您的位置：360文档中心› 2019-2020年高三数学一轮复习 第五讲 二次函数的最值问题检测试题

2019-2020年高三数学一轮复习 第五讲 二次函数的最值问题检测试题

合集下载

中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案

中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案

中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案一、单选题1．定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”.例如：点P(2，4)在函数y =x 2上，点 Q(−2，−4)在函数y =−2x −8上，点P 与点Q 关于原点对称，此时函数y =x 2和y =−2x −8互为“守望函数”，点P 与点Q 则为一对“守望点”.已知函数y =x 2+2x 和y =4x +n −2022互为“守望函数”，则n 的最大值为（ ） A ．2020B ．2022C ．2023D ．40842．已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且-2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A ．1或B ．- 或C ．D ．13．已知二次函数y =ax 2+bx −1（a ，b 是常数，a ≠0）的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，−1)三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y =x −1上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ） A ．最大值为-1B ．最小值为-1C ．最大值为−12D ．最小值为−124．二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3﹣4﹣35121）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3；2）当 −12<x <2 时，y ＜0；3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知二次函数 y =−(x −ℎ)2+4 （h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值 y 的最大值为0，则 h 的值为（ ） A ．和B ． 和C ．和D ． 和6．经过点A （m ，n ），点B （m ﹣4，n ）的抛物线y ＝x 2+2cx+c 与x 轴有两个公共点，与y 轴的交点在x 轴的上方，则当m ＞﹣12时，n 的取值范围是（ ）A ．14<n <4B ．12<n <2C ．18<n <8D ．14<n <27．二次函数y ＝x 2＋2x －5有A ．最大值－5B ．最小值－5C ．最大值－6D ．最小值－68．①4的算术平方根是±2；②√2与-√8是同类二次根式；③点P （2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3）； ④抛物线y=-12（x-3）2+1的顶点坐标是（3，1）．其中正确的是( ) A ．①②④B ．①③C ．②④D ．②③④9．童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天所获得的利润y （元）与童装的销售单价x （元）之间满足关系式y=－x 2+50x+500，则要想每天获得最大利润，单价需为（ ）． A ．25元B ．20元C ．30元D ．40元10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的y 与x 的部分对应值如表：x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y6﹣6﹣468，y 1），点（8，y 2）在二次函数图象上，则y 1＜y 2；④方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（ ） A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④11．已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（ ）A ．开口向下，对称轴为直线x=-3B ．顶点坐标为（-3，5）C ．最小值为5D ．当x ＞3时y 随x 的增大而减小12．如果抛物线 y =x 2−6x +c −2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（ ）A ．8B ．14C ．8或14D ．-8或-14二、填空题13．二次函数y=2x 2﹣1，∵a= ，∴函数有最 值．14．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s （m ）与时间t （s ）的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m 才能停下来．15．已知二次函数y ＝ 12x ²＋2若自变量x 的取值范围是－1≤x ≤2，则函数y 的取值范围是 ．16．函数y =x 2−2x(0≤x ≤3)有最大值，也有最小值，则最小值是 . 17．若二次函数y ＝－x 2－4x ＋k 的最大值是9，则k ＝ ．18．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的范围是．三、综合题19．某农作物的生长率p与温度t ( C∘ )有如下关系：如图，当10≤t≤25 时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数p=−1160(t−ℎ)2+0.4刻画．（1）求ℎ的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m (天)与生长率p满足函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015②请用含t的代数式表示m③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=a（x+2）2+3（a＜0）的图象如图所示，则以下结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3；③当a=﹣1时，抛物线必过原点；④该抛物线和x轴总有两个公共点．其中正确结论是（）A．①②B．②③C．②④D．①④2．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，求m的最大值() A．-3B．3C．-6D．93．设实数x＞0，y＞0，且x＋y－2x2y2＝4，则1x+1y的最小值为()A．4 √2B．3 √2C．2 √2D．√24．如图，一条抛物线（形状一定）与x轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(−2，−3)、(4，−3)，点E的横坐标的最小值为-5，则点F的横坐标的最大值为（）A．6B．7C．8D．95．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A−B−C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是()A．235B．254C．6D．56．已知0≤x≤32，则函数y=x2+x+1（）A．有最小值34，但无最大值B．有最小值34，有最大值1C．有最小值1，有最大值194D．无最小值，也无最大值7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣46；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2＋bx＋c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④8．已知二次函数y=ax2−2ax+a+2(a≠0)，若−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（）A．1B．-1C．±1D．无法确定9．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2 √2）.关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5C．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值210．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12BC=2点D是AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE，当△BED面积最大时，AD的长为（）A．2B．√5C．25√5D．4√5511．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是（）A．﹣4或72B．﹣2 √3或72C．﹣4 或2 √3D．﹣2 √3或2 √3 12．若二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是2，则a的值为（）A．4B．－1C．3D．4或－1二、填空题13．二次函数y=x2−2x+3的最小值是．14．当实数a满足2≤a≤5时，且代数式−a2+2ab−b2取最大值－1时，则b的值为．15．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x-2-1012y04664从上表可知，下列说法中正确的是．)①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；②抛物线的对称轴是直线x=12；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．16．二次函数y=﹣x2﹣4x+k的最大值是9，则k=．17．已知关于x的函数y=−x2−ax+1，当0≤x≤3时函数有最大值5，则a=．18．已知关于x的二次函数y＝x2－2ax＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为.三、综合题19．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0，3a)，对称轴为x=1.（1）试用含a的代数式表示b、c.（2）当抛物线过点(2，3)时，求此抛物线的解析式.（3）求当b(c+6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标.20．如图，正方形ABCD的边长为4，点G，H分别是BC、CD边上的点，直线GH与AB、AD的延长线相交于点E，F，连接AG、AH．（1）当BG=2，DH=3时，则GH：HF=，∠AGH=°；（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的长；（3）设BG=x，DH=y，若∠ABG∠∠FDH，求y与x之间的函数关系式，并求出y的取值范围．21．如图，抛物线y=12x2−32x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点M是线段BC下方抛物线上的任意一点，点M的横坐标为m，过点M画MN∠x轴于点N，交BC于点P.（1）填空：A（，），C（，）；（2）探究∠ABC的外接圆圆心的位置，并求出圆心的坐标；（3）探究当m取何值时线段PM的长度取得最大值，最大值为多少？22．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？设每件商品涨价x元，每天售出商品的利润为y元．（1）根据题意，填写下表：每件售价（元）505152……50+x每天售出商品的数量（件）200190……每天售出商品的利润（元）20002090……23．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．（1）求S关于x的函数表达式．（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）=0有实数根．（1）求m的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ 12（m2+1）的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值．参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】214．【答案】1或615．【答案】①③④16．【答案】517．【答案】-418．【答案】119．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点(0，3a)∴c=3a∵对称轴为x=1∴x=−b2a=1∴b=−2a（2）解：∵抛物线过点(2，3)∴3=a×22+2(−2a)+3a∴a=1∴b=−2a=−2，c=3a=3∴抛物线为y=x2−2x+3（3）解：∵b(c+6)=−2a(3a+6)=−6a2−12a=−6(a+1)2+6∴当a=−1时，b(c+6)的最大值为6；∴抛物线y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2故抛物线的顶点坐标为(1，−2)20．【答案】（1）1：3；90（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=3，DH=1∴CG=1，CH=3∵CG∠DF，CH∠BE∴∠CGH∠∠BGE∠∠DFH∴GCHC=BGBE=DFDH，即13=3BE=DF1解得BE=9，DF= 1 3∴Rt∠BEG中，EG= √BG2+BE2= √32+92=3 √10（3）解：∵正方形ABCD的边长为4，BG=x，DH=y ∴CG=4﹣x，CH=4﹣y由（1）可得，∠FDH∠∠GCH，而∠ABG∠∠FDH∴∠ABG∠∠GCH∴ABGC=BGCH，即44−x=x4−y∴y与x之间的函数关系式为：y= 14x2﹣x+4∵44−x=x4−y∴4﹣y= x(4−x)4=﹣14x2+x∴当x=﹣12×(−14)=2时，4﹣y有最大值，且最大值为﹣14×4+2=1∴0＜4﹣y≤1解得3≤y＜4．21．【答案】（1）-1；0；0；-2（2）解：|OA|=1，|OC|=2，|OB|=4∠AOC=∠COB=90°∴OAOC=OCOB=12∴∠AOC∠∠COB∴∠ACO=∠OBC∠ACO+∠OCB=90°∠OBC+∠OCB=90°=∠ACB∴Rt∠ACB的外接圆圆心为AB的中点∵A（-1，0）B（4，0）∴圆心的坐标（ 32，0 ）.（3）解：C （0，-2），B （4，0） 又∵直线BC 解析式y =12x −2 p(m ，12m −2) ，M （m ， 12m 2−32m −2 ）PM=（ 12m −2 ）-（ 12m 2−32m −2 ）PM =−12m 2+2m =−12(m −2)2+2 当m=2时，PM 最大值=2.22．【答案】（1）180；200﹣10x ；2160；（200﹣10x ）（10+x ）（2）解：y ＝（200﹣10x ）（10+x ）＝﹣10x 2+100x+2000＝﹣10（x ﹣5）2+2250 ∴当x ＝5时，y 取得最大值，此时y ＝2250即y ＝﹣10x 2+100x+2000，当每件商品涨价5元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是2250元23．【答案】（1）解：∵AB=xm ，铝合金材料长为18m∴AD=BC=18−3x 2∴S ＝x·18−3x2＝−32x 2+9x即S 与x 的函数表达式为：S ＝−32x 2+9x.（2）解：由题意得：2≤x ＜18−3x 2解得：2≤x ＜3.6∵S ＝−32x 2+9x ＝−32（x -3）2+272∵−32＜0，对称轴是直线x ＝3，且2≤x ＜3.6∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝−32（2-3）2+272＝12答：窗户总面积S 的最大值272m 2，最小值是12m 2．24．【答案】（1）解：对于一元二次方程x 2﹣（m+1）x+ 12（m 2+1）=0∠=（m+1）2﹣2（m 2+1）=﹣m 2+2m ﹣1=﹣（m ﹣1）2 ∵方程有实数根∴﹣（m﹣1）2≥0∴m=1．（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）解：由{y=2x+ny=−x2−4x−2消去y得到x2+6x+n+2=0由题意∠≥0∴36﹣4n﹣8≥0∴n≤7∵n≤m，m=1∴1≤n≤7令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4∴n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4n=7时，y′的值最大，最大值为21∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4．。

2020届高三数学(文理通用)一轮复习《二次函数》题型专题汇编

2020届高三数学(文理通用)一轮复习《二次函数》题型专题汇编

《二次函数》题型专题汇编题型一 求二次函数的解析式1、已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3解析 由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.2、已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝_____ 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .3、已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)， 又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.4、已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.5、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解 解法一：(利用二次函数的一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－14ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝4c ＝7.故所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：(利用二次函数的顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 解法三：(利用两根式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，∴4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.6、二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足①不等式f (x )＋2x >0的解集为{x |1<x <3}，②方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实数根，试确定f (x )的解析式． 解 因为f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a . 由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1.所以f (x )＝－15x 2－65x －35.题型二 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象1、一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.2、对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )答案 A解析 当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向下，其对称轴为x ＝12(a －1)<0，排除C ，D ；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向上，其对称轴为x ＝12(a －1)>0，排除B.故选A.命题点2 二次函数的单调性1、函数f (x )＝x 2－2x －8 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[4，＋∞)答案 D解析 由x 2－2x －8≥0得x ≥4或x ≤－2， 令x 2－2x －8＝t ，则y ＝t 为增函数，∴t ＝x 2－2x －8在[4，＋∞)上的增区间是所求函数的单调递增区间， ∴所求函数的单调递增区间为[4，＋∞)．2、 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．3、若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0，又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.4、已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎭⎫0，34D.⎣⎡⎦⎤0，34 答案 D解析 因为函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数， 当a ≠0时，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a >0－4(a －3)2×2a ≥3，解得0<a ≤34；当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数． 综上知，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34. 5、若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析：选A.二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．6、若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是___解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1，2]上是减函数，所以a >0，所以0<a ≤1. 答案：(0，1]命题点3 二次函数的最值1、已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.2、求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.3、已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )A.54B ．1或54C ．－1或54D ．－5或54答案 D解析 f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为直线x ＝a 2. ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上递增，∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a 2<1，即0<a <2时，y max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54. ③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上递减，∴y max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，解得a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或－5.故选D.命题点4 二次函数中的恒成立问题1、已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 2、已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间 [－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－1)解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.3、函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为_____ 答案 2解析 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2.4、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，0)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析 (1)当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3，∴f (x )＝x 3(x ∈R)，易知f (x )在R 上是增函数，结合f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，知－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立，即mt 2＋4t＋2m <0对任意实数t 恒成立，故有⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝16－8m 2<0，解得m ∈(－∞，－2)． 5、当x ∈(1,3)时，若不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－5] 解析 设f (x )＝x 2＋mx ＋4.因为x ∈(1,3)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5＋m ≤013＋3m ≤0，解得m ≤－5，所以m 的取值范围是(－∞，－5]．6、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f(x)>0的解集是()A．(－4，2) B．(－2，4)C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C.依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1，方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是f(x)>0，解得x>2或x<－4.《二次函数》课后作业1、函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0 答案 A解析 ∵函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x ＝－b 2在区间[0，＋∞)的左边或－b 2＝0，即－b2≤0，得b ≥0.2、已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.3、设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 4、已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.5、函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x >2或x <－2}C ．{x |0<x <4}D ．{x |x >4或x <0}答案 D解析 函数f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，则b －2a ＝0，故f (x )＝ax 2－4a ＝a (x －2)(x ＋2)，因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.根据二次函数的性质可知，不等式f (2－x )>0的解集为{x |2－x >2或2－x <－2}＝{x |x <0或x >4}，故选D.6、若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．[0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤32，3答案 D解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4， 结合函数图象(如图所示)，可得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3.7、已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________． 答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40 解析 设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.8、已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是_____ 答案 [7，＋∞)解析 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.9、设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6，2]，则m ＋n 的取值范围是_____ 答案 [0,4]解析 令f (x )＝－6，得x ＝－1或x ＝3；令f (x )＝2，得x ＝1.又f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m ＝－1，n ＝1时，m ＋n 取得最小值0；当m ＝1，n ＝3时，m ＋n 取得最大值4.10、已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________ 答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 11、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③ 答案 B解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．12、设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点． 答案：⎝⎛⎦⎤－94，－213、已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1， ∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. 14、当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．解 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，x ∈(1,2)，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数． ∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5. 方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5. 15、是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1； 当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在； 综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.16、已知函数f (x )＝bx 2－2ax ＋a (a ，b ∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14.(1)当a ＝2时，求函数y ＝log 12f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0时，求使函数f (x )的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a 值．解：因为f (x )＝bx 2－2ax ＋a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14，所以b ＝1，(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－4x ＋2，令f (x )＞0可得，x ＞2＋2或x ＜2－2，所以f (x )在(2＋2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－2)上单调递减，y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝log 12f (x )的单调增区间为(－∞，2－2)．(2)当a ＜0时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴x ＝a ＜0，①a ≤－1时，函数f (x )在[－1，1]上单调递增，当x ＝－1时，函数有最小值f (－1)＝1＋3a ＝－2，当x ＝1时，函数有最大值f (1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，②0＞a ＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x ＝a 时，函数有最小值f (a )＝a －a 2＝－2， 解得，a ＝2(舍)或a ＝－1(舍)，综上可得，a ＝－1.17、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立． 又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是[－2，0]．。

