矩形的定义和性质1
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
1. 矩形定义
矩形是一种具有四条相等长度的边且四个角都为直角的四边形。
2. 矩形的性质
- 矩形的对角线相等。
- 矩形的两条对边平行且相等。
- 矩形的四个角都为直角。
- 矩形的相邻两边互相垂直。
3. 特殊矩形
除了常见的矩形外，还有一些特殊类型的矩形，包括正方形、
长方形和黄金矩形。
3.1 正方形
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等，且每个角都
为直角。
正方形具有以下性质：
- 任意一条边的长度可以表示为正方形的对角线长度的平方根
乘以√2。
- 正方形的对角线长度等于边长乘以√2。
3.2 长方形
长方形是一种具有不相等的长和宽的矩形，它的两对边分别平行且长度相等。
长方形具有以下性质：
- 长方形的对角线长度可以通过长和宽的值应用勾股定理来计算。
3.3 黄金矩形
黄金矩形是一种特殊的矩形，它的长和宽比例接近黄金分割比例。
黄金矩形具有以下性质：
- 黄金矩形的长和宽的比例可以接近黄金分割比例1:1.618。
- 黄金矩形的长和宽比例可以通过对角线长度的比例来计算。
4. 应用
矩形及其特殊类型的知识在几何学、工程学和建筑学中具有广泛的应用。
矩形可以用于设计建筑物的平面布局、计算房间面积、绘制电路图等。
以上是关于矩形及特殊矩形知识点的经典完整版介绍。
*注：以上内容为简要介绍，未涉及具体应用举例。
如需详细了解，请参考专业教材或专业指导。
*。
矩形定义的概念
矩形定义的概念矩形是一个平面图形，由四条边组成，其特点是相对边对称、两组对边相互平行。
矩形是平行四边形的特例，也是最常见的四边形之一。
下面将详细介绍矩形的定义及其性质。
首先，根据矩形的定义，其四边是直线段，且四个内角都是直角。
这意味着矩形的对角线相等且相互平分，因此可以用对角线的长度来计算矩形的面积和周长。
矩形的定义还包括两组对边相互平行。
这意味着矩形的两条对边长度相等且平行，两条相邻边也分别相等。
因此，矩形的任意一条边可以作为宽度，另一条边作为长度。
矩形的面积可以通过宽度乘以长度来计算，公式为：面积= 宽度×长度。
由于矩形的两条对边相等，所以宽度和长度可以互换位置得到相同的面积。
例如，一个矩形的宽度为3个单位，长度为5个单位，那么它的面积就是3 ×5 = 15个单位的平方。
矩形的周长可以通过将宽度和长度相加乘以2来计算，公式为：周长= 2 ×(宽度+ 长度)。
由于矩形的两条对边相等，所以宽度和长度可以互换位置得到相同的周长。
例如，一个矩形的宽度为3个单位，长度为5个单位，那么它的周长就是2 ×(3 + 5) = 16个单位。
除了面积和周长，矩形还有其他一些重要的性质。
首先，四个内角都是直角，即为90度。
这个特点使得矩形在建筑设计中广泛应用，因为直角可以使得建筑物更加稳定和结实。
其次，矩形的两条对边相等且平行。
这意味着矩形在对称性方面具有特殊性质。
对任意一条边进行平移、旋转或反射操作，都可以得到一个完全相同的矩形。
这个性质在几何学的证明和构造中经常使用。
此外，矩形还有一些与对角线相关的性质。
矩形的对角线相等且相互平分，意味着对角线的交点是矩形的中心。
同时，通过连接矩形的对角线，可以得到一个长方形。
长方形是特殊的矩形，其对角线相等且相互平分，但它的相邻边可以不相等。
矩形还有一些特殊情况，比如正方形。
正方形是一种具有特殊性质的矩形，它的四条边长度相等、四个内角都是直角。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定矩形的性质和判定定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。
性质：1.矩形的四个角都是直角。
2.矩形的对角线相互平分且相等。
3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。
4.矩形的面积为长乘宽。
判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.有三个角是直角的四边形是矩形。
3.对角线相等的平行四边形是矩形。
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形与平行四边形的区别与联系：相同点：1.两组对边分别平行。
2.两组对边分别相等。
3.两组对角分别相等。
4.对角线相互平分。
区别：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相互平分且相等。
例题精讲：考点1：矩形的性质例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证：△ABE≌△CDF。
例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。
考点2：矩形的判定例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。
例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。
变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。
可以证明四边形ADCE是矩形。
变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。
(1) 可以证明△ABE≌△FCE。
(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。
课堂训练】1、矩形具有对边相等和对角线互相平分的性质。
2、正确的个数是6个。
3、不一定正确的是B、AC=BDC。
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定 校区：平湖 年级：九 层次：A/B 编写人：李永佳 审核人：翟威 日期：星期日【知识要点】1.矩形的定义：有一个角 的平行四边形叫做矩形．2.矩形的性质：矩形的四个角都 ；矩形的对角线 .3.矩形的判定定理： 1.有一个角 的 叫做矩形。
