 理
课时作业4 函数及其表示[基础达标]一、选择题1．下列四个图象中，是函数图象的是( )A ．(1)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(3)(4) 解析：由函数定义知(2)错． 答案：B2．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －12，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1 C ．f (x )＝ln e x与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x解析：函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.答案：D3．[2019·东北三省四市模拟]函数y ＝x 3－x ＋x －1的定义域为( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[1，＋∞) D．[3，＋∞)解析：要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x 3－x ≥0，x －1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≥1.∴1≤x ≤3，故选B.答案：B4．[2019·黄山质检]已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．答案：C9．设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x <1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 为( ) A ．－54 B ．－13C.14D.52解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n <1，即n <－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，故选D.答案：D10．定义a ○+b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ，a ×b ≥0，ab，a ×b <0，设函数f (x )＝ln x ○+x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4ln2B ．－4ln2C ．2D ．0解析：2×ln2>0，所以f (2)＝2×ln2＝2ln2. 因为12×ln 12<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 1212＝－2ln2.则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln2－2ln2＝0. 答案：D 二、填空题11．[2019·唐山考试]函数y ＝110x－2的定义域为________． 解析：依题意，10x>2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)．答案：(lg2，＋∞)12．设函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.13．[2019·西安质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析：由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.答案：10914．[2017·山东卷]设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝________. 解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得 a ＝2(a ＋1－1)， ∴ a ＝14，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝6. 答案：6[能力挑战]15．若函数f (x )满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立，则称函数f (x )为“1的饱和函数”．给出下列三个函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A ．①③ B．② C ．①② D．③解析：对于①，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则1x 0＋1＝1x 0＋1，所以x 20＋x 0＋1＝0(x 0≠0，且x 0≠－1)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则2x 0＋1＝2x 0＋2，解得x 0＝1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x 0，满足f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)，则lg[(x 0＋1)2＋2]＝lg(x 20＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x 20－2x 0＋3＝0，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”．答案：B16．[2019·内蒙古包头模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d >c >b >a >0，则abcd 的取值范围是( )A ．(21,25)B ．(21,24)C ．(20,24)D ．(20,25)解析：画出f (x )的图象，如图．由图象知0<a <1,1<b <3，则f (a )＝|log 3a |＝－log 3a ，f (b )＝|log 3b |＝log 3b ，∵f (a )＝f (b )，∴－log 3a ＝log 3b ，∴ab ＝1.又由图象知，3<c <4，d >6，点(c ，f (c ))和点(d ，f (d ))均在二次函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象上，故有c ＋d 2＝5，∴d ＝10－c ，∴abcd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c－5)2＋25，∵3<c <4，∴21<－(c －5)2＋25<24，即21<abcd <24.故选B.答案：B17．已知对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y ，求f (x )＝________. 解析：解法一 ∵f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y 对任意x ，y ∈R 都成立， 故可令x ＝y ＝0，得f (0)－2f (0)＝0，即f (0)＝0. 再令y ＝0，得f (x )－2f (0)＝x 2＋3x ，∴f (x )＝x 2＋3x .解法二令x＝0，得f(y)－2f(y)＝－y2－3y，即－f(y)＝－y2－3y. 因此f(y)＝y2＋3y.故f(x)＝x2＋3x.答案：x2＋3x。
2020年高考数学二轮复习：02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
