微课：矩阵的分块共33页
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4 矩阵的分块运算
A2 B2 0
它们还是准对角阵.
10
返回
准对角阵的行列式具有如下性质:
A A1 A2 As . 由此可知,若 Ai 0 ( i 1,2, , s), 则 A 0, 从而A可逆, 且有
A11 1 0 A 0 0 A2
1
0
11
0 0 0 . 1 0 As 0
2
返回
例如，把A分成若干子块
a11 a A 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 A11 a24 A 21 a34 A12 A22 A13 . A14
当然，还有其它分块法. 比如：
a11 a A 21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
A11 A1 s B11 B1t , B . A Ar 1 Ars Bs 1 Bst C11 C1t , 于是有 AB C r 1 C rt 其中 C ij Ai 1 B1 j Ai 2 B2 j Ais Bsj
其中子块Aij与Bij的行数相同, 列数也相同, 则有
4
返回
A11 B11 A B 21 21 A B Ar 1 Br 1
A12 B12 A22 B22 Ar 2 Br 2
A1 s B1 s A2 s B2 s . Ars Brs
( i 1,2,, r; j 1,2,, t ).
6
返回
注意: 在分块矩阵的乘积中,左矩阵列的分 法必须与右矩阵行的分法一样.
微课：矩阵的分块
所以，右边矩阵的划分可以如如下进行都行
2 5 6 3 2 1
2 5 6 3 2 1
2 5 6 3 2 1
（1） 1 3 3 2 1 0 （2） 1 3 3 2 1 0 （3） 1 3 3 2 1 0
2
1
1
4
2
3
2
1
1
4
2
3
2
1
1
4
2
3
5 2 1 1 3 1
5 2 1 1 3 1 5 2 1 1 3 1
微课：矩阵的分块及其乘法
微课：矩阵的分块及其乘法
一. 矩阵的乘法的条件和结果 我们知道，并不是任意两个矩阵都可以进行乘法运算，
当矩阵A和矩阵B满足如下条件时，可以进行乘法运算：
2
微课：矩阵的分块及其乘法
一. 矩阵的乘法的条件和结果
当两个矩阵可以进行乘法运算时，乘积矩阵的元素由左
边矩阵的一行与右边矩阵 的一列的元素对应相乘，然后相加
0
2
解：根据矩阵分块的乘法要求，左边矩阵的列分块与右边矩
阵的行分块一致，所以右边矩阵的行要划分为三行、两行的
两组（右边矩阵的列划分可以任意）
20
微课：矩阵的分块及其乘法
三. 矩阵分块的乘法
解：根据矩阵分块的乘法要求，左边矩阵的列分块与右边矩 阵的行分块一致，所以右边矩阵的行要划分为三行、两行的 两组（右边矩阵的列划分可以任意）
5 7
B4 B7
B2 B5 B8
B3 ,其中如
B6 B9
6 B5 3
6
8 6 7
2 7
等等
3
2
1
1
1
2
3
4
第四讲 矩阵的分块法
其中 Ai ( i = 1, 2,L , s ) 都是方阵, 那么称 A为分块 对角 矩 阵 .
分块对角矩阵的行列式具有下述性质: 分块对角矩阵的行列式具有下述性质
A = A A2 LAs . 1
A1 (6)设 A =
A2
o
, O As
o
若 Ai ≠ 0(i = 1, 2 ,L , s ), 则 A ≠ 0 , 并有
0 1 B E = 11 1 B21B22 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21
E B22 . A1 + B22 E
B11 = A1 B11 + B21
B11 AB = A1 B11 + B21
于是
B11 AB = A1 B11 + B21
A1 + B22 E
1 −1 = −2 −1
0 1 0 2 0 1 . 4 3 3 1 3 1
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
设 1 0 0 0 0 1 0 0 , A= − 1 2 1 0 1 1 0 1 求 AB . 解 把A, B分块成 1 0 A= −1 1
A1 0 B1 0 A1 0 ∴ ABA= 0 A2 0 B2 0 A2 0 A1B1 A1 = A2B2 A2 0
a 3 + a 2a 2 + 1 0 0 2 a3 + a 0 0 a = 3 2 . 0 0 b + 2b 2b + 1 0 2 3 0 3b b + 2b
分块矩阵
§2.4
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
1
一、矩阵的分块
对于规模较大, 零较多或局部比较特殊的矩
阵, 为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵
分割成小矩阵.在运算时, 把这些小矩阵当作元 素一样来处理.
