2018年高考数学二轮复习数学文化专项练含答案

数学文化专项练数学文化专项练(一)1．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺D ．48丈6尺B [由题意得：2 000×1.62＝S ⎝⎛⎭⎪⎫10＋3＋103×110，解得S ＝2 000×1.62403＝243，因为S ＝πr 2，所以r ＝9，所以C ＝2πr ＝2×3×9＝54(尺)，54尺＝5丈4尺，故选B.]2．(2017·合肥一模)祖暅原理：幂势既同，则积不容异，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等，设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由“幂势既同，则积不容异”的含义可知在等高处的截面积恒相等，则体积相等可知“若体积不相等，在等高处的截面积不恒相等”，故p ⇒q ，反之“在等高处的截面积不恒相等未必几何体的体积不相等”，故q ⇒/p.]3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( ) A ．24里 B ．12里 C ．6里D ．3里C [记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比q ＝12的等比数列，S 6＝378，S 6＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，∴a 1＝192，a 6＝192×125＝6，选C.]4．(2017·黑龙江哈师大附中三模)如图1程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入a ，b 分别为18,27，则输出的a ＝( )图1A ．0B ．9C ．18D ．54B [因为a ＝18，b ＝27，a ＜b ，故第一次循环：b ＝b －a ＝9，a ＝18. 第二次循环：a ＝a －b ＝9，b ＝9.满足程序，结束条件，输出a ＝9，故选B.]5．(2017·河南安阳一模)三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简，得勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )图2A ．866B ．500C ．300D ．134D [由题意可设勾股形中勾股分别为x ，3x ，则黄色图形(正方形)的边长为(3－1)x ，以勾股形之弦为边的正方形的边长为2x ，由几何概型得，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为1 000 3－1 24≈134.]6．(2017·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈．问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如图3所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为( )图3A ．5 000立方尺B ．5 500立方尺C ．6 000立方尺D ．6 500立方尺A [该楔体的直观图如图所示，取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，FH.则该几何体的体积为四棱锥F­GBCH 与三棱柱ADE­GHF 的体积之和，而三棱柱ADE­GHF 可通过割补法得到一个高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺，故选A.]7．(2017·湖南湘潭三模)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m(m＞0)为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ＝b(mod m)．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ＝b(mod 10)，则b 的值可以是( ) A ．2 011 B ．2 012 C ．2 013D ．2 014A [因为a ＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 0101010－C 110109＋…－C 91010＋1，所以a 被10除得的余数为1，而2 011被10除得的余数是1，故选A.]8．(2017·广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测)计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100.如图4是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是( )图4A ．i ＞4B ．i≤4C ．i ＞5D ．i≤5B [在将二进制数11111化为十进制数的程序中，循环次数由循环变量i 决定，因为11111共有5位，因此要循环4次才能完成整个转换过程，所以进入循环的条件应设为i≤4，故选B.] 9．(2017·江西八所重点中学4月联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 1＋a 3＋…＋a 29＋a 31a 2＋a 4＋…＋a 28＋a 30的值为( )A.165 B ．1615 C.1629 D ．1631B [由题意女子每天织布数成等差数列，且a 1＝5，S 31＝390，由a 1＋a 31＝a 2＋a 30，且a 1＋a 3＋…＋a 31＝16 a 1＋a 31 2，a 2＋a 4＋…＋a 30＝15 a 2＋a 302.所以a 1＋a 3＋…＋a 31a 2＋a 4＋…＋a 30＝16 a 1＋a 31 15 a 2＋a 30 ＝1615.故选B.]10．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n(mod m)，例如10＝4(mod 6)．如图5程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )图5A ．17B ．16C ．15D ．13A [由程序框图可知，该程序求解的是“当n ＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数”，由于当n ＞10时，被3除余2，被5除也余2的最小正整数n ＝17，故输出n ＝17.故选A.]11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.332[作出单位圆的内接正六边形， 如图，则OA ＝OB ＝AB ＝1. S 6＝6S △OAB ＝6×12×1×32＝332.]12．(2017·郑州第二次质量预测)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是，则5 288用算筹可表示为________．[根据题意知，5 288用算筹表示，从左到右依次是横式的5，纵式的2，横式的8，纵式的8，即.]13．(2017·吉林二调)艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{x n }：满足x n ＋1＝x n －f x n f′ x n ，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)有两个零点1,2，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n ＞2，则{a n }的通项公式为a n ＝________.2n[∵函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)有两个零点1,2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2ab ＝－3a .∴f(x)＝ax 2－3ax ＋2a. 则f′(x)＝2ax －3a.则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3， ∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x n －2x n －12， 则ln x n －2x n －1是以2为公比的等比数列，∵a n ＝ln x n －2x n －1，且a 1＝2，∴数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a n ＝2·2n －1＝2n.]14．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d∈N *)，则b ＋d a ＋c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.141 59…，若令3110＜π＜4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为________．227 [由题意：第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165；第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜165；第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜6320；第四次用“调日法”后得227是π的更为精确的过剩近似值，即4715＜π＜227.]数学文化专项练(二)1．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数是254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A ．134石 B ．169石 C ．338石D ．1 365石B [抽样比是28254，那么1 534石米夹谷1 534×28254≈169(石)，故选B.]2．(2017·福建4月教学质量检测)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日．”其大意为：“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝．第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天．”在这个问题中，第5天应发大米( ) A ．894升 B ．1 170升 C ．1 275升D ．1 467升B [由题意，知每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总人数为5×64＋5×42×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升， 故选B.]3．《算数书》竹简于20世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V≈136l 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3.那么，近似公式V≈275l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227 B ．258 C.15750 D ．355113B [设圆锥的底面圆半径为r ，则圆锥的底面圆周长L ＝2πr ，所以圆锥底面圆的半径r ＝L2π，则圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·L 24π2h ＝112πL 2h.