2_连续时间系统的时域分析5-6

−
1 t RC
ε (t )
1 1 i (t ) = δ (t ) − 2 e R RC
−
1 t RC
ε (t )
信号与系统
第二章连续时间系统时域分析
§2.6 阶跃响应和冲激响应 ii/待定系数法（冲激平衡法） ii/待定系数法（冲激平衡法） 待定系数法 的大小关系直接写出h(t)的形式， h(t)的形式 (1) 据n、m的大小关系直接写出h(t)的形式，其 中的系数d 则待定。然后求h(t)的各阶导数。 h(t)的各阶导数 中的系数di与ki则待定。然后求h(t)的各阶导数。 (2) 将h(t)及其各阶导数代入微分方程，并化简 h(t)及其各阶导数代入微分方程 及其各阶导数代入微分方程， 归纳。 归纳。 依据方程左右奇异函数的系数相同的原则， (3) 依据方程左右奇异函数的系数相同的原则， 确定h(t)中的各待定系数。 确定h(t)中的各待定系数。 h(t)中的各待定系数
δ (t) ε (t)
零状态
h(t) rs (t)
信号与系统
第二章连续时间系统时域分析
§2.6 阶跃响应和冲激响应
因此，根据前面所述线性时不变系 统的响应与激励的关系，可知：
若：e(t ) → r (t ) e(t ) − e(t − ∆t ) r (t ) − r (t − ∆t ) lim 则： → lim ∆t →0 ∆t →0 ∆t ∆t de(t ) dr (t ) 即： → dt dt
§2.6 阶跃响应和冲激响应
例：rε (t ) = e 则：h(t ) = ?
−t
t>0
rε (t ) = e ε ( t )
−t −t
则：h(t ) = −e ε ( t ) + e δ ( t )
−t −t
= −e ε ( t ) + δ ( t )
−t
t=0处的冲激分量
信号与系统
§2.6 阶跃响应和冲激响应
（2）求解
特征根： 特征根： λ1, 2 = −2
2
解的形式为： 解的形式为： h(t ) = (k1t + k 2 )e −2t ε (t ) 解为： 解为： h(t ) = te −2t ε (t )
信号与系统
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§2.6 阶跃响应和冲激响应
iii/零输入响应法 iii/零输入响应法 (t)的作用转化为 的作用转化为t=0 将δ(t)的作用转化为t=0+时的初始 状态，求该初始状态下的作用下的零输 状态， 入响应，即可得h(t)。 入响应，即可得h(t)。 h(t)
i =1 n
λi t
可见解的形式及其中系数的确定完全可 以从转移算子分解角度确定。 以从转移算子分解角度确定。
信号与系统
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§2.6 阶跃响应和冲激响应 3、例题 [例一]RC串联电路初 始状态为零，受激 于单位冲激电压源， 如图所示，求响应 电流及响应电压。
信号与系统
第二章连续时间系统时域分析
解： （1+ [建模2(k1t + ） )]e − 2tδ (t ) + k 2δ ′(t ) k1 − （代入） ）建模（代入 k 2
试求此系统的冲激响应。1 h′′(t ) = − 2k1 − 2(k
[
− 2k 2 − 2k1t )]e ε (t )
dt
− 2t
dt 2
d d h(t ) + 4 h(t ) + 4h(t ) = δ (t ) 2 dt dt
冲激响应： 冲激响应：
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§2.6 阶跃响应和冲激响应
n > m时，h(t ) = ∑ ki e ε (t )
i =1 n n
λi t
n = m时，h(t ) = ∑ ki e ε (t ) + bmδ (t )
i =1
λi t
n < m时， h(t ) = d m − nδ ( m − n ) (t ) + d mδ ( m − n ) (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + d1δ ′(t ) + ∑ ki e ε (t )(其中d j、k j均为分解系数 )
λi t
i =1 n
λ1 t
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§2.6 阶跃响应和冲激响应
冲激响应： h(t ) = ∑ ki e ε (t )
i= i =1 n
λi t
ki → 部分分式的系数
λi t
零输入响应： h(t ) = ∑ Ci e ε (t )
i =1 n
Ci → 由初始条件确定
信号与系统
试求此系统的冲激响应。
d2 d r (t ) + 4 r (t ) + 4r (t ) 2 dt dt d2 d = 2 2 e(t ) + 9 e(t ) + 11e(t ) dt dt
信号与系统
