2013届中考数学试题分类汇编：旋转(含解析)
2013年全国中考数学试题分类汇编_旋转
2013年全国中考数学试题分类汇编 旋转（2013•衡阳）如图，在直角△OAB 中，∠AOB =30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB = °． （2013，娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含︒60角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将AEF t △R 绕A 点按逆时针方向旋转角()︒<<︒900αα，如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .（1）求证：AN AM =；（2）当旋转角︒=30α时，四边形ABPE 是什么样的特殊四边形？并说明理由.（2013•巴中）△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）作△ABC 关于点C 成中心对称的△A 1B 1C 1．（2）将△A 1B 1C 1向右平移4个单位，作出平移后的△A 2B 2C 2．（3）在x 轴上求作一点P ，使P A 1+PC 2的值最小，并写出点P 的坐标（不写解答过程，直接写出结果）（2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。
下面是一个案例，请补充完整。
FF原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由。
（1）思路梳理∵AB =CD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合。
∵∠ADC =∠B =90°，∴∠FDG =180°，点F 、D 、G 共线。
根据__SAS __________，易证△AFG ≌_△AFE _______，得EF =BE +DF 。
（2）类比引申如图2，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°。
中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)及详细答案
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG， ∴ △ DAG≌ △ DCG． ∴ AG=CG． 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG． ∴ AG=EG ∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立．
4．如图（1）所示，将一个腰长为 2 等腰直角△ BCD 和直角边长为 2、宽为 1 的直角△ CED 拼在一起．现将△ CED 绕点 C 顺时针旋转至△ CE’D’，旋转角为 a． （1）如图（2），旋转角 a=30°时，点 D′到 CD 边的距离 D’A=______．求证：四边形 ACED′ 为矩形； （2）如图（1），△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，在 BC 上如何取点 G，使得 GD’=E’D；并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin( －90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE，所以∠ FAE=∠ BEA，由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA，故有 AB∥ FE，因此四边形 ABEF 是平行四 边形，又 BE=EF,因此可得结论； (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG＝90°－ ，利用菱形的性质得到
2013届中考数学试题分类汇编：基本作图(含解析)
（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．（2013•乐山）如图9，已知线段AB.(1)用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在(1)中所作的直线l上任意取两点M、N（线段AB的上方）.连结AM、AN、BM、BN.求证：∠MAN=∠MBN.（2013鞍山）如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求做△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）考点：作图—复杂作图．分析：先作一个角等于已知角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C 为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求．解答：解：如图所示：．点评：本题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法．（2013•白银）两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号反射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2013•青岛）已知，如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B、D两点的距离相等（在题目的原图中完成作图）结论：解析：因为点E到B、D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上，首先以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E．点E即为所求．（2013杭州）如图，四边形ABCD是矩形，用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q（不写作法，保留作图痕迹）．连结QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条．考点：作图—复杂作图．分析：根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答案即可．解答：解：如图所示：发现：DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等．点评：此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识，熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键．（2013兰州）如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）考点：作图—应用与设计作图．分析：根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．解答：解：如图所示：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．（2013，河北）如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对。
初中数学《旋转》专题100题含答案
（1）画出O AB'C'；
（2）点B'的坐标为；
（3）求点C旋转到C'所经过的路线长．
28. 取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板A‸C，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为αto€αtt5o，得到OABC'．
（1）当α为多少度时，AB∥‸C?
（2）将O ABC绕点0逆时针旋转9to，画出旋转后得到的O A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长．
15.如图，OABC和OA'B'C'是两个完全重合的直角三角板，²B=²B' =3to，斜边长为1tcm．三角形板A'B'C'绕直角顶点C顺时针旋转，当点A'落在AB边上时，求C'A'旋转所构成的扇形的弧长AˆA'．
（2）将O ABC绕着点B顺时针旋转9to后得到O A2BC2，请在图中画出O A2BC2，并求出线段
BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
18.如图所示，正方形网格中，O ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把O ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的O A1B1C1；
（2）当旋转到图③所示位置时，α为多少度?
（3）连接B‸，当to€αtt5o时，探求²‸BC' +²CAC' +²B‸C值的大小变化情况，并给出你的证明．
29.如图，试画出四边形ABC‸绕点0逆时针旋转9to之后的图形A1B1C1‸1，C1的坐标是；BB1=．
30.如图，点h是正方形ABC‸的边‸C上一点，把OA‸h顺时针旋转到OAB′的位置．
全国中考数学初中数学 旋转的综合中考真题分类汇总及答案
全国中考数学初中数学 旋转的综合中考真题分类汇总及答案一、旋转1．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD 。
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
【答案】（1）1302α︒-（2）见解析（3）30α=︒【解析】解：（1）1302α︒-。
（2）△ABE 为等边三角形。
证明如下：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ， ∴BC=BD ，∠DBC=60°。
又∵∠ABE=60°，∴1ABD 60DBE EBC 302α∠=︒-∠=∠=︒-且△BCD 为等边三角形。
在△ABD 与△ACD 中，∵AB=AC ，AD=AD ，BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）。
∴11BAD CAD BAC 22α∠=∠=∠=。
∵∠BCE=150°，∴11BEC 180(30)15022αα∠=︒-︒--︒=。
∴BEC BAD ∠=∠。
在△ABD 和△EBC 中，∵BEC BAD ∠=∠，EBC ABD ∠=∠，BC=BD ， ∴△ABD ≌△EBC （AAS ）。
∴AB=BE 。
∴△ABE 为等边三角形。
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴DCE 1506090∠=︒-︒=︒。
又∵∠DEC=45°，∴△DCE 为等腰直角三角形。
∴DC=CE=BC 。
∵∠BCE=150°，∴(180150)EBC 152︒-︒∠==︒。
而1EBC 30152α∠=︒-=︒。
∴30α=︒。
（1）∵AB=AC ，∠BAC=α，∴180ABC 2α︒-∠=。
