固体物理第三章总结
固体物理-第三章 金属自由电子论讲解
3.1.量子自由电子理论
I2=(1/2!)-(E-EF)2(-f/E) dE 不难算出, I0=1(d-函数积分), I1=0 (根据d-函数的性质) 为了计算I2, 而令h=(E-EF)/kBT,于是, I2=[(kBT)2/2]-{h2/[(eh+1)(e-h+1)] }dh=(pkBT)2/6
波长),可见k为电子的波矢, 是3 维空间矢量. r:电 子的位置矢量。
由波函数的归一化性质:vy*(r) y(r)d(r)=1, v:金属体积, 假设为立方体,边长为L,把3.1.1.3式 代入归一化式子, 得: A=L-3/2=V-1/2, 所以
y(r)= V-1/2eik•r 3.1.1.4, 此即自由电子的本征态。 由周期性边界条件, y(x,y,z)= y(x+L,y,z) = y(x,y+L,z) = y(x,y,z+L)
一状态的电子具有确定的动量ħk和能量ħ2k2/(2m),因而 具有确定的速度,v=ħk/m,故一个k全面反映了自由电子 的一个状态,简称态。
2. k-空间
以kx, ky , kz 为坐标轴建立的 波矢空间叫k-空间。电子的 本征态可以用该空间的一点
来代表。点的坐标由3.1.1.5 式确定。
3.1.量子自由电子理论
T>0K的费米能EF 把3.1.2.2和3.1.3.1代入3.1.3.2, 分步积分, 得:
N= (-2C/3) 0 E3/2(f/E) dE 3.1.3.3 令G(E)= 2C E3/2/3, 3.1.3.3.式化简为 N= 0G(E) (-f/E) dE 3.1.3.4 (-f/E)函数具有类似d函数的特性,仅仅在EF附近kBT范 围内才有显著的值,且为E-EF偶函数. 由于(-f/E)函数 具有这些性质,把G(E)在EF附近展开为泰勒级数, 且积分 下限写成 -,不会影响积分值. 3.1.3.4化为:
《固体物理·黄昆》第三章
氢键结合的情况可写成通式:
X-H…Y。 式中 X 、 Y 代表 F 、 O 、 N 等电负 性大而原子半径较小的非金属原 子, X 和 Y 可以是两种相同的元 素,也可以是两种不同的元素。 d F l H F H F
归纳起来,氢键形成的条件是:
A)有与电负性大(X)的原子相结合的氢原子;
B) 有一个电负性也很大,含有孤对电子并带有部分负 电荷的原子(Y); C)X与Y的原子半径都要较小。
氯化钠型 —— NaCl、KCl、AgBr、PbS、MgO (配位数6) 氯化铯型 —— CsCl、 TlBr、 TlI(配位数8)
离子结合成分较大的半导体材料ZnS等(配位数4)
2. 离子晶体结合的性质
1) 系统内能的计算 晶体内能 : 1)所有离子库仑相互作用能(吸引作用)
2) 和重叠排斥能之和(排斥作用)
具体晶体的内聚能(晶格能)参见周期表,有一定的规律性: 惰性气体晶体<碱金属<过渡族金属(共价晶体)
两粒子间的相互作用 相互作用能.
f(r) 和u(r)分别表示相互 作用力和相互作用势 则:
u (r ) f (r ) r
U 排斥 r
f (r )
B rn
u (r )
pij A12= j'
12
12.13188
pij A6= j'
6
14.45392
物理意义:
晶体总的势能:
—— 非极性分子晶体的晶格常数、结合能和体变模量 晶格常数
平衡状态体变模量
晶体的结合能
分子晶体: 常温下是气态的物质如:Cl2,SO2,HCl, H2, O2, He, Ne, Ar, Xe等在低温下依靠范德瓦耳斯力结合成的晶体.
