第6章 二次型
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。
221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。
222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。
本章仅讨论实二次型。
标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
第六章二次型
第六章二次型二次型的出现，绝大多数以计算题形式出现。
从1999-2014年的16年间，共有9年考了计算题，还有2道选择题和3道填空题。
需要掌握的概念有二次型矩阵、二次型的秩、非奇异线性变换、标准型、规范型、矩阵合同以及矩阵的正定。
计算中需要掌握利用正交变换法将二次型化为标准型以及矩阵正定的判定方法。
考试内容：二次型及其矩阵表示；合同变换与合同矩阵；二次型的秩；惯性定理；二次型的标准形和规范形；用正交变换和配方法化二次型为标准形；二次型及其矩阵的正定性。
考试要求：1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法。
一、二次型的概念及求解标准型、规范型（1）这部分需要熟练掌握第五章中实对称矩阵的相关结论，如实对称矩阵总是可以对角化；特征值为实数；属于不同特征值的特征向量正交；特征值的重数与其线性无关特征向量的个数相等；实对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
（2）主要概念：二次型矩阵，二次型的秩，非线性变换、标准型、规范型（惯性定理）和矩阵合同。
（3）需要掌握的方法：正交变化法和配方法求二次型的标准型；如何求二次型的规范型（包括快速求出规范型和化为规范型所需的非奇异线性变换）；理解配方法和正交变换法得到的标准型的关系，及其和规范型的关系；如何判定两个实对称矩阵是否合同（规范型相同或特征值符号相同）。
例6.1设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,300000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则A 与B （）（A ）合同且相似（B ）合同但不相似（C ）不合同但相似（D ）不合同且不相似例6.2二次型222123122313(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为例6.3已知二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换x Py =可化为标准型216f y =，则a =.例6.4设A 为n 阶实对称矩阵，()R A n =，ij A 是()ij n n A a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(,1,2,,)i j n = ，二次型1211(,,,)n n ij n i ji j A f x x x x x A ===∑∑ （I ）记12(,,,)T n X x x x = ,把12(,,,)n f x x x 写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(II)二次型()T g X X AX =与()f X 的规范型是否相同？说明理由。
第六章 二次型总结
第六章 二次型（一般无大题）基本概念1. 二次型: n 个变量12,,,n x x x L 的二次齐次函数212111121213131122222232322(,,,)222222n n nn n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x=++++++++++L L L L称为n 元二次型,简称二次型. 其中ij ji a a =,则()21211112121313112212122223232221122331112112122221212(,,,)2n n nn nn n n n n n nn nn n n n n nn n T f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x a a a x a a a x x x x a a a x x Ax=+++++++++++++++⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=L L L L LL L L LL L L L M L因此，二次型也记AX X f T=,A 称为二次型f 的矩阵,二次型矩阵均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一对应,并把矩阵A 的秩称为二次型的秩，记作R （f ）=R （A ）. 例题：写出下列二次型的矩阵：（p 书126例6.1）2.合同矩阵的定义及性质2.1合同矩阵定义 设,A B 均为n 阶方阵，若存在可逆矩阵C ，使得TC AC B =，则称矩阵A 与B 合同，记A B ≅.实对称矩阵A 与B 合同的充要条件是二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正,负惯性指数.(A 的正, 负惯性指数：A 的特征值的个数)合同是矩阵之间的另一种关系，它满足 （1）反身性，即T A E AE =；（2）对称性，即若T B C AC =，则有()11TA C BC --=；（3）传递性，若111T A C AC =和2212T A C AC =，则有()()21212TA C C A C C = 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.在数域P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同.2.2 合同矩阵的性质性质1 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.性质2 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 性质3 矩阵合同与数域有关.例2 设,A B 均为数域F 上的n 阶矩阵,若,A B 合同，则()()r A r B =,反之，若()()r A r B =,问在F 上是否合同？证 若A 与B 合同，即存在可逆矩阵C ，使T B C AC =.由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故A 与B 有相同的秩.反之，若()()r A r B =，则A 与B 在F 上不一定合同.例如，方阵A =1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，B =1101⎛⎫ ⎪⎝⎭的秩相等，而非对称方阵不能与对称方阵合同. 