人教版八年级上册等腰三角形应用(讲义及答案)

合集下载

人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)

等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。

【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．考点二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A ．65°或50° B．80°或40° C ．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】如图②，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】如图①，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG－DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC＝10.① ②考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．【类型一】确定等腰三角形的个数【例7】如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】在坐标系中确定三角形的个数【例8】已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，3)，在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6解析：因为△AOP 为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO ＝AP (有一个)．此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于O 点和另一个点，另一个点就是点P ；(2)AO＝OP (有两个)．此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于两个点，这两个点就是P 的两种选择；(3)AP ＝OP (一个)．作AO 的中垂线与y 轴有一个交点，该交点就是点P 的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，求∠C 的度数。

人教版八年级数学上册等腰三角形1课题学习最短路径问题(含答案)

13.3等腰三角形13.4课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1．如图在△ABC中，BF、CF是角平分线，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，DE经过点F．结论：①△BDF 和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC；④BF=CF．其中正确的是___________．(填序号)2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．3．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的长．专题二等边三角形的性质和判定4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP 长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP的长是__________．5．如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．6．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．专题三最短路径问题7．如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A．F和C B．F和E C．D和C D．D和E8．如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明)状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．3．等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．4．直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【温馨提示】1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．参考答案:1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．综上所述，命题①②③正确．2．解：(1)证明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=12(180°－∠A)=12(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：当∠A=60°时，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD与BE垂直．证明：∵BE 为∠ABC 的平分线，∴∠ABE=∠DBE. 又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合．∴A 、D 是对称点．∴AD ⊥BE ．（3）∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE=DE ．在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，AE =DE BE =BE ⎧⎨⎩，， ∴Rt △ABE ≌Rt △DBE （HL ）．∴AB=BD ．又△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形．∴DE=DC．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6 解析：连接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，AC=AB=9．∵∠OPA=∠PDB=∠DPA－60°．∴△OPA≌△PDB．∵AO=3，∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等边三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设△AMN 是等腰三角形，∴AN=AM ．∴∠AMN=∠ANM ．∴∠AMC=∠ANB ．∵AB=BC=AC ，∴△ACB 是等边三角形．∴∠C=∠B ．在△ACM 和△ABN 中，AC AB C B AMC ANB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠∠，∠∠， ∴△ACM ≌△ABN ．∴CM=BN．设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．y－12=36－2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．7．A 解析：由轴对称－－最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C．故选A．8．解：如图，作点B关于公路的对称点B′，连接AB′，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市的距离之和最小.。

人教版初二数学上册：等腰三角形性质及判定(基础)知识讲解

等腰三角形性质及判定（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3.（2015春•安岳县期末）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．（1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．【答案与解析】解：（1），②×2﹣①得5b=15，解得b=3，把b=3代入②得2a+3=13，解得a=5；（2）若a=5为腰长，5+5＞3满足，此时三角形周长为：5×2+3=13；若b=3为腰长，3+3＞5满足，此时三角形周长为：3×2+5=11．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．举一反三：【变式】（2015•裕华区模拟）若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A． 12 B．14 C．15 D．12或15【答案】C.解：根据题意得，x﹣3=0，y﹣6=0，解得x=3，y=6，①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，∵3+3=6，EB A DC F∴不能组成三角形，②3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长=3+6+6=15，所以，三角形的周长为15．故选C ．类型三、等腰三角形性质和判定综合应用【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例8】4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥B C 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD ≌△CFD ，要证BE ⊥AC ，只需证∠BEC ＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD ＝45°，由已知∠ACD ＝45°，可知∠BEC ＝90°. 【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒ ∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠，∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒， ∴ 90BEC ∠=︒. ∴ BE⊥AC．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD ，求出∠FBD=∠BFD=45°．举一反三：【变式】（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠1=∠2，EF ∥BC 交AC 于点F ．试说明AE=CF ．【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．【答案与解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【总结升华】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案．【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ．故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°，（1）求∠BAE 的度数；（2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数．【答案与解析】解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°．（2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°．【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。

八年级上册数学讲义等腰三角形

13.3等腰三角形-13.4最短路径1．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）．等腰三角形的其他性质：（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．2．等腰三角形的判定判定等腰三角形的方法：（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；K—重点分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形60︒【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是30︒60︒A．B．150︒30︒150︒C．D．或【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．二、等边三角形的性质和判定判定等边三角形时常用的选择方法：若已知三边关系，一般选用（1）；若已知三角关系，一般选用（2）；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．【例4】下列推理中，错误的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．三、含30°角的直角三角形的性质含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于A．4 cm B．2 cmC．3 cm D．1 cm四、最短路径问题通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．801．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是A ．B ．或C ．或D ．80︒80︒20︒80︒50︒20︒2．一个等边三角形的对称轴共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．6条3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上，且BD =BC =AD ，则∠A 等于A ．30°B ．40°C ．45°D ．36°4．如图，在△ABC 中，∠B =30°，ED 垂直平分BC ，ED =3．则CE 长为A ．6B ．9C ．3D ．85．如图，△ABC 是等边三角形，P 为BC 上一点，在AC 上取一点D ，使AD =AP ，且∠APD =70°，则∠PAB 的度数是A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6．如图，在中，为的中点，，则__________．ABC △AB AC D =，BC 35BAD ∠=︒C ∠=7．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm 和12 cm ，则等腰三角形的底边长为______．分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，在△ABC 中，D 在边AC 上，如果AB =BD =DC ，且∠C =40°，那么∠A =__________°．9．如图，已知在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ，试说明：AO ⊥BC ．10．如图，在△ABC 中，，是边上的中线，于，试说AB AC =AD BC BE AE ⊥E 明．CBE BAD ∠=∠11．已知在△ABC 中，AB =5，BC =2，且AC 的长为奇数．（1）求△ABC 的周长；（2）判断△ABC 的形状．12．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =40°，分别以AB ，AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，且AB =AD ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =90°．。

2019人教版八年级数学上册第十三章133《等腰三角形》讲义第11讲(有答案)语文

第11讲等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.1、定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。

