数学建模线性整数规划
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.6 近几年国内竞赛题
1.7 怎样学习数学建模与竞赛组队
1.8 撰写数学建模论文
1.1 数学建模由来
• 在上世纪70年代末和80年代初，英国著名的剑 桥大学专门为研究生开设了数学建模课程
•1985年由美国工业与应用数学学会和美国运筹 学会联合主办大学生数学建模竞赛（ MCM ) • 数学建模作为一门崭新的课程在20世纪80年代 进入我国高校，萧树铁先生1983年在清华大学首 次为本科生讲授数学模型课程，他是我国高校开 设数学模型课程的创始人
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
A1 A2 现有资源 例2工厂生产两种 产品A1,A2,已知 设备 1 2 8台时 生产单位产品情 4 0 甲 16公斤 况如表： 0 4 12 公斤 乙 制订生产计划,使 利润 20 30 （元） 每天获利最大 决策变量 设生产A1、A2分别x1、x2公斤
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
1.4 数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
•机理分析
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
• 1987年由姜启源教授编写了我国第一本数学 建模教材 • 1992年由中国工业与应用数学学会举办全国大 学生数学建模竞赛（ 94年起由国家教委高教司 和中国工业与应用数学学会共同举办） • 2005年全国数学建模竞赛，共有来自全国30个 省、市、自治区的795所高校8492支队（其中甲组 6556队、乙组1936队）、25476名来自各个专业的 大学生参加本次竞赛
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型分析与假设
比 xi对目标函数的 例 “贡献”与xi取值 性 成正比 xi对约束条件的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对目标函数的 可 “贡献”与xj取值 加 无关 性 xi对约束条件的 “贡献”与xj取值 无关 连续性 xi取值连续
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72 x1 64 x2 原料供应
x1 x2 50
12 x1 8 x2 480
一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机问题 最优捕鱼问题 零件的参数设计 最优截断切割问题
1998 1999 2000 2001
A B A B A B A B
投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 钻井布局 DNA 序列分类 钢管订购和运输
血管的三维重建 公交车调度
2002 2003 2004 2005
A B A B A B A B
车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 SARS 的传播 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理
长江水质的评价和预测 DVD 在线租赁
2006
2007 2008
出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效 B 的预测 A 中国人口增长预测 B A B 乘公交，看奥运 数码相机定位
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述、优化、预报、决策 … …
白箱 灰箱 黑箱
1.6 近几年全国大学生数学建模竞赛题
1992 1993 1994 A B A B A B 农作物施肥效果分析 实验数据分解 交调频率设计 足球比赛的排名问题 逢山开路 锁具装箱
1995 1996 1997
A B A B A B
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.3
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
A
2009
高等教育学费标准探讨 制动器试验台的控制方法 A 分析 B 眼科病床的合理安排
1.7 怎样学习数学建模与竞赛组队
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 想像力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 洞察力 判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
根据数学建模竞赛章程，三人组成一队。 这三人中必须一人数学基础较好， 一人应用数学软件（如Matlab,lindo,maple等） 和编程（如c,Matlab,vc++等）的能力较强， 一人科技论文写作的水平较好。 •科技论文的写作要求整篇论文的结构严谨，语言要 有逻辑性，用词要准确。 • 三人之间要能够配合得起来。若三人之间配合不好， 会降低效率，导致整个建模的失败。
• 1995-2009年学生参加全国大学生数学建模竟赛及获奖情况： 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 参赛 队数 3 4 7 7 7 10 10 15 15 16 22 28 30 32 33 全国 全国 省一等奖 一等奖 二等奖 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 6 1 2 1 3 3 2 1 3 1 2 3 2 3 3 1 3 2 4 1 3 1 9 2 5 3 7 1 8 省二等奖 省三等奖 1 1 1 1 3 2 2 5 3 4 8
• 95年我校参加全国大学生数学建模竞赛，最初 开设选修课是因为参加数学建模竞赛的需要，选 修的学生数较少，而且必须是往年成绩较优的学 生才允许选修 • 97年学校决定在原有基础上，在部分专业开设 数学建模必修课，并同时对其他专业开设数学建 模选修课 • 2000年起结合课程教学与竞赛安排，在每年五 月底或六月初举办全校大学生数学建模竞赛 •近两年数学建模课程每年选课人数2000余人
实践
理论
实践
1.5
数学模型的特点和分类
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性
模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性
模型的稳定性
模型的可转移性
