归纳推理之合情推理
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
合情推理
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
当当nn==23时时,,aa23==
3 7
当n=4时,a4= 15
猜想 an= 2n -1
2
1
3
练习题1：
在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗 里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其 中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底 层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放. 从第一层开始， 每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个 乒乓球，试表示第n堆的乒乓球总数。
13 1
13 23 9 32 (1 2)2 13 23 33 36 62 (1 2 3)2 13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2
13 23 33 L n3 (1 2 3 L n)2
n2 (n 1)2
4
2、下面是一系列有机物的结构简图，图中的
类比 （特殊到特殊）
三段论 （一般到特殊）
3.合情推理：
①前提为真，结论可能为真的推理，叫做合情推理. ②归纳推理与类比推理是数学中常用的合情推理；
归纳推理的定义:
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理； 或者 由个别事实概括出一般性的结论的推理,
练习题2：
观察下列等式： cos2x=2cos2x-1； cos4x=8cos4x-8cos2x+1； cos6x=32cos6x-48cos4x+18cos2x-1； cos8x=128cos8x-256cos6x+160cos4x-32cos2x+1； cos10x=mcos10x-1280cos8x+1120cos6x+ncos4x+pcos2x-1
合情推理
二.类比推理：
例3 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
例3：把直角三角形中的勾股定理类比到空间几何体中。
事实，经过观察、 分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的 推理过程，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情 推理是指“合乎情理”的推理。
检验猜想
例1：观察并猜想
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
an * a ( n N )， 例2：数列{an}的首项a1=1，且满足 n1 1 an
试归纳出这个数列的通项公式。
火星上是否有生命？
科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地 球类似的特征：火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星， 也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部 分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等。由 此，科学家猜想：火星上可能有生命存在。 对比火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的 一个已知特征（有生命存在）出发，猜测火星也可能具有 这个特征。
一个不小于6的偶数总可以表示成两个奇质数之和。
一.归纳推理:
1.定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 2.过程： 有限的个体信息
观察分析 猜想一般性结论
生活中的仿生学： 1.鲁班类比带齿的草叶，发明了锯；
2.仿照鱼在水中的沉浮原理，发明了潜水艇； 3.仿照天空中飞翔的鸟，发明了飞机。
2.1合情推理.
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
试将平面上的圆与空间的球进行类比
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点
的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
a·1=a
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
于弦.
圆心连线垂直于截面圆.
与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面
心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两
近的弦较长.
截面圆面积不等,距球心较近
的截面圆面积较大.
以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
练习. 在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的 高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为
pa,pb,pc,我们可以得到结论: pa pb pc 1 ha hb hc