备战中考数学——旋转的综合压轴题专题复习含答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．【答案】(1)见解析（2）AD=BE+DE （3）8【解析】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；（2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵CE CFACF BCEAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；故答案为：AD=BE+DE．（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=1×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．12点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度不是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）如图1，猜想：△CDE的形状是三角形．（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m，①当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）3；②当m=2或14时，以D、E、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6＜m＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；b）当0≤m＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2=m；c）当6＜m＜10时，此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到m=14．【详解】（1）等边；（2）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形．（3）①存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得：BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=23，∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；②存在，分四种情况讨论：a）∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°．∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°．∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴m=2；c）当6＜m＜10时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；d）当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14，∴m=14．综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．如图①，在ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，∠BCD=120°，CE平分∠BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP，将△PCE绕点C逆时针旋转60°，使CE与CB重合，得到△QCB，连接PQ.（1）求证：△PCQ是等边三角形；（2）如图②，当点P在线段EB上运动时，△PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出△PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.（1）（2）（3）【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为4+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：（1）∵旋转∴△PCE≌△QCB∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，∴∠PCQ=60°，∴∠PCE +∠QCE=∠QCB+∠QCE=60°，∴△PCQ为等边三角形.（2）存在∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60 ，∵在平行四边形ABCD 中，∴AB∥CD∴∠ABC=180°﹣120°=60°∴△BCE为等边三角形∴BE=CB=4∵旋转∴△PCE≌△QCB∴EP=BQ，∴C△PBQ=PB+BQ+PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=4+CP∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小当CP⊥AB时，CP=BCsin60°=∴△PBQ周长最小为4＋（3）①当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠CPE=∠CQB，∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=60°则：∠BPQ+∠CQB＝60°，又∵∠QPB+∠PQC+∠CQB+∠PBQ=180°∴∠CBQ=180°—60°—60°=60°∴∠QBP=60°，∠BPQ＜60°，所以∠PQB可能为直角由（1）知，△PCQ为等边三角形，∴∠PBQ=60°，∠CQB＝30°∵∠CQB＝∠CPB∴∠CPB=30°∵∠CEB＝60°，∴∠ACP＝∠APC=30°∴PA=CA=4，所以AP=AE-EP=6-4=2÷=s所以t＝212③当6＜t＜10时，由∠PBQ＝120°＞90°，所以不存在④当t＞10时，由旋转得：∠PBQ=60°，由（1）得∠CPQ=60°∴∠BPQ=∠CPQ+∠BPC=60°+∠BPC，而∠BPC＞0°，∴∠BPQ＞60°∴∠BPQ=90°，从而∠BCP=30°，所以AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。
中考数学旋转综合题汇编及答案解析
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE()2探究2：如图2，在一般的RtABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为214a ． 【解析】 【分析】()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出1BF BC 2=，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，BED ACB 90∠∠∴==，由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC ∴≌()BDE AASBC DE a ∴==，BCD 1SBC DE 2=⋅，2BCD 1S a 2∴=；()2BCD 的面积为21a 2，理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，BED ACB 90∠∠∴==，线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，AB BD ∴=，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC ∴≌()BDE AAS ，BC DE a ∴==，BCD 1SBC DE 2=⋅，2BCD 1S a 2∴=；()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22==， FAB ABF 90∠∠∴+=，ABD 90∠=，ABF DBE 90∠∠∴+=，FAB EBD ∠∠∴=，线段BD 是由线段AB 旋转得到的，AB BD ∴=，在AFB 和BED 中， AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AFB ∴≌()BED AAS ，1BF DE a 2∴==， 2BCD1111SBC DE a a a 2224=⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21a 4．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.2．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC ＝EC ，连接DE 、AE 、BD ．点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．（1）PM 与BE 的数量关系是 ，BE 与MN 的数量关系是 ．（2）将△DEC 绕点C 逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中BE 与MN 的数量关系结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若CB ＝6．CE ＝2，在将图1中的△DEC 绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当B 、E 、D 三点在一条直线上时，求MN 的长度． 【答案】（1）1,22PM BE BE MN ==；（2）成立，理由见解析；（3）MN ＝17﹣1或17+1 【解析】 【分析】（1）如图1中，只要证明PMN 的等腰直角三角形，再利用三角形的中位线定理即可解决问题；（2）如图2中，结论仍然成立，连接AD 、延长BE 交AD 于点H .由ECB DCA ≅，推出BE AD =，DAC EBC ∠=∠，即可推出BH AD ⊥，由M 、N 、P 分别AE 、BD 、AB 的中点，推出//PM BE ，12PM BE =，//PN AD ，12PN AD =，推出PM PN =，90MPN ∠=︒，可得2222BE PM MN MN ==⨯=； （3）有两种情形分别求解即可. 【详解】 （1）如图1中，∵AM ＝ME ，AP ＝PB ，∴PM ∥BE ，12PM BE =， ∵BN ＝DN ，AP ＝PB ，∴PN ∥AD ，12PN AD =， ∵AC ＝BC ，CD ＝CE ， ∴AD ＝BE ， ∴PM ＝PN ， ∵∠ACB ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴∵PM ∥BC ，PN ∥AC ， ∴PM ⊥PN ，∴△PMN 的等腰直角三角形， ∴2MN PM =，∴122MN BE =⋅， ∴2BE MN =，故答案为12PM BE =，2BE MN =． （2）如图2中，结论仍然成立．理由：连接AD 、延长BE 交AD 于点H ． ∵△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD ＝CE ，CA ＝CB ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°， ∵∠ACB ﹣∠ACE ＝∠DCE ﹣∠ACE ， ∴∠ACD ＝∠ECB ， ∴△ECB ≌△DCA ， ∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ， ∵∠AHB ＝180°﹣（∠HAB +∠ABH ） ＝180°﹣（45°+∠HAC +∠ABH ） ＝∠180°﹣（45°+∠HBC +∠ABH ） ＝180°﹣90°＝90°， ∴BH ⊥AD ，∵M 、N 、P 分别为AE 、BD 、AB 的中点，∴PM ∥BE ，12PM BE =，PN ∥AD ，12PN AD =， ∴PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，∴22222BE PM MN MN ==⨯=． （3）①如图3中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===，当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()22226234BG BC CG =-=-=，∴342BE BG GE =-=-， ∴21712MN BE ==-． ②如图4中，作CG ⊥BD 于G ，则2CG GE DG ===，当D 、E 、B 共线时，在Rt △BCG 中，()22226234BG BC CG =-=-=∴342BE BG GE =+=， ∴21712MN BE ==．综上所述，MN＝17﹣1或17+1．