雅克比迭代法
雅各比迭代实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解雅各比迭代法的原理和应用。
2. 掌握雅各比迭代法的计算步骤和实现方法。
3. 通过实验验证雅各比迭代法在求解线性方程组中的有效性和收敛性。
二、实验原理雅各比迭代法是一种求解线性方程组的迭代方法。
对于形如Ax=b的线性方程组，其中A是n×n的系数矩阵，x是n维未知向量，b是n维常数向量，雅各比迭代法的基本思想是将方程组Ax=b转化为一系列的简单方程进行迭代求解。
设A为对角占优矩阵，则雅各比迭代法的迭代公式为：x_{k+1} = (D - L)^{-1}(b - Ux_k)其中，D是A的对角矩阵，L是A的非对角元素中下三角矩阵，U是A的非对角元素中上三角矩阵。
三、实验内容1. 准备实验环境：安装MATLAB软件，创建实验文件夹。
2. 编写实验程序：（1）定义系数矩阵A和常数向量b。
（2）计算对角矩阵D、下三角矩阵L和上三角矩阵U。
（3）初始化迭代变量x_0。
（4）设置迭代次数N和容许误差ε。
（5）进行雅各比迭代计算，并输出每一步的迭代结果。
（6）判断迭代是否收敛，若收敛则输出最终结果，否则输出未收敛信息。
3. 运行实验程序，观察迭代过程和结果。
四、实验步骤1. 创建实验文件夹，打开MATLAB软件。
2. 编写实验程序，保存为“雅各比迭代法实验.m”。
3. 运行实验程序，观察迭代过程和结果。
4. 分析实验结果，验证雅各比迭代法的有效性和收敛性。
五、实验结果与分析1. 运行实验程序，得到以下迭代过程和结果：迭代次数 | 迭代结果---------|---------1 | x_1 = [0.3333, 0.3333]2 | x_2 = [0.3333, 0.3333]3 | x_3 = [0.3333, 0.3333]...N | x_N = [0.3333, 0.3333]2. 分析实验结果：（1）从实验结果可以看出，雅各比迭代法在求解线性方程组时，经过有限次迭代即可收敛。
雅克比迭代法
雅克比迭代法雅克比迭代法是一种数值计算方法，用于求解非线性方程组的数值解。
它是一种层层逼近的迭代法，能够计算出不容易解析求解出的最终解。
而雅克比迭代法以德国数学家康托尔（Carl Gustav Jakob Jacobi）于1846年发明，因此也称为“Jacobi方法”或“Jacobi迭代法”。
它属于收敛性迭代，相比较其他迭代法，其优点在于可以减少有限步数达到收敛的程度。
许多工程应用要求精确地求解非线性方程组，因此雅克比迭代法受到了热烈关注，因而被广泛用于科学计算和工程问题中。
以其解决非线性方程组求解为主要应用，例如工程中的确定型求解，最佳化求解，和物理系统模拟，例如核物理、计算物理；可以满足复杂系统的非线性方程求解需求。
雅克比迭代法的四个基本步骤如下：（1）确定非线性方程组，包括初始猜测和期望的精度；（2）逐步求解非线性方程组。
计算第一步的近似解，使用Jacobi 迭代法，即：使用当前的近似解求出新的近似解；（3）根据Jacobi迭代法的收敛特性，采用误差判断准则判断结果的准确度，根据有关条件决定是否继续迭代；（4）得到足够精确的非线性方程组的解，并根据求解结果对后续工作进行分析和决策。
雅克比迭代法虽然十分有用，但仍有一些局限性。
其一，它只适用于方程组的求解；其二，它只适用于可容易矩阵求解的非线性方程；其三，它不能保证收敛而算法很难预估；最后，它的复杂度较高，求解方程组需要大量的计算。
雅克比迭代法在解决工程问题时发挥了重要作用。
它可以有效地求解非线性方程，可以用于复杂系统分析模型中。
因此，雅克比迭代法仍被广泛应用于许多不同的工程应用和科学计算中。
自雅克比迭代法发明以来，许多理论和应用都开发出来，为许多工程和科学应用提供了可靠的计算解决方案。
例如，在工程应用领域，雅克比迭代法的应用包括求解复杂的动态系统、控制系统优化设计、机械结构分析、结构设计与优化、热学模拟、流体力学、图像处理、卫星轨道动力学、经济模拟和遗传算法等。
雅可比迭代法预处理
雅可比迭代法是一种常用于求解线性方程组的迭代方法。
它通过不断迭代来求解方程组的解。
在使用雅可比迭代法之前，我们需要对方程组进行一些预处理，以便使用这种方法求解。
首先，我们需要将方程组化为如下的形式：
Ax = b
其中A 是系数矩阵，x 是未知向量，b 是常数向量。
然后，我们需要确定一个初始猜测解x0，作为迭代的起点。
这个初始猜测解可以是任意的，但是如果能够选择一个较好的初始猜测解，则可能会使迭代收敛得更快。
最后，我们需要选择一个迭代系数，这个系数决定了新的猜测解与旧的猜测解之间的关系。
一般来说，如果选择的迭代系数越小，则迭代收敛得越慢，但是收敛得更稳定；如果选择的迭代系数越大，则迭代收敛得越快，但是收敛得更不稳定。
这就是雅可比迭代法的预处理过程。
第八节 雅可比迭代法
1)
1( 5
x1(k1)
x2( k 1)
4.2)
取 x(0)=(0,0,0)T 计算如下：
k
x1(k)
1
0.72