专题69 合情推理与演绎推理(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题69合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.基础知识融会贯通1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．重点难点突破【题型一】归纳推理命题点1与数字有关的等式的推理【典型例题】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，则按照以上规律，若10具有“穿墙术”，则n＝（）A．48 B．63 C．99 D．120【解答】解：根据题意，2，则有2，3，则有3，4，则有4，5，则有5，若10，则有n＝102﹣1＝99；故选：C．【再练一题】观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72020的末两位数字为（）A．01 B．43 C．07 D．49【解答】解：72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，即7n的末两位数分别为49，43，01，07，具备周期性，周期为4，2020＝504×4+4，则72020的末两位数为与74的末两位数相同，即01，故选：A．命题点2与不等式有关的推理【典型例题】已知，经计算f（4）＞2，，f（16）＞3，，则根据以上式子得到第n个式子为．【解答】解：观察已知中等式：f（4）＝f（22）＞2，f（8）＝f（23），f（16）＝f（24）＞3，f（32）＝f（25），…，则f（2n+1）（n∈N*）故答案为：f（2n+1）（n∈N*）【再练一题】已知x＞1，观察下列不等式：x2；x23；x34；…按此规律，第n个不等式为．【解答】解：由x2；x23；x34；…按此规律，第n个不等式为：x n n+1，故答案为：x n n+1命题点3与数列有关的推理【典型例题】把数列{a n}的各项按照如图规律排成三角形数阵；若a n＝2n﹣1，n∈N*，则该数阵的第20行所有项的和为．【解答】解：由该数阵的规律可得：第1行的最后一项的项数为1＝12，第2行的最后一项的项数为4＝22，第3行的最后一项的项数为9＝32则第n行的最后一项的项数为n2，则该数阵的第20行最后一项的项为﹣a，第一项为：﹣a由已知有：第20行共20×2﹣1＝39项，则从左到右按相邻两项分组，每一组的和为2，则该数阵的第20行所有项的和S＝2×19﹣a38﹣（2×202﹣1）＝﹣761，故答案为：﹣761．【再练一题】如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y＝±x等分成八个区域（不含边界），已知数列{a n}，S n 表示数列{a n}的前n项和，对任意的正整数n，均有a n（2S n﹣a n）＝1，当a n＞0时，点P n（a n，a n+1）（）A．只能在区域②B．只能在区域②和④C．在区域①②③④均会出现D．当n为奇数时，点P n在区域②或④，当n为偶数时，点P n在区域①或③【解答】解：任意的正整数n，均有a n（2S n﹣a n）＝1，则S n（a n），∴S n+1（a n+1），∴a n+1（a n+1﹣a n），即a n+1﹣a n，∵a n＞0，∴a n+10，解得a n+1＜﹣1或0＜a n+1＜1，故点P n（a n，a n+1）只能在区域②和④故选：B．命题点4与图形变化有关的推理【典型例题】如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到255个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝255，∴n＝8，∴最小正方形的边长为（）7．故选：A．【再练一题】按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形“△”或“∇”，则该图案共有（）A．16层B．32层C．64层D．128层【解答】解：设该图案共有n层，则1+3+5+…+（2n﹣1）＝1024，即n2＝210，所以n＝25＝32，故选：B．思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【题型二】类比推理【典型例题】已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（）A．1044 B．1024 C．1045 D．1025【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2k﹣1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2k﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，k，总共的项数为N＝1+2+3+…+k，当k＝9时，45，故该数列的前50项和为S50＝21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+29﹣1+1+2+4+8+169+31＝1044．故选：A．【再练一题】设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．将此结论类比到空间四面体：设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（）A．B．C．D．【解答】解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，∴r．故选：C．思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．【题型三】演绎推理【典型例题】某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝log a x（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是（）A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①【解答】解：①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝log a x（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，大前提是②，小前提是①，结论是③．故排列的次序应为：②→①→③，故选：C．【再练一题】矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直．