人教A版高中数学必修4同步练习-诱导公式五、六
人教版高中数学必修四练习1.3诱导公式五、六(第2课时)
基础达标1.(山东临沂高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=13,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,则tan α等于( ).A .-2 2B .2 2C .-24D .24解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=cos α=13,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,∴sin α=-1-cos 2α=-223,∴tan α=sin αcos α=-2 2.答案 A2.已知f (sin x )=cos 3x ,则f (cos 10°)的值为( ). A .-12 B .12 C .-32D .32解析 f (cos 10°)=f (sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-12. 答案 A3.若sin(π+α)+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-m ,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α+2sin(6π-α)的值为( ).A .-23m B .-32m C.23mD .32m解析 ∵sin(π+α)+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-m ,即-sin α-sin α=-2sin α=-m ,从而sin α=m2,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α+2sin(6π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-32m .答案 B4.计算cos (-585°)sin 495°+sin (-570°)的值等于________.解析 原式=cos (360°+225°)sin (360°+135°)-sin (360°+210°)=cos 225°sin 135°-sin 210°=-cos 45°sin (90°+45°)-sin (180°+30°) =-2222+12=2-2.答案2-25.若cos α=15,且α是第四象限角,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=________.解析 ∵cos α=15,且α是第四象限角, ∴sin α=-1-cos 2α=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫152 =-265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=-sin α=265. 答案2656.(2012·菏泽高一检测)化简sin(π+α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+α+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α·cos(π+α)=________.解析 原式=sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α-cos αcos α=-sin 2α-cos 2α=-1.答案 -17.(2012·南昌期末)已知sin(π+α)=-13. 计算:(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-3π2;(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α;(3)tan(5π-α).解 ∵sin(π+α)=-sin α=-13,∴sin α=13. (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-3π2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α=-sin α=-13.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α,cos 2α=1-sin 2α=1-19=89.∵sin α=13,∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α=223.②当α为第二象限角时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α=-223.(3)tan(5π-α)=tan(π-α)=-tan α, ∵sin α=13,∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时,cos α=223, ∴tan α=24,∴tan(5π-α)=-tan α=-24.②当α为第二象限角时,cos α=-223,tan α=-24, ∴tan(5π-α)=-tan α=24.能力提升8.若角A ,B ,C 是△ABC 的三个内角,则下列等式中一定成立的是( ). A .cos(A +B )=cos C B .sin(A +B )=-sin C C .cos A +C2=sin BD .sin B +C 2=cos A 2解析 ∵A +B +C =π,∴A +B =π-C , ∴cos(A +B )=-cos C ,sin(A +B )=sin C , 故A ,B 错;∵A +C =π-B ,∴A +C 2=π-B2, ∴cos A +C 2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B 2=sin B 2,故C 错;∵B +C =π-A ,∴sin B +C 2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-A 2=cos A 2,故D 正确.答案 D9.(2012·池州高一检测)已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin 3,-2cos 3),则角α的弧度数为________. 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α=-cos 3,cos α=sin 3,∵3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π,∴sin 3>0,cos 3<0.即α的终边在第一象限. ∴cos α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-3=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3-π2.又∵3-π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴α=3-π2.答案 3-π210.是否存在角α,β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,β∈(0,π),使等式⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π-α)=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-β3cos (-α)=-2cos (π+β)同时成立.若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.解 由条件,得⎩⎨⎧sin α=2sin β, ①3cos α=2cos β. ②①2+②2,得sin 2α+3cos 2α=2,③ 又因为sin 2α+cos 2α=1,④由③④得sin 2α=12,即sin α=±22,因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,所以α=π4或α=-π4.当α=π4,代入②得cos β=32,又β∈(0,π), 所以β=π6时,代入①可知符合.当α=-π4时,代入②得cos β=32,又β∈(0,π), 所以β=π6, 代入①可知不符合.综上所述,存在α=π4,β=π6满足条件.。
诱导公式五、六
第一章
1.3 1.3.2
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公式五和公式六可以概括为: π α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函 2 ± 数值,前面加上一个把α看成 锐角 时原函数值的符 号,公式一~六都叫做诱导公式
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3π 1 1 (1)∵cos(α- )=-sinα= ,∴sinα=- , 2 5 5 2 6 ∵α为第三象限角,∴cosα=- , 5 2 6 ∴f(α)=-cosα= 5 . (2)∵-1860° =-5×360° -60° , 1 ∴f(-1860° )=-cos(-5×360° -60° )=- . 2
第一章 1.3 1.3.2
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[解析] f(α)=
3π sin 2 -α sinα· cos-α· 3π cos 2 -α
cosα+π
-cosα sinα· cosα· -sinα = =-cosα. -cosα
存在,求出 α、 β 的值;若不存在,说明理由.
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[分析]
题中所给条件式比较繁琐,故先化简,然后利用
平方关系消去 α(或 β)解方程可求出角 α 与 β 的一个三角函数值 和其范围,进一步求出角.
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高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1.预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P 26~P 27的内容,回答下列问题. 如图所示,设α是任意角,其终边与单位圆交于点P 1(x ,y ),与角α的终边关于直线y =x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么? 提示:P 2(y ,x ).(2)π2-α的终边与角α的终边关于直线y =x 对称吗?它们的正弦、余弦值有何关系?提示:对称.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=cos α,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α. 2.归纳总结,核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一~六可归纳为k ·π2±α的形式,可概括为“奇变偶不变,符号看象限”:①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的.②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的.③“象限”指k ·π2±α中,将α看成锐角时,k ·π2±α所在的象限,根据“一全正,二正弦、三正切,四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗? 提示:是.(2)在△ABC 中,角A 2与角B +C2的三角函数值满足哪些等量关系?提示:∵A +B +C =π,∴A 2=π2-B +C2,∴sin A 2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B +C 2=cos B +C 2,cos A 2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B +C 2=sin B +C 2.[课前反思](1)诱导公式五: ;(2)诱导公式六: .知识点1化简求值讲一讲1.已知f (α)=sin π-αcos 2π-αcos ⎝⎛⎭⎪⎫-α+3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin ()-π-α.(1)化简f (α);(2)若α为第三象限角,且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-3π2=15,求f (α)的值;(3)若α=-31π3,求f (α)的值.[尝试解答] (1)f (α)=sin αcos α()-sin αsin αsin α=-cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-3π2=-sin α=15,∴sin α=-15, 又∵α为第三象限角,∴cos α=-1-sin 2α=-265,∴f (α)=265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-31π3=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-31π3=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-6×2π+5π3 =-cos 5π3=-cos π3=-12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法:三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系,据此灵活应用相关的公式及变形,解决问题.(2)技巧:①异名化同名;②异角化同角;③切化弦. 练一练1.已知f (x )=sin 3π-x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x -3π2tan x -2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x cos ⎝⎛⎭⎪⎫-x -π2tan x -5π.(1)化简f (x );(2)当x =π3时,求f (x )的值;(3)若f (x )=1,求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x -7π2的值.