高三第一轮复习05----二次函数的最值问题讲义

高三第一轮复习05----二次函数的最值问题讲义

二次函数的最值问题讲义一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a=-2 当a >0时，抛物线开口向上若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉bam n 2[]， 当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x ba=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。

当a <0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()max=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图21221212 f x f n b a n f b a m b a n f m b a m ()()()()()()()m i n =->-≤-≤-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪，，，如图如图如图2222345当a <0时f x f n b a n f b a m b a n f m b a m ()()()()()()()m a x =->-≤-≤-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪，，，如图如图如图2222678f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

二次函数的最值问题举例附练习测试参考答案

二次函数的最值问题举例附练习测试参考答案

二次函数的最值问题举例附练习测试参考答案 The pony was revised in January 2021二次函数的最值问题举例（附练习、答案） 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【例2】当解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1)当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2)当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3)当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适最大销售利润为多少解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．(2)由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m =_____时，图象的顶点在y 轴上；当m =_____时，图象的顶点在x 轴上；当m =_____时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________．3．求下列二次函数的最值：(1)2245y x x =-+； (2)(1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =-7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1)当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2)当a 为实数时，求函数的最大值． 2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．4．已知函数221y x ax=++在12x-≤≤上的最大值为4，求a的值．5．求关于x的二次函数221y x tx=-+在11x-≤≤上的最大值(t为常数)．第五讲二次函数的最值问题答案A组1．414或2，3 22．22 16lm3．(1)有最小值3，无最大值；(2)有最大值94，无最小值．4．当34x=时，min318y=；当2x=-时，max19y=．5．5y≥-6．当56x=时，min3y=-23x=或1时，max3y=．7．当54t=-时，miny=．B组1．(1)当1x=时，min 1y=；当5x=-时，max 37y=．(2)当0a≥时，max 2710y a=+；当0a<时，max 2710y a=-．2．21m-≤≤-．3．2,2a b==-．4．14a=-或1a=-．5．当0t≤时，max 22y t=-，此时1x=；当0t>时，max 22y t=+，此时1x=-．。

2020二次函数的最值问题(典型中考题)(含答案)

2020二次函数的最值问题(典型中考题)(含答案)

2020二次函数的最值问题(典型中考题）（含答案）一、选择题1．已知二次函数y=a（x-1）2+b有最小值–1，则a与b之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D不能确定答案：C2．当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A、- 74B、3或-3C、2或-3D2或-3或-74答案：C∵当－2≤x≤l时，二次函数 y=-（x-m）2+m2+1有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m= - 74，2765y x416⎛⎫=-++⎪⎝⎭此时，它在－2≤x≤l的最大值是6516，与题意不符.当x=1时，由y=-（x-m）2+m2+1解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符.当x= m时，由4=-（x-m）2+m2+1解得m=3m=-3y=-（x+3）2+4.它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；当3，y=-（x-3）2+4它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m的值为2或-3.故选C．3．已知0≤x≤12，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是（）A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

真确的个数是（）A,1个B、2个 C 3个D、4个答案：B分析：①将（1，0）点代入函数，解出k的值即可作出判断；②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；③根据二次函数的增减性，即可作出判断；④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.解：①真，将（1，0）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=0，解得：k=0．运用方程思想；②假，反例：k=0时，只有两个交点．运用举反例的方法；③假，如k=1，b5-=2a4，当x＞1时，先减后增；运用举反例的方法；④真，当k=0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最=224ac-b24k+1=-4a8k，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；当k＜0时，有最大值，最大值为正．运用分类讨论思想．二、填空题：1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是答案：122、已知直角三角形两直角边的和等于8，两直角边各为 时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是答案：4、4，8解：设直角三角形得一直角边为x ，则，另一边长为8-x ；设其面积为S.∴S= x ·(8-x)(0<x<8). 配方得 S=- (x 2-8x)=- (x-4)2+8 ∴当x=4时，S 最大=8.及两直角边长都为4时，此直角三角形的面积最大，最大面积为8.3、函数2y=24x-x （0x 4）-≤≤的最大值与最小值分别是答案：2,024x-x 最小值为0，当4x-x 224x-x 最大，即x=224x-x 最大为4，所以，当x=0时，y 最大值为2，当x=2时，y 取最小值为04、已知二次函数y=x 2+2x+a （0≤x ≤1）的最大值是3，那么a 的值为 答案：0解：二次函数y=x 2+2x+a 对称轴为x=-1，当0≤x ≤1时y 随x 的增大而增大，当x=1时最大值为3，代入y=x 2+2x+a 得a=0.5、如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，则这样线段的最小长度 ．三、解答题：1某产品第一季度每件成本为50元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为x⑴ 请用含x 的代数式表示第二季度每件产品的成本；⑵ 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少9.5元，试求x 的值⑶ 该产品第二季度每件的销售价为60元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于48元，设第三季度每件产品获得的利润为y 元，试求y 与x 的函数关系式，并利用函数图象与性质求y 的最大值（注：利润=销售价-成本）解：（1）()x -150 ⑵()5.9501502-=-x 解得1.0=x （3）(),48160≥-x 解得2.0≤x 而0 x ，∴2.00≤x而()()2150160x x y ---=＝1040502++-x x＝()184.0502+--x ∵当4.0≤x 时，利用二次函数的增减性，y 随x 的增大而增大，而2.00≤x ， ∴当2.0=x 时，y 最大值＝18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。

二次函数最值问题(含标准答案)

二次函数最值问题(含标准答案)

二次函数最值问题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：二次函数最值问题一．选择题（共8小题）1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20132．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．63．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣34．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9二．填空题（共2小题）9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．点M在x轴负半轴上，S△ABM三．解答题（共3小题）11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．二次函数最值问题（含答案）一．选择题（共8小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．则m=或m=即为所求．12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0．（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，则=﹣3，且k＞0，解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，解得m1=2，m2=﹣3，所以满足条件的m值为2或﹣3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．。

二次函数与最值问题练习题(含答案)

二次函数与最值问题练习题(含答案)

二次函数与最值 题集一、实际问题中的最值（1）（2）1.如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米．苗圃园若苗圃园的面积为平方米，求的值．若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【答案】（1）（2）．有，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【解析】（1）（2）由题意，得：平行于墙的一边长为，根据题意，得：，解得：或，∵，∴．∴．∵矩形的面积，且，即，∴当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【标注】【知识点】二次函数的几何问题2.（1）（2）某校在基地参加社会实践活动中，基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙的最大可用长度为米），另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口．如图所示，设米．若这个生物园地的面积为平方米，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．当为多少米时，这个生物园地的面积最大，并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）．为米时面积最大，最大为平方米．【解析】（1）（2）由题意可知∴∴．当时有最大值平方米．故当为米时，生物园地面积最大，最大面积为平方米．【标注】【知识点】二次函数的几何问题3.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为．（1）（2）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． 若要使两间饲养室占地总面积达到，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？【答案】（1）（2）总占地面积为，．占地总面积达到时，道墙长分别为米、米或米、米；占地面积不可能达到平方米．【解析】（1）（2）∵围墙的总长为米，间饲养室合计长米，∴饲养室的宽米，∴总占地面积为，．当两间饲养室占地总面积达到平方米时，则，解得：或．答：各道墙长分别为米、米或米、米．当占地面积达到平方米时，则，方程的，所以此方程无解，所以占地面积不可能达到平方米．【标注】【知识点】根据条件列二次函数关系式（1）（2）4.某果园有颗橙子树，平均每颗树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子，假设果园多种了棵橙子树．直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系．果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）（2）（）．果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【解析】（1）（2）平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系为：（）．设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为，则，则果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【标注】【知识点】二次函数的利润问题（1）（2）（3）5.已知某商品每件的成本为元，第天的售价和销量分别为元/件和件，设第天该商品的销售利润为元，请根据所给图象解决下列问题：求出与的函数关系式．问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少．该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于元．【答案】（1）（2）（3）当时，，当时，．该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．共天每天销售利润不低于元．【解析】（1）当时，设与的函数关系式为，∵当时，，当，，∴，解得：∴，∴当时，；当时，．（2）（3），∴当时取得最大值元；∵；∴当时，随的增大而减小，当时，，综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天；当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天，所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元．【标注】【知识点】函数图象与实际问题最大（1）（2）（3）6.某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台．假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】（1）（2）（3）．每台冰箱应降价元．每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【解析】（1）（2）根据题意，得，即．由题意，得．整理，得．解这个方程，得，．（3）要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价元．对于，当时，．所以，每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【标注】【知识点】二次函数的利润问题最大值（1）（2）7.在新型城镇化型过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在元到元之间较为合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：（年获利年销售收入生产成本投资成本）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为多少万件？求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【答案】（1）（2）投资第一年，公司亏损，最少亏损万【解析】（1）（2）把代入，得（万件）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为万件．①当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．②当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．综上，投资第一年，公司亏损，最少亏损万．【标注】【知识点】二次函数的利润问题二、几何问题中的最值（1）（2）1.已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．xyOxyO备用图求抛物线的解析式；若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵∴∵∴∵过、∴解这个方程组，得∴抛物线的解析式为：．过点作轴分别交线段和轴于点、yOx在中，令得方程解这个方程，得，∴设直线的解析式为∴解这个方程组，得∴的解析式为：∵==设，当时，有最大值．此时四边形面积有最大值．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形（1）（2）2.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．xyO求二次函数表达式．若点是第一象限内的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，用含有的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）（2）．当时，的面积最大，最大面积是．【解析】（1）∵二次函数的图象与轴交于点，，∴二次函数的解析式为．（2）如图，连接，易得的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，∴，，，当时，的面积最大，最大面积是．yO【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）3.如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点．求点的坐标，并判断存在时它的形状（不要求说理）．在轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在，请说明理由．（3）设的面积为，求关于的关系式．【答案】（1）（2）（3）点的坐标为，是等腰三角形．存在，，．．【解析】（1）（2）（3）令，得，．∴点的坐标为．是等腰三角形．存在．，．如图，当时，作轴于，设，∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．如图，当时，作轴于，设∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．综上可得：．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）4.已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，点，点，为抛物线的顶点．求抛物线的解析式．在轴下方且在抛物线上有一动点，求四边形的面积最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）由、关于对称轴对称，对称轴为，点，得．将、、点的坐标代入函数解析式，得，解得．（2）故抛物线的解析式为．如图，过作轴于点，交于点．设，点坐标为，．，当时，．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形最大（1）（2）（3）5.如图，二次函数（为非负整数）与轴交于、两点，与轴交于点．求抛物线的解析式．在直线上找一点，使的周长最小，并求出点的坐标．点在抛物线上，且在第二象限内，设点的横坐标为，问为何值时，四边形的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）（3）时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【解析】（1）（2）（3）由题意得，，解得：，∵是非负整数，∴或，当时，二次函数的解析式为，当时，二次函数的解析式为，∵图象与轴交于点和点，点、分别在原点的左、右两边，∴当时，二次函数的解析式为不符合题意，∴二次函数的解析式为．如图，作点关于的对称点连接交对称轴于点，．由得点坐标为．当时，．解得，，∴，．设的解析式为，图象过点，，得，解得，∴的解析式为，当时，，点坐标为 时，的周长最小．如图，设点坐标为（），作轴于点，由图可知：四边形梯形．因此时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）6.如图，已知抛物线经过，两点．x24y–22O 求该抛物线的解析式．在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）．存在，，面积的最大值为．【解析】（1）（2）把，代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为．存在，理由如下：设的横坐标为，则点的纵坐标为，过作轴的平行线交于，连接，，如图所示，x24y–22O 由题意可求得直线的解析式为，∴点的坐标为，∴，∴的面积，当时，，∴此时，面积的最大值为．【标注】【知识点】二次函数与面积最大（1）（2）（3）7.已知二次函数的图象和轴交于点、，与轴交于点，直线上方的抛物线上一动点，抛物线的顶点是点．图求直线的解析式．求面积的最大值及点的坐标．当的面积最大时，在直线上有一动点，使得的周长最小，求周长最小时点的坐标．图【答案】（1）（2）（3）．，．．【解析】（1）（2）（3）过抛物线上动点作轴的垂线，垂足是，线段交线段于，设，，，∵，∴当时，，此时．关于直线的对称点连接，∵，，∴，∴联立，解得，最大∴．【标注】【知识点】二次函数与动点问题（1）（2）（3）8.如图，抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴交于点，顶点为，为线段的中点，的垂直平分线与轴、轴分别交于、．xyO 求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标．在直线上是否存在一点，使周长最小，若存在，请求出最小周长和点的坐标；若不存在，请说明理由．若点在轴上方的抛物线上运动，当运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）（2）（3）抛物线的解析式为，顶点的坐标为．存在；的周长最小值为，．时，的面积最大，最大面积为．【解析】（1）（2）由题意，得，解得，，所以抛物线的解析式为，顶点的坐标为．设抛物线的对称轴与轴交于点，（3）∵垂直平分，∴关于直线的对称点为，连结交于于一点，xyO∴这一点为所求点，使最小，即最小为．而，∴的周长最小值为．设直线的解析式为，则，解得，，所以直线的解析式为．由于，，，得，所以，，．同理可求得直线的解析式为，联立直线与的方程，解得使的周长最小的点．设，．过作轴的垂线交于，xyO则，所以，即当时，的面积最大，最大面积为，此时．【标注】【知识点】二次函数的几何问题（1）（2）（3）9.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴相交于点，其顶点为．求抛物线及直线的函数关系式．若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．备用图【答案】（1）（2）；．；．（3）在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．【解析】（1）（2）（3）将，代入，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为；设直线的函数关系式为，将，代入，得：，解得，∴直线的函数关系式为．过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示．图设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，∴，，，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴，∵，∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．当时，，∴点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点的坐标为，∴点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示．图∵点，关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，∴此时周长取最小值，当时，，∴此时点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．10.如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点．（1）（2）（3）求抛物线的解析式．点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．【答案】（1）（2）（3）．点为，周长的最小值为．点的坐标为或或．【解析】（1）（2）（3）根据题意，将、代入抛物线，可得：，解得：，所以，抛物线为：．点为，周长的最小值为．∵抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线，点、关于直线对称，当的周长最小时，则需要最小，根据利用轴对称且最小值的方法，可知点是与对称轴的交点，令，则，所以，点坐标为，设为直线，把，代入直线解析式，可得：，解得：，所以，直线为，将代入，可得：，∴点为，此时，，，∴周长的最小值为：．∵，，∴，∵，，∴点的纵坐标为或，令，解得：，，∴点的坐标为：或，令，解得：，∴点的坐标为：．综上所述：点的坐标为：或或．【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题。