又V≈275L 2h ，所以112πL 2h≈275L 2h ，解得π≈258.] 4．(2017·福建三明5月质检)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．如图1，正方形ABCD 是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为( )图1A.83r 3B ．83πr 3 C.163r 3 D ．163πr 3 C [由题意，根据祖暅原理，求得该几何体的体积与中截面面积为(2r)2＝πR 2的球的体积相等，所以几何体的体积为43πR 3＝43×4r 2×r＝163r 3.]5．(2017·四川泸州四诊)《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图2的算法来实现，若输入的S ，T 的值分别为40,126，则输出a ，b 的值分别为( )图2A ．17,23B ．21,21C ．19,23D ．20,20A [依据流程图运行程序：S ＝40，T ＝126，此时T≥2S 成立，(T －2S)÷2＝46÷2＝23，余数为0，则b ＝T －2S 2＝23，a ＝S －b ＝40－23＝17，输出a ，b 结束程序运行．综上可得输出a ，b 的值分别为17,23.]6．(2017·广州一模)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC 为鳖臑，PA⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P­ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A ．8π B ．12π C ．20πD ．24πC [法一：(还原几何法)将三棱锥P­ABC 放入长方体中，如图，三棱锥P­ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，所以BC ＝42－22＝2 3.设外接球的半径为R ，依题意可得(2R)2＝22＋22＋(23)2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π，选C. 法二：(直接法)利用鳖臑的特点求解，如图，因为四个面都是直角三角形，所以PC 的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC 的中点为球心O ，易得2R ＝PC＝20，所以球O 的表面积为4πR 2＝20π，选C.]7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图3所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)，已知弦AB ＝1尺，弓形高CD ＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(注：1丈＝10尺，1尺＝10寸，π≈3.14，sin 22.5°≈513)( )图3A ．600立方寸B ．610立方寸C ．620立方寸D ．633立方寸D [连接OA ，OB ，OD ，设⊙O 的半径为R ，则(R －1)2＋52＝R 2，∴R＝13.sin∠AOD ＝AD AO ＝513. ∴∠AOD≈22.5°，即∠AOB≈45°.故∠AOB≈π4.∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S △OAB ＝12×π4×169－12×10×12≈6.33(平方寸)，则V ＝633(立方寸)，故选D.]8．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图4①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图4②、图4③、图4④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )图4A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④D [设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h)2；③中截面圆的半径为R －h 2，则截面圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫R －h 22；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.]9．(2017·湖北七市联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图5所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,4，则输出的v 的值为( )图5A ．6B ．25C ．100D ．400C [输入n ＝3，x ＝4，第一步：v ＝1，i ＝3－1＝2；第二步：v ＝1×4＋2＝6，i ＝2－1＝1；第三步：v ＝6×4＋1＝25，i ＝1－1＝0；第四步：v ＝25×4＝100，i ＝0－1＝－1＜0.程序结束，输出的v ＝100，故选C.]10．假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：图6①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1＜c 2a 2； ④c 1a 2＞a 1c 2.其中正确的式子的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④D [①由题图知2a 1＞2a 2,2c 1＞2c 2；即a 1＞a 2，c 1＞c 2，∴a 1＋c 1＞a 2＋c 2，∴①不正确． ②∵a 1－c 1＝|PF|，a 2－c 2＝|PF|，∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确． ③∵c 1a 2＞a 1c 2，a 1＞0，a 2＞0， ∴c 1a 2a 1a 2＞a 1c 2a 1a 2.即c 1a 1＞c 2a 2，∴③不正确． ④∵a 1＞a 2＞0，c 1＞c 2＞0.∴a 21＞a 22，c 21＞c 22，又∵a 1－c 1＝a 2－c 2.即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1.∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，∵a 1＞c 1，a 1＞a 2，c 1＞c 2， ∴2a 1c 2＜2a 2c 1.即c 1a 2＞a 1c 2，∴④正确．故选D.]11．(2017·湖北黄冈3月模拟)关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验和查理斯试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对(x ，y)，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y)的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值，假如统计结果是m ＝56，那么可以估计π≈________.(用分数表示)7825[由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＜0x ＋y ＞10＜x ，y ＜1，所以m 200＝14π·12－12×121×1，56200＝14π－12，π＝7825.]12．(2017·江西4月新课程教学质量检测)我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图7)，最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是________．图7405 [前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，S 9＝9×9＋9×82×9＝405.]13．(2017·衡水三模)公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”，此即V ＝kD 3，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V ＝kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式V ＝kD 3求体积(在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长)．假设运用次体积公式求得球(直径为a)、等边圆柱(底面积的直径为a)、正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1∶k 2∶k 3＝________. π6∶π4∶1 [由题意得，球的体积为V 1＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝π6a 3⇒k 1＝π6；等边圆柱的体积为V 2＝πR 2a ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a ＝π4a 3⇒k 2＝π4；正方体的体积V 3＝a 3⇒k 3＝1，所以k 1∶k 2∶k 3＝π6∶π4∶1.]14．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图8(1)所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)，如图8(1).17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图8(2)．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C rn ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，其中n 是行数，r∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________.1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1……C 0n C 1n …C rn … C n －1n C nn图8(1) 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16…1Cn ＋1Cn1Cn ＋1Cn…1Cn ＋1Cn…1C n ＋1Cn1Cn ＋1Cn图8(2)1Cn n ＋1Cr n＝1C 1n ＋2Cr n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1 [类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C 1n ＋1，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C r n ＋C r ＋1n ＝C r ＋1n ＋1，有1C n n ＋1C r n ＝1C 1n ＋2C r n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1.]。