2.对角线 的平行四边形是矩形。
3.有三个角是 的四边形是矩形。
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .5.矩形的面积等于底乘以高.6.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.【例题精讲】例1：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ． 对角线相等D ．对角线互相平分例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．12cm例3：如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C 的坐标是 ．例4：已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=4，BC=8，求△ABF 的面积；A CB D【巩固练习】一、选择题。
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DCC．∠ADB=90°D．CE⊥DE3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．205．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.57．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（）A．1 B．C．D．8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．59．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
什么是矩形_矩形的性质
什么是矩形_矩形的性质矩形是一种平面图形，包括长方形与正方形，那么你对矩形了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是矩形的内容，希望大家喜欢!什么是矩形矩形(rectangle)是一种平面图形，包括长方形与正方形。
是特殊的平行四边形，因为平行四边形具有不稳定性，所以当改变一个内角大小，而不改变各边长并仍保证为平行四边形矩形至直角时，便有了矩形。
所以矩形的四个角都是直角，同时矩形的两组对边分别相等，对角相等，邻角互补，对角线相等且互相平分，故两条对角线可以将一个矩形分为四个面积相等的等腰三角形，而且在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
还有我们知道，在任意四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为平行四边形{可用中位线定理证明}。
而在一个对角线互相垂直的四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为矩形。
判定矩形一般有3种基本方法：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形{定义判定法}2.有三个角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形{即对角线相等且互相平分的四边形}是矩形矩形的判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.三个内角都是直角的四边形是矩形。
说明：矩形和正方形都是平行四边形。
平行四边形的定义在矩形上仍然适用。
矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形判定应用例1：已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4.求这个平行四边形的面积。
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形(如图个4-37)，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为例2：已知：如图4-38在ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形.分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可实现。
专题15 矩形的性质与判定(解析版)
专题15 矩形的性质与判定【考点归纳】（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB 上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【答案】A【解析】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.4【答案】C．【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．3．（2020•竹溪县模拟）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形【答案】B【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．4．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.4【答案】D．【解析】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D．【解析】解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（2020春•江夏区期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5B．2C．2.4D．2.5【答案】C．【解析】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．二、填空题7．