2012年高考全国卷(大纲版)理数试题及答案(word)
2012年高考真题——理科数学(全国卷)Word版
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II )本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,第I 卷第1至2页,第II 卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第I 卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.第I 卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、 选择题1、 复数131i i-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A =,B ={1,m} ,A B =A, 则m=A 0或3 C 1或33 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ,AB=2,CC1=E 为CC1的中点,则直线AC1与平面BED 的距离为D 1(5)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100(6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A) (B ) (C) (D)(7)已知α为第二象限角,sin α+sin β,则cos2α=(A) -3 (B )-9(8)已知F1、F2为双曲线C :x²-y²=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF1|=|2PF2|,则cos ∠F1PF2= (A)14 (B )35 (C)34 (D)45(9)已知x=ln π,y=log52,12z=e ,则(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x(10) 已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE =BF=7。
2012年高考真题——理科数学(全国卷)含答案
x2 y2 (A) 1
16 12
x2 y2 (B) 1
12 8
x2 y2
x2 y2
(C) 1 (D) 1
84
12 4
(4)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 , AB 2 , CC1 2 2 , E 为 CC1 的中点,则直
线 AC1 与平面 BED 的距离为
(A) 2
(B) 3
(C) 2
(D)1
1
(5)已知等差数列 {an } 的前
n
项和为
Sn
,
a5
5
,
S5
15 ,则数列{ } 的前100 an an 1
项和
为
100
(A)
101
99
(B)
101
99
(C)
100
101
(D)
100
(6)ABC 中,AB 边的高为 CD ,若 CB a ,CA b ,a b 0 ,| a | 1,| b | 2 ,则 AD
(Ⅱ)设 f (x) 1 sin x ,求 a 的取值范围。
(21)(本小题满分 12 分)(注意:在.试.卷.上.作.答.无.效.)
已知抛物线 C : y (x 1)2 与圆 M : (x 1)2 ( y 1)2 r2 (r 0) 有一个公共点 A ,且 2
在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距
离。
(22)(本小题满分 12 分)(注意:在.试.卷.上.作.答.无.效.)
2012年全国高考理科数学试题和答案-全国卷word版
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效.........。
3.第I 卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题(1)复数131i i-+=+ (A )2i + (B )2i - (C )12i + (D )12i -(2)已知集合{A =,{1,}B m =,A B A =,则m =(A )0(B )0或3 (C )1(D )1或3(3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为(A )2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )221124x y += (4)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ,2AB =,1CC =E 为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为(A )2 (B(C(D )1(5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11{}n n a a +的前100项和为 (A )100101 (B )99101(C )99100 (D )101100(6)ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =(A )1133a b - (B )2233a b - (C )3355a b - (D )4455a b -(7)已知α为第二象限角,sin cos αα+=cos2α=(A ) (B )- (C (D (8)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=(A )14 (B )35 (C )34 (D )45(9)已知ln x π=,5log 2y =,12z e -=,则(A )x y z << (B )z x y << (C )z y x << (D )y z x <<(10)已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点,则c =(A )2-或2 (B )9-或3 (C )1-或1 (D )3-或1(11)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A )12种 (B )18种 (C )24种 (D )36种(12)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==。
2012年高考全国卷大纲版参考答案
2012年高考全国卷大纲版参考答案一、(12分,每小题3分)1、B2、D3、D4、C二、(9分,每小题3分)5、C6、A7、D三、(9分,每小题3分)8、A 9、D 10、C四、(23分)11、(10分)(1)(5分)我在任时就听说警事,担忧夏人一定会乘机侵犯边境,希望挑选将领设防。
译出大意给2分;“虑”“盗边”“设备”三处,每译对一处给1分。
(2)(5分)郭浩招集逃亡在外的人,开辟耕地,将自己的规划安排发布各地。
译出大意给3分;“招辑”“规置”两处,每译对一处给1分。
12、(8分)(1)(4分)第一、三两联从旁观者的角度描写了秋雨之后落叶的情态,而第二联中“思”与“信”的主体是落叶,使落叶人格化。
第二联插入一、三两联之间,使得全诗富于变化,别具情致。
答出“思”、“信”两字作用的,给2分;答出使全诗富于变化的,给2分。
意思答对即可。
如有其他答案,只要言之成理,可酌情给分。
(2)(4分)以松“立”与叶“落”二者的不同构成鲜明对比,来表达作者对松树不凋的赞叹,强化了对落叶飘零的感慨。
答出构成对比的给2分;能简要分析的给2分。
意思答对即可。
如有其他答案,只要言之成理,可酌情给分。
13、(5分)(1)假舟楫者;而绝江河;善假于物也;风掣红旗冻不翻;去时雪满天山路。
(2)徘徊于斗牛之间;水光接天;纵一苇之所如;八百里分麾下炙;五十弦翻塞外声。
每答对一空给1分,有错别字则该空不得分。
如果两题都答,则按第(1)题评分。
五、(22分)14、(6分)①作者青年时代对鲁迅的散文充满了喜爱之情;②时过境迁,如今知音难觅,令人感慨;③作者经历了各种创伤,感情迟钝,对激情的失去深感无奈。
每答出一点给2分。
意思答对即可。
15、(4分)(1)(2分)①青年作家为革命献身的时代离现在已经很久远了;②他们的革命精神因世事变化似乎已经被当前文坛淡忘了。
每答对一点给1分。
意思答对即可。
(2)(2分)①时间消磨了人的激情,情随事变是正常的;②鲁迅以其真挚的感情和不朽的文笔,使青年作家们青史留名,道义永存。
2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效.........。
3.第I 卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题(1)复数131i i-+=+ (A )2i + (B )2i - (C )12i + (D )12i -(2)已知集合{1A =,{1,}B m =,A B A = ,则m =(A )0(B )0或3 (C )1(D )1或3(3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为(A )2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )221124x y += (4)已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ,2AB =,1CC =E 为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为(A )2 (B(C(D )1(5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11{}n n a a +的前100项和为 (A )100101 (B )99101 (C )99100 (D )101100(6)ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a = ,CA b = ,0a b ⋅= ,||1a = ,||2b = ,则AD =(A )1133a b - (B )2233a b - (C )3355a b - (D )4455a b -(7)已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos 2α= (A) (B) (C(D(8)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= (A )14 (B )35 (C )34 (D )45(9)已知ln x π=,5log 2y =,12z e -=,则(A )x y z << (B )z x y << (C )z y x << (D )y z x <<(10)已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点,则c =(A )2-或2 (B )9-或3 (C )1-或1 (D )3-或1(11)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A )12种 (B )18种 (C )24种 (D )36种(12)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II )一、 选择题(1)、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学(理)强化提高班下学期,第四章《复数》中有详细讲解,其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学(理)强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
(2)、已知集合A ={1.3. m },B ={1,m } ,A B =A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系,及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1,第一章《集合》中有详细讲解,其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学(理)强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
(3) 椭圆的中心在原点,焦距为4, 一条准线为x =﹣4 ,则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上,∵2c =4∴c =2,a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程,根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学(理)强化提高班,第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解,其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年高考数学试卷(全国卷理科大纲版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至2页,第II卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第I卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效.........。