它是特殊的等腰三角形。

2、性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。

（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线考点1、等腰三角形性质例1、一个等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角是（）A．40°B．50°C．60°D．40°，100°例2、在钝角三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（）．A．150° B．124°C．120° D．108°例3、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝______度．（例2）（例3）例4、已知△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为。

例5、在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=______°．例6、已知一个等腰三角形的周长为18cm。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两部分，那么各边的长为多少？例7、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．1、对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（）A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是错误的2、等腰三角形的两内角度数之比是1∶2，则顶角的度数是（）A．90°B．45° C．36° D．90°或36°3、△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、如图，在△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠ADE=∠AED，且∠BAD=60°，则∠EDC= 度．5、如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落在C′处，如果BC′=5，则BC=______．6、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D，若∠ADC=130°，则∠BAC=_____度．（4）（5）（6）7、如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程．8、如图，在△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高，求证：∠BCD=1∠A．29、如图．在△ABC中，AB=AC，F为AC上一点，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=145°，求∠A和∠EDF的值．考点2、等腰三角形的判定例1、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A.∠A=30°，∠B=60°B.∠A=50°，∠B=80°C.AB=AC=2，BC=4D.AB=3，BC=7，周长为10例2、如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）例3、如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为______．例4、如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，（例3）（例4）例5、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件______可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．例6、如图AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E．①求∠DBC的度数．②猜想△BDC的形状并证明．例7、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF。

人教版八年级数学上册13.3等腰三角形(教案)及反思

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等腰三角形的基本概念。等腰三角形是指两边长度相等的三角形。它的重要性在于，等腰三角形的两个底角相等，具有独特的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析等腰三角形在桥梁建筑中的应用，了解它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如底角平分线、高、中线及对称轴的性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
-等腰三角形的底角平分线、高、中线及对称轴性质：这些性质是解决相关几何问题的基础，需要学生熟练掌握。
-实际应用：培养学生将等腰三角形的性质应用于解决实际问题，如计算角度、线段长度等。
举例：讲解等腰三角形性质时，可以结合具体图形，如等腰三角形ABC（AB=AC），强调角B=角C，底角平分线、高、中线互相重合。
最后，我认为在今后的教学中，要加强以下几个方面：
1.提高学生对等腰三角形性质的理解，通过丰富多样的教学手段，让学生真正掌握知识点。
2.培养学生独立思考和解决问题的能力，鼓励他们在课堂上积极发言，表达自己的观点。
3.注重课堂总结与反馈，及时了解学生的学习情况，调整教学方法，提高教学效果。
2.教学难点
-难点一：等腰三角形性质的理解与应用。学生在理解等腰三角形的性质时，可能会对其底角平分线、高、中线及对称轴的相互关系感到困惑。
举例：解释底角平分线同时也是高和中线时，学生可能会混淆这些概念，需要教师通过图形和具体例题进行详细讲解。
-难点Байду номын сангаас：等腰三角形的判定在实际问题中的应用。学生在面对复杂几何图形时，可能难以准确识别等腰三角形。
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

人教版八年级数学上册等腰三角形的性质讲义

等腰三角形的性质知识点一、等腰三角形的概念与性质顾名思义，至少有两边相等的三角形叫等腰三角形，这两条边就是等腰三角形的“腰”，另一边叫做“底边”腰和底边的夹角叫做“底角”，两腰的夹角叫做“顶角”如图，过等腰三角形ABC的顶点A，作垂线AD⊥BC于D，则△ADB与△ADC有什么关系？为什么？等腰三角形性质总结：1、两腰相等2、两底角相等3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（简称：三线合一）例1、等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A、50°，50°，80°B、80°，80°，20°C、100°，100°，20°D、50°，50°，80°或80°，80°，20°例2、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A 、40°，40°B 、100°，20°C 、50°，50°D 、40°，40°或100°，20°例3、一个等腰三角形的一边是6，周长是12，则它的三边长分别为_____________1、已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（）A 、55°，55°B 、70°，40°C 、55°，55°或70°，40°D 、以上都不对2、在下列命题中，正确的是（）A 、等腰三角形是锐角三角形B 、等腰三角形两腰上的高相等C 、两个等腰直角三角形全等D 、等腰三角形的角平分线是中线3、已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为6cm ，则它的周长为（）A 、11cmB 、17cmC 、16cmD 、16cm 或17cm4、在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（）A 、121≤≤xB 、120≤<xC 、120<<xD 、126<<x5、三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形6、若△ABC三条边的长度分别为m,n,p,且()02=-+-pnnm，则这个三角形为（）A．等腰三角形 B.等边三角形C．直角三角形 D.等腰直角三角形7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.8、有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.9、如果△ABC中，AB=AC，它的两边长为2cm和4cm，那么它的周长为________.10、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为cm10，那么它的三边长为______.11、如果等腰三角形的周长为cm18，那么它的底边x的取值范围是_______.12、已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.13、等边三角形的周长为cm15，则它的边长为________14、在等腰三角形中，如果顶角是一个底角的2倍，那么顶角等于_____度；如果一个底角是顶角的2倍，那么顶角等于_______度.15、如图，AB=AC，AD⊥BC交BC于点D，BD=5cm，那么BC的长为_________.16、如图，D是等腰三角形ABC的腰AC上一点，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，若∠BDE=158°，则∠DEF=_____.17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数。