例3 设=A 1200A A ⎛⎫⎪⎝⎭，B =1200B B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.证 由于1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，故存在满秩矩阵1C ，2C ，使得1111T B C A C =，2222T B C A C =，于是令1200C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有T B C AC =，即A 与B 合同.2．3 合同矩阵的判定定理1 两复数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩. 定理2 两实数域上的n 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差. 2.4矩阵与合同矩阵的等价条件定理1 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根.则A ，B 既相似又合同. 定理2 若n 阶矩阵A ，B 中有一个是正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同.定理3 若A 与B 相似且合同，C 与D 相似且合同，则00A C ⎛⎫⎪⎝⎭与00BD ⎛⎫ ⎪⎝⎭相似且合同. 例5 已知A =400040004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =410041000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，C =220220002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A ，B ，C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？分析 矩阵A 的秩和矩阵B ,C 的秩不等，则A 不可能与B ，C 相似或合同，只有讨论B ， C 了.解 A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同.又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同.所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同.3.二次型的标准型, 规范性 标准型: 二次型12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换x Cy =化为21rT T T i i i f x Ax y C ACy d y ====∑称为f 的标准形.(在一般的数域内,二次型的标准形不是唯一的,与所作的合同变换有关,但系数不为零的平方项的个数由()r A 唯一确定)规范形: 任一实二次型f 都可经合同变换化为规范形22222121p p r f z z z z z +=+++---L L ,其中r 为A 的秩, p 为正惯性指数，n p -为负惯性指数，且规范型唯一。
第六章 二次型
第六章 二 次 型I 考试大纲要求1、考试内容：二次型及其矩阵；标准二次型和规范二次型；二次型的秩；矩阵的合同变换和合同等价；惯性定理；用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型；正定二次型和正定矩阵。
2、考试要求：1）掌握二次型及其矩阵，了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准化和规范化的概念以及惯性定理。
了解矩阵的合同变换和合同等价。
2）掌握用正交变换和配方法把二次型化为标准二次型的方法。
3）了解正定二次型和正定矩阵及其性质和判别法。
II 重要知识点一、二次型及其矩阵表示1、二次型的定义：以数域P 中的数为系数，关于n x x x ,,,21 的二次齐次多项式n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 113223112112222222111212222),,,(称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
2、二次型的矩阵表示 设n 阶对称矩阵nn n nn n a a a a a a a a a A212221211211则n 元二次型可表示为下列矩阵形式：AX X x x x a a a a a aa a a x x x x x x f Tn nn n nn n n n212122212112112121),,,(),,,( 其中T n x x x X ),,,(21 。
对称矩阵A 称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。
矩阵A 的秩称为二次型),,,(21n x x x f 的秩。
二次型与非零对称矩阵一一对应。
即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之，给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵。
3、线性变换设n x x x ,,,21 和n y y y ,,,21 为两组变量，关系式nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 其中),,2,1,(n j i c ij 为实数域R (或复数域C )中的数，称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 线性变换，简称线性变换。
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
第六章_二次型
f (x1, x2 , x3 ) 3x12 3x22 2x1x2 4x1x3 4x2x3
3 1 2
•
写出二次型对应的对称矩阵：
A
1
3
2
2 2 0
2020/6/2
利用MATLAB 和多媒体网络改进线性代数 教学的尝试
– 采用配方法和变量代换，消除表达式中的一次项，这一步对应了三维空 间的坐标系的平移；
– 根据标准方程判断二次曲面的类型。
2020/6/2
利用MATLAB 和多媒体网络改进线性代数 教学的尝试
7
例2：将一般二次曲面方程化为标准方程（只含平方项和常数项）
x2 2y2 10z2 28xy 8yz 20zx 26x 32y 28z 38 0
• 首先将 x2 2 y2 10z2 28xy 8yz 20zx 用正交变换法化为标准型
– 采用例1的办法，得到正交矩阵：
1 2 2
3 3 3
Q
2 3
1 3
2 3
2 3
2 3
1 3
– 做正交变换 X = Q Y，得： xT Ax yT (QT AQ) y 9x '2 18y '2 18z '2