3.第I卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A={1.3. },B={1,m} ,A B=A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中,AB=2,CC1=E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为A 2BCD 1(5)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100(6)△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A) (B ) (C) (D)(7)已知α为第二象限角,sin α+sin βcos2α=(A) -3 (B )-9 (C) 9 (D)3(8)已知F 1、F 2为双曲线C :x ²-y ²=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=|2PF 2|,则cos ∠F 1PF 2= (A)14 (B )35 (C)34 (D)45ww w.xk (9)已知x=ln π,y=log 52,12z=e ,则(A)x <y <z (B )z <x <y (C)z <y <x (D)y <z <x(10) 已知函数y =x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点,则c =(A )-2或2 (B )-9或3 (C )-1或1 (D )-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A )12种(B )18种(C )24种(D )36种(12)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,AE =BF =73。
2012年高考数学试卷(全国卷理科大纲版).doc
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至2页,第II卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第I卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效.........。
3.第I卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A={1.3. ,B={1,m} ,A B=A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中,AB=2,CC1=E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为A 2BCD 1(5)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100(6)△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A)(B)(C)(D)(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβcos2α=(A) (B)(C)(8)已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2=(A)14(B)35(C)34(D)45(9)已知x=lnπ,y=log52,12z=e,则(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x(10) 已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=73。
2012年全国大纲高考数学理科试卷(带详解)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(大纲卷)第Ⅰ卷考生注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.......... 3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.参考公式: 如果事件A B ,互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ,相互独立,那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、 选择题.1.复数13i1i-+=+ ( ) A .2i + B .2i - C .12i + D .12i -【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出两个复数的分式形式,利用复数的四则运算法则运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2-+--++===+++-.2.已知集合{{},1,A B m ==,,A B A = 则m = ( )A .0B .0或3C .1D .1或3 【测量目标】集合的含义和基本运算.【考查方式】给出两个集合,利用集合的并集运算、元素与集合的关系求元素. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】,A B A = B A ∴⊂,{{},1,A B m ==m A ∴∈,故m =3m =,解得0m =或3m =或1m =,又根据集合元素的互异性1m ≠,所以0m =或3m =. 3.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 ( )A .2211612x y += B .221168x y += C .22184x y += D .221124x y += 【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质.【考查方式】给出焦距,准线方程,利用椭圆的简单几何性质求方程. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】因为242,c c =⇔=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上且22448a a c c=⇔==,,所以222844b a c =-=-=.故选答案C. 4.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中,12,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为 ( ) A .2 BCD .1 【测量目标】线面距离.【考查方式】将线面的距离,转化为点到面的距离求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】因为底面的边长为2,高为且连接,AC BD ,得到交点为O ,连接EO ,1EO AC ,则点1C 到平面BED 的距离等于C 到平面BED 的距离,过点C 作CH OE ⊥,则CH 即为所求,在三角形OCE 中,利用等面积法,可得1CH =,故选答案D.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为( )A .100101 B .99101C .99100D .101100 【测量目标】等差数列的通项公式和前n 项和.【考查方式】给出某一项和前5项的和,利用等差数列的通项公式和前n 项和的公式,裂项求和.【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由55,5,15n S a S ==可得:1114515415152n a d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩,()1111111n n a a n n n n +∴==-++,(步骤1) 10011111110011223100101101101S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(步骤2) 6.ABC △中,AB 边上的高为CD ,若0,1,2,CB CA =====a,b,a b a b 则AD =( )A .1133-a b B .2233-a b C .3355-a b D .4455-a b 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】运用向量的加、减法和特殊直角三角形求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由0=a b 可得90ACB ︒∠=,故AB =5CD =,所以5AD =,故()44445555AD AB CB CA ==-=- a b ,故选答案D. 7.已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则c o s 2α= ( )A. B.- CD【测量目标】同角三角函数的基本关系,二倍角公式.【考查方式】运用三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】sin cos αα+=,两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=-,(步骤1)α 是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,cos sin αα∴-===, ()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα∴=-=+-=(步骤2) 8.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点,点P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠= ( )A .14 B .35 C .34 D .45【测量目标】双曲线的定义和简单几何性质,余弦定理.【考查方式】给出双曲线的方程和线段关系,利用双曲线的性质,结合余弦定理求余弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】中等【试题解析】由题意可知,,2a b c =∴=,(步骤1) 设122,PF x PF x ==,则122PF PF x a -===故12124PF PF F F ===,(步骤2)利用余弦定理可得12cos F PF ∠=2222221212124324PF PF F F PF PF +-+-==.(步骤3)9.已知125ln π,log 2,e x y z ===,则 ( )A .x y z <<B .z x y <<C .z y x <<D .y z x <<【测量目标】对数函数的化简及运算.【考查方式】化简所给值,采用中间值大小比较方法. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】ln π>ln e=1,551log 2log 2<=,121e 2z ==>=,故选答案D.10.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点,则c = ( ) A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1 【测量目标】函数图象的判断,利用导数求函数的极值. 【考查方式】已知函数图象,利用导数求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】因为三次函数的图象与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图象,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而()()()233311f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值由()10f =或()10f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±.11.将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同则不同的排列方法共有 ( ) A .12种 B .18种 C .24种 D .36种【测量目标】排列、组合的应用.