解:(1)f (x )=sin x -sin x tan xcos x -sin x tan x =tan x .(2)当x =π3时,f (x )=tan π3= 3.(3)若f (x )=1,则tan x =1,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-x cos ⎝⎛⎭⎪⎫-x -7π2=-cos x sin x =-1tan x =-1.知识点2条件求值问题讲一讲2.(1)已知cos 31°=m ,则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1-m2mB.1-m 2C .-1-m 2mD .-1-m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=12,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α的值为________. [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)·tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)·(-tan 31°) =-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°=1-cos 231°=1-m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6+α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=12. 答案:(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角,函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.练一练2.已知cos(π+α)=-12,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α的值. 解:∵cos(π+α)=-cos α=-12,∴cos α=12,∴α为第一或第四象限角.①若α为第一象限角,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-sin α=-1-cos 2α=-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=-32; ②若α为第四象限角,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-sin α=1-cos 2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3.求证:2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ-3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π2-11-2sin 2π+θ=tan 9π+θ+1tan π+θ-1. [尝试解答] 左边=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-θ·-sin θ-11-2sin 2θ =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θsin θ-11-2sin 2θ=-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θsin θ-11-2sin 2θ=-2cos θsin θ-1cos 2θ+sin 2θ-2sin 2θ=sin θ+cos θ2sin 2θ-cos 2θ=sin θ+cos θsin θ-cos θ,右边=tan 9π+θ+1tan π+θ-1=tan θ+1tan θ-1=sin θ+cos θsin θ-cos θ,∴左边=右边,原式得证.类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、化弦法,拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.练一练3.求证:sin2π-θcos π+θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2-θcos π-θsin 3π-θsin -π-θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2+θ=-tan θ.证明:sin2π-θcos π+θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2-θcos π-θsin 3π-θsin -π-θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2+θ=-sin θ·-cos θ·-sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-θ-cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=sin θ·cos θ·sin θ·sin θ-cos θ·sin θ·sin θ·cos θ=-tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1.本节课的重点是诱导公式五、六及其应用,难点是利用诱导公式解决条件求值问题. 2.要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题,见讲1; (2)利用诱导公式解决条件求值问题,见讲2; (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题,见讲3. 3.本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6+α=π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α+⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-α=π2,π4+α=π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α+⎝⎛⎭⎪⎫π4-α=π2,⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6+α-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=π2等.。
人教版数学高一-人教A版必修4习题 1.3.2 诱导公式五、六
[A 基础达标]1.化简:sin ⎝⎛⎭⎫92π+x =( ) A .sin x B .cos x C .-sin xD .-cos x解析:选B .sin ⎝⎛⎭⎫92π+x =sin ⎣⎡⎦⎤4π+⎝⎛⎭⎫π2+x =sin ⎝⎛⎭⎫π2+x =cos x .2.已知cos 31°=m ,则sin 239°tan 149°的值是( ) A .1-m 2mB .1-m 2C .-1-m 2mD .-1-m 2解析:选B .sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°) =-sin(90°-31°)(-tan 31°) =-cos 31°(-tan 31°) =sin 31°=1-cos 231°=1-m 2.3.在△ABC 中,已知sin A 2=45,则cos B +C 2的值为( )A .35 B .-35C .45D .-45解析:选C .因为A +B +C =π,所以B +C 2=π2-A2,所以cosB +C 2=cos ⎝⎛⎭⎫π2-A 2=sin A 2=45. 4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a ,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是( ) A .-2a3B .-3a 2C .2a 3D .3a 2解析:选B .由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a , 得-sin α-sin α=-a ,即sin α=a 2,所以cos(270°-α)+2sin(360°-α) =-sin α-2sin α=-3sin α=-3a 2.5.已知f (sin x )=cos 3x ,则f (cos 10°)的值为( ) A .-12B .12C .-32D .32解析:选A .f (cos 10°)=f (sin 80°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-12.6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π3-α=14,则sin ⎝⎛⎭⎫π6+α=________. 解析:sin ⎝⎛⎭⎫π6+α=sin ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π3-α =cos ⎝⎛⎭⎫π3-α=14. 答案:147.化简sin(π+α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α+sin ⎝⎛⎭⎫π2+αcos(π+α)=________. 解析:原式=-sin α·sin α-cos α·cos α=-1. 答案:-18.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=2sin ⎝⎛⎭⎫α-π2,则 sin (π-α)+cos (π+α)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2-α+3sin ⎝⎛⎭⎫7π2-α=________.解析:因为cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=2sin ⎝⎛⎭⎫α-π2, 所以sin α=2cos α. 原式=sin α-cos α5sin α-3cos α=2cos α-cos α10cos α-3cos α=17.答案:179.化简:sin ⎝⎛⎭⎫π2+αcos ⎝⎛⎭⎫π2-αcos (π+α)+sin (π-α)cos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin (π+α).解:因为sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=cos α,cos ⎝⎛⎭⎫π2-α=sin α, cos(π+α)=-cos α,sin(π-α)=sin α, cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-sin α,sin(π+α)=-sin α, 所以原式=cos α·sin α-cos α+sin α·(-sin α)-sin α=-sin α+sin α=0.10.设f (α)=2sin (π+α)cos (π-α)-cos (π+α)1+sin 2α+cos ⎝⎛⎭⎫3π2+α-sin 2⎝⎛⎭⎫π2+α,求f ⎝⎛⎭⎫-23π6的值. 解:因为f (α)=(-2sin α)(-cos α)+cos α1+sin 2α+sin α-cos 2α=2sin αcos α+cos α2sin 2α+sin α=cos α(1+2sin α)sin α(1+2sin α)=1tan α, 所以f ⎝⎛⎭⎫-23π6=1tan ⎝⎛⎭⎫-23π6=1tan ⎝⎛⎭⎫-4π+π6 =1tan π6=3. [B 能力提升]1.已知cos(75°+α)=13,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是( )A .13B .23C .-13D .-23解析:选D .sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)] =-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α) =-cos(75°+α)-cos(75°+α) =-2cos(75°+α) =-23.2.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°+sin 290°的值为________. 解析:因为sin 21°+sin 289°=sin 21°+cos 21°=1, sin 22°+sin 288°=sin 22°+cos 22°=1,sin 2x °+sin 2(90°-x °)=sin 2x °+cos 2x °=1(1≤x ≤44,x ∈N ),所以原式=(sin 21°+sin 289°)+(sin 22°+sin 288°)+…+(sin 244°+sin 246°)+sin 290°+sin 245°=45+⎝⎛⎭⎫222=912. 答案:9123.求证:对任意的整数k ,sin ⎝⎛⎭⎫2k +12π-αcos ⎝⎛⎭⎫2k +12π+αsin ⎝⎛⎭⎫2k +32π+αcos ⎝⎛⎭⎫2k -12π-α=-1.证明:左边=sin ⎝⎛⎭⎫k π+π2-αcos ⎝⎛⎭⎫k π+π2+αsin ⎝⎛⎭⎫k π+3π2+αcos ⎝⎛⎭⎫k π-π2-α.①当k 为偶数时,设k =2n (n ∈Z ),则左边=sin ⎝⎛⎭⎫π2-αcos ⎝⎛⎭⎫π2+αsin ⎝⎛⎭⎫3π2+αcos ⎝⎛⎭⎫-π2-α=cos α(-sin α)-cos α(-sin α)=-1.②当k 为奇数时,设k =2n +1(n ∈Z ),同理可得左边=-1.综上,可知原等式成立. 4.(选做题)已知sin(3π-α)=2cos ⎝⎛⎭⎫3π2+β,cos(π-α)=63cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求sin α和cos β的值.解:由已知,得sin α=2sin β,① 3cos α=2cos β,②由①2+②2,得sin 2α+3cos 2α=2, 即sin 2α+3(1-sin 2α)=2, 所以sin 2α=12.又0<α<π,则sin α=22. 将sin α=22代入①,得sin β=12. 又0<β<π, 故cos β=±32.。
人教A版必修4 三角函数的诱导公式 同步练习及答案