2020年高考数学二轮复习：02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、单选题（共12题；共24分）1.若 a =log 67 ， b =log 54 ， c =log 134 ，则（ ） A. a <b <c B. b <a <c C. c <b <a D. c <a <b【答案】 C【考点】对数函数的单调性与特殊点2.已知函数 f(x)={e x−1,x <2,log 3(x 2−1),x ≥2,若 f(a)≥1 ，则 a 的取值范围是（ ） A. [1,2) B. [1,+∞) C. [2,+∞) D. (−∞,−2]∪[1,+∞)【答案】 B【考点】分段函数的应用3.已知函数 f(x)={4x +3,x ≤02x +log 9x 2−9,x >0，则函数 y =f(f(x)) 的零点所在区间为（ ） A. (3,72) B. (−1,0) C. (72,4) D. (4,5)【答案】 A【考点】函数零点的判定定理4.已知 a =log πe ， b =ln πe ， c =ln e 2π ，则（ ） A. a <b <c B. b <c <a C. b <a <c D. c <b <a【答案】 B【考点】对数函数的单调性与特殊点5.对于任意实数 x ，符号 [x] 表示 x 的整数部分，即 [x] 是不超过 x 的最大整数，例如 [2]=2 ；[2.1]=2 ；则 [log 31]+[log 32]+[log 33]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+[log 327] 的值为（ ）A. 42B. 43C. 44D. 45【答案】 D【考点】指数式与对数式的互化6.如图是二次函数 f(x)=x 2−bx +a 的部分图象，则函数 g(x)=alnx +f ′(x) 的零点所在的区间是（ ）A. (14,12)B. (12,1) C. (1,2) D. (2,3)【答案】 B【考点】函数零点的判定定理7.描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期,在漆器表面,用金色描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹.现甲､乙两位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位:小时)如下:则完成这三件原料的描金工作最少需要（）A. 43小时B. 46小时C. 47小时D. 49小时【答案】B【考点】函数模型的选择与应用8.已知函数f(x)={2x−1x>0−x2−2x x≤0，若函数g(x)=f(x)−m有3个零点，则实数m的取值范围（）A. (0, 12) B. (12,1] C. (0,1] D. （0,1）【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系9.已知函数y=f(x)在区间(−∞,0)内单调递增，且f(−x)=f(x)，若a=f(log123)，b=f(2−1.2)，c=f(12)，则a、b、c的大小关系为（）A. a>c>bB. b>c>aC. b>a>cD. a>b>c【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合，换底公式的应用10.三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（）A. log0.87<0.87<70.8B. log0.87<70.8<0.87C. 0.87<70.8<log0.87D. 70.8<0.87<log0.87【答案】A【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点11.设f(x)是定义在R上的函数，满足条件f(x+1)=f(−x+1)，且当x≤1时，f(x)=e−x−3，则a=f(log27)，b=f(3−23),c=f(3−1.5)的大小关系是（）A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >b >a【答案】 B【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点12.已知 f(x)={x 2019,x ≤a x 2018,x >a，若存在实数m ， 使函数 y =f(x)−m 有两个零点，则a 的取值范围( ) A. (1,+∞) B. (−∞,0)∪(1,+∞) C. (0,1)∪(1,+∞) D. (−∞,0)【答案】 B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的零点与方程根的关系二、填空题（共11题；共11分）13.设函数 f(x)={e −x +2019,x ≤02020,x >0，则满足 f(x 2−3)≤f(−2x) 的 x 取值范围是________. 【答案】 (−∞,−√3]∪[1,+∞)【考点】函数单调性的性质，分段函数的应用14.已知函数 f(x)=ax 3−3x 2+2 ，若函数 f(x) 只有一个零点 x 0 ，且 x 0>0 ，则实数 a 的取值范围________.【答案】 (−∞,−√2)【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，极限及其运算，函数零点的判定定理15.已知函数 f(x)={|lg(−x)|,x <0x 2−6x +4,x ≥0，若关于 x 的方程 f 2(x)−bf(x)+1=0 有8个不同根，则实数 b 的取值范围是________．【答案】 (2,174]【考点】函数的零点与方程根的关系16.已知函数 f(x) 是指数函数，如果 f(3)=9f(1) ，那么 f(8) ________f(4) （请在横线上填写“ > ”，“ = ”或“ < ”）【答案】 >【考点】指数函数的单调性与特殊点17.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足f （x ）=f （2-x ），当x ∈[0，1]时，f （x ）=x·2x .则方程f （x ）-|lgx|=0的根的个数为________.【答案】 100【考点】函数的零点与方程根的关系18.已知函数 f(x)={(12)x +1,x ≥13x 2,0<x <1 ，若函数 g(x)=f(x)−k 有两不同的零点，则实数 k 的取值范围是________．【答案】 (1,32)【考点】函数的零点与方程根的关系19.设函数 f(x)=log a (x −1)+1 （ a >0 且 a ≠1 ）恒过点 (m,n) ，则 m −n = ________.【答案】 1【考点】对数函数的图象与性质20.已知 f(x)={a x ，x >1(4−a 2)x +2，x ≤1 满足对任意x 1≠x 2 ， 都有 f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2 >0成立，那么a 的取值范围是________．【答案】 [4,8)【考点】函数单调性的性质，分段函数的应用21.若函数 f(x)=a x (a >0,a ≠1) 在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数 g(x)=(1−4m)√x 在 [0,+∞) 上是增函数，则a ＝________.【答案】 14【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数单调性的应用22.设 a >0,a ≠1,M >0,N >0， 我们可以证明对数的运算性质如下： ∵a log a M+log a N =a log a M a log a N =MN ，① ∴log a MN =log a M +log a N .我们将 ① 式称为证明的“关键步骤”.则证明 log a M r =rlog a M （其中 M >0,r ∈R ）的“关键步骤”为________.【答案】 a log a M r = （ a log a M ）r ＝M r【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质23.一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存 2KB ，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据 64MB 内存．（ 1MB =1024KB ）【答案】 45【考点】有理数指数幂的运算性质，指数函数的实际应用。