【考查方式】给出字母,利用分步计数原理计算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=.12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==,动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为A .16B .14C .12D .10 【测量目标】反射原理与三角形相似.【考查方式】通过相似判断反射后的点落的位置,结合图象分析. 【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】结合已知中的点E ,F 的位置,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可.第II 卷二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效.........) 13.若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩………,则3z x y =-的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件,作出可行域,平移目标函数求最值. 【难易程度】容易 【参考答案】1-【试题解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点()3,0时,目标函数最大,当目标函数过点()0,1时最小为1-.14.当函数()sin 02πy x x x =<…取得最大值时,x = . 【测量目标】三角函数的定义域、值域,两角差的正弦. 【考查方式】给出三角函数及定义域求值域. 【难易程度】中等 【参考答案】5π6【试题解析】由πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭,(步骤1)由ππ5π02π333x x <⇔--<剟可知π22sin 23x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭剟,(步骤2)当且仅当π3π32x -=即11π6x =时取得最小值,ππ32x -=时即5π6x =取得最大值. (步骤3)15.若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式,利用二项式的通项公式求系数. 【难易程度】容易 【参考答案】56【试题解析】根据已知条件可知26C C 268n n n =⇔=+=,(步骤1)所以81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为8218C r r r T x -+=,令8225r r -=-⇔=所以所求系数为58C 56=.(步骤2)16.三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ︒∠=∠=,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .【测量目标】异面直线所成的角,向量的数量积运算. 【考查方式】借助向量的数量积运算求异面直线所成的角. 【难易程度】较难【参考答案】6【试题解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-,则()22221111222cos603AB AB AA AB AB AA AA ︒=+=++=+=()22222111112222BC AC AA ABAC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++--=(步骤1)而()()1111AB BC AB AA AC AA AB =++-11111AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =+-++-11111112222=+-++-=111111cos,6AB BCAB BCAB BC∴===(步骤2)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效...........)ABC△的内角A B C、、的对边分别为a b c、、,已知()cos cos1,2A CB a c-+==,求C.【测量目标】正弦定理、两角和与差的余弦,诱导公式.【考查方式】给出关于边角的等式,利用正弦定理、两角和与差的余弦、诱导公式解三角形. 【难易程度】容易【试题解析】由()ππA B C B A C++=⇔=-+,(步骤1)由正弦定理及2a c=可得sin2sinA C=所以()()()()()() cos cos cos cosπcos cosA CB AC A C A C A C-+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin2sin sinA C A C A C A C A C=+-+=(步骤2)故由()cos cos1A C B-+=与sin2sinA C=可得22sin sin14sin1A C C=⇒=(步骤3)而C为三角形的内角且2a c c=>,故π2C<<,所以1sin2C=,故π6C=.(步骤4)18.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........)[如图,四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=,2,PA E=是PC上的一点,2PE EC=.(1)证明:PC⊥平面BED;(2)设二面角A PB C--为90︒,求PD与平面PBC所成角的大小.第18题图【测量目标】线面垂直的判定,线面的夹角,空间直角坐标系,空间向量及其运算.【考查方式】运用空间直角坐标系,结合向量证明线面垂直,求夹角.【难易程度】中等【试题解析】设AC BD O = ,以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴建立空间直角坐标系,则())(),,A CP ,设()()()0,,0,0,,0,,,B a D a E x y z -.(Ⅰ)证明:由2PE EC =得23E ⎫⎪⎪⎝⎭,(步骤1)所以()2PC =-,2,3BE a ⎫=⎪⎪⎝⎭,()0,2,0BD a =,所以()22,033PC BE a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,()()20,2,00PC BD a =-=. 所以,PC BE PC BD ⊥⊥,所以PC ⊥平面BED ;(步骤2)(Ⅱ) 设平面PAB 的法向量为(),,x y z =n ,又())0,0,2,,0AP AB a ==-,由0,=0AP AB = n n得⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ,(步骤3)设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m,又)(),0,BC a CP ==-,由0,0BC CP == m m,得1,⎛= ⎝m ,由于二面角A PB C --为90︒,所以0= m n,解得a =所以)2PD =-,平面PBC的法向量为(1,=-m ,(步骤4)所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为12PD PD =m m , 所以PD 与平面PBC 所成角为π6.(步骤5)第19题图19.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率; (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.【测量目标】独立事件的概率,分布列和期望【考查方式】列出几种可能事件,结合独立事件概率公式求解,进而求期望值. 【难易程度】中等【试题解析】记i A 为事件“第i 次发球,甲胜”, i =1,2,3, 则()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===.(Ⅰ)事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得:()123123123P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.352=即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为0.352. (步骤1)(Ⅱ)由题意0,1,2,3,4ξ=.()()12300.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=;()()12312312310.40.60.40.60.40.40.60.60.60.408P P A A A A A A A A A ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;()20.352P ξ==;()()12330.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=;(步骤2)所以0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯ (步骤3) 20.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 设函数()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈. (1)讨论()f x 的单调性;(2)设()()1sin f x x +…,求a 的取值范围.【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间,利用导数解决不等式问题. 【考查方式】给出函数,利用导数求函数的单调区间,结合三角函数的性质证明不等式成立.【难易程度】较难 【试题解析】()sin f x a x'=-.(Ⅰ)因为[]0,πx ∈,所以0sin 1x剟.(步骤1)当1a …时,()0f x '…,()f x 在[]0,πx ∈上为单调递增函数; 当0a …时,()0f x '…,()f x 在[]0,πx ∈上为单调递减函数; 当01a <<时,由()0f x '=得arcsin x a =或πarcsin x a =-, 由()0f x '>得0arcsin x a <剎或πarcsin πa x -<…; 由()0f x '<得arcsin πarcsin a x a <<-.所以当01a <<时()f x 在[]0,arcsin a 和[]πarcsin ,πa -上为为单调递增函数; 在[]arcsin ,πarcsin a a -上为单调递减函数. (步骤2) (Ⅱ)因为()1sin cos 1sin 1sin cos f x x ax xx ax x x +⇔++⇔+-剟?当0x =时,01sin 0cos00+-=…恒成立; 当0πx <…时,min1sin cos 1sin cos 1sin cos x xx x ax x x axx +-+-⎡⎤+-⇔⇔⎢⎥⎣⎦剟, (步骤2)令()()1sin cos 0πx xg x x x+-=<…,则()()()()22cos sin 1sin cos 1cos 1sin 1x x x x x x x x x g x x x +--+++--'==.(步骤3)又令()()()1cos 1sin 1c x x x x x =++--,则()()()()cos 1sin sin 1cos sin cos c x x x x x x x x x x '=-+++-=-+.(步骤4) 则当3π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin cos 0x x +>,故()0c x '<,()c x 单调递减; 当3π,π4x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,sin cos 0x x +<,故()0c x '…,()c x 单调递增, 所以()c x 在()0,πx ∈时有最小值3π14c ⎛⎫=⎪⎝⎭,(步骤5)而()()()0lim 10cos 001sin 010,x c x +→=++--=()()()πlim π1π10,x c x c -→==-+-< 综上可知[]0,πx ∈时,()()00c x g x '<⇒<,故()g x 在区间[]0,π单调递减,(步骤6)所以()()min2ππg x g ==⎡⎤⎣⎦故所求a 的取值范围为2πa ….(步骤7)另解:由()1sin f x x +…恒成立可得()2π1π11πf a a ⇔-⇔剟?(步骤1) 令()2sin 0π2g x x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭剟,则()2cos πg x x '=-当20,arcsinπx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,当2πarcsin ,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0g x '< 又()π002g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以()0g x …,即2πsin 0π2x x x ⎛⎫⎪⎝⎭剟?