（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．【答案】3【解析】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．9．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【答案】【解析】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．10．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】【解析】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．【答案】2.4【解析】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝8．求得AC＝4，于是得到结论．15．（2020•石景山区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD＝∠ACB＝90°．又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD．∴AB＝AE．又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形．∴∠BFE＝90°，．在Rt△BFE中，．【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE ＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．16．（2020春•灌云县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．【解析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD ＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案。
矩形定义及性质(教案)
矩形定义及性质(教案)第一章：矩形的定义1.1 引入矩形的概念通过实物展示，如门窗、书籍等，让学生感受到矩形的实际应用。
引导学生思考矩形的特征，如四个角都是直角，四条边都相等等。
1.2 矩形的符号表示解释矩形的符号表示方法，例如矩形ABCD，其中A、B、C、D分别表示矩形的四个顶点。
强调矩形的顶点顺序，例如顺时针或逆时针排列。
1.3 矩形的性质强调矩形的四个角都是直角，即每个角的度数为90度。
说明矩形的对边平行且相等，即AD平行于BC，AB平行于CD，并且AD = BC，AB = CD。
第二章：矩形的对角线2.1 矩形的对角线定义解释矩形的对角线是指连接矩形相对顶点的线段。
强调对角线的长度相等，即AC = BD。
2.2 矩形的对角线性质说明对角线互相平分，即对角线相交的点O是对角线的中点，即AO = CO，BO = DO。
引导学生通过画图或几何证明来验证对角线的性质。
第三章：矩形的面积3.1 矩形的面积定义解释矩形的面积是指矩形内部的所有点构成的区域的大小。
强调矩形的面积可以通过长度和宽度的乘积来计算，即面积= length ×width。
3.2 矩形的面积性质说明矩形的面积不受形状变化的影响，即无论如何旋转或翻转矩形，其面积保持不变。
引导学生通过实际例子或几何证明来验证矩形的面积性质。
第四章：矩形的周长4.1 矩形的周长定义解释矩形的周长是指矩形四条边的长度之和。
强调矩形的周长可以通过将长和宽相加后乘以2来计算，即周长= (length + width) ×2。
4.2 矩形的周长性质说明矩形的周长不受形状变化的影响，即无论如何旋转或翻转矩形，其周长保持不变。
引导学生通过实际例子或几何证明来验证矩形的周长性质。
第五章：矩形的实际应用5.1 矩形在日常生活中的应用举例说明矩形在建筑设计、家具设计、电子产品设计等方面的应用。
引导学生思考矩形形状的特点如何满足实际需求。
5.2 矩形的数学应用解释矩形在数学问题中的重要性，例如计算矩形区域的面积、周长等。
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版)
矩形及特殊矩形知识点(经典完整版) 1. 矩形的定义和性质- 矩形是一个拥有四条直角边的四边形。
- 矩形的对边长度相等。
- 矩形的对角线相等且互相平分。
- 矩形的内角和为360度。
2. 矩形的面积和周长计算公式- 矩形的面积可以通过边长相乘得到：面积 = 长 ×宽。
- 矩形的周长可以通过边长相加得到：周长 = 2 × (长 + 宽)。
3. 特殊矩形：正方形和长方形3.1 正方形的性质和计算公式- 正方形是一种特殊的矩形，具有所有矩形的性质。
- 正方形的四条边长度相等。
- 正方形的对角线相等且互相平分。
- 正方形的内角和为360度。
- 正方形的面积可以通过边长的平方得到：面积 = 边长 ×边长。
- 正方形的周长可以通过边长的四倍得到：周长 = 4 ×边长。
3.2 长方形的性质和计算公式- 长方形是一种特殊的矩形，具有矩形的性质。
- 长方形的对角线相等且互相平分。
- 长方形的内角和为360度。
- 长方形的面积可以通过长和宽相乘得到：面积 = 长 ×宽。
- 长方形的周长可以通过长和宽相加再乘以2得到：周长 = 2 ×(长 + 宽)。
4. 应用举例- 例子1：已知一个矩形的长为10cm，宽为6cm，求其面积和周长。
- 面积：面积 = 10cm × 6cm = 60cm²- 周长：周长 = 2 × (10cm + 6cm) = 32cm- 例子2：已知一个正方形的边长为8cm，求其面积和周长。
- 面积：面积 = 8cm × 8cm = 64cm²- 周长：周长 = 4 × 8cm = 32cm- 例子3：已知一个长方形的长为12cm，宽为5cm，求其面积和周长。
- 面积：面积 = 12cm × 5cm = 60cm²- 周长：周长 = 2 × (12cm + 5cm) = 34cm5. 总结矩形是一种有着特定性质的四边形，具有对边相等、对角线相等且互相平分、内角和为360度的特点。
矩形的认识与分类