在以上三段论的推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论错误【解答】解：大前提，“矩形的对角线互相垂直”，小前提，正方形是矩形，结论，所以正方形的对角线互相垂直，大前提是错误的，因为矩形的对角线相等．以上三段论推理中错误的是：大前提，故选：A．思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．基础知识训练1．===…，依此规律，=则2+a b 的值分别是（） A ．79 B ．81C ．100D ．98【答案】D 【解析】====2n ≥=9b =，29180a =−=， 故2801898a b +=+=， 故选：D ．2．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{}n a 中，111111,2n n n a a a a −−⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，可得231,1a a ==，由此归纳出{}n a 的通项公式1n a = 【答案】C 【解析】解：∵A 中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B 中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C 为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D 为不完全归纳推理，属于合情推理． 故选：C ．3．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】C【解析】解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2019是奇数，结论：2019不能被2整除；∴正确的排列顺序是②③①．故选：C．4．将正整数排列如图：则图中数2019出现在（）A．第44行第84列B．第45行第84列C．第44行第83列D．第45行第83列【答案】D【解析】依题意，经过观察，第n行的最后一个数为n2，而令n2≤2019得，n≤44，所以2019在第45行，2019﹣442＝83，所以2019 在第45行，第83列．故选：D．5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．②C．①②③D．③【答案】C【解析】正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确； 对于②，正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，∴相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；对于③，各个面都是全等的正三角形，∴各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确．∴①②③都是合理、恰当的．故选：C ．6．正切函数是奇函数，()()2tan 2f x x =+是正切函数，因此()()2tan 2f x x =+是奇函数，以上推理（ ）A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．以上均不正确【答案】C 【解析】大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提：()()2tan 2f x x =+是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：()()2tan 2f x x =+是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确. 故答案选C7．观察下列各式：1234577749734372401,716807,=====，，，，则20197的末尾两位数字为（ ）A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】B 【解析】 根据题意，得2345749734372401,716807,====，，677117649,7823543==，8975764801,740353607...== 发现427k −的末尾两位数为49，4-17k 的末尾两位数为43，47k 的末尾两位数为01，417k +的末尾两位数为07，（1,2,3...k = ）； 由于201945051=⨯−，所以20197的末两位数字为43； 故答案选B8．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质22||a a =类比得到复数z 的性质22||z z =；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是 A ．①② B ．③④C ．②③D ．①④【答案】D 【解析】①设a 与b 的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，cos b a b a θ⋅=⋅r r r r ，则a b b a ⋅=⋅r r r r成立；②由于向量的数量积是一个实数，设a b m ⋅=r r ，b c n ⋅=r r，所以，()a b c mc ⋅⋅=r r r r 表示与c 共线的向量，()a b c na ⋅⋅=r r r r表示与a 共线的向量，但a 与b 不一定共线，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r不一定成立；③设复数(),z x yi x y R =+∈，则222z x y =+，()()22222z x yi x y xyi =+=−+是一个复数，所以22z z =不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的。
合情推理—归纳推理
随着人工智能应用的广泛，归纳推理的可解释性成为了一个重要问题， 未来将有更多研究关注如何提高归纳推理的可解释性。
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合情推理的结论通常是确定 的，而归纳推理的结论通常 是不确定的，因为归纳推理 是基于有限的事例进行的。
04 合情推理的实际应用