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：基本初等函数、函数的图象和性质含解析
A B.(1,2]
C.(2,3]D.(3,4]
答案:C
解析:由题意,得方程f(x)=logax(a>0,且a≠1)有3个解,所以函数y=f(x)和y=logax的图象有3个交点.因为对任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x),所以函数y=f(x)是周期为1的函数.又当x∈(1,2]时,f(x)=2-x,可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.
若α,β为锐角三角形的两个内角,则α+β>90°,即α>90°-β,
所以sinα>sin(90°-β)=cosβ,所以f(sinα)>f(cosβ).
6.(20xx全国Ⅱ,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()
∵f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),
∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).
又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a
10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x 时,f(x)=-x2,则f(3)+f 的值等于 .
由图象可知,当x>0时,两函数图象有5个交点.又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,
2020版高考数学一轮复习课时作业4函数及其表示理(含解析)新人教版
课时作业4 函数及其表示一、选择题1．函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析：由1－2x >0，且x ＋1≠0，得x <12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12.2．(2019·晋豫省际大联考)下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．y ＝(x )2与y ＝x 2B ．y ＝lne x与y ＝e kxC ．y ＝x 2－1x ＋1与y ＝x －1D ．y ＝lg(x ＋1)－1与y ＝lgx ＋110解析：对于A ，y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)，y ＝x 2的定义域为R ，则A 不正确；对于B ，y ＝lne x＝x ，y ＝e kx，则B 不正确；对于C ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，y ＝x －1的定义域为R ，则C 不正确；对于D ，y ＝lg(x ＋1)－1的定义域为(－1，＋∞)，y ＝lgx ＋110＝lg(x ＋1)－1的定义域为(－1，＋∞)，则D 正确，故选D.3．已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x的定义域为( A ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[1,2]D ．[1,3]解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，8－2x≥0，解得0≤x ≤1，故选A.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( B )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4. 5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( A ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 6．(2019·江西抚州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －22m ＋1，x ≤3，log 2x －，x >3，其中m ∈R ，则f (3＋4m)＝( A ) A ．2m B ．6 C ．mD ．2m 或6解析：因为3＋4m>3，所以f (3＋4m)＝log 24m＝2m ，故选A. 7．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，x －，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：当0<a <1时，a ＋1>1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5，若f (g (a ))≤2，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－1]∪[0,22－1]B ．[－1,22－1]C ．(－∞，－1]∪(0,3]D ．[－1,3]解析：∵g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0，若x >0，则－x <0，g (－x )＝x 2＋2x －5，∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )＝－x 2－2x ＋5，x >0，由题意，知f (－2)＝2，∴f (g (a ))≤2即为f (g (a ))≤f (－2)．又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0，∴a ≤－1或0≤a ≤22－1.故选A. 二、填空题9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝－52，函数f (x )的值域是[－3，＋∞)．解析：∵f (2)＝12，∴f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)，∴f (x )∈[－3，＋∞)． 10．已知函数f (x )满足f (5x)＝x ，则f (2)＝log 52.解析：因为f (5x)＝x ，令5x ＝t ，则x ＝log 5t ，所以f (t )＝log 5t ，所以f (2)＝log 52.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于－3.解析：∵f (1)＝2>0，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2<0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是(－1,3)．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x－1，x ≥0，f x ＋，－6≤x <0，则方程f (x )＝3的根的个数为( B ) A ．