二次函数最值问题解答题专项练习60题(有答案)

二次函数最值问题解答题专项练习60题(有答案)

二次函数最值专项练习60题1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性．2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值．3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求（1）函数在一2＜x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值．5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值．9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．11．已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值；（2）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最低点？（3）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最高点？12．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系．13．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．这两个正方形面积之和有最值吗？如有，求出最值；如没有请说明理由．14．关于自变量x的二次函数y=x2﹣4ax+5a2﹣3a的最小值为m，且a满足不等式0≤a2﹣4a﹣2≤10，则m的最大值是多少？15．求函数的最小值．16．当﹣1≤x≤1时，函数y=﹣x2﹣ax+b+1（a＞0）的最小值是﹣4，最大值是0，求a、b的值．17．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．18．如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？19．如图；AC，BD是四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点O；（1）求证：S四边形ABCD=AC•BD；（2）若AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？20．先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：（1）函数y=3x2的最小值是多少？（2）函数y=﹣3x2的最大值是多少？（3）怎样判断函数y=ax2有最大值或最小值？与同伴交流．21．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．22．已知函数y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．23．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0，求u=9a2+72b+2的最小值．24．若函数y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2）的最小值为3，求a的值．25．说明：不论x取何值，代数式x2﹣5x+7的值总大于0．并尝试求出当x取何值时，代数式x2﹣5x+7的值最小？最小值是多少？26．求经过点A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）的抛物线的解析式，并求出其最大或最小值．27．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．28．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．29．代数式x2﹣3x﹣1有最大值或最小值吗？若有，请求出：当x取何值时，最大（小）值是多少？30．已知二次函数y=2x2﹣4ax+a2+2a+2（1）通过配方，求当x取何值时，y有最大或最小值，最大或最小值是多少？（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2．求a所有可能取的值．31．设函数y=|x2﹣x|+|x+1|，求﹣2≤x≤2时，y的最大值和最小值．32．求函数y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k的最值，其中k为常数且k≠1．33．已知函数y=﹣9x2﹣6ax+2a﹣a2，当时，y的最大值为﹣3，求a．34．求函数y=x2+5x+8的最小值．35．已知二次函数y=（3﹣k）x2+2，求：（1）当k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？（2）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？36．求关于x的二次函数y=x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值（t为常数）．37．已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a有最大值﹣3，求实数a的值．38．（1）求函数y=|x2﹣4|﹣3x在区间﹣2≤x≤5中的最大值和最小值．（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x2+16x+3y2的最小值．39．已知y=x2﹣2ax﹣3，﹣2≤x≤2．（1）求y的最小值；（2）求y的最大值．40．当|x+1|≤6时，求函数y=x|x|﹣2x+1的最大值？41．用长14m的篱笆围成如图所示的鸡舍，门MN宽2m，怎样设计才能使鸡舍的面积最大？42．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，问梯形ABCD面积的最小值是多少？43．有两条抛物线y=x2﹣3x，y=﹣x2+9，通过点P（t，0）且平行于y轴的直线，分别交这两条抛物线于点A和B，当t在0到3的范围内变化时，求线段AB的最大值．44．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：（1）它的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．（2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？45．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．46．已知：0≤x≤1，函数的最小值为m，试求m的最大值．47．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为_________；（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为_________．48．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？49．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．50．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．51．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE=x（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB 于E，设BD=x，△ADE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？53．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉放置．（1）求证：重叠部分的图形是菱形；（2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值．（要求画图﹑推理﹑计算）54．如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．55．（2012•）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．56．（2003•）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．57．（2013•南岗区一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是线段AB上一个动点，PE⊥A0于E，PF⊥B0于F．设PE=x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？58．（2013•资阳）在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．59．（2010•）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示EP；（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．60.（2010•）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．二次函数最值解答题60题参考答案：1．解：因为顶点坐标为（3，2），对称轴为x=3，与y轴交点为（0，38），因为△=144﹣4×2×19=144﹣152=﹣8＜0，所以与x轴无交点．作图得：最值2．增减性：当x≥3时，y随x的增大而增大；当x≤3时，y随x的增大而减小2．解：由函数图象可得二次函数图象过点C（0，3），将A，B，两点代入函数解析式得解得：a=﹣1，b=2，c=3，可得二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；配方得：y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴x=1，最大值为43．解：二次函数y=x2﹣x﹣2=﹣的图象如图：顶点坐标为（，），（1）当﹣2＜a＜时，函数为减函数，最小值为当x=a时，y=a2﹣a﹣2．当a≥时，y min=﹣，（2）当a＞﹣2，且a+2＜，即：﹣2＜a＜﹣时，函数为减函数，最小值为：y x=a+2=（a+2）2﹣（a+2）﹣2，当a＜≤a+2，即﹣≤a＜时，函数的最小值为y=﹣4．解：配方y=（x+a）2﹣1，函数的对称轴为直线x=﹣a，顶点坐标为（﹣a，﹣1）．①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时，函数最小值为﹣1，不合题意；②当﹣a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴，解得a=2；③当﹣a＞3即a＜﹣3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴，解得a=﹣5．∴实数a的值为2或﹣55．解：原式=3（y﹣1）2+8，∵（y﹣1）2≥0，∴3（y﹣1）2+8≥8，∴有最小值，最小值为86．解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B=30°，AB=x，∴AE=x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC=4﹣x，∴y=AE•BC=x（4﹣x）=﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∵a=﹣，∴当x=2时，y有最大值，其最大值为27．解：对称轴x=﹣=﹣=，①≤0，即a≤0时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=0时，y最小，最小值y=2×02﹣a×0+1=1，②0＜＜1，即0＜a＜4时，当x=时有最小值，最小值y=2×（）2﹣a×+1=1﹣，③≥1，即a≥4时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，当x=1时，y最小，最小值y=2×12﹣a×1+1=3﹣a，综上所述，a≤0时，最小值为1，0＜a＜4时，最小值为1﹣，a≥4时，最小值为3﹣a8．解：依题意△=4a2﹣4（a+6）≥0，即a2﹣a﹣6≥0，∴a≤﹣2或a≥3，（3分）由m+n=2a，mn=a+6，y=m2+n2﹣2（m+n）+2=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣6a﹣10，=4（a﹣）2﹣，∴a=3时，y的最小值为8．（12分）故y的最小值为89．解：对称轴x=﹣=﹣=a，①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=2×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+a2+2a+2=a2+6a+4，②﹣1＜a＜2时，当x=a时，有最小值，最小值y=2×a2﹣4a×a+a2+2a+2=﹣a2+2a+2，③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，当x=2时，y最小，最小值y=2×22﹣4a×2+a2+2a+2=a2﹣6a+10，综上所述，a≤﹣1时，最小值为a2+6a+4，﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a2+2a+2，a≥2时，最小值为a2﹣6a+10；∵最小值为﹣1，∴a2+6a+4=﹣1，整理得a2+6a+5=0，解得a1=﹣1，a2=﹣5，﹣a2+2a+2=﹣1，整理得，a2﹣2a﹣3=0，解得a3=﹣1，a4=3（舍去），a2﹣6a+10=﹣1，整理得，a2﹣6a+11=0，△=（﹣6）2﹣4×1×11=﹣8＜0，方程无解，综上所述，a的所有可能值为﹣1、﹣510．解：根据抛物线顶点坐标公式得：=1，解得：m=1011．解：（1）根据二次函数的定义可知：m2+2m﹣6=2，m+2≠0，解得：m=2或﹣4．（2）当m=2时，抛物线的开口向上，有最小值，此函数图象的顶点为最低点；（3）当m=﹣4时，抛物线的开口向下，有最大值，此函数图象的顶点为最高点12．解：设两数为x、y，两数的积为s，根据题意列方程组得，，整理得，s=x（6﹣x）=﹣x2+6x，配方得，s=﹣（x﹣3）2+9，可见，s的最大值为9．如图：由于函数为抛物线，其与x轴的交点坐标为：（0，0），（6，0），顶点为（3，9），对称轴为直线x=3，画出函数图象13．解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20﹣x），则S=x2+（20﹣x）（20﹣x）=（x﹣10）2+12.5，∴由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm214．解：由0≤a2﹣4a﹣2≤0，解得：﹣2≤a≤2﹣或2+≤a≤6．由y=x2﹣4ax+5a2﹣3a可得y=（x﹣2a）2+a2﹣3a，则最小值m=a2﹣3a=（a﹣）2﹣，它的图象的对称轴为a=．在上述a的取值范围内的a值中6与的距离最大．∴a=6时，原函数的最小值m有最大值m=62﹣3×6=1815．解：根据x2﹣x﹣6≥0且x2﹣x﹣6≠6时，函数才有意义，解得：x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4，此时函数y=x2﹣4x﹣9，图象如图：在x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4的范围内可知，当x=3时，这个函数的最小值为﹣1216．解：由题意：对称轴为x=﹣．其次这是一个定区间（﹣1≤x≤1）动对称轴（x=﹣）的函数，所以需要对对称轴所在位置进行分类讨论．第一种情况：0＜﹣≤1，不可能．因对称轴在区间内故函数最大值在x=﹣时取到，因对称轴在区间左半段故函数最小值在x=1时取到．联立x=﹣时y=﹣4与x=﹣1时y=0两个方程解得a=2±2，均不符合条件，故舍去．第二种情况，﹣＜﹣1，即对称轴在区间外，此时a＞2，在区间内函数单调递减，故x=﹣1时y=0，x=1时y=﹣4，解得a=2，b=﹣2，满足a＞0的条件．解得：a=2，b=﹣217．解：∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，a2+b2=1，∴ab=，设a+b=t，则﹣≤t≤，∴y=a+b+ab=+a+b=（t2﹣1）+t=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，∴t=﹣1时，y有最小值为﹣1，t=时，y有最大值，此时y=（+1）2﹣1=，∴﹣1≤y≤，即a+b+ab的取值范围为﹣1≤a+b+ab≤18．解：在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；则AB=OC=16，BC=OA=12；设CF=x，则EC=8﹣x；S△AEF=S□ABCO﹣S△AOE﹣S△ABF﹣S△ECF=OA×OC﹣×OE×OA﹣×AB×BF﹣×CE×CF=12×16﹣×[16﹣（8﹣x）]×12﹣×16×（12﹣x）﹣×x×（8﹣x）=x2﹣2x+48=（x﹣2）2+46；因此，当x=2时，S△AEF取得最小值46．故当F运动到CF为2时，△AEF的面积最小，最小为4619．（1）证明：∵AC⊥BD，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，=AC•OB+AC•OD，=AC（OB+OD）=AC•BD；（2）解：设AC=x，∵AC+BD=10，∴BD=10﹣x，∴四边形ABCD的面积=x（10﹣x）=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+，∵﹣＜0，∴当x=5时，四边形ABCD的面积有最大值，此时AC=5，BD=520．解：（1）根据图象得：它的最小值是0；（2）根据图象得：它的最大值是0；（3）当a＞0时，y=ax2有最小值，当a＜0时，y=ax2有最大值21．解：设其中一段铁丝的长度为xcm，另一段为（156﹣x）cm，则两个正方形面积和S=x2+（156﹣x）2=（x﹣78）2+761，∴由函数当x=78cm时，S最小，为761cm2．答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm222．解：∵y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，∴y=（a+2）+1﹣，其对称轴为，因为a为正整数，故因，，因此，函数的最小值只能在x取a﹣2，a﹣1，时达到，（1）当a﹣1=时，a=1，此时，x=0使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；（2）a﹣2＜＜a﹣1时，即a＞1时，由于x是正整数，而为小数，故x=不能达到最小值，当x=a﹣2时，y1=（a+2）（a﹣2）2﹣2（a2﹣1）（a﹣2）+1，当x=a﹣1时，y2=（a+2）（a﹣1）2﹣2（a2﹣1）（a﹣1）+1，又y1﹣y2=4﹣a，①当4﹣a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a﹣1，使y2为最小值；②当4﹣a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；③当4﹣a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a﹣2，使y1为最小值；综上，（其中a为整数）23．解：由3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0可得（a﹣2b）（3a﹣4b+5）=0，（6分）所以a﹣2b=0，或3a﹣4b+5=0．（8分）①当a﹣2b=0，即a=2b时，u=9a2+72b+2=36b2+72b+2=36（b+1）2﹣34，于是b=﹣1时，u的最小值为﹣34，此时a=﹣2，b=﹣1．（13分）②当3a﹣4b+5=0时，u=9a2+72b+2=16b2+32b+27=16（b+1）2+11，于是b=﹣1时，u的最小值为11，此时a=﹣3，b=﹣1．（18分）综上可知，u的最小值为﹣3424．解：∵y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2），∴y=4+1，（1）当0≤≤2，即0≤a≤4时，最小值为1，不符合题意，舍去；（2）当＜0即a＜0时，令f（0）=3得：a2+1=3，解得：a=±，故a=﹣；（3）当＞2即a＞4时，令f（2）=3，即a2﹣8a+14=0，解得；a=4±，故a=4+；综上有；a=﹣或4+25．解：原式=（x）2+．∵（x）2≥0．∴原式＞0恒成立；当x=时，原式有最小值为26．解：由题意设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，把A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）分别代入二次函数解析式，得：解得所以函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2，配方得：y=﹣（x﹣）2+，所以二次函数有最大值且最大值为：27．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，．28．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值229．解：原式=（x﹣）2﹣，∴当x=时，原式有最小值为﹣30．解：（1）y=2x2﹣4ax+a2+2a+2，y=2（x﹣a）2﹣a2+2a+2，当x=a时，y有最小值为3﹣（a﹣1）2；（2）当﹣1≤x≤2时，3﹣（a﹣1）2=2，解得a=0或a=2，当x＜﹣1时，则当x=﹣1时y=2，解得，当x＞2时，则当x=2时y=2，解得a=4，所以：a=0或a=2或或a=431．解：（1）当1≤x≤2时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=1时取最小值为2，x=2时取最大值为5；（2）当﹣2≤x≤﹣1时，y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，当x=﹣1时，y取得最小值为2，当x=﹣2时，y取得最大值为7；（3）当﹣1≤x≤0时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=﹣1时，y取最大值为2，当x=0时，y取最小值为1；（4）当0≤x≤1时，y=x﹣x2+x+1=﹣（x﹣1）2+2，当x=1时y取最大值为2，当x=0时y取最小值为1；综上所述：y的最大值为7，最小值为132．解：∵y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k，=（k﹣1）（x﹣1）2﹣2k+1，∴当k＞1时，函数有最小值为﹣2k+1，当k＜1时，函数有最大值为﹣2k+133．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或34．最小值===．35．解：（1）3﹣k＜0，即k＞3时，函数有最大值2；（2）3﹣k＞0，即k＜3时，函数有最大小236．解：二次函数的对称轴为直线x=﹣=t，①﹣1≤t≤1时，x=t时，函数有最大值y=t2﹣2t•t+1=﹣t2+1，②t＜﹣1时，x=1时，函数有最大值y=12﹣2t•1+1=﹣2t+2，③t＞1时，x=﹣1时，函数有最大值y=（﹣1）2﹣2t•（﹣1）+1=2t+237．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或38．解：（1）若x2﹣4≥0，即|x|≥2，则y=x2﹣3x﹣4∴，若x2﹣4≤0，即|x|≤2，则y=﹣x2﹣3x+4∴，∴（2≤x≤5），当x=5时，y最大值=6；当x=2时，y最小值=﹣6，对（﹣2≤x≤2），当时，；x=2时，y最小值=﹣6，综上所述，x=2时，y最小值=﹣6；当时，；（2）由2x+y=1得，y=1﹣2x，由|y|≤1得﹣1≤x≤1故0≤x≤1，∴z为开口向上，对称轴为的抛物线，虽然有最小值，但不在0≤x≤1的范围内，因此不是所求的最值．又x=0时，z=3；x=1时，z=21．∴所求的最小值为339．解：对称轴为直线x=﹣=a，①a＜﹣2时，x=﹣2时，y有最小值，最小值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；②﹣2≤a≤0时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；③0＜a≤2时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1；④a＞2时，x=2时，y有最小值，最小值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+140．解：∵|x+1|≤6，解得：﹣7≤x≤5，∴当﹣7≤x＜0时，y=﹣x2﹣2x+1=﹣（x+1）2+2，当x=﹣1时，取得最大值为2；当0≤x≤5时，y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故当x=5时，y取得最大值为16．综合上述，原函数式最大值为1641．解：设鸡舍的长为x，则宽为（14﹣2x+2）=8﹣x，所以，鸡舍的面积=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，所以，当x=4，即长与宽都是4时，鸡舍的面积最大，最大值是16m2．答：鸡舍的长与宽都是4m时，鸡舍的面积最大42．解：设梯形上底为x，下底为y，∵AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，∴1+y2﹣（1+x2）=4+（y﹣x）2，解得：y=+x，梯形ABCD面积=×（x+y）×2=x+y=x+x+=2x+≥4=4，当x=时，即x=1，y=3时，梯形ABCD面积取得最小值为443．解：将直线x=t，代入y=x2﹣3x，y=﹣x2+9中，得A和B的纵坐标分别为t2﹣3t，﹣t2+9，∴AB=，∴当时，线段AB取得最大值44．解：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，由垂径定理可知AE=AD=x，易证Rt△ADF∽Rt△AOE，∴=，即=，解得AF=x2，∴CD=AB﹣2AF=2﹣x2，∴y=2x+2+2﹣x2=﹣x2+2x+4，∵OA=1，AF=x2，∴x2＜1∴0＜x＜；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，∴x=1时，周长最大为545．解：由正弦定理得：BQ=2cosB，CQ=2cosC，由上可推出BC=2（cosB+cosC），AB=BC，AC=BC，∴S△ABC=×AB×AC×sinA，∵三边固定，当面积最大时，sinA=1，∠A=90°，又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP所以△APR相似于△QPR因为PR边公用，所以AP=AR=QP=QR=1AB=AC=2，∴S△ABC=×AB×AC×sinA=246．解：函数，∴y=+﹣，（1）当0≤≤1时，m=﹣，（2）当＜0时，m=，（3）当＞1时，m=1﹣a+，综上知：a=1时，m有最大值0.2547．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=﹣1，∴由对称性可知，当x=﹣4和x=2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1=31，整理得，t2+2t﹣15=0，解得t1=3（舍去），t2=﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15=0，解得t1=1，t2=﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣548．解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm249．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值250．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，51．解：设平行四边形AGEF的面积是S．∵四边形AGEF是平行四边形，∴EF∥AG；∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，∴∠A=∠CFE=30°，∴CF=x，AC=6，∴AF=6﹣x；∴S=AF•CE=（6﹣x）x=﹣x2+6x，即S=﹣x2+6x；（1）当x=2时，S=﹣4+12=8，即S=8．答：平行四边形AGEF的面积为（平方单位）…4分（2）由S=﹣x2+6x，得，∴，∴当x=3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是（平方单位）…9分52．解：（1）在Rt△ABC中，AC==6，∴tanB=．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠BCA=90°．∴DE=BD•tanB=x，CD=BC﹣BD=8﹣x．设△ADE中DE边上的高为h，∵DE∥AC，∴h=CD．∴y=DE•CD=•（8﹣x），即y=+3x．自变量x的取值范围是0＜x＜8；（2）x==4时，y最大==6．即当x=4时，△ADE的面积最大为653．（1）证明：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵两条纸条宽度相同（对边平行），∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，又∵AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，由勾股定理：x2=（8﹣x）2+22，得：4x=17，即菱形的最大周长为17cm．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：2×4=8．54．解：在Rt△BPQ中，设PB=x，由∠B=60°，得：BQ=，PQ=，从而有PC=CR=a﹣x，∴△BPQ与△CPR的面积之和为：S=x2+（a﹣x）2=（x﹣a）2+a2，∵0≤x≤a，∴当x=0时，S取最大值a2，当x=a时，S取最小值a255．解：k可取值﹣1，1，2（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为856．解：设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x2+bx+c=0的两个根，∵y=x2+bx+c过点C（0，3），∴c=3，又∵S△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9，∴|AB|=6，∴|m﹣n|=6，即（m+n）2﹣4mn=36，而，∴b2﹣12=36，b=±4，∴y=x2±4x+3=（x±2）2﹣9，∴所求的最小值为﹣957．解：（1）在矩形PFOE中，OF=PE=x，∵AO=8，BO=6，∴tanB==，即=，解得PF=（6﹣x），∴矩形PFOE的面积为S=PE•PF=x•（6﹣x）=﹣x2+8x，即S=﹣x2+8x；（2）∵S=﹣x2+8x=﹣（x2﹣6x+9）+12=﹣（x﹣3）2+12，∴当x=3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是1258．解：（1）当a=3时，方程组为，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，1+2y=3，解得y=1，所以，方程组的解是；（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=（a+）2﹣，所以，当a=﹣时，S有最小值﹣59．解：（1）∵PE∥CB，∴∠AEP=∠ADC，又∵∠EAP=∠DAC，∴△AEP∽△ADC，（2分）∴=，∴=，（3分）∴．（4分）（2）由四边形PEDQ1是平行四边形，可得EP=DQ1．（5分）即x=3﹣x，所以x=1.5．（6分）∵0＜x＜2.4（7分）∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形．（8分）（3）S四边形EPDQ2=（x+x﹣3）•（4﹣x）（9分）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣）2+，（10分）又∵2.4＜x＜4，（12分）∴当x=时，S取得最大值，最大值为60.解 ：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x ，AB=30， ∴BF=2x-30．（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°．∴BG=BF=2x-30，∴S=S DEF △−S GBF △＝21DE ²−21BF ² =21 x ²−21(2x −30)² =−23 x ²+60x −450． （3）S=−23 x ²+60x −450＝−23 (x −20)²+150． ∵a ＝−23 ＜0，15＜20＜30， ∴当x=20时，S 有最大值，最大值为150。