新人教版数学八年级上册小专题(四) 等腰三角形问题中常见的解题策略

小专题( 四)等腰三角形问题中常见的解题策略在解决等腰三角形的角度( 或边长)问题时,若题目中没有明确顶角和底角( 或腰长和底边),做题时要注意分类讨论,这是解题的关键.有时候在解决问题时,需要通过添加辅助线的方式构造等腰三角形求解,如截长补短法等,这也是一种常见的解题策略,可以将零碎的知识加以整合,进而将复杂问题简单化.类型1分类讨论法——求角度在题目没有给出图形,已知条件也未确定顶角或底角的情况下,要进行分类讨论,一般情况都是锐角三角形与钝角三角形两种形状.1.如果等腰三角形中有一个内角等于70°,那么这个三角形最小的内角等于55°或40°.2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°,则该等腰三角形的底角的度数为21°或69°.3.( 改编)在等腰三角形ABC中,( 1 )若∠A=100°,则∠B=40°;( 2 )若∠A=50°,则∠B=65°或80°或50°.类型2分类讨论法——求边长在题目没有出示图形,也未确定腰长和底边长时,要进行分类讨论,并利用三角形的三边关系加以验证,以确定能否组成三角形,这是最容易错的点.4.已知等腰△ABC的两边长分别为2和5,则等腰△ABC的周长为( B)A.9B.12C.9或12D.不能确定5.已知一个等腰三角形的三边长分别为2x-1,x+1,3x-2,求这个等腰三角形的周长.( 1 )完成部分解题过程,在以下解答过程的空白处填上适当的内容.解:①当2x-1=x+1时,解得x=2,此时能构成等腰三角形( 填“能”或“不能”).②当2x-1=3x-2时,解得x=1,此时不能构成等腰三角形( 填“能”或“不能”). ( 2 )请你根据( 1 )中两种情况的分类讨论,完成第三种情况的分析,若能构成等腰三角形,求出这个三角形的周长.解:( 2 )③当x+1=3x-2时,解得x=,此时能构成等腰三角形,周长为7.类型3分类讨论法——分割等腰三角形分割三角形时,根据“等角对等边”定理,重点关注三角形的内角度数,尤其是两个底角相等,进而得到等腰三角形.6.在△ABC中,∠A=70°,∠B=30°.请在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中一个为等腰三角形,请在图中画出至少两种方案.解:提供四种分割方案如图所示.( 答案不唯一)类型4构造等腰三角形——作平行线在解决几何问题时,构造等腰三角形是常见的解题方法.这里提供三种构造方案,供大家参考:①“角平分线+平行线”;②作腰的平行线;③作底边的平行线.7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AB上,点E在AC的延长线上,DE交BC于点F,且DF=EF.求证:BD=CE.证明:过点D作DG∥AE,交BC于点G.易证△DGF≌△ECF,∴DG=CE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∴∠B=∠DGB,∴DG=BD,∴BD=CE.8.已知,△ABC为等边三角形,D为AC上的一个动点,E为BC延长线上一点,且BD=DE.( 1 )如图1,若点D在边AC上,猜想线段AD与CE之间的关系,并说明理由;( 2 )如图2,若点D在AC的延长线上,那么( 1 )中的结论是否仍然成立,请说明理由.解:( 1 )AD=CE.理由:过点D作DP∥BC,交AB于点P.∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠ADP=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.又∵∠BPD=∠A+∠ADP=120°,∠DCE=∠A+∠ABC=120°,∴∠BPD=∠DCE.在△BPD和△DCE中,∠PDB=∠DEC,∠BPD=∠DCE,DB=DE,∴△BPD≌△DCE,∴PD=CE,∴AD=CE.( 2 )AD=CE仍然成立.理由:过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P.∵△ABC是等边三角形,∴△APD也是等边三角形,∴AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDC=60°.∵DB=DE,∴∠DBC=∠DEC.∵DP∥BC,∴∠PDB=∠CBD,∴∠PDB=∠DEC.在△BPD和△DCE中,∴△BPD≌△DCE( AAS ),∴PD=CE,∴AD=CE.类型5构造等腰三角形——截长补短法解决此类题,都需要添加辅助线,利用将长线段“截短”或短线段“延长”的方法,使之长度相等,再综合全等三角形的知识加以证明.9.如图,在△ABC中,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC,交AC于点D.求证:BC=CD+AB.解:如图,延长BA至点E,使BE=BC,连接DE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.易证△EBD≌△CBD,∴DE=DC,∠E=∠C=36°.∵∠EAD=72°,∴∠EDA=∠EAD=72°,∴EA=ED,∴CD=DE=AE,∴BC=BE=AB+AE=AB+CD.类型6构造等腰三角形——倍角关系在解决此类问题时,可利用角平分线的性质,添加辅助线,构造等腰三角形.10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,求证:AB+BD=AC.证明:在AC上截取AE=AB,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.在△ABD和△AED中,∴△ABD≌△AED( SAS ),∴∠B=∠AED,BD=DE,又∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C,而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,∴∠C=∠EDC,∴DE=CE,∴AB+BD=AE+CE=AC.。

2020年秋人教版八年级数学上册第13章《等腰三角形》(讲义、随堂测试、习题及答案)

人教版八年级数学上册第13章等腰三角形（讲义）➢ 课前预习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）；（2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）；（3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．D CB A 212. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．➢ 知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写：已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ．证明：➢ 精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．CB C B C B AAA108°60°2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．D CB ADCBAEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．CD B AABCE第4题图第5题图5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ．求证：AE =ED ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD于点D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ． E CB AAB CD8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．11.若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．➢课前预习1.（1）=（2）⊥（3）=2.18或21➢知识点睛1.有两边相等2.轴对称，三线合一，对称轴3.相等，等边对等角相等，等角对等边4.相等，60°5.证明：如图∵AB=AC，AD平分∠BAC∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）∴BD=CD➢精讲精练1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.100°4.108°5.25°6.证明略提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE7.证明略提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．8.∠E=60°提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE9.3cm10.40°或100°11.50°或130°12.这样的点能找4个，作图略13.这样的点能找2个，作图略等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．CDB 2.已知等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为10cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 证明略提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD等腰三角形（习题）➢ 例题示范E DCB A例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ．【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点∴12BE BC =∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中 AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．【思路分析】ACDEA B C D A CD等腰三角形一边长为5cm ，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ① 如果5cm 为底，则根据周长为12cm ，可知腰长为3.5cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．② 如果5cm 为腰，则根据周长为12cm ，可知底边长为2cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm 或2cm ． ➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =80°，求∠C 的度数．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BE ∥AC ，∠BDE =100°，∠BAD =70°，则∠E =______．第2题图第3题图3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）CBAED CB ADB AA ．6B ．7C ．8D ．95. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．N M EC BADCBAPA B CD E7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．➢思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】➢巩固练习 1.50° 2.50° 3.36° 4. D5. 证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD 垂直平分BC ，从而得到PB =PC6. 证明略提示：根据等边对等角可得∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，进而可得∠BAD =∠CAE ，从而证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形对应边相等，可得BD =CE7. 20 D C B A8.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略➢思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。