5 B ．4 C ．1D ．无数多个解析：画出函数f (x )的图象，如图所示．画出函数g (x )＝3的图象，观察可得，函数f (x )与函数g (x )的交点的个数为4，则方程f (x )＝3的根的个数为4.14．(2019·四川内江一中高三第一模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x ≥0，－f －x ，x <0，则满足f (x )＋f (x －1)<2的x 的取值范围是(－∞，2)．解析：(1)当x ≥1时，f (x )＋f (x －1)＝x (x －1)＋(x －1)(x －2)<2，解得0<x <2，即1≤x <2；(2)当0≤x <1时，f (x )＋f (x －1)＝x (x －1)＋x (1－x )＝0<2，满足题意； (3)当x <0时，f (x )＋f (x －1)＝x (－x －1)＋x (1－x )＝－2x 2<2恒成立， 综上，x 的取值范围是(－∞，2)．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析：由已知函数和f [f (a )]＝2f (a )，得f (a )≥1.若a <1，则3a －1≥1，解得a ≥23，此时23≤a <1；若a ≥1，则2a≥1，解得a ≥0，此时a ≥1.综上可知a ≥23，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 16．(2019·广东佛山学情调研)定义在R 上的函数满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＝12f (x )，且当0≤x 1<x 2≤1时，f (x 1)≤f (x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＝116.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1625＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝18，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 125＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1625＝116，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫150＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1250＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫150＝18，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 250＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1250＝116，因为0≤x 1<x 2≤1时，f (x 1)≤f (x 2)，则11 250≤12 018≤13 125，得116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11 250≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 125＝116，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝116.。
2020高考数学精讲二轮第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
2020高考数学复习:第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用考点一 指数函数、对数函数及幂函数1．指数与对数式的运算公式2．指数函数、对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．[对点训练]1．(2018·河南洛阳二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数[解析] ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，∴a －1＝1，解得a＝2，则2b ＝12，∴b ＝－1，∴f (x )＝x －1，∴函数f (x )是定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且在每一个区间内是减函数，故选A.[答案] A2．(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b[解析] 由已知得c ＝log 23，∵log 23>log 2e>1，b ＝ln2<1，∴c >a >b ，故选D.[答案] D3．(2018·山东潍坊一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )[解析] 因函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，故0<a <1. 易知函数y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域为{x |x >1或x <－1}，x >1时函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以通过函数y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到，故选D.[答案] D4．(2018·江西九江七校联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．[答案][－4,4)[快速审题]看到指数式、对数式，想到指数、对数的运算性质；看到指数函数、对数函数、幂函数，想到它们的图象和性质．基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．考点二函数的零点1．函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．角[解析]当x≤0时，由f (x )＝0，即x 2＋2017x －2018＝0， 得(x －1)(x ＋2018)＝0， 解得x ＝1(舍去)或x ＝－2018；当x >0时，设g (x )＝x －2，h (x )＝ln x ，如图，分别作出两个函数的图象， 由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f (x )在x >0时有两个零点． 综上，函数f (x )有3个零点，故选C. [答案] C[快速审题] 看到函数的零点，想到求方程的根或转化为函数图象的交点．[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图，而函数y ＝mx －12恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12与函数y ＝ln x 的图象相切的直线为l 1，切点坐标为(x 0，ln x 0)．因为y ＝ln x 的导函数y ′＝1x ，所以图中y ＝ln x 的切线l 1的斜率为k ＝1x 0，则1x 0＝ln x 0＋12x 0－0，解得x 0＝e ，所以k ＝1e.