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题附带答案

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题附带答案

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．二次函数y=−(x−1)2+5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+ n的值为（）A．52B．2C．12D．322．已知二次函数y=（x-1）2-3，则此二次函数（）A．有最大值1B．有最小值1C．有最大值-3D．有最小值-33．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512⑴二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；⑴当−12<x<2时，y＜0；⑴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．04．对于代数式x2－10x＋24，下列说法：①它是二次三项式；②该代数式的值可能等于2017；③分解因式的结果是(x－4)(x－6)；④该代数式的值可能小于－1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3 个D．4个5．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④a+b+cb−a的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m ﹣n的值是（）A．16B．15C．9D．77．由二次函数y=（x﹣1）2﹣3可知（）A．图象开口向下B．对称轴是直线x=﹣1C．函数最小值是3D．顶点是（1，﹣3）8．抛物线y=x2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围是（）A．﹣1≤y≤9B．0≤y≤9C．1≤y≤9D．﹣1≤y≤39．已知二次函数的图象（-0.7≤x≤2）如图所示。

中考数学复习《二次函数的最值》专项测试卷(带答案)

中考数学复习《二次函数的最值》专项测试卷(带答案)

中考数学复习《二次函数的最值》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．二次函数2(1)5y m x =++有最小值，则m 的取值范围是( ) A.1m <-B.1m <C.1m >-D.2m >-2．已知抛物线221y x x =--，则当03x ≤≤时函数的最大值为( ) A.-2B.-1C.0D.23．已知二次函数在0x a ≤≤时y 取得的最大值为15，则a 的值为( ) A.1B.2C.3D.44．关于二次函数()214y x =-++的最值，下列说法正确的是( ) A.最小值为1- B.最小值为4C.最大值为1D.最大值为45．如图，ABC △是等腰直角三角形90C ∠=︒，2AC BC ==点D 为边AB 上一点，过点D 作DE AC ⊥，DF BC ⊥垂足分别为E ，F ，点D 从点A 出发沿AB 运动至点B.设DE x =，DF y =四边形CFDE 的面积为S ，在运动过程中，下列说法正确的是( )A.y 与x 满足一次函数关系，S 与x 满足二次函数关系，且S 存在最大值B.y 与x 满足一次函数关系，S 与x 满足二次函数关系，且S 存在最小值C.y 与x 满足反比例函数关系，S 与x 满足二次函数关系，且S 存在最大值D.y 与x 满足反比例函数关系，S 与x 满足二次函数关系，且S 存在最小值6．对称轴为直线1x =的抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）如图所示，小明同学得出了以下结论： ①0abc < ②24b ac > ③420a b c ++>④()a b m am b +≤+（m 为任意实数），其中结论正确的个数为( ).2241y x x =--A.1B.2C.3D.47．已知抛物线()2y x b c =-+经过()11,A n y -，()2,B n y 和()33,C n y +三点13y y =.当1n x n -≤≤时二次函数的最大值与最小值的差为16，则n 的值为( ) A.-B.3C.196D.48．在“探索函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：(0,2)A 和(1,0)B ，(3,1)C 和(2,3)D ，如图.同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为( )A.52B.32 C.56D.129．已知二次函数22(2)2y x m x m =+--+的图象与x 轴最多有一个公共点，若223y m tm =--的最小值为3，则t 的值为( )A.12-B.32或32- C.52-或32-D.52-10．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积()()()S p p a p b p c =---这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.若5p =，4c =则此三角形面积的最大值为( ) 5B.4C.25D.511．如图，在矩形ABCD 中3DC =和3AD DC =，P 是AD 上一个动点，过点P 作PG AC ⊥，垂足为G ，连接BP ，取BP 中点E ，连接EG ，则线段EG 的最小值为( )A.34B.32C.3 312．如图，ABC △是等边三角形3AB =E 是AC 的中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到线段EF ，当点D 运动时则AF 的最小值为( )A.3B.234C.8D.236二、填空题13．已知二次函数22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）的最大值为2，写出一组符合条件的a 和c 的值：__________.14．已知二次函数22y x x m =-+，当04x ≤≤时函数的最大值与最小值的差是__________.15．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行的时间t （单位：秒）的函数解析式是22603s t t -=，则飞机着陆后滑行的最长时间为_________秒.16．某快餐店销售A ，B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40，80.该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时每份B 种快餐也提高同样的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是__________元.17．如图，在直线l ：4y x =-上方的双曲线2(0)y x x=>上有一个动点P ，过点P 作x轴的垂线，交直线l 于点Q ，连接OP ，OQ ，则POQ △面积的最大值是___________.18．抛物线2y ax bx c =++(a 为整数)与直线y x c =-+如图所示，抛物线的对称轴为直线1x =，直线y x c =-+与抛物线2y ax bx c =++在第四象限交于点D ，且点D 的横坐标小于3，则a 的最大值为_________.19．如图，约定：三角形下方的数等于上方两数之和，则y 的最小值为__________.20．正方形ABCD 的边长为4，AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D .在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 面积的最大值与最小值的和为__________.三、解答题21．已知二次函数25y x =+，当12x -≤≤时求函数y 的最小值和最大值.小王的解答过程如下：解：当1x =-时6y =；当2x =时9y =，所以函数y 的最小值为6，最大值为9. 小王的解答过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.22．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：单价（元/件） 30 34 38 40 42 销量（件）4032242016（1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价⨯销量）（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y （件）与单价x （元/件）之间存在一次函数关系，求y 关于x 的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）； （3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？23．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为P ，已知点()1,0B 和()0,3C -.(1)求抛物线的解析式；(2)当30x -≤≤时求y 的最大值与最小值；(3)点M 是抛物线上一动点，且到x 轴的距离小于3，请直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围.24．如图，点(,3)P a 在抛物线2:4(6)C y x =--上，且在C 的对称轴右侧.（1）写出C 的对称轴和y 的最大值，并求a 的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P 及C 的一段，分别记为P '，C '平移该胶片，使C '所在抛物线对应的函数恰为269y x x =-+-，求点移动的最短路程.25．如图，在ABC △中5BC =，高4AD =，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点H.设EF x =.(1)当四边形EFPQ 为正方形时求x 的值； (2)求矩形EFPQ 的最大面积.26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于()0,3C ，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为()3,0.点P 是抛物线上一个动点，且在直线BC 的上方.(1)求这个二次函数及直线BC 的表达式.(2)过点P 作PD y ∥轴交直线BC 于点D ，求PD 的最大值.(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且NMO ∠为直角，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．答案：C 解析：略 2．答案：D 解析：略P '3．答案：D解析：222412(1)3y x x x =--=--，∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,3)-.当15y =时22(1)315x --=，解得4x =或2x =-.当0x a ≤≤时y 取得的最大值为15，4a ∴=. 4．答案：D解析：二次函数()214y x =-++中10a =-<∴函数图像开口向下 ∴函数有最大值函数图像的顶点坐标为()1,4-∴二次函数()214y x =-++的最大值为4.故选：D. 5．答案：A 解析：ABC △是等腰直角三角形，90C ∠=︒∴45A B ∠=∠=︒DF BC ⊥ DE AC ⊥AED ∴△和DFB △是等腰直角三角形，四边形CFDE 是矩形CF DE AE x ∴=== BF DF y == 2AC BC ==BF BC CF ∴=-即2y x =-∴y 与x 满足一次函数关系()()222211S CF DF x x x x x =⨯=-=-=--+，最大值为1 ∴S 与x 满足二次函数关系，且S 存在最大值.故选：A. 6．答案：B解析：①由图象可知：0a > 0c <12ba -=20b a ∴=-<0abc ∴>，故①错误；②抛物线与x 轴有两个交点240b ac ∴->24b ac ∴>，故②正确；③图像对称轴为直线1x =，与x 轴一个交点在-1和0之间 则另一个交点在2和3之间∴当2x =时图像在x 轴下方，即0y < ∴当2x =时420y a b c =++<，故③错误；④当1x =时y 取最小值，此时y a b c =++ 而当x m =时2y am bm c =++ 所以2a b c am bm c ++≤++故2a b am bm +≤+，即()a b m am b +≤+，故④正确； 即正确的结论有2个 故选B. 7．答案：B 解析：13y y =∴A ，C 两点关于对称轴对称.1322n n b -++∴==即抛物线解析式为()22y x c =-+.1n x n -≤≤∴点B 在点A 的右侧，且有1n n -≤12n ∴≥. 情况1：如图1，当点A 与点B 均在对称轴的左侧时此时2n <；当1x n =-时二次函数取到最大值为()()22121y n c n c =--+=++； 当x n =时二次函数取到最小值为()22y n c=-+()()221216n c n c ∴++---=，解得196n =（舍去）. 情况2：如图2，当点A 与点B 在对称轴的两侧时此时2n ≥；A 到对称轴的水平距离为()211n n --=+.B 到对称轴的距离为2n -，当1x n =-时二次函数取到最大值为()()22121y n c n c =--+=++；当2x =时二次函数取到最小值为y c =()2116n c c ∴++-=，解得3n =或5-（舍）.综上3n =. 故选：B. 8．答案：A解析：设过三个点()0,2A ，()1,0B 和()3,1C 的抛物线解析式为：2y ax bx c =++ 分别代入()0,2A ，()1,0B 和()3,1C 得：20931c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得561762a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩设过三个点()0,2A ，()1,0B 和()2,3D 的抛物线解析式为：2y ax bx c =++ 分别代入()0,2A ，()1,0B 和()2,3D 得：20423c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得52922a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩；设过三个点()0,2A ，()3,1C 和()2,3D 的抛物线解析式为：2y ax bx c =++ 分别代入()0,2A ，()3,1C 和()2,3D 得：2931423c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得561362a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩；设过三个点()1,0B ，()3,1C 和()2,3D 的抛物线解析式为：2y ax bx c =++ 分别代入()1,0B ，()3,1C 和()2,3D 得：0931423a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得522128a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩； 55552662>>->- ∴a 最大为52故选：A. 9．答案：D解析：二次函数22(2)2y x m x m =+--+的图象与x 轴最多有一个公共点 ∴()()222420m m ∆=---+≤⎡⎤⎣⎦ 化简得2320m m -+≤解得：12m ≤≤()222233ym tm m t t =--=---10a =>，抛物线开口向上当1t <时12m ≤≤，y 随m 增大而增大∴1m =时y 值最小，此时最小值为()221322t t t ---=-- 223y m tm =--的最小值为3∴223t --=解得：52t =-； 当12t ≤≤时当m t =时y 有最小值23t --223y m tm =--的最小值为3∴233t --=此时t 无解；当2t >时12m ≤≤，y 随m 增大而减小∴2m =，y 值最小，此时最小值为()222341t t t ---=-+ 223y m tm =--的最小值为3∴413t -+= 解得12t =-（舍去）； 综上，若223y m tm =--的最小值为3，则52t =-. 故选：D.10．答案：C解析：5p = 4c =和2a b c p ++= 26a b p c ∴+=-=5(5)(5)(54)55S a b ab ∴=---=-由6a b +=，得6b a =-，代入上式，得：25(6)5565S a a a a =---+-设265y a a =-+-，当265y a a =-+-取得最大值时S 也取得最大值22+65(3)4y a a a =--=--+∴当3a =时y 取得最大值4∴S 5425=故选：C.11．答案：A解析：如图所示，取AP 的中点F ，连接EF ，作GH AD ⊥于H ，作ET GH ⊥于T设AP m =四边形ABCD 是矩形90D ∴∠=︒ 3AB CD ==3tan 33CD DAC AD CD∴∠===30DAC ∴∠=︒PG AC ⊥1122PG AP m ∴== 9060APG DAC ∠=︒-∠=︒11cos cos6024PH PG APG m m ∴=⋅∠==︒⋅ 13sin sin 602GH PG APG m =⋅∠=︒=⋅ 90PFE BAP ∠=∠=︒ EPF BPA ∠=∠EPF BPA ∴∽△△12PF EF PE AP AB BP ∴=== 1322EF AB ∴== 12PF m = 332GT GH HT GH EF ∴=-=-=- 111244ET FH PF PH m m m ==-=-= 在Rt EGT △中2222223311339()()()24416EG GT ET m m =+=-+=+ ∴当332m =时2EG 取得最小值916 0EG >EG ∴的最小值为34. 故选：A.12．答案：D解析：作DM AC ⊥于M ，FN AC ⊥于N ，如图所示：设为等边三角形，为的中点在中， 线段绕点E 逆时针旋转，得到线段，∴EDM FEN △△≌当D 在BC 上时DM EN x == 343EM NF == 在Rt AFN △中()2223343AF x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭()24333482433x =+++当D 在BC 的延长线上时如图所示：DM x=ABC △∴83AB BC AC ===60BAC B C ∠=∠=∠=︒E AC ∴43AE CE ==Rt CDM △3tan 603DM CM x ==︒ED 90︒EF ∴ED EF =90DEF ∠=︒90ENF DME ∠=∠=︒∴90FEN DEM DEM EDM ∠+∠=∠+∠=︒∴FEN EDM ∠=∠DM EN x == 343EM NF x == 在Rt AFN △中()2223333AF x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭()24333482433x =-++当333x =时2AF 有最小值48243+()2433348243482433x +++≥+∴AF ()248243236236+=+=故选：D.13．答案：2a =- 0c =（答案不唯一）解析：由题意，得24(2)24ac a a--=，2c a ∴-=，故2a =-时0c =. 14．答案：9解析：易知二次函数22y x x m =-+的图象开口向上，对称轴是直线1x =，∴当04x ≤≤时可知1x =时y 取最小值，4x =时y 取最大值.当1x =时1y m =-；当4x =时8y m =+ 8(1)9m m ∴+--=.15．答案：20解析：()2236020262300s t t t ==--+-当20t =时s 取得最大值，此时.故答案是：20.16．答案：1264解析：由题意可知，这两种快餐每天销售的总份数为4080120+=.设每份A 种快餐的利润降低x 元，这两种快餐一天的总利润为y 元，则每份B 种快餐的利润提高x 元.根据题意，得22(12)(402)(8)(802)44811204(6)1264y x x x x x x x =-+++-=-++=--+.因为40-<，所以当6x =时y 取最大值，最大值为1264，即这两种快餐一天的总利润最多是1264元.17．答案：3∴600s =解析：依题意，设2,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(),4Q x x - 则24PQ x x=-+ ∴()22121141223222POQ S x x x x x x ⎛⎫=-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△102-<，二次函数图象开口向下，有最大值 ∴当2x =时POQ △面积的最大值是3故答案为：3.18．答案：-2 解析：抛物线的对称轴为直线1x = 12b a∴-= 2b a ∴=-.观察题图可知，当3x =时拋物线2y ax bx c =++上对应的点在直线y x c =-+上对应的点的下方933a b c c ∴++<-+将2b a =-代入，解得1a <-.又a 为整数，∴a 的最大值为-2.19．答案：-1解析：由题意，得22222343(2)1y a b x x x x x x =+=+++=++=+-，∴当2x =-时y 有最小值-1.故答案为-1.20．答案：32解析：连接DE .12CDE ECFG S S =四边形△ 12CDE ABCD S S =正方形△ ∴矩形ECFG 与正方形ABCD 的面积相等.4416ABCD S =⨯=正方形 ∴矩形ECFG 的面积是定值16，∴矩形ECFG 面积的最大值与最小值的和为32，故答案为32.21．答案：不正确，见解析解析：不正确.正确的解答过程如下：抛物线25y x =+的开口向上，对称轴是直线0x =∴当10x -≤≤时y 随x 的增大而减小；当02x ≤≤时y 随x 的增大而增大.∴当0x =时y 取得最小值5.当1x =-时6y =；当时.当时y 取得最大值9.综上可知，当12x -≤≤时函数y 的最小值是5，最大值是9.22、2x =9y =∴2x =（1）答案：934.4元 解析：30403432382440204216934.45x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==元. （2）答案：2100y x =-+解析：设所求一次函数关系式为()0y kx b k =+≠将()30,40，()40,20代入y kx b =+，得 30404020k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2100k b =-⎧⎨=⎩2100y x ∴=-+；（3）答案：35元解析：设利润为w 元，产品的单价为x 元/件，根据题意，得22(20)(2100)214020002(35)450w x x x x x =--+=-+-=--+∴当35x =元/件时工厂获得最大利润450元.23．答案：(1)223y x x =+-(2)y 的最大值为0，最小值为4- (3)071M x <或172M x -<<-解析：（1）抛物线2y x bx c =++经过点()1,0B 和()0,3C -013b c c =++⎧∴⎨-=⎩，解得23b c =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x =+-.故答案为：223y x x =+-；（2）()222314y x x x =+-=+- ∴抛物线的对称轴为直线1x =-，开口向上30x -≤≤∴当1x =-时4y =-当3x =-时0y =当0x =时=3y -∴y 的最大值为0，最小值为4-.故答案为：y 的最大值为0，最小值为4-；（3）点M 是抛物线上一动点，且到x 轴的距离小于32233x x ∴-3<+-<.当2233x x +->-时解得0x >或<2x -当2233x x +-<时令2233x x +-=，则17x =-±1717x ∴-<<-.()222314y x x x =+-=+- ()1,4P ∴--∴P 到x 轴距离大于3∴M 点在P 的左边或在P 的右边.∴综合①和②可知，071M x <<或172M x -<<-. 故答案为：071M x <或172M x -<<-.24、（1）答案：对称轴为直线6x =，y 的最大值为4，a=7 解析：抛物线22:4(6)(6)4C y x x =--=--+∴抛物线的顶点为(6,4)Q ，对称轴为直线6x =，y 的最大值为4.当3y =时23(6)4x =--+，5x ∴=或7.点P 在对称轴的右侧(7,3)P ∴ 7a ∴=.（2）答案：5 解析：平移后的抛物线的表达式为2(3)y x =--∴平移后的抛物线的顶点为(3,0)Q '.平移前抛物线的顶点为(6,4)Q∴点P '移动的最短路程22345QQ '==+=.25．答案：(1)209(2)5 解析：（1）由题意知//EF BC ////EQ AD PF EF PQ = EQ PF =AD BC ⊥∴AD EF ⊥四边形EFPQ 为正方形 EF x =∴DH EQ EF x ===，则4AH AD DH x =-=-//EF BC∴AEF ABC∽△△∴EF AHBC AD=，即454x x-=，解得209x=∴x的值为209；（2）设EQ y=，则DH y=4AH y=-同理（1）AEF ABC∽△△∴EF AHBC AD=，即454x y-=，解得445y x=-∴244545552EFPQS xy x x x⎛⎫⎛⎫==-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩形45-<∴当52x=时矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5.26．答案：(1)二次函数的表达式为223y x x=-++，直线BC的表达式为3y x=-+ (2)94(3)存在，点N的坐标为（3132-，1132+）或（1212+，2132-）或（1212-，2132--）或（3132+，1132-）解析：（1）把点B，点C的坐标代入解析式2y x bx c=-++中得：9303b cc⎧⎨⎩＋＋＝＝解得：23bc⎧⎨⎩＝＝∴二次函数得表达式为223y x x=-++；设BC的函数表达式为y=kx+b把点B，点C的坐标代入可得：033k bb=+⎧⎨=⎩解得：13kb=-⎧⎨=⎩∴直线BC 的函数表达式为：3y x =-+；（2）如图，∴PD y ∥轴∴点P 和点D 的横坐标相同设动点P 的坐标为（x ，223x x -++），则点D 的坐标为（x ，3x -+）PD ＝()2233x x x -++--+=2229939334424x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当x =32时PD 有最大值94； （3）分情况讨论：∴当点M 在x 轴上方，点N 在对称轴左侧时如图1，设对称轴与x 轴交于点F ，过点N 作NE ∴MF 于点E∴MNO 为等腰直角三角形，且NMO ∠为直角∴NM ＝MO ，∴NMO ＝90°∴∴NME ＋∴OMF ＝90°∴∴NME ＋∴MNE ＝90°∴∴MNE ＝∴OMF又∴∴MEN ＝∴OFM ＝90°∴∴MEN ∴∴OFM （AAS ）∴OF ＝EM ，MF ＝NE∴二次函数223y x x =-++的对称轴为直线212x =-=- ∴OF ＝EM ＝1设点M 坐标为（1，a ），则NE ＝MF ＝a∴N （1-a ，1+a ）∴点N 在抛物线223y x x =-++上第 21 页 共 21 页 ∴()()211213a a a +=--+-+ 整理得：230a a +-= 解得：1132a -+=∴N （3132-，1132+） ∴当点M 在x 轴上方，点N 在对称轴右侧时如图2 同理可得：点N 坐标为（1212+，2132-）； ∴当点M 在x 轴下方，点N 在对称轴左侧时如图3 同理可得：点N 坐标为（1212-，2132--）； ∴当点M 在x 轴下方，点N 在对称轴右侧时如图4 同理可得：点N 坐标为（3132+，1132-）； 综上，点N 的坐标为（3132-，1132+）或（1212+，2132-）或（1212-，2132--）或（3132+，1132-）.。