人教版八年级数学上册13.3《等腰三角形》教学设计(第1课时)

（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学几何知识的兴趣和爱好，激发学生学习数学的热情。
2.引导学生认识到数学在生活中的广泛应用，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生克服困难的勇气和自信心。
4.通过等腰三角形的学习，引导学生体会几何图形的对称美，培养学生对美的鉴赏能力。
2.提出问题：这些图形有什么共同特征？它们在生活中的应用有哪些？通过问题引导学生发现等腰三角形的特点。
3.引入新课：根据学生的回答，引出等腰三角形的定义，激发学生对新课的学习兴趣。
（二）讲授新知
1.等腰三角形的定义：讲解等腰三角形的定义，即有两条边相等的三角形。
2.等腰三角形的性质：
（1）两个底角相等：通过几何画板演示，引导学生观察并证明等腰三角形的两个底角相等。
2.分步教学，循序渐进：将等腰三角形的教学分为定义、性质、判定定理和应用四个环节，逐步深入，让学生在掌握基础知识的基础上，逐步提高解决问题的能力。
3.注重直观，培养空间想象力：运用几何画板等教学工具，直观展示等腰三角形的性质，帮助学生建立空间观念，提高几何直观能力。
4.合作学习，促进交流：采用小组合作、讨论交流的形式，让学生在合作中学习，提高学生的沟通能力和团队协作能力。
1.导入：通过展示生活中常见的等腰三角形实物，如等腰三角形的台布、等腰三角形的剪纸等，引导学生发现等腰三角形的特点，引出本节课的学习内容。
2.新课：讲解等腰三角形的定义、性质和判定定理。结合具体实例，让学生直观感受等腰三角形的特点，引导学生通过几何画板验证等腰三角形的性质。
3.例题讲解：选取典型例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用等腰三角形的性质解决问题。
1.学生对几何图形的直观认识较强，但抽象思维能力尚需培养。教学中，应注重引导学生从具体实例中抽象出等腰三角形的性质，提高学生的抽象思维能力。

八年级上第06讲轴对称及等腰三角形讲义测试题(含答案)【精品】

轴对称及等腰三角形【精品】【知识导图】一、导入复习预习提出问题，引入新课1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，•你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．4.问题：如何作出线段的垂直平分线？要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？已知：线段AB【如图（1）】．求作：线段AB的垂直平分线．作法：如图（2）(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；(2)．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．2．作出线段AA′的垂直平分线L．则L就是这个五角星的一条对称轴．用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边腰与底边的夹角叫做底角两腰的夹角叫做顶角12考点1二、知识讲解考点2考点3等腰三角形的概念等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴等腰三角形的两个底角相等根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．故选D【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________431例题2【答案】6cm【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴PA=PB，而PA=6cm，∴PB=6cm．故答案为6如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______【答案】90°【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴AO⊥CD，∴∠AOC=90°，故答案为：90如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC．∠A=∠ABD（等边对等角）．设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°．在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．3例题4【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD 的度数为°【答案】45【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，5例题6∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32【解析】．因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是【答案】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．例题7例题8如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．【答案】15【解析】试题分析：因为P点关于OA、OB的对称点P1，P2，所以P1M=PM, P2N=PN,所以△PMN的周长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15．考点：轴对称的性质如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA ＝50°，则∠ABE的度数为．【答案】20°．【解析】试题分析：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故答案为：20°．已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（）A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN【答案】B【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．故B正确；A、C、D错误．P2P1NMOPBA910例题11如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【解析】连接BD，AC．设∠1=x，∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°-2∠4=100°-2x，∠BDC=180°-2x，∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=80°．故选D下列说法中：①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C12例题13【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A14下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN 是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A1证明等腰三角形三线合一。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-等腰三角形分类讨论问题综合应用(解析版)