又图中l 2的斜率为12，故当方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根时，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e e[探究追问] 将例2中“方程f (x )＝mx －12恰有四个不相等的实数根”改为“方程f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恰有三个不相等的实数根”，结果如何？[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象，如图．函数y ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，设过点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0与函数y ＝1－x 2的图象相切的直线为l 1，设切点坐标为(x 0,1－x 20)，因为y ＝1－x 2(x ≤1)的导函数y ′＝－2x 0，所以切线l 1斜率k ＝－2x 0，则－2x 0＝1－x 20x 0－54，解得x 0＝12或x 0＝2(舍)．所以直线l 1的斜率为－1，结合图可知，当方程f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －54恰有三个不相等的实根时，实数m 的取值范围是(－1,0)．[答案](－1,0)(1)判断函数零点个数的3种方法(2)利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法[对点训练]1．[角度1]已知函数f(x)＝6x－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)[解析]易知f(x)是单调递减函数．∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝64－log24＝32－2<0，∴选项中包含f(x)零点的区间是(2,4)．[答案] C[解析]f(x)＝k有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象有三个交点，如图所示．当－1<k<0时，y＝f(x)与y＝k有三个交点．故－1<k<0.[答案](－1,0)考点三函数的实际应用解决函数实际应用题的关键(1)认真读题，缜密地审题，确切地理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．[对点训练]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A.y＝2x－2 B．y＝12(x2－1)C．y＝log2x D．y＝log12x[解析]由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.[答案] B2．(2018·西安四校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年[解析]设从2018年起，过了n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg 2013lg1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2018＝2022，故选D.[答案] D3.如图，某小区有一边长为2的正方形地块OABC ，其中阴影部分是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计)，切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若池边AE 为函数y ＝－x 2＋2(0≤x ≤2)的图象，且点M 到边OA 的距离为t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23≤t ≤43，则地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积的最大 值为________．[解析] M (t ，－t 2＋2)，过切点M 的切线l ：y －(－t 2＋2)＝－2t (x －t )，即y ＝－2tx ＋t 2＋2，令y ＝2得x ＝t 2，故切线l 与AB 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，2；令y ＝0，得x＝t 2＋1t ，故切线l 与OC 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t ，0，又x ＝t 2＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43上单调递减，所以x ＝t 2＋1t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1712，116，所以地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形，面积S＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 2－1t ＋2－t 2×2＝4－t －1t ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ≤2，当且仅当t ＝1时等号成立，故地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积的最大值为2.[答案] 2[快速审题] 看到实际应用题，想到函数模型．应用函数模型解决实际问题的一般程序[解析][答案] A2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点等价于函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0与h (x )＝－x －a 的图象存在2个交点，如图，当x ＝0时，h (0)＝－a ，由图可知要满足y ＝f (x )与y ＝h (x )的图象存在2个交点，需要－a ≤1，即a ≥－1，故选C.[答案] C3．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与M N 最接近的是 ( )(参考数据：lg3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 [解析] 因为lg3≈0.48，所以3≈100.48，所以M N ＝33611080≈(100.48)3611080＝100.48×3611080＝10173.281080＝1093.28≈1093，故选D. [答案] D4．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，解得x ＝k π3＋π9(k ∈Z )．当k ＝0时，x＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，又x ∈[0，π]，所以满足要求的零点有3个．[答案] 35．(2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．[解析] 设g (x )＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解即函数y ＝g (x )有两个零点，即y ＝g (x )的图象与x 轴有2个交点，满足条件的y ＝g (x )的图象有以下两种情况：情况一：则⎩⎨⎧Δ1＝a 2－4a >0，Δ2＝a 2－8a <0，∴4<a <8. 情况二：则⎩⎨⎧Δ1＝a 2－4a <0，Δ2＝a 2－8a >0，不等式组无解． 综上，满足条件的a 的取值范围是(4,8)． [答案] (4,8)1.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～11题的位置，有时难度较大．