2020/6/2
利用MATLAB 和多媒体网络改进线性代数 教学的尝试
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例3：用配方法将二次型化为标准型，并求所做的坐标变换。
f (x1, x2 , x3 ) 2x1x2 4x1x3
• 先按 y12 及含有的 y1 的混合项配成完全平方（再按y2、y3） f (x1, x2 , x3 ) 2 y12 2 y22 4 y1 y3 4 y2 y3 2( y12 2 y1 y3 y32 ) 2 y32 2 y22 4 y2 y3 2( y1 y3)2 2( y2 y3)2
线性代数第六章
1 2 1
1 2 1
对
A
2
2
0
进行行变换可以得到
0
2
5
，所以二次型的秩为
3．
1 0 6
0 0 17
6.1.1 二次型的基本概念
例题
5
1 2
0
例2
设
A
1 2 0
3
4
，写出矩阵
A
所对应的二次型．
4
2
解： f (x1 ，x2 ，x3 ) 5x12 3x22 2x32 x1x2 8x2 x3 ．
6.1.2 可逆变换
定义
设由变量 y1 ，y2 ，L ，yn 到 x1 ，x2 ，L ，xn 的线性变换为
x1 c 1 y1
1 c
y1 2 L2
c
n
yn
，
1
x2
c
2 y1
1 c y2 2 L2 L
c
n
yn
，
2
xn cn1 y 1 cn y2 2 L cnn yn ，
（6-3）
c11 c12 L
解：由于
f
中没有平方项，但有
x1
x2
项，由此令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
， ，即
x3
y3 ，
x1 1 1 0 y1
x2
1
1
0
y2
，
x3 0 0 1 y3
得
f ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1 y2 ) y3 y12 y22 y1 y3 y2 y3
n
nn
f aij xi xj
aij xi x j
i ，j 1
第6章二次型及其标准型
推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),
总有可逆变换 x = Pz，使 f(Pz) 为规范形.
黄凤英 二次型
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 写出二次型 f 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
对 2 = 3= 5,
对 1= 4,
4 2 4 由A 5 E 2 1 2 4 2 4
黄凤英 二次型
1 r 0 0
1 1 2 0 0 , 0 0
1 0 得 : 2 2 , 3 2 , 0 1 1 2 2 2 , 正交化得： 0 4 1 3 2 5 5
2 2 2
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中 取值，则称之为规范形.
二次型的秩的意义： 一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.
黄凤英 二次型
合同矩阵
定义 3 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆
矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.
可逆矩阵C称为合同变化矩阵.
二次型及其标准形
主要内容
二次型的概念
合同矩阵
化二次型为标准型
黄凤英 二次型
二、二次型的概念
定义 1 称 n 个变量的二次齐次多项式
f(x1 , x2 , · · · , xn ) = a11x12 + a22x22 + · · · + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2an-1,nxn-1xn 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , 于是 (2) 式可写成
第六章 二次型
第六章 二次型·矩阵的合同§1 二次型和它的标准形二次型是二次曲线和二次曲面概念的推广。
如22341x xy y -+= 代表平面内的一条二次曲线；22244841x y z xy xz yz ++---= 代表三维空间内的一张二次曲面。
它们都有一个共同的特点: 就是除了常数项外，其余各 项的次数都是2，都是二次项。
一般地，将变元的个数从2个、3个推广到n 个就有1. 二次型的定义 系数在数域K 中取值的n 个变元12,,,n x x x 的一个二次齐次多项式，称为数域K 上的一个元二次型。
它的一般形式是2121111212131311(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++2222223232222.n n nn n a x a x x a x x a x ++++++ （1）2. 二次型的矩阵 （1）式可以写成如下形式 2121111212131311(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++22121222232322n n a x x a x a x x a x x ++++++2112233n n n n n n nn n a x x a x x a x x a x +++++11nnij i j i j a x x ===∑∑，（2）其中 ,1,.ji ij a a i j n =≤≤把（2）式中的系数排成一个n 阶矩阵A （注意ji ij a a =）：1112112222122n n nsn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 称A 为二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的矩阵。
二次型的矩阵是一个对称矩阵，它由二次型唯一决定：它的主对角元依次是22212,,,n x x x 的系数；它的(,)i j 元素是i j x x 的系数的一半，其中i j ≠。
线性代数第6章二次型及其标准形
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
[ x1, x2 , x3 ]3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
1 E A 2 4 2 2 4 2 52 4
4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1
2对1
2
5, 解5E
AX
0, 得基础解系为:1
1
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
线性代数第六章
(x1 , x2 , x3 )
T
= (k ,−k ,0 )
T.