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.3．如图1，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由；（2）如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由．【答案】（1）BF=AC，理由见解析；（2）NE=12AC，理由见解析.【解析】试题分析：（1）如图1，证明△ADC≌△BDF（AAS），可得BF=AC；（2）如图2，由折叠得：MD=DC，先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC，由线段垂直平分线的性质得：AB=BC，则∠ABE=∠CBE，结合（1）得：△BDF≌△ADM，则∠DBF=∠MAD，最后证明∠ANE=∠NAE=45°，得AE=EN，所以EN=12 AC．试题解析：（1）BF=AC，理由是：如图1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠EBC，在△ADC和△BDF中，∵DAC DBFADC BDF AD BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BF=AC；（2）NE=12AC，理由是：如图2，由折叠得：MD=DC，∵DE∥AM，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴AB=BC，∴∠ABE=∠CBE，由（1）得：△ADC≌△BDF，∵△ADC≌△ADM，∴△BDF≌△ADM，∴∠DBF=∠MAD，∵∠DBA=∠BAD=45°，∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD，即∠ABE=∠BAN，∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE，∠NAE=2∠NAD=2∠CBE，∴∠ANE=∠NAE=45°，∴AE=EN，∴EN=12 AC．4．（12分）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．【答案】(1) 等边三角形；(2) △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6【解析】分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，从而得到PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．详解：（1）如图1．∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AE，∴BD=CE．∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；故答案为等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2．∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．（3）∵PN=12BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质．5．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．（1）若CA=CB，CE=CD①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．【解析】试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD②BE=AD，BE⊥AD仍然成立证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=BC CD=CE ∴△ACD≌△BCE∴AD=BE ∠CAD=∠CBF ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACD=∠BCE ∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4 ∴△ACD∽△BCE ∴∠CAD=∠CBE ∵∠BFC=∠AFG ∠BFC+∠CBE=90°∴∠AFG+∠CAD=90°∴∠AGF=90°∴BE⊥AD ∴∠AGE=∠BGD=90°∴，．∴．∵，，∴考点：三角形全等与相似、勾股定理．6．如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.（1）求证：是等边三角形；（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由.（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）存在，2+4；（3）当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s．试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2cm，∴△BDE的最小周长=CD+4=2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，∴∠BED=90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB=60°，∴∠CEB=30°，∵∠CEB=∠CDA，∴∠CDA=30°，∵∠CAB=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴DA=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC ，而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4，∴OD=14cm ，∴t=14÷1=14s ，综上所述：当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．考点：旋转与三角形的综合题.7．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是线段AB 上的一点（不与A 、B 重合）．过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ．将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CF ，连结EF ．设∠BCE 度数为α.（1）①补全图形；②试用含α的代数式表示∠CDA ．（2）若3EF AB = ，求α的大小． （3）直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系．【答案】（1）①答案见解析；②45α︒+；（2）30α=︒；（3）22222AB CF BE =+．【解析】试题分析：（1）①按要求作图即可；②由∠ACB=90°，AC=BC ，得∠ABC=45°,故可得出结论；（2）易证FCE ∆∽ ACB ∆，得3CF AC =FA ，得△AFC 是直角三角形，求出∠ACF=30°，从而得出结论；（3）222A 22B CF BE =+.试题解析：（1）①补全图形．②∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠ABC=45°∵∠BCE=α ∴∠CDA=45α︒+（2）在FCE ∆和ACB ∆中，45CFE CAB ∠=∠=︒ ，90FCE ACB ∠=∠=︒ ∴ FCE ∆∽ ACB ∆ ∴ CF EF AC AB = 3EF AB = ∴ 32CF AC = 连结FA ．90,90FCA ACE ECB ACE ∠=︒-∠∠=︒-∠∴ FCA ECB ∠=∠=α在Rt CFA ∆中，90CFA ∠=︒，3cos FCA ∠= ∴ 30FCA ∠=︒即30α=︒.（3）22222AB CF BE =+8．如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，2，10.△ADP 沿点A 旋转至△ABP ′，连接PP ′，并延长AP 与BC 相交于点Q .(1)求证：△APP ′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ 的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPQ=45°．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）∵△APP′是等腰直角三角形，∴22，∠APP′=45°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴PD=P′B10，在△PP′B中，2，2，10，∵2）2+（22=10）2，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用，有一定难度，关键是明确旋转的不变性．。
中考数学旋转(大题培优易错难题)及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .在由△ ABC中,AB=BC=5, Z B=90%将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点.处,将三角板绕点0旋转,三角板的两直角边分别交AB, BC或其延长线于E, F两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.〔1〕三角板绕点0旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形？假设能,指出所有情况〔即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长〕：假设不能,请说明理由：〔2〕三角板绕点0旋转,线段0E和OF之间有什么数量关系？用图①或②加以证实：〔3〕假设将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处〔如图③〕,当AP:AC=L4时,PE和PF 有怎样的数量关系？证实你发现的结论.【解析】【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF 的长度,即可推出BF 的长度；【小题2】连接0B,由己知条件推出△ OEB合么OFC,即可推出OE=OF：【小题3］过点P做PM±AB, PN±BC,结合图形推出△ PNF~ & PME, △ APM- △ PNC,继而推出PM： PN=PE： PF, PM： PN=AP： PC,根据条件即可推出PA： AC=PE： PF=1： 4.2 .在平面直角坐标中,边长为2的正方形OA8C的两顶点A、C分别在y轴、X轴的正半轴上,点.在原点.现将正方形.48c绕.点顺时针旋转,当A点一次落在直线y=x上时停止旋转,旋转过程中,A5边交直线〕'='于点M边交汇轴于点N 〔如图〕.〔1〕求边04在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕旋转过程中,当和AC平行时,求正方形O43C旋转的度数:(3)设AM3N的周长为P,在旋转正方形O45C的过程中,〃值是否有变化？请证实你的结论. 【答案】(1)n/2(2) 22.5.⑶周长不会变化,证实见解析【解析】试题分析：(1)根据扇形的面积公式来求得边0A在旋转过程中所扫过的面积：(2)解决此题需利用全等,根据正方形一个内角的度数求出NAOM的度数：(3)利用全等把△ MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：(1) TA点第一次落在直线y=x上时停止旋转,直线y=x与y轴的夹角是45.,/. 0A 旋转了45°.0A在旋转过程中所扫过的面积为土」=-.360 2(2) •/ MNII AC,・•. Z BMN=Z BAC=45% Z BNM=Z BCA=45°./. Z BMN=Z BNM. /. BM=BN.