固体物理学第三章
3 1 !(d d 3 U 3)r a 3 ..... .n 1 !.(d d .n U .n)r .a.n
简谐近似—— 振动很微弱,势能展式中只保留到二阶项。
U (r) U (a ) (d)U 1(d 2 U ) 2 da r 2 !d2ra U(r)U(a)1 2(dd2U 2r)a2
此处N=5,代入上式即得:
ei(5a)q 1 5aqn2(n为整数)
由于格波波矢取值范围:
q
a
a
则:5n5
22
故n可取-2,-1,0,1,2这五个值
相应波矢:4,2,0,2,4
5a 5a 5a 5a
由于,2 sinqa
m2
代入,β,m及q值 则得到五个频率依次为(以rad/sec为单位) 8.06×1013,4.99×1013,0,4.99×1013,8.06×1013
f du(d2u) d 2u 为恢复力常数
dr d2r
dr 2
周期边界条件
N 2 a l q l 为 整 N /2 h N 数 /2 且
3.1 一维单原子链的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
设原子链为一维,则:原子间距为a; 第n个原子的平衡位置为rn=na 第n个原子离开平衡位置的位移为xn
格波的应用:
晶体的弹性力常数β约为15N/m,若一个原 子的质量为6×10-27Kg,则晶格振动的最大圆频 率为ωm=1014弧度/秒,最大频率γm约为1013Hz即 10THz。THz波段在微波与红外光之间。
不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征, 可以作为这个材料的 “指纹”,THz谱技术作为 一种有效的无损探测方法,通过晶格振动频谱可 以鉴别和探测材料。
3.1.2 格波频率与波矢关系——色散关系
固体物理 第三章_ 晶体中的缺陷
4
由以上讨论可知: 刃位错: 外加切应力的方向、原子的滑移方向和位错 线的运动方向是相互平行的。 螺位错: 外加切应力的方向与原子的滑移方向平行, 原子的滑移方向与螺位错的运动方向垂直。 在左右两部分受到向上和向下的切应力的作 用时,位错线向前移动,直到位错线移动到 尽头表面,这时左右两部分整个相对滑移b 的距离,晶体产生形变。
固体物理第三章
1. 热缺陷:由热起伏的原因所产生的空位和填隙原 子,又叫热缺陷,它们的产生与温度直接有关
(a) 肖脱基缺陷
(b)弗伦克耳缺陷
(c) 间隙原子
固体物理第三章
( a )肖特基缺陷 (vacancy) :原子脱离正常格点 移动到晶体表面的正常位置,在原子格点位置 留下空位,称为肖特基缺陷。 (b)弗伦克尔缺陷(Frenkel defect),原子脱离格 点后,形成一个间隙原子和一个空位。称为弗 伦克尔缺陷。 (c)间隙原子(interstitial):如果一个原子从正常 表面位置挤进完整晶格中的间隙位置则称为间 隙原子,由于原子已经排列在各个格点上,为 了容纳间隙原子,其周围的原子必定受到相当 大的挤压。
固体物理第三章 固体物理第三章
产生位错的外力: 机械应力:挤压、拉伸、切割、研磨 热应力:温度梯度、热胀冷缩 晶格失配: 晶体内部已经存在位错,只用较小的外力就 可推动这些位错移动,原来的位错成为了位错 源,位错源引起位错的增殖,有位错源的晶体 屈服强度降低。 晶体的屈服强度强烈地依赖于温度的变化。 T升高,原子热运动加剧,晶体的屈服强度下 降,容易产生范性形变。
固体物理第三章
在实际晶体中,由于存在某种缺陷,所以晶 面的滑移过程,可能是晶面的一部分原子 先发生滑移,然后推动同晶面的另一部分 原子滑移。按照这样的循序渐移,最后使 上方的晶面相对于下方的晶面有了滑移。 1934 年, Taylor( 泰勒 ), orowan( 奥罗万 ) 和 Polanyi( 波拉尼)彼此独立提出滑移是借助 于位错在晶体中运动实现的,成功解释了 理论切应力比实验值低得多的矛盾。
固体物理第三章
格波 —— 短波极限情况 ( q →
πa)源自aq ω = 2 β / m sin( ) 2
ωmax = 2 β / m
长波极限下 ( q → 0) ,相邻两个原子之间的位相差
q(n + 1)a − qna = qa ⇒ 0
—— 一个波长内包含许多原子,晶格看作是连续介质 短波极限下 q ⇒
π
a
2π λ= = 2a q
2
17
格波 —— 长波极限情况
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
aq ω=2 sin( ) m 2
当 q→0
β
qa qa sin( ) ≈ 2 2
ω = a β /m q
ω =VElasticq
—— 一维单原子格波的色散关系与连续 介质中弹性波的色散关系一致
18
相邻原子之间的作用力 f = βδ 长波极限情况
o xij = x o − xio j
(3.1.2)
u ij = u j − u i
xn −1
•0
un −1
•0
u
n
xn xn
•0
un +1
xn +1
x
4
a
5
设两原子间的相互作用势能为 ϕ ( xij ) ,且只考虑二 体相互作用,则总的相互作用能为
1 N U = ∑ ϕ ( xij ) 2 i≠ j
4β 2 aq ω = sin ( ) m 2
2
相邻原子位相差 aq ⇒ 2π + aq
π
4a 2a 相邻原子位相差 aq1 = π / 2 2π 5π 两种波矢的格波中,原子 两种波矢的格波中, = 格波2(Green)波矢 q2 = 的振动完全相同, 4a / 5 2a 的振动完全相同,相邻原 相邻原子的位相差 aq2 = 2π + π / 2 子的位相差 − π < aq ≤ π
固体物理各章节知识点详细总结
3.1 一维晶格的振动
3.1.1 一维单原子链的振动
1. 振动方程及其解 (1)模型:一维无限长的单原子链,原子间距(晶格常量)为