矩形的认识与分类矩形是几何学中常见的形状之一，具有许多重要的性质和用途。
本文将对矩形的基本定义、特点以及不同类型的矩形进行详细介绍。
一、基本定义矩形是一种有四个直角的四边形，其对边长度相等且相对平行。
也就是说，一条边和和其相邻的两条边构成一个直角。
二、性质和特点1. 对角线相等：矩形的对角线相等，而且相互平分。
2. 相对边平行：矩形的相对边是平行的。
3. 内角和为180度：矩形的内角和等于180度，每个角都是直角。
根据以上性质和特点，我们可以通过测量边长和角度来判断是否是矩形。
三、不同类型的矩形1. 正矩形：正矩形是一种特殊的矩形，其四个内角都是直角，并且所有边长相等。
正矩形常见于建筑物中的窗户、门框等。
2. 长方形：长方形也是一种矩形，其相邻两条边长度不同，但仍然保持直角。
长方形在日常生活中非常常见，例如书、手机、电视等。
3. 菱形：菱形是矩形的一种特殊情况，其对边长度相等，但相邻两边不平行。
菱形在宝石、纹身等领域中常见。
四、矩形的应用矩形在日常生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：矩形常用于建筑设计中的墙壁、门窗等构造物的规划和设计。
2. 统计学：矩形常用于绘制柱状图，用于表示数据的分布情况和比较。
3. 地理学：地理学中常用矩形来表示地图上的区域。
总结：矩形是一种重要的几何形状，具有许多独特的性质和特点。
我们可以通过测量边长和角度来判断是否是矩形，并进一步分类为正矩形、长方形和菱形。
矩形在我们的日常生活和工作中有着广泛的应用，需要我们对其进行深入的认识和理解。
注：以上内容为文章的主要部分，字数仅为500字，如需增加字数可适当拓展各小节的内容，提供更多实际应用和相关案例。
矩形的性质总结
矩形的性质总结
- 定义：矩形是一种具有四条边和四个直角的四边形。
- 一般性质：
- 对角线相等：矩形的两条对角线相等。
- 对边平行：矩形的对边两两平行。
- 四个内角均为直角：矩形的四个内角都是直角（90度）。
- 相邻内角互补：矩形的相邻内角互补，即相邻内角的和为180度。
- 面积和周长：
- 面积：矩形的面积可以通过长度和宽度的乘积计算，即$面积=长度 \times 宽度$。
- 周长：矩形的周长可以通过长度和宽度的两倍之和计算，即$周长=2 \times (长度 + 宽度)$。
- 相似矩形：
- 引理：如果两个矩形的对应边成比例，则这两个矩形相似。
- 相似性质：相似矩形的对应边长之比相等，并且对应的内角也相等。
- 特殊性质：
- 平方矩形：长度和宽度相等的矩形被称为平方矩形，它是一种特殊的矩形。
- 黄金矩形：长边与短边之比等于黄金比（约为1.618）的矩形被称为黄金矩形，它也是一种特殊的矩形。
矩形具有以上的性质，这些性质在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
了解和熟悉这些性质，有助于我们更好地理解和应用矩形的相关概念。
6.2矩形的性质与判定
6.2矩形的性质与判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）四个角都是直角.（3）对角线相等.（4）是轴对称图形，有4条对称轴.定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.基础闯关矩形的定义与性质1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。
A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 .7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。
8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。
设F 、H分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。
1.2矩形的性质及判定(最新整理)
A
D
B
C
【例15】☆如图，有一矩形纸片 ABCD ， AB 10，AD 6 ，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE ， 在将 AED 以 DE 为折痕向右折叠， AE 与 BC 交于点 F ，则 CEF 的面积为
A
BA
D
Bห้องสมุดไป่ตู้
D
BA
F
D
C
E
C
E
C
【巩固】如图，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示，则该主板的周长为
PF BH 交 BH 于点 F ，当 AB，BC 满足条件
时，四边形 PEHF 是矩形
【例2】 如图，在四边形 ABCD 中， ABC BCD 90 ， AC BD ，求证：四边形 ABCD 是矩形．
A
D
13.1.2 矩形的性质和判定
讲义·学生版
B
C
page 1 of 8
【巩固】☆矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）
矩形的性质 及判定
中考要求
知识点 A要求
B要求
Ｃ要求
掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判 会运用矩形的知识解决有关
矩形 会识别矩形
定解决简单问题
问题
中考要求
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中， 30 角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的性质与特点
矩形的性质与特点矩形作为一种常见的几何图形，具有其独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨矩形的定义、特征和相关性质，并讨论其在数学和实际生活中的应用。
1. 矩形的定义和基本特征矩形是一种拥有四条边、四个角均为直角的平面图形。
它的两对相邻边长度相等，对角线相等且互为半对称线。
根据这些定义，我们可以得到矩形的一些基本特征。
2. 矩形的四个角均为直角由于矩形的定义，它的四个角均为直角。