高一三角函数同步练习5(诱导公式)一、选择题1、对于诱导公式中的角α,下列说法正确的是( )A .α一定是锐角B .0≤α<2πC .α一定是正角D .α是使公式有意义的任意角2、⎪⎭⎫ ⎝⎛-π619sin 的值等于( ) A . 21 B . 21- C . 23 D . 23- 3、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 ( ) A . 53 B . 53- C . 54 D . 54- 4、下列各式不正确的是 ( )A . sin (α+180°)=-sin αB .cos (-α+β)=-cos (α-β)C . sin (-α-360°)=-sin αD .cos (-α-β)=cos (α+β)5、sin34π²cos 625π²tan 45π的值是 A .-43 B .43 C .-43 D .43 6、)2cos()2sin(21++-ππ等于 ( ) A .sin2-cos2 B .cos2-sin2 C .±(sin2-cos2) D .sin2+cos27、若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 ( )A .0B .1C .-1D .23 8、已知()21sin -=+πα,则()πα7cos 1+的值为 ( ) A . 332 B . -2 C . 332- D . 332± 9、已知sin(4π+α)=23,则sin(43π-α)值为( ) A. 21 B. —21 C. 23 D. —23 10、在△ABC 中,若)sin()sin(C B A C B A +-=-+,则△ABC 必是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题1、tan2010°的值为 .2、已知53sin -=α,且α是第四象限的角,则)2cos(απ-的值是 . 3、计算:cos (-2640°)+sin1665°= .4、计算:)425tan(325cos 625sin πππ-++= . 5、化简:)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++=______ ___. 6、已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ,则αtan = . 7、若a =αtan ,则()()απαπ+--3cos 5sin = ____ ____.8、化简:)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαππθπααπ+-----++- =____ ____. 9、若()θ+ 75cos 31=,θ为第三象限角,则()()θθ++-- 435sin 255cos 的值是____.10、化简:︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 610sin 21= .。
高中数学 第8课时 诱导公式五、六练习 新人教A版必修4(2021年整理)
第8课时诱导公式五、六课时目标1.理解公式五、六的推导.2.运用所学的四组公式正确进行求值化简、证明.公式五:sin错误!=cosα,cos错误!=sinα;公式六:sin错误!=cosα,cos错误!=-sinα.一、选择题1.已知cos x=错误!,且x是第四象限角,那么cos错误!=( )A.错误!B.-错误!C.-错误! D。
错误!答案:D解析:∵x是第四象限角,cos x=错误!,∴sin x=-错误!=-错误!。
∴cos错误!=-sin x =错误!。
2.已知sin40°=a,则cos50°等于()A.±a B.-aC.a D.错误!答案:C3.下面诱导公式使用正确的是()A.sin错误!=cosθB.cos错误!=-sinθC.sin错误!=-cosθD.cos错误!=-sinθ答案:C4.若sin(错误!+α)+cos错误!=错误!,则sin错误!+cos错误!等于()A.-35B。
错误!C.-错误! D.错误!答案:C解析:由已知得cosα+sinα=错误!,∴sin错误!+cos错误!=-cosα-sinα=-错误!。
5.若错误!=2,则sin(θ-5π)sin错误!等于( )A。
错误! B.±错误!C。
错误! D.-错误!答案:C解析:由错误!=2,可得tanθ=3,∴sin(θ-5π)sin错误!=(-sinθ)(-cosθ)=错误!=错误!=错误!.6.已知cos错误!=错误!,且|φ|〈错误!,则tanφ等于()A.-33B。
错误!C.-错误! D。
错误!答案:C解析:由cos错误!=-sinφ=错误!,得sinφ=-错误!.又|φ|〈错误!,∴φ=-π3,∴tanφ=-3。
二、填空题7.sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)sin(-1050°)+tan945°=________.答案:2解析:原式=-sin1200°cos(210°+3×360°)-cos1020°sin1050°+tan(225°+2×360°)=-sin(120°+3×360°)cos210°-cos(-60°+3×360°)sin(-30°+3×360°)+tan225°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(-60°)sin(-30°)+tan(180°+45°)=-错误!错误!-错误!错误!+1=2。
2019高中数学 第一章 第2课时 诱导公式五、六学案 新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固一、选择题1.sin 95°+cos 175°的值为( ) A .sin 5° B .cos 5° C .0D .2sin 5°解析:原式=cos 5°-cos 5°=0. 答案:C2.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ<0,且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ>0,则θ是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角解析:由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=cos θ<0,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ=sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限.答案:B3.如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,45,那么sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2+θ+cos(π-θ)+tan(2π-θ)=( )A .-43B.43C.34D .-34解析:易知sin θ=45,cos θ=-35,tan θ=-43.原式=cos θ-cos θ-tan θ=43.答案:B4.若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,则下列等式中一定成立的是( ) A .cos(A +B )=cos C B .sin(A +B )=-sin C C .cosA +C2=sin BD .sinB +C2=cos A2解析:因为A +B +C =π,所以A +B =π-C ,A +C 2=π-B 2,B +C 2=π-A2,所以cos(A +B )=cos (π-C )=-cos C , sin(A +B )=sin (π-C )=sin C , cos A +C2=cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2-B 2=sin B 2,sinB +C2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-A 2=cos A 2.答案:D5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3=35,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α的值是( )A.-35B.35C.45D.-45解析:因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6-α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=35, 所以选B. 答案:B 二、填空题6.若cos α=15,且α是第四象限角,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=________. 解析:因为cos α=15,且α是第四象限角,所以sin α=-1-cos 2α=- 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫152=-265.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2=-sin α=265. 答案:2657.已知cos α=13,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+α·tan (π-α)=__________.解析:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2+αtan (π-α)=-cos αsin α(-tan α)=sin2α=1-cos2α=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫132=89.答案:898.sin 21°+sin 22°+sin 245°+sin 288°+sin 289°=________. 解析:原式=(sin 21°+sin 289°)+(sin 22°+sin 288°)+sin245°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+⎝ ⎛⎭⎪⎫222=1+1+12=52.答案:52三、解答题9.化简:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αcos (π+α)+sin (π-α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αsin (π+α).解:因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α,cos(π+α)=-cos α,sin(π-α)=sin α,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-sin α,sin(π+α)=-sin α, 所以原式=cos α·sin α-cos α+sin α·(-sin α)-sin α=-sin α+sin α=0.10.(1)已知sin α=14,sin β=1,求cos (α+β)的值;(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=13,求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α的值. 解:(1)由sin β=1得β=π2+2k π(k ∈Z[HZ]Z ZX),所以Tcos (α+β)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2+2k π=-sin α=-14. (2)因为π4+α-⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=π2,所以π4+α=π2+⎝⎛⎭⎪⎫α-π4.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=-13.B 级 能力提升1.已知f (x )=sin x ,下列式子成立的是( ) A .f (x +π)=sin xB .f (2π-x )=sin xC .f ⎝⎛⎭⎪⎫x -π2=-cos xD .f (π-x )=-f (x )解析:f (x +π)=sin(x +π)=-sin x ;f (2π-x )=sin(2π-x )=sin(-x )=-sinx ;f ⎝⎛⎭⎪⎫x -π2=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π2=-sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2-x =-cos x ;f (π-x )=sin(π-x )=sin x =f (x ). 答案:C2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=34,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=_________ 解析:因为⎝⎛⎭⎪⎫π3+α+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=π2, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=34. 答案:343.设tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+87π=a . 求证:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π+α+3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π-α-cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+227π=a +3a +1.证明:左边=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π+⎝ ⎛⎭⎪⎫87π+α+3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π-3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π-⎝ ⎛⎭⎪⎫α+ 87π-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π+⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π =tan ⎝⎛⎭⎪⎫α+87π+3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π+1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π=a 代入得,左边=a +3a +1=右边, 所以等式成立.。