a,原子质量为m。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
一维无限长原子链,m,a,
n-2 n-1 n mm
n+1 n+2
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
..
x m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x
Aei2n1aqt
2 n1
x
Bei2naqt
2n
相隔一个晶格常数2a的同种原子,相位差为2aq。
色散关系
2co as q A M 22B0 m 22A 2co as q B0
a h12 h22 h32
由
2π Kh
d h1h2h3
2π
d K 得: h1h2h3
h1h2h3
简立方:a 1 a i,a 2 aj,a 3 a k ,
b12πa2a3 2πi
Ω
a
b22πa3a1 2πj
Ω
a
b32πa1a2 2πk
Ω
a
b1 2π i a
b2 2π j a
2π b3 k
2n-1
2n
2n+1
2n+2
M
m
质量为M的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、···
质量为m的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、···
固体物理-第三章
l 1
原 子
上式说明每个坐标gk的振动,都可以分解成3N个简正振动的线 性迭加,Ql新坐标称为简正坐标,所以,我们可以得出结论:N个
的
原子组成晶体的任何一种微振动,可看成3N个简正振动的迭加。
运
动
★简正坐标与原子位移坐标之间的正交变换,
实际上是按付氏展开式把坐标系由位置坐标转
换到状态空间(正格子——倒格子)。
单
体原子集体运动状态的激发单元,它不能脱离固体而单
原
独存在,它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子;
子
➢声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
晶
➢一种格波即一种振动模式称为一种声子,对于由N个原子
格
组成的一维单原子链,有N个格波,即有N种声子,
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
声子
采用“声子”概念不仅表达简洁、处理问题方便(例晶格与微观粒
3N
动
2 Ak bik Ai 0 k 1, 2,L 3N (9) i 1
方程组(9)又可改写成:
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
i 1
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
3N
bik 2ik Ai 0 k 1, 2,L 3N (10)
3.1 晶体中原子的微振动及其量子化
原子的运动方程
••
gk bik gi 0 k 1, 2,L 3N
(7)
原
gk Ak sin t k 1, 2,L 3N
(8)
子
的 运
(8)式所给出的特解应能够满足方程(7),则将(8)式 代入(7)式,得确定ω与bik之间关系的方程组:
固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点:
(1)用连续介质中的弹性波替代格波,即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); (2)认为晶体中只存在三支弹性波,二支横波和一 支纵波,其色散关系分别为: ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定:
N个原子组成,共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时,实验规律与理论不符; 实验结论:CV(低温)~T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单,但与实验符合程度却相 当好,说明晶体比热的量子理论的成功;但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快,而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献,完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单,需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式,它们的频率值是不完全相同的,而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度) kB
讨论
(1)高温情况(T>>θE): (2)低温情况(T<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论:(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好;
即Debye的T3定律
关于非谐效应
(1)格临爱森状态方程:
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV (2)格临爱森定律: K 0V
表示当温度变化时,热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
固体物理(第3章)解析
1 3N ( 2V
2 i, j1 i j
)0 i j