这意味着矩形的内角和为360度，且每个角的度数都为90度。
这是矩形与其他四边形的明显区别。
3. 矩形的对边相等且平行矩形的两对相邻边长度都相等，即对边相等。
同时，这两对对边也是平行的。
这意味着当我们将矩形平移或旋转时，其形状和大小保持不变。
4. 矩形的对角线相等且互为半对称线矩形的两条对角线相等且互为半对称线。
其中，半对称线是指将矩形分为两个全等的三角形。
这个性质使得矩形的对角线成为了研究和计算矩形性质的重要工具。
5. 矩形的面积和周长计算矩形的面积可通过将矩形分为两个全等的直角三角形，并利用三角形的面积公式进行计算：面积 = 长 ×宽。
而矩形的周长则是四个边长之和。
6. 矩形的性质在数学和实际生活中的应用矩形的性质和特点在数学教学和实际生活中都有广泛的应用。
在数学中，矩形作为一个简单且易于研究的几何图形，常被用于引入面积和周长的概念，以及介绍平行四边形和其他四边形的概念。
在几何证明中，我们也可以利用矩形的性质来推导其他几何定理。
在实际生活中，我们可以发现矩形的身影随处可见。
建筑物的窗户、墙壁、地板以及家具等往往采用矩形形状，因为矩形更易于设计、制造和布局。
同时，矩形在工程测量、地图绘制、电子屏幕和平面设计等领域也得到广泛应用。
总结：矩形作为一种常见的几何图形，具有四个直角、对边相等且平行、对角线相等且互为半对称线等基本特点。
它的性质在数学教学和实际生活中有着广泛的应用。
通过深入了解和研究矩形的性质，我们能够更好地理解几何学的基础知识，并将其应用于实际问题的解决中。
矩形的性质
B C
D
一个角是直角
A
D
B
C
（１）矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（２）矩形的表示：矩形ABCD 小学里学过的长方形、正方形都是矩形
想一想： 你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些 东西是矩形的？
议一议
(1) 矩形是不是平行四边形? (2) 平行四边形是不是矩形?
(3) 平行四边形的性质矩形具备吗?
A 对角线相等 C 对角相等 B 对边相等
D 对角线互相平分
营中寻宝
• 四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
10 则AC＝_______ ㎝ 5 OB=_______ ㎝
D O
C
A
B
28 2.若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____ 48 矩形的面积＝_______ ㎝2 3. 4 若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm
矩形的对角线相等.
※ 推 论
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半.
课本P100“练习”第2，3题（交）
cm
48 AB= _____cm
营中寻宝
4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900， A BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝ B (2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 BD＝ 5 ㎝. ㎝， D
┓
C
※ 矩形的性质定理1
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理2
(4) 矩形是否有与平行四边形不同 的 性质? 实质上：矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质的研究
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具 有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形 有哪些性质吗? 一、矩形的两组对边分别平行 二、矩形的两组对边分别相等 三、矩形的两组对角分别相等 四个角都是直角。
矩形及其性质
(3)你认为矩形还具有哪些特殊
的性质？与同伴交流.
感悟新知
方法
矩形的性质： (1)矩形的四个角都是直角． (2)矩形具有平行四边形的所有性质． (3)矩形是轴对称图形，如图所示，
邻边不相等的矩形有两条对称轴．
知1－讲
感悟新知
知识点 3 矩形的对角线性质
知3－导
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的
认知基础练
1 若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是 ( C) A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
认知基础练
5 【2020·泰安】将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋ a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( A )
A ． － 4 ， 21
B ． － 4 ， 11
复习提问 引出问题
感悟新知
知识点 1 矩形的定义
知1－讲
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
特别提醒: (1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行
四边形不一定是矩形． (2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可.
感悟新知
例例11：如图1-2-1，在ABCD 中，点E，F 分别为
知1－练
感悟新知
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD，∠ B+∠C = 180° . ∵ BE=CF，∴ BE+EF=CF+EF，即BF=CE. 又∵ AF=DE， ∴△ ABF ≌△ DCE. ∴∠ B= ∠ C=90° . ∴ ABCD 是矩形.