2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．热点课题5 复合函数的零点[感悟体验]1．(2018·山西质量检测)已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，则方程f [f (x )]＝3的根的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [解析][答案] C2．(2018·安徽马鞍山一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3|x －1|，x >0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若关于x的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．(1,2) C ．(－2，－1) D ．[－2，－1][解析]函数f (x )＝{ 3|x －1|，x >0，－x 2－2x ＋1，x ≤0的图象如图．关于x 的方程[f (x )]2＋(a －1)f (x )－a ＝0有7个不等的实数根，即[f (x )＋a ][f (x )－1]＝0有7个不等的实数根，易知f (x )＝1有3个不等的实数根，∴f (x )＝－a必须有4个不相等的实数根，由函数f (x )的图象可知－a ∈(1,2)，∴a ∈(－2，－1)，故选C.[答案] C专题跟踪训练(十一)一、选择题[解析][答案] C2．(2018·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x12 的交点横坐标所在区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 [解析]根据零点存在性定理可得函数零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即所求交点横坐标所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，故选B.[答案] B3．(2018·孝感一模)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 [解析] 依题意并结合函数f (x )的图象可知，[答案] C4．(2018·河南焦作二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x >0，F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(0，＋∞)[解析] 当x ≤0时，F (x )＝e x －x －1，此时有一个零点0；当x >0时，F (x )＝x [x ＋(a －1)]，∵函数F (x )有2个零点，∴1－a >0，∴a <1，故选C. [答案] C5．(2018·湖南十三校二模)函数f (x )＝ln x ＋e x (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1 C ．(1，e) D ．(e ，＋∞)[解析][答案] A6．(2018·河南郑州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋m 与函数g (x )＝－ln 1x －3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54＋ln2，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－ln2，54＋ln2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54＋ln2，2＋ln2 D ．[2－ln2,2][解析] 由已知，得方程x 2＋m ＝ln 1x ＋3x ，∴m ＝－ln x ＋3x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解．设h (x )＝－ln x ＋3x －x 2，求导，得h ′(x )＝－1x ＋3－2x ＝－2x 2－3x ＋1x＝－(2x －1)(x －1)x∵12≤x ≤2，令h ′(x )＝0，解得x ＝12或x ＝1. 当h ′(x )>0时，12<x <1，函数单调递增， 当h ′(x )<0时，1<x <2，函数单调递减， ∴h (x )在x ＝1处有唯一的极值点． ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln2＋54，h (2)＝－ln2＋2，且知h (2)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴h (x )最大值＝h (1)＝2，h (x )min ＝2－ln2.故方程m ＝－ln x ＋3x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解等价于2－ln2≤m ≤2.所以m 的取值范围是[2－ln2,2]，故选D. [答案] D 二、填空题7．(2018·河北石家庄模拟)若函数f (x )＝m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的零点是－2，则实数m ＝________.[解析] 由m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝0，得m ＝－9.[答案] －98．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．[解析] f (x )的对称轴为x ＝－1.当a >0时，f (2)＝4a ＋4a ＋1＝8a ＋1，f (－3)＝3a ＋1.∴f (2)>f (－3)，即f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4，∴a ＝38；当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝a －2a ＋1＝－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上所述，a ＝38或a ＝－3.[答案] 38或－39．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为________元．[解析] 设每辆车的月租金为x (x >3000)元，则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －300050·(x －150)－x －300050×50，整理得y ＝－x 250＋162x －21000＝－150(x－4050)2＋307050.所以当x ＝4050时，y 取最大值为307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元．[答案] 4050 三、解答题10．(2018·唐山一中期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则 f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0， ∴t ＝－12.∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． 11．