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
假设存在线性变换 系统的哈密顿量
拉格朗日函数
T
1 2
3N i 1
Qi 2
V
1 2
3N
Q 2 2
ii
i 1
正则动量
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
pi
H Qi
正则动量
pi
L Q i
Qi
Qi i2Qi 0, i 1, 2, 3, 3N —— 3N个独立无关的方程 简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动,振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i 1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i 1
E (Q1,
Q3N )
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
E
3N
i
i 1
3N i 1
(ni
1 2
)
i
3N
系统本征态函数 (Q1, Q2, Q3,Q3N ) ni (Qi )
固体物理第三章 晶格振动与晶体热学性质
固体物理第三章晶格振动与晶体热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶格振动是描述原子在平衡位置附近的振动,由于晶体内原子间存在着相互作用力,各个原子的振动也不是孤立的,而是相互联系的,因此在晶体内形成各种模式的波。
只有当振动微弱时,原子间非谐的相互作用可以忽略,即在简谐近似下,这些模式才是独立的。
由于晶格的周期性条件,模式所取的能量值不是连续的而是分立的。
对于这些独立而又分立的振动模式,可以用一系列独立的简谐振子来描述。
和光子的情形相似,这些谐振子的能量量子称为声子。
这样晶格振动的总体就可以看成声子系综。
若原子间的非谐相互作用可以看作微扰项,则声子间发生能量交换,并且在相互作用过程中,某些频率的声子产生,某些频率的声子湮灭。
当晶格振动破坏了晶格的周期性,使电子在晶格中的运动受到散射而电阻增加,可以看作电子受到声子的碰撞,晶体中的光学性质也与晶格振动有密切关系,在很大程度上可以看作光子与声子的相互作用乃至强烈耦合。
晶格振动最早是用于研究晶体的热学性质,其对晶体的电学性质、光学性质、超导电性、磁性、结构相变等一系列物理问题都有相当重要的作用,是研究固体宏观性质和微观过程的重要基础。
ωη§3-1 简谐近似和简正坐标由原子受力和原子间距之间的关系可以看出,若离开平衡位置的距离在一定限度,原子受力和该距离成正比。
这时该振动可以看成谐振动.用n μϖ表示原子偏离平衡位置(格点)位移矢量,对于三维空间,描述N 个原子的位移矢量需要3N 个分量,表为)3,,2,1(N i i Λ=μ将体系的势函数在平衡位置附近作泰勒展开:高阶项+∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∑∂∂+===j i N j i j i i N i i V V V V μμμμμμ031,2031021)(第一项为平衡位置的势能,可取为零,第二项为平衡位置的力,等于零。
若忽略高阶项,因为势能仅和位移的平方成正比,即为简谐近似。
23121i N i i m T μ&∑==引入合适的正交变换,将动能和势能用所谓的简正坐标表示成仅含平方∑==N j j ij i i Q a m 31μ项而没有交叉项,即:由分析力学,基本形式的拉格朗日方程为:)32,1(,N i q Q T Q T dt d i i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂其中)32,1(,1N i q f q i j N j j i Λϖϖ=∂∂⋅∑==μ朗日方程:)32,1(,0N i Q L Q L dt d i i Λ&==∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂则正则方程为:)3,2,1(,02N i Q Q i i i Λ&&==+ω其解为:)sin(δω+=t A Q i i 当考察某一个j Q 时,则:)sin(δωμ+=t A m a j i iji 晶体参与的振动,且它们的振动频率相同。
固体物理讲义第三章
1 第三章 晶体的结合主要内容:● 大量原子聚合在一起形成晶体的原因● 晶体结合的类型内聚能和原子间的相互作用力内聚能是指在绝对零度下将晶体分解为相距无限远、静止的自由原子所需要的能量 原子间相互作用力:● 吸引力:不同的结合方式有不同的机理● 排斥力:库仑排斥+量子效应● 原子核之间的库仑排斥力● 电子壳层交叠时,由泡利不相容原理而产生的排斥力内聚能的计算设晶体中任意两个粒子的相互作用能可表示为:其中a 、b 、m 、n 均为大于零的常数,由实验确定,r 为两粒子之间的距离。
晶体内聚能视为粒子对间的互作用,设晶体中有N 个粒子,则晶体内聚能:这里,相互作用能视为粒子对间的互作用。
先计算两个粒子之间的互作用势,然后再把考虑晶体结构的因素,总和起来可以得到晶体的总结合能。
只有离子晶体和分子晶体可以这样处理。
此思想称为双粒子模型。
晶体结合的类型⏹ 根据化学键的性质,晶体可以分为离子晶体、原子晶体(共价晶体)、金属晶体、分子晶体。
⏹ 对于大多数晶体,结合力的性质是属于综合性的。
固体结合的性质取决于组成固体的原子结构。
离子晶体和离子键● 离子晶体:由正离子和负离子组成。