例10（1991）考虑二次型 （ ）
f = x + 4 x + 4 x + 2λx1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3
2 1 2 2 2 3
+ 2 a n − 1, n x n − 1 x n 称为二次型 .
二次型可记作 f = x T Ax , 其中 A T = A . A 称 为二次型 f的矩阵 , f称为对称阵 A 的二次型 , 对 称阵 A 的秩称为二次型 f的秩 .
二次型与它的矩阵是一一对应的． 二次型与它的矩阵是一一对应的．
提示： 提示：f = X T 1 (A* )T X = X T 1 A* X = X T A−1 X
A A
合同， 由于 A 与 A−1合同，所以 g ( X ) = X T AX 与
f ( X ) = X T A−1 X 具有相同的规范形 具有相同的规范形.
例5（2003）设二次型 （ ）
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = X T AX = ax12 + 2 x2 − 2 x3 + 2bx1 x3 (b > 0),
3） 个系数全为负。 （3） f 的标准形的n个系数全为负。 （4） f 的负惯性指数为 n 。 ） ，（或 （5） A 与负单位矩阵 E 合同，（或- E 为 A 的规范 ） 与负单位矩阵- 合同，（ 形） （6）存在可逆 矩阵 P ，使 A = − P P ）
T
（7）对称矩阵A为负定的充分必要条件是 : 奇数阶主子 ）
( 2 )任给实二次型 f = ∑ a ij x i x j ( a ij = a ji ), 总
第六章 二次型
6.3 基本内容6.3.1 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n 变量的二次齐次函数n n n x x x x x x x x x x f 1131132112211121222),,,(αααα++++=ΛΛ2222x α+ n n x x x x 22322322αα+++ΛΛ+2n nn x α+j i n i nj ijx x ∑∑===11α(其中∈=ij ji ij αααR )，称为n 个变量n x x x ,,,21Λ的二次型。
注 若0=ij α（n j i j i ,,2,1,,Λ=≠）则称f 为标准型。
(1) 矩阵形式Ax x x T=)(f其中[]n n ij Tn A x x x ⨯==)(,,,,21αΛx ，这里ji ij αα=，即A 为实对称矩阵。
注1 实对阵矩阵A 成为二次型f 的矩阵，而A 的秩称为该二次型的秩。
注 2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。
注3标准型的矩阵是对角阵。
6.3.2 与二次型的标准型有关的概念 (1) 满秩线形变换设[][]n n ij Tn Tn p y y y x x x ⨯===)(,,,,,,,,2121P y x ΛΛ可逆，则称x=Py 为由n x x x ,,,21Λ到n y y y ,,,21Λ的满秩线形变换。
注 若P 为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。
(2) 合同矩阵设A ，B 为n 阶方阵，若存在n 阶可逆阵C ，使 B AC C T=则A 合同与B ，C 为合同变换阵。
注1 若C 为正交阵，满足B AC C T=，A 与B 既合同，又相似。
注2 合同矩阵秩相等。
注3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。
(3) 对任一个二次型Ax x Tf =，总可以通过满秩线形变换x=Py 化为 2222211r r y d y d y d f +++==ΛAy P y TT成为f 的标准型。
第六章二次型