数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口、交通、经济、生态 … … 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性
确定和随机
离散和连续
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
• 如果可能的话，最好是数学好的懂得编程的一些知 识，编程好的了解建模，搞论文写作也要了解建模， 这样会合作得更好。因为数学好的在建立模型方案 时会考虑到编程的便利性，以利于编程；编程好的 能够很好地理解模型，论文写作的能够更好、更完 全地阐述模型。否则会出现建立的模型不利于编程， 程序不能完全概括模型，论文写作时会漏掉一些不 经意的东西。 •在合作的过程中，最好是能够在三人中找出一个所谓 的组长，即要能够总揽全局，包括任务的分配，相互 间的合作和进度的安排。
获利16元/公斤
时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
1桶 牛奶 或
12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
数学建模
-------优化模型
第一讲
数学建模概论
第二讲 线性规划建模方法
第三讲
第四讲 第五讲 第六讲
整数规划建模方法
指派问题 动态规划建模 图论简介
第一章
数学建模概论
1.1 数学建模由来 1.2 从现实对象到数学模型 1.3 数学建模的重要意义 1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
•在建模过程中出现意见不统一——如何处理？仅我 个人的经验而言，除了一般的理解与尊重外，我觉 得最重要的一点就是“给我一个相信你的理由”和 “相信我，我的理由是……‖，不要作无谓的争论。
1.8
2、问题重述
撰写数学建模论文
1、摘要:问题、模型、方法、结果 3、模型假设与记号
4、分析与建立模型
5、模型求解 6、模型检验
1 1
1 6 4 3
• 2006-2009年学生参加美国大学生数学建模竟赛及
获奖情况：
2006年获一等奖1队，二等奖3队 2007年获一等奖1队，二等奖5队 2008年获一等奖4队，二等奖4队 2009年获一等奖2队，二等奖2队
1.2
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
max z= 20x1+30x2 (1)
目标函数
x1 2 x2 8, 4 x 0 x 16, 1 2 s.t . 0 x1 4 x2 12, x1 0, x2 0.
(2) (3) (4) (5)
约 束 条 件
一 、 从 现 实 问 题 到 线 性 规 划 模 型
7、模型推广 8、参考文献 9、附录
第二讲
线性规划建模wenku.baidu.com法
一、从现实问题到线性规划模型
二、线性规划模型的求解
三、线性规划建模实例 四、线性规划的对偶问题
一、从现实问题到线性规划模型
例1 加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或 每天: 12小时 8小时 50桶牛奶 3公斤A1 获利24元/公斤
4公斤A2
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
1.7 怎样学习数学建模与竞赛组队
1.8 撰写数学建模论文
1.1 数学建模由来
• 在上世纪70年代末和80年代初，英国著名的剑 桥大学专门为研究生开设了数学建模课程
•1985年由美国工业与应用数学学会和美国运筹 学会联合主办大学生数学建模竞赛（ MCM ) • 数学建模作为一门崭新的课程在20世纪80年代 进入我国高校，萧树铁先生1983年在清华大学首 次为本科生讲授数学模型课程，他是我国高校开 设数学模型课程的创始人
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
A1 A2 现有资源 例2工厂生产两种 产品A1,A2,已知 设备 1 2 8台时 生产单位产品情 4 0 甲 16公斤 况如表： 0 4 12 公斤 乙 制订生产计划,使 利润 20 30 （元） 每天获利最大 决策变量 设生产A1、A2分别x1、x2公斤
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
1.4 数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
•机理分析
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
• 1987年由姜启源教授编写了我国第一本数学 建模教材 • 1992年由中国工业与应用数学学会举办全国大 学生数学建模竞赛（ 94年起由国家教委高教司 和中国工业与应用数学学会共同举办） • 2005年全国数学建模竞赛，共有来自全国30个 省、市、自治区的795所高校8492支队（其中甲组 6556队、乙组1936队）、25476名来自各个专业的 大学生参加本次竞赛
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型分析与假设
比 xi对目标函数的 例 “贡献”与xi取值 性 成正比 xi对约束条件的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对目标函数的 可 “贡献”与xj取值 加 无关 性 xi对约束条件的 “贡献”与xj取值 无关 连续性 xi取值连续
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72 x1 64 x2 原料供应
x1 x2 50
12 x1 8 x2 480
一个飞行管理问题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机问题 最优捕鱼问题 零件的参数设计 最优截断切割问题
1998 1999 2000 2001
A B A B A B A B
投资的收益和风险 灾情巡视路线 自动化车床管理 钻井布局 DNA 序列分类 钢管订购和运输
血管的三维重建 公交车调度
2002 2003 2004 2005
A B A B A B A B
车灯线光源的优化设计 彩票中的数学 SARS 的传播 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理
长江水质的评价和预测 DVD 在线租赁
2006
2007 2008
出版社的资源配置 艾滋病疗法的评价及疗效 B 的预测 A 中国人口增长预测 B A B 乘公交，看奥运 数码相机定位
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述、优化、预报、决策 … …
白箱 灰箱 黑箱
1.6 近几年全国大学生数学建模竞赛题
1992 1993 1994 A B A B A B 农作物施肥效果分析 实验数据分解 交调频率设计 足球比赛的排名问题 逢山开路 锁具装箱