● 离子键:正、负离子间的静电相互作用产生● 晶体结构:氯化钠结构、氯化铯结构● 离子-离子相互作用能有两项:① 库仑相互作用能,正比于: ② 相临离子间排斥能,正比于: 离子晶体的内聚能 由N 对离子组成的离子晶体的内聚能:相邻离子间的最短距离 马德隆常数 最邻近离子数 n m r b r a r u +-=)((2)(2)(11∑∑--+-==N j n j m j N j j r b r a N r u N r U r1-nr 1)(N )4()4()(02'102'1n n jj n j j r B r A r Nz r a q N r r q N r U j +-=+±=+±=∑∑λπελπεr )1('∑±=j j a μz r a r j j =1λπεμz B q A ==0242分子晶体:● 基元:分子● 结合力:范德瓦尔斯力● 晶体结构:密积结构,惰性气体:面心立方● 结合能:相距为R 的一对分子间的总的相互作用势能为(称为Lennard-Jones 势)共价晶体和共价键:● 原子靠共价键结合。
固体物理学第三章总结
在声子碰撞的________过程中, 声子的动量发生很 大的变化, 从而破坏了热流的方向。 翻转 固体中声子平均自由程的大小由两种过程决定: 一是______________________________; 另一是____________________________。 声子间的相互碰撞 缺陷对声子的散射
晶格热容量的量子理论 Einstein 模型与 Debye 模型 晶格振动模式密度 Grü neisen 状态方程 热膨胀与非谐效应
晶格热传导 声子的平均自由程
确定晶格振动谱的实验方法 局域振动 高频模、隙模、共振模
非晶固体中的原子振动
模式密度
在一个振动模下
对于确定的 i:第 i 个原子的位移随时间作简谐振动
NaCl 晶体有多少个色散关系?___. 6 在离子晶体中 TO、LO、LA、TA 声子, 哪一种频 率最高?_____. LO
晶格热容的 Einstein 模型假设晶体中所有原子 ____________________振动。 以相同频率 晶格热容的 Debye 模型假设晶格振动的色散关系是 _____. ω= cq
______________________是测定晶格振动谱最重要 的实验方法。 中子非弹性散射
热膨胀是由_________________引起的。 原子间非谐作用 写出晶体热膨胀的格临爱森关系______________。 CV
存在有杂质(或缺陷)的晶体中, 晶格振动可能产 生______________。 局域振动
每个点占据的 q 空间体积
b1 b 2 b3 1 (2 )3 倒格子原胞的体积 N1 N 2 N3 N V
固体物理(第3章)讲解
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱,势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中,原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
固体物理第三章复习重点
1、概念(声子)的描述,理论模型(爱因斯坦和德拜模型)的结果与实验不符合的原因。
2、计算晶体格波波矢和频率的数目。
3、从正格子出发,找到倒格子,画出第一、第二布里渊区。
4、一维单原子链色散关系的推导。
5、已知格波的色散关系,根据模式密度的定义式求格波的模式密度。
重点:晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设?各取得了什么成就?各有什么局限性?为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果?答:在爱因斯坦模型中,假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动,而在德拜模型中,则以连续介质的弹性波来代表格波而求出的表达式。
爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时,比热容Cv 亦趋近于零的结果,这是经典理论所不能得到的结果。
其局限性在于模型给出的是比热容Cv 以指数形式趋近于零,快于实验给出的以3T 趋近于零的结果。
德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下,比热和温度T3成比例,与实验结果相吻合。
其局限性在于模型给出的德拜温度应视为恒定值,适用于全部温度区间,但实际上在不同温度下,德拜温度是不同的。
在极低温度下,并不是所有的格波都能被激发,而只有长声学波被激发,对热容产生影响。
而对于长声学波,晶格可以视为连续介质,长声学波具有弹性波的性质,因而德拜的模型的假设基本符合事实,所以能得出精确结果。
爱因斯坦模型假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动,高温符合实验规律,低温下不符合 德拜模型 高温符合实验规律,低温下符合较好,但是有偏差。
(1)晶体视为连续介质,格波视为弹性波;(2)有一支纵波两支横波;(3)晶格振动频率在D 0ω~之间(D ω为德拜频率)。
爱因斯坦模型与德拜模型(掌握)德拜模型在低温下理论结果与实验数据符合相对较好但是仍存在偏差,其产生偏差的根源是什么?答:(1)忽略了晶体的各向异性;(2)忽略了光学波和高频声学波对热容的贡献,光学波和高频声学波是色散波,它们的关系式比弹性波的要复杂的多。
固体物理学第三章
x 2
m
y
2
2 E k 2 y
m
z
2
2 E 2 kz
2 1 2 cos kz a 2a J1
在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的,
k , 0, 0 a
m 2 0, 2a J 1
分量形式:
dv d 1 E 1 3 dk a dt dt k 1 dt k
E k