等腰三角形分类讨论问题综合应用类型一：腰和底不明时需讨论类型二：顶角和底角不明时需讨论类型三：涉及中线高位置的讨论类型四：等腰三角形个数的讨论类型五：动点引起的分类讨论【考点1 腰和底不明时需分类】【典例1】等腰三角形的两边长分别为4和8 则这个等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【答案】B【解答】解：①若4是腰则另一腰也是4 底是8 但是4+4＝8 故不构成三角形舍去．②若4是底则腰是8 8．4+8＞8 符合条件．成立．故周长为：4+8+8＝20．故选：B【变式1-1】等腰三角形的一条边长为4cm另一条边长为6cm则它的周长是．【答案】14cm或16cm【解答】解：当4cm为腰时三边为4cm4cm6cm可以构成三角形∴周长为：4+4+6＝14（cm）；当6cm为腰时三边为为6cm6cm4cm可以构成三角形∴周长为：6+6+4＝16（cm）；综上周长为14cm或16cm．故答案为：14cm或16cm．【考点2 顶角和底角不明时需讨论】【典例2】等腰三角形的一个角是50°则它的底角是（）A．50°B．50°或65°C．80°D．65°【答案】B【解答】解：当底角为50°时则底角为50°当顶角为50°时由三角形内角和定理可求得底角为：65°所以底角为50°或65°故选：B．【变式2-1】等腰三角形的一个角是100°则其底角是（）A．40°B．100°C．80°D．100°或40°【答案】A【解答】解：当100°为顶角时其他两角都为40°40°当100°为底角时等腰三角形的两底角相等由三角形的内角和定理可知底角应小于90°故底角不能为100°所以等腰三角形的底角为40°40°．故选A（2020秋•慈溪市期中）已知在等腰△ABC中一个外角的度数为100°则【变式2-2】∠A的度数不能取的是（）A．20°B．50°C．60°D．80°【答案】C【解答】解：当100°的角是顶角的外角时顶角的度数为180°﹣100°＝80°另外两个角的度数都为50°；当100°的角是底角的外角时两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故∠A的度数不能取的是60°．故选：C．【考点3 涉及中线高位置的讨论】【典例3】（2020秋•鄞州区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°【答案】D【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．【变式3-1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D【解答】解：当高在三角形内部时如图1∵∠ABD＝30°BD⊥AC∴∠A＝60°；∴顶角是60°；当高在三角形外部时如图2∵∠ABD＝30°BD⊥AC于D∴∠BAD＝60°∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°∴顶角是120°．故选：D．【变式3-2】（2021春•浦东新区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°那么这个等腰三角形的底角为．【答案】75°或15°【解答】解：根据题意得：AB＝AC BD⊥AC如图（1）∠ABD＝60°则∠A＝30°∴∠ABC＝∠C＝75°；如图（2）∠ABD＝60°∴∠BAD＝30°∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案为：75°或15°．【典例4】如图在△ABC中AB＝AC AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分求△ABC各边的长．【解答】解：∵BD是AC边上的中线∴AD＝CD＝AC∵AB＝AC∴AD＝CD＝AB设AD＝CD＝xcm BC＝ycm分两种情况：当时即解得：∴△ABC的各边长为8cm8cm11cm；当时即解得：∴△ABC的各边长为10cm10cm7cm；综上所述：△ABC各边的长为8cm8cm11cm或10cm10cm7cm．【变式4】（2021春•浦东新区期中）已知等腰三角形的底边长为6 一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分其中一部分比另外一部分长2 则三角形的腰长是．【答案】8或4【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分这两部分的差即是腰与底的差的绝对值∵其中一部分比另外一部分长2∴腰比底大2或底比腰大2∴腰为8或4．故答案为：8或4．【考点4 等腰三角形个数的讨论】【典例5】如图网格中的每个小正方形的顶点称作格点图中A B在格点上则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解答】解：如图所示：分三种情况：①以A为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C1C2C3即为点C的位置；②以B为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C3C4C5C6C7C8即为点C的位置；③作AB的垂直平分线垂直平分线没有经过格点；∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8故选：B．【变式5-1】如图△ABC中直线l是边AB的垂直平分线若直线l上存在点P使得△P AC△P AB均为等腰三角形则满足条件的点P的个数共有（）A．1B．3C．5D．7【答案】C【解答】解：分三种情况：如图：当AP＝AC时以A为圆心AC长为半径画圆交直线l于点P1P2当CA＝CP时以C为圆心CA长为半径画圆交直线l于点P3P4当P A＝PC时作AC的垂直平分线交直线l于点P5∵直线l是边AB的垂直平分线∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形∴满足条件的点P的个数共有5个故选：C．【变式5-2】如图已知Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：分三种情况如图：∵∠ACB＝90°∠BAC＝30°∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°当BA＝BP时以B为圆形BA长为半径画圆交直线BC于P1P2两个点∵BA＝BP2∠ABC＝60°∴△ABP2是等边三角形∴AB＝BP2＝AP2当AB＝AP时以A为圆形AB长为半径画圆交直线BC于P2当P A＝PB时作AB的垂直平分线交直线BC于P2综上所述在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有2个故选：B．【考点5 动点引起的分类】【典例6】如图所示在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝40°点D在线段BC上运动（D 不与B C重合）连结AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时∠BAD＝；点D从B向C运动时∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）．（2）当DC的长为多少时△ABD与△DCE全等？请说明理由．（3）在点D的运动过程中△ADE的形状也在改变请判断当∠BDA等于多少度时△ADE是等腰三角形．（直接写出结论不说明理由．）【解答】解：（1）∵∠B＝40°∠BDA＝115°∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°由图形可知∠BDA逐渐变小故答案为：25°；小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下：∵AB＝2∴AB＝DC∵AB＝AC∴∠C＝∠B＝40°∴∠DEC+∠EDC＝140°∵∠ADE＝40°∴∠ADB+∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC在△ABD和△DCE中∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形当DA＝DE时∠DAE＝∠DEA＝70°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；当AD＝AE时∠AED＝∠ADE＝40°∴∠DAE＝100°此时点D与点B重合不合题意；当EA＝ED时∠EAD＝∠ADE＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°综上所述当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形．【变式6】如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝°∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE请说明理由；（3）在点D的运动过程中求∠BDA的度数为多少时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣C＝180°﹣30°﹣40°＝110°∵点D从B向C的运动过程中∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小故答案为：30 110 小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠CDE∠B＝∠ADE＝40°∴∠BAD＝∠CDE∵AB＝CD＝2 ∠B＝∠C＝40°∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时∵AD＝DE∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时∵AE＝DE∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°由题意知AD＝AE不可能综上所述：当∠BDA＝80°或110°时△ADE的形状可以是等腰三角形．1．（2019秋•海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形若其中有一边的长为5cm则该等腰三角形的腰长为（）cm．A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8【答案】C【解答】解：5cm是腰长时底边为18﹣5×2＝8∵5+5＞8∴5cm5cm8cm能组成三角形；5cm是底边时腰长为（18﹣5）＝6.5cm5cm 6.5cm 6.5cm能够组成三角形；综上所述它的腰长为6.5或5cm．故选：C．2．（2021•碑林区校级开学）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°【答案】C【解答】解：在△ABC中设∠A＝x∠B＝x+30°分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时2x+（x+30°）＝180°解得x＝50°底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时2（x+30°）+x＝180°解得x＝40°底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．3．（2020秋•渝北区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则其底角为（）A．65°B．32.5°C．32.5°或57.5°D．32.5°或65°【答案】C【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得顶角是90°+25°＝115°则其底角为（180°﹣115°）÷2＝32.5°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°则其底角为（180°﹣65°）÷2＝57.5°．故选：C．4.（2021春•淮阳区校级期末）某等腰三角形的周长是21cm一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm该三角形的腰长是cm．【答案】8或6【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm底边长是ycm根据题意得或解得或∵8 8 5与6 6 9都能组成三角形∴该三角形的腰长为8cm或6cm．故答案是8或6．5．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C则称此三角形为“可爱三角形”并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）A．45°或36°B．72°或36°C．45°或72°D．45°或36°或72°【答案】C【解答】解：①设三角形底角为α顶角为2α则α+α+2α＝180°解得：α＝45°②设三角形的底角为2α顶角为α则2α+2α+α＝180°解得：α＝36°∴2α＝72°∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°故选：C．6．如图所示的正方形网格中网格的交点称为格点已知A B是两格点如果C也是图中的格点且使得△ABC为等腰三角形则符合条件的点C的个数是（）A．9B．8C．7D．6【答案】B【解答】解：如图：分三种情况：当AB＝AC时以点A为圆心以AB长为半径作圆则点C1C2C3即为所求；当BA＝BC时以点B为圆心以BA长为半径作圆则点C4C5C6即为所求；当CA＝CB时作AB的垂直平分线则点C7C8即为所求；综上所述：符合条件的点C的个数是8故选：B．7．如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D 不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）在点D的运动过程中当∠BDA的度数是时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变小故答案为：小；（2）分三种情况：当AD＝AE时∴∠ADE＝∠AED＝40°∵∠AED是△DEC的外角∴∠AED＞∠C此种情况不存在当DA＝DE时∵∠ADE＝40°∴∠DAE＝∠DEA＝70°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°当EA＝ED时∴∠EAD＝∠ADE＝40°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°综上所述：∠BDA的度数是110°或80°故答案为：110°或80°．8.（秋•宝应县期末）如图△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于E．（1）当∠BAD＝20°时∠EDC＝°；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？试说明理由；（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能请直接写出此时∠BAD的度数；若不能请说明理由．【答案】（1）20 （2）当DC＝2时△ABD≌△DCE（3）当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形【解答】解：（1）∵∠BAD＝20°∠B＝40°∴∠ADC＝60°∵∠ADE＝40°∴∠EDC＝60°﹣40°＝20°故答案为：20；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE；理由：∵∠ADE＝40°∠B＝40°又∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∴∠BAD＝∠EDC．在△ABD和△DCE中．∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）能当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形．理由：①当∠BAD＝30°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝30°∴∠DAE＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴DA＝DE∴△ADE为等腰三角形；②当∠BAD＝60°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝60°∠DAE＝40°∴EA＝ED∴△ADE为等腰三角形．综上所述当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形。

