高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10节变化率与导数、导数的计算课时分层训练

合集下载

2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算教师用书文北师大版

第十节变化率与导数、导数的计算[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．1．有关导数的基本概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，用f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)3.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(a )＝3a 2＋2x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B ．174C ．154D ．134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.] 3．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x，所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．(2016·豫北名校期末联考)曲线f (x )＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.【导学号：66482098】5x ＋y ＋2＝0 [∵f ′(x )＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝f ′(0)＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.](1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝cos x ex .[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝xx－cos xxx2＝－sin x ＋cos x ex. [规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练1] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( )【导学号：66482099】A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)B (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]☞角度1 求切线方程已知曲线f (x )＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且f ′(x )＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为f ′(2)＝4，3分 ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 5分(2)设曲线f (x )＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为f ′(x 0)＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. 7分∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，9分 ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. 12分 ☞角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【导学号：66482100】(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)已知直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．2B ．－1C ．－12D ．1(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12(1)B (2)A [(1)设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－12＋1x，则y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，由－12＋1x 0＝12得x 0＝1，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. (2)由y ′＝－2x －2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A.][规律方法] 1.导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点P 的切线则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.[思想与方法]1．f ′(x 0)是函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性． [易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．。

高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用 2.10 变化率与导数、导数的计算课件文

1. lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
Δy
lim
Δx→0
Δx
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
2．P(x0，y0) 切线的斜率 y－y0＝f′(x0)(x－x0)
fx＋Δx－fx
3. lim
Δx→0
Δx
导数的几何意义是高考中的常考知识点，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，我们应明确函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值 f′(x0)即为函数在该点处切线的斜率．考查方向常有以下几种：
求切线方程
【调研 2】 (1)(2014·全国大纲)曲线 y＝xex－1 在点(1,1)
处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．2
D．1
【解析】利用导数的几何意义求解． y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为 y′|x＝1＝2.
【答案】 C
(2)(2016·河南开封一模)过点 A(2,1)作曲线 f(x)＝x3－3x 的切线最多有( )
导数的几何意义
（高频考点型——多维探究）
1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：
称函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率 ________ ＝
________为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或
y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ lim Δx→0
第二章
函数、导数及其应用
第十节变化率与导数、导数的计算
考纲下载 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y ＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数． 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第十讲变化率与导数导数的运算课件

【高分训练】
1.(2020 年全国Ⅲ)若直线 l 与曲线 y＝ x和 x2＋y2＝15都相切，
则 l 的方程为( )
A.y＝2x＋1
B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1
D.y＝12x＋12
解析：设直线 l 在曲线 y＝ x上的切点为(x0, x0)，x0>0，函数 y＝ x的
导数为
y′＝2
1
x，则直线
应用中考查.
(续表)
课标要求
考情分析
3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，2.本考点是高考的必
y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数.
考知识点，既可以选择题或填空题的
4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和形式独立考查，也
导数的四则运算法则，求简单函数的导数；可结合导数应用在
5.能求简单的复合函数[限于形如f(ax＋b) ] 解答题中综合考查，
考点二导数几何意义的应用
考向 1 求切线方程
[例 1]设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若 f(x)为奇函数，则曲线
y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A.y＝－2x
B.y＝－x
C.y＝2x
D.y＝x
解析：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 a－1 ＝0，则a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为 y＝x.
( x0
a),得
ex0 (1－x0＋a)＝b，则由题意知
关于 x0 的方程 ex0(1－x0＋a)＝b 有两个不同的解.设 f(x)＝ ex(1－x＋a)，则 f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由 f′(x)＝0