商业决策
01
市场需求预测
通过分析历史销售数据和市场趋 势，推断未来市场需求和产品发 展方向。
竞争分析
ห้องสมุดไป่ตู้02
03
风险评估
通过研究竞争对手的产品、价格、 市场占有率等信息，评估自身竞 争优势和劣势。
归纳推理的定义
归纳推理是从个别到一般的推理过程，即从具体事例出发，通过观察、实验和分析，形成一般性的结 论或规律。
归纳推理的结论不是基于前提必然得出的，而是基于大量实例和经验，通过概括和总结得出的。
归纳推理的特点
1
归纳推理的结论是建立在大量实例和经验基础上 的，因此具有或然性，即结论不一定完全准确。
归纳推理在数学和逻辑学中也具有重要地位， 如在数学中的归纳法，逻辑学中的归纳逻辑等。
归纳推理在人工智能领域也得到了广泛应用， 如机器学习和数据挖掘等。
03 合情推理与归纳推理的联 系与区别
联系
都属于推理范畴
合情推理和归纳推理都是推理的两种基本形式，它们都是从已知事实出发，通过一定的逻辑或经验规则推导出未知事 实的思维方式。
合情推理与归纳推理
目 录
• 合情推理概述 • 归纳推理概述 • 合情推理与归纳推理的联系与区别 • 合情推理的实际应用 • 归纳推理的实际应用 • 合情推理与归纳推理的未来发展
01 合情推理概述
合情推理与归纳推理的关系
合情推理与归纳推理的关系合情推理和归纳推理，这俩词听上去可能有点高深，其实说白了就是咱们日常生活中常用的推理方式。
合情推理，顾名思义，就是要结合情理来分析问题。
想想看，咱们遇到麻烦事儿的时候，常常会根据以往的经验来判断，哦，可能是这样的，这种情况一般会这样发展。
这就是合情推理，特别像咱们平常聊天时，感觉到某个人情绪低落，没必要非得问个究竟，心里就知道大概发生了什么。
这种直觉就源自生活中的观察，真的是“见人说人话，见鬼说鬼话”的道理。
再说归纳推理，这个词听起来就像是个文艺范儿的家伙，给人一种复杂的感觉。
其实归纳推理就是把多个个例归结为一个一般性的结论。
比如，假设你在公园里见到五只小狗，每只都热情得不得了，你心里就琢磨着“哦，这个品种的小狗都特别友好！”这就是归纳推理，简单明了。
你从具体的实例出发，慢慢推到一个普遍的结论，像是从点到面，像极了咱们小时候看书，图文并茂的那种，明白了一个就能推导出更多的道理。
合情推理和归纳推理是如影随形的。
就像两位好朋友，一起玩耍，一个负责找乐子，一个负责分析情况。
合情推理在乎的是情感、语境，归纳推理则偏重于逻辑、事实。
咱们生活中每当遇到新情况，都少不了这两种推理的结合。
比如，你去朋友家做客，看到他们家有只猫特别粘人。
你心里不禁琢磨，难道这只猫对我有特别的好感？这就是合情推理。
不过，回头一想，可能是因为他们家平时就养猫，猫对来的人都这样热情，这就是归纳推理了。
而且啊，生活中这两者的关系往往不是那么清晰。
很多时候，你可能是先用合情推理判断，然后再用归纳推理来确认。
比如，看到一位同事在午餐时总是点沙拉，你心想“她一定很注重健康。
”这就合情推理。
但随着时间推移，发现她每天都是这样，你才开始觉得“哦，看来她的饮食习惯就是这样。
”这时你用到了归纳推理，合情和归纳在这里就像是热锅上的蚂蚁，互相作用，密不可分。
咱们说到这里，可能有人会问，这合情推理和归纳推理能在生活中带来什么好处呢？答案当然是非常实用啊！比如在职场上，合情推理可以帮助你了解同事的情绪，促进沟通。
合情推理2类比推理
类比推理的特点
01
类比推理是一种或然性推理，其结论并非必然的，而是有一定 的不确定性。
02
类比推理依赖于比较和推断，需要有一定的经验和知识作为基
础。
类比推理在科学、法律、商业等领域有广泛应用，是一种重要
03
的推理方法。
类比推理的常见类型
属性类比
根据对象的某些属性之间的相似性进行类比，例如根据两种动物 的行为特征进行比较。
教育教学中的合情推理与类比推理
教学方法选择
教师可以通过合情推理分析学生的学习情况，选择适合的教学方法， 提高教学效果。
学科知识整合
教师可以通过类比推理将不同学科的知识进行整合，帮助学生建立 全面的知识体系。
学生评估
教师可以通过合情推理评估学生的学习进度和能力，为个性化教学提 供依据。
个人生活中的合情推理与类比推理
合情推理案例：侦探小说中的推理
合情推理在侦探小说中表现为
从已知事实出发，通过逻辑推理和经验判断，推导出可能的 解决方案。
案例
《福尔摩斯探案集》中福尔摩斯通过观察细节和逻辑分析， 推断出嫌疑人的身份。
类比推理案例：科学实验中的推理
要点一
类比推理在科学实验中表现为
要点二
案例
通过比较不同实验条件下的结果，推断出可能的因果关系 。
合情推理与类比推理
目录
• 合情推理介绍 • 类比推理介绍 • 合情推理与类比推理的比较 • 合情推理与类比推理的案例分析 • 合情推理与类比推理的实际应用
01 合情推理介绍
合情推理的定义
合情推理是一种基于经验和常识的推 理方式，通过观察、归纳、类比等方 法，从已知事实推导出未知结论。
它不同于演绎推理，演绎推理是基于 前提条件和逻辑规则推导出结论，而 合情推理则更注重实际情况和经验。
归纳推理合情推理教学课件
以上推理所得结论是否一定正确？
合情推理
这种前提为真时，结论可能为真的推理， 叫做合情推理. 对比上面的 1、3 这两个推理，你能发 现它们的相同点和不同点吗？
看下面的例子，试写出一般性结论
1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 一元一次方程有一个根 一元二次方程最多有两个根 一元三次方程最多有三个根
什么是归纳推理？
归纳推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质, 推出该类事物的所有对象都具有这种性 质的推理, 称为归纳推理(简称归纳). “归纳出了归纳”
汉诺塔问题
如图，有三根针和套在一根针上的若干 金属片，按下列规则，把金属片从一根 针上全部移到另一根针上。
(1) 每次只能移动1个金属片； (2) 较大的金属片不能放在较小的金属片上面。
生活中经常看到的一些现象
天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家， 我们会想到什么？ 河面的冰融化，柳树发芽，草地泛青， 我们又会想到什么？
什么是推理？
推理
根据一个或几个已知的事实（或假设） 来确定一个新的判断的思维方式就叫推 理。 从结构上说，推理一般由前提和结论两 部分构成的。
下面哪些是推理？
归纳推理