中考数学总复习《二次函数的最值》专题测试卷带答案

中考数学总复习《二次函数的最值》专题测试卷带答案

中考数学总复习《二次函数的最值》专题测试卷带答案班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．对于抛物线y=x2﹣m，若y的最小值是1，则m=（）A．-1B．0C．1D．22．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…−2013…y…6−4−6−4…下列选项中，正确的是（）A．这个函数的开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．当x>2时，y的值随x的增大而减小D．这个函数的最小值小于63．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10…y…40﹣2﹣204…下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是﹣2D．抛物线的对称轴是x=﹣524．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有一个雅系点(−52，−52)，且当m≤x≤0时，函数y=ax2−4x+c+14(a≠0)的最小值为－6，最大值为－2，则m的取值范围是（）A．−1≤m≤0B．−72≤m≤−2C．−4≤m≤−2D．−72≤m≤−9 45．一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为（）A．12cm B．1cm C．32cm D．2cm6．已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣27．已知二次函数的图象（-0.7≤x≤2）如图所示。

关于该函数在所给自变量x 的取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值1，有最大值2B．有最小值-1，有最大值1C．有最小值-1，有最大值2D．有最小值-1，无最大值8．已知二次函数y=a（x+2）2+3（a＜0）的图象如图所示，则以下结论：①当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；②不论a为任何负数，该二次函数的最大值总是3；③当a=﹣1时，抛物线必过原点；④该抛物线和x轴总有两个公共点．其中正确结论是（）A．①②B．②③C．②④D．①④9．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③10．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s11．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是()A．有最大值2，有最小值－2.5B．有最大值2，有最小值1.5C．有最大值1.5，有最小值－2.5D．有最大值2，无最小值12．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．√3cm2B．32√3cm2C．92√3cm2D．272√3cm2二、填空题(共6题；共7分)13．已知点A(0，3)，点B(2，3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点，则该二次函数的最值是。

2019-2020年高考数学一轮复习专题2.7二次函数练

2019-2020年高考数学一轮复习专题2.7二次函数练

2019-2020年高考数学一轮复习专题2.7二次函数练一、填空题1．(xx·苏州期末)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为________．【答案】1,32．已知P ＝，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．【解析】P ＝＝⎝⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P >R >Q . 【答案】P >R >Q3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列结论： ①a >0,4a ＋b ＝0；②a <0,4a ＋b ＝0；③a >0,2a ＋b ＝0； ④a <0,2a ＋b ＝0其中正确的是________(填序号)．【解析】因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0.【答案】①4．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图象可能是________(填序号)．【解析】若a <0，由y ＝x a的图象知排除③，④，由y ＝ax ＋1a的图象知应为②；若a >0，由y＝x a的图象知排除①，②，但y ＝ax ＋1a的图象均不适合，综上应为②.【答案】②5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a ＝________.【答案】16．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________． 【解析】不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 【答案】(－∞，－2) 7．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．【解析】由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得 [1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1. 【答案】(0,1]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．【解析】当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1. 【答案】1 二、解答题9．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.能力提升题组11．已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．【解析】∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24.又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x ＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件． 【答案】充分不必要12．(xx·常州期末测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断． 上述结论正确的是________(填序号)．【答案】①13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______． 【解析】作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根． 【答案】(0,1)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．。

2021年高三数学一轮复习 第五讲 二次函数的最值问题检测试题

2021年高三数学一轮复习 第五讲 二次函数的最值问题检测试题

2021年高三数学一轮复习第五讲二次函数的最值问题检测试题二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当时，求函数的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．【例2】当时，求函数的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当时，，当时，．由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当时，求函数的取值范围．解：作出函数在内的图象．可以看出：当时，，无最大值．所以，当时，函数的取值范围是．【例4】当时，求函数的最小值(其中为常数)．分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数的对称轴为．画出其草图．(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，；(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：当时，；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，．综上所述：2213,23,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，那么件的销售利润为，又．2y x x x x x∴=--=-+-≤≤(30)(1623)32524860,3054(2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下当时，当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．1．抛物线，当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象过原点．2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) ；(2) ．4．求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值．5．对于函数，当时，求的取值范围．6．求函数的最大值和最小值．7．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？B 组1．已知关于的函数在上．(1) 当时，求函数的最大值和最小值；(2) 当为实数时，求函数的最大值．2．函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．4．已知函数在上的最大值为4，求的值．5．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．A 组1．4 14或2， 2．3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值．4．当时，；当时，．5．6．当时，；当或1时，．7．当时，．B 组1．(1) 当时，；当时，．(2) 当时，；当时，．2．．3．．4．或．5．当时，，此时；当时，，此时．37801 93A9 鎩38079 94BF 钿%K}.>21643 548B 咋26554 67BA 枺34507 86CB 蛋W27532 6B8C 殌39056 9890 颐。