x2(k) 0.902
…
…
…
8 1.099998 1.199999
x3(k) 1.1644
… 1.3
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三 迭代收敛的充分条件
第三章 第八节
定理 1 在下列任一条件下，雅克比迭代法收敛。
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a i j1 ii
1
ji
时，高斯——塞德尔迭代法收敛
定义
若 | aii | | aij | ji
( i 1 , 2 , , n )
或 | a jj | | aij |
i j
( j 1 , 2 , , n )
称矩阵 A 行（或列）严格对角占优。
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第三章 第八节
定理3 若矩阵 A 行（或列）严格对角占优，则
则有x* =Bx*+f ， 即x*为原方程组Ax=b 的解，B
称为迭代格式（1）的迭代矩阵。
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第三章 第八节
问题： 如何构造迭代格式，迭代法产生的 向量 序列{ x(k) }的收敛条件，收敛速度，误差估计等。
一 雅可比迭代法
设方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
Seidel 迭代法收敛。
证 A =D-L-LT ， BG =(D-L) -1LT ，设 为BG 的特
征值， y 为对应的特征（复）向量，即
(D-L) -1LT y = y ， LT y = (D-L) y ，则
[LT y, y ]= [ (D-L) y , y ]
(完整版)第八节雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法综述.doc
第八节 雅可比迭代法与高斯 —塞德尔迭代法一 雅可比迭代法设线性方程组Ax b(1)的系数矩阵 A 可逆且主对角元素 a 11,a 22,...,ann 均不为零 ,令D diag a 11 ,a 22 ,...,a nn并将 A 分解成AA D D(2)从而 (1) 可写成Dx D A x b令x B 1 xf 1其中 B 1I D 1 A, f 1 D 1b .(3)以B 1为迭代矩阵的迭代法(公式 )xk 1B 1 x kf 1(4)称为雅可比 (Jacobi) 迭代法 ( 公式 ), 用向量的分量来表示,(4) 为x i( k 1)1 n(j k )b ia i j xaiij 1j ii 1,2,...n,k 0,1,2,...(5)T其中 xx 1 0 ,x 20 ,...x n 0为初始向量 .由此看出 , 雅可比迭代法公式简单 , 每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法. 在电算时需要两组存储单元 , 以存放 x k及 x k 1 . 例1例1 用雅可比迭代法求解下列方程组10 x 1x 2 2x 3 7.2x 1 10x 22x 3 8.3x 1x 2 5x 34.2解将方程组按雅可比方法写成x 10.1x 20.2x 3 0.72 x 2 0.1x 1 0.2x 30.83x 30.2x 10.2x 20.84取初始值 xx 1 0 ,x 20 , x 3 0TT0,0,0, 按迭代公式x 1 k 10.1x 2 k0.2x 3k 0.72 x 2k 1 0.1x 1 k0.2x 3 k0.83 x 3k 1 0.2x 1 k 0.2x 2k0.84进行迭代，其计算结果如表1 所示表 1k 0 1 2 34 56 7x 1 k 00.720.9711.0571.08531.09511.0983x 2 k0.831.0701.157 1.18531.19511.19831x 3 k0.841.1501.248 1.28281.29411.29802二 高斯 — 塞德尔迭代法由雅可比迭代公式可知 , 在迭代的每一步计算过程中是用x k的全部分量来计算xk 1 的所有分量 , 显然在计算第 i 个分量 x ik 1时 , 已经计算出的最新分量 x 1 k 1 ,...,x i 1 k 1 没有被利 用，从直观上看 , 最新计算出的分量可能比旧的分量要好些. 因此，对这些最新计算出来的第 k 1的分量 xjk 1加以利用 , 就得到所谓解方程组的高斯— 塞德（ Gauss-Seidel ）次近似 xk 1迭代法 .把矩阵 A 分解成A DL U(6)其中Ddiag a 11 ,a 22 ,...,a nn,L , U分别为 A 的主对角元除外的下三角和上三角部分 , 于是 , 方程组 (1) 便可以写成DL x Ux b即x B 2 x f 2其中B 2 D L 1f 2U , 以B 2为迭代矩阵构成的迭代法( 公式 )xk1B x kf1D L b(7)2 2称为高斯 — 塞德尔迭代法 ( 公式 ), 用 量表示的形式为x i( k 1 )1i 1(j k 1 )b ia ij x n(8)a ij x (j k )a iij1j i 1i 1,2,n,k 0,1,2,...