合情推理（1）
华罗庚爷爷讲的小故事:
有位老师想辨别他的两个学生谁更聪明。 他采用如下的方法: 事先准备好两顶白帽 子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让 他们闭上眼睛。老师给他们戴上帽子，并 把剩下的那顶帽子藏起来。最后让学生睁 开眼睛，看着对方的帽子,说出自己所戴帽 子的颜色。 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿， 然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子”。 聪明的各位, 想想看, 他们是怎么知道的？
归纳与技巧：合情推理与演绎推理(含解析)
归纳与技巧：合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：基础题必做1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8 5． 观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________． 解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.[自主解答]依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(x＞0)．[答案]x(2n－1)x＋2n(x＞0)解题方法归纳1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1． 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.类 比 推 理典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解题方法归纳1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1演 绎 推 理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3． 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4． 给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”． 其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6． 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7． 设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋228 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29． 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论． 解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.1． 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03． 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1． 观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.2． 已知如下等式：3－4＝17(32－42)， 32－3×4＋42＝17(33＋43)， 33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)， 34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)， 则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)． 解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]。
合情推理—归纳推理
……
10个不小于6的偶数都等于两个奇质数
之和。 2021/4/9
3
3.归纳推理:由某类事物的部分对象
具有某些特征，推出该类事物的全部
对象都具有这些特征的推理，或者由
个别事实概括出一般结论的推理称为
归纳推理。
简之：由部分到整体，由个别到一般
的推理。
4.部分到整体
由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳
§2.1 合情推理与演绎推理
一、推理的定义及分类
1.推理是人们思维活动的过程，是根 据一个或多个已知的判断来确定一个 新的思维过程。 2.日常生活中的例子
⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。
我们会推断—天要下雨啦；
2021/4/9
1
⑵张三今天没有来上课。 我们会推断—张三生病啦；
⑶谚语说：“八月十五云遮月，来
出“一切金属都导电”；
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4
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争取权利。 （12）就当矿难的悲哀正在褪去的时候，媒体上一个很不起眼报道终于被我看到了。 一个名叫常远的 律师，带领着自己的小团队义务承揽下了所有死难矿工的索赔事务。这条很小的信息，却因为这个熟悉而又陌生的名字而让我震惊。 （13）我立刻致电李信律师的时候，他确认道“没错，就是他，我也很佩服这小子。” （14）“您觉得他接这个案子是为了出名吗？”我问道。 （15）“还真不 是。你记得他曾经在青海一个矿区的酒吧演出过一段时间吧。”老李继 续说道。 “那地方就在茫崖。听常远的爸说，常远在那生活的一段时间，很了解矿工们的生活状况。他自己后来跑回来要继续考律师时就跟他爸说，以后要帮请不起律师的穷人打官司。” （16）我听老李说完这些，沉默了 许久，最后，我发自内心地说了一句：“后生可畏啊！” （17）电话那头老李肯定地重复道：“后生可畏！” （选自《新华文摘》2016年第13期，有删改） （1）文中写到常远的哪些经历？