又YBA=BC, A AM=CN.又；OA=OC, Z OAM=Z OCN, △ OAM合△ OCN./. Z A0M=Z CON=- (Z AOC-Z MON ) =- (90°-45°) =22.5°.2 2旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45.-22.5.=22.5..(3)在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.证实：延长BA交y轴于E点,那么N AOE=45°-Z AOM, Z CON=90°-45°-Z AOM=450-Z AOM,・•. Z AOE=Z CON.又：OA=OC, Z OAE=180o-90o=90°=Z OCN.:, & OAE2 A OCN.「.OE=ON, AE=CN.文:Z MOE=Z MON=45°, 0M=0M,「・△ OME2△ OMN. /. MN=ME=AM+AE.・•, MN=AM+CN,/. p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4...・在旋转正方形OABC的过程中,p值无变化.考点：旋转的性质.3.己知：如图1,将两块全等的含30.角的直角三角板按图所示的方式放置,N 84c=N 8MiC=30°,点8, C, 8］在同一条直线上.(1)求证：AB=2BC(2)如图2,将△ABC绕点C顺时针旋转凌.(0Va<180),在旋转过程中,设AB与AiC. AiB】分别交于点D、E, AC与A】Bi交于点F.当骏等于多少度时,AB与A X B工垂直？请说明理由.〔3〕如图3,当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如下图的位置,使ABIICBi,AB与AK 交于点D,试说明A1D=CD.【答案】〔1〕证实见解析〔2〕当旋转角等于30.时,AB与AiBa垂直.〔3〕理由见解析【解析】试题分析：⑴由等边三角形的性质得八8=88］,又由于8B1=2BC,得出A8=28C;⑵利用AB与AiBi垂直得N AiED=90°,那么N AQE=90°-N Ai=60°,根据对顶角相等得Z BDC=60.,由于N B=60°,利用三角形内角和定理得N A1CB=180°-Z BDC-Z B=60°,所以N ACA】=90.-/AiCB=30.,然后根据旋转的定义得到旋转角等于30.时,AB与AiBi垂直：⑶由于ABIICB］, N ACBF90.,根据平行线的性质得N ADC=90.,在由△ ADC中,根据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=L AC,再根据旋转的性质得AC=AC 所以2CD=-AiC,贝ljAiD=CD.2试题解析：（1）.「△488］是等边三角形；AB=BBi•/ 881=2BCAB=2BC〔2〕解：当AB 与AiBi垂直时,Z AiED=90%・•, Z A1DE=90°-Z A F900-30°=60°,Z B=60% ?. Z BCD=60%/. Z ACAi=90°-60c=30°,即当旋转角等于30.时,AB与A】B,垂直.〔3〕 ABII CBi, Z ACBi=90%/. Z CDB=90°,即CD 是△ ABC 的高,设BC=.,AC=.,贝lj由〔1〕得AB=2fl, ,7 ^WRC = — BCxAC = — ABxCD.UBC 2 2即［=k2axeO2 2CD = -b 9即CD=-!-AiC,2 2/. AiD=CD.【点睛】此题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中央的距离相等: 对应点与旋转中央的连线段的夹角等于旋转角.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.4.:在△ ABC中,BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究以下问题：〔1〕如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且N ACB=60.,那么CD=—: 〔2〕如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且N ACB=90.,那么CD=_；〔3〕如图3,当NACB 变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的N ACB的度数.【答案】〔1〕3\产：〔2〕 3、伸-3\4 ㈠〕当NA CB=120.时,CD有最大值是a+b.【解析】【分析】〔1〕a=b=3,且NACB=60.,△ ABC是等边三角形,且CD是等边三角形的高线的2倍,据此即可求解；〔2〕 a=b=6,且NACB=90.,△ ABC是等腰直角三角形,且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差：〔3〕以点D为中央,将△ DBC逆时针旋转60.,那么点B落在点A,点C落在点E.连接AE, CE,当点E、A、C在一条直线上时,CD有最大值,CD=CE=a+b.【详解】（1）/ a=b=3,且NACB=60°,「. △ ABC是等边三角形,3//. 0C= 2 ,/. CD=3、3：（2）石-3©〔3〕以点D 为中央,将△ DBC 逆时针旋转60., 那么点B 落在点A,点C 落在点E.连接AE, CE, CD 有最大值是a+b.此题主要考查了等边三角形的性质,以及轴对称的性质,正确理解CD 有最大值的条件, 是解题的关键.5.在△ ABC 中,AB=AC, Z A=30°,将线段BC 绕点B 逆时针旋转60.得到线段BD,再将线 段BD 平移到EF,使点E 在AB 上,点F 在AC 上.〔1〕如图1,直接写出N ABD 和NCFE 的度数；〔2〕在图1中证实:AE=CF ；〔3〕如图2,连接CE,判断4CEF 的形状并加以证实.□ 1 口2【答案】(1)15% 45.： (2)证实见解析：(3) 4CEF 是等腰直角三角形,证实见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到N ABC 的度数,由旋转的性质得到/ DBC 的度 数,从・•・A CDE 为等边三角CE=CD.当点E 、A 、C 不在一条直线上时,有 CD=CE<AE+AC=a+b ；当点E 、A 、C 在一条直线上时,CD 有最大值,CD=CE=a+b ：只有当N ACB=120°时,Z CAE=180%即A 、C 、E 在一条直线上,此时AE 最大【点/. Z ACB=120°, 因此当N ACB=120°时,而得到NABD的度数；根据三角形外角性质即可求得NCFE的度数.(2)连接CD、DF,证实△ BCD是等边三角形,得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形,从而ABH FD,证实△ AEF合△ FCD即可得AE=CF.(3)过点E作EG J_CF于G,根据含30度直角三角形的性质,垂直平分线的判定和性质即可证实△ CEF是等腰直角三角形.(1) :在△ ABC 中,AB=AC, ZA=30% Z ABC=75°.•将线段BC绕点B逆时针旋转60.得到线段BD,即NDBC=60..NABD=15../. Z CFE=Z A+Z ABD=45°.(2)如图,连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD, /. BD=BC, Z CBD=60°. △ BCD是等边三角形.「・CD=BD.・「线段BD平移到EF,・・.EFII BD, EF=BD.四边形BDFE是平行四边形,EF=CD.「AB = AC, Z A=30°, /. Z ABC=Z ACB=75°. /. Z ABD=Z ACD=15°.,•,四边形BDFE是平行四边形…♦・ABH FD. /. Z A=Z CFD.:■ & AEF合△ FCD (AAS)./. AE=CF.(3) ZkCEF是等腰直角三角形,证实如下：如图,过点E作EG_LCF于G,: Z CFE =45°, /. Z FEG=45°. /. EG=FG.1EG =耳AEZ A=30°, NAGE=90°,「・2・1 1EG = £：F FG = KFV AE=CF,「. 2 . /. 2.・.G为CF的中点.「.EG为CF的垂直平分线.EF=EC./. Z CEF=Z FEG=90°.・•.△ CEF是等腰直角三角形.考点：1 •旋转和平移问题：2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质：5.平行四边形的判定和性质：6.全等三角形的判定和性质；7.含30度直角三角形的性质：8.垂直平分线的判定和性质：9.等腰直角三角形的判定.6.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上〔如图1〕.现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交DF于点M, BC边交DG于点N.〔1〕求边DA在旋转过程中所扫过的面积：〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时〔如图2〕,求正方形ABCD旋转的度数；〔3〕如图3,设AMBN的周长为p,在旋转正方形ABCD的过程中,p值是否有变化？清证实你的结论.71【答案】〔1〕2 〔2〕 225°；〔3〕不变化,证实见解析.【解析】试题分析：〔1〕将正方形ABCD绕D点顺时针旋转,当A点第一次落在DF上时停止旋转,旋转过程中,DA旋转了45°,从而根据扇形面积公式可求DA在旋转过程中所扫过的面积.〔2〕旋转过程中,当MN和AC平行时,根据平行的性质和全等三角形的判定和性质可求正方形ABCD旋转的度数为22.5.〔3〕延长BA交DE轴于H点,通过证实/D4〃三4DCN和/DM〃三4DMN可得结论.〔1〕;A点第一次落在DF上时停止旋转,「.DA旋转了45°.457r x 22 7TDA在旋转过程中所扫过的而积为360― 一2〔2〕 ,/ MN II AC, = ^-BAC = 45° Z./7/VM = ZBC4=45°.乙BMN =乙BNM . BM = BN・•・• • •T7.. BA = BC . AM = CN • ,・・•T7..DA = DC,4AM =乙DCN . ADAM=ADCN• /• • •1"DM = k〔900 - 45°〕 = 22.5°.L ADM=乙CDN . 2••• ・• •厂.旋转过程中,当MN和AC平行时,正方形ABCD旋转的度数为45°-22.5.= 22.5.⑶不变化,证实如下：如图,延长BA交DE轴于H点,那么LADE = 45° - LADM L CDN = 900 - 45° - L ADM = 450 - L ADM,,.LADE =乙CDN•• •T7.. DA = DC^DAH = 1800-90° = 90° = LDCN . ADAH^ADCN • •• • •.DH = DN f AH = CN•• ♦..〔MDE =乙MDN = 45°刀M = DM . ADMHwADMNv.MN = MH = AM + AH . MN = AM + CNp = MN + BN + BM = AM + CN + BN + BM = AB + BC = 4,在旋转正方形ABCD的过程中,P值无变化.考点：1 ,而动旋转问题：2.正方形的性质：3,扇形面积的计算：4.全等三角形的判定和性质.7.思维启迪：(1)如图1, A, B两点分别位于一个池塘的两端,小亮想用绳子测量A, B 间的距离,但绳子不够长,聪明的小亮想出一个方法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P (点P可以直接到达A点),利用工具过点C作CDII AB,思维探索：(2)在4ABC 和4ADE 中,AC=BC. AE = DE,且AE<AC,Z ACB = Z AED =90.,将△ ADE绕点A顺时针方向旋转,把点E在AC边上时△ ADE的位置作为起始位置 (此时点B和点D位于AC的两侧),设旋转角为a,连接BD,点P是线段BD的中点,连接PC, PE.