八年级数学上册 13.3 等腰三角形强化训练 (新版)新人教版

等腰三角形
基础训练
1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A ) A. 12 B. 9
C. 12或9
D. 9或7
2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D )
A. 1，2，3
B. 1，1， 2
C. 1，1， 3
D. 1，2， 3
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D ) A. 60° B. 120°
C. 60°或150°
D. 60°或120°
4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
(第5题图)
5．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：
①EF ＝BE ＋CF ；
②∠BOC ＝90°＋1
2
∠A ；
③点O 到△ABC 各边的距离相等；
④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn . 其中正确的结论是( A )
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
(第6题图)
6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，BD 与CE 交于点O .给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD .上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC 是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③．
7．在△ABC 中，AB ＝22，BC ＝1，∠ ABC ＝45°，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD ＝90°，连结CD ，则线段CD 的长为__5或13__．
(第8题图)
8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CA 延长线上一点，DE ⊥BC ，交线段AB 于点F .请找出一组相等的线段(AB ＝AC 除外)并加以证明．
解：AD ＝AF .证明如下： ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵DE ⊥BC ，
∴∠B ＋∠BFE ＝∠C ＋∠D ＝90°， ∴∠BFE ＝∠D . ∵∠BFE ＝∠DFA ， ∴∠DFA ＝∠D ， ∴AF ＝AD .
拓展提高
(第9题图)
9．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为Q .若BF ＝2，则PE 的长为(B )
A. 2
B. 3
C. 2 3
D. 3
10．已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝1
2
BC ，则△ABC 底角的度数为(D )
A. 45°
B. 75°
C. 60°
D. 45°或75°
11．在平面直角坐标系中，点A (2，2)，B (32，32)，动点C 在x 轴上，若以A ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为(B )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12．如图，等腰△ABC 纸片(AB ＝AC )可按图中所示方法折成一个四边形，点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，则在原等腰△ABC 中，∠B ＝72度．
(第12题图)
(第13题图)
13．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC 与∠DCB 的平分线相交于点H ，过H 作AD 的平分线交AB 于E ，交CD 于F .若BE ＝3，CF ＝2，则EF ＝__5__．
14．如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA ，OB 上分别取点OA ＝OB 1，连结AB 1，在B 1A ，B 1B 上分别取点A 1，B 2，使B 1B 2＝B 1A 1，连结A 1B 2，…，按此规律下去，记∠A 1B 1B 2＝θ1，∠A 2B 2B 3＝θ2，…，∠A n B n B n ＋1＝θn ，则：
(1)θ1＝180°＋α
2；(2) θn ＝()2n
－1·180°＋α2
n
． ,(第14题图))
15．在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，则∠A 的度数是__12°__．
,(第15题图))
16．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图： 以点A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以点A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2； 再以点A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3； ……
这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝__9__．
,(第16题图))
17．如图，已知点A (3，0)，B (0，4)，C 为x 轴上一点． (1)画出等腰三角形ABC . (2)求出C 点的坐标．
,(第17题图))
解：(1)如解图．
,(第17题图解))
(2)①当A 是顶点时，C 1(－2，0)，C 2(8，0)， ②当B 是顶点时，C 3(－3，0)
③当C 是顶点时，C 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－76，0.
(第18题图)
18．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED . (1)求证：△MED 为等腰三角形． (2)求证：∠EMD ＝2∠DAC .
解：(1)证明：∵M 为AB 边的中点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，
∴ME ＝12AB ，MD ＝1
2AB ，
∴ME ＝MD ，
∴△MED 为等腰三角形．
(2)∵ME ＝1
2
AB ＝MA ，
∴∠MAE ＝∠MEA ， ∴∠BME ＝2∠MAE .
同理，MD ＝1
2
AB ＝MA ，
∴∠MAD ＝∠MDA ， ∴∠BMD ＝2∠MAD ，
∴∠EMD ＝∠BME －∠BMD ＝2∠MAE －2∠MAD ＝2∠DAC .
(第19题图)
19．如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .
(1)求证：DE 平分∠BDC .
(2)若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD . 解：(1)证明：∵△ABC 为等腰Rt△， ∴AC ＝BC ，∠CAB ＝∠CBA ＝45°. ∵∠CAD ＝∠CBD ＝15°，
∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD . 又∵CA ＝CB ，∴△BDC ≌△ADC (SAS )． ∴∠DCA ＝∠DCB .
又∵∠ACB ＝90°，∴∠DCA ＝∠DCB ＝45°.
∵∠BDE ＝∠ABD ＋∠BAD ＝30°＋30°＝60°，∠EDC ＝∠DAC ＋∠DCA ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM ＝∠EDC .∴DE 平分∠BDC .
(第19题图解)
(2)如解图，连结MC .
∵DC ＝DM ，且∠MDC ＝60°， ∴△MDC 是等边三角形， ∴CM ＝CD .
又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，
∴∠EMC＝∠ADC.
又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.
∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.。