故当2πa …时,有()2cos πf x x x +…(步骤2) ①当π02x⎛⎫⎪⎝⎭剟时,2sin ,cos 1πx x x 剟,所以()1sin f x x +…②当ππ2x ⎛⎫⎪⎝⎭剟时,()22ππcos 1sin 1sin ππ22f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭剟综上可知故所求a 的取值范围为2πa ….(步骤3) 21.(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效........) 已知抛物线()2:1C y x =+与圆()()2221:102M x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭ 有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .(1)求r ;(2)设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,,m n 的交点为D ,求D 到l 的距离. 【测量目标】圆锥曲线的综合应用,导数的几何意义,点到直线的距离公式.【考查方式】给出抛物线和圆的方程及两个曲线的关系,运用导数,直线的方程及点到直线的距离公式求解. 【难易程度】较难【试题解析】(1)设()()200,1A x x +,对()21y x =+求导得22y x '=+,故直线l 的斜率:()021k x =+,当01x =时,不合题意,所心01x ≠,(步骤1)圆心为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭,MA 的斜率()2001121x k x +-'=-,由l MA ⊥知1kk '=-,即()()20001122111x x x +-+⨯=--,解得00x =,故()0,1A ,所以r MA ===.(步骤2)(2)设2(,(1))a a +为C 上一点,则在该点处的切线方程为:()()()2121y a a x a -+=+-, 即()2211y a x a =+-+.(步骤2)若该直线与圆M相切,则圆心M=22(46)0a aa --=, 求解可得0120,22a a a ===(步骤3) 抛物线C 在点()()()2,10,1,2i i a a i +=处的切线分别为,,l m n ,其方程分别为:21y x =+① ()211211y a x a =+-+② ()222211y a x a =+-+③②-③得1222a a x +==,将2x =代入②得1y =-,故()2,1D -(步骤4)所以D 到直线l 的距离为5d ==(步骤5) 22.(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效........) 函数()223f x x x =--.定义数列{}n x 如下:112,n x x +=是过两点()()()4,5,,n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. (1)证明:123n n x x +<<…;(2)求数列{}n x 的通项公式.【测量目标】不等式的证明,数列的通项公式, 函数解析式,数学归纳法的应用.【考查方式】给出函数及点,综合直线方程,函数与数列等知识求通项公式,利用数学归纳法证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】(1)为()244835f =--=,故点()4,5P 在函数()f x 的图象上,故由所给出的两点()()()4,5,,n n n P Q x f x ,可知,直线n PQ 斜率一定存在. (步骤1) 故有直线n PQ 的直线方程为()()5544n n f x y x x --=--,令0y =,可求得()228435544422n n n n n n x x x x x x x x x --+--=-⇔=-⇔=-++,所以1432n n n x x x ++=+; (步骤2)下面用数学归纳法证明23n x <…,当1n =时,12x =,满足123x <…, (步骤3) 假设n k =时,23k x <…成立,则当1n k =+时,1435422k k k k x x x x ++==-++, 由23425k k x x <⇔+<剟551151243,2442k k x x ⇔<⇔<-<++剟 即23k x <…也成立;(步骤4)综上可知23k x <…对任意正整数恒成立. (步骤5) 下面证明1n n x x +<,由()2211443432222n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +--+++---=-==+++由()2231120143n n n x x x <⇒-<⇒<--+剟?,故有10n n x x +->即1n n x x +<综上可知123n n x x +<<…恒成立. (步骤6)(2)由1432n n n x x x ++=+得到该数列的一个特征方程432x x x +=+即2230x x --=,解得3x =或1x =-,∴14333322n nn n n x x x x x ++--=-=++ ①(步骤7) ()143551122n nn n n x x x x x +++--=+=++ ② 两式相除可得11331151n n n n x x x x ++--=⨯++,而1132311213x x --==-++故数列31n n x x ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以13-为首项以15为公比的等比数列.所以1311135n n n x x --⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,故()()()11195143351351n n n n x ---⨯-==-⨯+⨯+.(步骤8)。
2012年高考理科数学大纲卷(含答案解析)
数学试卷 第1页(共16页)数学试卷 第2页(共16页)绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲卷)理科数学(必修+选修Ⅱ)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.......... 3.第Ⅰ卷共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.一、选择题1.复数-13i1i=++( )A .2i +B .2i -C .2i 1+D .2i 1- 2.已知集合{1,3,}A m =,{1,}B m =,A B A =,则m =( )A .0或3B .0或3C .1或3D .1或33.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 ( )A .2211612x y +=B .221128x y +=C .22184x y +=D .221124x y += 4.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,2AB =,122CC =,E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A .2B .3C .2D .15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为( ) A .100101B .99101C .99100D .1011006.ABC △中,AB 边的高为CD ,若CB =a ,CA =b ,0=a b ,1=|a |,2=|b |,则AD =( )A .1133-a bB .2233-a bC .3355-a b D .4455-a b7.已知α为第二象限角,3sin cos 3αα+=,则cos2α=( ) A .53-B .59-C .59D .538.已知F 1、F 2为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,122PF PF =,则 12cos F PF ∠=( ) A .14B .35C .34D .459.已知ln πx =,5log 2y =,12e z -=,则( )A .x y z <<B .z x y <<C .z y x <<D .y z x << 10.已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =( ) A .-2或2B .-9或3C .-1或1D .-3或111.将字母a ,a ,b ,b ,c ,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名 ______ 准考证号 ___同,则不同的排列方法共有( ) A .12种B .18种C .24种D .36种12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==.动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A .16B .14C .12D .102012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲卷)理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答,在试..题.卷上作答无效....... 3.第Ⅱ卷共10小题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. (注意:在试..题.卷上作答无效......) 13.若x 、y 满足约束条件1030330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥,≤,≥,则3z x y =-的最小值为 .14.当函数sin 3cos (02π)y x x x =-<≤取得最大值时,x = .15.若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数 为 .16.三菱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,o 1160BAA CAA ∠=∠=,则异面直 线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效.........) ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,已知()cos cos 1,2A C B a c -+==, 求C .18.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥ 底面ABCD ,22AC =,2PA =,E 是PC 上的一点,2PE EC =.(Ⅰ)证明:PC ⊥平面BED ;(Ⅱ)设二面角A PB C --为90,求PD 与平面 PBC 所成角的大小.19.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望. 20.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 设函数()cos f x ax x =+,[0,π]x ∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()1sin f x x +≤,求a 的取值范围.21.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........)数学试卷 第5页(共16页)数学试卷 第6页(共16页)已知抛物线2:(1)C y x =+与圆()2221:1()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .(Ⅰ)求r ; (Ⅱ)设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,m n 、的交点为D ,求D 到l 的距离.22.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 函数2()23f x x x =--,定义数列{}n x 如下:12x =,1n x +是过两点P (4,5)、(,())n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. (Ⅰ)证明:123n n x x +<<≤; (Ⅱ)求数列{}n x 的通项公式.2012年普通高等学校招生全国统一考试(大纲卷)理科数学(必修+选修Ⅱ)答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】C【解析】13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2-+-+-+===+++- 故选答案C .