福州市长乐市2015-2016学年八年级上期末数学试卷含答案解析

2015-2016学年福建省福州市长乐市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分） 1．点P （﹣2，3）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（﹣2，3） C ．（2，﹣3）D ．（﹣2，﹣3）2．下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．x 4+x 4=x 8B ．x 6÷x 2=x 3C ．xx 4=x 5D ．（x 2）3=x 85．若分式有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x=3B ．x ＜3C ．x ≠0D ．x ≠36．下列分解因式正确的是（ ）A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1）B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）27．对式子a ﹣b+c 进行添括号，正确的是（ ）A ．a ﹣（b+c ）B ．a ﹣（b ﹣c ）C ．a+（b ﹣c ）D ．a+（b+c ）8．计算2.7×10﹣8﹣2.6×10﹣8，结果用科学记数法表示为（ ）A ．0.1×10﹣8B ．0.1×10﹣7C ．1×10﹣8D ．1×10﹣99．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有（）A．2对B．3对C．4对D．5对10．如图，长度分别为3，4，5，7的四条线段首尾相接，相邻两线段的夹角可调整，则任意两端点的距离最大值为（）A．7 B．9 C．10 D．12二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．把分式与通分，其最简公分母为．12．如图，△ABC≌△ADC，若∠B=80°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为度．13．若x2+ax+4是完全平方式，则a=．14．已知是整数，则正整数n的最小值为．15．两个全等的正十二边形按如图所示的方式摆放，其中两顶点重合，则∠α=度．16．顶角是36°的等腰三角形称为黄金三角形，设黄金三角形的底边与腰之比为m．如图，在黄金△ABC中，AB=AC=1，BD平分底角ABC，得到第二个黄金△BCD，CE平分底角BCD，得到第三个黄金△CDE，以此类推，则第2016个黄金三角形的周长为（用含m的式子表示）．三、解答题（共8小题，满分62分）17．计算：（1）（﹣）﹣1﹣（﹣）2015×（1.5）2016+20160（2）．18．化简：（1）（2x+1）（x﹣3）（2）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2a）19．先化简，再求值：（），其中x=+1．20．如图，在△ABC中，AD=BD，AD⊥BC于点D，∠C=55°，求∠BAC的度数．21．如图，C是AB的中点，∠A=∠B，∠BCD=∠ACE，求证：AD=BE．22．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？23．如图1，△ABC中，∠BAC=60°，O是△ABC内一点，△ABO≌△ACD，连接OD．（1）求证：△AOD为等边三角形；（2）如图2，连接OC，若∠BOC=130°，∠AOB=∠α．①求∠OCD的度数；②当△OCD是等腰三角形时，求∠α的度数．24．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），其中b＞a＞0，点C在第一象限，BA⊥BC，BA=BC，点F在线段OB上，OA=OF，AF的延长线与CB的延长线交于点D，AB与CF交于点E．（1）直接写出点C的坐标：（用含a，b的式子表示）；（2）求证：∠BAF=∠BCE；（3）设点C关于直线AB的对称点为M，点C关于直线AF的对称点为N．求证：M，N 关于x轴对称．2015-2016学年福建省福州市长乐市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】利用关于y轴对称点的性质得出答案即可．【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是：（2，3）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．2．下列四个腾讯软件图标中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．下列根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；D、被开方数含分母，故D错误；故选：A．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4．下列运算正确的是（）A．x4+x4=x8B．x6÷x2=x3C．xx4=x5D．（x2）3=x8【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A、合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；D、幂的乘方，底数不变指数相乘，故选：C．【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．5．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x=3 B．x＜3 C．x≠0 D．x≠3【考点】分式有意义的条件．【分析】由分式有意义的条件可知：3﹣x≠0，从而可求得x的范围．【解答】解：∵分式有意义，∴3﹣x≠0．∴x≠3．故选：D．【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，明确分式的分母不为0是解题的关键．6．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1）B．x2﹣1=（x+1）（x﹣1）C．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2 D．x2+2x﹣1=（x﹣1）2【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），故本选项错误；B、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故本选项正确；C、x2﹣x+2=x（x﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误；D、应为x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．7．对式子a﹣b+c进行添括号，正确的是（）A．a﹣（b+c）B．a﹣（b﹣c）C．a+（b﹣c）D．a+（b+c）【考点】去括号与添括号．【分析】依据添括号法则进行判断即可．【解答】解：a﹣b+c=a﹣（b﹣c）．故选：B．【点评】本题主要考查的是添括号法则，掌握添括号法则是解题的关键．8．计算2.7×10﹣8﹣2.6×10﹣8，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×10﹣8B．0.1×10﹣7C．1×10﹣8D．