人教版八年级数学等腰三角形“三线合一”的性质讲义 (含解析)

第6讲等腰三角形“三线合一”的性质知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要重点学习等腰三角形“三线合一”的性质。

我们知道等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。

因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实。

知识梳理讲解用时：20分钟等腰三角形1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边和腰的夹角叫做底角。

2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（简写成“三线合一”）3、等腰三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义法）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对应的边也相等.（简写成“等角对等边”） AB C等边三角形我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，所以接下来要研究等边三角形的性质和判定！1、等边三角形的概念：在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边都相等；（定义）（2）等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；（3）等腰三角形“三线合一”的性质同样适用于等边三角形.3、等边三角形的判定方法：（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.AB C课堂精讲精练【例题1】在△ABC中，AB=AC，∠A﹣∠B=15°，则∠C的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．70°【答案】B【解析】根据已知可得到该三角形的为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和公式即可求得∠C的度数．解：∵AB=AC，∠A﹣∠B=15°∴∠B=∠C，∠A=∠B+15°∵∠B+∠C+∠A=180°∴∠C=55°．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了三角形内角和等腰三角形的性质；进行角的等量代换是解答本题的关键．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，求∠A的大小？【答案】【解析】由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．解：∵BD=BC=AD，∴△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又∵AB=AC可知，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠A=36°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．教学建议：熟记等腰三角形中等边对等角，利用三角形内角和做题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】在△ABC中，AB=AC，那么在这个三角形中，三线重合的线段是（）A．∠A的平分线，AB边上的中线，AB边上的高B．∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高C．∠B的平分线，AC边上的中线，AC边上的高D．∠C的平分线，AB边上的中线，AB边上的高【答案】B【解析】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠A是顶角，∴∠A的平分线，BC边上的中线，BC边上的高相互重合．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形“三线合一”的性质时，首先要找到顶角．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，则下列结论中错误的是（）A．∠BAD=∠CAD B．AD⊥BC C．∠B=∠C D．∠BAC=∠B【答案】D【解析】由在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．解：∵AB=AC，点D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，∠B=∠C．故A、B、C正确，D错误．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．教学建议：熟悉等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，那么下列结论不一定成立的是（）A．△ABD≌△ACD B．∠B=∠CC．AD是△ABC的中线D．△ABC是等边三角形【答案】D【解析】根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断．解：∵在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠B=∠C，AD是△ABC的中线，高线，∴BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°，∵在Rt△ABD与Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（SAS），故A、B、C都成立，只有D不一定成立．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．[三线合一]教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在△ABC，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD= cm．【答案】3【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=BC．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=BC=×6=3cm．故答案为：3．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD= ．【答案】2【解析】根据△ABC是等边三角形可知AB=AC，再由BD⊥AC可知AD=AC，由此即可得出结论．解：∵△ABC是等边三角形，AB=4，∴AB=AC=4，∵BD⊥AC，∴AD=AC=×4=2．故答案为：2讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC．求证：∠1=∠2．【答案】∠1=∠2【解析】D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF，再根据等边对等角即可求解．证明：连接AD．∵点D是BC边上的中点∴AD平分∠BAC（三线合一性质），∵DE⊥AB，DF⊥AC．∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠1=∠2（等边对等角）．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC．求证：（1）∠BAD=∠CAD．（2）AD⊥BC．【答案】（1）∠BAD=∠CAD；（2）AD⊥BC．【解析】（1）利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，然后根据等腰三角形三线合一证明即可．证明：（1）在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD；（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，∴AD⊥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，求出两个三角形全等是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】△ABC中，AB=AC，中线BD将△ABC周长分成12和9两部分．求△ABC三边．【答案】8，8，5或6，6，9【解析】设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=BD=x，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成12和9两部分，∴有两种情况：1、当3x=12，且x+y=9，解得x=4，y=5，∴三边长分别为8，8，5；2、当x+y=12且3x=9时，解得x=3，y=9，此时腰为6，三边长分别为6，6，9，综上，三角形的三边长为8，8，5或6，6，9．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．教学建议：学会分情况讨论及掌握三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】有一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．（1）如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少？（2）能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？说明理由．【答案】（1）3cm；（2）底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【解析】（1）设底边长为xcm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；（2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为3xcm，根据题意得，x+3x+3x=21，解得x=3cm；（2）若5cm为底时，腰长=（21﹣5）=8cm，三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形，若5cm为腰时，底边=21﹣5×2=11，三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm，∵5+5=10＜11，∴不能围成三角形，综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．教学建议：熟悉等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【答案】（1）△DEF是等腰三角形；（2）70°【解析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A=40°可求出∠ABC=∠ACB=70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．教学建议：通过证明两个三角形全等得到角相等，再利用等角对等边判断为等腰三角形是关键.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若△ABD的周长是a，BC=b，求△BCD的周长．（用含a，b的代数式表示）【答案】（1）△BCD是等腰三角形；（2）a﹣b【解析】（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形；（2）由（1）知：AD=BD=CB=b，由△ABD的周长是a，可得AB=a﹣2b，由AB=AC，可得CD=a﹣3b，进而得到△BCD的周长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴∠ACD=∠A=36°，∵∠CDB是△ADC的外角，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴∠B=∠CDB，∴CB=CD，∴△BCD是等腰三角形；（2）∵AD=BD=CB=b，△ABD的周长是a，∴AB=a﹣2b，∵AB=AC，∴CD=a﹣3b，∴△BCD的周长长=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等腰三角形的性质与等量代换．