具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分
成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2
例
a
Z Y
,
AX CW BW
AZ CY BY
E O
O E
,
AX CW E , X A1
AZ
CY BW
O, O,
Z W
A1CB 1 O
BY E .
Y B 1
因此
P 1
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
22
A O
C B
1
A1 O
A1CB 1 B 1
.
特别地， OA
| A5 | | A |5 243 ,
19
3 0 0 0 0 0 3 5 0 0
例3
设
A
0
1
2
0
0 , 求 A2 , | A | , | A5 | , AT .
0 0 0 3 1
0
0
0
2
1
解
3 0 0 0 0
A1T
0
31
0
0
AT
A2T
A3T
0
0
5 0
2 0
0 3
0
.
2
0
0
0
1
1
20
例4 设
P
A 0
C B
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法的应用场景
矩阵分块法在许多领域都有广泛的应用，包括图像处理、信号处理、机器学 习和量子计算等。它在处理大规模数据和复杂模型时特别有效。
矩阵分块法的优缺点
1 优点
矩阵分块法可以显著降低计算复杂度，并提高计算效率。它还能够简化线性代数问题的 求解过程，并减少存储空间的需求。
2 缺点
矩阵分块法可能会增加算法的实现难度，并且在某些情况下可能会导致内存占用增加。 此外，分块的选择可能涉及一定的人工干预。
《矩阵分块法》PPT课件
欢迎来到Байду номын сангаас矩阵分块法》PPT课件！在本课程中，我们将深入探讨矩阵分块 法的定义、原理、应用场景、优缺点以及实例分析，以及它的发展前景。
矩阵分块法的定义
矩阵分块法是一种将大型矩阵划分为较小块的策略，以便更好地处理复杂的 线性代数问题。通过分块，可以简化运算和降低计算复杂度。
矩阵分块法的原理
矩阵分块法的原理是将大型矩阵划分为多个子矩阵，然后通过对子矩阵的运算，逐步求解原矩阵的问题。 这种分块方法可以使计算过程更加可行和高效。
二维分块和三维分块的区别
二维分块和三维分块是矩阵分块法的两种常见形式。二维分块将矩阵划分为 矩形块，而三维分块将矩阵划分为立方体块。三维分块更适用于某些特定类 型的问题。
矩阵分块法的实例分析
1
步骤一
选择合适的分块策略，将大型矩阵划分为多个子矩阵。
2
步骤二
对每个子矩阵进行运算，逐步求解问题。
3
步骤三
根据求解结果，重新组合子矩阵，得到原矩阵的解。
矩阵分块法的发展前景
随着大数据时代的到来，矩阵分块法的应用前景非常广阔。它在高性能计算和科学研究中的重要性不断 增加，将在未来发挥更大的作用。
大学线性代数课程 第七节 矩阵的分块法 课件
2
1
0
0
0 0 1 2
0
0
1
1
1 2 0
A
2
5
0
1
A1
O
0 0
O A2
,
A1
A11 O
O
A2
1
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1 3
1 1
2
1
,
0 0 1 3 2 3
0
0
1 3
1
3
6、设 B 1 2 L s , 则 AB A1 2 L s A1 A2 L As .
A11 L
A
M
As1 L
A1r
A11 L
M
,
R,
则
A
M
Asr
As1 L
k 0 k 3k
kI
kA
kO
kC
kI
0
0
0
k 0 0
2k k 0
4k
0kLeabharlann A1r M.