①如图2,当△ ADE在起始位置时,猜测：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图3,当a = 90.时,点D落在AB边上,请判断PC与PE的数量关系和位置关系,并证实你的结论：③当a=150.时,假设BC = 3, DE=I,请直接写出PC?的值.【答案】(1) 200： (2)①PC=PE, PC_LPE：②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PC±PE,见解析：@PC2=-1()+ 3-.2【解析】【分析】(1)由CDIIAB,可得NC=NB,根据N APB=N DPC即可证实△ ABP2△ DCP,即可得AB = CD,即可解题.(2)①延长EP交BC于F,易证△ FBP合△ EDP (SAS)可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC=PE, PCXPE.②作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,易证△ FBP合△ EDP (SAS),结合得BF = DE=AE,再证实△FBCW △ EAC (SAS),可得△ EFC是等腰直角三角形,即可证实PC = PE, PC±PE.③作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H 点,由旋转旋转可知,Z CAE = 150", DE与BC所成夹角的锐角为30.,得N FBC = N EAC, 同②可证可得PC=PE, PC_LPE,再由己知解三角形得J. EC2=CH2+HE2=1O + 3JJ,即可求出尸C2=9EC2 = 1()-3丫’3 2 2【详解】(1)解:丁CDII AB, J Z C=Z B,在仆ABP和aDCP中,BP = CPZAPB = NDPC,/B = /C:■ & ABP合△ DCP (SAS),DC=AB.AB = 200 米.・•・CD=200米,故答案为：200.(2)①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PCXPE.理由如下：如解图1,延长EP交BC于F,同(1)理,可知,△ FBP合 & EDP (SAS),/. PF=PE, BF = DE,又,.,AC=BC, AE = DE,FC=EC,又•・・Z ACB = 90\EFC是等腰直角三角形,・/ EP = FP,・・.PC=PE, PCJLPE.®PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC = PE, PC±PE.理由如下：如解图2,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF, 同①理,可知△ FBP2△ EDP (SAS),・・.BF = DE. PE = PF=-EF, 2・/ DE=AE,/. BF = AE,・••当a=90.时,Z EAC=90°,ED II AC, EAII BCFBII AC, Z FBC=90,・•・ Z CBF=Z CAE,在^ FBC和^ EAC中,BF = AE< NCBE = NCAE ,BC = AC:■ & FBC合 ' EAC (SAS),・•. CF = CE, Z FCB = Z EC A,•/ Z ACB = 90°,/. Z FCE = 90°,△ FCE是等腰直角三角形,・/ EP = FP,CP±EP, CP = EP=-EF.2③如解图3,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H点,当a=150.时,由旋转旋转可知,Z CAE = 150°, DE与BC所成夹角的锐角为30.,・•・ Z FBC=Z EAC=a=150°同②可得^ FBP24 EDP (SAS),同②△ FCE是等腰直角三角形,CPJ_EP, CP = EP=』±CE,2在RSAHE 中,NEAH = 30.,AE=DE=1,HE=- , AH=叵,2 2又< AC=AB=3,/. CH=3+正,2・•, EC2=CH2+HE2=IO +3>/3【点睛】此题考查几何变换综合题,考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形性质、勾股定理和30.直角三角形性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于压轴题.8.小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ ABC, △ DEF均为等腰直角三角形, 各顶点坐标分别为 A (1, 1) , B (2, 2) , C (2, 1) , D ( 0) , E( 2五,0),〔1〕他们将△ ABC绕C点按顺时针方向旋转45.得到△ AiBiC.请你写出点A］,Bi的坐标,并判断A】C和DF的位置关系：〔2〕他们将△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = 2g?+bx+c±.请你求出符合条件的抛物线解析式：〔3〕他们继续探究,发现将△ ABC绕某个点旋转45,假设旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y = x?上,那么可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的所有坐标.A】C和DF的位置关系是平行.〔2〕•/ △ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为^ DEF,2 应x〔扃+>/Ib + c = O①当抛物线经过点D、E时,根据题意可得：｛, ,解得2 应x〔2 回一+ 2回+ c=0b = -12(=8万A y = 2>/2x2-12x+8x/2 .2 五x(近忘b + c = o②当抛物线经过点D、F时,根据题意可得：｛(3①丫372 点,解得I 2 J 2 2b = -llL = 7-72y = 2V2x2-llx+7>/2.2耳〔2⑸+2岳+ c = 0③当抛物线经过点E、F时,根据题意可得：｛〔30丫35/22ax --- +---b + c =-2 2J 乙b = -13'c = 10 应y = 2x/2x2-13x + 10x/2 .〔3〕在旋转过程中,可能有以下情形：①顺时针旋转45.,点A、B落在抛物线上,如答图1所示,易求得点p坐标为〔o, Lz叵〕. 2②顺时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图2所示,设点夕,.的横坐标分别为右,X2,易知此时BC与一、三象限角平分线平行,.•.设直线BC的解析式为y=x+b.联立丫f2与丫=乂+1〕得：x2=x+b,即X? — x-b = 0,「. X]+x? =1,X t x2 =-b ..•.根据题意易得：|x「x」=走,.J 〔Xi-xJ?=：,即 2 2\2 IX] +X2〕 -4x^2 =-..1- l + 4b = i,解得b =一2 8x2-x + - = 0,解得x = ^^x 或x = ^^.8 4 4••1点c的横坐标较小,x = 三口 .42 - *\/2 . 9 3-2近1IX = ------------- 时,y = x = ---------------------- .4 8.p f 2-5/2 3-2V2 .4 8③顺时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图3所示,设点C, A,的横坐标分别为4, X2.易知此时C7V与二、四象限角平分线平行,.•.设直线C7V的解析式为y = -x + b.联立y=x?与y = lX + b 得：x° =-x + b ,即+ x - b = 0 , /. X. +x?=一1, x,x, ="b .••・UA'=1, .•.根据题意易得：|x「x」= WI, ... 〔x「X2〕2 =；,即2 2.1- l+4b = l,解得b =一 2 8, 2 I ] 八-2 + y/2 T -2 - V2..X- + X + —= 0 , 解得X = ------------------ x 或X = ---------------- -8 4 4•・•点C的横坐标较大,「. x = "2+V,2 .4w + V? . 2 3 -2>/2ix = --------------- 时,y = x = ----------------------- .4 8*〕.4 8④逆时针旋转45.,点A、B落在抛物线上.由于逆时针旋转45.后,直线AB与y轴平行,由于与抛物线最多只能有一个交点,故此种情形不存在.⑤逆时针旋转45.,点B、C落在抛物线上,如答图4所示,与③同理,可求得：P 〔二2 一退,3二2巫〕.4 8⑥逆时针旋转45.,点C、A落在抛物线上,如答图5所示,与②同理,可求得：p 〔2y,,一y.〕.综上所述,点P的坐标为：〔0,上叵〕,〔三叵,3-2立〕,p〔―2 +点,2 4 8 43-2>/2 2 + 72 3 + 20\8 4 8等图I 答医2 硝； 1 答& 等国【解析】〔1〕由旋转性质及等腰直角三角形边角关系求解.〔2〕首先明确△ ABC绕原点按顺时针方向旋转45.后的三角形即为ADEF,然后分三种情况进行讨论,分别计算求解.〔3〕旋转方向有顺时针、逆时针两种可能,落在抛物线上的点有点A和点B、点B和点C、点C和点D三种可能,因此共有六种可能的情形,需要分类讨论,防止漏解.考点：旋转变换的性质,曲线上点的坐标与方程的关系,平行线的性质,等腰直角三角形的性质,分类思想的应用.。
2013届中考数学试题分类汇编：中心对称(含解析)
B（2013，娄底）下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.（2013•达州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）答案：D解析：A、C只是轴对称图形，不是中心对称图形；B是中心对称图形，不是轴对称轴图形，只有D符合。
（2013•德州）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（2013凉山州）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．A ．B ．C ．D ． 考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，结合选项所给图形进行判断即可． 解答：解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C ．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D ．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故选B ．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． （2013•眉山）下列图形是中心对称图形的是B．．D ． A C D（2013•黄冈）随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）（2013•龙岩）下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是DA ．等边三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形（2013•厦门）在平面直角坐标系中，已知点A （－4,1），B （－2,0），C （－3, －1）,请在图6上画出△ABC ，并画出与△ABC 关于原点O 对称的图形；解： 正确画出△ABC正确画出△DEF（2013•白银）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图B C DA B C D（2013•宿迁）下列三个函数：①1y x =+；②y x=；③21y x x =-+．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有A ．0B ．1C ．2D ．3（2013•泰州）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）【答案】：B ．（2013•呼和浩特）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）（2013•毕节）在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D）①线段②角③等边三角形④圆⑤平行四边形⑥矩形A. ③④⑥B.①③⑥ D.④⑤⑥ D. ①④⑥（2013•北京）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。