(2018·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P (单位：万元)、种黄瓜的年收入Q (单位：万元)与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ [解] (1)依题意f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，其中⎩⎨⎧x ≥20，200－x ≥20，所以20≤x ≤180.故f (50)＝－14×50＋42×50＋250＝277.5.(2)由(1)知f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)， 令x ＝t ，则25≤t ≤65，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，因此当t ＝82时，函数取得最大值282，此时x ＝128，故投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，最大总收益是282万元．12．(2018·江西吉安一中摸底)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥0，lg (－x )，x <0， 若关于x 的方程[f (x )]2＋f (x )＋t ＝0有三个不同的实数根，求实数t 的取值范围．[解] 原问题等价于[f (x )]2＋f (x )＝－t 有三个不同的实数根，即直线y ＝－t 与y ＝[f (x )]2＋f (x )的图象有三个不同的交点．当x ≥0时，y ＝[f (x )]2＋f (x )＝e 2x ＋e x 为增函数，在x ＝0处取得最小值2，其图象与直线y ＝－t 最多只有一个交点．当x <0时，y ＝[f (x )]2＋f (x )＝[lg(－x )]2＋lg(－x )，根据复合函数的单调性，其在(－∞，0)上先减后增，最小值为－14.所以要使函数的图象有三个不同的交点，只需－t ≥2，解得t ≤－2.。
2020版高考数学二轮复习专题一第3讲基本初等函数、函数与方程及函数应用课件文苏教版
第 14 题
第5题 第 17 题
第 14 题
江苏高考对初等函数的考查主要载 体是二次函数、指数函数、对数函数 及简单的复合函数，多为中档题；考 查函数性质的简单综合运用，此类试 题对恒等变形、等价转化的能力有一 定的要求，函数与方程、分类讨论、 数形结合的数学思想通常会有所体 现．函数实际应用题也是高考热点， 常以求最值为问题归宿．
1．必记的概念与定理 指数函数、对数函数和幂函数的图象及性质 (1)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分 0<a<1， a>1 两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数 y＝xα 的图象与性质由于 α 的值不同而比较复杂，当 α>0 时，图象过原点和 (1，1)，在第一象限的图象上升；α<0 时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．曲 线在第一象限的凹凸性：α>1 时，曲线下凸；0<α<1 时，曲线上凸；α<0 时，曲线下凸．
【解析】 (1)由 f(－x)＝f(x)，得 f(x)的图象关于 y 轴对称．由 f(x)＝f(2－x)，得 f(x) 的图象关于直线 x＝1 对称．当 x∈[0，1]时，f(x)＝x3，所以 f(x)在[－1，2]上的图象如 图．
令 g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)，两函数 y＝f(x)与 y＝|cos πx|的图象在 －12，32上的交点有 5 个．
的 周 期 为 2 ， 且 f(x) 是 奇 函 数 ． 当 x∈(0 ， 2] 时 ， f(x) ＝ 1－（x－1）2 ， g(x) ＝
k（x＋2），0<x≤1，
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课时作业4 基本初等函数、函数与方程及函数的应用1．[2019·河南省实验中学质量预测]已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( )A ．{0，－3}B ．[－3,0]C ．(－∞，－3]∪[0，＋∞) D．{0,3}解析：由题意知，对于方程f (x )＝0，Δ＝[－2(m ＋3)]2－4×3×(m ＋3)＝0，解得m ＝－3或m ＝0，∴实数m 的取值范围为{0，－3}，故选A.答案：A2．[2019·安徽皖江八校联考]已知函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝c x的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b解析：由图象可知，a >1，b ＝12，0<c <12，得a >b >c ，故选A.答案：A3．[2019·内蒙古一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x 3，x ≤0，ln x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝( )A ．－1B ．1 C.32 D ．－12解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x 3，x ≤0，ln x ，x >0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝2－1－(－1)3＝32.故选C.答案：C4．[2019·西藏拉萨第二次模拟]已知a ＝0.50.8，b ＝0.80.5，c ＝0.80.8，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．a <b <c D ．a <c <b解析：由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得a ＝0.50.8<0.50.5，b ＝0.80.5>0.50.5，所以b >a ，又由c ＝0.80.8>0.50.8，所以c >a ，又b ＝0.80.5>c ＝0.80.8，所以a <c <b ，故选D.答案：D5．[2019·安徽江淮名校联考]已知函数f (x )＝1e x＋1－12，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在R 上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数，且在R 上是减函数 D ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝1e －x ＋1－12＝e xe x ＋1－12，则f (－x )＋f (x )＝0，所以f (x )是奇函数，函数f (x )＝1e x＋1－12显然是减函数．故选C. 答案：C6．[2019·山西大同模拟]函数f (x )＝|lg(2－x )|在下列区间中为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ．[1,2)解析：将y ＝lg x 的图象关于y 轴对称得到y ＝lg(－x )的图象，再向右平移两个单位长度，得到y ＝lg[－(x －2)]的图象，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，就可以得到f (x )＝|lg(2－x )|的图象如图所示，由图象知，在选项中的区间上，满足f (x )是增函数的显然只有D.故选D.答案：D7．[2019·安徽天长联考]生产一定数量商品的全部费用称为生产成本．某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本(单位：万元)为C (x )＝12x 2＋2x ＋20.