【提示】把13i1i-++的分子分母都乘以分母的共轭复数,得(13i)(1i)(1i)(1i)-+-+-,由此利用复数的代数形式的乘除运算,能求出结果 【考点】复数 2.【答案】B 【解析】AB A =,B A ⊆,{1,3,}A m =,{1,}B m =,m A ∈,故m m =或3m =,解得0m =,或3m =,或1m =,又根据集合元素的互异性1m ≠,所以0m =或3m =. 故选答案B .【提示】由题设条件中本题可先由条件AB A =得出B A ⊆,由此判断出参数m 可能的取值,再进行验证即可得出答案选出正确选项 【考点】集合 3.【答案】C【解析】因为242c c =⇔=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上且22448a a c c=⇔==,所以222844b a c =-=-=. 故选答案C .【提示】确定椭圆的焦点在x 轴上,根据焦距为4,一条准线为4x =-,求出几何量,即可求得椭圆的方程【考点】椭圆的标准方程和简单几何性质. 4.【答案】D【解析】因为底面的边长为2,高为22,且连接AC ,BD ,得到交点为O ,连接EO ,1EOAC ,则点1C 到平面BED 的距离等于C 到平面BED 的距离,过点C 作CH OE ⊥,则CH 即为所求,在三角形OCE 中,利用等面积法,可得1CH = 故选答案D .【提示】先利用线面平行的判定定理证明直线1C A BDE ∥平面,再将线面距离转化为点面距离,最后利用等体积法求点面距离即可 【考点】线面距离. 5.【答案】A【解析】由n S ,55a =,515S =可得:1114515415152na d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩,()1111111n n a a n n n n +==-++10011111110011223100101101101S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求1a ,d ,进而可求n a , 代入可得()1111111n n a a n n n n +==-++,裂项可求和 【考点】等差数列6.【答案】D【解析】由0a b =可得90ACB ︒∠=,故5AB =,用等面积法求得255CD =,所以455AD =,故()44445555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D .【提示】由题意可得,CA CB ⊥,CD AB ⊥,由射影定理可得,2AC AD AB =可求AD ,进而可求ADAB,从而可求AD 与AB 的关系,进而可求 【考点】向量 7.【答案】A【解析】3sin cos 3αα+=,两边平方可得121sin2sin233αα+=⇒=-,(步骤1)α是第二象限角,因此s i nα>,cos 0α<,2215cos sin (cos sin )133αααα-=--=-+=-,225cos2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-.(步骤2) 【提示】由α为第二象限角,可知sin 0α>,cos 0α<,从而可求得15cos sin 3αα-=-,利用cos2(cos sin )(cos sin )ααααα∴=+-可求得cos2α 【考点】三角函数 8.【答案】C【解析】由题意可知,2a b ==,2c =,(步骤1)设12PF x =,2PF x =,则12222PF PF x a -===,故142PF =,222PF =,124F F =,(步骤2)利用余弦定理可得22222212121122(42)(22)43||24222242P P F PF F F PF F F PF P =+-+-==⨯⨯.(步骤3)【提示】根据双曲线的定义,结合122||PF PF =,利用余弦定理,即可求12cos F PF ∠的值【考点】双曲线 9.【答案】D【解析】ln π>lne=1,551log 2log 52<=,12111e 2e 4z ==>=,故选答案D . 【提示】利用ln π>lne=1,510log 22<<,1211e 2z ->=>,即可得到答案【考点】对数函数 10.【答案】A【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值由()0f x =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±.【提示】求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数33y x x c -=+的图像与x 轴恰有两个公共点,可得极大值等于0或极小值等于0,由此可求c 的值【考点】函数图像的判断,利用导数求函数的极值. 11.【答案】A【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=.【提示】由题意,可按分步原理计数,对列的情况进行讨论比更简洁 【考点】排列,组合的应用. 12.【答案】B【解析】结合已知中的点E ,F 的位置,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可.【提示】通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图象分析反射的次数即可数学试卷 第9页(共16页)数学试卷 第10页(共16页)【考点】反射原理,三角形相似.第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1-【解析】利用不等式组,做出可行域,可知区域表示的为三角形,当目标函数过点(3,0)时,目标函数最大,当目标函数过点(0,1)时最小为1-.【提示】做出不等式组表示的平面区域,由3z x y =-可得3y x z =-,则z -表示直线30x y z --=在y 轴上的截距,截距越大z 越小,结合图形可求【考点】二元线性规划求目标函数的最值. 14.【答案】5π6【解析】由πsin 3cos 2sin 3y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,(步骤1)由ππ5π02π333x x ≤<⇔-≤-<可知π22sin 23x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,(步骤2)当且仅当π3π32x -=即11π6x =时取得最小值,ππ32x -=时即5π6x =取得最大值 【提示】利用辅助角公式将sin 3cos y x x =-化为π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,(02π)x ≤<,即可求得sin 3cos y x x =-,(02π)x ≤<取得最大值时x 的值 【考点】三角函数的定义域,值域,两角差的正弦 15.【答案】56【解析】根据已知条件可知26C C 268nnn =⇔=+=,(步骤1)所以81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为8218C r rr T x -+=,令8225r r -=-⇔=所以所求系数为58C 56=.(步骤2)【提示】根据第2项与第7项的系数相等建立等式,求出n 的值,根据通项可求满足条件的系数【考点】二项式定理. 16.【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有11AB AB AA =+,11BC AC AA AB =+-,则22221111()222cos603AB AB AA AB AB AA AA ︒=+=++=+=2222211111()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++--=而1111()()AB BC AB AA AC AA AB =++-11111AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =+-++-11111112222=+-++-= 11111116cos ,623AB BC AB BC AB BC ∴===⨯【提示】先选一组基底,再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示,最后利用夹角公式求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值即可【考点】异面直线所成的角,向量的数量积运算. 三、解答题 17.【答案】π6C =【解析】由ππ()A B C B A C ++=⇔=-+,(步骤1) 由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C =所以cos()cos cos()cos[π()]cos()cos()A C B A C A C A C A C -+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=(步骤2)故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C = 可得22sin sin 14sin 1A C C =⇒=(步骤3) 而C 为三角形的内角且2a c c =>,故π02C <<,所以1sin 2C =,故π6C =.(步骤4)【提示】由cos()cos cos()cos()1A C B A C A C -+=--+=,可得2sin sin 1A C =,由2a c =及正弦定理可得sin 2sin A C =,联立可求C【考点】正弦定理,两角和与差的余弦,诱导公式.18.【答案】(Ⅰ)证明见解析 (Ⅱ)π6【解析】设ACBD O =,以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0)A -,(2,0,0)C ,(2,0,2)P -,设(0,,0)B a -,(0,,0)D a ,(,,)E x y z .(Ⅰ)证明:由2PE EC =得22,0,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,(步骤1) 所以()22,0,2PC =-,22,,33BE a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,(0,2,0)BD a =,所以22(22,0,2),,033PC BE a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a =-=.所以PC BE ⊥,PC BD ⊥,所以PC ⊥平面BED ;(步骤2)(Ⅱ)设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =,又(0,0,2)AP =,(2,,0)AB a =-,由0n AP =,=0n AB 得21,,0n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,(步骤3) 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =,又(2,,0)B C a =,(22,0,2)CP =-,由0m B C =0m C P =,得21,,2m a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 由于二面角A PB C --为90︒,所以0m n =,解得2a =.所以(2,2,2)PD =-,平面PBC 的法向量为(1,1,2)m =-,(步骤4)所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为12PD mPD m =,所以PD 与平面PBC 所成角为π6.(步骤5)【提示】(Ⅰ)先由已知建立空间直角坐标系,设(2,,0)D b ,从而写出相关点和相关向量的坐标,利用向量垂直的充要条件,证明PC BE ⊥,PC DE ⊥,从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可;(Ⅱ)先求平面PAB 的法向量,再求平面PBC 的法向量,利用两平面垂直的性质,即可求得b 的值,最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值,进而求得线面角 【考点】线面垂直的判定,线面的夹角,空间直角坐标系,空间向量. 19.【答案】(Ⅰ)0.352(Ⅱ)0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯【解析】记i A 为事件“第i 次发球,甲胜”,1,2,3i =,则()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===. (Ⅰ)事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得:123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.352=即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为0.352(步骤1) (Ⅱ)由题意0,1,2,3,4ξ=.()()12300.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=;123123123(1)()0.40.60.40.60.40.40.60.60.60.408P P A A A A A A A A A ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(2)0.352P ξ==;123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=;(步骤2)所以0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯(步骤3)【提示】(Ⅰ)记i A 表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i 分,0i =,1,2;A 表示事件:第3次发球,甲得1分;B 表示事件:开始第4次发球,甲、乙的比分为1比2,则01B A A A A =+,根据()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===,即可求得结论;(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,可取0,1,2,3,计算相应的概率,即可求得ξ的期望。