历年中考数学易错题汇编-初中数学 旋转练习题附答案解析
历年中考数学易错题汇编-初中数学旋转练习题附答案解析一、旋转1．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF⊥BD 交BC 于F，连接DF，G 为DF 中点，连接EG，CG.(1) 求证：EG=CG；(2) 将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取DF 中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3) 将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG．证明：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴ AG=CG．在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴ AG=EG∴ EG=CG．（3）（1）中的结论仍然成立．【解析】试题分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;试题解析：解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。
2013年中考数学模拟试题分类汇编23：平移旋转
2013年中考数学模拟试题汇编平移旋转例1 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12考点：平移的性质．分析：根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．解答：解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又∵AB+BC+AC=8，∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．故选；C．点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．例2 如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′；⑤S△AOC+S△AOB中正确的结论是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤D．①②③考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．分析：证明△BO′A≌△B OC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′，故结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．解答：解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°， 故结论③正确；S 四边形AOBO ′=S △AOO′+S △OBO′=12×3×4+4×42，故结论④错误；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得A B 与AC 重合，点O 旋转至O″点． 易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S △AOC +S △AOB =S 四边形AOCO″=S △COO″+S △AOO″=12×32故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤． 故选A ．点评：本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①-结论④解题思路的拓展应用．例3如图，△A′B′C′是由△ABC 沿射线AC 方向平移2cm 得到，若AC=3cm ，则A′C= cm ．考点：平移的性质．分析：先根据平移的性质得出AA′=2cm，再利用AC=3cm ，即可求出A′C 的长． 解答：解：∵将△ABC 沿射线AC 方向平移2cm 得到△A′B′C′， ∴AA′=2cm， 又∵AC=3cm ，∴A′C=AC -AA′=1cm． 故答案为：1． 点评：本题主要考查对平移的性质的理解和掌握，能熟练地运用平移的性质进行推理是解此题的关键．例4 如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC 在直线l 上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3；…按此规律继续旋转，直到点P2012为止，则AP2012等于（）A．B．C．2013+671D．考点：旋转的性质．专题：规律型．分析：仔细审题，发现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3；又∵2012÷3=670…2，∴AP2012=670（）故选B．点评：本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的长度依次增加21，且三次一循环是解题的关键．。
2013中考数学压轴题旋转问题精选解析(二)
2013中考数学压轴题旋转问题精选解析(二)
例4 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． （1）求证：四边形AFCD 是菱形；
（2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？
解析：
A D
F C E
G B
B 1A O B A 1 A D
G E
C B
例5 如图，在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，6OA AB ==，将OAB ∆绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ∆．
（1）线段1OA 的长是 ， 1AOB ∠的度数是 ；
（2）连结1AA ，求证：四边形11OAA B 是平行四边形；
（3）求四边形11OAA B 的面积．
解析：
例6如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE DG
，．（1）求证：BE DG
．
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
解析：
E F
G
D
A
B
C。
旋转2013年全国中考题
旋转2013年全国中考题（2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN 于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD=2，CB=+1．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．3718684分析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB﹣AE 即可证得；（2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．解答：（1）如图（2）：AB﹣BD=CB．证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，∵∠AFC=∠BFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AB﹣AE，∴BE=AB﹣BD，∴AB﹣BD=CB．如图（3）：BD﹣AB=CB．证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACD=90°，∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，∴∠BCD=∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，∵∠AFB=∠CFD，∴∠CAE=∠D，又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE﹣AB，∴BE=BD﹣AB，∴BD﹣AB=CB．（2）如图（1），过点B作BH⊥CD于点H，∵∠ABC=45°，DB⊥MN，∴∠CBD=135°，∵∠BCD=30°，∴∠CBH=60°，∴∠DBH=75°，∴∠D=15°，∴BH=BD•sin45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH=BH=BD=×=1，∵∠BCD=30°∴CD=2DH=2，∴CH==，∴CB=CH+BH=+1；点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2013•绥化）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；（2）求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．3718684分析：（1）根据平移的性质得出对应点位置以及利用旋转的性质得出对应点位置画出图形即可；（2）根据弧长计算公式求出即可．解答：解：（1）如图所示：（2）点C1所经过的路径长为：=2π．点评：此题主要考查了图形的旋转与平移变换以及弧长公式应用等知识，根据已知得出对应点位置是解题关键．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是_________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________.（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC 于点E（如图4）.若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长.（2013•毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90度得到；（3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是DCB的延长线上的点，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，∴∠BAF=∠DAE，而∠DAE+∠EBF=90°，∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；故答案为A、90；（3）解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE==10，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面积=AE2=×100=50（平方单位）．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．15.（2013•昆明）在平面直角坐标系中，四边形ABCD的位置如图所示，解答下列问题：（1）将四边形ABCD先向左平移4个单位，再向下平移6个单位，得到四边形A1B1C1D1，画出平移后的四边形A1B1C1D1；（2）将四边形A1B1C1D1绕点A1逆时针旋转90゜，得到四边形A1B2C2D2,,画出旋转后的四边形A1B2C2D2，并写出点C2的坐标。
2013年中考攻略专题11：几何三大变换之旋转探讨(含答案)