(9)由此看出 , 高斯 — 塞德尔迭代法的一个明显的优点是 , 在电算时 , 只需一组存储单元 ( 计算出k 1kk 1kx i后 x i 不再使用 , 所以用 x i 冲掉 x i, 以便存放近似解 .例 2 例 2 用高斯 —— 塞德尔迭代法求解例 1.取初始值x 0x 1 0 ,x 20 , x 3T解0,0,0, T，按迭代公式x 1 k 10.1x 2k0.2x 3 k 0.72 x 2k 1 0.1x 1 k 10.2x 3k0.83x 3 k 1 0.2x 1 k 10.2x 2 k 10.84进行迭代，其计算结果如下表2表 2k0 1 23456 7 x 1 k0.721.04308 1.093 1.099131.099891.099991.113x 2 k0.902 1.167191.1951.199471.199931.199991.272x 3 k1.164 1.28205 1.2971.299721.299961.31.3477从此例看出 , 高斯 — 塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快( 达到同样的精度所需迭代次数少 ), 但 这个结论 , 在一定条件下才是对的 , 甚至有这样的方程组 , 雅可比方法收敛，而高斯 — 塞德尔迭代法却是发散的 .三 迭代收敛的充分条件定理 1在下列任一条件下, 雅可比迭代法 (5) 收敛 .B 1 max na ij1a iiij j1i①;B 1naij11maxaiiji 1②j i;I D 1ATmax naij1ji 1 a jj③i j定理 2设 B 1,B 2 分别为雅可比迭代矩阵与高斯 — 塞德尔迭代矩阵 , 则B 2B 1(10)从而，当B1naij1maxa iiijj 1i时，高斯 — 塞德尔迭代法 (8) 收敛 .证明由 B 1,B 2的定义 ,它们可表示成B 1D 1 L UB 21D L 1U I D 1L D 1U用 e 表示 n 维向量e1,1,...,1 T , 则有不等式B 1 e B 1 eB 1D 1 LD 1U这里 , 记号｜·｜表示其中矩阵的元素都取绝对值, 而不等式是对相应元素来考虑的, 于是D 1U eB 1 D 1L eID 1 L1B 1Ie容易验证nnD 1LD 1 L所以,ID1L 及ID 1L 可逆，且ID 1L 1I D 1 L ...n 1D 1 LID 1 Ln11... D 1LI D 1LID 1L1I从而有B 2 e ID 1L 1D 1U eID 1L1I D 1L 1 B I e1I1 B 1IID 1 L 1eB 1 e因此必有B 2B 1因为已知B 1 1所以 B 2 1 .即高斯 — 塞德尔迭代法收敛 .若矩阵 A 为对称，我们有 定理 3 若矩阵 A 正定 , 则高斯 — 塞德尔迭代法收敛 . 证明把实正定对称矩阵 A 分解为A D LL TUL T, 则 D 为正定的 , 迭代矩阵B 2D L 1 L T设 是B 2的任一特征值 , x 为相应的特征向量 , 则D L 1xxL T以 D L 左乘上式两端 , 并由 A D L L T 有1 L T x Ax 用向量 x 的共轭转置左乘上式两端 , 得1x T L T xx T Ax(11)求上式左右两端的共轭转置, 得1x T L x x T Ax以1和1分别乘以上二式然后相加, 得1 1 x T L TL x2x T Ax由 AD L L T ,得11x T D A x2x T Ax即221x T L x1x T Ax(12)因为 A 和 D 都是正定的 , 且 x 不是零向量 , 所以由 (11) 式得1, 而由 (12) 式得12, 即1, 从而B 21, 因而高斯 — 塞德尔迭代法收敛 .定义 1 设 Aa ijn n为 n 阶矩阵 .① ①如果na ij ,i 1,2,...na iij ij i(13)即 A 的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和， 则称 A 为严格对角优势矩阵.② ②如果na ij ,aiii 1,2,...nj ij i且至少有一个不等式严格成立 , 则称 A 为弱对角优势矩阵 .2 1 0 1 1 0 13 1 1 2 1例如13 是严格对角优势矩阵，13 是弱对角优势矩阵 .A 11A 12定义 2设 A a ijn n是 n 阶矩阵，如果经过行的互换及相应列的互换可化为 0A22,即存在 n 阶排列矩阵 P, 使P T APA 11 A 120 A 22其中A 11,A22 为方阵，则称A 是可约的 , 否则称 A 为不可约的 .A 是可约矩阵 , 意味着Ax b 可经过若干次行列重排, 化为两个低阶方程组 ,事实上 ,Ax b 可化为 P T AP P T x P T b , 记P T y1 , d x y2 P T b dy d12于是，求解 Ax b 化为求解 A 11 y1A 12 y2 dA 22 y 2d1 2可以证明 , 如果 A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵 , 则 A 是非奇异的 .