教学建议：熟练掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过A点的直线EF∥BC，且AE=AF，求证：DE=DF．【答案】DE=DF【解析】连接AD，先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，再结合已知条件EF∥BC，得到AD⊥EF，又AE=AF，即AD垂直平分EF，然后根据线段垂直平分线的性质即可证明DE=DF．证明：如图，连接AD．∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC，∴AD⊥EF，又AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴DE=DF．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】如图．BD平分∠ABC，点E在AB边上，满足DE=BE．试判断DE与BC的位置关系，并证明你的结论．【答案】DE∥BC【解析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据等边对等角可得∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，再根据内错角相等，两直线平行解答．解：DE∥BC．理由如下：如图，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵DE=BE，∴∠1=∠3，∴DE∥BC．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，是基础题，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质并应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题8】在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．【答案】2.5【解析】求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE=AB=2.5．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE=BE=AE．教学建议：熟练掌握等腰三角形的性质和判定并应用.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习8.1】如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，过点B作BE⊥AC 于E，交AD于F，又知AF=2BD，△BCE与△AFE全等吗？为什么？【答案】全等【解析】根据等腰三角形的性质得到BC=2BD，AD⊥BC，由已知条件得到AF=BC，由垂直的定义得到∠AEF=∠BEC=90°，推出∠EAF=∠CBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．解：△BCE与△AFE全等，理由：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BC=2BD，AD⊥BC，∴AF=BC，∵BE⊥AC于E，∴∠AEF=∠BEC=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠CBE，在△BCE与△AFE中，，∴△BCE≌△AFE．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握全等三角形的判定和等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°【答案】A【解析】首先根据∠1=125°，求出∠ADE的度数；然后根据DE∥BC，AB=AC，可得AD=AE，∠C=∠AED，求出∠AED的度数，即可判断出∠C的度数是多少．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】如图，在△ABC中，D为AB边上一点．BD=BC，AD=DC，∠B=36°．求∠ACB的度数．【答案】108°【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC，再根据等边对等角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACD，然后相加即可．解：∵BD=BC，∠B=36°，∴∠BCD=∠BDC=（180°﹣∠B）=（180°﹣36°）=72°，∵AD=DC，∴∠A=∠ACD，∴∠ACD=∠BDC=×72°=36°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=36°+72°=108°．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】下列说法中正确的是（）A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．等腰三角形三条高都在三角形内D．等腰三角形的一边不可能是另一条边的两倍【答案】A【解析】从各选项提供的已知条件进行思考，根据等腰三角形的性质进行证明后直接选择答案，其中只有选项A是正确的．解：A正确，可以通过证明验证．如图所示，△ABC中，AB=AC，AE是BA的延长线，AF是∠EAC的角平分线求证：AF∥BC证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵AF是∠EAC的角平分线∴∠EAF=∠FAC∵∠EAC=∠B+∠C=∠EAF+∠FAC∴∠B=∠C=∠EAF=∠FAC∴AF∥BC∴选项A正确；其它选项无法证明是正确的．故选：A．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【答案】BE⊥AC【解析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C=90°．证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴BE⊥AC．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】如图，已知△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=BC．（1）求ME的长；（2）求证：△DMC是等腰三角形．【答案】（1）3；（2）△DMC是等腰三角形【解析】（1）由条件可知M是BC的中点，可知BM=CM=CE=3；（2）由条件可知DM为Rt△AMC斜边上的中线，可得DM=DC，则可证得△DMC是等腰三角形．（1）解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴BM=CM=BC=CE=3，∴ME=MC+CE=3+3=6；（2）证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC，∵D为AC中点，∴DM=DC，∴△DMC是等腰三角形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

初中数学人教版八年级上册等腰三角形(第1课时)

巩固练习
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ ×(180°– ∠BAC)
1
2 ＝ ×(180°– 50°)＝65°.
(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
1
∴ED⊥BC，
2
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
A
∴ ∠C= ∠B=30°，
∵BD = CD，∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC = 90°.
B
D
C
∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°.
课堂检测
2.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，
且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB.
人教版数学八年级上册
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形（第1课时）
导入新知
导入新知
看到下面三角形了吗，它有何特点呢？
腰
顶角
腰
底角底角底边
我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
素养目标
2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.
1. 探索并掌握等腰三角形的两个性质．
探究新知
知识点等腰三角形的性质把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形
展开，得到的三角形ABC有什么特点？
探究新知
B
A
AB=AC
等腰三角形
C
探究新知【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

等腰三角形的判定(教学课件)八年级数学上册(人教版)

10.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，
并说明图中有哪些等腰三角形. 解：∵ 在△BCD中，∠C=72°，∠DBC=36° ∴ ∠1=180°-36°-72°=72° 又∵ ∠1是△ABD的外角 ∴ ∠2=∠1-∠A=36° ∴ ∠ABC=∠2+∠DBC=72° 因此，由∠ABC=∠C=72°，得△ABC是等腰三角形；由∠1=∠C=72°，得△BCD是等腰三角形；由∠2=∠A=36°，得△ABD是等腰三角形.
又∵BD=CE
例5.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点 F,DF=EF，BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形. ∴BD=DG ∴∠DBG=∠DGB ∵DG//AC ∴∠DGB=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定△ABC是等腰三角形的
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
5.在△ABC中，若∠B=∠C，AB=6cm，则AC=___6__cm;
6.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线,且
AD=4cm，则BC=___8__cm.
7.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D.请你添加一个条件，
确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是__B_D__=_C__D__
例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC. 分证析明：：要∵证A明D∥ABA=CAC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所∴以∠可1以=∠设B法(找_两_出_直_∠_线_B_平，__行∠__，C__与同__∠位__1角_，_相_∠_等_2_的) 关系.