山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.10变化率与导数导数的计算学案含解析.doc

第十节变化率与导数、导数的计算课标要求考情分析1.了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.知识点一导数的概念1．函数y＝f(x)与x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．2．导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y －y0＝f′(x0)(x－x0)．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．3．函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．4．f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 知识点二导数公式及运算法则1．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( √ ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( × )(4)对于函数y ＝f (x )，当x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，若记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2－Δx )－f (x 2)－Δx.( √ )解析：(1)由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数值与x 0有关，所以正确． (2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，所以错误．(3)在导数的定义中，Δy 可以为零，所以错误． (4)f (x )平均变化率为ΔyΔx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2－Δx )－f (x 2)－Δx .2．小题热身(1)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( B ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x (2)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( B )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2(3)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2(4)函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3，在x ＝2处的导数为4. (5)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x .解析：(1)y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. (3)由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．(4)函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22－122－1＝3，在x ＝2处的导数为f ′(2)＝2×2＝4.(5)∵y ＝2ln(x ＋1)，∴y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .考点一导数的运算命题方向1 根据求导法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.【解】 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′ ＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x)′(e x )2 ＝－sin x ＋cos x e x.(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin4x ， ∴y ′＝－12sin4x －12x ·4cos4x ＝－12sin4x －2x cos4x .命题方向2 抽象函数的导数计算【例2】已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x －f ′(1)x ·(e x －e －x )，则f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝( )A ．4e 2＋4e －2 B ．4e 2－4e －2 C ．0D ．4e 2【解析】由题意，得f ′(x )＝e x －e －x －f ′(1)[e x －e －x ＋x (e x ＋e －x )]，所以f ′(0)＝e 0－e 0－f ′(1)[e 0－e 0＋0·(e 0＋e 0)]＝0，f ′(2)＋f ′(－2)＝0，所以f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝0，故选C.【答案】 C 方法技巧(1)求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.1．若y ＝x －cos x 2sin x 2，则y ′＝1－12cos x .解析：因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′ ＝x ′－⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1－12cos x . 2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝－4.解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2.∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4.考点二导数的几何意义命题方向1 已知切点求切线方程【例3】 (2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1【解析】因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为 y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.【答案】 D 命题方向2 求切点坐标【例4】 (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．【解析】设A (x 0，ln x 0)，又y ′＝1x ，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1x 0(－e －x 0)，化简得ln x 0＝ex 0，解得x 0＝e ，则点A的坐标是(e,1)．【答案】 (e,1)命题方向3 未知切点求切线方程【例5】已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x 的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( )A ．2B ．1C ．e 2D ．－e 2【答案】 B命题方向4 求参数的值或范围【例6】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x(x ≤0)，x (x >0)，若函数g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 ∵函数g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有两个零点，∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x (x ≤0)，x (x >0)与函数y ＝12x ＋b 的图象有且仅有两个交点，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x (x ≤0)，x (x >0)与函数y ＝12x ＋b 的图象，如图所示．当b ＝0时，两函数图象有一个交点，是一个临界值．当直线y ＝12x ＋b 与f (x )＝x (x >0)的图象相切时，两函数图象有一个交点，此时b 的值是另一个临界值．设切点为(m ，m )，m >0，∵f ′(x )＝12·1x (x >0)，∴12·1m ＝12，解得m ＝1，故切点为(1,1)，故b ＝1－12＝12.结合图象可得，0<b <12.【答案】 0<b <12方法技巧求曲线的切线注意点(1)“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点；(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.1．(方向1)设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12，所以切线l 的方程为12x ＋y －8＝0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0，y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，消去y ，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，所以(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1，所以切线l 与曲线C 有3个公共点．故选C.2．(方向2)已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(1,0)．解析：∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (1)＝0，即P (1,0)．3．(方向3)若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为2e. 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e.4．(方向4)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为1.解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.。

2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文

第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。

(全国通用)近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10节变化率与导数、导数的计算课时

（全国通用）2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10节变化率与导数、导数的计算课时分层训练文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10节变化率与导数、导数的计算课时分层训练文新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用）2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10节变化率与导数、导数的计算课时分层训练文新人教A版的全部内容。

课时分层训练(十三）变化率与导数、导数的计算A组基础达标（建议用时：30分钟）一、选择题1．函数f（x)＝(x＋2a）(x－a）2的导数为( )【导学号：31222077】A．2（x2－a2）B．2(x2＋a2）C．3（x2－a2）D．3（x2＋a2)C ［∵f(x）＝（x＋2a)（x－a)2＝x3－3a2x＋2a3,∴f′（x)＝3（x2－a2）．］2．已知函数f(x)的导函数为f′(x），且满足f（x）＝2xf′（1）＋ln x,则f′（1）等于（)A．－e B．－1C．1 D．eB [由f（x）＝2xf′（1)＋ln x，得f′（x)＝2f′(1）＋错误!，∴f′(1)＝2f′（1）＋1,则f′(1）＝－1。

］3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1）处的切线方程是( ）A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0C ［y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1,即2x－y＋1＝0。

