人教版九上数学：《二次函数-商品利润最大问题》教案设计

第2课时商品利润最大问题

1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．

3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．

一、情境导入

红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？

二、合作探究

探究点一：最大利润问题

【类型一】利用解析式确定获利最大的条件

为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．

解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的

建议．

解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)

【类型二】利用图象解析式确定最大利润

某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，

这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．

(1)求y 2的解析式；

(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎨⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，

解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.

∴y 2

的解析式为y 2

＝18x 2

－x ＋63

8(1≤x ≤12)．

(2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎨

⎧4k ＋b ＝11，

8k ＋b ＝10，

解得⎩⎨⎧k ＝－14，b ＝12.

∴y 1

的解析式为y 1

＝－14

x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所

获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋33

8

，

∴w＝－1

8

(x－3)2＋

21

4

(1≤x≤12)，∴当x＝3时，w取最大值

21

4

，∴第3月销售

这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是21

4

元/千克．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.

基础导练

1.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )

5 m 12

m A

B

C D

A.424 m

B.6 m

C.15 m

D.25 m

2.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( )

A.1

B.3

C.4

D.6

3.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( ) A.y=25x+15 B.y=2.5x+1.5 C.y=2.5x+15 D.y=25x+1.5

能力提升

4.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足关系：m =140－2x .

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

5.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.

(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

x

参考答案

1.D

2.B

3.C

4．解：(1)y=－2x2+180x－2800.

(2)y=－2x2+180x－2800

=－2(x2－90x)－2800

=－2(x－45)2+1250.

当x=45时，y

=1250.

最大

∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.