人教版八年级数学上册期末专题复习：以等腰三角形为桥梁的几何题例析(含解析、点评、跟踪训练)

新人教版八年数学上册期末专题复习资料以等腰三角形为桥梁的几何题例析新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，其中以等腰三角形为桥梁的题所占比例较大，在期末统考试题中高频出现，也是中考的热点题型；等腰三角形含特殊等腰三角形等边三角形和等腰直角三角形的“等对等关系” 和“三线合一”是桥梁作用的支撑. 题目一. 平分角添加“垂直”，“平行”元素构成等腰三角形的举例.例1. 如图，⊿ABC 中，过点C 作出∠BAC 的平分线的垂线于点D ,交AB 于点E .=BC 7 ⑴.若∠=346，∠=B 39;求∠BCE 的度数； ⑵.若==AB 12,AC 10；求BE 的长. 分析：对于⑴问利用12∠=∠和∠+∠=1490，∠+∠=2390可以得到：∠=∠43 ；因为∠=∠+∠4B BCE ,结合∠=346，∠=B 39 可以求出∠=-=BCE 46397.⑵问结合⑴问∠=∠43可以得出=AE AC ,所以=-=-=-=BE AB AE AB AE 12102.例2.已知⊿ABC 中，∠=ACB 90，⊥CD AB 于点D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于点F ，⊥EG AB 于点G .求证:=EG CF ．分析：由AE 平分∠BAC ，∠=ACB 90，⊥EG AB 可以得出： =CE GE ；根据直角三角形的锐角互余和对顶角相等可以得到∠+∠=CEA CAE 90, ∠+∠=CFE DAF 90,而AE 平分∠BAC 可以得到：∠=∠CAE DAE ,所以∠=∠CFE CEF ,所以=CE CF ；综上可证：=EG CF . 点评：例1、例2都是在平分线的基础上添加“垂直”条件，利用互余关系和平分角来得到同一个三角形的两角相等，从而得到等腰三角形为桥梁解决问题.例3.如图，在⊿ABC 中,∠=∠ABC 2C ,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,⊥AE BC 于点E ;求证：=AC 2BE .解析：过点A 作AF ∥BC 交BD 的延长线于点F .∴∠=∠1F ，∠=∠2C∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D本题有3个等腰三角形，其中通过作平行线构建出的等腰⊿ABF 是关键的一环；当然本题方法不止一种.特别注意当有平行线和角平分线结合，往往要通过其中构建出的等腰三角形为桥梁解决问题.追踪练习： 1. 如图，在△ABC ，B C ∠∠、的平分线交于点P ,过点P 作DE ∥BC ,别交AB AC 、于点D E 、两点，已知,,AB a AC b BC 10===,则△ADE 的周长为（）A. 10B. 2a 2b +C.a b +D.a b 10++ 2. 如图，⊿ABC 中，过点C 作出∠BAC 的平分线的垂线于点D . 求证：∠>∠1C3.在四边形ABCD 中，AB ∥CD BD AD ⊥,BD 平分ABC ∠,,=∠=BC AD C 120,CD 2cm =；求AB 的长?M .138,则MAB ∠A5.如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠=BAC 90 ,BE 平分∠ABC ,⊥DE BC ,垂足为点D .⑴.求证：⊥AD BE ; ⑵.如果=BC 10 ,求+AB AE 的长.题目二.遇“垂直+中点”型以及“T 字”型结构连起的等腰三角形举例.例1.如图，在四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是边CD 的中点，且有AE BC,AF CD ⊥⊥ . ⑴.求证:AB AD =；⑵.若BCD 114∠= ,求BAD ∠的度数.解析：⑴.连结AC .∵点E 是边BC 的中点，AE BC ⊥ ∴AB AC = （垂直平分线的性质）同理AD AC = ∴=AB AD⑵.∵AB AC,AD AC == ，且有AE BC,AF CD ⊥⊥。

人教版八年级上册13.3.1《等腰三角形》

《等腰三角形》◆教材分析本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上，研究等腰三角形的定义及其重要性质，它既是前面所学知识的延伸，也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备，我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直，因此本节课具有承上启下的重要作用。

◆教学目标【知识与能力目标】1、理解并掌握等腰三角形的性质。

2、会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题。

3、观察等腰三角形的对称性、发展形象思维。

4、探索等腰三角形的判定定理【过程与方法目标】1、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力。

2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。

3、探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念【情感态度价值观目标】1、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲。

2、在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

3、感受图形中的动态美、和谐美、对称美，感受合作交流带来的成功感，树立自信心。

4、通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力【教学重点】1、等腰三角形的概念和性质及其应用。

2、等腰三角形的判定定理及其应用【教学难点】1、等腰三角形的性质的证明。

2、探索等腰三角形的判定定理◆教学过程一、情景导入：师：日常生活中，我们会经常看到一些美丽的图案，其中一些是平面几何图形，接下来我们观察几幅图片，说一说你们看到了什么图形？（课件向学生展示平常见到的有关等腰三角形的图片）学生观察一组图片，回答问题。

【设计意图】使学生能从实际生活中抽象出等腰三角形，初步感知等腰三角形在实际生活中的广泛应用，用美丽的画面激发学生的求知欲。

培养学生勤观察，肯思考的学习习惯。