定理 4 如果 A 为严格对角优势矩阵或为不可约弱对角优势矩阵, 则对任意 x 0 , 雅可比迭代 法(4) 与高斯 — 塞德尔迭代法 (8) 均为收敛的 .证明 下面我们以 A 为不可约弱对角优势矩阵为例， 证明雅可比迭代法收敛， 其他证明留给 读者 .要证明雅可比迭代法收敛，只要证 B 11,B 1是迭代矩阵 .用反证法 , 设矩阵B 1有某个特征值, 使得1, 则 det IB 10,由于 A 不可约,且具有弱对角优势，所以D 1 存在，且I B 1IID 1AD 1D A D从而det D A D另一方面，矩阵DAD与矩阵 A 的非零元素的位置是完全相同的，所以D AD也是不可约的 , 又由于1, 且 A 弱对角优势，所以na iia iia ij ,i 1,2,...nj ij i并且至少有一个 i 使不等号严格成立. 因此 , 矩阵D AD弱对角优势，故DA D为不可约弱对角优势矩阵 . 从而det D A D 0矛盾，故B1的特征值不能大于等于1，定理得证 .。
研究生数值分析(11)---雅可比(Jacobi)迭代法
a x (k) n,n1 n1
bn )
取初始向量
X
(0)
(
x (0) 1
,
x (0) 2
,
,
x (0) n
)T
利用（4）反复迭代可以得到一个向量序列 {X (k)}
称式（4）为雅可比迭Jacobi代公式。
若记
a11
D
a22
0
a21 0
0 a12
0
L a31
a32
0
U
特征方程 I D1(L U ) 0
又可以写成 D1 D L U 0 因为 D1 0 ，所以 D L U 0 上式左端为将系数矩阵 A 的对角元同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例8 用雅可比迭代法求解方程组
10x1 2x2 x3 3 2x1 10x2 x3 15 x1 2x2 5x3 10
由迭代矩阵的特征方程
10 2 1 2 10 1 0 1 2 5
展开得到
(10 2)(50 2 10 3) 0
解得
1
1 5
, 2
1 10
7
, 3
1 10
7
于是 (J ) 1 7 0.3646 1
10
因而雅可比迭代公式是收敛的。
练习:考察用雅可比Jacobi迭代法解方程组 AX=b的收敛性，
解：相应的雅可比迭代公式为
x1(
k
1)
1 10
(2x2(k )
x (k) 3
3)
x2(k
1)
1 10
(2
x1(
k
)
x (k) 3
15)
x3(k
1)
1 5
(
x1(
jacobi迭代法解析：原理与应用
jacobi迭代法解析：原理与应用标题：Jacobi迭代法解析：原理与应用导语：在数值计算和线性代数中，Jacobi迭代法是一种常用的迭代方法，用于解决线性方程组。
本文将深入探讨Jacobi迭代法的原理、应用和相关领域的研究，以帮助读者对这一数值算法有更全面和深刻的了解。
一、Jacobi迭代法介绍1.1 基本原理Jacobi迭代法是一种迭代法，用于求解线性方程组Ax = b，其中A是一个方阵，x和b是向量。
该方法通过不断迭代计算逼近线性方程组的解，直至满足预设的精度要求。
1.2 迭代公式详细介绍Jacobi迭代法的迭代公式，包括终止条件和迭代收敛性分析。
1.3 算法流程介绍Jacobi迭代法的算法流程和步骤，以及如何选择合适的初始解向量和迭代次数。
1.4 算法复杂性分析分析Jacobi迭代法的时间和空间复杂性，以便读者可以评估它在实际问题中的应用可行性。
二、Jacobi迭代法的应用2.1 线性方程组求解探讨Jacobi迭代法在解决大规模线性方程组时的应用，包括稀疏矩阵和高度并行计算环境下的性能优化。
2.2 特征值求解介绍Jacobi迭代法在计算特征值和特征向量时的应用，以及与其他方法（如幂法和QR算法）的比较和优势。
2.3 图划分与图分割探讨Jacobi迭代法在图划分和图分割问题中的应用，以及如何利用迭代过程提高划分结果的质量。
2.4 数值模拟与优化讨论Jacobi迭代法在数值模拟和优化问题中的应用，如流体力学、结构力学和优化设计等领域。
三、Jacobi迭代法的扩展与改进3.1 并行Jacobi迭代法介绍并行Jacobi迭代法的思想和实现策略，包括数据并行和任务并行，并讨论其对迭代收敛性和算法效率的影响。
3.2 加速算法与预条件技术探讨Jacobi迭代法的加速算法和预条件技术，如超松弛迭代法（SOR）、不完全LU分解和多重网格方法等，以加快迭代收敛速度和提高求解精度。
3.3 进一步的应用领域介绍Jacobi迭代法在其他领域的应用，如图像处理、信号处理和机器学习等，并指出其优势和适用性。
jacobi迭代法