1×10﹣9【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：2.7×10﹣8﹣2.6×10﹣8=（2.7﹣2.6）×10﹣8=0.1×10﹣8=1×10﹣9，故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则图中互余的角有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【考点】余角和补角．【分析】根据余角的定义以及直角三角形两锐角互余的性质解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠A与∠B互余，∠ACD与∠DCB互余．∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∠CDB=90°．∴∠A与∠ACD互余，∠B与∠DCB互余．故选：C．【点评】本题主要考查的是余角的定义，掌握余角的定义是解题的关键．10．如图，长度分别为3，4，5，7的四条线段首尾相接，相邻两线段的夹角可调整，则任意两端点的距离最大值为（）A．7 B．9 C．10 D．12【考点】三角形三边关系．【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【解答】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、6作为三角形，则三边长7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；②选3、4+5、7作为三角形，则三边长为3、9、7；7﹣3＜9＜7+3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9．故选：B．【点评】此题主要考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．把分式与通分，其最简公分母为6x2y2．【考点】最简公分母．【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．【解答】解：分式与最简公分母是6x2y2，故答案为：6x2y2．【点评】此题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．12．如图，△ABC≌△ADC，若∠B=80°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为130度．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCA，根据全等的性质得出∠DCA=∠BCA=65°，即可求出答案．【解答】解：∵∠B=80°，∠BAC=35°，∴∠BCA=180°﹣∠B﹣∠BAC=65°，∵△ABC≌△ADC，∴∠DCA=∠BCA=65°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=130°，故答案为：130．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠BCA=∠DCA是解此题的关键．13．若x2+ax+4是完全平方式，则a=±4．【考点】完全平方式．【分析】这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去a和2积的2倍，故a=±4．【解答】解：中间一项为加上或减去a和2积的2倍，故a=±4，故答案为：±4．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．14．已知是整数，则正整数n的最小值为21．【考点】二次根式的定义．【分析】因为是整数，且==，则21n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为21．【解答】解：∵==，且是整数；∴是整数，即21n是完全平方数；∴n的最小正整数值为21．故答案为：21【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则=．除法法则=．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．15．两个全等的正十二边形按如图所示的方式摆放，其中两顶点重合，则∠α=60度．【考点】多边形内角与外角．【分析】由图可知：重合的部分是一个六边形，首先求正十二边形每一个内角的度数和六边形的内角和，进一步求得2∠α，再进一步得出答案即可．【解答】解：正十二边形内角为=150°，六边形的内角和180°×（6﹣2）=720°，则∠α=×（720°﹣150°×4）=60°．故答案为：60．【点评】此题考查多边形的内角和，掌握多边形内角和的求法是解决问题的关键．16．顶角是36°的等腰三角形称为黄金三角形，设黄金三角形的底边与腰之比为m．如图，在黄金△ABC中，AB=AC=1，BD平分底角ABC，得到第二个黄金△BCD，CE平分底角BCD，得到第三个黄金△CDE，以此类推，则第2016个黄金三角形的周长为m2015（2+m）（用含m的式子表示）．【考点】黄金分割．【专题】规律型．【分析】根据三角形相似的判定定理得到△BCD∽△ABC，根据题意求出△BCD与△ABC 的周长比，总结规律得到答案．【解答】解：∵黄金三角形的底边与腰之比为m，AB=AC=1，∴BC=m，∴△ABC的周长为：2+m，∵△BCD与△ABC都是黄金三角形，∴△BCD∽△ABC，又=m，∴△BCD与△ABC的周长比为m，∴第二个黄金△BCD的周长为m（2+m），同理，第三个黄金△CDE的周长为m2（2+m），…∴第2016个黄金三角形的周长为m2015（2+m）．故答案为：m2015（2+m）．【点评】本题考查的是化简三角形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分62分）17．计算：（1）（﹣）﹣1﹣（﹣）2015×（1.5）2016+20160（2）．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】（1）分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先去绝对值符号，再把各根式化为最减二次根式，由实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：（1）原式=﹣2﹣[（﹣）×1.5]2015×1.5+1=﹣2++1=；（2）原式=﹣﹣（﹣1）=﹣﹣+1=4﹣3﹣+1=1．【点评】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．18．化简：（1）（2x+1）（x﹣3）（2）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2a）【考点】整式的混合运算．【专题】计算题；整式．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=2x2﹣6x+x﹣3=2x2﹣5x﹣3；（2）原式=a2+2ab+b2﹣a2+b2+b2﹣2ab=3b2．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．先化简，再求值：（），其中x=+1．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】首先根据分式化简的方法，把（）化简；然后把x=+1代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（）=（+）=×=x﹣1当x=+1时，原式=+1﹣1=．