]4．（2017·郑州模拟）已知曲线y＝错误!－3ln x的一条切线的斜率为－错误!，则切点的横坐标为（）A．3 B．2C．1 D.错误!B [因为y＝错误!－3ln x，所以y′＝错误!－错误!.再由导数的几何意义，有错误!－错误!＝－12，解得x＝2或x＝－3(舍去)．]5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f（x)在点P（－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于（）【导学号：31222078】A．4 B．5C.错误!D。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.10变化率与导数、导数的计算课件文

主干知识· 整合 01
课前热身稳固根基
知识点一导数的概念 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数称函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率 ______________ ＝ __________为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′ Δy |x＝x0，即 f′(x0)＝ lim Δx＝__________________. Δx→0
解析：f′(x)＝(2x＋3)ex，f′(0)＝3.
答案：3
5．设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1) ＝________.
解析：设 ex＝t，则 x＝lnt(t>0)， 1 ∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝ t ＋1，∴f′(1)＝2.
答案：2
热点命题· 突破 02
2．导数的几何意义函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点________处的__________(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为________________． 3．函数 f(x)的导函数称函数 f′(x)＝__________________为 f(x)的导函数．
答案 fx0＋Δx－fx0 1.lim Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0 2．P(x0，y0) 切线的斜率 y－y0＝f′(x0)(x－x0) Δy lim Δx Δx→0
fx＋Δx－fx 3.lim Δx Δx→0
1．函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为________，在 x＝2 处的导数为________．
－x，则曲线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算教师用书

第十节变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′| x ＝x，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝limΔx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )(4)若f (x )＝e 2x，则f ′(x )＝e 2x.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174 C.154D.134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x，所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x ＋y ＋2＝0 [∵y ′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′| x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]5．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 【导学号：】1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]导数的计算(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝ln(2x －9)．[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .4分(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.6分(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．10分(4)令u ＝2x －9，y ＝ln u ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x . 因此y ′＝12x －9·(2x －9)′＝22x －9.15分 [规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理． [变式训练1] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)B (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]导数的几何意义☞角度1 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程. 【导学号：】 [解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4，3分 ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.6分(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.9分∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，12分 ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.15分 ☞角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2(2)(2017·嘉兴检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12 (1)B (2)A [(1)设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2.(2)由y′＝－2x－12得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.][规律方法] 1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.[思想与方法]1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．[易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．课时分层训练(十二)变化率与导数、导数的计算A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( ) 【导学号：】A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)C[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于( )A．－e B．－1C．1 D．eB [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0C [y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.] 4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]5．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254D.132C [∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.]二、填空题6．(2017·湖州二次质量预测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P (1,3)处的切线方程是________. 【导学号：】2x －y ＋1＝0 [由题意得f ′(x )＝3x 2－1，则f ′(1)＝3×12－1＝2，即函数f (x )的图象在点P (1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图2101，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.图21010 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln 2x ＋1x. 【导学号：】[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x.5分(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10分(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln 2x ＋1x ′＝[ln 2x ＋1]′x －x ′ln 2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2.15分 10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，2分所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，4分斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.9分(2)由(1)得k ≥－1，12分所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.15分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A.]2．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 【导学号：】y ＝－2x －1 [因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.]3．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解] 根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.2分曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ，所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.8分曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.12分曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.15分。

2018高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用第十节变化率与导数、导数的运算教案文

A．e

1 2
B．2e

1 2
1
C．e 2
()
1
D．2e 2
解析：依题意，设直线 y＝ax 与曲线 y＝2ln x＋1 的切点的横
坐标为 x0，则有 y′|x＝x0＝x20，于是有aa＝ x0＝x20，2ln x0＋1，解
得 x0＝
e，a＝x20＝2e

1 2
，选
B．
答案：B
[通法在握] 与切线有关问题的处理策略 (1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝ f′(x0)． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k． (3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0， f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1) 代入切线方程，求x0．
令 y＝0，得：x＝1；令 x＝0，y＝－a．
∴三角形面积 S＝12×a×1＝4，
∴a＝8．
答案：8
[演练冲关]
1．(2017·郑州质量预测)函数 f(x)＝excos x 的图象在点(0，f(0))处
的切线方程是
()
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x)＝excos x－exsin
x，所以 f′(0)＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0，即 x－y