知1－练
感悟新知
方法
知1－讲
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明 四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个 角是直角.
矩形的概念矩形的定义是什么
矩形的概念矩形的定义是什么矩形(rectangle)是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
矩形的定义是什么?以下是店铺分享给大家的关于矩形的定义，欢迎大家前来阅读!矩形的定义在几何中，矩形的定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。
从这个定义可以得出矩形两条相对的边等长，也就是说矩形是平行四边形。
正方形是矩形的一个特例，它的四个边都是等长的。
同时，正方形既是长方形，也是菱形。
非正方形的矩形通常称之为oblong。
矩形的基本简介矩形(rectangle)是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个内角是直角的四边形是矩形。
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
说明：长方形和正方形都是矩形。
平行四边形的定义在矩形上仍然适用。
图形学"矩形必须一组对边与x轴平行，另一组对边与y轴平行。
不满足此条件的几何学矩形在计算机图形学上视作一般四边形。
"在高等数学里只提矩形，所以也就没提长方形的长与宽。
矩形的详细释义计算公式面积：S=ab(注:a为长,b为宽)周长：C=2(a+b)=2a+2b(注:a为长,b为宽)外接圆矩形矩形外接圆半径 R=矩形对角线的一半性质1.矩形的4个内角都是直角;2.矩形的对角线相等且互相平分;3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;4.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线)，它至少有两条对称轴。
5.矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形黄金矩形宽与长的比是(√5-1)/2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。
矩形的定理
长方形也称矩形，是特殊的平行四边形之一。
即有一个角是直角的平行四边形称为长方形 [1]。
中国古算书中，将矩形田称为直田，也称矩形图形为直田。
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）。
性质定理
在小学，矩形是我们最熟悉的图形之一。
很自然地，我们可以得出矩形的以下性质：
矩形的性质定理1 [2]
1、矩形的对边平行且相等。
2、矩形的四个角都是直角。
矩形的性质定理2
1、矩形的对角线相等。
平行四边形ABCD：AC=BD
2、矩形的对角线相互平分。
平行四边形ABCD是矩形：OA=OC，OB=OD
矩形的对角线相等，我们可以通过勾股定理证明。
证明：∵△ABC中，∠ABC =90°，
∴AC2=a2+b2
∵△DCB中，∠BCD =90，
∴BD2= a2+ b2
∴AC2=BD2
∴AC=BD
判定定理
要画矩形，最简单的办法，就是用直角三角板依次画三个直角，所得的四边形就是矩形。
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性 中心对 称图形
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 边形 且相等 邻角互补 相平分
§1.3矩形的定义、性质(一）
矩形
细心观察
细心观察平行四边形 内角的变化
A A A A B B B C C C D D D
C
阅读课文第13页到第15页，思考以下问题：
B
四边形 矩形 平行四边形
C
D
矩形的一般性质 ：
具备平行四边形所有的性质
边 A O D 角
对边平行且相等 对角相等邻角互 补 对角线互相平分
B
C 对角线
在操作过程中,请你思考下列问题: 1、平行四边形变成矩形时，图形的内角 有何特征？ 2、平行四边形变成矩形时，两条对角线 的长度有什么关系？
探索新知:
探索矩形的对称性: 矩形是轴对称图形吗？对 称轴有几条?