一万件的售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：设利润为L (x )万元，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：B8．[2019·广西桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是( ) A ．f (x )＝x ＋|x | B ．f (x )＝x －1＋x C ．f (x )＝1x ＋tan x D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析：A 选项，因为f (x )＝x ＋|x |，所以f (－x )＝－x ＋|x |，而－f (x )＝－x －|x |，所以f (x )＝x ＋|x |不是奇函数，排除A ；B 选项，因为f (x )＝x －1＋x ，所以f (－x )＝－x －1－x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，但令f (x )＝0，可知方程无解，即f (x )没有零点，所以排除B ；D 选项，因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以f (－x )＝cos x ＝f (x )，即f (x )为偶函数，排除D ；C 选项，因为f (x )＝1x ＋tan x ，所以f (－x )＝－1x－tan x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，又由正切函数的图象和反比例函数的图象易知，曲线y ＝－1x与y ＝tan x 必然有交点，因此函数f (x )＝1x＋tan x 必有零点．故选C.答案：C9．[2019·山东青岛联考]如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0} B．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1<x ≤1} D．{x |－1<x ≤2} 解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，易知g (x )的定义域为(－1，＋∞)，作出函数g (x )的图象，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．故选C.答案：C10．[2019·西藏日喀则一高月考]如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.给出下列四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A ．②④ B．①④ C ．②③ D．①③解析：①根据二次函数的图象，可以确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴必有两个交点，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，故①正确；②∵图象的对称轴为直线x ＝－b2a ＝－1，∴2a －b ＝0，故②错误；③当x ＝－1时，由图象可知y ＝a －b ＋c ≠0，故③错误；④∵函数图象开口向下，∴a <0,5a <2a ，又b ＝2a ，∴5a <b ，故④正确．故选B.答案：B11．[2019·河北保定月考]设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2，1≤x ≤3，－13x 2＋43x ，0≤x <1，3<x ≤4，则函数g (x )＝lg x 的图象与函数f (x )的图象的交点个数为( ) A ．3 B ．5 C ．9 D ．10解析：因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数．在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )的图象与函数g (x )＝lg x 的图象，如图所示，由图可知两曲线有9个交点．答案：C12．[2019·湖北荆门模拟]若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 解析：依题意，结合函数f (x )的图象可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)×(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)×[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.答案：C13．[2019·四川德阳一诊]若函数f (x )＝2x，g (x )＝log 2x ，则f [g (2 019)]＋g [f (2 019)]＝________.解析：f [g (2 019)]＋g [f (2 019)]＝f (log 22 019)＋g (22 019)＝22log 2 019＋log 222 019＝2 019＋ 2 019＝4 038.答案：4 03814．[2019·黑龙江大庆模拟]已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，符合题意；当x ≠0时，a <3－2x 2x 2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，易知1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16取得最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1215．[2019·北京十一中月考]已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝a e －kx ，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约________年．(参考数据：log 2 0.767≈－0.4)解析：由题意可知，当x ＝5 730时，a e－5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e2 -x5730ln，得ln 0.767＝－ln 25 730x，x＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log20.767≈2 292.答案：2 29216．[2019·天津南开一模]设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－5x＋6，x≥0，4x＋4，x<0，若函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是________．解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－5x＋6，x≥0，4x＋4，x<0，函数g(x)＝x＋a－f(x)有三个零点，即方程a＝f(x)－x有三个根，f(x)－x＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－6x＋6，x≥0，3x＋4，x<0，所以函数y＝a和y＝f(x)－x的图象有三个交点．在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3.易知x2－6x＋6的最小值为－3，由3x＋4＝－3，得x＝－73，所以x1∈⎝⎛⎭⎪⎫－73，0.根据二次函数图象的对称性得到x2＋x3＝6，所以x1＋x2＋x3∈⎝⎛⎭⎪⎫113，6.答案：⎝⎛⎭⎪⎫113，6。