【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．20．如图，在△ABC中，AD=BD，AD⊥BC于点D，∠C=55°，求∠BAC的度数．【考点】直角三角形的性质．【分析】根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD，然后求出∠BAD，再求解即可．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠C=55°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣55°=35°，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=45°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+35°=80°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，等腰直角三角形的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．21．如图，C是AB的中点，∠A=∠B，∠BCD=∠ACE，求证：AD=BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据题意得出∠ACD=∠BCE，AC=BC，进而得出△ADC≌△BEC即可得出答案．【解答】证明：∵C是线段AB的中点，∴AC=BC．∵∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（ASA）．∴AD=BE．【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】（1）设第一次购进x件文具，则第二次就购进2x件，根据第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，可列方程求解．（2）利润=售价﹣进价，根据（1）算出件数，然后算出总售价减去成本即为所求．【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，则第二次就购进2x件文具，由题意得：=﹣2.5解之得x=100，经检验，x=100是原方程的解，2x=2×100=200答：第二次购进200件文具．（2）（100+200）×15﹣1000﹣2500=1000（元）．答：盈利1000元．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出数量，以价格做为等量关系列方程求解，然后根据利润=售价﹣进价，求出利润即可．23．如图1，△ABC中，∠BAC=60°，O是△ABC内一点，△ABO≌△ACD，连接OD．（1）求证：△AOD为等边三角形；（2）如图2，连接OC，若∠BOC=130°，∠AOB=∠α．①求∠OCD的度数；②当△OCD是等腰三角形时，求∠α的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）根据全等三角形得到AO=AD，∠BAO=∠CAD，由∠BAC=60°，求得∠OAD=60°，即可得到结论；（2）①根据△AOD为等边三角形，求得∠AOD=∠ADO=60°，求得∠DOC=360°﹣α﹣130°﹣60°=170°﹣α，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠AOB=α，于是得到∠OCD=180°﹣∠DOC﹣∠ODC=70°；②当△OCD是等腰三角形时，（Ⅰ）当OD=OC，由∠DOC=170°﹣α，得到∠OCD=∠ODC==，列方程得到α=130°（Ⅱ）当OD=CD，于是得到∠OCD=∠COD=170°﹣α；求得∠ODC=180°﹣2×170°+2α=2α﹣160°，列方程即可得到α=100°；（Ⅲ）当OC=CD，于是得到∠ODC=∠COD=170°﹣α，列方程即可得到α=115°．【解答】解：（1）∵△ABO≌△ACD，∴AO=AD，∠BAO=∠CAD，∵∠BAC=60°，∴∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形；（2）①∵△AOD为等边三角形，∴∠AOD=∠ADO=60°，∵∠BOC=130°，∠AOB=∠α，∴∠DOC=360°﹣α﹣130°﹣60°=170°﹣α，∵△ABO≌△ACD，∴∠ADC=∠AOB=α，∴∠ODC=α﹣60°，∴∠OCD=180°﹣∠DOC﹣∠ODC=70°；②当△OCD是等腰三角形时，（Ⅰ）当OD=OC，∵∠DOC=170°﹣α，∴∠OCD=∠ODC==，∴60°+=α，解得：α=130°（Ⅱ）当OD=CD，∴∠OCD=∠COD=170°﹣α；∴∠ODC=180°﹣2×170°+2α=2α﹣160°，∴60°+2α﹣160°=α，解得：α=100°；（Ⅲ）当OC=CD，∴∠ODC=∠COD=170°﹣α，∴170°﹣α+60°=α，解得：α=115°．综上所述：当△OCD是等腰三角形时，∠α的度数为：130°，100°，115°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），其中b＞a＞0，点C在第一象限，BA⊥BC，BA=BC，点F在线段OB上，OA=OF，AF的延长线与CB的延长线交于点D，AB与CF交于点E．（1）直接写出点C的坐标：（b，a+b）（用含a，b的式子表示）；（2）求证：∠BAF=∠BCE；（3）设点C关于直线AB的对称点为M，点C关于直线AF的对称点为N．求证：M，N 关于x轴对称．【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；轴对称的性质．【分析】（1）过C点作CP⊥y轴于点P，根据AAS证明△AOB≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得到点C的坐标；（2）根据全等三角形的性质的性质和等量代换即可得到结论；（3）根据SAS证明△DAH≌△GAH，根据全等三角形的性质即可求解．【解答】（1）解：如图1，过C点作CP⊥y轴于点P，∵CP⊥y轴，∴∠BPC=90°，∴∠BPC=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBP=90°，∵∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CBP=∠BAO，在△AOB与△BEC中，，∴△AOB≌△BPC（AAS），∴CE=OB=b，BE=OA=a，∴OP=OB+BP=a+b，∴点C的坐标为（b，a+b），故答案为：（b，a+b）；（2）证明：∵△AOB≌△BPC，∴BP=OA=OF，CP=BO，∴FP=OB=CP，∴∠PFC=45°，∠AFC=90°，∴∠BAF=∠BCE；（3）证明：如图2，∵点C关于直线AB的对称点为M，点C关于直线AF的对称点为N，∴AM=AC，AN=AC，∴AM=AN，∵∠1=∠5，∠1=∠6，∴∠5=∠6，在△MAH与△NAH中，∴，∴△MAH≌△NAH（SAS），∴MH=NH，∴M，N关于x轴对称．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关于直线对称的性质．关键是AAS证明△AOB≌△BEC，SAS证明△DAH≌△GAH．。