2020高考数学复习二次函数测试题

2020高考数学复习二次函数测试题

⎪ 2- -高考数学复习二次函数测试题1．（人教 A 版第 27 页 A 组第 6 题）解析式、待定系数法若 f (x ) = x 2 + bx + c ，且 f (1) = 0 ， f (3) = 0 ，求 f (-1)的值．变式 1：若二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c 的图像的顶点坐标为 (2, -1) ，与 y轴的交点坐标为(0,11)，则A ． a = 1,b = -4, c = -11B ． a = 3, b = 12, c = 11C ． a = 3,b = -6, c = 11D ． a = 3, b = -12, c = 11变 式 2 ： 若 f (x ) = - x 2 + (b + 2)x + 3, x ∈[b , c] 的 图 像 x =1 对 称 ， 则c =_______．变式 3：若二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴有两个不同的交点A (x ,0 ) 、B (x ,0 )，且 x 2 + x 2 = 1 2 1 2 26，试问该二次函数的图像由 f (x ) = -3 (x - 1)29的图像向上平移几个单位得到？2．（北师大版第 52 页例 2）图像特征将函数 f (x ) = -3x 2 - 6x + 1 配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式 1：已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c ，如果 f (x ) = f (x ) (其中 x ≠ x )，1 2 1 2则 f ⎛ x 1 + x 2 ⎫ =⎝⎭A ． bB ． b2aaC ． cD ．4ac - b 24a变 式 2 ： 函 数 f (x ) = x 2 + px + q 对 任 意 的 x 均 有f (1 + x ) = f (1 - x )，那么 f (0)、 f (-1)、 f (1) 的大小关系是yO x变式 2：已知函数 f (x ) = x 2 - (a -1)x + 5 在区间( ,1)上为增函数，那么A ． f (1) < f (-1) < f (0)B ． f (0) < f (-1) < f (1)C ． f (1) < f (0) < f (-1)D ． f (-1) < f (0) < f (1)变式 3：已知函数 f (x ) = ax 2 + bx + c 的图像如右图所示，请至少写出三个与系数 a 、b 、c 有关的正确命题_________．3．（人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题）单调性已知函数 f (x ) = x 2 - 2x ， g (x ) = x 2 - 2x (x ∈[2,4] ) ．(1)求 f (x )， g (x )的单调区间；(2) 求 f (x )， g (x )的最小值．变式 1：已知函数 f (x ) = x 2 + 4ax + 2 在区间 (-∞,6 )内单调递减，则 a 的取值范围是A ． a ≥ 3B ． a ≤ 3C ． a < -3D ． a ≤ -312f (2)的取值范围是_________．变式 3：已知函数 f (x ) = -x 2 + kx 在 [2,4] 上是单调函数，求实数 k 的取值范围．4．（人教 A 版第 43 页 B 组第 1 题）最值已知函数f(x)=x2-2x，g(x)=x2-2x(x∈[2,4])．(1)求f(x)，g(x)的单调区间；(2)求f(x)，g(x)的最小值．变式1：已知函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A．[1,+∞)B．[0,2]C．[1,2] D．(-∞,2)变式2：若函数y=3-x2+4的最大值为M，最小值为m，则M+m 的值等于________．变式3：已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)．画出函数f(x)的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数f(x)=(m-1)x2+(m2-1)x+1是偶函数，则在区间(-∞,0]上f(x)是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数f(x)=ax2+bx+3a+b(a-1≤x≤2a)是偶函数，则点(a,b)的坐标是________．变式3：设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R．(I)讨论f(x)的奇偶性；(II)求f(x)的最小值．6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换2⎩- x + 6 x - 5,1 ≤ x ≤ 6⎪ ⎧ x 2 + 4 x + 3, -3 ≤ x < 0 已知 f ( x ) = ⎨-3x + 3, 0 ≤ x < 1 ． ⎪(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式 1：指出函数 y = - x 2 + 2 x + 3 的单调区间．变式 2：已知函数 f ( x ) =| x 2 - 2ax + b | ( x ∈ R ) ．给下列命题：① f ( x ) 必是偶函数；② 当 f (0) = f (2) 时， f ( x ) 的图像必关于直线 x =1 对称；③ 若 a 2 - b ≤ 0 ，则 f ( x ) 在区间[a ，＋∞ ) 上是增函数；④ f ( x ) 有最大值 | a 2 - b | ．其中正确的序号是________．③变式 3：设函数 f ( x ) = x | x | +bx + c, 给出下列 4 个命题：①当 c =0 时， y = f ( x ) 是奇函数；②当 b =0，c >0 时，方程 f ( x ) = 0 只有一个实根；③ y = f ( x ) 的图象关于点（0，c ）对称；④方程 f ( x ) = 0 至多有两个实根．上述命题中正确的序号为．7．（北师大版第 54 页 A 组第 6 题）值域求二次函数 f ( x ) = -2 x 2 + 6 x 在下列定义域上的值域：(1)定义域为 {x ∈ Z 0 ≤ x ≤ 3}；(2) 定义域为 [-2,1]．变式 1：函数 f ( x ) = -2x 2 + 6x (-2 < x < 2)的值域是A．-20,⎡9⎤32⎤⎛B．(-20,4)C．-20,2⎦2⎦⎝-20,9⎪⎥⎣D．⎛⎫⎝2⎭变式2：函数y=cos2x+sin x的值域是__________．变式3：已知二次函数f(x)=a x2+bx（a、b为常数，且a≠0），满足条件f(1+x)=f(1－x)，且方程f(x)=x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（m<n），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题当a,b,c具有什么关系时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数f(x)=lg(a x2+2x+1)．(I)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(II)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．变式2：已知函数f(x)=x2+ax+3-a，若x∈[-2,2]时，有f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．变式3：若f(x)=x2+bx+c，不论α、β为何实数，恒有f(sin α)≥0，f(2+cosβ)≤0．(I)求证：b+c=－1；(II)求证：c≥3；(III)若函数f(sinα)的最大值为8，求b、c的值．9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系右图是二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像，它与x轴交于点(x,0)和1(x,0)，试确定a,b,c以及x x，x 2121+x的符号．2y1xx1O1x2变式1：二次函数y=ax2+b与一次函数y=ax+b(a>b)在同一个直角坐标系的图像为yO A．yx OB．xOy yx O xC．D．变式2：直线y=mx-3与抛物线C : y = x 2 + 5mx - 4m , C : y = x 2 + (2m - 1) x +m 2 - 3,1 2C : y = x 2 + 3mx - 2m - 3 中至少有一条相交，则 m 的取值范围是．3变式 3：对于函数 f (x )，若存在 x 0 ∈ R ，使 f (x 0) = x 0 成立，则称 x 0为 f (x ) 的不动点．如果函数 f (x ) = a x 2 + bx + 1 （a > 0 ）有两个相异的不动点 x 1、x 2．(I)若 x 1 < 1 < x 2，且 f (x ) 的图象关于直线 x = m 对称，求证 m >12；(II)若 | x 1 | < 2 且 | x 1－x 2 | = 2，求 b 的取值范围．10．（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？y变式1：在抛物线f(x)=-x2+ax与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长A DxO B C最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a为实数，记函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g(a)．（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足g(a)=g(1)的所有实数a．a二次函数答案1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法⎪2a=2⎪4a⎪c=1139393变式1：解：根据题意可知x1+x2=-b，∴f⎛x1+x2⎫=4ac-b2，故3⎭⎧b-⎪⎧a=3变式1：解：由题意可知⎪⎨4ac-b2=-1，解得⎪⎨b=-12，故选D．⎪c=11⎩⎪⎩变式2：解：由题意可知b+2=1，解得b=0，∴0+c=1，解得c=2．22变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为f(x)=-3(x-1)2+k，展开得f(x)=-3x2+6x-3+k，∴x+x=2,x x=3-k，1212∴x2+x2=(x+x)2-2x x=26，即4-2(3-k)=26，解得k=4．121212所以，该二次函数的图像是由f(x)=-3(x-1)2的图像向上平移4单位得到的，它的解析式是f(x)=-3(x-1)2+4，即f(x)=-3x2+6x-5．332．（北师大版第52页例2）图像特征22a⎝2⎪4a选D．变式2：解：∵f(1+x)=f(1-x)，∴抛物线f(x)=x2+px+q的对称轴是x=1，∴-p=1即p=-2，2∴f(x)=x2-2x+q，∴f(0)=q、f(-1)=3+q、f(1)=-1+q，故有f(-1)>f(0)>f(1)，选C．y变式3：解：观察函数图像可得：O x变式2：解：函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(,1)上为增函数，由于（①a>0(开口方向)；②c=1(和y轴的交点)；③4a+2b+1=0(和x轴的交点)；④a+b+1<0(f(1)<0)；⑤b2-4a>0(判别式)；⑥1<-b<2(对称轴)．2a3．（人教A版第43页B组第1题）单调性变式1：解：函数f(x)=x2+4ax+2图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x=-2a，由已知函数在区间(-∞,6)内单调递减可知区间(-∞,6)应在直线x=-2a 的左侧，∴-2a≥6，解得a≤-3，故选D．12其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴x=a-1或与直线x=1重合或位于22直线x=1的左侧，即应有a-1≤1，解得a≤2，222∴f(2)=4-(a-1)⨯2+5≥7，即f(2)≥7．变式3：解：函数f(x)=-x2+kx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是x=k，2∵已知函数在[2,4]上是单调函数，∴区间[2,4]应在直线x=k的左侧2或右侧，即有k≤2或k≥4，解得k≤4或k≥8．224．人教A版第43页B组第1题）最值变式1：解：作出函数f(x)=x2-2x+3的yO x2-2a=3，解得a=-，这个值与0≤a≤4相矛盾． x-a⎪图像，开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，∴m的取值范围是1≤m≤2，故选C．变式2：解：函数有意义，应有-x2+4≥0，解得-2≤x≤2，∴0≤-x2+4≤4⇒0≤-x2+4≤2⇒0≤3-x2+4≤6，∴M=6，m=0，故M+m=6．变式3：解：函数f(x)的表达式可化为f(x)=4⎛⎫2+(2-2a)．⎝2⎭①当0≤a≤2，即0≤a≤4时，f(x)有最小值2-2a，依题意应有212②当a<0，即a<0时，f(0)=a2-2a+2是最小值，依题意应有2a2-2a+2=3，解得a=1±2，又∵a<0，∴a=1-2为所求．③当a>2，即a>4时，f(2)=16-8a+a2-2a+2是最小值，2依题意应有16-8a+a2-2a+2=3，解得a=5±10，又∵a>4，∴a=5+10f()≤f(a)． ⎪为所求．综上所述，a=1-2或a=5+10．5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性变式1：解：函数f(x)=(m-1)x2+(m2-1)x+1是偶函数⇒m2-1=0⇒m=±1，当m=1时，f(x)=1是常数；当m=-1时，f(x)=-2x2+1，在区间(-∞,0]上f(x)是增函数，故选D．变式2：解：根据题意可知应有a-1+2a=0且b=0，即a=1且b=0，∴3点(a,b)的坐标是⎛1,0⎫．⎝3⎭变式3：解：（I）当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x)，此时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a2+1，f(-a)=a2+2|a|+1，f(a)≠f(-a)，f(a)≠-f(-a)，此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（II）（i）当x≤a时，f(x)=x2-x+a+1=(x-1)2+a+3，24若a≤1，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而函数f(x)在2(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1．