x,y,z 原因:在三维情形,沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系, 电子的有效质量比较复杂,表现为一个二级张量。
2 E k x k y 2 E 2 k y 2 E k z k y
2 E k x k z Fx 2 E Fy k y k z Fz 2 E k z2
牛顿定律:
1 a F m
响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时,有效质量
在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这 就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有
很大差别的物理原因。
有效质量m*既可以小于m,也可以大于m,甚至还
可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向,即周期 场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边 界附近发生Bragg反射,而在电子与晶格之间交换动量 这种形式反映出来的。 在能带底:电子的能量取极小值,
在周期场中电子的有效质量m*与k有关 在能带底:
d 2E E(k)取极小值, 0 2 dk
在能带顶:
m*>0;
d 2E 0 E(k)取极大值, 2 dk
m*<0
固体物理--第三章 晶格振动
三、周期性边界条件 周期性边界条件:
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度:
h =整数, N:晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 = q
2 N =晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数=2N=晶体的自由度数
2 1
两个色散关系即有两支格波:(+:光学波; -:声学波)
简约区:
a
q
a
π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ,一定可在简约区中 找到唯一一个q,使之满足:
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下,光波的电场可以激发这 种晶格振动,因此,我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程(一级近 似),电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
的形式在整个晶体中传播,称为格波。
q取不同的值,相邻两原子间的振动位相差不同,则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例:
q1
q2
2
1
2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件(Born-Karman边界条件)
N+1
固体物理第三章1
A
B A
2 2
cos(qa)
m2A
0
质量为m的原子静止,质量为M的原子振动。
本章主要讨论晶格的动力学
晶体中离子实或原子围绕其平衡位置的振动 振动对固体性质的影响。
晶格动力学理论又叫晶格谐振理论,1912年由玻恩和卡门建立, 其基本假设:
假设晶体中每个原子的中心平衡位置在对应的晶格格点上; 这个原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量,可以用谐 振近似,也就是说原子间的弹性势能可以表达成位移的二次项。
周期性边界条件(玻恩-卡门边界条件):
un un N Ae iqna t Ae iq( N n)at
Ae iqna ωt eiqNa
eiqNa 1 qNa 2l q 2 l
Na
上式表明,周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动 状态的波矢q只能取一些分立的值。
(2)
A与B分别表示质量为m与M的原子的振幅。 将试解代入运动方程可得:
(2 m 2 )A 2 cosqaB 0
2
co s qaA
(2
M 2 )B
0
(3)
这是振幅A与B的线性齐次方程,A与B不能同时为零,要求
2 m 2 2 cosqa
因为q的取值范围限制在第一布里渊区,即
q
a
a
π 2π l π L Na a Na a
N l N
2
2
q只能取相隔 2 L 的分立值
在波矢空间中,每一个可能的q所占据的线度为 2
L
波矢代表点的密度即为
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3
Sc ω Vc ω 2 dω , dω 2 2 3 2π v 2π v 一维有一支纵波,二维有一支纵波一支横波, 一维有一支纵波,二维有一支纵波一支横波,三维有 一支纵波两支横波, 一支纵波两支横波,纵波与横波速度相等
Lc 2 dω , 2π v
Sc ω dω , 2 2π v
Vc ω 2 dω 2 3 2π v
E = ∑Ei =
i=1 3N
∑
i =1
3N
hωi
hωi
kBT
e
−1
1 + ∑ hωi i =1 2
3N
2 kBT 3N ∂E e hωi C = = kB ∑ V 2 kBT hωi ∂T i =1 kBT e −1 hω 2 kBT ωm e hω C = ∫ kB ρ(ω)dω V 2 kBT 0 hω kBT e −1
x n = x n+ N
πa 晶格振动波矢的数 目=晶体的原胞数 晶体的原胞数
−π a
o
一维双原子链振动
2n-2 2n-1 M m a
..