解：(2)y′＝ln

x＋1x′＝(ln
x)′＋1x′
＝1x－x12．
(3)y′＝coesx
x′＝cos

x′ex－cos ex2
xex′
＝－sin
x＋cos ex

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.10变化率与导数、导数的运算课时训练理(2021年整

2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.10 变化率与导数、导数的运算课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.10 变化率与导数、导数的运算课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2.10 变化率与导数、导数的运算课时跟踪检测理的全部内容。

2。

10 变化率与导数、导数的运算[课时跟踪检测］［基础达标]1．函数f(x)＝(x＋2a)（x－a)2的导数为( ）A．2（x2－a2）B．2（x2＋a2)C．3(x2－a2）D．3(x2＋a2)解析：∵f(x)＝（x＋2a）(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x）＝3(x2－a2)．答案：C2．曲线f（x)＝2x－e x与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为（)A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0解析：曲线f（x）＝2x－e x与y轴的交点为(0，－1）．且f′(x)＝2－e x，∴f′（0）＝1.所以所求切线方程为y＋1＝x,即x－y－1＝0。

答案：C3．f(x）＝x(2 016＋ln x)，若f′（x0)＝2 017，则x0等于( )A．e x B．1C．ln 2 D．e解析：f′（x）＝2 016＋ln x＋x×1x＝2 017＋ln x，由f′（x0）＝2 017,得2 017＋ln x0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.答案:B4．曲线y＝e x－ln x在点(1，e）处的切线方程为（）A．(1－e)x－y＋1＝0B．（1－e）x－y－1＝0C．（e－1）x－y＋1＝0D．（e－1)x－y－1＝0解析：由于y′＝e－错误!，所以＝e－1,故曲线y＝e x－ln x在点(1,e)处的切线方程为y－e＝（e－1)(x－1），即（e－1)x－y＋1＝0.答案：C5．（2017届开封模拟）已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1，3），则n＝( )A．－1 B．1C．3 D．4解析：对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m ＋n＝3，可解得n＝3.答案：C6．已知f（x)＝ax4＋b cos x＋7x－2.若f′(2 017）＝6，则f′（－2 017)为（)A．－6 B．－8C．6 D．8解析：∵f′（x）＝4ax3－b sin x＋7.∴f′（－x)＝4a（－x）3－b sin（－x）＋7＝－4ax3＋b sin x＋7。

高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算课件文

1－ln x2
x
,
则
f ′ (1)=1,
故该切线方程为
y-(-2)=x-1, 即 x-y-3=0.
答案：C
角度二：求切点坐标
2．(2016·郑州质检)曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P 处的切线平行于直线
y＝2x－1，则 P 点的坐标为
()
A．(1,3)
B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3)
[演练冲关]
1．(2017·郑州质量预测)函数 f(x)＝excos x 的图象在点(0，f(0))处
的切线方程是
()
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
解析：依题意，f(0)＝e0cos 0＝1，因为 f′(x)＝excos x－exsin
x，所以 f′(0)＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0，即 x－y
第十节
变化率与导数、导数的运算
1．导数的概念 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 Δlxim→0 ΔΔxy＝Δlxim→0 fx0＋ΔΔxx－fx0为函数 y＝f(x)在 x＝ x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
fx＋Δx－fx 称函数f′(x)＝_Δl_ixm→_0_______Δ__x_____为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a>0)
f(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f′xgx－fxg′x
(3) gfxx′＝