请按顺序补充完整 ﹣﹣﹣被迫备考律师﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣帮助穷人打官司 （2）读文中 划线句子，完成题目 ①简析第一段中划线句子的描写手法及其表达效果 ②第十二段中划线句子为什么说“我”对常远的名字熟悉而又陌生 （3）联系内容分析，常远的哪些品质让“我”和老李觉得“后生可畏”？ （4）小说主人公是常远，作者却以大部分内容写“我”和老李，这样写有什么 好处？ 代谢：12、（1）想当摇滚乐手 继续备考律师 承揽死难矿工索赔 （2）①这个句子运用了神态与动作描写，形象生动地表现出看书备考的常远心不在焉，为下文“我”和老李对年轻人的感慨作铺垫； ②因为在报上看到常远的名字与事迹之前，我对他的爱好及经历已有所了解，所以说“ 熟悉”；但我所知道的常远是一个不务正业，与父母反叛，不愿作律师的青年，现在他不仅当上了律师，还自愿免费为穷苦人打官司，让我惊讶，所以说“陌生”． （3）①他个性鲜明，有主见．父亲让他当律师，而他却根据自己的爱好选择当一名摇滚乐手．②他有社会责任感，勇于担当．他 到青海茫崖矿区演出，了解到矿工生活状况后，就决定回来考律师，为请不起律师的穷人打官司．③他不计名利，有奉献精神．矿难发生，他带领律师团队，义务为矿工打官司． （4）①“我”和老李的对话构成小说的基本框架．先写我们“上辈人”对他的不满，再写对他的佩服，先抑后扬， 波澜起伏，曲折有致．②通过“我”和老李的叙述侧面描写了常远这个有个性、敢于担当的人物形象，真实可信，给人以宽广的想象空间．③通过“我”和老李的态度变化，表现了要正确看待年轻人这一主题． （2017山东枣庄）8．（15分）阅读下面文章，完成下面各题 嘱托 格?鲍姆特 就在 彼得动身前往华沙参加一九五五年世界青年联欢节的前一晚，有人来敲门。原来是一位邻居。他从衣兜里掏出一个红色的小包包，然后摆在桌面上，摊开来。里头是一张相片、一封信和一张字条。 他讲述了有关这个红小包的一段经历﹣﹣ 一九三九年，第二次世界大战爆发后，德国法西斯的第 一个目标就是波兰。这样，大批的波兰人被弄到德国去。那时候，这位邻居正在一家锯木厂当工人，他曾答应帮助一个波兰囚犯实现他的托付。 一天，锯木厂的一个工棚失火了。人们都在交头接耳，心里明白是囚徒们干的好事，他们想用这样的方式把斗争进行下去。一群身穿黑制服的党卫队员 朝工厂一拥而入，带走了许多做苦工的囚犯。 当党卫队员冲进邻居工作的那个车间时，他正与那位囚犯在干活，这位波兰人迅速地从裤兜里摸出一个红色的小包包，塞到德国工人的手里，“老婆和孩子……多替我问候﹣﹣要是战争完蛋了。”他脸急得煞白，压低嗓门刚说出这几句话，党卫队就 把他带走了，作为对这次纵火的报复。 一九四六年夏天，这位邻居发了一封信给囚犯的太太，她的地址就写在那张纸条上。可是，他并没有得到回音。一年半之后，他又试图再投一信﹣﹣然而，一切依旧是徒劳的。现在好了，终于有了这一天，他可以托人将这个小包包直接带到波兰去。这位邻 居把小红包郑重地递给彼得。 彼得注视着这张相片。相片上是一位妇女，手里抱着一个大约两岁左右的小姑娘。信呢，不言而喻是遇害者留给他家属的最后诀语。在那个小小的纸片上，用大大的字迹写着这样一个地址：“Z和M?尼波耶夫斯卡华沙斯巴索夫斯基大街十八号”。 “一定的，我会去 找她的，并将事情的一切转告她，这件事您完全可以信赖我。”彼得说。 那时候，当这位邻居把这个小红包交给他的时候，彼得觉得一切都很简单：只要去到华沙，把事情一讲，东西一交，不就完了嘛！然而，当彼得后来抵达那条街的时候，十八号的门牌怎样找也找不到。在那块空地上，从前 确实有过十二至二十六号门牌的房子，现在只见一群孩子在空地上踢着足球。在警察所，彼得也得不到一点答复。她们现在究竟住在哪儿呢？这个，彼得反而横下一条心，非找到她们不可了。 来到华沙，彼得有一种难以形容的求知的渴念，他见得越多，什么活动都想参加一下的要求就更大。 大约在联欢节开始后一个星期，他的朋友们建议他去与一些波兰小伙子和姑娘相会一下。开头他想不太好吧，但朋友们干脆连拉带扯地把他推拥走了。跳舞的时候，每个人都得找个舞伴，这时在彼得而前就站着一位姑娘，她羞赧地望着他，并且邀请他跳舞。就这样，德国、波兰的小伙子和姑娘 们相聚在一起。他们尽力地用手势比划着交谈，大伙笑着，欢快地跳着。 自这个晚上邂逅相遇后，彼得与玛留莎每天都要相会。 世界青年联欢节的最后一天终于到来了，整个华沙城都陷入一片欢腾之中，在大广场上，阿拉伯青年与瑞典青年，中国青年与黑人青年，伊朗青年与德国青年都在纵 情地载歌载舞地狂欢，然后他们慢慢地拥向火车站。 彼得伴随玛留莎在火车站站台上来来回回地溜达，广播员用广播催促大家赶快上车，彼得才恋恋不舍地攀上了车厢，将身子从车窗里探出来。他们相互凝视着，一时无言以对。 “地址，”玛留莎突然想起来，她的喊声就象呼救那样。 彼得摸 出笔记本，撕下一页，将他的地址记在上面。这时，他一下子才想起了那个小红包，于是赶忙把它掏出来。 “玛留莎，请帮助找一找，”他说，然后把这个小红包按在她的手心上。 “打开看看！”他大声说，他见她一时还未领悟他的意思。 她打开这个小红包，念起来了。火车慢慢地挪动了。 玛留莎脚下象是生了根似的，粘住了。她几乎要被那些跟着火车而跑的人撞倒。“玛留莎，”彼得喊了她一声。玛留莎抬起头来一望，开始随火车跑起来，接着她停下脚来，摆着手，手里的那块红包纸就象一方告别的红头巾。彼得还在望着她，一时间留给他最深的印象是，她整个脸庞都叫泪水 湿透了。 “为什么她哭得这样厉害？”彼得思忖着，这时他已缩在一个角落里。“我将给她写信，”他�
合情推理归纳推理
多角度思考问题
变换思考角度
尝试从不同的角度、立场或背景出发思考问 题，打破思维定势，发现新的思路和方法。
对比分析
对相似或不同的事物进行对比分析，找出它 们之间的异同点、联系和规律，为合情推理
和归纳推理提供依据。
不断练习和总结
要点一
大量练习
通过大量的练习，逐渐掌握合情推理和归纳推理的技巧和 方法，提高推理的准确性和效率。
Байду номын сангаас
要点二
及时总结
在练习过程中及时总结经验教训，发现自身的不足和问题 ，不断改进和提高。同时，将学到的知识和方法应用到实 际生活和工作中，不断检验和完善自己的推理能力。
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如果在被研究现象出现的两个或两个 以上的场合中，只有一个情况是共同 的，那么这个共同情况就与被研究的 现象之间有因果联系。