若a>1，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(1)=3+a，且224 12（ii）当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+1)2-a+3，24若a≤-1，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(-1)=3-a，且224f (- ) ≤ f (a) ， 1 2若 a > - 1 ，则函数 f ( x ) 在 [a,+∞ ) 上单调递增，从而函数 f ( x ) 在 2[a,+∞ ) 上的最小值为 f (a) = a 2 + 1．综上，当 a ≤ - 1 时，函数 f ( x ) 的最小值为 3 - a ；2 4当 - 1 < a ≤ 1 时，函数 f ( x ) 的最小值为 a 2 + 1；2 2 当 a > 1 时，函数 f ( x ) 的最小值为3 + a ． 24 6．（北师大版第 64 页 A 组第 9 题）图像变换变式 1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单 调区间．当 x ≥ 0 时， y = - x 2 + 2 x + 3 = - (x - 1)2 + 4 ，当 x < 0 时， y = - x 2 - 2 x + 3 = - (x + 1)2 + 4 ．作出函数图像，由图像可得单调区间．yOx在 (-∞, -1)和 (0,1]上，函数是增函数；在[-1,0 ]和 (1,+∞)上，函数是减函 数．变式 2： 解：若 a = 1,b = 1, 则 f ( x ) =| x 2 - 2 x + 1| = x 2 - 2 x + 1 ，显然不是偶函数，所以①是不正确的；⎨⎨⎨ ⎨ ⎨ ⎨若 a = -1,b = -4, 则 f ( x ) =| x 2 + 2 x - 4 | ，满足 f (0) = f (2) ，但 f ( x ) 的图像不关于直线 x =1 对称，所以②是不正确的；若 a 2 - b ≤ 0 ，则 f ( x ) =| x 2 - 2ax + b |= x 2 - 2ax + b ，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是 x = a ，∴ f ( x ) 在区间[a ，＋∞ ) 上是增函数，即③是正确的；显然函数 f ( x ) =| x 2 - 2ax + b | (x ∈ R )没有最大值，所以④是不正确的．变式 3： 解： f ( x ) = x | x | +bx + c = ⎧⎪ x 2 + bx + c, x ≥ 0 ， ⎪⎩- x 2 + bx + c, x < 0(1)当 c =0 时， f ( x ) = x x + bx ，满足 f (- x ) = - f (x )，是奇函数，所以①是正确的；(2)当 b =0，c >0 时， f ( x ) = x x + c = ⎧⎪ x 2 + c, x ≥ 0 ， ⎪⎩- x 2 + c, x < 0方程 f ( x ) = 0 即 ⎧ x 2 + c = 0 或 ⎧- x 2 + c = 0 ， ⎩ x ≥ 0 ⎩ x < 0显然方程 ⎧ x 2 + c = 0 无解；方程 ⎧- x 2 + c = 0 的唯一解是 x = - c ，所以②⎩ x ≥ 0 ⎩ x < 0是正确的；(3) 设 (x , y ) 是 函 数 f ( x ) = x | x | +bx + c 图 像 上 的 任 一 点 ， 应 有0 0y = x | x | +bx + c ，0 0 0而 该 点 关 于 （ 0 ， c ） 对 称 的 点 是 (- x ,2 c - y ) ， 代 入 检 验0 02c - y = - x | x | -bx + c 即 - y = - x | x | -bx - c ，也即 y = x | x | +bx + c ，所以0 0(- x ,2 c - y )也是函数 f ( x ) = x | x | +bx + c 图像上的点，所以③是正确的；(4)若 b = -1,c = 0 ，则 f ( x ) = x | x | - x ，显然方程 x | x | - x = 0 有三个根，所以④ 是不正确的．7．（北师大版第 54 页 A 组第 6 题）值域在⎛-2,3⎤上是增函数，在⎡3,2⎫上是减函数，求出f(-2)=-20，f(2)=4，2⎦⎝⎣2⎭39，注意到函数定义不包含x=-2，所以函数值域是⎛-20,⎥⎤．∴3m=f(x)min =f(n)=－n2+n(*)，变式1：解：作出函数f(x)=-2x2+6x(-2<x<2)的图象，容易发现 ⎥⎢⎪9f()=22⎝2⎦变式2：解：∵y=cos2x+sin x=－2sin2x+sin x+1，令t=sin x∈[－1,1]，则y=－2t2+t+1，其中t∈[－1,1]，∴y∈[－2,99]，即原函数的值域是[－2,]．88变式3：解：(I)∵f(1+x)=f(1－x)，∴－b2a=1，又方程f(x)=x有等根⇔a x2+(b－1)x=0有等根，1∴△=(b－1)2=0⇒b=1⇒a=－，21∴f(x)=－x2+x．2(II)∵f(x)为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，1︒当m≥1时，f(x)在[m,n]上是减函数，123n=f(x)max=f(m)=－m2+m，∴3m=f(x)min=f(m)=－m2+m，3n=f(x)max=f(n)=－n2+n，(I)⎨a>0121两式相减得：3(m－n)=－(n2－m2)+(n－m)，2∵1≤m<n，上式除以m－n得：m+n=8，代入(*)化简得：n2－8n+48=0无实数解．2︒当n≤1时，f(x)在[m,n]上是增函数，1212∴m=－4，n=0．3︒当m≤1≤n时，对称轴x=1∈[m,n]，∴3n=f(x)max =f(1)=11⇒n=26与n≥1矛盾．综合上述知，存在m=－4、n=0满足条件．8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题变式1：解：函数f(x)的定义域为R，即不等式a x2+2x+1> 0的解集为R，∴应有⎧⎪⇒a>1，⎪⎩△=4－4a<0∴实数a的取值范围是(1,+∞)．⎧⎪a>0⎪⎩△=4－4a≥0f(2)≥0⎪⎪⎪-a≥2或-a≤-2(II)函数f(x)的值域为R，即a x2+2x+1能够取(0,+∞)的所有值．1︒当a=0时，a x2+2x+1=2x+1满足要求；2︒当a≠0时，应有⎨⇒0<a≤1．∴实数a的取值范围是[0,1]．变式2：解法一：(转化为最值)f(x)≥2在[-2,2]上恒成立，即f(x)=x2+ax+1-a≥0在[-2,2]上恒成立．⑴∆=a2-4(1-a)≤0，∴-2-22≤a≤-2+22；⎧∆=a2-4(1-a)>0⎪⑵⎨f(-2)≥0，∴-5≤a<-22-2．⎪⎪⎩22综上所述-5≤a≤22-2．解法二：（运用根的分布）⑴当-a<-2，即a>4时，应有g(a)=f(-2)=7-3a≥2，即a≤5，∴a23不存在；⑵当-2≤-a≤2，即-4≤a≤4时，应有g(a)=f(-a)=-a2-a+3≥2，224即－22-2≤a≤22-2，∴-4≤a≤22-2；⑶当-a>2，即a<-4时，应有g(a)=f(2)=7+a≥2，即a≥-5，2∴-5≤a<-4综上所述-5≤a≤22-2．变式3：证明：(I)依题意，f(sin f(1)≤0，π2)=f(1)≥0，f(2+cosπ)=∴f(1)=0⇒1+b+c=0⇒b+c=－1，(II)由(I)得：f(x)=x2－(c+1)x+c(*)∵f(2+cosβ)≤0⇒(2+cosβ)2－(c+1)(2+cosβ)+ c≤0⇒(1+cosβ)[c－(2+cosβ)]≥0，对任意β成立．∵1+cosβ≥0⇒c≥2+cosβ，∴c≥(2+cosβ)max=3．(III)由(*)得：f(sinα)=sin2α－(c+1)sinα+c，设t=sinα，则g(t)=f(sinα)=t2－(c+1)t+c，－1≤t≤1，这是一开口向上的抛物线，对称轴为t=c+12，3+1由(II)知：t≥=2，2∴g(t)在[－1,1]上为减函数．∴g(t)max=g(－1)=1+(c+1)+c=2c+2=8，∴c=3∴b=－c－1=－4．⎪4m 2 - 4(-2m ) < 0, ⎨9．（北师大版第 54 页 B 组第 1 题）根与系数关系变式 1： 解： 二次函数 y = ax 2 + b 与一次函数图象 y = ax + b 交于两点(o , b ) 、 (1, a + b ) ，由二次函数图象知 a, b 同号，而由 B, C 中一次函数图象知 a, b 异号，互相矛盾，故舍去 B, C ．又由 a > b 知，当 a > b > 0 时，- b > -1，此时与 A 中图形不符，当 0 > a > ba时， - b < -1 ，与 D 中图形相符． a变式 2：解 ： 原 命 题 可 变 为 ： 求 方 程 mx - 3 = x 2 + 5mx - 4m ，mx - 3 = x 2 + (2m - 1) x + m 2 - 3 ，mx - 3 = x 2 + 3mx - 2m - 3 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的 m 的值，即得所求．⎧(4m ) 2 - 4(-4m + 3) < 0,解不等式组 ⎪(m - 1) 2 - 4m 2 < 0, 得 - 3 < m < -1 ，2 ⎩故符合条件的 m 取值范围是 m ≤ - 3 或 m ≥ -1 ．2变式 3： 解：(I) 由 f (x ) 表达式得 m = －b2a，∵ g (x ) = f (x )－x = a x 2 + (b －1) x + 1，a > 0，由 x 1，x 2 是方程 f (x ) = x 的两相异根，且 x 1 < 1 < x 2，b b1∴ g (1) < 0 ⇒ a + b < 0 ⇒ － > 1 ⇒ － > ，即a 2a 2x 1 + x 2 = ，x 1x 2 = ，∴ | x 1－x 2 | 2 = (x 1 + x 2) 2－4x 1x 2 = ( ) 2－ = 2 2，∴ x 1、x 2 到 g (x ) 对称轴 x =的距离都为 1，m >12．(II) △= (b －1) 2－4a > 0 ⇒ (b －1) 2 > 4a ，1－b 1a a1－b 4a a∴ (b －1) 2 = 4a + 4a 2(*)又 | x 1－x 2 | = 2，1－b 2a要 g (x ) = 0 有一根属于 (－2,2)，1－b则 g (x ) 对称轴 x = ∈ (－3,3)，2ab －1 1< 3 ⇒ a > | b －1 |，∴ －3 <2a 62 1把代入 (*) 得：(b －1) 2 >| b －1 | + (b －1) 2， 3 91 7解得：b <或 b > ， 4 4∴ b 的取值范围是：(－∞, 1 7 )∪( 4 4,+∞)．24⎝ 42⎭ ⎝⎭ 2 2 2 2 4 4x ．a - x , a 2 - x 2 ⎪ ⎪ ⎪10．（北师大版第 52 页例 3）应用变式 1：解：设矩形 ABCD 在 x 轴上的边是 BC ，BC 的长是 x (0<x <a )，则 B 点的坐标为 ⎛ a - x ,0 ⎫ ，A 点的坐标为 ⎛⎫．⎭设矩形 ABCD 的周长为 P ，则 P =2 ⎛ x + a 2 - x 2 ⎫ = - 1 x 2 + 2x + a 2 = - 1 (x - 2)2 + a 2 + 2 (0<x <a )．⎝① 若 a >2，则当 x =2 时，矩形的周长 P 有最大值，这时矩形两边的长分别为 2 和 a 2 - x 2 ，两边之比为 8: (a 2 - 4 )；4②若 0 <a ≤2，此时函数 P = - 1 (x - 2 )2 + a 2 + 2 无最大值，也就是说周长22最大的内接矩形不存在．综上所述，当 a >2 时，周长最大的内接矩形两边之比为 8: (a 2 - 4)；当0 <a ≤2 时，周长最大的内接矩形不存在．变式 2： 解：(I) 依题意设 A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为f (x ) = kx ，g (x ) = m x ，5 由 f (1) = k = 0.25， g (4) = 2m = 2.5 ⇒ m =，415∴ f (x ) =x （x ≥0），g (x ) =(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x万元，∴企业的利润y=15(10－x)+44x=15[－(x－)42652+]（0≤x≤10），4∴565 x=，即x=6.25万元时，企业获得最大利润≈2164万元．答：在A产品投资3.75万元，在B产品投资6.25万元，企业获得最大利润约4万元．变式3：解：设t=1+x+1-x，要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，∵t2=2+21-x2∈[2,4]，且t≥0……①∴t的取值范围是[2,2]．由①得：1-x2=1t2-1，2不妨设m(t)=a(1t2-1)+t=1at2+t-a，t∈[2,2]．22（I）由题意知g(a)即为函数m(t)=1at2+t-a，t∈[2,2]的最大值，2当a=0时，m(t)=t，t∈[2,2]，有g(a)=2；当a≠0时，此时直线t=-1是抛物线m(t)=1at2+t-a的对称轴，a2∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当a>0时，函数y=m(t)，t∈[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t=-1<0知m(t)在t∈[2,2]上单调递增，故ag(a)=m(2)=a+2；（2）当a<0时，，函数y=m(t)，t∈[2,2]的图象是开口向下的抛物a + 2(a > - )2综上所述，有 g (a) = ⎪⎨- a - 1 2 1 2a 2 2⎪⎩ ⇒ a =－2+ 2 <－ (舍去)； 2 2 2 ⇒ a =－2a 2a2 =线的一段，若 t = - 1 ∈ (0, 2 ] 即 a ≤ - 2 时， g (a) = m ( 2 ) = 2 ，a 2若 t = - 1 ∈ ( 2,2] 即 a ∈ (- 2 ,- 1 ] 时， g (a) = m (- 1 ) = -a - 1 ，a a 2a若 t = - 1 ∈ (2,+∞) 即 a ∈ (- 1 ,0) 时， g (a) = m (2) = a + 2 ．a 2⎧1 ⎪ ⎪ , (- < a ≤ - ) ．⎪⎪2 2(a ≤ - ) 2111（II ）若 a >0，则>0，此时 g(a )=g() ⇔ a +2=+2 ⇔ a =aaa1a ⇒a =1(舍去 a =－1)；11 1若－ <a <0，则 <－2，此时 g(a )=g( ) ⇔ a +2= 22 a a1221 1若－<a ≤－ ，则－2≤ <－ 22 a2 ，此时 g(a )=g( 1 1 ) ⇔ －a － a 2a=2(舍去)；2 若－ 2 ≤a ≤－，则－21 22 ≤ ≤－ ，此时 g(a )=g(1) ⇔2 恒成立；2 a 2 a 2 = a +2⇒ a =－2+ - 若－2≤a <－ 2 ，则－ 2 1 1 < ≤－ ，此时 g(a )=g( 1 a ) ⇔ 2 =－a － 1 2 ⇒ a =－ (舍 2a 2 去)；1 1 若 a <－2，则－ < <0，2 a 此时 g(a )=g( 1 ) ⇔ 2 >－2 (舍 去) ．综上所述，满足 g (a) = g ( 1 ) 的所有实数 a 为： 2 ≤ a ≤ - 2 或 a = 1 ．a 2。