精选浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算教师用书

第十节变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：①定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′| x ＝x，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx.②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝limΔx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)若f (x )＝e 2x，则f ′(x )＝e 2x.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x，所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．5x ＋y ＋2＝0 [∵y ′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′| x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]5．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 【导学号：51062072】1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.](1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x2cos x2；(4)y ＝ln(2x －9)．[解](1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .4分(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.6分(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．10分(4)令u ＝2x －9，y ＝ln u ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x . 因此y ′＝12x －9·(2x －9)′＝22x －9.15分 [规律方法] 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理． [变式训练1] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0等于( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e(2)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)B (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]☞角度1已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程. 【导学号：51062073】 [解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4，3分 ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.6分(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.9分∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，12分 ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.15分 ☞角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2(2)(2017·嘉兴检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12(1)B (2)A [(1)设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )，所以y 0＝0，则x 0＝－1，所以a ＝2. (2)由y ′＝－2x －2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A.][规律方法] 1.导数f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点P 的切线则点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.[思想与方法]1．f ′(x 0)是函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常数，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．[易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．课时分层训练(十二) 变化率与导数、导数的计算A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) 【导学号：51062074】 A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)C [∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．]2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0C [y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.] 4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]5．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A ．4B ．5 C.254D.132C [∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.]二、填空题6．(2017·湖州二次质量预测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P (1,3)处的切线方程是________. 【导学号：51062075】2x －y ＋1＝0 [由题意得f ′(x )＝3x 2－1，则f ′(1)＝3×12－1＝2，即函数f (x )的图象在点P (1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图2101，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.图21010 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.] 三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋x. 【导学号：51062076】[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.5分(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10分(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x′＝x ＋x －x x ＋x 2＝x ＋2x ＋1·x －x＋x 2＝2x2x ＋1－x ＋x 2＝2x －x ＋x ＋x ＋x 2.15分10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，2分所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，4分斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.9分(2)由(1)得k ≥－1，12分所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.15分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A.]2．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 【导学号：51062077】y ＝－2x －1 [因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.]3．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解] 根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－ax.2分曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ，所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.8分曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，所以y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.12分曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.15分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课时分层训练(十二) 变化率与导数、导数的计算
A 组基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2
的导数为( ) 【导学号：51062074】 A ．2(x 2
－a 2
) B ．2(x 2＋a 2
) C ．3(x 2
－a 2
)
D ．3(x 2
＋a 2
)
C [∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2
＝x 3
－3a 2
x ＋2a 3
，∴f ′(x )＝3(x 2
－a 2
)．]
2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )
A ．－e
B ．－1
C ．1
D ．e
B [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x
，
∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]
3．曲线y ＝sin x ＋e x
在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0
D ．3x －y ＋1＝0
C [y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.] 4．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
D [令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，则f ′(x )＝a －
1
x ＋1
.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f ′(0)＝a －1.又切线方程为y ＝2x ，则有a －1＝2，∴a ＝3.]
5．已知f (x )＝x 3
－2x 2
＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )
A ．4
B ．5 C.
25
4
D.132
C [∵f (x )＝x 3
－2x 2＋x ＋6，
∴f ′(x )＝3x 2
－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－5
4
，
∴所求面积S ＝12×54×10＝25
4.]
二、填空题
6．(2017·湖州二次质量预测)曲线f (x )＝x 3
－x ＋3在点P (1,3)处的切线方程是________. 【导学号：51062075】
2x －y ＋1＝0 [由题意得f ′(x )＝3x 2
－1，则f ′(1)＝3×12
－1＝2，即函数f (x )的图象在点P (1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.]
7．若曲线y ＝ax 2
－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.
12 [因为y ′＝2ax －1
x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12
.]
8．如图2101，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.
图2101
0 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－1
3.
又因为g (x )＝xf (x )，
所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，
由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝0.]
三、解答题
9．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；
(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝
x ＋x
. 【导学号：51062076】
[解] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′
＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2
x cos 2
x
＝tan x ＋x
cos 2x
.5分
(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2
＋12x ＋11.10分
(3)y ′＝⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤x ＋x
′＝x ＋
x －x x ＋
x 2
＝x ＋2x ＋1
·x －
x
＋
x 2
＝
2x
2x ＋1－x ＋x 2
＝
2x －
x ＋x ＋x ＋
x
2
.15分
10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2
＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．
[解] (1)y ′＝x 2
－4x ＋3＝(x －2)2
－1≥－1，2分所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝5
3
，
所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，53，4分斜率k ＝－1，
所以切线方程为x ＋y －11
3＝0.9分
(2)由(1)得k ≥－1，12分
所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π.15分
B 组能力提升 (建议用时：15分钟)
1．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝ln x
C ．y ＝e x
D ．y ＝x 3
A [若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.
对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；
对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1
x 2
＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2
＝－1；
对于C ：y ′＝e x
，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2
，若有3x 2
1·3x 2
2＝－1，即9x 21x 2
2＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A.]
2．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 【导学号：51062077】
y ＝－2x －1 [因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )
＝1
x
－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即
y ＝－2x －1.]
3．已知函数f (x )＝x －2
x
，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )
在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
[解] 根据题意有f ′(x )＝1＋2x 2，g ′(x )＝－a
x
.2分
曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a ，所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.8分曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为
y －f (1)＝3(x －1)，
所以y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.12分曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为
y －g (1)＝3(x －1)，
所以y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.15分。