jacobi迭代法
Jacobi迭代法是常见的数值计算中解线性方程组的方法之一，它是一种迭代式方法。
Jacobi迭代法主要用于近似解决线性方程组，它是以变步长的简单迭代方法，以求解高维空间的线性方程组。
Jacobi迭代法的基本思想是，使用当前近似解求解未知数，其数学模型为Ax=b，将x分解为x=x0+dx,其中dx为增量，前面先确定x0，求解dx，新近似解为x0+dx。
Jacobi迭代法的具体步骤是：给定问题的数学模型Ax=b，确定初值xi(0)（i=1，2，…，n），用Aijxj(k)=bi-Σ(i≠j)Aijxj (k)计算第i个未知数的新近似解xi (k+1)，代入上一次的新近似解作为右边的初值，重复上述过程，即可以得到新的xi(k+1)。
Jacobi迭代法的主要优点是计算简单，实现容易，需要的存储空间少，因此被广泛应用于解线性方程组。
但是，Jacobi迭代法的收敛性能较差，如果迭代次数太多，会使计算效率降低。
因此，Jacobi迭代法在数值计算中由其算法本身的简单性及其低纬度和低存储量得以广泛使用，其计算过程也由此得到优化。
但是，该迭代法局限于其较差的收敛性能，必须谨慎使用以防超过预定的最大迭代数。
雅克比迭代法公式
雅克比迭代法公式
雅克比迭代法公式是一种在数学中求解不定方程的算法。
它的名字来源于著名的19世纪的德国数学家詹姆斯雅克比（JamesJakobie）。
雅克比迭代法是一种递归算法，可以求解非线性方程组的解，从而有效地求解不定方程组。
在这种算法中，我们使用递归迭代来进行求解，简单来说，就是用某种格式的解公式，以及递归公式来求解方程组。
雅克比迭代法公式是一种求解不定方程组的方法，它可以帮助我们求解某些问题中存在的不定方程，以有效地求解此类问题。
雅克比迭代法公式可以很容易地表示为：
递归公式：X_(n+1) = F(X_n)，
其中，F(x)=f(x)的连续函数。
用雅克比迭代法公式求解不定方程的具体步骤如下：
（1）首先，对于一个不定方程，需要确定可能求解的迭代起点；
（2）然后，用迭代起点作为基准，构造一个新的迭代方程，即
雅克比迭代法公式；
（3）接下来，用此方程迭代求解，迭代次数根据实际情况而定；
（4）最后，通过迭代求解求得方程的解，并对其进行检验，以
确定此解是否正确。
雅克比迭代法公式的优势在于它的计算复杂度比其他方法要低，因此在求解不定方程组方面具有很大的优势。
此外，不定方程的求解过程也更简单，不需要太多的计算量。
雅克比迭代法公式一直备受追捧，它可以帮助我们在数学中有效地求解不定方程，简化计算过程。
它也被广泛应用于科学、工程、数学和计算机方面，大大减少了计算量，提高了效率。
因此，雅克比迭代法公式在求解不定方程组中发挥着重要作用，它不仅在实际应用中十分重要，而且它的应用也使得计算更加便捷，从而为人们带来了巨大的方便。
雅可比(Jacobi)迭代法
高斯赛德尔迭代矩阵BG一般不容易计算，所以实际使用 时采用分量形式的算法，参见程序 GaussSeidelit2.m
例子：p.55(p.52)例8 ，10-3的精度，迭代6 次。
3x1x12xx22
5 5
x(k 1) 1
x(k) 2 3
x(k) i
(bi
a x( k1) ij j
aij
x
( j
k
)
)
/
aii
j 1
ji
不同的 的值会影响SOR迭代的收敛性、收敛 速度。
20
例（7）SOR迭代法
8 3 2 A 4 11 1
6 3 12
取 =1.5，则迭代矩阵：
1 / 2 9 / 16
3 / 8
B 3 /11 71/ 88 15 / 44
|| B || 20, || B ||1 17, || B ||2 14.4, (B) 13
不收敛。
14
（2）简单构造迭代法-2
8x1 3x2 2x3 20 4x1 11x2 x3 33 6x1 3x2 12x3 36
2
3
4x1 20 4x1 3x2 2x3
9x2 33 4x1 2x2 x3
举例：
8 4
x1 x1
3x2 2x3 11x2 x3
20 33
6 x1 3 x2 12x3 36
精确解
3 2 1
13
（1）简单迭代法
8 3 2 7 3 2 B I A I 4 11 1 4 10 1
6 3 12 6 3 11 20 b' 33 36
SOR迭 代( 1.3545)， 17次 ， (B) 0.452847
雅克比迭代法介绍以及matlab代码实现-线性方程组求解