2013年中考攻略专题11：几何三大变换之旋转探讨(含答案)快乐学习，天天向上（龙岗）***-*****- 1 - 【2013年中考攻略】专题11：几何三大变换之旋转探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n (n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。
一、中心对称和中心对称图形：典型例题：例1. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【】B 。
中心对称图形。
（D ）（C ）（B ）（A ）快乐学习，天天向上（龙岗）***-*****- 2 - 根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A 、C 、D 都不符合中心对称的定义。
2013年武汉市中考数学专题之21题旋转作图
中考数学专题之21题1、（2010•莆田）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，1）．（1）画出坐标轴，画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；（2）点A1的坐标为___；（3）四边形AOA1B1的面积为_____．2、（2010•盘锦）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣7，0）、B（﹣4，4）、C（﹣1，0）．（1）做出点B关于x轴的对称点D；（2）将以点A、B、C、D为顶点的四边形绕点C顺时针旋转90°作出旋转后的图A1B1C1D1，并直接写出点B、D的对应点B1，D1的坐标．3、（2010•昆明）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）分别写出A、B两点的坐标；（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1；（3）求出线段B1A所在直线l的函数解析式，并写出在直线l上从B1到A的自变量x的取值范围．4、（2010•锦州）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．（1）将△ABC向右移平2个单位长度，作出平移后的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；（2）若将△ABC绕点（﹣1，0）顺时针旋转180°后得到△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某点成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，说明理由．5、（2010•鸡西）△ABC在如图所示的平面直角坐标系中．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2（3）请直接写出△AB2A1的形状．6、（2010•海南）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将△ABC向右平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；（4）在△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3中，△与△成轴对称；△______与△_____成中心对称．7、（2010•贵港）如图所示，把△ABC置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2；（3）画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3．8、（2010•福州）（1）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：△ABC≌△DEF．（2）如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（﹣2，3）．画出矩形OABC绕点O 顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1，并直接写出的坐标A1、B1、C1的坐标．9、（2010•楚雄州）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）作出将△ABC绕点O顺时针方向旋转180°后的△A2B2C2．10、（2010•郴州）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2．请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2．11、（2010•长沙）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．12、（2010•鞍山）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形．在建立直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（﹣1，1）．（1）写出点B的坐标；（2）画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′，并写出点B′的坐标；（3）画出△ABC绕点O旋转180°后得到的图形△A″B″C″，并写出点B″的坐标？13、（2010•安徽）在小正方形组成的15×15的网络中，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位置如图所示．（1）现把四边形ABCD绕D点按顺时针方向旋转90°，画出相应的图形A1B1C1D1，（2）若四边形ABCD平移后，与四边形A′B′C′D′成轴对称，写出满足要求的一种平移方法，并画出平移后的图形A2B2C2D2．14、（2009•营口）如图，在所给网格中完成下列各题：（1）画出图1关于直线MN对称的图2；（2）从平移的角度看，图2是由图1向_________平移_________个单位得到的；（3）画出图1绕点P逆时针方向旋转90°后的图3．15、（2009•张家界）在建立平面直角坐标系的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的顶点均在格点上，点P的坐标为（﹣1，0），请按要求画图与作答．（1）把△ABC绕点P旋转180°得△A′B′C′．（2）把△ABC向右平移7个单位得△A″B″C″．（3）△A′B′C′与△A″B″C″是否成中心对称，若是，找出对称中心P′，并写出其坐标．16、（2009•娄底）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系．（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标是_________；（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2，并求出点C旋转到点C2经过的路径的长度．17、（2009•海南）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：（1）分别写出点A、B两点的坐标；（2）作出△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1；（3）作出点C关于是x轴的对称点P．若点P向右平移x个单位长度后落在△A1B1C1的内部，请直接写出x的取值范围．18、（2009•哈尔滨）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC和一点O，△ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．（1）在方格纸中，将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．19、（2009•郴州）如图，在下面的方格图中，将△ABC先向右平移四个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得到△A1B2C2，请依次作出△A1B1C1和△A1B2C2．20、（2008•永春县）在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy，O、A、B三点均为格点．（1）直接写出线段OB的长；（2）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点B 所经过的路径的长度．21、（2008•清远）如图，△AOB中，顶点A，B，O均在格点上，画出△AOB绕点O 旋转180°后的三角形．（不要求写做法，证明，但要注明结果）22、（2008•南京）如图，菱形ABCD（图1）与菱形EFGH（图2）的形状、大小完全相同．（1）请从下列序号中选择正确选项的序号填写；①点E，F，G，H；②点G，F，E，H；③点E，H，G，F；④点G，H，E，F．如果图1经过一次平移后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是_________；如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是_____；如果图1经过一次旋转后得到图2，那么点A，B，C，D对应点分别是_________；（2）①图1，图2关于点O成中心对称，请画出对称中心（保留画图痕迹，不写画法）；②写出两个图形成中心对称的一条性质：_________．23、（2008•眉山）如图，方格纸中△ABC 的三个顶点均在格点上，将△ABC向右平移5格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°，得到△A1B2C2．（1）在方格纸中画出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）设B点坐标为（﹣3，﹣2），B2点坐标为（4，2），△ABC与△A1B2C2是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心，并写出对称中心的坐标；若不成中心对称，请说明理由．24、（2008•辽宁）如图所示，在网格中建立了平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得到四边形A1B1C1D1．（1）直接写出D1点的坐标；（2）将四边形A1B1C1D1平移，得到四边形A2B2C2D2，若D2（4，5），画出平移后的图形．（友情提示：画图时请不要涂错阴影的位置哦！）25、（2008•来宾）如图，已知△ABC关于直线MN的对称图形是△A1B1C1，将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转90°得到△A1B2C2．请在图中分别画出△A1B1C1和△A1B2C2，并正确标出对应顶点的字母．（不要求写出画法）26、（2008•昆明）在如图所示出方格纸中，每个小正方形的边长都为1．（1）画出将铅笔图形ABCDE向上平移9格得到的铅笔图形A1B1C1D1E1；（2）将铅笔图形A1B1C1D1E1，绕点A1，逆时针旋转90°，画出转后的铅笔图形A1B2C2D2E2．27、（2008•海南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．（1）画出对称中心E，并写出点E、A、C 的坐标；（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2（a+6，b+2），请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、C2的坐标；（3）判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．