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§2.6 阶跃响应和冲激响应
2 p 2 + 9 P + 11 解： h(t ) = 2 δ (t ) p + 4p + 4 P+3 δ (t ) = 2 + 2 p + 4p + 4 P+3 δ (t ) = 2δ (t ) + 2 p + 4p + 4
§2.6 阶跃响应和冲激响应
解： （1）建模
1 t Ri (t ) + ∫ i (τ )dτ = δ (t ) C −∞
d 1 1 d i (t ) + i (t ) = δ (t ) dt RC R dt
（2）求解
1 特征根： 特征根： λ = − RC
解的形式为： 解的形式为： i (t ) = Aδ (t ) + k1e 分解法解得：
§2.6 阶跃响应和冲激响应 [例2]设系统的微分方程为 试求此系统的冲激响应。
d2 d r (t ) + 4 r (t ) + 4r (t ) = e(t ) dt 2 dt
解：
解的形式为： 解的形式为： h(t ) = (k1t + k 2 )e −2t ε (t )
零输入法解得： h(0+ ) = k2 = 0 ′(0+ ) = k1 − 2k2 = 1 h
+
确定。此时， 确定。此时，单位冲激 响应引起的 t = 0 时 的n个初始条件是： 个初始条件是： h ( 0 ) = 1 ( n−2) + ( n − 3) + + h (0 ) = h (0 ) = ⋅ ⋅ ⋅ = h (0 ) = 0
( n −1) +
信号与系统
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n =0 ∞
信号与系统
§2.5 信号的脉冲分解
第二章连续时间系统时域分析
• 有始周期锯齿形脉冲 信号可以表示为： 信号可以表示为：
A f (t ) = t[ε (t ) − ε (t − T )] T A + (t − T )[ε (t − T ) − ε (t − 2T )] T A + (t − 2T )[ε (t − 2T ) − ε (t − 3T )]⋅ ⋅ ⋅ T ∞ A = tε (t ) − A∑ε (t − nT ) T n =0
n
f (t ) = f (0)ε (t ) + ∫ f ′(τ )ε (t − τ )dτ
0
t
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§2.5 信号的脉冲分解
第二章连续时间系统时域分析
3、任意函数表示为冲激函数的积分
f (t ) = ∫ f (τ )δ (t − τ )dτ
0
t
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第二章连续时间系统时域分析
§2.6 阶跃响应和冲激响应 任务定义 给定一零状态系统，把代表电压源或电流源 的阶跃函数或冲激函数作为激励源加于此系统 的输入处，然后要解得系统输出处表示电压或 电流的响应函数。
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• 冲激响应的求解（默认初始条件为： − 状态），单位冲激函 冲激响应的求解（默认初始条件为： 状态）， ），单位冲激函 0 为激励函数， 为响应函数， 数 δ (t ) 为激励函数，冲激响应 h(t ) 为响应函数，系统微分方程 为： n n −1
( p + an −1 p
设n > m
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§2.6 阶跃响应和冲激响应 分式项求解： 分式项求解：
k1 h1 (t ) = δ (t ) p − λ1 即： d h1 (t ) − λ1h1 (t ) = k1δ (t ) dt 解得： h1 (t ) = k1e ε (t )
h(t ) = ∑ ki e ε (t )
信号与系统
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§2.6 阶跃响应和冲激响应
对于下式表示的线性系 统， ( p + an −1 p
n n n −1
+ ⋅ ⋅ ⋅ + a1 p + a0 )r (t ) = e(t )
n −1
其冲激响应可由 ( p + an −1 p + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 p + a0 )h(t ) = δ (t )
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2
待定系数法解得： 待定系数法解得： §2.6 阶跃响应和冲激响应
2 h′(t ) = (k1 − 2k 2 − 2kd1t )et )−+ t4εd(t )t )+ 4r2δ = t (t ) [例2]设系统的微分方程为 r( r ( + k (t ) ( e)