Asr
3、乘法 设 Aml , ，Bl分n 块成
A11 L
A
M
As1 L
A1t
B11 L
b01
注： 分块时首先满足 I，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O以及其它的特殊矩阵.
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.
1、矩阵的加法 设 A与 B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 L
A
M
As1 L
A1r
B11 L
《矩阵分块法》课件
矩阵分块法的优缺点
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
矩阵分块法具有降低计算规模、提高计算效率和减少内存 占用的优点，但同时也存在分块方式选择不当可能导致计 算精度下降的缺点。
分块法未来的研究方向
优化分块算法
并行化与分布式计算
针对不同的应用场景，研究更加高效和稳 定的分块算法，以提高计算精度和效率。
利用并行化和分布式计算技术，实现大规 模矩阵分块计算的快速求解，以满足大规 模科学计算和工程应用的需求。
《矩阵分块法》 PPT课件
目录
• 引言 • 矩阵分块法的基本原理 • 矩阵分块法的算法实现 • 矩阵分块法的应用实例 • 矩阵分块法的优化与改进 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
什么是矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分 解为若干个小矩阵的数学方法。
通过将矩阵进行适当的分块，可 以简化计算过程，提高计算效率
03
CATALOGUE
矩阵分块法的算法实现
分块矩阵的存储方式
二维数组
将分块矩阵存储为一个二维数组 ，每个元素代表一个子矩阵。
稀疏矩阵格式
对于稀疏矩阵，可以使用特殊的 存储格式，如COO、CSR等，以 节省存储空间。
分块矩阵的算法步骤
分块
将原始矩阵按照一定的规 则划分为多个子矩阵。
计算子矩阵
对每个子矩阵进行所需的 操作，如求逆、求特征值 等。
简化计算
对于某些特殊类型的矩阵，如稀疏矩阵或结构矩阵，分 块法可以进一步简化计算，提高计算效率。
分块法可以将大型矩阵的特征值问题分解为若干个小矩 阵的特征值问题，简化计算过程。
分块法还可以用于预处理步骤，通过将大型矩阵分解为 小矩阵，可以更好地应用特征值计算的迭代方法。
分块法在图像处理中的应用
第四节矩阵分块法
解: 把A, B分块成
A
1 0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 0
00
0 1
E A1
O E
,
B
1 1 1 1
0 2 0 1
1 0 4 2
01 01
B11 B21
E B22
则
AB
E A1
O E
B11 B21
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
.
而
A1 B11
B21
1 1
21
.
ABA
A1 O
O A2
B1 O
O B2
A1 O
O A2
A1
B1 O
A1
A2
O B2
A2
,
而
A1B1 A1
a 0
1 a
a 1
0 a
a 0
1 a
a
3 a2
a
2aa32a1,
A2 B2 A2
b 1
1 b
b 1
b0
b 1
b1
b
3 3b
2b
2
2b b3
2 1 2b
,
所以
a3 a 2a2 1 0
子块外, 其余子块均为零矩阵, 且对角线上的子块均为
方阵, 即
A1 A
A2
O
O
, As
则称A为分块对角矩阵, 或准对角矩阵.
分块对角矩阵具有下述性质:
1.
| A | = | A1 | | A2 | ···| As |.
2. 设分块对角矩阵A, 若| Ai | 0 (i=1,2,···,s),
[理学]2-4矩阵分块法
![[理学]2-4矩阵分块法](https://img.taocdn.com/s3/m/8b0c6fea84868762caaed5dd.png)
A1
r
.
As1 Asr
例
2,
1 A3
2 2
3 1
4 5 6
1 2 2 2 3 2 2A3 2 2 2 1 2
4 2 5 2 6 2
4 4 6 6 4 2 .