（直接写出结果） 28、（2008•哈尔滨）△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）将△ABC 向右平移6个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；并写出点C 1的坐标；（2）将△ABC 绕原点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2．29、（2008•常州）已知：如图，在8×12的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD 的顶点都在格点上． （1）在所给网格中按下列要求画图： ①在网格中建立平面直角坐标系（坐标原点为O ），使四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为A （﹣5，0）、B （﹣4，0）、C （﹣1，3）、D （﹣5，1）；②将四边形ABCD 沿坐标横轴翻折180°，得到四边形A′B′C′D′，再把四边形A′B′C′D′绕原点O 旋转180°，得到四边形A″B″C″D″；（2）写出点C″、D″的坐标；（3）请判断四边形A″B″C″D″与四边形ABCD 成何种对称？若成中心对称，请写出对称中心；若成轴对称，请写出对称轴．30、如图，网格中每个小正方形的边长都是1个单位．折线段ABC 的位置如图所示． （1）现把折线段ABC 向右平移4个单位，画出相应的图形A B C '''； （2）把折线段A B C '''绕线段AA '的中点D 顺时针旋转90°，画出相应的图形A B C ''''''； （3）在上述两次变换中，点C C C '''→→的路径的长度比点A A A '''→→的路径的长度大个单位．CBA31、已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出图中点A 和点C 的坐标； （2）画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后的△A'B'C'；（3）求点A 旋转到点A'所经过的路线长。
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（2013•衡阳）如图，在直角△OAB 中，∠AOB=30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB= 70 °．（2013，娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含︒60角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将AEF t △R 绕A 点按逆时针方向旋转角()︒<<︒900αα，如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .（1）求证：AN AM =； （2）当旋转角︒=30α时，四边形ABPE 是什么样的特殊四边形？并说明理由.（2013•巴中）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）（（2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。
下面是一个案例，请补充完整。
FF原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。
（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。
根据__SAS__________，易证△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。
（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。
若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_互补___时，仍有EF=BE+DF。
（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。
猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。
解：BD2+EC2=DE2解析：(1)SAS………………………(1分）△AFE………………………(2分）(2)∠B+∠D=180°………………………(4分）(3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分）∵AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.∵△ABC中，∠BAC=90°.∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分）在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED.∴DE=EG.又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分）2013•眉山）如图，在11×11的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）。
⑴在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）⑵作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C；⑶在⑵的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长。
（结果保留π）lCAB（2013•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．BC=BE=，AP，P，；BCBC=x×x﹣x（+．2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 1.6 ．2013•鄂州）如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为．==3∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3BO=×6=3，×3•OF=×3×6，OF=EF===﹣=故答案为：（2013•黄石）把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC ∠=∠=，45A ∠=，30D ∠=，斜边6AB =，7DC =，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15 得到△11D CE （如图乙），此时AB 与1CD 交于点O ，则线段1AD 的长度为A.5 答案：B解析：如图所示，∠3=15°，∠E 1=90°，∴∠1=∠2=75°，又∵∠B=45°，∴∠OFE 1=∠B+∠1=45°+75°=120°。
∵∠OFE 1=120°，∴∠D 1FO=60°，∵∠CD 1E 1=30°，∴∠4=90°， 又∵AC=BC ，AB=6，∴OA=OB=3， ∵∠ACB=90°，∴，又∵CD 1=7，∴OD 1=CD 1-OC=7-3=4， 在Rt △AD 1O 中，。
DCAE B AD 1OE 1BC图甲图乙（2013•荆门）在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）的坐标为（0，4），画出平移后对应的△222C B A ； （2）若将△11B A C 绕某一点旋转可以得到△222C B A ， 请直接写出旋转中心的坐标；（3）在x 轴上有一点P ，使得PA+PB 的值最小， 请直接写出点P 的坐标． 解析：（1）画出△A 1B 1C 如图所示：（2）旋转中心坐标（23，1 ）；（3）点P 的坐标（－2，0）．（2013•襄阳）如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形． （1）连结BE ，CD ，求证：BE=CD ；（2）如图2，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB′D′． ①当旋转角为 60 度时，边AD′落在AE 上；②在①的条件下，延长DD’交CE 于点P ，连接BD′，CD′．当线段AB 、AC 满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．第21题图∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC，∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，（2013•孝感）如图，已知△ABC和点O．（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；（2）用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？（2013•张家界）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。
请按要求完成下列操作：先将△ABC 绕A 点逆时针旋转90°得到△111C B A ，再将△111C B A 沿直线11C B 作轴反射得到△222C B A 。
（2013•晋江）如图3，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，CF BE =，连接CE 、DF ．将BCE ∆绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到CDF ∆的位置，则旋转角是( C ). A ．︒45 B ．︒60 C ．︒90 D ．︒120（2013•莆田）如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）（2013•漳州）如图，方格纸中的每个小方格是边长为1个单位长度的正方形． （1）画出将Rt△ABC 向右平移5个单位长度后的Rt△A 1B 1C 1；（2）再将Rt△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°，画出旋转后的Rt△A 2B 2C 1，并求出旋转过程中线段A1C 1所扫过的面积(结果保留π)．（2013•吉林省）如图，把Rt ⊿ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt ⊿AB ′C ′，点C ′恰好落在边AB 上，连接BB ′，则∠BB ′C ′= 度.（2013•宁夏）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D 在AB 边上，则旋转角的大小为 2a ．C /B/CB A（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：∠ABC= 30°，∠A′BC= 90°，OA+OB+OC= ．BC=ABC=====C=．（2013•南京）如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形A ’B ’C ’D ’的位置， 旋转角为α (0︒<α<90︒)。
若∠1=110︒，则∠α= 。
（2013•毕节）四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF ，连A BCD B ’ 1C ’D ’（第25题图）接AE 、AF 、EF 。
（1）求证：△ADE ≌△ABF ；（2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF 的面积。
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，F 是BC 延长线上一点， ∴ AB=AD,∠ABF=∠D=90° 又∵ DE=BF∴ △ADE≌△ABF （SAS ）（3）解：由（1）△ADE≌△ABF 可得∠FAB=∠EAD,AE=AF ∴ ∠FAB+∠B AE=∠EAD+∠B AE即 ∠FAE=∠BAD=90°，△AE F 为等腰直角三角形。