如果在被研究现象出现和不出现的两 个场合中，只有一个情况不同，其他 情况完全相同，而且这个唯一不同的 情况在被研究现象出现的场合中存在 ，在被研究现象不出现的场合中不存 在，那么这个唯一不同的情况就与被 研究现象之间有因果联系。
经验验证原则
推理的结论应该能够通过经验验证，符合实际情 况和常识。
合情推理的常用方法
1 2
归纳推理
从个别性知识推出一般性结论的推理方法，包括 简单枚举归纳、科学归纳和类比归纳等。
演绎推理
从一般性原理出发，通过逻辑推理得出特殊情况 下的结论，包括三段论、假言推理和选言推理等。
3
类比推理
根据两个或两类对象在某些属性上的相似，推断 它们在其他属性上也可能相似的一种推理方法。
如果被研究现象发生变化时，只有一 个情况也发生变化，那么这个情况就 与被研究现象之间有因果联系。
2.1.1合情推理
2 n m 2
Sm , S2 m Sm , S3 m S2 m Sm , S2 m Sm , S3 m S2 m
成等差数列
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想． 设三棱锥A-BCO的三个侧面AOB、AOC、 BOC两两互相垂直，可以猜想：
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅 有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若 用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=
n>4时,f(n)=
f (3) f (2) 2 f (4) f (3) 3 f (5) f (4) 4
1 ( n 2)( n 1) .(用n表示) 2
5 ,当
f ( n) f ( n 1) n 1 累加得: f (n) f (2) 2 3 4 ( n 1)
(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方 程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广, 即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为 所推广命题的一个特例,推广的命题为：
数论中最著名的世界难题之一
费马猜想
1637年，法国数学家费马提出： “将一个立 方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个 四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分 为两个同次的幂的和，这是不可能的.” 300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家， 法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解， 德国也于1908年悬赏十万马克征解。 经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大 学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题.
合情推理的例子_合情推理
摘要合情推理是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修1—2）中第二章《推理与证明》第一节中的内容。
文章对该内容第一课时的教学内容，目标，过程设计等作了较详细的阐述，对初涉该内容的教学者有一定的指导意义。
关键词推理；归纳；类比一、教学内容与内容解析（1）内容合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。
（2）内容解析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修1—2）中第二章《推理与证明》第一节的第一课时。
因为归纳推理和类比推理统称为合情推理，所以本人认为应该把纳推理和类比推理都介绍给学生，整个课题才算完整。
推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。
一般包括合情推理和演绎推理, 本节课所要学习的合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。
可见归纳和类比是合情推理常用的思维方法。
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，这既是重点也是难点。
虽然由合情推理获得的结论，仅仅是一种猜想，并不一定正确，还有待证明，但是在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。
二、教学目标与目标解析目标（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义；（2）能利用归纳和类比的方法进行简单的合情推理；（3）认识合情推理在数学发现中的作用，提高学习兴趣，感受数学的人文价值，体会到数学学习的美感。
目标解析我们要建立一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
让学生通过欣赏“一叶知秋”产生的过程，借助学生已有生活常识，形成推理的直观认识；使学生对推理有初步认识，体验数学的一种基本思维过程，经历人们学习和生活中经常使用的思维活动。
教学时要紧密地结合学生熟悉的已学过的数学实例和生活实例，从浅显易懂的例子入手，大量运用数学家的故事激励学生，通过本节课要激发爱国主义热情，让学生体会到数学学习的美感。
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天空乌云密布，你能得出什么推断？
已知 判断
前提
新的 判断 结论
推理 是人们思维活动的过程，是根
据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程。
铜能导电 铝能导电 金能导电
部分 银能导电 个别 180 三角形内角和为
。
一切金属都 能导电.