2012年高考数学(理)真题(Word版)——新课标卷(试题+答案解析)
(2)求二面角A1-BD-C1的大小.
图1-5
20.·设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4 ,求p的值及圆F的方程;
(2)若ABF三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
11.A[解析]设三角形ABC的中心为M,球心为O,则OM⊥平面ABC,且OM= = .所以此棱锥的高h=2OM= .所以此棱锥的体积V= × ×1× × = .故选A.
12.B[解析]因为y= ex和y=ln(2x)互为反函数,关于直线y=x对称,所以当曲线y= ex和y=ln(2x)的切线的斜率都为1时,两条切线间的距离即为|PQ|的最小值.令y′= ex=1,得x=ln2.所以y= ex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1),所以切点(ln2,1)到直线y=x的距离为d= = .所以|PQ|min=2d=2 = (1-ln2).故选B.
a4n=a4n-1+2(4n-1)-1,
a4n+1=-a4n+2×4n-1,
a4n+2=a4n+1+2(4n+1)-1,
a4n+3=-a4n+2+2(4n+2)-1,
a4n+4=a4n+3+2(4n+3)-1,
所以a4n+4=a4n+3+2(4n+3)-1=-a4n+2+2(4n+2)-1+2(4n+3)-1
即bn+1=bn+16.故数列{bn}是等差数列.
又a2-a1=2×1-1,①
a3+a2=2×2-1,②
a4-a3=2×3-1,③
②-①得a3+a1=2;②+③得a2+a4=8,
2012年高考全国卷1理科数学试题及答案(word精校版)
2012 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标Ⅰ理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },则B 中所含元素的个数为( )A .3B .6C .8D .102.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A .12种 B .10种 C .9种 D .8种 3.下面是关于复数21iz =-+的四个命题: p 1:|z |=2, p 2:z 2=2i , p 3:z 的共轭复数为1+i , p 4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( )A .p 2,p 3B .p 1,p 2C .p 2,p 4D .p 3,p 44.设F 1,F 2是椭圆E :22221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32ax =上一点,△F2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为( ) A .12 B .23 C .34 D .455.已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( )A .7B .5C .-5D .-76.如果执行右边的程序框图,输入正整数N (N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ,输出A ,B ,则( )A .A +B 为a 1,a 2,…,a N 的和 B .2A B+为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数 C .A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 D .A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A .6B .9C .12D .188.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ,B两点,||AB =C 的实轴长为( )AB. C .4 D .8 9.已知ω>0,函数f (x )=sin(ωx +π4)在(π2,π)单调递减,则ω的取值范围是( ) A .1524⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B .1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C .(0,12] D .(0,2]10.已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则y =f (x )的图像大致为( )11.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上, △ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC =2,则此棱锥的体积为( )A.6 B.6 C.3 D.212.设点P 在曲线1e 2xy =上,点Q 在曲线y =ln(2x )上,则|PQ |的最小值为( ) A .1-ln2 B(1-ln2) C .1+ln2 D(1+ln2) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知向量a ,b 夹角为45°,且a =1,2a b -=b =__________.14.设x ,y 满足约束条件1300,x y x y x y ≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩--,+,,,则z =x -2y 的取值范围为__________.15.某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________. 16.数列{a n }满足a n +1+(-1)n a n =2n -1,则{a n }的前60项和为__________.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a cos C a sin C -b -c =0. (1)求A ;(2)若a =2,△ABC b ,c .18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n ∈N)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100①若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差; ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.19.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =12AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD .(1)证明:DC 1⊥BC ;(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小.20.(本小题满分12分)设抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,准线为l ,A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(1)若∠BFD =90°,△ABD的面积为p 的值及圆F 的方程;(2)若A ,B ,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m ,n 距离的比值.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )满足f (x )=(1)f 'e x -1-f (0)x +12x 2. (1)求f (x )的解析式及单调区间; (2)若f (x )≥12x 2+ax +b ,求(a +1) b 的最大值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一个题计分. 22.(本题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,D ,E 分别为△ABC 边AB ,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆于F ,G 两点.若CF ∥AB ,证明:(1)CD =BC ; (2)△BCD ∽△GBD .23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ⎧⎨⎩=,=,(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上任意一点,求|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围.24.(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f (x )=|x +a |+|x -2|.(1)当a =-3时,求不等式f (x )≥3的解集;(2)若f (x )≤|x -4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.2012年全国课标Ⅰ理科数学参考答案13.14.[-3,3] 15.816. 1 830 17.解:(1)由a cos C +a sin C -b -c =0及正弦定理得sin A cos C sin A sin C -sin B -sin C =0.因为B =π-A -C , A sin C -cos A sin C -sin C =0. 由于sin C ≠0,所以π1sin()62A -=. 又0<A <π,故π3A =. (2)△ABC 的面积1sin 2S bc A ==bc =4.而a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,故b 2+c 2=8. 解得b =c =2.18.解:(1)当日需求量n ≥16时,利润y =80. 当日需求量n <16时,利润y =10n -80.所以y 关于n 的函数解析式为1080<16()8016n n y n n ⎧∈⎨≥⎩N -,,=.,,(2)①X 可能的取值为60,70,80,并且P (X =60)=0.1,P (X =70)=0.2,P (X =80)=0.7.X 的分布列为X 的数学期望为EX =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X 的方差为DX =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. ②答案一: 花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为Y 的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4. Y 的方差为DY =(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DX <DY ,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EX <EY ,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花. 