最新人教版高中数学必修4第一章《诱导公式》同步训练
1.2.4 诱导公式知识点一:诱导公式(1)(2)(3)1.(2010全国高考Ⅰ,文1)cos300°等于A .-32B .-12 C.12 D.322.与cos 13π3的值相同的是 A .sin π3 B .sin π6C .sin π4D .sin π23.已知cos(π+α)=-35且α是第四象限角,则sin(-2π+α)等于 A.45 B .-45 C .±45 D.354.若sin(-α)=-m ,则sin(3π+α)+12sin(2π-α)等于 A .-23m B .-32m C.23m D.32m 5.若|cosα|=cos(π+α),则角α的集合为__________.6.化简sin(-α)·cos(2π+α)·tan(2π+α)=__________.知识点二:诱导公式(4)7.sin 2(π2+α)+cos(π+α)·cos(-α)+1的值是 A .1 B .2sin 2α C .2cos 2α D .08.设A 、B 、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是A .cos(A +B)=cosCB .sin(A +B)=sinCC .tan(A +B)=tanCD .sin A +B 2=sin C 29.若cos(π+α)=-13,那么sin(3π2-α)等于 A .-13 B.13 C.23 2 D .-232 10.f(sinx)=3-cos2x ,则f(cosx)=__________.11.sin 2(π3-x)+sin 2(π6+x)=__________.能力点一:利用诱导公式求值12.已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos(π2+β)+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sinα的值是 A.355 B.377C.31010D.1313.sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是A.14B.34C.114D.9414.(2010全国高考Ⅰ,理2)记cos(-80°)=k ,那么tan100°等于 A.1-k 2k B .-1-k 2kC.k 1-k 2 D .-k 1-k 215.sin (45°+θ)sin (45°-θ)cos (45°+θ)cos (45°-θ)=__________. 16.求下列各三角函数值:(1)sin π4cos 19π6tan 21π4; (2)3sin(-1 200°)tan 19π6-cos585°tan(-37π4).17.已知sinα是方程5x 2-7x -6=0的根,求[sin(α+3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)·tan(π-α)]÷[cos(π2-α)·cos(π2+α)]的值.能力点二:利用诱导公式进行化简18.设tan(5π+α)=m ,则sin (α-3π)+cos (π-α)sin (-α)-cos (π+α)化简的结果为__________.(用m 表示) 19.化简:(1)sin 21°+sin 22°+…+sin 289°;(2)tan1°tan2°tan3°…tan89°.20.化简:cos(4n -14π-α)·sin(4n +14π-α)(n ∈Z ).能力点三:利用诱导公式进行证明21.求证:tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α)=sin 2α.22.设k ∈Z ,求证:sin (kπ-α)cos (kπ-α)sin[(k +1)π+α]cos[(k +1)π-α]=-1.23.已知α是第三象限的角,f(α)=sin (π-α)cos (2π-α)tan (-α+3π2)cot (-α-π)sin (-π-α). (1)化简f(α);(2)若cos(α-3π2)=15,求f(α)的值; (3)若α=-1 860°,求f(α)的值.答案与解析基础巩固1.C cos300°=cos(300°-360°)=cos(-60°)=cos60°=12. 2.B cos 13π3=cos(4π+π3) =cos π3=12=sin π6. 3.B4.B ∵sin(-α)=-m ,∴sinα=m.sin(3π+α)+12sin(2π-α)=sin(π+α)+12sin(-α)=-sinα-12sinα=-32sinα=-32m. 5.{α|2kπ+π2≤α≤2kπ+3π2,k ∈Z } 6.-sin 2α7.A8.B ∵A 、B 、C 满足A +B =π-C ,A +B 2=π2-C 2, ∴B 正确.9.A ∵cos(π+α)=-13, ∴cosα=13. ∴sin(3π2-α)=-cosα=-13. 10.3+cos2x ∵cosx =sin(π2-x), ∴f(cosx)=f[sin(π2-x)] =3-cos[2(π2-x)] =3-cos(π-2x)=3+cos2x.11.1 ∵(π3-x)+(π6+x)=π2, ∴原式=sin 2(π3-x)+cos 2(π3-x)=1.能力提升12.C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ -2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ-1=0, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2tanα-3sinβ=5,tanα-6sinβ=1. ∴sinβ=13,tanα=3. 又∵α为锐角,∴sinα>0.由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α+cos 2α=1,sinα=3cosα, 解得sinα=31010. 13.A14.B ∵cos(-80°)=cos80°=k ,∴sin80°=1-cos 280°=1-k 2.∴tan100°=-tan80°=-sin80°cos80°=-1-k 2k. 15.1 原式=tan(45°+θ)tan(45°-θ)=tan(45°+θ)·cot(45°+θ)=1.16.解:(1)原式=sin π4cos(2π+7π6)tan(4π+5π4) =22cos 7π6tan 5π4 =22cos(π+π6)tan(π+π4) =22(-cos π6)tan π4 =-22×32×1 =-64. (2)原式=-3sin1 200°tan(2π+7π6)-cos(360°+225°)(-tan 37π4) =-3sin(-240°)tan π6-cos45°tan(π+π4) =3×33sin(180°+60°)-22tan π4=-3×33sin60°-22 =-2+32.17.解:5x 2-7x -6=0的根为x =2或x =-35, 所以sinα=-35. 所以cosα=±1-sin 2α=±45. 所以tanα=±34. 原式=(-cosα)(-cosα)tan 2α(-tanα)sinα(-sinα)=tanα=±34. 18.m +1m -1由tan(5π+α)=tanα=m 知, 原式=-sinα-cosα-sinα+cosα=tanα+1tanα-1=m +1m -1. 19.解:(1)原式=(sin 21°+sin 289°)+(sin 22°+sin 288°)+…+(sin 244°+sin 246°)+sin 245°=(sin 21° +cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(sin 244°+cos 244°)+12=1+1+…+1+12=44+12=892. (2)∵tan1°tan89°=sin1°sin89°cos1°cos89°=sin1°cos1°cos1°sin1°=1. 同理,tan2°tan88°=1=tan3°tan87°=…=tan44°tan46°=1,且tan45°=1.∴原式=(tan1°tan89°)(tan2°tan88°)(tan3°tan87°)…(tan44°tan46°)tan45°=1.20.解:原式=cos[nπ-(π4+α)]·sin[nπ+(π4-α)]. 当n 为奇数时,原式=cos[π-(π4+α)]·sin[π+(π4-α)] =-cos(π4+α)·[-sin(π4-α)] =cos[π2-(π4-α)]sin(π4-α) =sin 2(π4-α),当n 为偶数时,原式=cos[-(π4+α)]·sin(π4-α) =cos(π4+α)·sin(π4-α) =cos[π2-(π4-α)]·sin(π4-α) =sin 2(π4-α), 综上,原式=sin 2(π4-α). 21.证明:左边=tan(-α)·sin(-α)·cos(-α) =(-tanα)·(-sinα)·cosα=sin 2α=右边,∴原等式成立.22.证明:(1)当k =2n(n ∈Z )时,∵左边=-sinαcosα-sinα(-cosα)=-1=右边,∴原式成立;(2)当k =2n +1(n ∈Z )时,∵左边=sinα(-cosα)sinαcosα=-1=右边,∴原式成立.综上所述,原式成立.拓展探究23.解:(1)f(α)=sin (π-α)cos (2π-α)tan (-α+3π2)cot (-α-π)sin (-π-α)=sinα·cosα·cotα(-cotα)sinα=-cosα.(2)∵cos(α-3π2)=cos(π2+α)=-sinα, ∴sinα=-15,cosα=-52-15=-256. ∴f(α)=256. (3)f(α)=f(-1 860°)=-cos(-1 860°)=-cos1 860°=-cos(360°×5+60°)1=-cos60°=-2.。
高中数学人教A版必修四课时训练:1.3 三角函数的诱导公式 1.3(二) 含答案
§1.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、(1)公式五:sin ⎝⎛⎭⎫π2-α=________;cos ⎝⎛⎭⎫π2-α=________. 以-α替代公式五中的α,可得公式六.(2)公式六:sin ⎝⎛⎭⎫π2+α=________;cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=________. 2.诱导公式五~六的记忆π2-α,π2+α的三角函数值,等于α的____________三角函数值,前面加上一个把α看成锐1.已知f (sin x )=cos3x ,则f (cos10°)的值为( )A .-12B.12C .-32D.322.若sin(3π+α)=-12,则cos ⎝⎛⎭⎫72π-α等于( ) A .-12B.12C.32D .-323.已知sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=13,则cos ⎝⎛⎭⎫π4+α的值等于( ) A .-13B.13C.-223 D.2234.若sin(π+α)+cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-m ,则cos ⎝⎛⎭⎫32π-α+2sin(2π-α)的值为( ) A .-2m 3B.2m 3C .-3m 2D.3m 25.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2+φ=32,且|φ|<π2,则tan φ等于( ) A .-33B.33C .-3D. 3 6.已知cos(75°+α)=13,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是( ) A.13B.23C .-13D .-23二、填空题7.若sin ⎝⎛⎭⎫α+π12=13,则cos ⎝⎛⎭⎫α+7π12=________. 8.代数式sin 2(A +45°)+sin 2(A -45°)的化简结果是______.9.sin 21°+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°=________.10.已知tan(3π+α)=2,则sin (α-3π)+cos (π-α)+sin ⎝⎛⎭⎫π2-α-2cos ⎝⎛⎭⎫π2+α-sin (-α)+cos (π+α)=________.三、解答题11.求证:tan (2π-α)sin (-2π-α)cos (6π-α)sin ⎝⎛⎭⎫α+3π2cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=-tan α.12.已知sin ⎝⎛⎭⎫-π2-α·cos ⎝⎛⎭⎫-5π2-α=60169,且π4<α<π2,求sin α与cos α的值.能力提升13.化简:sin ⎝⎛⎭⎫4k -14π-α+cos ⎝⎛⎭⎫4k +14π-α (k ∈Z ).14.是否存在角α,β,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,β∈(0,π),使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π-α)=2cos ⎝⎛⎭⎫π2-β3cos (-α)=-2cos (π+β)同时成立. 若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.§1.3 三角函数的诱导公式(二)答案知识梳理1.(1)cos α sin α (2)cos α -sin α2.异名 符号作业设计1.A [f (cos10°)=f (sin80°)=cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-12.] 2.A [∵sin(3π+α)=-sin α=-12,∴sin α=12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2-α=cos ⎝⎛⎭⎫32π-α=-cos ⎝⎛⎭⎫π2-α=-sin α=-12.] 3.A [cos ⎝⎛⎭⎫π4+α=sin ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π4+α=sin ⎝⎛⎭⎫π4-α=-sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=-13.] 