2020年一轮复习之二次函数检测题(含答案)

2020年一轮复习之二次函数检测题(含答案)

2020年一轮复习之二次函数检测题（含答案）一、选择题（每题2分，共40分）1. 抛物线223y x x =-+的顶点坐标是（ ）A.(23)-，B.(23)，C.(12)-，D.(12)，2. 若(25)，，(45)，是抛物线2y ax bx c =++上的两个点，则对称轴是（ ）A.b x a=-B.1x =C.2x =D.3x =3. 抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为(10)-，、(30)，，其形状与22y x =-相同，则得2y ax bx c =++的函数解析式为（ ）A.223y x x =--+B.2245y x x =-++C.2248y x x =-++D.2246y x x =-++4. 抛物线212y x =的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）A.21222y x x =+- B.21212y x x =++ C.21212y x x =-- D.21212y x x =-+ 5. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于,,a b c 间的关系正确的是（ ） A.0ab <B.0bc <C.0a b c ++>D.0a b c -+<6. 已知二次函数2y x mx n =++的对称轴为1x =-，在图象上有三个点1(3)y -，、2(2)y -，、3(4)y ，则有（ ）A 、123y y y >>B 、213y y y >>C 、312y y y >>D 、321y y y >>7. 已知二次函数243y x x =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，则ABC ∆面积为（ ）A.6B.4C.3D.28. 已知二次函数24()5y x h =-+，当2x <-时，y 随x 的增大而减小；当2x >-时，y 随x 的增大而增大，当1x =时，y =（ ）A.9B.2-C.17D.419. 二次函数2()y a x k k =++(0a ≠)，无论k 取何实数，其图象的顶点都在（ ）A.直线y x =上B.直线y x =-上C.x 轴上D.y 轴上10. 二次函数2y x bx c =-++的图象的最高点是(13)--，，则b 、c 的值是（ ）A.2b =、4c =B.2b =、4c =-C.2b =-、4c =D.2b =-、4c =-11. 如图，抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)与x 轴两交点是(10)A -，、(30)B ，，则如图可知0y <时，x 的取值范围是（ ） A.13x -<< B.31x -<<C.3x >或1x <-D.3x <-或1x >12. 一学生推铅球，铅球的行过高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数关系式为21251233y x x =-++，则铅球落地时的水平距离是（ ）A.53m B.3m C.10m D.12m13. 若二次函数222y ax bx a =++-（a 、b 为常数）的图象如下，则a 的值为（ ）A.2-B.C.14. 已知二次函数2y ax bx c =++如图，则代数式①ac ；②a b c ++；③42a b c -+；④2a b +其值大于0的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个15. 已知2y ax bx c =++的图象如图所示，则y ax b =-的图象一定过（A.一、二、三B.二、三、四C.一、二、四D.一、三、四16. 232(3)1m m y m x mx -+=-++是二次函数，则m =（ ）A.0B.3C.0或3D.1或217. 抛物线2y ax bx c =++图象如图，则关于x 的方程220ax bx c ++-=的根的情况是（ ）A.有两个不等实根B.有两个异号实根C.有两个相等实根D.无实根18. 一个二次函数，当1x =-时，2y =；当0x =时，1y =-；当1x =时，2y =-；那么当2x =时，y 值为（ ）A.0B.1C.1-D.219. 已知二次函数231213y x x =-+，则函数值y 的最小值是（ ）A.3B.2C.1D.1-20. 已知二次函数22934y x x =--，当自变量x 取两个不同的值1x ,2x 时，函数值相等，则当自变量x 取12x x +时的函数值应当与（ ）A.1x =时函数值相等B.0x =时函数值相等C.14x =时函数值相等 D.94x =的函数值相等 二、填空题（每题3分，共30分）21. 抛物线277y kx x =--与x 轴有交点，则k 的取值范围是22. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，则①0ac >；②0a b c -+<；③0x <时，0y <；④方程20ax bx c ++=(0a ≠)有两个大于1-的实根。

2019-2020年高考数学 二次函数练习

2019-2020年高考数学 二次函数练习

2019-2020年高考数学二次函数练习1、已知函数（I）若在区间上不单调，求的取值范围；（II）若对于任意的，存在，使得，求的取值范围．2、设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=（）A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或3、已知二次函数，若不等式的解集为，且方程有两个相等的实数根.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）解不等式4、指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是（）5、设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b∈R）满足条件：①当x∈R时，f（x）的最大值为0，且f（x﹣1）=f（3﹣x）成立；②二次函数f（x）的图象与直线y=﹣2交于A、B 两点，且|AB|=4（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求最小的实数n（n＜﹣1），使得存在实数t，只要当x∈[n，﹣1]时，就有f（x+t）≥2x成立．6、已知函数．（1）若，求的值域；（2）若存在实数t，当，恒成立，求实数m的取值范围．7、若。

（1）求的单调区间；（2）求的最大值与最小值；（3）若恒成立，求m取值范围。

8、已知抛物线．①若抛物线与轴交于,两点，求关于的不等式的解集；②若抛物线过点，解关于不等式；9、已知函数，且．(1)求证：函数有两个不同的零点；(2)设是函数的两个不同的零点，求的取值范围；(3)求证：函数在区间（0,2）内至少有一个零点10、已知函数.（Ⅰ）若，使,求实数的取值范围;（Ⅱ）设,且在上单调递增,求实数的取值范围.11、已知数列中，，二次函数的对称轴为x=，(1)试证明是等差数列，并求的通项公式；(2)设的前n项和为，试求使得成立的n的值，并说明理由。

12、已知二次函数的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求的解析式；（2）若在区间[]上不单调，求实数的取值范围；（3）在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．13、已知一个二次函数，．求这个函数的解析式。

二次函数的最值练习题

二次函数的最值练习题

二次函数的最值练习题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

而求解二次函数的最值问题是我们学习二次函数时的重点和难点之一。

下面，我们来通过一些练习题来深入理解二次函数的最值问题。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个二次函数：$f(x) = 2x^2 - 4x + 3$。

我们需要求解这个二次函数的最值。

为了求解最大值或最小值，我们需要找到函数的顶点。

而二次函数的顶点坐标可以通过公式 $x = -\frac{b}{2a}$ 来求得。

对于这个例子中的函数，我们可以计算出顶点的横坐标为$x = \frac{4}{4} = 1$。

将 $x = 1$ 代入函数中，可以得到纵坐标为 $f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1$。

因此，这个二次函数的最小值为 1，最小值点为 (1, 1)。

接下来，我们来看一个稍微复杂一点的例子。

假设有一个二次函数：$f(x) = -x^2 + 6x - 5$。

我们同样需要求解这个二次函数的最值。

首先，我们计算出顶点的横坐标为 $x = \frac{6}{-2} = -3$。

将 $x = -3$ 代入函数中，可以得到纵坐标为 $f(-3) = -(-3)^2 + 6(-3) - 5 = -32$。

因此，这个二次函数的最大值为 -32，最大值点为 (-3, -32)。

以上两个例子展示了求解二次函数最值的基本方法，但实际情况中，我们可能会遇到一些稍微复杂的问题。

例如，给定一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a > 0$，且已知函数图像上的两个点为 $(1, 3)$ 和 $(2, 4)$。

我们需要求解这个二次函数的最值。

首先，我们可以利用已知的两个点来建立方程组。

将点 $(1, 3)$ 和 $(2, 4)$ 分别代入函数中，可以得到以下两个方程：$$\begin{cases}a +b +c = 3 \\4a + 2b + c = 4\end{cases}$$接下来，我们可以解这个方程组，得到 $a$、$b$ 和 $c$ 的值。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019-2020年高三数学一轮复习 第五讲 二次函数的最值问题检测
试题
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例1】当22x -≤≤时，求函数2
23y x x =--的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．
解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．
【例2】当12x ≤≤时，求函数2
1y x x =--+的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．
解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．
可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．
所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．
【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522
y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数21522
y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =
--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：
当1x =时，2min 1511322
y =
⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：
当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-． 综上所述：2213,0
23,0115,12
2t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩ 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：
【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，
那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．
2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤
(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=
∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．
2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．
3．求下列二次函数的最值：
(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．
4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．
5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．
6．求函数3y =
7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？
1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．
(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；
(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．
2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．
3．设0a >，当11x -≤≤时，函数2
1y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．
4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．
5．求关于x 的二次函数2
21y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．
A 组 1．4 14或2，32
2．2
216l m 3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值
94，无最小值． 4．当34x =时，min 318
y =；当2x =-时，max 19y =． 5．5y ≥-
6．当56x =时，min 3y =-23
x =或1时，max 3y =． 7．当54
t =-
时，min 0y =． B 组
1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．
(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．
2．21m -≤≤-．
3．2,2a b ==-．
4．14
a =-或1a =-． 5．当0t ≤时，max 22y t =-，此时1x =；当0t >时，max 22y t =+，此时1x =-．。

相关文档
最新文档