答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么Y 的分布列为Y 55 65 75 85 P0.10.20.160.54Y 的数学期望为EY =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX <EY ,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.19.解:(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC =DC 1.又112AC AA =,可得DC 12+DC 2=CC 12,所以DC 1⊥DC . 而DC 1⊥BD ,DC ∩BD =D ,所以DC 1⊥平面BCD .BC平面BCD ,故DC 1⊥BC .(2)由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1,则BC ⊥平面ACC 1, 所以CA ,CB ,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,CA 方向为x 轴的正方向,CA 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz . 由题意知A 1(1,0,2),B (0,1,0),D (1,0,1),C 1(0,0,2).则1(0,01)A D =,-,(11,1)BD =,-,1(1,0,1)DC =-.设n =(x ,y ,z )是平面A 1B 1BD 的法向量,则10,0,BD A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即00x y z z ⎧⎨⎩-+=,=, 可取n =(1,1,0).同理,设m 是平面C 1BD 的法向量,10,0.BD DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m =(1,2,1). 3cos ,⋅=n m n m n m . 故二面角A 1-BD -C 1的大小为30°20.解:(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD |=2p ,圆F 的半径||2FA =.由抛物线定义可知A 到l 的距离=||2d FA =. 因为△ABD 的面积为42所以1||422BD d ⋅=,即122422p ⋅= 解得p =-2(舍去),p =2. 所以F (0,1),圆F 的方程为x 2+(y -1)2=8.(2)因为A ,B ,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB =90°.由抛物线定义知|AD |=|FA |=12|AB |, 所以∠ABD =30°,m 的斜率为3或3-.当m 的斜率为3时,由已知可设n :y =3x +b ,代入x 2=2py ,得x 2-3px -2pb =0. 由于n 与C 只有一个公共点,故∆=43p 2+8pb =0, 解得6pb =-. 因为m 的截距12p b =,1||3||b b =,所以坐标原点到m ,n 距离的比值为3.当m 的斜率为3-时,由图形对称性可知,坐标原点到m ,n 距离的比值为3. 21.解:(1)由已知得f ′(x )=f ′(1)e x -1-f (0)+x . 所以f ′(1)=f ′(1)-f (0)+1,即f (0)=1. 又f (0)=f ′(1)e -1,所以f ′(1)=e. 从而f (x )=e x -x +12x 2. 由于f ′(x )=e x -1+x , 故当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0. 从而,f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)由已知条件得e x -(a +1)x ≥b .①(ⅰ)若a +1<0,则对任意常数b ,当x <0,且11bx a -<+时,可得e x -(a +1)x <b ,因此①式不成立. (ⅱ)若a +1=0,则(a +1)b =0.(ⅲ)若a +1>0,设g (x )=e x -(a +1)x ,则g ′(x )=e x -(a +1).当x ∈(-∞,ln(a +1))时,g ′(x )<0;当x ∈(ln(a +1),+∞)时,g ′(x )>0. 从而g (x )在(-∞,ln(a +1))上单调递减,在(ln(a +1),+∞)上单调递增. 故g (x )有最小值g (ln(a +1))=a +1-(a +1)ln(a +1).所以f (x )≥12x 2+ax +b 等价于 b ≤a +1-(a +1)ln(a +1).② 因此(a +1)b ≤(a +1)2-(a +1)2ln(a +1). 设h (a )=(a +1)2-(a +1)2ln(a +1),则h ′(a )=(a +1)(1-2ln(a +1)).所以h (a )在(-1,12e 1-)上单调递增,在(12e 1-,+∞)上单调递减, 故h (a )在12=e 1a -处取得最大值.从而e ()2h a ≤,即(a +1)b ≤e 2. 当12=e 1a -,12e 2b =时,②式成立,故f (x )≥12x 2+ax +b . 综合得,(a +1)b 的最大值为e 2. 22.证明:(1)因为D ,E 分别为AB ,AC 的中点,所以DE ∥BC . 又已知CF ∥AB ,故四边形BCFD 是平行四边形,所以CF =BD =AD . 而CF ∥AD ,连结AF ,所以ADCF 是平行四边形,故CD =AF . 因为CF ∥AB ,所以BC =AF ,故CD =BC .(2)因为FG ∥BC ,故GB =CF . 由(1)可知BD =CF ,所以GB =BD . 而∠DGB =∠EFC =∠DBC ,故△BCD ∽△GBD .23.解:(1)由已知可得A (π2cos3,π2sin 3),B (ππ2cos()32+,ππ2sin()32+), C (2cos(π3+π),2sin(π3+π)),D (π3π2cos()32+,π3π2sin()32+),即A (1,3),B (3-,1),C (-1,3-),D (3,-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S =|PA |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2,则S =16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52].24.解:(1)当a =-3时,25,2,()1,23,25, 3.x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩当x ≤2时,由f (x )≥3,得-2x +5≥3,解得x ≤1;当2<x <3时,f (x )≥3无解;当x ≥3时,由f (x )≥3,得2x -5≥3,解得x ≥4; 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}. (2)f (x )≤|x -4||x -4|-|x -2|≥|x +a |.当x ∈[1,2]时,|x -4|-|x -2|≥|x +a |4-x -(2-x )≥|x +a |-2-a ≤x ≤2-a .由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].。
2012年高考真题——理科数学(全国卷)Word版
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至2页,第II卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第I卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效.........。
3.第I卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A={1.3. m},B={1,m} ,A B=A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为A 2B 3C 2D 1(5)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100(6)△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A)(B)(C)(D)(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ=33,则cos2α=(A)5-3(B)5-9(C)59(D)53(8)已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos ∠F1PF2=(A)14(B)35(C)34(D)45(9)已知x=lnπ,y=log52,12z=e,则(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x(10) 已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=73。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II )一、 选择题(1)、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i+-+- 【考点】复数的计算 【难度】容易 【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i -+-+-+===+++-.【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学(理)强化提高班下学期,第四章《复数》中有详细讲解,其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学(理)强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
(2)、已知集合A ={1.3.},B ={1,m } ,A B =A , 则m =A. 0或B. 0或 3C. 1或D. 1或3 【考点】集合【点评】本题考查椭圆的基本方程,根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学(理)强化提高班,第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解,其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
在高考精品班数学(文)强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。
(4)已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中,AB=2,=E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的CC距离为C. D. 1A. 2B.【考点】立体几何【难度】容易【答案】CAC,BD, 得【解析】因为底面的边长为2,高为到了交点为O,连接EO,EO∥AC,则点1C到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离,过C作CH⊥OE,则:CH.即为所求在三角形OCE中,利用等面积法,可得CH(5)已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ,555,15a S==,则数列11}n n a a +{的前100项和为 A.100101B. 99101C.99100D.101100【考点】数列 【难度】中等 【答案】A【解析】因为已知等差数列{ na }中,5a =5,515()5152a a S +⨯==∴1a =1 ∴d=111111=(1)(1)n n n a n a a n n n n +==-++∴∴100111111100=(1-)(-)...()1223100101101101S +++-=-=∴.【点评】本题考查数列的前n 项和求解方法。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)(附详细答案)
19.( 12 分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续 发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负 方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各 次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.