4.C [∵sin(π+α)+cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-sin α-sin α=-m , ∴sin α=m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π-α+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-32m .] 5.C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2+φ=-sin φ=32,得sin φ=-32, 又∵|φ|<π2,∴φ=-π3,∴tan φ=- 3.] 6.D [sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-2cos(75°+α)=-23.] 7.-13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α+7π12=cos ⎣⎡⎦⎤π2+⎝⎛⎭⎫α+π12=-sin ⎝⎛⎭⎫α+π12=-13. 8.1解析 原式=sin 2(A +45°)+sin 2(45°-A )=sin 2(A +45°)+cos 2(A +45°)=1.9.892解析 原式=(sin 21°+sin 289°)+(sin 22°+sin 288°)+…+(sin 244°+sin 246°)+sin 245°=44+12=892. 10.2解析 原式=sin αsin α-cos α=tan αtan α-1=22-1=2. 11.证明 左边=tan (-α)·sin (-α)·cos (-α)sin ⎣⎡⎦⎤2π-⎝⎛⎭⎫π2-α·cos ⎣⎡⎦⎤2π-⎝⎛⎭⎫π2-α =(-tan α)·(-sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫π2-αcos ⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫π2-α =sin 2α-sin ⎝⎛⎭⎫π2-αcos ⎝⎛⎭⎫π2-α =sin 2α-cos α·sin α=-sin αcos α=-tan α=右边. ∴原等式成立.12.解 sin ⎝⎛⎭⎫-π2-α=-cos α, cos ⎝⎛⎭⎫-5π2-α=cos ⎝⎛⎭⎫2π+π2+α=-sin α. ∴sin α·cos α=60169,即2sin α·cos α=120169. ① 又∵sin 2α+cos 2α=1,②①+②得(sin α+cos α)2=289169, ②-①得(sin α-cos α)2=49169, 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,∴sin α>cos α>0, 即sin α+cos α>0,sin α-cos α>0,∴sin α+cos α=1713, ③ sin α-cos α=713, ④ ③+④得sin α=1213,③-④得cos α=513. 13.解 原式=sin ⎣⎡⎦⎤k π-⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎣⎡⎦⎤k π+⎝⎛⎭⎫π4-α. 当k 为奇数时,设k =2n +1 (n ∈Z ),则原式=sin ⎣⎡⎦⎤(2n +1)π-⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎣⎡⎦⎤(2n +1)π+⎝⎛⎭⎫π4-α =sin ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎣⎡⎦⎤π+⎝⎛⎭⎫π4-α =sin ⎝⎛⎭⎫π4+α+⎣⎡⎦⎤-cos ⎝⎛⎭⎫π4-α =sin ⎝⎛⎭⎫π4+α-cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π4+α=sin ⎝⎛⎭⎫π4+α-sin ⎝⎛⎭⎫π4+α=0; 当k 为偶数时,设k =2n (n ∈Z ),则原式=sin ⎣⎡⎦⎤2n π-⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎣⎡⎦⎤2n π+⎝⎛⎭⎫π4-α =-sin ⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎝⎛⎭⎫π4-α =-sin ⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π4+α =-sin ⎝⎛⎭⎫π4+α+sin ⎝⎛⎭⎫π4+α=0. 综上所述,原式=0.14.解 由条件,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=2sin β, ①3cos α=2cos β.② ①2+②2,得sin 2α+3cos 2α=2,③ 又因为sin 2α+sin 2α=1,④由③④得sin 2α=12,即sin α=±22, 因为α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,所以α=π4或α=-π4. 当α=π4时,代入②得cos β=32,又β∈(0,π), 所以β=π6,代入①可知符合. 当α=-π4时,代入②得cos β=32,又β∈(0,π), 所以β=π6,代入①可知不符合. 综上所述,存在α=π4,β=π6满足条件.。
高中数学人教A版必修4课后练习7 诱导公式五、六
高中数学人教A 版必修4课后练习7 诱导公式五、六题组1:夯实基础1.若α∈(π,3π2),则√1-sin 2(3π2-α)=( ) A .sin α B .-sin αC .cos αD .-cos α解析:∵α∈(π,3π2),∴sin α<0.∴√1-sin 2(3π2-α)=√1-cos 2α=√sin 2α=-sin α. 答案:B2.已知P (sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α= ( )A .40°B .50°C .70°D .80° 解析:∵P (sin 40°,-cos 140°)为角α终边上的点,因而tan α=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°)sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan 50°,又α为锐角,则α=50°,故选B . 答案:B3.已知sin(π-α)=-2sin (π2+α),则sin αcos α=( ) A .25B .-25C .25或-25D .-15解析:∵sin(π-α)=-2sin (π2+α),∴sin α=-2cos α.再由sin 2α+cos 2α=1可得sin α=2√55,cos α=-√55,或sin α=-2√55,cos α=√55,∴sin αcos α=-25.故选B . 答案:B4.在△ABC 中,若sin α+α2=45,则cos α2=( )A .-35B .-45C .35D .45解析:∵A +B +C =π,∴α+α2=π2−α2. ∴sin α+α2=sin (π2-α2)=cos α2=45. 答案:D5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A .-2√23B .2√23C .-√23D .√23解析:由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23. 答案:A6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)=__________. 解析:因为α是第四象限的角,所以sin α=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sin α=-2√23. 答案:-2√237.若sin (π2+α)=37,则cos 2(π2-α)=__________.解析:sin (π2+α)=cos θ=37,则cos 2(π2-α)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049. 答案:40498.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=__________. 解析:∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.答案:1 9.化简:sin (-α-3π2)·sin (3π2-α)·tan 2(2π-α)cos (π2-α)·cos (π2+α)·cos 2(π-α).解原式=sin (-α+π2)·[-sin (π2-α)]·tan 2(2π-α)cos (π2-α)·cos (π2+α)·cos 2(π-α)=cos α·(-cos α)·tan 2αsin α·(-sin α)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin (π2-α)tan(α-π)sin(α+π)cos(3π-α)的值.解(1)∵P (45,-35),|OP |=1,∴sin α=-35.(2)sin (π2-α)tan(α-π)sin(α+π)cos(3π-α)=cos αtan α-sin α(-cos α)=1cos α,由三角函数定义知cos α=45,故所求式子的值为54.题组2:难点突破1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( ) A .35B .-35C .-45D .45解析:因为cos(α-9π)=-cos α=-35,所以cos α=35.又因为α∈(π,2π),所以sin α=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sin α=45.答案:D2.已知角α的终边上有一点P (1,3),则sin(π-α)-sin (π2+α)cos (3π2-α)+2cos(-π+α)的值为( )A .-25B .-45C .-47D .-4解析:sin(π-α)-sin (π2+α)cos (3π2-α)+2cos(-π+α) =sin α-cos α-sin α-2cos α=tan α-1-tan α-2.因为角α终边上有一点P (1,3), 所以tan α=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A .答案:A3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α=__________. 解析:原式=cos α√sin 2α+cos 2αcos 2α+sin α√sin 2α+cos 2αsin 2α=cos α1|cos α|+sin α1|sin α|.因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0, 所以cos α1|cos α|+sin α1|sin α|=-1+1=0,即原式等于0. 答案:04.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=__________. 解析:sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(sin 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892. 答案:8925.已知函数f (x )=√2cos x -π12,x ∈R .若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则f θ-5π12=________.解析:f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cos π2-θ=√2sin θ,由已知可得θ为第四象限角,所以sin θ<0,故sin θ=-√1-cos 2α=-45,f θ-5π12=√2sin θ=√2×-45=-4√25. 答案:-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-α),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. 解由条件,得{sin α=√2sin α,√3cos α=√2cos α,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12. 又α∈(-π2,π2), ∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cos β=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合. 将α=-π4代入②得cos β=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合. 综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
2019-2020数学人教A版必修4 1.3第2课时 诱导公式五、六 作业 Word版含解析