第六章二次型6.1二次型的概念及其标准型 6.1.1二次型的概念n n(1)含有n个变量X1,X2,…，X n的二次齐次多项式：f(X1,X2,…，X n )=2送a j X j X j，7 y其中a j =aji，则称为n元二次型.⑵二次型的矩阵形式为f(X1,X2,…，X n )=X T A X，其中X =(X1,X2,…,X n J , A是n阶实对称矩阵.⑶ 矩阵A的秩r(A称为二次型f的秩，记作r(f ).6.1.2二次型的标准形(1)标准形的概念如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 XjXjU H j)的系数全为零，即:T 2 2 2f(X1,X2,…，X n )=x Ax^dx + d2X2 屮…+d n X n，其中 dj(i=O,1,…，n)为实数,则称这样的二次型为标准形.(2)标准形的惯性指数在标准形中，正平方项的个数P称为正惯性指数；负平方项的个数q称为负惯性指数.(3)二次型的标准形转化任意的n元二次型x T Ax都可以通过坐标变换X = Cy ( C 是可逆矩阵)化为标准形，即：X T Ax^=Cy(Cy T A(Cy )= y T(C T AC k = y T A y =4』1+d2y2 中…^皿.注：特别地，存在正交矩阵C，二次型x T Ax可以通过正交变换x=Cy化为标准形，即：X T A X —(Cy T A(Cy )= yTQ’AC k = y T A y =人％+入2y2 屮"+几Pn，其中2,…入为矩阵A的特征值.6.1.3惯性定理实二次型的标准形中，非零平方项的个数是唯一确定的，它等于这个二次型矩阵 的秩；正平方项的个数（正惯性指数）或负平方项的个数（正惯性指数）也是唯一确 定的，即：实二次型的标准形的正负惯性指数与所选取的坐标变换无关 . 【例6.1】寻找适合的旋转变换，将椭圆5洛2-4x 4X 2 +5X 22 =48化为标准形式■解：根据题意有二次型矩阵为A =[: ：2 由于"E -A 卜y ；5 、2J=（几-3皿—7）=0，所以特征值为几1=3，心=7,2 A — 5 I所以得到特征向量为 旳=（1,1T ,单位化为必得到标准形为3y^ + 7y^ =48.2 2【例 6.2 】化二次型 f (x 1,x 2,X 3 )=2x 1 +x 2 -472 -4X 2X 3 为标准形. 解：方法1:正交变换法A 的特征值入 1 =4，S =1，為=-2，相应的单位特征向量为口1二丄心-?」『,3“知如宀中2,2）】对于几=3，由 |3E _Ax=0，|3E -A =|r-2 I 22 1~「-2 I = I -2」〔0 21 0」，对于入=7，由7E — A X = 0，7E - A J 2 口 [2 2 2」[0口 2 21，■ 0」，所以得到特征向量为。
二次型
形如 f=d1y12+d2y22+…+dryr2 (r≤n) 的二次型称为标准形 标准形。 的二次型称为标准形。 若对n阶方阵 和 ，存在可逆阵P, 若对 阶方阵A和B，存在可逆阵 阶方阵 合同。 使 PTAP=B，则称 与B合同。 ，则称A与 合同 定理1 合同矩阵秩相等。 定理 合同矩阵秩相等。
则
f = u12+…+ up2- up+12-…- ur2
称其为f的规范形，是唯一的。 称其为 的规范形，是唯一的。
二次型§ 惯性定理（ 第六章 二次型§3 惯性定理（续1） ）
元实二次型 定义 设f=XTAX 为n元实二次型 ，若对 元实 任意n维非零列向量 维非零列向量X，均有X 任意 维非零列向量 ，均有 TAX>0,则称 则称 f=XTAX为正定二次型，A为正定矩阵。 为正定二次型， 为正定矩阵。 定理4 阶实对称矩阵， 定理 设A为n阶实对称矩阵，则下列 为 阶实对称矩阵 命题等价： 命题等价： ①f=XTAX正定； 正定； 正定 的正惯性指数为n ② f=XTAX 的正惯性指数为 ； 存在可逆阵P, ③存在可逆阵 使A=PTP; 个特征值全大于0。 ④A的n个特征值全大于 。 的 个特征值全大于
第六章 二次型 §2 化二次型为标准形
定理2 定理 对n元二次型 f=XTAX，存在正交变换 元 ，存在正交变换X=QY, 化为标准形 使f化为标准形。 化为标准形。 证明： 为实对称阵 为实对称阵， 存在正交 正交阵 使 证明：A为实对称阵，∴存在正交阵Q,使 Q-1AQ= Λ ，即QTAQ= Λ ， 0 λ1 Λ= ... 0 λn 令X=QY，则 f=XTAX=YTQTAQY=YT ΛY ， = λ 1y12+ λ 2y22+…+ λ nyn2 为标准形。 的特征值) 为标准形。(λi为A的特征值 的特征值 推论：对实二次型 推论：对实二次型 f=XTAX，存在可逆线性变换 ，存在可逆线性变换X=PY, 化为标准形 使f化为标准形 1y12+d2y22+…+ dnyn2 化为标准形:d (di未必是 的特征值 未必是A的特征值 的特征值)