2n
2n+1 +
2n+2 +
ω
ωO
M
m
x 2n+1 = β (x
..
x 2n
= β (x 2 n+1 + x 2 n−1 − 2 x 2 n )
2n+ 2
+ x 2n − 2 x 2n+1 )
hq 。
3N种声学声子, (3n-3)N种光学声子。 种声学声子, 种光学声子。 种声学声子 - ) 种光学声子
确定晶格振动谱的实验方法
1.方法: 中子的非弹性散射、光子散射、 射线散射 射线散射。 中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。 2.原理(中子的非弹性散射) 由能量守恒和准动量守恒得: 由能量守恒和准动量守恒得:
ω ∝ β 1/ 2
εS → ∞
ω TO → 0,
ห้องสมุดไป่ตู้
β →0
3.极化声子和电磁声子 因为长光学波是极化波, 因为长光学波是极化波,且只有长光学纵波才伴随着宏观 的极化电场, 极化声子。 的极化电场,所以长光学纵波声子称为极化声子。 长光学横波与电磁场相耦合,它具有电磁性质, 长光学横波与电磁场相耦合,它具有电磁性质,称长光学
1.非简谐效应:
1 ∂2U 2 1 ∂3U 3 2 3 U( R0 +δ ) ≈ U( R0 )+ 2 δ + 3 δ = cδ − gδ 2! ∂R R 3! ∂R R
0 0
2.声子与声子相互作用:
hω1 + hω2 = hω3 K h = 0 正常过程 v K h ≠ 0 反常过程 v v v hq1 + hq2 = hq3 + hKh ∞ δe−u k Tdδ − 3.晶体的热膨胀现象: δ = ∫ ∞ ∞ −u k T ∫−∞e dδ 4.晶体的热传导现象:
hωi
2.频率分布函数
∆n 定义: ρ(ω) = 定义: lim∆ω 0 ∆ω→
计算: 计算:
ρ(ω) = ∑
(2π)3 ∫s α=1
3n
V c
α
∇qω (q) α
s d
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型
德拜模型 为弹性波( 为弹性波(ω = vq );
(1)晶体中原子的振动相互独立; 晶体视为连续介质, (1)晶体中原子的振动相互独立; 晶体视为连续介质,格波视 晶体中原子的振动相互独立 (1) (1)晶体视为连续介质 (2)所有原子具有同一频率ω; 所有原子具有同一频率 (3)设晶体由 个原子组成 (3)设晶体由N个原子组成,共 设晶体由 个原子组成, 有3N个频率为ω的振动。 个频率为 的振动。
..