[A.基础达标] 1.sin 95°+cos 175°的值为( )A .sin 5°B .cos 5°C .0D .2sin 5°解析:选C.原式=cos 5°-cos 5°=0.2.在△ABC 中,已知sin A 2=45,则cos B +C 2的值为( )A.35 B .-35C.45 D .-45解析:选C.∵A +B +C =π,∴B +C 2=π2-A 2,∴cos B +C 2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-A 2=sin A 2=45.3.错误!=( )A .-cos αB .cos αC .sin αD .-sin α解析:选A.原式=错误!=sin αcos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+2αtan αcos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+2α=-cos α.故选A.4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a ,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是() A .-2a 3 B .-3a 2C.2a 3D.3a 2解析:选B.由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a ,得-sin α-sin α=-a ,即sin α=a 2,所以cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-3a 2 .5.A ,B ,C 为△ABC 的三个内角,则下列关系式中不成立的是( )①cos(A +B )=cos C ②cos B +C 2=sin A 2③tan(A +B )=-tan C ④sin(2A +B +C )=sin AA .①②B .③④C .①④D .②③解析:选C.因为cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,所以①错,排除B ,D ;因为cos B +C 2=cos π-A 2=cos(π2-A 2)=sin A 2, 所以②正确,排除A ,故选C.6.(2015·邯郸高一检测)若cos α=15,且α是第四象限角,则cos(α+π2)=________. 解析:∵cos α=15,且α是第四象限角, ∴sin α=-1-cos2α=-错误!=-错误!.∴cos(α+π2)=-sin α=265. 答案:2657.化简sin(π+α)cos(3π2+α)+sin(π2+α)cos(π+α)=________. 解析:原式=-sin α·sin α-cos α·cos α=-1.答案:-18.已知cos(π2+α)=2sin(α-π2),则 错误!=________.解析:∵cos(π2+α)=2sin(α-π2), ∴sin α=2cos α.原式=sin α-cos α5sin α-3cos α=2cos α-cos α10cos α-3cos α=17. 答案:179.已知f (α)=错误!.(1)证明:f (α)=sin α;(2)若f (π2-α)=-35,且α是第二象限角,求tan α. 解:(1)证明:因为f (α)=错误!=错误!=错误!=sin α.。
人教A版高中数学必修四三角函数的诱导公式同步练习新(1)
1.3 第2课时 三角函数的诱导公式2一、选择题1.已知sin(α-π4)=13,则cos(π4+α)的值为( ) A.223B .-223 C.13 D .-13[答案] D[解析] cos(π4+α)=sin(π4-α). =-sin(α-π4)=-13. 2.已知cos(3π2+α)=-35,且α是第四象限角,则cos(-3π+α)( ) A.45B .-45C .±45D.35 [答案] B[解析] ∵cos(3π2+α)=-35,∴sin α=-35, ∴cos(-3π+α)=-cos α=-1-sin 2α=-45. 3.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P (cos B -sin A ,sin B -cos A )在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 [答案] B[解析] ∵A 、B 是锐角三角形的两个内角,∴A +B >90°,∴B >90°-A ,∴cos B <sin A ,sin B >cos A ,故cos B -sin A <0,sin B -cos A >0,选B.4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2,-2cos2),则α等于( )A .2B .-2C .2-π2D.π2-2 [答案] C[解析] 解法一:由条件可知点P 到原点距离为2,∴P (2cos α,2sin α),∴⎩⎪⎨⎪⎧2cos α=2sin22sin α=-2cos2,根据诱导公式及α为锐角可知,⎩⎨⎧cos α=cos ⎝⎛⎭⎫2-π2sin α=sin ⎝⎛⎭⎫2-π2,∴α=2-π2.解法二:点P 位于第一象限,且tan α=-cot2=-tan ⎝⎛⎭⎫π2-2=tan ⎝⎛⎭⎫2-π2,∵2-π2∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴α=2-π2.5.(09·全国Ⅰ文)sin585°的值为( )A .-22 B.22C .-32 D.32[答案] A[解析] sin585°=sin(360°+225°)=sin225°=sin(180°+45°)=-sin45°=-22.6.已知cos(π2+φ)=32且|φ|<π2,则tan φ等于( )A .-33 B.33 C .- 3 D. 3[答案] C[解析] ∵cos(π2+φ)=-sin φ=32,∴sin φ=-32,∵-π2<φ<π2,∴cos φ=12,∴tan φ=sin φcos φ=- 3.7.A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,下列关系式中不成立的是() ①cos(A +B )=cos C ②cos B +C2=sin A2③tan(A +B )=-tan C ④sin(2A +B +C )=sin AA .①②B .③④C .①④D .②③[答案] C[解析] ∵cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,∴①错,排除B 、D ;cos B +C 2=cos π-A 2=cos ⎝⎛⎭⎫π2-A 2=sin A 2, ∴②正确,排除A ,∴选C.8.tan110°=k ,则sin70°的值为( )A .-k 1+k 2 B.k 1+k 2C.1+k 2kD .-1+k 2k [答案] A[解析] 解法一:∵k <0,sin70°>0,∴排除C 、B ,又|sin70°|<1,∴排除D ,选A.解法二:k =tan110°=-tan70°,∴tan70°=-k >0,∴cos70°=-1k sin70°代入sin 270°+cos 270°=1中得,sin 270°=k 2k 2+1,∵k <0,sin70°>0, ∴sin70°=-k 1+k 2. 二、填空题9.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°+sin 290°的值为________.[答案] 912 [解析] ∵sin 21°+sin 289°=sin 21°+cos 21°=1,sin 22°+sin 288°=sin 22°+cos 22°=1,sin 2x °+sin 2(90°-x °)=sin 2x °+cos 2x °=1,(1≤x ≤44,x ∈N )∴原式=(sin 21°+sin 289°)+(sin 22°+sin 288°)+…+(sin 244°+sin 246°)+sin 290°+sin 245°=45+⎝⎛⎭⎫222=912. 10.化简1-2sin200°cos160°=________.[答案] cos20°-sin20°[解析] 原式=1-2(-sin20°)·(-cos20°)=sin 220°+cos 220°-2sin20°cos20°=|sin20°-cos20°|=cos20°-sin20°.11.已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根,α是第三象限角,则sin(-α-3π2)sin(3π2-α)tan 3αcos(π2-α)cos(π2+α)=________.[答案] 34[解析] 由已知得sin α=-35. ∵α是第三象限角,∴cos α=-1-sin 2α=-45. ∴原式=cos α·(-cos α)·(sin αcos α)3sin α·(-sin α)=sin αcos α=34. 12.若P (-4,3)是角α终边上一点,则cos(α-3π)·tan(α-2π)sin 2(π-α)的值为________. [答案] -53[解析] 由已知得sin α=35,原式=-cos αtan αsin 2α=-cos α·sin αcos αsin 2α=-1sin α=-53. 13.式子cos 2⎝⎛⎭⎫π4-α+cos 2⎝⎛⎭⎫π4+α=________. [答案] 1[解析] 原式=sin 2⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π4-α+cos 2⎝⎛⎭⎫π4+α =sin 2⎝⎛⎭⎫π4+α+cos 2⎝⎛⎭⎫π4+α=1. 14.若tan(π-α)=2,则2sin(3π+α)·cos ⎝⎛⎭⎫5π2+α+sin ⎝⎛⎭⎫32π-α·sin(π-α)的值为________. [答案] 2[解析] ∵tan(π-α)=2,∴tan α=-2,∴原式=-2sin α·(-sin α)+(-cos α)·sin α=2sin 2α-sin αcos α=2tan 2α-tan α1+tan 2α =2×(-2)2-(-2)1+(-2)2=105=2. 三、解答题15.已知cos(75°+α)=513,α是第三象限角,求sin(195°-α)+cos(α-15°)的值. [解析] ∵cos(75°+α)=513>0,α是第三象限角, ∴75°+α是第四象限角,且sin(75°+α)=-1-cos 2(75°+α)=-1213. ∴sin(195°-α)+cos(α-15°)=sin[180°+(15°-α)]+cos(15°-α)=-sin(15°-α)+cos(15°-α)=-sin[90°-(75°+α)]+cos[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)+sin(75°+α)=-513-1213=-1713. 16.已知x ∈R ,n ∈Z ,且f (sin x )=sin(4n +1)x ,求f (cos x ).[解析] f (cos x )=f ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2-x =sin ⎣⎡⎦⎤(4n +1)⎝⎛⎭⎫π2-x =sin ⎣⎡⎦⎤2n π+π2-(4n +1)x =sin ⎣⎡⎦⎤π2-(4n +1)x =cos(4n +1)x . 17.若sin α,cos α是关于x 的方程3x 2+6mx +2m +1=0的两根,求实数m 的值.[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=(6m )2-4×3(2m +1)≥0 ①sin α+cos α=-2m ②sin α·cos α=2m +13 ③,由②③得4m 2=1+2(2m +1)3,∴12m 2-4m -5=0. ∴m =-12或m =56,m =56不适合①,m =-12适合①, ∴m =-12. 18.已知sin(3π-α)=2cos ⎝⎛⎭⎫3π2+β,cos(π-α)=63·cos(π+β),且0<α<π,0<β<π,求sin α和cos β.[解析] 由已知得sin α=2sin β①3cos α=2cos β②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,即sin 2α+3(1-sin 2α)=2,所以sin 2α=12. 又0<α<π,则sin α=22.将sinα=22代入①得sinβ=12.故cosβ=±32.[点评]cos(π-α)=63cos(π+β)可化为3cosα=2cosβ,利用sin2β+cos2β=1求解,也可化为cosα=63cosβ,利用sin2α+cos2α=1求解.。
人教版数学高一必修4课下能力提升1.3.2诱导公式五、六
课下能力提升(七) [学业水平达标练]题组1 化简求值1.下列与sin ⎝⎛⎭⎫θ-π2的值相等的式子为( )A .sin ⎝⎛⎭⎫π2+θB .cos ⎝⎛⎭⎫π2+θC .cos ⎝⎛⎭⎫3π2-θD .sin ⎝⎛⎭⎫3π2+θ 2.化简:sin(-α-7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2=________.3.化简:1tan 2(-α)+1sin ⎝⎛⎭⎫π2-α·cos ⎝⎛⎭⎫α-3π2·tan (π+α).题组2 条件求值问题4.已知tan θ=2,则sin ⎝⎛⎭⎫π2+θ-cos (π-θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2-θ-sin (π-θ)等于( )A .2B .-2C .0 D.235.若sin(π+α)+cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-m ,则cos ⎝⎛⎭⎫3π2-α+2sin(2π-α)的值为( )A .-23m B.23mC .-32m D.32m6.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( )A .-223 B.223C .-23D.237.已知α是第三象限角,且cos(85°+α)=45,则sin(α-95°)=________.8.已知sin α是方程3x 2-10x -8=0的根,且α为第三象限角,求sin ⎝⎛⎭⎫α+3π2·sin ⎝⎛⎭⎫3π2-α·tan 2(2π-α)·tan (π-α)cos ⎝⎛⎭⎫π2-α·cos ⎝⎛⎭⎫π2+α的值.题组3 三角恒等式的证明9.求证:tan (2π-α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2-αcos (6π-α)tan (π-α)sin ⎝⎛⎭⎫α+3π2cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=1.10.求证:cos (π-θ)cos θ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫3π2-θ-1+cos (2π-θ)cos (π+θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2+θ-sin ⎝⎛⎭⎫3π2+θ=2sin 2θ.[能力提升综合练]1.如果cos(π+A )=-12,那么sin ⎝⎛⎭⎫π2+A 等于( )A .-12B.12C .-32D.322.已知sin ⎝⎛⎭⎫α+π2=13,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,则tan α的值为( )A .-22B .2 2C .-24D.243.已知sin(75°+α)=13,则cos(15°-α)的值为( )A .-13B.13C .-223 D.2234.在△ABC 中,下列各表达式为常数的是( ) A .sin(A +B )+sin C B .cos(B +C )-cos A C .sin 2A +B 2+sin 2C2 D .sin A +B 2sin C 25.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=________. 6.