二次型
dp d p 1
x 1 x2 xn d n
二次型的矩阵表示
f ( x，y ) ax 2bxy cy
2 2
a b x x y b c y
二次型的矩阵表示
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
最简单情形：（必要时交换变量的次序）
f ( x1，x2， ，xn )
x x
2 1 2 2
x x
2 p
2 p 1
x
2 n
称之为规范形； p q=n-p 正惯性指数； 负惯性指数。
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
n )
回顾：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
2，…，n，αi 为 λi 的单位正交特征向量，则
Q AQ diag (1，2， ，n )
T
Q (1 2
1
n )
定理：设 A 为对称矩阵，特征值为 λi，i=1，
二次型分类：正定、负定、不定。 若二次型 f (x) = xTAx 正定 (负定、不定)，则 称对称矩阵 A 正定 (负定、不定)。
正定二次型
性质：正定(相应地，负定)二次型 f (x) = xTAx 经非退化 (也称作非奇异、可逆) 线性变换仍
正定 (相应地，负定)。 即：若矩阵 P 可逆，x = Py，则二次型
-3 - 1 5
正定二次型
例3：求二次型 f (x) = xTAx 的标准形，其中
5 -3 3 - 3
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二次型
§6-1. 二次型及其矩阵表示
§6-2. 二次型的标准形
§6-3. 正定二次型
二次型源于解析几何中对二次曲线的 研究，对多元二次型的讨论, 矩阵作为一种
重要的工具. 本章中，我们主要讨论二次型
与矩阵的关系、以及如何化二次型为标准型
等问题.
一、二次型及其矩阵表示
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
1 1 A 1 0 3 1 2 2
练习
f
x T Ax.
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵 的二次型; A
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
2．求特征向量
将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系 1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 2 ( 2,1,0)T , 3 ( 2,0,1)T .
i , j 1
n
2．用矩阵表示 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n x1 (a11 x1 a12 x 2 a1n x n ) x 2 (a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n )
2 2 2 d1 y1 d2 y2 dn yn
的二次型，称为二次型的标准形． 注：标准型是一种特殊的、简单化了的二次型。
2 2 2 例如 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为一般的二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型中的标准形.
标准形对应的矩阵是对角矩阵，因此二次型 化为标准形的问题，就是对称矩阵与对角矩阵合 同的问题.
由于对任意的实对称矩 A, 总有正交矩阵P , 阵 使 P 1 AP ,即 P T AP .把此结论应用于二次 型, 有
定理 任给一个 元实二次型f xT Ax , 一定存在 n
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
正交变换 Py, 使 f 化为标准形 x
其中1 , 2 ,, n是 A的特征值，正交矩阵 n个列 P的 向量为 的对应于特征值的单位 A 正交特征向量 .