n-1 m a
n
n+1 +
n+2 +
m x n = − β ( x n − x n −1 ) − β ( x n − x n + 1 )
xn = Ae
色散关系
ω =2 β
m
−i(ωt −naq)
2
ω
β
m
sin
aq 2
波矢q范围 波矢 范围 B--K条件 条件 波矢q取值 波矢 取值
π π − <q≤ a a
B B
3g = 2 kBT 4c
1 κ = C λv V 3
1 3 κ∝ 低温时: κ ∝T 低温时: 高温时: 高温时: T
长 波 近 似
长声学支格波可以看成连续波,晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程 离子晶体的长光学波
v v v & = b W +b E & W 11 12 v v v P = b21W + b22E
21
附加了极化。 二项表示电场 E 附加了极化。
2.LST关系
ω ω
2 T0 2 L0
ε∞ = εs
光频介电常量 光频介电常量
---著名的 著名的LST关系 著名的 关系
静电介电常量
(1) Qω s > ω ∞ ,∴ω Lo > ωTo
(2)铁电软模(光学软模) (2)铁电软模(光学软模) 铁电软模
ρ (ω )dω 1
e
hω k BT
−1
ρ (ω )d ω
∫
ωd
1 e
hω k BT
0
−1
ρ (ω )dω
1 1 (3) hω + hωρ (ω )dω k T 2 −1 e
B
∫
ωD
0
1 1 hω + hωρ (ω )dω kT 2 −1 e
B
2.应用德拜模型计算一维、二维和三维情况下晶格振 应用德拜模型计算一维、 应用德拜模型计算一维 动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、 动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、平均 晶格能、晶格比热及其高低温极限。 晶格能、晶格比热及其高低温极限。 解: 1)模式密度: ( )模式密度: 2 3 L L L 波矢空间波矢密度: 波矢空间波矢密度: , ,
d2u fnk = − 2 xnk = −βnk xnk dr r0
d2u βnk = 2 dr r0
在简谐近似下, 在简谐近似下,格波可以分解成许多简谐平面波的 线性叠加。 线性叠加。
模型 运动方程 试探解
一维无限长原子链, , , 一维无限长原子链,m,a,β n-2 m
确定晶格振动谱的实验方法 能量守恒和准动量守恒 晶体比热
模式密度(频率分布函数)、爱因斯坦模型、 模式密度(频率分布函数)、爱因斯坦模型、德拜模型 )、爱因斯坦模型 非简谐近似、正常过程、反常过程、 晶体的非简谐效应 非简谐近似、正常过程、反常过程、 长波近似 黄昆方程、铁电软模(光学软模)、极化声子、 黄昆方程、铁电软模(光学软模)、极化声子、电磁声子 )、极化声子
P2 ' P2 v − = ±hω( q ) “+”表示吸收一个声子 ” 2Mn 2Mn
v v v v P'−P = ±hq + hKh
三轴中子谱仪。 3.仪器: 三轴中子谱仪。
“-”表示发射一个声子
晶 体 比 热 3 Nk B 高温 1.固体比热的实验规律 C v = 3 ∝ T → 0 低温
ρ (ω ) :
Lc 1 , π v
Sc ω , 2 π v
ωD
3Vc ω 2 2π 2 v 3
dω = 2 N ,
2
ωD
(2)德拜频率 )
ωD
∫
0
Lc 1 dω = N , π v
∫
0
Sc ω
π v
12
2
∫
0
3Vc ω 2 2π
2
v
3
dω = 3 N
ωD :
πNv
Lc
,
4πN S C
D
高温时与实验相吻合,低温 高温时与实验相吻合, 时以比T 更快的速度趋于零。 时以比 3更快的速度趋于零。
高低温时均与实验相吻合, 高低温时均与实验相吻合,且 温度越低,与实验吻合的越好。 温度越低,与实验吻合的越好。
k Bθ E = hω
局限性
hω θE = kB
hω D θD = kB
晶体的非简谐效应
2π 2π 2π
2
q ~ q + dq L L 中的波矢数目: 中的波矢数目: d q , 2π 2π ω ~ ω + dω Lc 2 中的振动模式数目: 中的振动模式数目:2π v dω ,
L 2π qd q , 4π q 2 d q 2π
(2)有一支纵波两支横波; (2)有一支纵波两支横波; 有一支纵波两支横波 (3)晶格振动频率在 (3)晶格振动频率在 0 ~ ω D 之间 为德拜频率) (ωD为德拜频率)。
E=∫
ωD
hω 1 E = 3N hω + hω kBT 2 −1 e
0
hω 1 + hω ρ ( ω )dω hω kBT 2 −1 e
ρ(ω) =
9N
3 ωD
ω2
爱因斯坦模型
德拜模型
θE CV = 3NkBfE T θ 2 e T θE θE
E
f = 2 T T θE T e −1
θD C = 3NkB f V T 3 θ x θD T T e f = 3 ∫ x4dx T θD 0 (ex −1)2