8 10 12
3 设 A 为 m l矩 ,B 为 阵 l n 矩 ,分 阵 块
A A 11 A 1t , A s1 A st
AB A A 1 0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
A1B1A1 0 , 0 A2B2A2
A1B1A1a3a2a 2aa32a1, A2B2A2b33 b22b b23 b2 21 b,
AB A 1 A0 B 1 0 A 1 0 0 A 20 B 20 A 2
o
. As 1
A1
7 0
0
A2
0B1 0 0
0
B2
0 0
0 0 As 0 0 Bs
A1B1
0
0
A2B2
0
0
.
0
0 AsBs
例1 (P49) 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
于是
A B B 11
E
A 1B 11 B 21 A 1B 22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
1 3
.
1 1 3 1
a 1 0 0
例2
设
A
0 0
a 0
分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵
线性代数第07讲 矩阵的分块
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组 1 , 2 ,, m , 构成一个m n矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
1 0 0 1 4 1 2 0
B11 B21
E B22
E 则 AB A1
O B11 E B21
E B22 . A1 B22 E
9
B11 A1 B11 B21
B11 AB A1 B11 B21
A11 B11 A B A B s1 s1
A1r B1r . Asr Bsr
5
A11 A1r 2 设 A , 为数, 那末 A A s1 sr
A11 A1r A . A Asr s1
4
1 设矩阵A与B的行数相同, 列数相同, 采用
相同的分块法, 有
同型 同分法
A11 A A s1
A1r B11 , B B Asr s1
B1r Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
a1 , a2 , , an 称为向量 的负向量
向量减法：
( )
注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加法和减法运算！
T 数乘向量：设k是一个数，向量 ( ka1 , ka2 , , kan )
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组 1 , 2 ,, m , 构成一个m n矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
1 0 0 1 4 1 2 0
B11 B21
E B22
E 则 AB A1
O B11 E B21
E B22 . A1 B22 E
9
B11 A1 B11 B21
B11 AB A1 B11 B21
A11 B11 A B A B s1 s1
A1r B1r . Asr Bsr
5
A11 A1r 2 设 A , 为数, 那末 A A s1 sr
A11 A1r A . A Asr s1
4
1 设矩阵A与B的行数相同, 列数相同, 采用
相同的分块法, 有
同型 同分法
A11 A A s1
A1r B11 , B B Asr s1
B1r Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那末
a1 , a2 , , an 称为向量 的负向量
向量减法：
( )
注意：两个向量只有维数相同时，才能进行加法和减法运算！
T 数乘向量：设k是一个数，向量 ( ka1 , ka2 , , kan )
线性代数第1章第4节矩阵的分块
A2 1
O
O O . 1 As
10
(6)
O O As O
O O B2 O O Bs
a 1 A1 , 0 a b 1 A2 . 1 b a 0 B1 , 1 a b 0 B2 . 1 b
16
A1 A B O
O B1 O A2
O A1 B1 O B2
其中Ai1, Ai2, ·, Ait的列数分别等于B1j, B2j, ·, Bij的行数， · · · · 那么
C11 C1r AB C C sr s1
t
其中 C ij Aik Bkj
k 1
i 1,, s; j 1,, r .
5
二、分块矩阵的运算
(1) 设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同 的分块法，有
A11 A1r B11 B1r A , B A A B B sr sr s1 s1
其中Aij与Bij的行数相同，列数相同，那末
8
T A11 AsT1 A11 A1r , 则 AT . (4) 设 A T A A AT Asr sr s1 1r
(5) 设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是 方阵．即 A1 O O O A O 2 , A O O As 其中Ai (i = 1, 2,·, s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵. · ·
4
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
O
O O . 1 As
10
(6)
O O As O
O O B2 O O Bs
a 1 A1 , 0 a b 1 A2 . 1 b a 0 B1 , 1 a b 0 B2 . 1 b
16
A1 A B O
O B1 O A2
O A1 B1 O B2
其中Ai1, Ai2, ·, Ait的列数分别等于B1j, B2j, ·, Bij的行数， · · · · 那么
C11 C1r AB C C sr s1
t
其中 C ij Aik Bkj
k 1
i 1,, s; j 1,, r .