雅克⽐迭代法介绍以及matlab代码实现-线性⽅程组求解1）.前沿谈到雅克⽐迭代法，⾸先就谈下迭代法的基本原理设线性⽅程组Ax = b系数矩阵A为n阶⾮奇异矩阵（|A|≠0，且右端常数项向量b≠0，则将上式改写为x = Bx +f采⽤迭代的思想： x^{k+1} = B*x^{k+1} +f k=0,1,2...,n其基本思想是将A拆分成如下A = M-N此时 B=M^(-1)*N = M^(-1) = I - M^(-1)*A ,f = M^(-1)*b .(注：I 是单位矩阵)则X^(K+1) = I - M^(-1)*A + M^(-1)*b2）.雅克⽐迭代法就上拆分的思想，将n阶线性⽅程组 Ax =b 的拆分成（A = (a ij)nxn ，且a ij≠0）A = D + L +U其中，，则根据a ij≠0，则D^(-1) 存在，则将线性⽅程组 AX=B 改为x=-D^(-1)*(L+U)*x + D^(-1)*b由此得到迭代公式x^(k+1)=-D^(-1)*(L+U)*x^(k+1) + D^(-1)*b证明：标注为粉红的公式由 Ax = b ，将A=D+L+U代如得，（D+L+U）x = bDx+(L+U)x = bDx = -(L+U)x + bx = D^(-1)*(L+U)*x + D^(-1)*b证毕。
将 x=-D^(-1)*(L+U)*x + D^(-1)*b 展开...最终结果为：3）.Matlab 雅克⽐迭代程序具体程序如下所⽰：clear;A=input('请输⼊线性⽅程组的系数矩阵:');b=input('请输⼊线性⽅程组的常向量:');x1=input('请输⼊解向量的初始值:');n=numel(b);e_max=1e6; %%前⼀次和后⼀次之差while e_max>=1e-6e_max=0;for i=1:ns=0; %%初始化变量for j=1:nif j~=is=s+A(i,j)*x1(j);endendx2(i) = (b(i)-s)/A(i,i);e = abs(x2(i)-x1(i));if e > e_maxe_max = e;endendx1=x2 %%不带分号，观察每步迭代结果end测试矩阵A = [10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5]; b= [72 83 42];迭代初值x(0) = [0 0 0];调试结果。
雅克比迭代法适用条件
雅克比迭代法适用条件
雅克比迭代法是数学和计算机科学领域中广泛使用的一种迭代求解方法，能够
有效地求解多元函数最小值或极限点的问题。
雅克比迭代法的使用条件有三点：
一是求解的函数必须对所有的变量具有可微性，即拥有雅克比矩阵；
二是关于求解的函数拥有一个可以近似和较小范围内可确定的局部极小值；
三是雅克比迭代法在实际使用中一般假设变量加权向量为负梯度，因此所使用
的局部极小值必须以凸函数为依据直至最终求解。
除此以外，雅克比迭代法的性能在很大程度上受参数的选择影响。
雅克比迭代
法在求解的过程中容易受函数的高阶或谐对称性影响，这限制了用户在运用中灵活性，因此，设置合理的参数一般都可以按照用户的要求求解出较优的解决方案。
此外，它还可以有效地用于线性规划和非线性规划问题在求解过程中提供了高精度。
从互联网行业来看，雅克比迭代法可以有效地将大量的用户信息和数字数据转
化成数据分析模型，从而分析用户的行为习惯，预测用户的可能需求，这样就可以提高宣传和广告效果和服务质量，快速反应用户的需求。
进而能够较快地挖掘市场投资机会，控制风险，快速获得市场优势。
总而言之，雅克比迭代法在互联网行业中的应用具有良好的可行性，能够以更
精准的数据分析和把握，迅速地提高企业竞争力，使企业能够抓住时代发展的脉搏，快速发展壮大，为企业创造更大的价值。
雅可比迭代例题计算
雅可比迭代例题计算雅可比迭代法是一种数学优化方法，可以让我们找到函数的最值。
它结合了多元微积分和近似解析学，可以通过迭代来解决优化问题，并为我们提供准确的结果。
我们以一个简单的例题开始讨论雅可比迭代法。
首先，我们要解决的问题是求解函数f（x）=X ^ 3 + x ^ 2 - 3的最值。
我们令函数f（x）=3X ^ 2 + 2x。
由于f（x）=0，我们可以求得x_0=0是它的一个极值点。
因此，f（x）在x_0=0时取得最大值。
下一步，我们用雅可比迭代法来解决这个问题。
我们需要用下面的公式来定义迭代法：x_{n+1}=x_{n}-frac{f(x_n)}{f(x_n)}在我们解决这个例题时，可以把x_0=0带入上述公式，求得x_1=0。
然后继续计算x_2, x_3等，最后求得x_n。
接下来，我们来计算f（x）的最大值，可以用下面的公式：f_{max}=f(x_n)经过上述计算，我们可以得到f（x）的最大值f_{max}=-3。
以上就是雅可比迭代法的基本概念以及如何使用它来解决函数f （x）的最值问题的过程。
我们发现，雅可比迭代法可以帮助我们解决许多复杂的优化问题。
在补充说明雅可比迭代法之前，我们先来回顾一下它的一些概念。
首先，它是一种数学优化方法，可以通过迭代来求解优化问题，可以提供准确结果。
其次，它基于多元微积分和近似解析学，有一定的技术要求。
用雅可比迭代法的关键就是要正确求解函数的导数，并用它们来计算迭代序列，从而获得最优解。
最后，要强调的是，雅可比迭代法不仅可以帮助我们解决优化问题，还可以帮助我们解决其他类型的问题，比如求解微分方程，求解积分方程等。
因此，雅可比迭代法非常有用，广泛应用于计算机领域。
总之，雅可比迭代法是一种重要的数学优化方法，它可以解决许多复杂的多元函数最值优化问题。
它也可以用于多种数学问题的求解，可以提供准确的结果。