.
15.( 5 分)若
的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展
开式中 的系数为
.
16.( 5 分)三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠
CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为
.
BAA1=∠
三 .解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.
每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(
)
A.12 种
B.18 种
C.24 种
D.36 种
12.(5 分)正方形 ABCD的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC上,
,
动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射
角等于入射角,当点
(
)
P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为
2012 年全国统一高考数学试卷(理科) (大纲版)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的. )
1.( 5 分)已知集合 A={ 1,3, } ,B={ 1,m} ,A∪B=A,则 m 的值为(
2012年高考理科数学(全国卷)含答案详细解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题(1)复数131i i-+=+ (A )2i + (B )2i - (C )12i + (D )12i -(2)已知集合{1,3,}A m =,{1,}B m =,A B A =,则m =(A )0或3 (B )0或3 (C )1或3 (D )1或3(3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为(A )2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )221124x y += (4)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ,2AB =,122CC =,E 为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为(A )2 (B )3 (C )2 (D )1(5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11{}n n a a +的前100项和为(A )100101 (B )99101(C )99100 (D )101100(6)ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若C B a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =(A )1133a b - (B )2233a b - (C )3355a b - (D )4455a b - (7)已知α为第二象限角,3sin cos 3αα+=,则cos2α=(A )53- (B )59- (C )59 (D )53(8)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=(A )14 (B )35 (C )34 (D )45(9)已知ln x π=,5log 2y =,12z e -=,则(A )x y z << (B )z x y << (C )z y x << (D )y z x <<(10)已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点,则c =(A )2-或2 (B )9-或3 (C )1-或1 (D )3-或1(11)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A )12种 (B )18种 (C )24种 (D )36种(12)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==。
2012高考全国卷理科数学(附答案)
2012高考全国卷理科数学(附答案)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试..题卷上作答无效.......。
3.第I 卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题(1)复数131i i-+=+ (A )2i + (B )2i - (C )12i + (D )12i -(2)已知集合{1A =,{1,}B m =,A B A = ,则m =(A )0(B )0或3 (C )1(D )1或3(3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为(A )2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )221124x y += (4)已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ,2AB =,1CC =E 为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为(A )2 (B(C(D )1(5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11{}n n a a +的前100项和为(A )100101 (B )99101(C )99100 (D )101100(6)ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若C B a = ,CA b = ,0a b ⋅= ,||1a = ,||2b = ,则AD =(A )1133a b - (B )2233a b - (C )3355a b - (D )4455a b -(7)已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos 2α=(A )3- (B )9- (C )9 (D )3(8)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=(A )14 (B )35 (C )34 (D )45(9)已知ln x π=,5log 2y =,12z e -=,则(A )x y z << (B )z x y << (C )z y x << (D )y z x <<(10)已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点,则c =(A )2-或2 (B )9-或3 (C )1-或1 (D )3-或1(11)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A )12种 (B )18种 (C )24种 (D )36种(12)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==。
2012年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合;,则中所含元素的个数为( )3 8【解】选(2)将2名教师,名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )种 种 9种 8种【解】选(3)下面是关于复数的四个命题:其中的真命题为( )的共轭复数为 的虚部为【解】选C(4)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为( )【解】选C(5)已知为等比数列,,,则( )7 5 【解】选(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数和实数,输出,则( )为的和2A B+为的算术平均数和分别是中最大的数和最小的数和分别是中最小的数和最大的数【解】选C(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()【解】选(8)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线的准线交于两点,;则C的实轴长为()【解】选C(9)已知,函数在上单调递减。
则的取值范围是()15 [,] 2413 [,] 24【解】选(10)已知函数;则的图像大致为()【解】选(11)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为1的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为()【解】选(12)设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为()【解】选第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至2页,第II卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第I卷
注意事项:
全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效
.........。
3.第I卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题
1、复数
13
1
i
i
-+
+
=
A 2+I
B 2-I
C 1+2i
D 1- 2i
2、已知集合A={1.3. m},B={1,m} ,A B=A, 则m=
A 0或3
B 0或3
C 1或3
D 1或3
3 椭圆的中心在原点,焦距为
4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为
A
2
16
x
+
2
12
y
=1 B
2
12
x
+
2
8
y
=1
C
2
8
x
+
2
4
y
=1 D
2
12
x
+
2
4
y
=1
4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中,AB=2,CC1=22E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为
A 2
B 3
C 2
D 1
(5)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为
(A)100
101
(B)
99
101
(C)
99
100
(D)
101
100
(6)△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则
(A)(B)(C)(D)
(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ=
3
3
,则cos2α=
(A)
5
-
3
(B)
5
-
9
(C)
5
9
(D)
5
3
(8)已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2=
(A)1
4
(B)
3
5
(C)
3
4
(D)
4
5
(9)已知x=lnπ,y=log52,
1
2
z=e,则
(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x
(10) 已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=
(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1
(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有
(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种
(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF
=7
3。
动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时
反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为
(A)16(B)14(C)12(D)10
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然后贴好条形码。
请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。
2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效
........。
3.第Ⅱ卷共10小题,共90分。
二。
填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。
(注意:在试题卷上作答无效
.........)
(13)若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。
(14)当函数取得最大值时,x=___________。
(15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式
中的系数为_________。
(16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1=CAA1=50°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。
三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效
...........)
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c。
(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=22,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;
(Ⅱ)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小。
19. (本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换。
每次发球,胜方得1分,负方得0分。
设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中,甲先发球。
(Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;
(Ⅱ)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望。
(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效
.........)
设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]。
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围。
21.(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效
........)
已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(
1
2
y-)2=r2(r>0)有一个公共点,
且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(Ⅰ)求r;
(Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离。
22(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效
........)
函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{x n}如下:x1=2,x n+1是过两点P(4,5)、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标。
(Ⅰ)证明:2≤x n<x n+1<3;
(Ⅱ)求数列{x n}的通项公式。