5
二、分块矩阵的运算
(1) 设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同 的分块法，有
A11 A1r B11 B1r A , B A A B B sr sr s1 s1
其中Aij与Bij的行数相同，列数相同，那末
8
T A11 AsT1 A11 A1r , 则 AT . (4) 设 A T A A AT Asr sr s1 1r
(5) 设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是 方阵．即 A1 O O O A O 2 , A O O As 其中Ai (i = 1, 2,·, s)都是方阵，那么称A为分块对角矩阵. · ·
4
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
1.9矩阵的分块
§1.9 矩阵的分块
2.4.1 分块阵的定义 对于行数和列数较大的矩阵, 对于行数和列数较大的矩阵, 经常采用 矩阵分块法” ,即将一个大矩阵看成是 “矩阵分块法 ” ,即将一个大矩阵看成是 以一些小矩阵为元素的矩阵.在运算中, 以一些小矩阵为元素的矩阵.在运算中 ,常 元素”来处理. 常把这些小矩阵当作 “元素”来处理. 定义 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分 成许多小矩阵, 成许多小矩阵,每个小矩阵称为 A 的一个子 块 , 以这些子块为元素的形式上的矩阵称 为分块阵. 为分块阵.
i 若 Ai ，Bi 是同阶的方阵， =1,2,⋯, s
A + B1 1 A+ B =
A2 + B2
⋱ As + Bs
cA 1 cA2 , cA = ⋱ cAs
c 是数
A ⋅ B1 1 A⋅ B =
记 成
分块矩阵
A 11 A21
A 12 A22
A 13 A23
分块矩阵的运算 1 分块矩阵的加法 A = ( Aij )s×t , B = (Bij )s×t
A + B = ( Aij + Bij )s×t
A , Bij 为同类型矩阵 ij i = 1,2,⋯, s; j = 1,2,⋯, t
两个同类型的分块对角矩阵的运算与两个 同阶的对角矩阵的运算规律相似
例4 设有分块矩阵 A B P= O C 其中 A 和 C 分别是 m 和 n 阶可逆矩阵， B 为 m×n 矩阵， 证明：矩阵 P 可逆， 并求 P−1
解
A B1 + A B2 + A B3 11 12 13 AB = A21B1 + A22 B2 + A23B3
2.4.1 分块阵的定义 对于行数和列数较大的矩阵, 对于行数和列数较大的矩阵, 经常采用 矩阵分块法” ,即将一个大矩阵看成是 “矩阵分块法 ” ,即将一个大矩阵看成是 以一些小矩阵为元素的矩阵.在运算中, 以一些小矩阵为元素的矩阵.在运算中 ,常 元素”来处理. 常把这些小矩阵当作 “元素”来处理. 定义 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分 成许多小矩阵, 成许多小矩阵,每个小矩阵称为 A 的一个子 块 , 以这些子块为元素的形式上的矩阵称 为分块阵. 为分块阵.
i 若 Ai ，Bi 是同阶的方阵， =1,2,⋯, s
A + B1 1 A+ B =
A2 + B2
⋱ As + Bs
cA 1 cA2 , cA = ⋱ cAs
c 是数
A ⋅ B1 1 A⋅ B =
记 成
分块矩阵
A 11 A21
A 12 A22
A 13 A23
分块矩阵的运算 1 分块矩阵的加法 A = ( Aij )s×t , B = (Bij )s×t
A + B = ( Aij + Bij )s×t
A , Bij 为同类型矩阵 ij i = 1,2,⋯, s; j = 1,2,⋯, t
两个同类型的分块对角矩阵的运算与两个 同阶的对角矩阵的运算规律相似
例4 设有分块矩阵 A B P= O C 其中 A 和 C 分别是 m 和 n 阶可逆矩阵， B 为 m×n 矩阵， 证明：矩阵 P 可逆， 并求 P−1
解
A B1 + A B2 + A B3 11 12 13 AB = A21B1 + A22 B2 + A23B3