已知tan ()3π+α=2,则sin (α-3π)+cos (π-α)+sin ⎝⎛⎭⎫π2-α-2cos ⎝⎛⎭⎫π2+α-sin (-α)+cos (π+α)=________.7.已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根,且α是第三象限角,求sin ⎝⎛⎭⎫-α-3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2-αcos ⎝⎛⎭⎫π2-αsin ⎝⎛⎭⎫π2+α·tan 2(π-α)的值.8.是否存在角α,β,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=2cos ⎝⎛⎭⎫π2-β,3cos(-α)=-2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.答 案[学业水平达标练]1. 解析:选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π2=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ=-cos θ,对于A ,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=cos θ;对于B ,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=-sin θ;对于C ,cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-θ=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-θ=-sin θ;对于D ,sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2+θ=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=-cos θ.2. 解析:原式=-sin(7π+α)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-α=-sin(π+α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α·(-sinα)=-sin 2α.答案:-sin 2α3. 解:∵tan(-α)=-tan α,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=cos α,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-3π2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2-α=-sin α,tan(π+α)=tan α,∴原式=1tan 2α+1cos α·(-sin α)·tan α=1sin 2αcos 2α+1-sin 2α=cos 2α-1sin 2α=-sin 2αsin 2α=-1.4. 解析:选B 原式=cos θ+cos θcos θ-sin θ=2cos θcos θ-sin θ=21-tan θ=-2.5. 解析:选C ∵sin(π+α)+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=-sin α-sin α=-m ,∴sin α=m2.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2-α+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-3×m 2=-32m . 6. 解析:选A 由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°,又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-1-cos 2(60°+α)=-1-⎝⎛⎭⎫132=-223. 7. 解析:由α是第三象限角,cos(85°+α)=45>0,知85°+α是第四象限角, ∴sin(85°+α)=-35,sin(α-95°)=sin[(85°+α)-180°]=-sin[180°-(85°+α)]=-sin(85°+α)=35.答案:358. 解:∵方程3x 2-10x -8=0的两根为x 1=4或x 2=-23,又∵-1≤sin α≤1,∴sin α=-23.又∵α为第三象限角, ∴cos α=-1-sin 2α=-53,tan α=255. ∴原式=(-cos α)·(-cos α)·tan 2α·(-tan α)sin α·(-sin α)=tan α=255.9. 证明:左边=tan (-α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αcos (-α)(-tan α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α⎣⎢⎡⎦⎥⎤-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=(-tan α)(-sin α)cos α(-tan α)(-cos α)sin α=1=右边.∴原式成立.10. 证明:左边=-cos θcos θ(-cos θ-1)+cos θ-cos θcos θ+cos θ=11+cos θ+11-cos θ=1-cos θ+1+cos θ(1+cos θ)(1-cos θ)=21-cos 2θ=2sin 2θ=右边.∴原式成立.[能力提升综合练]1. 解析:选B cos(π+A )=-cos A =-12,∴cos A =12,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+A =cos A =12.2. 解析:选A 由已知得,cos α=13,又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,所以sin α=-1-cos 2α=-1-19=-223. 因此,tan α=sin αcos α=-2 2.3. 解析:选B ∵(75°+α)+(15°-α)=90°, ∴cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)] =sin(75°+α)=13.4. 解析:选Csin 2A +B 2+sin 2C 2=sin 2π-C 2+sin 2C 2=cos 2C 2+sin 2C 2=1. 5. 解析:将sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°中的首末两项相加得1,第二项与倒数第二项相加得1,…,共有44组,和为44,剩下sin 245°=12,则sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=892.答案:8926. 解析:由tan(3π+α)=2,得tan α=2, 则原式=sin (α-π)-cos α+cos α+2sin αsin α-cos α=-sin α+2sin αsin α-cos α=sin αsin α-cos α=tan αtan α-1=22-1=2.答案:27. 解:原式=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π2+αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π2-αsin αcos α·tan 2α=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-αsin αcos α·tan 2α=-cos αsin αsin αcos α·tan 2α=-tan 2α. 方程5x 2-7x -6=0的两根为x 1=-35,x 2=2,又α是第三象限角, ∴sin α=-35,cos α=-45,∴tan α=34,故原式=-tan 2α=-916.8. 解:假设存在角α,β满足条件,则⎩⎪⎨⎪⎧sin α=2sin β, ①3cos α=2cos β,② 由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2.∴sin 2α=12,∴sin α=±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴α=±π4.当α=π4时,cos β=32,∵0<β<π, ∴β=π6;当α=-π4时,cos β=32,∵0<β<π,∴β=π6,此时①式不成立,故舍去.∴存在α=π4,β=π6满足条件.。
人教A版高中数学高一必修4 1.3第2课时 诱导公式五、六 作业
[A.基础达标]1.sin 95°+cos 175°的值为( )A .sin 5°B .cos 5°C .0D .2sin 5°解析:选C.原式=cos 5°-cos 5°=0. 2.在△ABC 中,已知sin A 2=45,则cos B +C2的值为( )A.35 B .-35C.45 D .-45解析:选C.∵A +B +C =π,∴B +C 2=π2-A2,∴cos B +C2=cos ⎝⎛⎭⎫π2-A2=sin A2=45.3.sin (2π-α)cos ⎝⎛⎭⎫π3+2αcos (π-α)tan (α-3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2+αsin ⎝⎛⎭⎫7π6-2α=()A .-cos αB .cos αC .sin αD .-sin α解析:选A.原式=sin (-α)cos ⎝⎛⎭⎫π3+2α(-cos α)tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤3π2-⎝⎛⎭⎫π3+2α=sin αcos αcos ⎝⎛⎭⎫π3+2αtan αcos α⎣⎡⎦⎤-cos ⎝⎛⎭⎫π3+2α=-cos α.故选A.4.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a ,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值是() A .-2a 3 B .-3a 2C.2a 3D.3a2解析:选B.由sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a ,得-sin α-sin α=-a ,即sin α=a2,所以cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-3a2 .5.A ,B ,C 为△ABC 的三个内角,则下列关系式中不成立的是( )①cos(A +B )=cos C ②cos B +C 2=sin A2③tan(A +B )=-tan C ④sin(2A +B +C )=sin AA .①②B .③④C .①④D .②③解析:选C.因为cos(A +B )=cos(π-C )=-cos C ,所以①错,排除B ,D ;因为cos B +C 2=cos π-A 2=cos(π2-A 2)=sin A 2, 所以②正确,排除A ,故选C.6.(2015·邯郸高一检测)若cos α=15,且α是第四象限角,则cos(α+π2)=________. 解析:∵cos α=15,且α是第四象限角, ∴sin α=-1-cos 2α=-1-(15)2=-265. ∴cos(α+π2)=-sin α=265. 答案:2657.化简sin(π+α)cos(3π2+α)+sin(π2+α)cos(π+α)=________. 解析:原式=-sin α·sin α-cos α·cos α=-1.答案:-18.已知cos(π2+α)=2sin(α-π2),则 sin (π-α)+cos (π+α)5cos (5π2-α)+3sin (7π2-α)=________. 解析:∵cos(π2+α)=2sin(α-π2), ∴sin α=2cos α.原式=sin α-cos α5sin α-3cos α =2cos α-cos α10cos α-3cos α=17. 答案:179.已知f (α)=tan (π-α)·cos (2π-α)·sin (π2+α)cos (-α-π). (1)证明:f (α)=sin α;(2)若f (π2-α)=-35,且α是第二象限角,求tan α. 解:(1)证明:因为f (α)=tan (π-α)·cos (2π-α)·sin (π2+α)cos (-α-π)=sin (π-α)cos (π-α)·cos α·cos α-cos α=sin α·cos α·cos α-cos α·(-cos α)=sin α.(2)由sin(π2-α)=-35,得cos α=-35,又α是第二象限角,所以sin α=1-cos 2α=45,则tan α=sin αcos α=-43.10.已知cos(15°+α)=35,α为锐角,求tan (435°-α)+sin (α-165°)cos (195°+α)·sin (105°+α)的值.解:原式=tan (360°+75°-α)-sin (α+15°)cos (180°+15°+α)·sin[180°+(α-75°)]=tan (75°-α)-sin (α+15°)-cos (15°+α)·[-sin (α-75°)]=-1cos (15°+α)·sin (15°+α)+sin (α+15°)cos (15°+α)·cos (15°+α).∵α为锐角,∴0°<α<90°,∴15°<α+15°<105°.又cos(15°+α)=35,∴sin(15°+α)=45,故原式=-135×45+4535×35=536.[B.能力提升]1.若f (sin x )=3-cos 2x ,则f (cos x )等于( )A .3-cos 2xB .3-sin 2xC .3+cos 2xD .3+sin 2x解析:选C.∵cos x =sin(π2-x ),∴f (cos x )=f (sin(π2-x ))=3-cos[2(π2-x )]=3-cos(π-2x )=3+cos 2x .2.在直角坐标系中,若α与β的终边关于y 轴对称,则下列等式恒成立的是() A .sin(α+π)=sin βB .sin(α-π)=sin βC .sin(2π-α)=-sin βD .sin(-α)=sin β解析:选C.令0≤α,β<2π,∵α与β的终边关于y 轴对称,∴α+β=π或3π,∴sin(α+π)=sin(-β)=-sin β,故A 错;sin(α-π)=sin(-β)=-sin β,故B 错;sin(-α)=sin(β-π)=-sin β,故D 错;sin(2π-α)=sin(-α)=-sin β,故C 正确,故选C.3.