新课标高三理科数学综合测试题与参考答案(七)

新课程高三年级理科数学综合测试题与参考答案（七）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1. 若复数i R a ii a ,(213∈-+为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．－6D ．62．已知偶函数()f x 在[]0,2上单调递减，若()1a f =-，0.51log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()lg 0.5c f =，则,,a b c 之间的大小关系是 （ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>3．如右图，该程序运行后输出的结果为（ ）.A ．36B ．56C ．55D ．45 4. 已知函数2()2cos 2sin cos 1f x x x x =+-的图象与()1g x =-的图象在y 轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为123,,,D D D ，则57D D ＝ ( )A. πB.32π C. 2π D.52π5．某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部分，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有（ ）A ．36种B ．38种C ．108种D ．24种6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是 （ ）A. a >-1B. a=1C. a ≥1D. a ≤18．如果椭圆191622=+yx上一点P 到它的右焦点是距离3，那么点P 到左焦点的距离为：（ ）A.5B.1C.15D.8二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，其中9－12为必做题，13－15为选做题，13－15题只需选做2小题．共30分．） 9．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取.红星中学共有学生1600名，抽取一个容 量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人. 10．若函数())(,)f x a b R =∈的定义域是R ，则3a b +的取值范围是 。

11．已知点B （1，0），点O 为坐标原点，点A 在圆1)2()2(22=-+-y x 上，则向量OBOA 与的夹角θ的最大值与最小值分别为 .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足2()(2)242,(1)(1)f x f x x x f x f x ++=-++-- 4=1(2).(1),,()2x f t f t ---若成等差数列，则t 的值为 。

（选做题，从下面的3道题中任选两道题作答，若三题都做,则按前两题计分）13．已知,,26x y R x y +∈+=，则2V x y =的最大值为 ．14．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ty tx 3（t 为参数），又半径为2，经过原点O 的圆C ，其圆心在第一象限并且在直线l 上，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为 .15．如下图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BD 、AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，且EF//BC ，若AD=12，BC=20，则EF= .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的三边，已知22()a b c bc --=， （1）求角A（2）若BC =B 等于x ，周长为y ，求()y f x =的最大值．17. （本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得E D 1⊥平面AB 1F ； （Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值; （III ）求异面直线D 1E 与BC 1所成的角.18. （本小题满分14分）为了对2006年某市中考成绩进行分析，所有成绩均按百分制进行了折算，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95.（I ）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3倍同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②求y 与x 、z 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果.（参考数学：,456)(,1050)(,81,85,5.77812812≈-≈-===∑∑==i i i i y y x x z y x7)ˆ(,755)()(,688)()(,550)(812281281812≈-≈--≈--≈-∑∑∑∑====i i i i i i i i i iyy z z x x y y x x z z.5.23550,4.21456,4.321050,94)ˆ(812≈≈≈≈-∑=i izz19．（本小题满分14分）已知大西北某荒漠上A 、B 两点相距2千米，现准备在荒漠上围垦出一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规定围墙总长8千米. (1)试求四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？(3)该荒漠上一条直线型小溪L 刚好通过点A ，且L 与AB 成45°角.现要对整条小溪进行改造，但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今后重新设计改造，因此对该部分暂不改造.问暂不改造的部分有多长？20．（本小题满分14分） 设)(2)(x f xq px x g --=，其中x x f ln )(=，且.2)(--=ep qe e g （e 为自然对数的底数）（I ）求p 与q 的关系；（II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （III ）证明：① 1 ,)1(->≤+x x x f ；② )2,()1(412ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<+++n N n n n n nn .21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且)(52*1N n n S S n n ∈++=+。

（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()nn f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与A B22313n n -的大小.参考答案一．选择题 DBCA ADCA 二．填空题9．760 10．[6,)-+∞ 11．12,125ππ12．2，313．8 14．)6cos(4πθρ-= 15．15三．解答题16．解：（1）由22()a b c bc --=得：222a b c bc --=- 2221c o s 22b c aA bc+-∴==又0A π<< 3A π∴=（2）sin sin A C B C xA= ，sin sin 4sin sin 32BC AC x x x π∴=⋅==同理：2sin 4sin()sin 3B C A B C x Aπ=⋅=-24s i n 4s i n (233y x x π∴=+-s i n (36x π=++ 3A π=203B x π∴<=<故5(,)666x πππ+∈ ∴ 当623x x πππ+=⇒=时，max y =17．解：（Ⅰ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 1上的射影．∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1于是D 1E ⊥平面AB 1F ， D 1E ⊥AF ．连接DE ，则DE 是D 1E 在 底面ABCD 内的射影． ∴D 1E ⊥AF ，DE ⊥AF ．∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点， ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F ．（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（Ⅰ）知点F 是CD 的中点．又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD ．连接AC ；设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ．连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影．∴C 1H ⊥EF ，既∠C 1HC 上二面角C 1－EF －C 的平面角． 在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41，AC=42．∴22421tan 11===∠CHC C HC C ．∴cos ∠C 1HC=31故二面角C 1－EF －A 的余弦值为31。

（III ）连结1BC ，取11D A 的中点G ，连接BG ，因为 BE//1GD ，BE=1GD ，则BG//D 1E ，则直线BG 与BC 1所成的角，即为异面直线D 1E 与BC 1所成的角在△BC 1G 中，由余弦定理得22cos 1=∠GBC，则所求角为ο45．18．解：（I ）这8位同学中恰有3倍同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是343334(A A C 或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是55A . 根据乘法原理，满足条件的种数是553334A A C .…………………………………………………………………………3分 这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有88A .…………………4分故所求的概率.14188553334==A A A C P ………………………………………………5分（II ）①变量y 与x 、z 与x 的相关系数分别是 99.04.214.32688≈⨯=r 、.99.05.234.32755≈⨯='r可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关.………………7分②设y 与x 、z 与x 的线性回归方程分别是a bx y+=ˆ、.ˆa x b z '+'= 根据所给的数据，可以计算出1050755,85.335.7766.085,66.01050688='=⨯-===b a b.20.255.7772.081,72.0=⨯-='=a ……………………………………9分所以y 与x 、z 与x 的回归方程分别是85.3366.0ˆ+=x y、.20.2575.0ˆ+=x z …………………………………10分又y 与x 、z 与x 的相关指数是.83.0550941,98.04567122≈-='≈-=R R ………11分故回归模型85.3366.0ˆ+=x y比回归模型.20.2575.0ˆ+=x z 的拟合的效果好.…………12分19解：(1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点， 建立如图直角坐标系，设平行四边形顶点为P (,)x y ， 由题意平行四边形的周长为8（千米），故|PA|+|PB|=4>|AB| ， 依椭圆定义可得P 的轨迹为椭圆（除去与x 轴的两个交点）， 可求得其方程为)0y (13y4x22≠=+·················5分 (2)农艺园的面积p p PAB y y AB SS 2||2=⋅==∆，由于P y 所以当点P 位于B 1或B 2时，农艺园的面积最大且此时32S =(km 2)·····································8分(3)如图，设直线L 与椭圆交于两点C 、D ， 由题意可知|AB|即为所求。