1995 1996 1997
A B A B A B
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.3
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
A
2009
高等教育学费标准探讨 制动器试验台的控制方法 A 分析 B 眼科病床的合理安排
1.7 怎样学习数学建模与竞赛组队
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术
技术大致有章可循 想像力 艺术无法归纳成普遍适用的准则 洞察力 判断力
• 学习、分析、评价、改进别人作过的模型
• 亲自动手，认真作几个实际题目
根据数学建模竞赛章程，三人组成一队。 这三人中必须一人数学基础较好， 一人应用数学软件（如Matlab,lindo,maple等） 和编程（如c,Matlab,vc++等）的能力较强， 一人科技论文写作的水平较好。 •科技论文的写作要求整篇论文的结构严谨，语言要 有逻辑性，用词要准确。 • 三人之间要能够配合得起来。若三人之间配合不好， 会降低效率，导致整个建模的失败。
• 1995-2009年学生参加全国大学生数学建模竟赛及获奖情况： 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 参赛 队数 3 4 7 7 7 10 10 15 15 16 22 28 30 32 33 全国 全国 省一等奖 一等奖 二等奖 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 6 1 2 1 3 3 2 1 3 1 2 3 2 3 3 1 3 2 4 1 3 1 9 2 5 3 7 1 8 省二等奖 省三等奖 1 1 1 1 3 2 2 5 3 4 8
• 95年我校参加全国大学生数学建模竞赛，最初 开设选修课是因为参加数学建模竞赛的需要，选 修的学生数较少，而且必须是往年成绩较优的学 生才允许选修 • 97年学校决定在原有基础上，在部分专业开设 数学建模必修课，并同时对其他专业开设数学建 模选修课 • 2000年起结合课程教学与竞赛安排，在每年五 月底或六月初举办全校大学生数学建模竞赛 •近两年数学建模课程每年选课人数2000余人
实践
理论
实践
1.5
数学模型的特点和分类
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性
模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性
模型的稳定性
模型的可转移性
数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口、交通、经济、生态 … … 初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性
确定和随机
离散和连续
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
• 如果可能的话，最好是数学好的懂得编程的一些知 识，编程好的了解建模，搞论文写作也要了解建模， 这样会合作得更好。因为数学好的在建立模型方案 时会考虑到编程的便利性，以利于编程；编程好的 能够很好地理解模型，论文写作的能够更好、更完 全地阐述模型。否则会出现建立的模型不利于编程， 程序不能完全概括模型，论文写作时会漏掉一些不 经意的东西。 •在合作的过程中，最好是能够在三人中找出一个所谓 的组长，即要能够总揽全局，包括任务的分配，相互 间的合作和进度的安排。
获利16元/公斤
时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
1桶 牛奶 或
12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
数学建模
-------优化模型
第一讲
数学建模概论
第二讲 线性规划建模方法
第三讲
第四讲 第五讲 第六讲
整数规划建模方法
指派问题 动态规划建模 图论简介
第一章
数学建模概论
1.1 数学建模由来 1.2 从现实对象到数学模型 1.3 数学建模的重要意义 1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
•测试分析
•二者结合
机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
模 型 准 备
了解实际背景
搜集有关信息
明确建模目的
掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
模型应用
数学建模的全过程
现 实 世 界 现实对象的信息 验证 现实对象的解答 表述
(归纳)
数学模型 求解 (演绎)
数 学 世 界
解释
数学模型的解答
表述 求解 解释 验证
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答
•在建模过程中出现意见不统一——如何处理？仅我 个人的经验而言，除了一般的理解与尊重外，我觉 得最重要的一点就是“给我一个相信你的理由”和 “相信我，我的理由是……‖，不要作无谓的争论。
1.8
2、问题重述
撰写数学建模论文
1、摘要:问题、模型、方法、结果 3、模型假设与记号
4、分析与建立模型
5、模型求解 6、模型检验
1 1
1 6 4 3
• 2006-2009年学生参加美国大学生数学建模竟赛及
获奖情况：
2006年获一等奖1队，二等奖3队 2007年获一等奖1队，二等奖5队 2008年获一等奖4队，二等奖4队 2009年获一等奖2队，二等奖2队
1.2
从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
max z= 20x1+30x2 (1)
目标函数
x1 2 x2 8, 4 x 0 x 16, 1 2 s.t . 0 x1 4 x2 12, x1 0, x2 0.
(2) (3) (4) (5)
约 束 条 件
一 、 从 现 实 问 题 到 线 性 规 划 模 型
7、模型推广 8、参考文献 9、附录
第二讲
线性规划建模wenku.baidu.com法
一、从现实问题到线性规划模型
二、线性规划模型的求解
三、线性规划建模实例 四、线性规划的对偶问题
一、从现实问题到线性规划模型
例1 加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或 每天: 12小时 8小时 50桶牛奶 3公斤A1 获利24元/公斤
4公斤A2
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 用数学的语言、符号描述问题 发挥想像力 使用类比法
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性