(2015·广州高一检测)已知cos(5π12+α)=13,且-π<α<-π2,则cos(π12-α)=________. 解析:∵-π<α<-π2, ∴-7π12<5π12+α<-π12. 又cos(5π12+α)=13>0, ∴sin(5π12+α)=-1-cos 2(5π12+α)=-223. 由(π12-α)+(5π12+α)=π2, 得cos(π12-α)=cos[π2-(5π12+α)] =sin(5π12+α)=-223. 答案:-2234.定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=90°,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-14,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是________.(填上所有符合的序号)①sin β=154;②cos(π+β)=14;③tan β=15; ④tan β=1515. 解析:由sin(π+α)=-14,得-sin α=-14, 所以sin α=14.故cos α=±154. 由题意,若α与β“广义互余”,则α+β=90°,所以sin β=cos α=±154,cos β=sin α=14,tan β=±15.故①③满足,④不满足; 对于②,由cos(π+β)=14,得cos β=-14,不满足. 答案:①③5.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0. 证明:因为sin(α+β)=1,所以α+β=2k π+π2,k ∈Z , 所以α=2k π+π2-β,k ∈Z , 所以tan(2α+β)+tan β=tan ⎣⎡⎦⎤2(2k π+π2-β)+β+tan β=tan(4k π+π-2β+β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0.即tan(2α+β)+tan β=0.6.(选做题)已知f (α)=sin 2(π-α)·cos (2π-α)·tan (-π+α)sin (-π+α)·tan (-α+3π). (1)化简f (α);(2)若f (α)=18,且π4<α<π2,求cos α-sin α的值. 解:(1)f (α)=sin 2α·cos α·tan α(-sin α)(-tan α)=sin α·cos α. (2)由f (α)=sin α·cos α=18,可知 (cos α-sin α)2=cos 2α-2sin α·cos α+sin 2α=1-2sin α·cos α=1-2×18=34. 又∵π4<α<π2, ∴cos α<sin α,即cos α-sin α<0.∴cos α-sin α=-32.。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
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A 级 基础巩固
一、选择题
1.sin 95°+cos 175°的值为( ) A .sin 5° B .cos 5° C .0
D .2sin 5°
解析:原式=cos 5°-cos 5°=0. 答案:C
2.已知cos(75°+α)=13,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是
( )
A.13
B.23 C .-13
D .-23
解析:sin(α-15°)+cos(105°-α)
=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)] =-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α) =-cos(75°+α)-cos(75°+α) =-2cos(75°+α), 因为cos(75°+α)=13,
所以原式=-2
3.
答案:D
3.如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,45,那么sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2+θ+cos(π-θ)+tan(2π-θ)=( )
A .-43
B.43
C.34
D .-34
解析:易知sin θ=45,cos θ=-35,tan θ=-4
3.
原式=cos θ-cos θ-tan θ=4
3.
答案:B
4.若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,则下列等式中一定成立的是( )
A .cos(A +
B )=cos
C B .sin(A +B )=-sin C C .cos A +C
2
=sin B
D .sin B +C 2=cos A
2
解析:因为A +B +C =π,
所以A +B =π-C ,A +C 2=π-B 2,B +C 2=π-A
2,
所以cos(A +B )=cos (π-C )=-cos C , sin(A +B )=sin (π-C )=sin C , cos A +C 2=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B 2=sin B 2,
sin
B +
C 2=sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2-A 2=cos A 2. 答案:D
5.函数f (x )=15sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
x +π3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6的最大值为( ) A.6
5 B .1 C.35
D.15
解析:因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=π
2,
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-π
2
, 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-π2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x +π3, 所以f (x )=15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x +π3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=65sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x +π3. 故f (x )的最大值为6
5.
答案:A 二、填空题
6.若cos α=1
5,且α是第四象限角,则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α+π2=________.
解析:因为cos α=1
5,且α是第四象限角,
所以sin α=-1-cos 2
α=-
1-⎝ ⎛⎭
⎪⎫152=-26
5.
所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α+π2=-sin α=26
5.
答案:26
5
7.已知cos α=1
3,则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α-π2·cos
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2+α·tan (π-α)=________.
解析:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π2+αtan (π-α)=-cos αsin α·(-tan α)=
sin 2
α=1-cos 2
α=1-⎝ ⎛⎭
⎪⎫132=8
9.
答案:8
9
8.sin 21°+sin 22°+sin 245°+sin 288°+sin 289°=________. 解析:原式=(sin 21°+sin 289°)+(sin 22°+sin 288°)+sin 245°=
(sin 2
1°+cos 2
1°)+(sin 2
2°+cos 2
2°)+⎝ ⎛⎭
⎪⎫222=1+1+12=52.
答案:5
2
三、解答题
9.化简:
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2+αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2-αcos (π+α)
+sin (π-α)cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2+αsin (π+α)
.
解:因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=cos α,cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2-α=sin α, cos(π+α)=-cos α,sin(π-α)=sin α,
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2+α=-sin α,sin(π+α)=-sin α, 所以原式=cos α·sin α-cos α+sin α·(-sin α)-sin α=-sin α+sin α=0.
10.(1)已知sin α=1
4
,sin β=1,求cos (α+β)的值;
(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=13,求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4+α的值. 解:(1)由sin β=1得β=π
2
+2k π(k ∈Z),
所以cos (α+β)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π2+2k π=-sin α=-14. (2)因为π
4+α-⎝
⎛⎭⎪⎫α-π4=π2, 所以π4+α=π2+⎝
⎛⎭⎪⎫α-π4. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+α=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+⎝
⎛⎭⎪⎫α-π4=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=-1
3.
B 级 能力提升
1.已知f (x )=sin x ,下列式子成立的是( ) A .f (x +π)=sin x B .f (2π-x )=sin x
C .f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x -π2=-cos x D .f (π-x )=-f (x )
解析:f (x +π)=sin(x +π)=-sin x ;f (2π-x )=sin(2π-x )=sin(-
x )=-sin x ;f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π2=-sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2-x =-cos x ;f (π-x )=
sin(π-x )=sin x =f (x ).
答案:C
2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=34,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6-α=________.
解析:因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α+⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=π2
, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α=3
4. 答案:3
4
3.设tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α+87π=a . 求证:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π+α+3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α-137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π-α-cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α+227π=a +3a +1.
证明:左边=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π+⎝ ⎛⎭⎪⎫87π+α+3cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π-3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π-⎝ ⎛⎭⎪⎫α+ 87π-cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π+⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π
=-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π-3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α+87π-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+87π-cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫α+87π
=tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α+87π+3tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α+87π+1.
将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α+87π=a 代入得,左边=a +3a +1=右边,
所以等式成立.。