是轴对称图形
对称轴是经过两对边中 点的直线（2条）
边
角
对角线 对角线互 相平分
对称性 中心对 称图形
平行四 边形
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补 对边平行 四个角 且相等 为直角
对角线互相 中心对称图形 平分且相等 轴对称图形
这是矩形所 特有的性质
A D
B
C
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点Ｏ， AB=4cm,∠AOB=60°,求矩形对角线的长。 D 解：∵四边形ABCD是矩形， A
∴AC与BD相等且互相平分。 ∴ OA = OB。 又 ∠AOB=60°， B ∴ ΔOAB是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） ∴ AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）
C
B
∴∠B=30 °
2.矩形ABCD 中,AB=2BC,AE=AB,求∠EBC 的度数 E
D
C
A
B
说说：
今天的收获……
你还有什么不明白的地方……
矩形具有而平行四边形不具有的性质（ ） （A）内角和是360度（B）对角相等 （C）对边平行且相等（D）对角线相等
下面性质中，矩形不一定具有的是（ ） （A）对角线相等（B）四个角相等 （C）是轴对称图形（D）对角线垂直
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行 四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A D
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等．
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° 证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ∠A=90° 又 矩形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C
B C
∴AC = BD
即矩形的对角线相等
矩形的性质：
1、矩形的四个角均为直角
∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 2、矩形的对角线相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD
注：矩形还含有平行四边形的所有性质
矩形特殊的性质
从角上看：
矩形的四个角都是直角．
从对角线上看：
矩形的两条对角线相等．
B
A
D
∠B = ∠D
C
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD 证明：在矩形ABCD中
A D
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB ∴△ABC≌△DCB
为直角三角形的有关 问题进行解答.
∴BC=7
∴矩形ABCD的周长为22cm
1.在Rt⊿ABC中， ∠C=90°，
AB=2AC. 求∠ A 、 ∠B 的度数.
A
思路分析
作斜边AB边的中线
则 AD=CD=
1 2
AB
1 2
又∵AB=2AC ∴AC=AD=CD= AB
D
∴⊿ACD是等边三角 形 ∴∠A=60°
D
300
O
B
C
1、矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形的对边平行且相等 2、矩形 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等
3、直角三角形的一个重要推论：斜边上的中线 等于斜边的一半； 4、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用 直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。
C
注：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。
学有所得
A O B D
直角三角形的推论: 直角三角形斜边上的中线 C 等于斜边的一半.
即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6cm和8cm,则其 5 斜边上的中线长为_____cm___.
1、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 的边长为3.6cm,则对角线的长为__cm.
问题: 体育节中有一投圈游戏,四个同学分 别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放 在对角线的交点处,这样的队形对每个人公 平吗?为什么？
A D
O
B
C
公平,因为OB=OD = OA=OC
A
在 RtABC 中，∠ABC=900 ， BO是斜边AC上的中线 O
D
B
1 1 1 OB=OD OB = AC AC= 2 BD = OA=OC= 2 2
由已知矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线 分直角为3：1两部分，则垂线与另一条对角线的夹角是 （ ） （A）60度（B）45度 （C）30度（D）22.5度
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 A．对角线相等 B．四个角都相等 C．是轴对称图形 D．对角线垂直
[
D
]
2. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两 [ 条对角线所夹锐角的度数为 D ] A．50° B．60° C．70° D．80° 3. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB， [ A 则∠BAE等于 A．30° B．45° C．60° D．120°
A O
D
边
矩形的两组对边分别平行
B
C
矩形的两组对边分别相等
角
矩形的四个角都是 直角 矩形 的两条对角线 相等
对角线
矩形的 两条对角线互相 平分
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是（ A ）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.
1、什么叫矩形？ 2、矩形有哪些性质定理和推论？ 3、矩形有哪些判定定理？
学习新知
定义：有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形．
1、是平行四边形 2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、 矩形的关系
四边形 矩形 平行四边形 四边形 平行四边形 矩形A四边形 平行四边形 矩形
]
1.矩形ABCD中，若 AB=3,BC=4 ，则矩形的周长=______ 14 5 矩形的面积=______AC=_______BD=_______ 12
A
O B
D C
2.矩形ABCD中， 若∠BCA=300，AB=3,则AC=_____ （1）连结BD交AC于O，则BO=____ ∠AOB=____ ∠BOC=___ A 即AC,BD所形成的锐角是_____ （2）判断OA,OB,OC,OD之间的大小关系。
600 1200
O
C
变式：若BD=8cm,∠AOD=120°，求边AB的长。
2 矩形ABCD中,AC、BD相交于点O， AB=6cm，BC=8cm，则△ABO的周长为 _____ 16cm
A
O B C
D
1、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E， ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。 A D 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C＝∠B=∠BAD=90°,AB=DC ∵DE=5,EC=3 ∴DC2=DE2-EC2=52-32,即：DC=4 B C ∵AE平分∠BAD E ∴∠BAE=45° 注:解决矩形的有关问 题时,常根据性质转化 ∴AB=BE＝4