以上就是雅可比迭代法的原理，希望能给读者一些启发，让我们能更好地利用数学来解决实际问题。
雅克比迭代法
雅克比迭代法马来西亚雅克比迭代法(Marey Jacobs Iterative Method)是一种功能最优化的数值分析方法，又称无约束最优化算法，其目的是找到函数最优值，这是一种全局最优解法，可以有效求解多变量非线性方程和非凸优化问题。
1. 雅克比迭代法的概念雅克比迭代法是数值分析方法的一种，他可以搜索多变量非线性函数的最优值。
该方法的核心思想是：在每次迭代中，通过计算函数的梯度(或偏导数)来找到新的最优值，以及搜索方向。
它基于雅克比矩阵求解多元非线性方程组，需要迭代计算，来自动找到变量最优值点，比如从一个初始点开始，沿着局部函数增加最快的方向，一直搜索到某一程度，就可以得到全局最优结果。
2. 雅克比迭代法的特点①雅克比迭代法可以基于非凸优化，这就使得在多元变量函数中找到最优解更加容易。
②它的收敛速度极快，一般只需一定的迭代周期就可以解出比较精确的解。
③雅克比迭代法具有很大的数值稳定性，它可以适应多元函数的各种变化而取得精确的结果。
3. 雅克比迭代法的应用（1）雅克比迭代法可以用于非线性最优化，用于非线性方程组和非凸优化问题。
（2）它可以用于解决多元、非线性优化问题，特别是在功能最优化技术中经常应用。
（3）它广泛应用于多目标最优化，在这种问题中，可以使用雅可比迭代法来求解最优值。
（4）它可以有效地解决期望、约束类优化问题，其中，约束可以通过增加惩罚函数的系数来改变。
4. 雅克比迭代法的缺点（1）雅可比迭代法的最佳初值特征和求解准确度有较大的依赖，这意味着对于不同的情况，要使用不同的参数，这就耗费了较多的时间；（2）雅可比迭代法因为受函数从原点出发的假定条件，所以只能较不理想的收敛到局部最优解，而不能较好的收敛到全局最优解；（3）雅可比迭代法实现起来较为复杂，对于复杂的非凸优化问题，往往可能导致求解的困难；（4）雅可比迭代法有一定的假定条件，一旦这些假定发生变化，那么最终计算出的结果就可能发生改变。
jacobi迭代法例题详解
jacobi迭代法例题详解Jacobi迭代法是一种求解线性方程组的迭代方法，它是通过把线性方程组的系数矩阵对角线上的元素提取出来，并用其逆矩阵进行下一步迭代计算的方法。
其基本思路是，将线性方程组$Ax=b$表示为：$$Ax = Dx + (A-D)x = b$$其中，$D$为系数矩阵$A$的对角线部分，即$D_{ii} = A_{ii}$，$(A-D)$则为$A$的非对角线元素部分。
进而得到迭代式：$$x^{(k+1)} = D^{-1}(b-(A-D)x^{(k)})$$其中，$x^{(k)}$为迭代第$k$次的$x$的近似解。
下面以一个简单的例子来详细介绍Jacobi迭代法的求解过程。
例如有如下线性方程组：$$\begin{cases}2x_1-x_2-4x_3=7\\-x_1+4x_2+x_3=7\\x_1+x_2+5x_3=-15\end{cases}$$将其转化为矩阵形式$Ax=b$：$$\begin{pmatrix}2 & -1 & -4 \\-1 & 4 & 1 \\1 & 1 & 5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\7\\-15\end{pmatrix}$$首先将$A$拆分为对角线矩阵$D$和非对角线矩阵$(A-D)$：$$D =\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 5\end{pmatrix}, \qquad A-D =\begin{pmatrix}0 & -1 & -4 \\-1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$然后计算$D^{-1}$：$$D^{-1} =\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5}\end{pmatrix}$$由此得到迭代公式：$$\begin{pmatrix}x_1^{(k+1)}\\x_2^{(k+1)}\\x_3^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{4} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{5}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}7 + x_2^{(k)}+4x_3^{(k)}\\7 + x_1^{(k)}-x_3^{(k)}\\-15 - x_1^{(k)}-x_2^{(k)}\end{pmatrix}$$初始值$x_1^{(0)}=x_2^{(0)}=x_3^{(0)}=0$，代入迭代公式中计算可得：第1次迭代：$$\begin{pmatrix}x_1^{(1)}\\x_2^{(1)}\\x_3^{(1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}7+0+4\cdot0\\7+0+0\\-15+0+0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3.50\\1.75\\-3.00\end{pmatrix}$$第2次迭代：\begin{pmatrix}x_1^{(2)}\\x_2^{(2)}\\x_3^{(2)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}7-1.75-4\cdot(-3)\\ 7+3.5+(-3)\\-15-3.5-1.75\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3.25\\1.63\\-2.90\end{pmatrix}$$继续迭代直到满足收敛条件为止，通常可以设置一个最大迭代次数来限制迭代次数的范围。
雅可比迭代例题
雅可比迭代例题雅可比迭代法是一种解决非线性方程组的有效数值计算方法，它能够将多元非线性方程组准确地转化为连续的迭代过程，然后由某一种收敛定理来得到解的近似值。
雅可比迭代例题就是通过将多元非线性方程组转换为一组连续的非线性迭代公式，来解决特定问题。
雅可比迭代法可以说是一种有效的数值计算方法，它使用了一系列的迭代步骤来解决特定的非线性方程组，并能够准确地转换为连续的迭代公式。
而雅可比迭代例题则是一种更专门的解决方案，是对特定问题的一种有效解决方案。
雅可比迭代例题是指用雅可比迭代法来解决特定的非线性方程组的问题。
典型的例子如下：例题1：已知函数f(x,y) = 0，求x,y的近似解。
解：由于f(x,y) = 0，可以将它转化为连续的迭代公式：xn+1 ＝ xn + f(xn,yn)yn+1 ＝ yn + g(xn,yn)其中，f(xn,yn)和g(xn,yn)分别为xn,yn处的偏导数。
根据上面的公式，我们可以迭代求解，即令x0,y0为初始值，以xn+1,yn+1为新的变量，使用上面的公式不断迭代，直到收敛为止。
当收敛时，所求的近似解x,y即为xn+1,yn+1。
例题2：已知函数f(x,y,z) = 0，求x,y,z的近似解。
解：由于f(x,y,z) = 0，可以将它转化为连续的迭代公式：xn+1 ＝ xn + f(xn,yn,zn)yn+1 ＝ yn + g(xn,yn,zn)zn+1 ＝ zn + h(xn,yn,zn)其中，f(xn,yn,zn)、g(xn,yn,zn)和h(xn,yn,zn)分别为xn,yn,zn处的偏导数。
根据上面的公式，我们可以迭代求解，即令x0,y0,z0为初始值，以xn+1,yn+1,zn+1为新的变量，使用上面的公式不断迭代，直到收敛为止。
当收敛时，所求的近似解x,y,z即为xn+1,yn+1,zn+1。
以上是雅可比迭代法解决非线性方程组的典型例题，它使用了连续的迭代公式，通过不断迭代，最终可以得到非线性方程组的近似解。
雅可比迭代例题计算
雅可比迭代例题计算根据雅可比迭代例题计算，许多数学问题可以使用雅可比迭代法（Jacobi Iteration）来解决。
它是一种迭代法，在迭代法中，我们把未知变量从一个起始值开始，经过多次计算，最终得到另一个结果，且其所苏打的结果更接近真实的值。
雅可比迭代法是一个简单的迭代方法，它对于求解方程组的确切解有很大的用处。
雅可比迭代法的计算过程是这样的：首先把线性方程组变形，以使得主要的矩阵变为对角阵，然后用Jacobi迭代计算方程组的解，其迭代法如下：$$x_i^{(k+1)}=frac{1}{a_{ii}}left[ b_i-sum_{jeq i}a_{ij}x_j^{(k)}right],i=1,2,ldots,n,.$$其中，$A=left [ a_{ij} right ]$为系数矩阵，$b=[b_1,b_2,ldots,b_n]^T$为常数项，$x^{(k)}=[x_1^{(k)},x_2^{(k)},ldots,x_n^{(k)}]^T$为未知数的第k次迭代解，$k=0,1,2,ldots$。
以下是关于雅可比迭代法的一个实例：求解线性方程组，$$left{ begin{aligned}x_1+x_2-3x_3+x_4&=3-3x_1+x_2-x_3+2x_4&=22x_1+4x_2+x_3+5x_4&=5x_1-2x_2-3x_3+x_4&=1end{aligned}right.$$可以把上式变换为对角矩阵的形式：$A=left[ begin{array}{cccc}1 & 1 & -3 & 1-3 & 1 & -1 & 22 & 4 & 1 & 51 & -2 & -3 & 1end{array}right]$，$b=[3,2,5,1]^T$。
使用Jacobi迭代法，第k次迭代解可以表示为：$x^{(k)}=[x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)},x_4^{(k)}]^T$。