i 令 i , i 1,2,3, i
1 1 2 2
2 5 2 45 3 3 , 2 1 5 , 3 4 45 . 0 5 45 3
2 45 4 45 . 5 45
称为由变量1 , y2 ,, yn到变量 1 , x2 ,, xn的一个 y x
线性变换. 记C (cij ),
则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
其中
x1 c11 c12 x2 c21 c22 x , C x c n n1 c n 2
1 1 1 单位化即得 p1 . 2 1 1
当2 3 4 1时, 解方程 A E ) x 0, (
可得正交的基础解系 1 0 1 1 0 1 2 , 3 , 2 , 0 1 1 0 1 1 Biblioteka 解它的特征多项式为
1 A E 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 ( 3)( 1)3 . 1
于是A的特征值为 1 3, 2 3 4 1.
当1 3时, 解方程 A 3 E ) x 0, (
1 1 得基础解系 1 , 1 1
设二次型 f xT Ax, 经可逆的线性变换x Cy后, 变成
f x Ax Cy
T
T
yT C T AC y yT By ACy
其中 B C T AC
由 BT (C T AC )T C T AC B 知B为对称矩阵 .
定义
设A, B都是n阶方阵, 如果存在n阶可逆矩 C T AC B
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
a ij x i x j .
1 ,2 ,,n , 记P 1 ,2 ,,n ;
2 2 f 1 y1 n yn .
（5）作正交变换x Py , 则得f 的标准形
例
将二次型
2 2 2 f 17 x1 14x2 14x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
c1n c2 n , cnn
y1 y2 y , y n
称C为该线性变换的矩阵 .
当 | C | 0时, 称该线性变换是可逆的或非退化的. 当C为正交矩阵时, 称该线性变换是正交变换.
线性变换把二次型变成二次型，二次型的化简就是要 寻求可逆的线性变换将二次型变成比较简单的形式．
3．将特征向量正交化 ( 3 , 2 ) 2 , 取2 2 , 3 3 ( 2 , 2 ) 得正交向量组 T T (1 2,1,1) , 2 ( 2,1,0) , 1 1 T ( 2 5, 4 5 ,1) . 3
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
通 过 正 交 变 换 Py, 化 成 标 准 形 x .
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 17 2 2 A E 2 14 4 182 9 2 4 14
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
（） 1 将二次型表成矩阵形式 xT Ax, 求出A; f
（2） 求出A的所有特征值1 , 2 ,, n ; （3） 求出对应于特征值的特 征向量 1 ,2 ,,n ;
（4） 将特征向量 1 , 2 ,, n正 交 化 单 位 化 得 , ,
阵C，使 则称A与B 合同.
注：
（2）合同关系是一种等价关系，具有自反性、对称 性、传递性；
（1）合同的矩阵有相同的秩； （合同是一种特殊的等价）
（3）二次型经可逆的线性变换后，对应的矩阵合同。
二、 二次型的标准形
二 次 型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax , 经 可 逆 线 性 变 换 定义 x Cy后, 变 成 只 含 平 方 项
写成矩阵形式.
解
a11 1, a22 0, a33 4,
1 3 a12 a21 1, a13 a31 , a23 a32 . 2 2 二次型 f 可写成 3
2 1 . 2 4
3 1 1 2 x1 1 0 1 ( x1 , x2 , x3 ) x 2 2 3 1 4 x3 2 2
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
例
求 一 个 正 交 变 换 Py把 二 次 型 x f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x 2 x4 2 x 3 x4
化为标准形 .
1 1 1 0 0 1 1 1 , 二次型的矩阵为 A 1 1 0 1 1 1 1 0
得
所以
1 3 2 5 P 2 3 1 5 2 3 0
于是所求正交变换为
x1 1 3 2 5 2 45 y1 x2 2 3 1 5 4 45 y2 , x 2 3 0 5 45 y3 3
二次型的表示法
1．用和号表示 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi , 于是
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
定义
关系式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn , x c y c y c y , 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
a1n x1 a2 n x2 , x , x ann n
则二次型可记作 f xT Ax, 其中A为实对称矩阵.
例
将二次型
2 f x12 2 x1 x2 3 x1 x3 x2 x3 4 x3
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1, n xn1 xn