整 体
凸n一 边形内 般 角和为
凸四边形内角和为360
4
(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数
的变化规律,试猜测第n个图形中有
n n 1个点.
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【例2】对自然数n，考察 n n 11 的结果情况：
2
n 0 1
2 3 4 5 …
n 2 n 11
11 11 13 17 23 31 …
【例3 】观察下列的等式,你有什么猜
2 2
对于所有的自然数n，n n 11的值都是质数。
2
归纳推理的特点:
(1). 从特殊到一般；
(2).具有创造性； (3).具有或然性。
合情推理是冒险的， 有争议的和暂时的． －－波利亚
例1：观察下列算式： 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
大胆猜想:
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
2 1 5, 2 1 17, 23 24 2 1 257, 2 1 65537 ,
21
22
归纳推理的 一般步骤
实验观察
都是质数
猜想： 2 1是质数 .
半个世纪之后，欧拉发现：
2n
大胆猜想
641 6700417 2 1 4294967297
于是[1 2 n (n 1) ] 2(1 2 n )
2 2 2 2 2 2 2
(1 2 n) (n 1)
2 2
3
1 故1 2 n n(n 1)( 2n 1) 6
2 2 2
1 2 3 4 30
2 2 2 2
1 2 3 4 5 55 ?
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 n ?
2 2 2 2 2 2
12 1
2
11
1 2 5
2
1 2 3
1 2 3 6
凸五边形内角和为540
。
。
n 2180.
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
你还能举一些 归纳推理的例子吗?
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 个数是_______. 2n 1
1 2 3 4 10
1 2 3 4 5 15
1 2 ห้องสมุดไป่ตู้ 14
2 2 2
1 5 3 7 3
12 22 32 42 30
2 2 2 2 2
3
1 2 3 4 5 55
2 2 2 2
11 3
2 n 1 ? 3
1 2 3 n n(n 1) 1 2 3 n ? 2
在全部过程中 , 总共添补的积木块数为 : 1 3 2 5 n(2n 1) 2(12 22 n 2 ) (1 2 n)
想吗?
1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 2 1+3+5+7+9=25=5
……
由此猜想:前n个连续的奇数的和 等于n的平方,即: 1+3+5+…+(2n-1)=n2
每幅地图可 以用四种颜色着 色，使得有共同 边界的相邻区域 着上不同色. 1852年，英国人弗南西斯·格思里为地图着色 时，发现了四色猜想. 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算 机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
你能得出怎样的结论？
变式一：图中共有多少个正方体？
变式二：如图，将圆珠堆成三角垛，底层每边位n个，向上逐层每边减少1个， 顶层是1个， 问第个图形共有多少颗圆珠？
拓展：图中共有多少个小正方体？
1 1
2
1 2 5
2 2
1 2 3 14
26 27 28
25
检验猜想
后来人们发现 2 1,2 1,2 1都是合数.
新的猜想： 形如 2
2n
1（ n 5 ） 的数都是合数.
思考：当n=6,7,8,9,10,11时，n2-n+11=?
当n=0时，n n 11 11 当n=6时，n n 11 41
2 2
当n=1时，n2 n 11 11 当n=7时，n 2 n 11 53 当n=2时，n2 n 11 13 当n=8时，n 2 n 11 67 当n=3时，n2 n 11 17 当n=9时，n 2 n 11 83 当n=4时，n2 n 11 23 当n=10时，n 2 n 11 101 当n=5时，n n 11 31 当n=11时，n n 11 121
n
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验，进而对整体做出推断. 成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
【例１】观察下列各图中点的个数情况：
……
1
2
3
观察下列等式
3+7=10， 10=3+7 ，
3+17=20， 20=3+17， 13+17=30， 30=13+17. 归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 没有出现反例.
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)